আমার গোপন

1. মধ্যমা একটি ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলের দুটি ত্রিভুজে ভাগ করে। 2. ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে, যা তাদের প্রতিটিকে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে, শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে। এই পয়েন্ট বলা হয়মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র

ত্রিভুজ

3. সমগ্র ত্রিভুজটি তার মধ্যকার দ্বারা ছয়টি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত।

ত্রিভুজ দ্বিখণ্ডকের বৈশিষ্ট্য 1. একটি কোণের দ্বিখণ্ডক হলঅবস্থান

এই কোণের দিক থেকে বিন্দু সমান দূরত্ব।

2. একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুকে সন্নিহিত বাহুর সমানুপাতিক অংশে ভাগ করে: .

3. একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দু হল এই ত্রিভুজে উৎকীর্ণ বৃত্তের কেন্দ্র।

ত্রিভুজ উচ্চতার বৈশিষ্ট্য 1. খসমকোণী ত্রিভুজ শীর্ষবিন্দু থেকে টানা উচ্চতাসমকোণ

, এটিকে মূলের মতো দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে। 2. একটি তীব্র ত্রিভুজে, এর দুটি উচ্চতা এটি থেকে অনুরূপগুলিকে বিচ্ছিন্ন করে দেয়

ত্রিভুজ

একটি ত্রিভুজের লম্ব বিভাজকের বৈশিষ্ট্য

1. একটি রেখাংশের লম্ব দ্বিখণ্ডকের প্রতিটি বিন্দু এই রেখাংশের প্রান্ত থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত। কথোপকথনটিও সত্য: একটি রেখাংশের প্রান্ত থেকে সমান দূরত্বের প্রতিটি বিন্দু এটির লম্ব দ্বিখন্ডের উপর অবস্থিত।

2. ত্রিভুজের বাহুর দিকে আঁকা লম্ব দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দু হল এই ত্রিভুজের চারপাশে ঘেরা বৃত্তের কেন্দ্র।

একটি ত্রিভুজের মধ্যরেখার বৈশিষ্ট্য

একটি ত্রিভুজের মধ্যরেখা তার একটি বাহুর সমান্তরাল এবং সেই বাহুর অর্ধেকের সমান।

ত্রিভুজের সাদৃশ্য দুটি ত্রিভুজঅনুরূপ যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে একটি, বলা হয়

মিলের লক্ষণ:

· একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ অন্য ত্রিভুজের দুটি কোণের সমান;

· একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু অন্য ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমানুপাতিক এবং এই বাহুর দ্বারা গঠিত কোণগুলি সমান;

· একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমানুপাতিক।

অনুরূপ ত্রিভুজগুলিতে, সংশ্লিষ্ট রেখাগুলি (উচ্চতা, মধ্যক, দ্বিখণ্ডক, ইত্যাদি) সমানুপাতিক।

সাইনের উপপাদ্য

কোসাইন উপপাদ্য= একটি 2+ খ 2- 2গ 2 bc

কারণ

1. ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

মুক্ত ত্রিভুজ a, b, c - পক্ষগুলি - পক্ষের মধ্যে কোণক এবংখ ; - আধা-ঘের;আর- পরিধিকৃত বৃত্ত ব্যাসার্ধ;আর- খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ;এস- বর্গক্ষেত্র;জ ক - উচ্চতা টানা পক্ষগুলি - পক্ষের মধ্যে কোণ.

পাশ

S = ah a

S = ab sin = এস

2. সমকোণী ত্রিভুজ

a, b -পা গ-কর্ণ; জ গ -পাশে টানা উচ্চতা গ.

S = ch c S = ab

3. সমবাহু ত্রিভুজ

চতুর্ভুজ

একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য

· বিপরীত দিকগুলি সমান;

· বিপরীত কোণ সমান;

· কর্ণ ছেদ বিন্দু দ্বারা অর্ধেক বিভক্ত করা হয়;

· একপাশে সংলগ্ন কোণের সমষ্টি হল 180°;

কর্ণের বর্গক্ষেত্রের যোগফল সব বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2)।

একটি চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম যদি:

1. এর দুটি বিপরীত বাহু সমান এবং সমান্তরাল।

2. বিপরীত বাহু জোড়ায় সমান।

3. বিপরীত কোণ জোড়ায় সমান।

4. কর্ণগুলি ছেদ বিন্দু দ্বারা অর্ধেক ভাগ করা হয়।

একটি ট্র্যাপিজয়েডের বৈশিষ্ট্য

· তার মধ্যরেখাবেসের সমান্তরাল এবং তাদের অর্ধ-সমষ্টির সমান;

· যদি ট্র্যাপিজয়েডটি সমদ্বিবাহু হয়, তবে এর কর্ণগুলি সমান এবং গোড়ার কোণগুলি সমান;

· যদি ট্র্যাপিজয়েড সমদ্বিবাহু হয়, তাহলে এর চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণনা করা যেতে পারে;

· যদি ভিত্তিগুলির যোগফল বাহুর যোগফলের সমান হয়, তবে এটিতে একটি বৃত্ত খোদাই করা যেতে পারে।

আয়তক্ষেত্র বৈশিষ্ট্য

কর্ণগুলি সমান।

একটি সমান্তরালগ্রাম একটি আয়তক্ষেত্র যদি:

1. এর একটি কোণ সোজা।

2. এর কর্ণগুলি সমান।

একটি রম্বসের বৈশিষ্ট্য

· একটি সমান্তরালগ্রামের সমস্ত বৈশিষ্ট্য;

তির্যক লম্ব;

কর্ণগুলি এর কোণের দ্বিখণ্ডক।

1. একটি সমান্তরালগ্রাম একটি রম্বস যদি:

2. এর দুটি সন্নিহিত বাহু সমান।

3. এর কর্ণগুলি লম্ব।

4. কর্ণগুলির মধ্যে একটি হল এর কোণের দ্বিখণ্ডক।

একটি বর্গক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য

· বর্গক্ষেত্রের সমস্ত কোণ সঠিক;

· একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলি সমান, পারস্পরিকভাবে লম্ব, ছেদ বিন্দুটি বর্গক্ষেত্রের কোণগুলিকে দ্বিখণ্ডিত করে এবং দ্বিখণ্ডিত করে।

একটি আয়তক্ষেত্র হল একটি বর্গক্ষেত্র যদি এতে একটি রম্বসের কোনো বৈশিষ্ট্য থাকে।

মৌলিক সূত্র

1. যেকোনো উত্তল চতুর্ভুজ
d 1,d 2 -তির্যক; - তাদের মধ্যে কোণ; এস-বর্গক্ষেত্র

একটি ত্রিভুজের মধ্যক, উচ্চতার মতোই, একটি গ্রাফিক প্যারামিটার হিসাবে কাজ করে যা সম্পূর্ণ ত্রিভুজ, এর বাহু এবং কোণের মান নির্ধারণ করে। তিনটি মান: মধ্যমা, উচ্চতা এবং দ্বিখণ্ডক - এটি একটি পণ্যের বারকোডের মতো, আমাদের কাজটি কেবল এটি গণনা করতে সক্ষম হওয়া।

সংজ্ঞা

মধ্যমা হল লাইন সেগমেন্ট যা উচ্চতা এবং বিপরীত দিকের মাঝখানে সংযোগ করে। একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে, যার মানে তিনটি মধ্যক রয়েছে। মিডিয়ান সবসময় উচ্চতা বা দ্বিখন্ডের সাথে মিলে যায় না। প্রায়শই এগুলি পৃথক সেগমেন্ট।

মিডিয়ানের বৈশিষ্ট্য

• বেসের দিকে টানা একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মধ্যক উচ্চতা এবং দ্বিখন্ডের সাথে মিলে যায়। IN সমবাহু ত্রিভুজসমস্ত মিডিয়ান দ্বিখন্ডক এবং উচ্চতার সাথে মিলে যায়।
• একটি ত্রিভুজের সমস্ত মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে।
• একটি মধ্যক একটি ত্রিভুজকে দুটি সমান-ক্ষেত্রফল ত্রিভুজে ভাগ করে এবং তিনটি মধ্যক একটি ত্রিভুজকে 6টি সমান-ক্ষেত্রফল ত্রিভুজে ভাগ করে।

যে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান তাদের সমান-ক্ষেত্রফল বলে।

ভাত। 1. তিনটি মধ্যক 6টি সমান ত্রিভুজ গঠন করে।

• মধ্যকার ছেদ বিন্দু তাদের 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে, শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে।
• সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যক অর্ধেক কর্ণের সমান।

কাজ

এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য মনে রাখা সহজ, তারা সহজেই অনুশীলনে একত্রিত হয়। বিষয়টি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আসুন কয়েকটি সমস্যা সমাধান করি:

• একটি সমকোণী ত্রিভুজে পরিচিত পা আছে যা a=3 এবং b=4 এর সমান। কর্ণ গ-তে আঁকা মধ্যমা m এর মান নির্ণয় করুন।

ভাত। 2. সমস্যার জন্য অঙ্কন।

মধ্যমাটির মান খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের কর্ণটি খুঁজে বের করতে হবে, যেহেতু কর্ণের দিকে আঁকা মধ্যমাটি এর অর্ধেকের সমান। পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের মাধ্যমে হাইপোটেনাস: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

চলুন মধ্যমাটির মান খুঁজে বের করা যাক: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2.5$$ - ফলের সংখ্যাটি মধ্যমাটির মান।

একটি ত্রিভুজের মধ্যমা সমান নয়। অতএব, ঠিক কি মান খুঁজে পাওয়া দরকার তা কল্পনা করা অপরিহার্য।

• একটি ত্রিভুজের বাহুর মান জানা যায়: a=7; b=8; c=9। পাশের দিকে নিচু করা মধ্যকের মান নির্ণয় করুন b.

ভাত। 3. সমস্যার জন্য অঙ্কন।

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আপনাকে একটি ত্রিভুজের বাহু বরাবর মধ্যক খুঁজে বের করতে তিনটি সূত্রের মধ্যে একটি ব্যবহার করতে হবে:

$$m^2 =(1\over2)*(a^2+c^2-b^2)$$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এখানে প্রধান জিনিসটি হল বন্ধনীগুলির সহগ এবং পাশের চিহ্নগুলি মনে রাখা। লক্ষণগুলি মনে রাখা সবচেয়ে সহজ - যে দিকে মধ্যমাটি কমানো হয় তা সর্বদা বিয়োগ করা হয়। আমাদের ক্ষেত্রে এটি b, কিন্তু এটি অন্য কোনো হতে পারে।

চলুন মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং মধ্যম মান খুঁজে বের করি: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - এর ফলাফলটিকে রুট হিসাবে ছেড়ে দেওয়া যাক।

• IN সমদ্বিবাহু ত্রিভুজবেসের দিকে টানা মধ্যমাটি হল 8, এবং ভিত্তিটি নিজেই 6। বাকি দুটির সাথে একসাথে, এই মধ্যকটি ত্রিভুজটিকে 6টি ত্রিভুজে ভাগ করে। তাদের প্রত্যেকের এলাকা খুঁজুন।

মধ্যমা একটি ত্রিভুজকে ছয়টি সমান এলাকায় ভাগ করে। এর অর্থ হল ছোট ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলি একে অপরের সমান হবে। বৃহত্তরটির ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করা এবং এটিকে 6 দ্বারা ভাগ করা যথেষ্ট।

ভিত্তির দিকে টানা একটি মধ্যক দেওয়া, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে এটি দ্বিখণ্ডক এবং উচ্চতা। এর মানে হল একটি ত্রিভুজের ভিত্তি এবং উচ্চতা জানা যায়। আপনি এলাকা খুঁজে পেতে পারেন.

$$S=(1\over2)*6*8=24$$

প্রতিটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: $$(24\over6)=4$$

আমরা কি শিখেছি?

আমরা একটি মধ্যমা কি শিখেছি. আমরা মধ্যমাটির বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করেছি এবং একটি সমাধান খুঁজে পেয়েছি সাধারণ কাজ. আমরা মৌলিক ত্রুটিগুলি সম্পর্কে কথা বলেছি এবং একটি ত্রিভুজের বাহুর মাধ্যমে মধ্যক খুঁজে পাওয়ার সূত্রটি কীভাবে দ্রুত এবং সহজে মনে রাখতে হয় তা বের করেছি।

বিষয়ে পরীক্ষা

নিবন্ধ রেটিং

গড় রেটিং: 4.7। মোট প্রাপ্ত রেটিং: 84.

একটি ত্রিভুজের মধ্যক- এটি একটি সেগমেন্ট যা একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে এই ত্রিভুজের বিপরীত বাহুর মাঝখানের সাথে সংযুক্ত করে।

ত্রিভুজ মিডিয়ানের বৈশিষ্ট্য

আমার গোপন

2. ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে, যা তাদের প্রতিটিকে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে, শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে। এই বিন্দুটিকে ত্রিভুজের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র (কেন্দ্রীয়) বলা হয়।

ত্রিভুজ

পাশে টানা মধ্যমাটির দৈর্ঘ্য: (একটি সমান্তরালগ্রাম পর্যন্ত তৈরি করে এবং বাহুর বর্গের সমষ্টির দ্বিগুণ এবং কর্ণের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমতা ব্যবহার করে প্রমাণ )

T1.একটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যক M এক বিন্দুতে ছেদ করে, যা তাদের প্রতিটিকে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে। দেওয়া হয়েছে: ∆ এবিসি,এসএস 1, এএ 1, বিবি 1 - মধ্যমা
∆এবিসি. প্রমাণ করুন: এবং

D-vo: ধরুন M হল ত্রিভুজ ABC-এর মধ্যকার CC 1, AA 1 এর ছেদ বিন্দু। আসুন A 2 চিহ্নিত করি - সেগমেন্টের মাঝখানে AM এবং C 2 - সেগমেন্টের মাঝখানে CM। তারপর A 2 C 2 হল ত্রিভুজের মাঝের রেখা এএমএসমানে, ক 2 গ 2|| এসি

এবং A 2 C 2 = 0.5*AC। সঙ্গে 1 ক 1 - ABC ত্রিভুজের মাঝের রেখা। তাই এ 1 সঙ্গে 1 || এসি এবং এ 1 সঙ্গে 1 = 0.5*AC।

চতুর্ভুজ A 2 C 1 A 1 C 2- একটি সমান্তরাল, যেহেতু এর বিপরীত বাহুগুলি হল A 1 সঙ্গে 1 এবং ক 2 গ 2সমান এবং সমান্তরাল। তাই, ক 2 এম =এম.এ 1 এবং গ 2 এম =এমসি 1 . এর মানে হল যে পয়েন্ট ক 2ক এমমধ্যকে ভাগ করুন এএ 2তিনটি সমান অংশে, যেমন AM = 2MA 2। CM = 2MC এর মতো 1 . সুতরাং, দুটি মধ্যকের ছেদ বিন্দু M এএ 2ক সিসি 2ত্রিভুজ ABC তাদের প্রতিটিকে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে। এটি সম্পূর্ণ অনুরূপভাবে প্রমাণিত হয় যে মধ্যমা AA 1 এবং BB 1 এর ছেদ বিন্দু তাদের প্রতিটিকে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে।

মাঝামাঝি AA 1 এ যেমন একটি বিন্দু হল বিন্দু M, তাই বিন্দু এমএবং AA 1 এবং BB 1 মধ্যমাগুলির ছেদ বিন্দু রয়েছে৷

এইভাবে, n

T2.প্রমাণ করুন যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাথে কেন্দ্রিককে সংযুক্ত করা অংশগুলি এটিকে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত করে। দেওয়া হয়েছে: ∆ABC, - এর মাঝামাঝি।

প্রমাণ করুন: এস এএমবি =এস বিএমসি =এস এএমসি।প্রমাণ। ইন,তাদের মিল আছে। কারণ তাদের ঘাঁটি সমান এবং শীর্ষবিন্দু থেকে টানা উচ্চতা মি,তাদের মিল আছে। তারপর

একইভাবে এটি প্রমাণিত হয় S AMB = S AMC।এইভাবে, S AMB = S AMC = S CMB।n

ত্রিভুজ দ্বিখণ্ডক সম্পর্কিত উপপাদ্য। দ্বিখণ্ডন খোঁজার সূত্র

কোণ দ্বিখণ্ডক- একটি কোণের শীর্ষবিন্দুতে শুরু সহ একটি রশ্মি, কোণটিকে দুটি সমান কোণে ভাগ করে।

একটি কোণের দ্বিখণ্ডক হল কোণের অভ্যন্তরে বিন্দুগুলির অবস্থান যা কোণের বাহু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত।

বৈশিষ্ট্য

1. দ্বিখণ্ডিত উপপাদ্য: একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডক দুটি সন্নিহিত বাহুর অনুপাতের সমান অনুপাতে বিপরীত বাহুকে ভাগ করে

2. দ্বিখণ্ডক অভ্যন্তরীণ কোণগুলিত্রিভুজগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে - কেন্দ্র - এই ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্র।

3. যদি একটি ত্রিভুজের দুটি দ্বিখণ্ডক সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু (স্টেইনার-লেমাস উপপাদ্য)।

দ্বিখন্ডের দৈর্ঘ্যের গণনা

l c - পাশের c তে আঁকা দ্বিখন্ডের দৈর্ঘ্য,

a,b,c - শীর্ষবিন্দুর বিপরীত ত্রিভুজের বাহু A, B, C যথাক্রমে,

p হল ত্রিভুজের অর্ধ-ঘের,

a l , b l - সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য যেখানে দ্বিখন্ডক l c পাশ c কে ভাগ করে,

α,β,γ - এ ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণ শীর্ষবিন্দু A, B, Cযথাক্রমে,

h c হল ত্রিভুজের উচ্চতা, c এর দিকে নামানো।

এলাকা পদ্ধতি।

পদ্ধতির বৈশিষ্ট্য।নাম থেকে এটি মূল বস্তুটি অনুসরণ করে এই পদ্ধতিএলাকা। অনেকগুলি পরিসংখ্যানের জন্য, উদাহরণস্বরূপ একটি ত্রিভুজের জন্য, ক্ষেত্রফলটি চিত্রের উপাদানগুলির (ত্রিভুজ) বিভিন্ন সংমিশ্রণের মাধ্যমে বেশ সহজভাবে প্রকাশ করা হয়। অতএব, একটি খুব কার্যকর কৌশল হল যখন একটি প্রদত্ত চিত্রের ক্ষেত্রের জন্য বিভিন্ন অভিব্যক্তি তুলনা করা হয়। এই ক্ষেত্রে, চিত্রের পরিচিত এবং পছন্দসই উপাদানগুলি নিয়ে একটি সমীকরণ তৈরি হয়, যার সমাধান করে আমরা অজানা নির্ধারণ করি। এখানেই এলাকা পদ্ধতির প্রধান বৈশিষ্ট্যটি নিজেকে প্রকাশ করে - এটি একটি জ্যামিতিক সমস্যা থেকে একটি বীজগণিত সমস্যাকে "তৈরি করে", একটি সমীকরণ (এবং কখনও কখনও সমীকরণের একটি সিস্টেম) সমাধান করার জন্য সবকিছুকে হ্রাস করে।

1) তুলনা পদ্ধতি: একই পরিসংখ্যানের প্রচুর সংখ্যক সূত্র S এর সাথে যুক্ত

2) S সম্পর্ক পদ্ধতি: ট্রেস সমর্থন সমস্যার উপর ভিত্তি করে:

Ceva এর উপপাদ্য

ত্রিভুজের BC, CA, AB রেখার উপর বিন্দু A", B", C" অবস্থান করুন। রেখা AA", BB, CC" একটি বিন্দুতে ছেদ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি

প্রমাণ।

রেখাংশ এবং ছেদ বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করা যাক। আসুন আমরা C এবং A বিন্দু থেকে লম্বকে BB 1 রেখায় নামিয়ে রাখি যতক্ষণ না তারা এটিকে যথাক্রমে K এবং L বিন্দুতে ছেদ করে (চিত্র দেখুন)।

যেহেতু ত্রিভুজগুলির একটি সাধারণ দিক রয়েছে, তাই তাদের ক্ষেত্রগুলি এই দিকের উচ্চতা হিসাবে সম্পর্কিত, যেমন AL এবং CK:

শেষ সমতা সত্য, যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজ এবং তীব্র কোণে একই রকম।

একইভাবে আমরা পেতে ক

আসুন এই তিনটি সমতাকে গুণ করি:

Q.E.D.

মন্তব্য করুন। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত দিকে থাকা একটি বিন্দুর সাথে বা তার ধারাবাহিকতাকে সংযুক্ত করে একটি সেগমেন্ট (বা একটি অংশের ধারাবাহিকতা) বলা হয় সিভিয়ানা।

উপপাদ্য ( কথোপকথন উপপাদ্যচেভি). বিন্দু A", B", C" ত্রিভুজ ABC-এর যথাক্রমে BC, CA এবং AB পাশে থাকে। সম্পর্কটি সন্তুষ্ট হোক

তারপর AA",BB,CC" অংশগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

মেনেলাউসের উপপাদ্য

মেনেলাউসের উপপাদ্য। একটি রেখা ত্রিভুজ ABC কে ছেদ করে, C 1 এর সাথে এর ছেদকের বিন্দুটি AB এর সাথে, A 1 এর ছেদকের বিন্দুটি BC এর সাথে এবং B 1 তার ছেদকের বিন্দুটি পাশের AC এর প্রসারণের সাথে। তারপর

প্রমাণ . C বিন্দু দিয়ে AB এর সমান্তরাল রেখা আঁকুন। K দ্বারা চিহ্নিত করা যাক B 1 C 1 রেখার সাথে এর ছেদ বিন্দু।

AC 1 B 1 এবং CKB 1 ত্রিভুজ একই রকম (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1)। তাই,

ত্রিভুজ BC 1 A 1 এবং CKA 1ও একই রকম (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1)। মানে,

প্রতিটি সমতা থেকে আমরা CK প্রকাশ করি:

যেখানে Q.E.D.

উপপাদ্য (মেনেলাউসের বিপরীত উপপাদ্য)।ত্রিভুজ ABC দেওয়া যাক। বিন্দু C 1 পাশে AB, বিন্দু A 1 পাশে BC, এবং বিন্দু B 1 পাশের AC এর ধারাবাহিকতায়, এবং নিম্নলিখিত সম্পর্কটিকে ধরে রাখতে দিন:

তারপর বিন্দু A 1, B 1 এবং C 1 একই লাইনে রয়েছে।

ত্রিভুজ - তিনটি বাহু সহ একটি বহুভুজ, বা একটি বন্ধ ভাঙ্গা লাইনতিনটি লিঙ্ক সহ, বা একটি চিত্র তিনটি অংশ দ্বারা গঠিত তিনটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে যা একই সরল রেখায় থাকে না (চিত্র 1 দেখুন)।

ত্রিভুজ abc-এর মৌলিক উপাদান

চূড়া - পয়েন্ট A, B, এবং C;

দলগুলো – অংশগুলি a = BC, b = AC এবং c = AB শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে;

কোণ – α, β, γ তিন জোড়া বাহু দ্বারা গঠিত। কোণগুলি প্রায়শই A, B এবং C অক্ষর সহ শীর্ষবিন্দুর মতো একইভাবে মনোনীত হয়।

একটি ত্রিভুজের বাহু দ্বারা গঠিত এবং এর অভ্যন্তরীণ অংশে অবস্থিত কোণটিকে একটি অভ্যন্তরীণ কোণ বলা হয় এবং এর সংলগ্ন কোণটি ত্রিভুজের সন্নিহিত কোণ (2, p. 534)।

একটি ত্রিভুজের উচ্চতা, মধ্যক, দ্বিখণ্ডক এবং মধ্যরেখা

একটি ত্রিভুজের প্রধান উপাদানগুলি ছাড়াও, আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য সহ অন্যান্য বিভাগগুলিও বিবেচনা করা হয়: উচ্চতা, মধ্যক, দ্বিখণ্ডক এবং মধ্যরেখা।

উচ্চতা

ত্রিভুজ উচ্চতা- এগুলি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুতে নেমে যাওয়া লম্ব।

উচ্চতা প্লট করতে, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করতে হবে:

1) ত্রিভুজের একটি বাহু সম্বলিত একটি সরল রেখা আঁকুন (যদি উচ্চতা একটি স্থূলকোণ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে আঁকা হয়);

2) টানা রেখার বিপরীতে থাকা শীর্ষবিন্দু থেকে, বিন্দু থেকে এই রেখা পর্যন্ত একটি অংশ আঁকুন, এটির সাথে 90 ডিগ্রি কোণ করুন।

যে বিন্দুতে উচ্চতা ত্রিভুজের বাহুকে ছেদ করে তাকে বলে উচ্চতার ভিত্তি (চিত্র 2 দেখুন)।

ত্রিভুজ উচ্চতার বৈশিষ্ট্য

একটি সমকোণ ত্রিভুজে, সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত উচ্চতা এটিকে মূল ত্রিভুজের মতো দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

একটি তীব্র ত্রিভুজে, এর দুটি উচ্চতা এটি থেকে অনুরূপ ত্রিভুজকে কেটে দেয়।

যদি ত্রিভুজটি তীক্ষ্ণ হয়, তবে উচ্চতার সমস্ত ঘাঁটি ত্রিভুজের বাহুর অন্তর্গত এবং একটি স্থূল ত্রিভুজে, দুটি উচ্চতা বাহুগুলির ধারাবাহিকতায় পড়ে।

একটি তীব্র ত্রিভুজের তিনটি উচ্চতা একটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং এই বিন্দুকে বলা হয় অর্থকেন্দ্র ত্রিভুজ

মাঝামাঝি

মিডিয়ান(ল্যাটিন মিডিয়ানা থেকে - "মধ্য") - এগুলি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে (চিত্র 3 দেখুন)।

মধ্যমা তৈরি করতে, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করতে হবে:

1) পাশের মাঝখানে সন্ধান করুন;

2) ত্রিভুজের বাহুর মাঝখানে অবস্থিত বিন্দুটিকে একটি রেখাংশের সাথে বিপরীত শীর্ষবিন্দুর সাথে সংযুক্ত করুন।

ত্রিভুজ মিডিয়ানের বৈশিষ্ট্য

মধ্যমা একটি ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলের দুটি ত্রিভুজে ভাগ করে।

একটি ত্রিভুজের মধ্যক একটি বিন্দুতে ছেদ করে, যা তাদের প্রতিটিকে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে, শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে। এই পয়েন্ট বলা হয় মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র

সমগ্র ত্রিভুজটি তার মধ্যকার দ্বারা ছয়টি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত।

দ্বিখন্ডক

দ্বিখন্ডক(ল্যাটিন বিস থেকে - দুবার এবং সেকো - কাটা) হল একটি ত্রিভুজের ভিতরে আবদ্ধ সরলরেখার অংশগুলি যা এর কোণগুলিকে দ্বিখণ্ডিত করে (চিত্র 4 দেখুন)।

একটি দ্বিখন্ডক তৈরি করতে, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করতে হবে:

1) কোণের শীর্ষবিন্দু থেকে বেরিয়ে আসা একটি রশ্মি তৈরি করুন এবং এটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করুন (কোণের দ্বিখণ্ডক);

2) বিপরীত বাহুর সাথে ত্রিভুজের কোণের দ্বিখণ্ডকের ছেদ বিন্দুটি সন্ধান করুন;

3) বিপরীত দিকে ছেদ বিন্দুর সাথে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে সংযোগকারী একটি অংশ নির্বাচন করুন।

ত্রিভুজ দ্বিখণ্ডকের বৈশিষ্ট্য

একটি ত্রিভুজের একটি কোণের দ্বিখণ্ডক দুটি সন্নিহিত বাহুর অনুপাতের সমান অনুপাতে বিপরীত বাহুকে ভাগ করে।

একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে। এই বিন্দুটিকে খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্র বলা হয়।

অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি লম্ব।

যদি একটি ত্রিভুজের বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডকটি বিপরীত বাহুর সম্প্রসারণকে ছেদ করে, তাহলে ADBD=ACBC।

একটি ত্রিভুজের একটি অভ্যন্তরীণ এবং দুটি বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডক একটি বিন্দুতে ছেদ করে। এই বিন্দুটি এই ত্রিভুজের তিনটি বৃত্তের একটির কেন্দ্র।

একটি ত্রিভুজের দুটি অভ্যন্তরীণ এবং একটি বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডকের ভিত্তিগুলি একই সরলরেখায় থাকে যদি বহিরাগত কোণের দ্বিখণ্ডকটি ত্রিভুজের বিপরীত বাহুর সমান্তরাল না হয়।

যদি একটি ত্রিভুজের বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি বিপরীত বাহুর সমান্তরাল না হয়, তবে তাদের ভিত্তিগুলি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

গণিত, এর প্রয়োগ এবং বিষয়ে স্কুলছাত্রদের গোমেল বৈজ্ঞানিক ও ব্যবহারিক সম্মেলন তথ্য প্রযুক্তি"অনুসন্ধান"

বিষয়ের উপর বিমূর্ত:

"একটি ত্রিভুজের মধ্যকার"

ছাত্র:

9" রাষ্ট্রীয় শ্রেণী

শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

"গোমেল শহর

মাল্টিডিসিপ্লিনারি জিমনেসিয়াম নং 14"

মরজোভা এলিজাভেটা

খোদোসোভস্কায়া আলেসিয়া

বৈজ্ঞানিক সুপারভাইজার-

গণিত শিক্ষক সর্বোচ্চ বিভাগ

সাফোনোভা আল্লা ভিক্টোরোভনা

গোমেল 2009

ভূমিকা

1. একটি ত্রিভুজের মধ্যক এবং তাদের বৈশিষ্ট্য

2. জার্মান গণিতবিদ জি লিবনিজের আবিষ্কার

3. মধ্যে মধ্যকার প্রয়োগ গাণিতিক পরিসংখ্যান

4. একটি টেট্রাহেড্রনের মধ্যক

5. মধ্যক উপপাদ্যের ছয়টি প্রমাণ

উপসংহার

ব্যবহৃত উত্স এবং সাহিত্যের তালিকা

আবেদন

ভূমিকা

জ্যামিতি একটি ত্রিভুজ দিয়ে শুরু হয়। এখন দুই সহস্রাব্দ ধরে, ত্রিভুজটি জ্যামিতির প্রতীক, কিন্তু এটি একটি প্রতীক নয়। একটি ত্রিভুজ জ্যামিতির একটি পরমাণু।

ত্রিভুজটি অক্ষয় - এর নতুন বৈশিষ্ট্য ক্রমাগত আবিষ্কৃত হচ্ছে। এর সমস্ত পরিচিত বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে বলতে, আপনার ভলিউমের সাথে ভলিউমের সাথে তুলনীয় একটি ভলিউম প্রয়োজন গ্রেট এনসাইক্লোপিডিয়া. আমরা একটি ত্রিভুজের মধ্যমা এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলির পাশাপাশি মধ্যকার ব্যবহার সম্পর্কে কথা বলতে চাই।

প্রথমত, মনে রাখবেন যে একটি ত্রিভুজের মধ্যক হল একটি অংশ যা ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বিপরীত বাহুর মাঝখানের সাথে সংযুক্ত করে। মিডিয়ানের অনেক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। কিন্তু আমরা একটি সম্পত্তি এবং এর 6টি ভিন্ন প্রমাণ দেখব। তিনটি মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে সেন্ট্রোয়েড (ভরের কেন্দ্র) বলা হয় এবং 2:1 অনুপাতে বিভক্ত।

শুধুমাত্র একটি ত্রিভুজ নয়, একটি টেট্রাহেড্রনের মধ্যমাও রয়েছে। টেট্রাহেড্রনের শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত মুখের সেন্ট্রোয়েড (মিডিয়ানগুলির ছেদ বিন্দু) এর সাথে সংযোগকারী অংশটিকে টেট্রাহেড্রনের মধ্যক বলা হয়। আমরা একটি টেট্রাহেড্রনের মধ্যকার সম্পত্তিও বিবেচনা করব।

গাণিতিক পরিসংখ্যানে মিডিয়ান ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার গড় মান বের করা।

1. একটি ত্রিভুজের মধ্যক এবং তাদের বৈশিষ্ট্য

আপনি জানেন যে, একটি ত্রিভুজের মধ্যক হল সেগমেন্ট যা এর শীর্ষবিন্দুকে তাদের মধ্যবিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে। বিপরীত পক্ষ. তিনটি মধ্যক একটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং এটিকে 1:2 অনুপাতে ভাগ করে।

মধ্যকার ছেদ বিন্দুটিও ত্রিভুজের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র। আপনি যদি একটি কার্ডবোর্ড ত্রিভুজকে এর মধ্যকার ছেদ বিন্দুতে ঝুলিয়ে রাখেন তবে এটি ভারসাম্যের অবস্থায় থাকবে

এটা কৌতূহলজনক যে সমস্ত ছয়টি ত্রিভুজ যেখানে প্রতিটি ত্রিভুজ তার মধ্যম দ্বারা বিভক্ত হয় একই ক্ষেত্র রয়েছে।

একটি ত্রিভুজের মধ্যকার বাহুর মধ্য দিয়ে প্রকাশ করা হয় নিম্নরূপ:

, , .

যদি দুটি মধ্যক লম্ব হয়, তাহলে যে বাহুর উপর তাদের বাদ দেওয়া হয়েছে তার বর্গের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর বর্গক্ষেত্রের 5 গুণ।

আসুন একটি ত্রিভুজ নির্মাণ করি যার বাহুগুলি প্রদত্ত ত্রিভুজের মধ্যকার সমান, তাহলে নির্মিত ত্রিভুজের মধ্যকগুলি মূল ত্রিভুজের বাহুর 3/4 সমান হবে।

আসুন এই ত্রিভুজটিকে প্রথম বলি, এর মধ্যক থেকে ত্রিভুজ - দ্বিতীয়টি, দ্বিতীয়টির মধ্যক থেকে ত্রিভুজ - তৃতীয় ইত্যাদি। তারপর বিজোড় সংখ্যার ত্রিভুজগুলি (1,3, 5, 7,...) একই রকম একে অপরের সাথে এবং জোড় সংখ্যা (2, 4, 6, 8,...) সহ ত্রিভুজগুলিও একে অপরের অনুরূপ।

একটি ত্রিভুজের সমস্ত মধ্যকার দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টি তার বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টির সমান।

2. জার্মান গণিতবিদ জি লিবনিজের আবিষ্কার

বিখ্যাত জার্মান গণিতবিদ জি লিবনিজ একটি উল্লেখযোগ্য তথ্য আবিষ্কার করেছেন: সমতলের একটি নির্বিচারী বিন্দু থেকে এই সমতলে থাকা একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত বর্গক্ষেত্র দূরত্বের যোগফল মধ্যকার ছেদ বিন্দু থেকে তার শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত বর্গ দূরত্বের যোগফলের সমান, যোগ করা হয়েছে মধ্যকার ছেদ বিন্দু থেকে নির্বাচিত বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের বর্গকে তিনগুণ করতে।

এই উপপাদ্য থেকে এটি অনুসৃত হয় যে সমতলে যে বিন্দুটির জন্য একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বর্গক্ষেত্র দূরত্বের যোগফল ন্যূনতম তা হল এই ত্রিভুজের মধ্যকার ছেদ বিন্দু।

একই সময়ে, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির দূরত্বের সর্বনিম্ন যোগফল (এবং তাদের বর্গক্ষেত্র নয়) সেই বিন্দুর জন্য হবে যেখান থেকে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু 120° কোণে দৃশ্যমান হয়, যদি কোনটি কোণ না হয় ত্রিভুজটি 120° (ফার্মাট পয়েন্ট) এর চেয়ে বেশি এবং শীর্ষবিন্দু স্থূলকোণটির জন্য যদি এটি 120° এর বেশি হয়।

লাইবনিজের উপপাদ্য এবং পূর্ববর্তী বিবৃতি থেকে দূরত্ব খুঁজে পাওয়া সহজ dমধ্যকার ছেদ বিন্দু থেকে পরিধিকৃত বৃত্তের কেন্দ্র পর্যন্ত। প্রকৃতপক্ষে, লিবনিজের উপপাদ্য অনুসারে, এই দূরত্বটি পরিধিকৃত বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের বর্গের সমষ্টির পার্থক্যের এক তৃতীয়াংশের বর্গমূলের সমান।

মধ্যকার ছেদ বিন্দু থেকে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের বর্গক্ষেত্র। আমরা যে পেতে

.

ডট এম ABC ত্রিভুজের মধ্যকার ছেদ ত্রিভুজের একমাত্র বিন্দু যার জন্য ভেক্টরের যোগফল এমএ,এম.বি.এবং এমএসশূন্যের সমান। পয়েন্ট স্থানাঙ্ক এম(স্বেচ্ছাচারী অক্ষের সাথে সম্পর্কিত) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির পাটিগণিত গড়ের সমান। এই বিবৃতি থেকে আমরা মধ্যমা উপপাদ্যের প্রমাণ পেতে পারি।

3. গাণিতিক পরিসংখ্যানে মিডিয়ানের প্রয়োগ

মিডিয়ানগুলি কেবল জ্যামিতিতেই নয়, গাণিতিক পরিসংখ্যানেও বিদ্যমান। ধরুন আমাদের একটি নির্দিষ্ট সেটের সংখ্যার গড় মান বের করতে হবে

, , ..., একটি পি.আপনি, অবশ্যই, গড় হিসাবে গাণিতিক গড় নিতে পারেন

কিন্তু কখনও কখনও এটা অসুবিধাজনক. আসুন বলি যে আমাদের মস্কোতে দ্বিতীয়-গ্রেডারের গড় উচ্চতা নির্ধারণ করতে হবে। এলোমেলোভাবে 100 জন স্কুলছাত্রের সাক্ষাৎকার নেওয়া যাক এবং তাদের উচ্চতা রেকর্ড করুন। যদি ছেলেদের একজন মজা করে বলে যে তার উচ্চতা এক কিলোমিটার, তাহলে লিখিত সংখ্যাগুলির গাণিতিক গড় খুব বড় হবে। গড় হিসেবে নেওয়া অনেক ভালো মধ্যমাসংখ্যা

, ..., একটি পি.

ধরা যাক একটি বিজোড় সংখ্যক সংখ্যা আছে এবং সেগুলিকে অ-হ্রাস ক্রমে সাজাই। মাঝের স্থানে থাকা সংখ্যাটিকে সেটের মধ্যক বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 সংখ্যার সেটের মধ্যমা হল 2 (এবং পাটিগণিতের গড় অনেক বড় - এটি 6)।

4. একটি টেট্রাহেড্রনের মধ্যক

দেখা যাচ্ছে যে আমরা কেবল একটি ত্রিভুজের জন্য নয়, একটি টেট্রাহেড্রনের জন্যও মধ্যমা সম্পর্কে কথা বলতে পারি। টেট্রাহেড্রনের শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত মুখের সেন্ট্রোয়েড (মিডিয়ানগুলির ছেদ বিন্দু) এর সাথে সংযোগকারী অংশটিকে বলা হয় মধ্যমাটেট্রাহেড্রন একটি ত্রিভুজের মধ্যকার মতো, একটি টেট্রাহেড্রনের মধ্যক একটি বিন্দুতে ছেদ করে, টেট্রাহেড্রনের ভরের কেন্দ্র বা কেন্দ্রিক, কিন্তু এই বিন্দুতে তারা যে অনুপাতে বিভক্ত হয় তা ভিন্ন - 3:1, শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করা হয়। একই বিন্দু টেট্রাহেড্রনের বিপরীত প্রান্তগুলির মধ্যবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে, এর বাইমেডিয়ানগুলিকে সংযুক্ত করে এবং তাদের অর্ধেক ভাগ করে। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, টেট্রাহেড্রনের চারটি শীর্ষবিন্দুর প্রতিটিতে একক ভরের ওজন স্থাপন করে যান্ত্রিক বিবেচনা থেকে।

5. মধ্যক উপপাদ্যের ছয়টি প্রমাণ

এটি দীর্ঘদিন ধরে লক্ষ করা গেছে যে বিভিন্ন সমস্যার একই সমাধানের চেয়ে একটি সমস্যার বিভিন্ন সমাধানের সাথে পরিচিত হওয়া আরও কার্যকর। একটি উপপাদ্য, যা প্রাথমিক জ্যামিতির অন্যান্য অনেক ধ্রুপদী উপপাদ্যের মতো, বেশ কিছু শিক্ষামূলক প্রমাণ স্বীকার করে,

একটি ত্রিভুজের মধ্যকার উপর উপপাদ্য। একটি ত্রিভুজের মধ্যক, B এবং Cএবিসিকোন একটি বিন্দু M এ ছেদ করে, এবং তাদের প্রত্যেকটি সম্পর্কের এই বিন্দু দ্বারা বিভক্ত 2:1, উপরে থেকে গণনা করা হচ্ছে:এ.এম.: এম= বি.এম.: এম= সি.এম.: এম=2. (1)

নীচে প্রদত্ত সমস্ত প্রমাণে, ষষ্ঠটি ব্যতীত, আমরা কেবল এটিই প্রতিষ্ঠা করি মাঝারি B বিন্দু M এর মধ্য দিয়ে যায়, যা মধ্যক A কে অনুপাতে ভাগ করে 2:1 যদি সংশ্লিষ্ট যুক্তিতে আমরা সেগমেন্টটি প্রতিস্থাপন করি INএকটি বিভাগের জন্য সঙ্গে,তারপর আমরা এটা পেতে সঙ্গেমাধ্যমে পাস এম.এটি প্রমাণ করবে যে তিনটি মধ্যক কোনো এক সময়ে ছেদ করে মি,এবং AM:M - 2যেহেতু সমস্ত মিডিয়ান সমান, আমরা প্রতিস্থাপন করতে পারি কঅন INবা এসএস ঘতাই (1) অনুসরণ করে।