আসুন অক্স অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড বিবেচনা করা যাক, বক্ররেখা y=f(x) এবং দুটি সরল রেখা: x=a এবং x=b (চিত্র 85)। আসুন x এর একটি নির্বিচারে মান নিই (শুধু a এবং b নয়)। এর একটি বৃদ্ধি দেওয়া যাক h = dx এবং বিবেচনাধীন বক্ররেখা AB এবং CD, অক্স অক্ষ এবং চাপ বিডি দ্বারা আবদ্ধ একটি স্ট্রিপ বিবেচনা করুন। আমরা এই স্ট্রিপটিকে একটি প্রাথমিক স্ট্রিপ বলব। একটি প্রাথমিক স্ট্রিপের ক্ষেত্রফল বক্ররেখার ত্রিভুজ BQD দ্বারা আয়তক্ষেত্র ACQB এর ক্ষেত্রফল থেকে পৃথক, এবং পরবর্তীটির ক্ষেত্রফল BQ = =h= বাহু বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র BQDM এর ক্ষেত্রফলের চেয়ে কম। dx) QD=Ay এবং ক্ষেত্রফল hAy = Ay dx এর সমান। পাশের h কমে যাওয়ার সাথে সাথে পাশের Duও কমে যায় এবং একই সাথে h এর সাথে শূন্যের দিকে যায়। অতএব, বিকিউডিএম-এর ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়-ক্রম অসীম। একটি প্রাথমিক স্ট্রিপের ক্ষেত্রফল হল ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি এবং আয়তক্ষেত্র ACQB এর ক্ষেত্রফল, AB-AC ==/(x) dx> এর সমান হল ক্ষেত্রফলের পার্থক্য। ফলস্বরূপ, আমরা এর ডিফারেনশিয়ালকে একীভূত করে ক্ষেত্রটিকে নিজেই খুঁজে পাই। বিবেচনাধীন চিত্রের মধ্যে, স্বাধীন চলক l: a থেকে b তে পরিবর্তিত হয়, তাই প্রয়োজনীয় এলাকা 5 হবে 5= \f(x) dx এর সমান। (I) উদাহরণ 1. চলুন প্যারাবোলা y - 1 -x*, সরলরেখা X =--Fj-, x = 1 এবং O* অক্ষ (চিত্র 86) দ্বারা আবদ্ধ এলাকা গণনা করি। ডুমুর এ 87. ডুমুর। 86. 1 এখানে f(x) = 1 - l?, একীকরণের সীমা হল a = - এবং £ = 1, অতএব J [*-t]\- -fl - Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* উদাহরণ 2. আসুন সাইনুসয়েড y = sinXy, অক্স অক্ষ এবং সরলরেখা (চিত্র 87) দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল গণনা করি। সূত্র (I) প্রয়োগ করে, আমরা A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf উদাহরণ 3 পাই। সাইনুসয়েডের চাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ এলাকা গণনা করুন ^у = sin jc, আবদ্ধ অক্স অক্ষের সাথে দুটি সংলগ্ন ছেদ বিন্দুর মধ্যে (উদাহরণস্বরূপ, মূল এবং অ্যাবসিসা i সহ বিন্দুর মধ্যে)। উল্লেখ্য যে জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে এটি স্পষ্ট যে এই এলাকাটি দ্বিগুণ হবে আরো এলাকাআগের উদাহরণ। যাইহোক, আসুন গণনা করি: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2। o প্রকৃতপক্ষে, আমাদের অনুমান সঠিক বলে প্রমাণিত হয়েছে। উদাহরণ 4. সাইনুসয়েড এবং অক্স অক্ষের দ্বারা আবদ্ধ এলাকাটি এক সময়কালে গণনা করুন (চিত্র 88)। প্রাথমিক গণনা থেকে বোঝা যায় যে ক্ষেত্রফলটি উদাহরণ 2 এর চেয়ে চারগুণ বড় হবে। যাইহোক, গণনা করার পরে, আমরা "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. এই ফলাফলের জন্য স্পষ্টতা প্রয়োজন। বিষয়টির সারমর্মকে স্পষ্ট করার জন্য, আমরা একই সাইনুসয়েড y = sin l: এবং l থেকে 2i রেঞ্জের মধ্যে Ox অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ এলাকাটিও গণনা করি। সূত্র (I) প্রয়োগ করে, আমরা 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 পাই। এইভাবে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এই এলাকাটি নেতিবাচক হয়ে উঠেছে। অনুশীলন 3 এ গণনা করা এলাকার সাথে তুলনা করে, আমরা দেখতে পাই যে তাদের পরম মান একই, তবে লক্ষণগুলি ভিন্ন। যদি আমরা সম্পত্তি V প্রয়োগ করি (অধ্যায় XI, § 4 দেখুন), আমরা 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 এই উদাহরণে যা ঘটেছে তা দুর্ঘটনা নয়। সর্বদা অক্স অক্ষের নীচে অবস্থিত ক্ষেত্রটি, যদি পূর্ণাঙ্গ ব্যবহার করে গণনা করা হয় তখন বাম থেকে ডানে স্বাধীন পরিবর্তনশীল পরিবর্তন হয়। এই কোর্সে আমরা সবসময় চিহ্ন ছাড়া এলাকা বিবেচনা করব। অতএব, উদাহরণের উত্তরটি শুধু আলোচিত হবে: প্রয়োজনীয় এলাকা হল 2 + ​​|-2| = 4. উদাহরণ 5. চলুন চিত্রে দেখানো BAB এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যাক। 89. এই ক্ষেত্রটি অক্স অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ, প্যারাবোলা y = - xr এবং সরলরেখা y - = -x+\। একটি বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল প্রয়োজনীয় এলাকা OAB দুটি অংশ নিয়ে গঠিত: OAM এবং MAV। যেহেতু বিন্দু A হল একটি প্যারাবোলা এবং একটি সরল রেখার ছেদ বিন্দু, তাই আমরা 3 2 Y = mx সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করে এর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাব। (আমাদের শুধুমাত্র বিন্দু A এর abscissa খুঁজে বের করতে হবে)। সিস্টেম সমাধান, আমরা l খুঁজে; = ~। অতএব, ক্ষেত্রফল অংশে গণনা করতে হবে, প্রথম বর্গক্ষেত্র। OAM এবং তারপর pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2। QAM-^x। অর্থাৎ, মাশরুমের কাটার মতো লাইনগুলিকে বিবেচনায় নেওয়া হয় না, যার কান্ডটি এই বিভাগে ভালভাবে ফিট করে এবং ক্যাপটি আরও প্রশস্ত।

পাশের অংশগুলি বিন্দুতে পরিণত হতে পারে . আপনি যদি অঙ্কনে এই জাতীয় চিত্র দেখতে পান তবে এটি আপনাকে বিভ্রান্ত করবে না, কারণ এই বিন্দুটির সর্বদা "x" অক্ষের মান থাকে। এর মানে হল যে সবকিছু একীকরণের সীমার সাথে ক্রমানুসারে রয়েছে।

এখন আপনি সূত্র এবং গণনার দিকে যেতে পারেন। তাই এলাকা sবাঁকা ট্র্যাপিজয়েড সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে

যদি চ(x) ≤ 0 (ফাংশনের গ্রাফটি অক্ষের নীচে অবস্থিত বলদ), যে একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েডের এলাকাসূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে

এছাড়াও ক্ষেত্রে আছে যখন উভয় উপরের এবং নিম্ন সীমাপরিসংখ্যান যথাক্রমে ফাংশন y = চ(x) এবং y = φ (x) , তারপর এই ধরনের একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়

. (3)

একসাথে সমস্যার সমাধান

চলুন শুরু করা যাক এমন ক্ষেত্রে যেখানে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল সূত্র (1) ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।

উদাহরণ 1.বলদ) এবং সোজা x = 1 , x = 3 .

সমাধান। কারণ y = 1/x> সেগমেন্টে 0, তারপর সূত্র (1) ব্যবহার করে বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়:

.

উদাহরণ 2।ফাংশন, লাইনের গ্রাফ দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন x= 1 এবং x-অক্ষ ( বলদ ).

সমাধান। সূত্র প্রয়োগের ফলাফল (1):

তাহলে s= 1/2; তাহলে s= 1/3, ইত্যাদি।

উদাহরণ 3.ফাংশনের গ্রাফ, অ্যাবসিসা অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন ( বলদ) এবং সোজা x = 4 .

সমাধান। সমস্যার অবস্থার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ চিত্রটি একটি বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েড যেখানে বাম অংশটি একটি বিন্দুতে পরিণত হয়েছে। ইন্টিগ্রেশনের সীমা হল 0 এবং 4। যেহেতু, সূত্র (1) ব্যবহার করে আমরা বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাই:

.

উদাহরণ 4.চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজুন, লাইন দ্বারা সীমাবদ্ধ, এবং 1ম ত্রৈমাসিকে অবস্থিত।

সমাধান। সূত্র (1) ব্যবহার করতে, আসুন উদাহরণের শর্ত দ্বারা প্রদত্ত চিত্রের ক্ষেত্রফলকে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি হিসাবে কল্পনা করি। ওএবিএবং বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড এবিসি. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার সময় ওএবিইন্টিগ্রেশনের সীমা হল বিন্দুর অ্যাবসিসাস ওএবং ক, এবং চিত্রের জন্য এবিসি- বিন্দু বিন্দু কএবং গ (কলাইনের ছেদ বিন্দু O.A.এবং প্যারাবোলাস, এবং গ- অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দু বলদ) একটি সরলরেখা এবং একটি প্যারাবোলার সমীকরণ যৌথভাবে (একটি সিস্টেম হিসাবে) সমাধান করে, আমরা পাই (বিন্দুর অবসিসা) ক) এবং (রেখা এবং প্যারাবোলার ছেদ করার আরেকটি বিন্দুর অবসিসা, যার সমাধানের জন্য প্রয়োজন নেই)। একইভাবে আমরা পাই , (বিন্দুর অবসাস গএবং ডি) এখন আমাদের কাছে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য প্রয়োজনীয় সবকিছু রয়েছে। আমরা খুঁজে পাই:

উদাহরণ 5।একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল খুঁজুন এসিডিবি, যদি বক্ররেখার সমীকরণ হয় সিডিএবং abscissas কএবং খযথাক্রমে 1 এবং 2।

সমাধান। আসুন খেলার মাধ্যমে বক্ররেখার এই সমীকরণটি প্রকাশ করি: বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলটি সূত্র (1) ব্যবহার করে পাওয়া যায়:

.

চলুন সেই ক্ষেত্রে চলুন যেখানে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল সূত্র (2) ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।

উদাহরণ 6.প্যারাবোলা এবং x-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ চিত্রটির ক্ষেত্রফল খুঁজুন ( বলদ ).

সমাধান। এই চিত্রটি x-অক্ষের নীচে অবস্থিত। অতএব, এর ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আমরা সূত্র (2) ব্যবহার করব। একীকরণের সীমাগুলি হল অ্যাবসিসা এবং অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলি বলদ. তাই,

উদাহরণ 7।অ্যাবসিসা অক্ষের মধ্যে আবদ্ধ এলাকাটি খুঁজুন ( বলদ) এবং দুটি সংলগ্ন সাইন তরঙ্গ।

সমাধান। সূত্র (2) ব্যবহার করে এই চিত্রের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে:

.

আসুন প্রতিটি শব্দ আলাদাভাবে খুঁজে বের করা যাক:

.

.

অবশেষে আমরা এলাকা খুঁজে পাই:

.

উদাহরণ 8।প্যারাবোলা এবং বক্ররেখার মধ্যে আবদ্ধ চিত্রটির ক্ষেত্রফল খুঁজুন।

সমাধান। গেমের মাধ্যমে লাইনের সমীকরণগুলো প্রকাশ করা যাক:

সূত্র (2) অনুযায়ী ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়

,

যেখানে কএবং খ- বিন্দু বিন্দু কএবং খ. আসুন একসাথে সমীকরণগুলি সমাধান করে তাদের সন্ধান করি:

অবশেষে আমরা এলাকা খুঁজে পাই:

এবং অবশেষে, যখন একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল সূত্র (3) ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।

উদাহরণ 9।প্যারাবোলাগুলির মধ্যে আবদ্ধ চিত্রটির ক্ষেত্রফল খুঁজুন এবং

পার্সিং উপর পূর্ববর্তী বিভাগে জ্যামিতিক অর্থ নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, আমরা একটি বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য অনেকগুলি সূত্র পেয়েছি:

S (G) = ∫ a b f (x) d x একটি ক্রমাগত এবং নন-নেগেটিভ ফাংশনের জন্য y = f (x) ব্যবধানে [ a ; খ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x একটি ক্রমাগত এবং অ-ধনাত্মক ফাংশনের জন্য y = f (x) ব্যবধানে [ a ; খ]

এই সূত্রগুলো তুলনামূলকভাবে সহজ সমস্যা সমাধানের জন্য প্রযোজ্য। বাস্তবে, আমাদের প্রায়শই আরও জটিল পরিসংখ্যান নিয়ে কাজ করতে হবে। এই বিষয়ে, আমরা এই বিভাগটিকে অ্যালগরিদমগুলির বিশ্লেষণে নিবেদিত করব পরিসংখ্যানগুলির ক্ষেত্র গণনা করার জন্য যা স্পষ্ট আকারে ফাংশন দ্বারা সীমাবদ্ধ, যেমন যেমন y = f(x) বা x = g(y)।

উপপাদ্য

ফাংশন y = f 1 (x) এবং y = f 2 (x) ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন করা যাক [ a ; b ] , এবং f 1 (x) ≤ f 2 (x) যেকোনো মানের জন্য x থেকে [ a ; খ] তারপর x = a, x = b, y = f 1 (x) এবং y = f 2 (x) রেখা দ্বারা আবদ্ধ G চিত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি S (G) = ∫ এর মতো দেখাবে। a b f 2 (x) - f 1 (x) d x।

একটি অনুরূপ সূত্র y = c, y = d, x = g 1 (y) এবং x = g 2 (y) দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের জন্য প্রযোজ্য হবে: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y।

প্রমাণ

আসুন তিনটি ক্ষেত্রে দেখি যার জন্য সূত্রটি বৈধ হবে।

প্রথম ক্ষেত্রে, ক্ষেত্রফলের সংযোজন বৈশিষ্ট্য বিবেচনায় নিয়ে মূল চিত্র G এবং বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েড G1 এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি G2 চিত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। এর মানে হল

অতএব, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

আমরা নির্দিষ্ট অখণ্ডের তৃতীয় বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে শেষ রূপান্তর করতে পারি।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সমতা সত্য: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

গ্রাফিক ইলাস্ট্রেশনটি এরকম দেখাবে:

যদি উভয় ফাংশন অ-ধনাত্মক হয়, তাহলে আমরা পাব: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x। গ্রাফিক ইলাস্ট্রেশনটি এরকম দেখাবে:

সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক যখন y = f 1 (x) এবং y = f 2 (x) O x অক্ষকে ছেদ করে।

আমরা ছেদ বিন্দুগুলিকে x i, i = 1, 2, হিসাবে চিহ্নিত করি। . . , n - 1। এই পয়েন্টগুলি সেগমেন্টকে বিভক্ত করে [a; b] n অংশে x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, যেখানে α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

তাই,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

আমরা নির্দিষ্ট অখণ্ডের পঞ্চম বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে শেষ রূপান্তর করতে পারি।

আসুন গ্রাফে সাধারণ কেসটি চিত্রিত করি।

সূত্র S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x প্রমাণিত বলে বিবেচিত হতে পারে।

এখন আসুন y = f (x) এবং x = g (y) রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রফল গণনার উদাহরণ বিশ্লেষণের দিকে এগিয়ে যাই।

আমরা একটি গ্রাফ তৈরি করে উদাহরণগুলির যেকোনো একটি বিবেচনা শুরু করব। চিত্রটি আমাদের জটিল পরিসংখ্যানগুলিকে আরও অনেকের মিলন হিসাবে উপস্থাপন করার অনুমতি দেবে সহজ পরিসংখ্যান. যদি তাদের উপর গ্রাফ এবং পরিসংখ্যান তৈরি করা আপনার অসুবিধার কারণ হয়, আপনি মৌলিক অংশটি অধ্যয়ন করতে পারেন প্রাথমিক ফাংশন, ফাংশন গ্রাফের জ্যামিতিক রূপান্তর, সেইসাথে একটি ফাংশন অধ্যয়নের সময় গ্রাফের নির্মাণ।

উদাহরণ 1

চিত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করা প্রয়োজন, যা প্যারাবোলা y = - x 2 + 6 x - 5 এবং সরল রেখা y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

গ্রাফে রেখাগুলি আঁকুন কার্টেসিয়ান সিস্টেমস্থানাঙ্ক

সেগমেন্টে [ 1 ; 4 ] প্যারাবোলার গ্রাফটি y = - x 2 + 6 x - 5 সরলরেখা y = - 1 3 x - 1 2 এর উপরে অবস্থিত। এই বিষয়ে, উত্তর পাওয়ার জন্য আমরা পূর্বে প্রাপ্ত সূত্রটি ব্যবহার করি, সেইসাথে নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করে সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করার পদ্ধতিটি ব্যবহার করি:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

উত্তর: S(G) = 13

আসুন আরও জটিল উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 2

চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন, যা লাইন y = x + 2, y = x, x = 7 দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

এই ক্ষেত্রে, আমাদের কাছে x-অক্ষের সমান্তরালে অবস্থিত শুধুমাত্র একটি সরল রেখা রয়েছে। এটি হল x = 7। এর জন্য আমাদের নিজেদেরকে একীকরণের দ্বিতীয় সীমা খুঁজে বের করতে হবে।

আসুন একটি গ্রাফ তৈরি করি এবং এতে সমস্যা বিবৃতিতে দেওয়া লাইনগুলি প্লট করি।

আমাদের চোখের সামনে গ্রাফটি থাকলে, আমরা সহজেই নির্ধারণ করতে পারি যে একীকরণের নিম্ন সীমাটি সরলরেখা y = x এবং আধা-প্যারাবোলা y = x + 2 এর গ্রাফের ছেদ বিন্দুর অবসিসা হবে। অ্যাবসিসা খুঁজে পেতে আমরা সমতা ব্যবহার করি:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

দেখা যাচ্ছে যে ছেদ বিন্দুর অবসিসা হল x = 2।

আমরা আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করছি যে ইন সাধারণ উদাহরণঅঙ্কনে, লাইন y = x + 2, y = x বিন্দুতে ছেদ করে (2; 2), তাই এই ধরনের বিস্তারিত গণনা অপ্রয়োজনীয় বলে মনে হতে পারে। আমরা এখানে যেমন একটি বিস্তারিত সমাধান দিয়েছি শুধুমাত্র কারণ আরো কঠিন মামলাসমাধান এত সুস্পষ্ট নাও হতে পারে. এর মানে হল যে রেখাগুলির ছেদগুলির স্থানাঙ্কগুলি বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা সর্বদা ভাল।

ব্যবধানে [ 2 ; 7] y = x ফাংশনের গ্রাফটি y = x + 2 ফাংশনের গ্রাফের উপরে অবস্থিত। ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

উত্তরঃ S (G) = 59 6

উদাহরণ 3

চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন, যা y = 1 x এবং y = - x 2 + 4 x - 2 ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

গ্রাফের রেখাগুলো প্লট করা যাক।

আসুন একীকরণের সীমা সংজ্ঞায়িত করি। এটি করার জন্য, আমরা 1 x এবং - x 2 + 4 x - 2 অভিব্যক্তিগুলিকে সমীকরণ করে রেখাগুলির ছেদ বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করি। যদি x শূন্য না হয়, তাহলে সমতা 1 x = - x 2 + 4 x - 2 তৃতীয় ডিগ্রি সমীকরণের সমতুল্য হবে - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 পূর্ণসংখ্যা সহ। এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য আপনার অ্যালগরিদমের স্মৃতিকে রিফ্রেশ করতে, আমরা "ঘন সমীকরণগুলি সমাধান করা" বিভাগটি উল্লেখ করতে পারি।

এই সমীকরণের মূল হল x = 1:- 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0।

রাশিটি - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 দ্বিপদ x - 1 দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

আমরা x 2 - 3 x - 1 = 0 সমীকরণ থেকে অবশিষ্ট মূলগুলি খুঁজে পেতে পারি:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 । 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0। 3

আমরা ব্যবধান খুঁজে পেয়েছি x ∈ 1; 3 + 13 2, যেখানে চিত্র G নীলের উপরে এবং লাল রেখার নীচে রয়েছে। এটি আমাদের চিত্রের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে সহায়তা করে:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

উত্তর: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

উদাহরণ 4

চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন, যা বক্ররেখা y = x 3, y = - লগ 2 x + 1 এবং অ্যাবসিসা অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

গ্রাফের সমস্ত লাইন প্লট করা যাক। আমরা y = - লগ 2 x + 1 গ্রাফ y = log 2 x থেকে ফাংশনটির গ্রাফ পেতে পারি যদি আমরা এটিকে x-অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসমভাবে অবস্থান করি এবং এটিকে এক একক উপরে নিয়ে যাই। x-অক্ষের সমীকরণ হল y = 0।

রেখার ছেদ বিন্দু চিহ্নিত করা যাক।

চিত্র থেকে দেখা যায়, ফাংশনের গ্রাফগুলি y = x 3 এবং y = 0 বিন্দুতে ছেদ করে (0; 0)। এটি ঘটে কারণ x = 0 হল x 3 = 0 সমীকরণের একমাত্র আসল মূল।

x = 2 হল সমীকরণের একমাত্র মূল - লগ 2 x + 1 = 0, তাই ফাংশনের গ্রাফগুলি y = - লগ 2 x + 1 এবং y = 0 বিন্দুতে ছেদ করে (2; 0)।

x = 1 হল x 3 = - লগ 2 x + 1 সমীকরণের একমাত্র মূল। এই বিষয়ে, ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি y = x 3 এবং y = - লগ 2 x + 1 বিন্দুতে ছেদ করে (1; 1)। শেষ বিবৃতিটি স্পষ্ট নাও হতে পারে, কিন্তু সমীকরণ x 3 = - লগ 2 x + 1 এর একাধিক রুট থাকতে পারে না, যেহেতু ফাংশন y = x 3 কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে, এবং ফাংশন y = - লগ 2 x + 1 হল কঠোরভাবে কমছে।

পরবর্তী সমাধান বিভিন্ন বিকল্প জড়িত.

বিকল্প # 1

আমরা চিত্র G কে কল্পনা করতে পারি x-অক্ষের উপরে অবস্থিত দুটি বক্ররেখার ট্র্যাপিজয়েডের সমষ্টি হিসাবে, যার মধ্যে প্রথমটি নীচে অবস্থিত মধ্যরেখা x ∈ 0 সেগমেন্টে; 1, এবং দ্বিতীয়টি x ∈ 1 সেগমেন্টে লাল রেখার নিচে; 2. এর মানে হল যে ক্ষেত্রফল S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x এর সমান হবে।

বিকল্প নং 2

চিত্র G দুটি চিত্রের পার্থক্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যার প্রথমটি x-অক্ষের উপরে এবং x ∈ 0 সেগমেন্টের নীল রেখার নীচে অবস্থিত; 2, এবং x ∈ 1 সেগমেন্টে লাল এবং নীল রেখার মধ্যে দ্বিতীয়টি; 2. এটি আমাদের নিম্নরূপ এলাকা খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- লগ 2 x + 1) d x

এই ক্ষেত্রে, ক্ষেত্রফল বের করতে আপনাকে S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ফর্মের একটি সূত্র ব্যবহার করতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, যে রেখাগুলি চিত্রটিকে আবদ্ধ করে তা আর্গুমেন্ট y এর ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

আসুন x এর ক্ষেত্রে y = x 3 এবং - লগ 2 x + 1 সমীকরণগুলি সমাধান করি:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - লগ 2 x + 1 ⇒ লগ 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

আমরা প্রয়োজনীয় এলাকা পাই:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

উত্তর: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

উদাহরণ 5

চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন, যা লাইন y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 লাইন দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সমাধান

আমরা একটি লাল রেখা দিয়ে গ্রাফে একটি রেখা আঁকব, ফাংশন দ্বারা প্রদত্ত y = x। আমরা y = - 1 2 x + 4 রেখাটি নীল রঙে আঁকব এবং রেখাটি y = 2 3 x - 3 কালো রঙে আঁকব।

ছেদ বিন্দু চিহ্নিত করা যাক.

y = x এবং y = - 1 2 x + 4 ফাংশনগুলির গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে বের করা যাক:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 চেক করুন: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 not হল x 2 = সমীকরণের সমাধান? 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 হল সমীকরণের সমাধান ⇒ (4; 2) ছেদ বিন্দু i y = x এবং y = - 1 2 x + 4

চলুন y = x এবং y = 2 3 x - 3 ফাংশনগুলির গ্রাফের ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করি:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 চেক করুন: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 হল সমীকরণের সমাধান ⇒ (9 ; 3) বিন্দু a s y = x এবং y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 সমীকরণের কোনো সমাধান নেই

y = - 1 2 x + 4 এবং y = 2 3 x - 3 রেখাগুলির ছেদ বিন্দুটি খুঁজে বের করা যাক:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) ছেদ বিন্দু y = - 1 2 x + 4 এবং y = 2 3 x - 3

পদ্ধতি নং 1

আসুন কাঙ্ক্ষিত চিত্রের ক্ষেত্রফলকে পৃথক চিত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি হিসাবে কল্পনা করি।

তারপর চিত্রের ক্ষেত্রফল হল:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

পদ্ধতি নং 2

মূল চিত্রটির ক্ষেত্রফলকে অন্য দুটি চিত্রের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

তারপরে আমরা x এর সাপেক্ষে লাইনের সমীকরণটি সমাধান করি এবং তার পরেই আমরা চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করি।

y = x ⇒ x = y 2 লাল রেখা y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 কালো রেখা y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

তাই এলাকা হল:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মানগুলি একই।

উত্তরঃ S (G) = 11 3

ফলাফল

প্রদত্ত রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে পেতে, আমাদের একটি সমতলে রেখা তৈরি করতে হবে, তাদের ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে বের করতে হবে এবং ক্ষেত্রটি খুঁজে বের করার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে। এই বিভাগে, আমরা কাজগুলির সবচেয়ে সাধারণ রূপগুলি পরীক্ষা করেছি।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন