প্রকৃতিগতভাবে সমস্ত মানুষ জ্ঞানের জন্য চেষ্টা করে। (এরিস্টটল। মেটাফিজিক্স)

সংখ্যাগত পদ্ধতি: অরৈখিক সমীকরণ সমাধান করা

সমীকরণগুলি সমাধানের সমস্যাগুলি অনুশীলনে ক্রমাগত দেখা দেয়, উদাহরণস্বরূপ, অর্থনীতিতে, ব্যবসার বিকাশের সময়, আপনি জানতে চান কখন লাভ একটি নির্দিষ্ট মূল্যে পৌঁছাবে, ওষুধে, ওষুধের প্রভাব অধ্যয়ন করার সময়, এটি জানা গুরুত্বপূর্ণ যে কখন ঘনত্ব একটি পদার্থ একটি নির্দিষ্ট স্তরে পৌঁছাবে, ইত্যাদি

অপ্টিমাইজেশন সমস্যায়, প্রায়শই কোন ফাংশনের ডেরিভেটিভ 0 হয়ে যায় এমন পয়েন্টগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন, যা একটি প্রয়োজনীয় শর্ত স্থানীয়চরম

পরিসংখ্যানে, পদ্ধতি ব্যবহার করে অনুমান নির্মাণ করার সময় সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্রবা পদ্ধতি সর্বোচ্চ সম্ভাবনাআপনাকে অরৈখিক সমীকরণ এবং সমীকরণের সিস্টেমগুলিও সমাধান করতে হবে।

সুতরাং, সমাধান খোঁজার সাথে সম্পর্কিত একটি সম্পূর্ণ শ্রেণীর সমস্যা দেখা দেয় অরৈখিকসমীকরণ, যেমন সমীকরণ বা সমীকরণ ইত্যাদি।

সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে, আমাদের একটি ফাংশন ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত আছে ( ক, খ) এবং নির্দিষ্ট মান গ্রহণ।

প্রতিটি মান x এই সেগমেন্ট থেকে আমরা সংখ্যাটি তুলনা করতে পারি, এটি হল কার্যকরীনির্ভরতা, গণিতের একটি মূল ধারণা।

আমাদের একটি মান খুঁজে বের করতে হবে যেখানে এগুলোকে ফাংশনের রুট বলা হয়

দৃশ্যত আমাদের ফাংশন গ্রাফের ছেদ বিন্দু নির্ধারণ করতে হবেআবসিসা অক্ষ সহ।

অর্ধেক পদ্ধতি

একটি সমীকরণের শিকড় খোঁজার সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি হল হালভিং পদ্ধতি, বা দ্বিধাবিভক্তি.

এই পদ্ধতিটি স্বজ্ঞাত এবং সমস্যা সমাধানের সময় প্রত্যেকে একইভাবে কাজ করবে।

অ্যালগরিদম নিম্নরূপ।

ধরুন আমরা দুটি বিন্দু খুঁজে পাই এবং , যেমন তাদের আছে ভিন্নচিহ্ন, তারপর এই পয়েন্টগুলির মধ্যে ফাংশনের অন্তত একটি মূল আছে।

চলুন সেগমেন্টটিকে অর্ধেক ভাগ করে এন্টার করি গড়বিন্দু

তারপর হয় , বা .

সেগমেন্টের অর্ধেকটি ছেড়ে দেওয়া যাক যার শেষে মানগুলি রয়েছে বিভিন্ন লক্ষণ. এখন আমরা এই সেগমেন্টটিকে আবার অর্ধেক ভাগ করে দেই এবং সেই অংশটিকে সীমারেখায় রেখে দেই যার ফাংশনের বিভিন্ন চিহ্ন রয়েছে, এবং তাই, প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা অর্জন করতে।

স্পষ্টতই, আমরা ক্রমান্বয়ে সেই ক্ষেত্রটিকে সংকীর্ণ করব যেখানে ফাংশনের মূলটি অবস্থিত, এবং তাই, আমরা এটি নির্দিষ্ট মাত্রার নির্ভুলতার সাথে নির্ধারণ করব।

উল্লেখ্য যে বর্ণিত অ্যালগরিদম যেকোনো একটানা ফাংশনের জন্য প্রযোজ্য।

হালভিং পদ্ধতির সুবিধার মধ্যে রয়েছে এর উচ্চ নির্ভরযোগ্যতা এবং সরলতা।

পদ্ধতির অসুবিধা হল যে আপনি এটি ব্যবহার শুরু করার আগে, আপনাকে দুটি পয়েন্ট খুঁজে বের করতে হবে যেখানে ফাংশনের মানগুলির বিভিন্ন চিহ্ন রয়েছে। স্পষ্টতই, পদ্ধতিটি এমনকি গুণের শিকড়ের জন্য প্রযোজ্য নয় এবং ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যাবে না জটিল শিকড়এবং সমীকরণের সিস্টেম।

পদ্ধতির সংমিশ্রণের ক্রম রৈখিক, প্রতিটি ধাপে নির্ভুলতা দ্বিগুণ হয়, যত বেশি পুনরাবৃত্তি করা হয়, তত সঠিকভাবে মূল নির্ধারণ করা হয়।

নিউটনের পদ্ধতি: তাত্ত্বিক ভিত্তি

নিউটনের ক্লাসিক্যাল পদ্ধতিবা স্পর্শকএটি যদি সমীকরণের মূলের কিছু অনুমান , তারপর পরবর্তী অনুমান বিন্দুতে আঁকা ফাংশনের স্পর্শকটির মূল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের স্পর্শক সমীকরণের ফর্ম রয়েছে:

স্পর্শক সমীকরণে আমরা রাখি এবং .

তারপর নিউটনের পদ্ধতিতে অনুক্রমিক গণনার জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ:

স্পর্শক পদ্ধতির অভিসরণ দ্বিঘাত, অভিসারের ক্রম 2।

সুতরাং, নিউটনের স্পর্শক পদ্ধতির অভিসারণ খুব দ্রুত।

এই বিস্ময়কর সত্য মনে রাখবেন!

কোনো পরিবর্তন ছাড়াই, পদ্ধতিটি জটিল ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা হয়।

যদি মূলটি দ্বিতীয় গুণ বা উচ্চতর একটি মূল হয়, তাহলে অভিসারের ক্রমটি কমে যায় এবং রৈখিক হয়।

ব্যায়াম 1. স্পর্শক পদ্ধতি ব্যবহার করে, (0, 2) রেখাংশের সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজুন।

ব্যায়াম 2।স্পর্শক পদ্ধতি ব্যবহার করে, রেখাংশের সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজুন (1, 3)।

নিউটনের পদ্ধতির অসুবিধাগুলির মধ্যে রয়েছে এর স্থানীয়তা, যেহেতু শর্তটি সর্বত্র সন্তুষ্ট হলেই এটি একটি নির্বিচারে শুরু হওয়ার জন্য একত্রিত হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত। , বিপরীত পরিস্থিতিতে, অভিসরণ শুধুমাত্র মূলের একটি নির্দিষ্ট এলাকায় ঘটে।

নিউটনের পদ্ধতির অসুবিধা হল প্রতিটি ধাপে ডেরিভেটিভ গণনা করার প্রয়োজন।

নিউটনের পদ্ধতির ভিজ্যুয়ালাইজেশন

সমীকরণ হলে নিউটনের পদ্ধতি (স্পর্শক পদ্ধতি) ব্যবহার করা হয় চ(x) = 0 একটি মূল আছে এবং নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হয়:

1) ফাংশন y= চ(x) সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন এ;

2) চ(ক)· চ(খ) < 0 (ফাংশনটি সেগমেন্টের শেষে বিভিন্ন চিহ্নের মান নেয় [ ক; খ]);

3) ডেরিভেটিভস চ"(x) এবং চ""(x) ব্যবধানে চিহ্ন সংরক্ষণ [ ক; খ] (অর্থাৎ ফাংশন চ(x) সেগমেন্টে হয় বাড়ে বা কমে [ ক; খ], উত্তলতার দিক বজায় রাখার সময়);

পদ্ধতির মূল ধারণাটি নিম্নরূপ: সেগমেন্টে [ ক; খ] এরকম একটি সংখ্যা নির্বাচন করা হয় x 0 , যা চ(x 0 ) হিসাবে একই চিহ্ন আছে চ"" (x 0 ), অর্থাৎ শর্ত সন্তুষ্ট চ(x 0 )· চ"" (x) > 0 . এইভাবে, abscissa সহ বিন্দু নির্বাচন করা হয় x 0 , যার মধ্যে বক্ররেখার স্পর্শক y= চ(x) অংশে [ ক; খ] অক্ষকে ছেদ করে বলদ. প্রতি পয়েন্ট x 0 প্রথমত, সেগমেন্টের প্রান্তগুলির একটি নির্বাচন করা সুবিধাজনক।

একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে নিউটনের পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক।

আমাদের একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন দেওয়া যাক y = f(x) = x 2 -2,সেগমেন্টে ক্রমাগত (0;2), এবং থাকা চ"(x) = 2 x > 0 এবং চ "" (x) = 2 > 0 .

অঙ্কন1 . f(x) =x 2 -2

স্পর্শক সমীকরণ ইন সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গিএকটি ধারণা আছে:

y-y 0 = f" (x 0)·(x-x 0)।

আমাদের ক্ষেত্রে: y-y 0 =2x 0 · (x-x 0)বিন্দু x 0 এর জন্য আমরা বিন্দু নির্বাচন করি B 1 (b; f(b)) = (2,2)।ফাংশনের একটি স্পর্শক আঁকুন y = f(x)বি 1 বিন্দুতে, এবং স্পর্শক এবং অক্ষের ছেদ বিন্দুকে নির্দেশ করে বলদবিন্দু x 1. আমরা প্রথম স্পর্শকের সমীকরণ পাই: y-2=2·2(x-2), y=4x-6।

ষাঁড়: x 1 =

অঙ্কন2. প্রথম পুনরাবৃত্তির ফলাফল

y=f(x) বলদবিন্দু মাধ্যমে x 1, আমরা বিন্দু পেতে B 2 =(1.5; 0.25). আবার ফাংশনের একটি স্পর্শক আঁকুন y = f(x)বি 2 বিন্দুতে, এবং স্পর্শক এবং অক্ষের ছেদ বিন্দুকে নির্দেশ করে বলদবিন্দু x 2.

দ্বিতীয় স্পর্শকের সমীকরণ: y-0.25=2*1.5(x-1.5), y = 3 x - 4.25.

স্পর্শক এবং অক্ষের ছেদ বিন্দু ষাঁড়: x 2 =.

অঙ্কন3. নিউটনের পদ্ধতির দ্বিতীয় পুনরাবৃত্তি

তারপর আমরা ফাংশনের ছেদ বিন্দু খুঁজে পাই y=f(x)এবং অক্ষের দিকে টানা একটি লম্ব বলদপয়েন্ট x 2 এর মাধ্যমে, আমরা বিন্দু B 3 এবং আরও অনেক কিছু পাই।

অঙ্কন4. স্পর্শক পদ্ধতির তৃতীয় ধাপ

মূলের প্রথম অনুমান সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

= 1.5.

মূলের দ্বিতীয় অনুমান সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

=

মূলের তৃতীয় আনুমানিক সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

এভাবে , iমূলের আনুমানিকতা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

গণনা করা হয় যতক্ষণ না উত্তরে প্রয়োজনীয় দশমিক স্থানগুলি মেলে, বা নির্দিষ্ট নির্ভুলতা ই অর্জন করা হয় - যতক্ষণ না অসমতা সন্তুষ্ট হয় | xi- xi-1 | < e.

আমাদের ক্ষেত্রে, আসুন একটি ক্যালকুলেটরে গণনা করা প্রকৃত উত্তরের সাথে তৃতীয় ধাপে প্রাপ্ত অনুমান তুলনা করি:

চিত্র 5. 2 এর মূল, একটি ক্যালকুলেটরে গণনা করা হয়েছে

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ইতিমধ্যে তৃতীয় ধাপে আমরা 0.000002 এর কম ত্রুটি পেয়েছি।

এইভাবে, আপনি যেকোনো মাত্রার নির্ভুলতার সাথে "2 এর বর্গমূল" মানের মান গণনা করতে পারেন। এই অসাধারণ পদ্ধতিটি নিউটন দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল এবং এটি আপনাকে খুব শিকড় খুঁজে পেতে দেয় জটিল সমীকরণ.

নিউটনের পদ্ধতি: সি++ এ প্রয়োগ

এই নিবন্ধে, আমরা C++ এ একটি কনসোল অ্যাপ্লিকেশন লিখে সমীকরণের মূল গণনার প্রক্রিয়াটিকে স্বয়ংক্রিয় করব। আমরা এটিকে ভিজ্যুয়াল সি++ 2010 এক্সপ্রেসে ডেভেলপ করব, এটি একটি ফ্রি এবং খুব সুবিধাজনক সি++ ডেভেলপমেন্ট এনভায়রনমেন্ট।

প্রথমে, ভিজ্যুয়াল C++ 2010 এক্সপ্রেস চালু করা যাক। প্রোগ্রাম শুরু উইন্ডো প্রদর্শিত হবে. বাম কোণায়, "একটি প্রকল্প তৈরি করুন" এ ক্লিক করুন।

ভাত। 1. হোম পেজভিজ্যুয়াল সি++ 2010 এক্সপ্রেস

প্রদর্শিত মেনুতে, "Win32 কনসোল অ্যাপ্লিকেশন" নির্বাচন করুন এবং "Newton_Method" অ্যাপ্লিকেশনের নাম লিখুন।

ভাত। 2. একটি প্রকল্প তৈরি করুন

// Newton.cpp পদ্ধতি: কনসোল অ্যাপ্লিকেশনের জন্য এন্ট্রি পয়েন্ট সংজ্ঞায়িত করে # "stdafx.h" অন্তর্ভুক্ত করুন #অন্তর্ভুক্ত নামস্থান std ব্যবহার করে; float f(ডাবল x) // ফাংশনের মান ফেরত দেয় f(x) = x^2-2 float df(float x) // ডেরিভেটিভ মান প্রদান করে float d2f(float x) // দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের মান int _tmain(int argc, _TCHAR* argv) int exit = 0, i=0;// প্রস্থান এবং লুপের জন্য ভেরিয়েবল ডাবল x0,xn;//মূলের জন্য গণনা করা অনুমান ডবল a, b, eps; // সেগমেন্টের সীমানা এবং প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা cout<<"Please input \n=>"; cin>>a>>b; // সেগমেন্টের সীমানা লিখুন যার উপর আমরা রুট খুঁজব cout<<"\nPlease input epsilon\n=>"; cin>>eps; // লিখুন প্রয়োজনীয় নির্ভুলতাগণনা যদি (a > b) // ব্যবহারকারী যদি সেগমেন্টের সীমানা মিশ্রিত করে থাকে, সেগুলি অদলবদল করুন যদি (f(a)*f(b)>0) // যদি সেগমেন্টের প্রান্তে ফাংশনের চিহ্ন একই হয়, তাহলে এখানে কোন রুট নেই cout<<"\nError! No roots in this interval\n"; যদি (f(a)*d2f(a)>0) x0 = a; // প্রারম্ভিক বিন্দু নির্বাচন করতে, f(x0)*d2f(x0)>0 চেক করুন? xn = x0-f(x0)/df(x0); // প্রথম অনুমান বিবেচনা করুন cout<<++i<<"-th iteration = "< while(fabs(x0-xn) > eps) // আমরা প্রয়োজনীয় নির্ভুলতায় না পৌঁছানো পর্যন্ত গণনা করতে থাকবে xn = x0-f(x0)/df(x0); // সরাসরি নিউটনের সূত্র cout<<++i<<"-th iteration = "< cout<<"\nRoot = "< cout<<"\nExit?=>"; ) যখন (প্রস্থান করুন!=1); // যতক্ষণ না ব্যবহারকারী প্রবেশ করে প্রস্থান = 1

দেখা যাক এটা কিভাবে কাজ করে। স্ক্রিনের উপরের বাম কোণে সবুজ ত্রিভুজটিতে ক্লিক করুন বা F5 টিপুন।

যদি একটি সংকলন ত্রুটি দেখা দেয় "ত্রুটি ত্রুটি LNK1123: COFF এ রূপান্তর করতে ব্যর্থতা: ফাইলটি অবৈধ বা ক্ষতিগ্রস্থ হয়েছে," তাহলে এটি হয় প্রথম সার্ভিস প্যাক 1 ইনস্টল করে বা প্রকল্প সেটিংস বৈশিষ্ট্য -> লিঙ্কার ক্রমবর্ধমান লিঙ্কিং অক্ষম করে নিরাময় করা যেতে পারে।

ভাত। 4. প্রকল্প সংকলন ত্রুটি সমাধান করা

আমরা ফাংশনের মূলগুলি সন্ধান করব চ(x) =x2-2.

প্রথমে, "ভুল" ইনপুট ডেটাতে অ্যাপ্লিকেশনটির কার্যকারিতা পরীক্ষা করা যাক। সেগমেন্টে কোন রুট নেই, আমাদের প্রোগ্রাম একটি ত্রুটি বার্তা প্রদর্শন করা উচিত.

আমাদের এখন একটি অ্যাপ্লিকেশন উইন্ডো আছে:

ভাত। 5. ইনপুট ডেটা প্রবেশ করানো হচ্ছে

আসুন আমরা সেগমেন্ট 3 এবং 5 এর সীমানা প্রবর্তন করি এবং সঠিকতা 0.05। প্রোগ্রামটি, প্রত্যাশিত হিসাবে, একটি ত্রুটি বার্তা উত্পন্ন করেছে যে এই বিভাগে কোন শিকড় নেই।

ভাত। 6. ত্রুটি "এই বিভাগে কোন শিকড় নেই!"

আমরা এখনও চলে যাচ্ছি না, তাহলে "প্রস্থান করুন?" "0" লিখুন।

এখন সঠিক ইনপুট ডেটা ব্যবহার করে অ্যাপ্লিকেশনটি পরীক্ষা করা যাক। এর সেগমেন্ট এবং নির্ভুলতা 0.0001 প্রবেশ করা যাক।

ভাত। 7. প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার সাথে মূলের গণনা

আমরা দেখতে পাচ্ছি, প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা ইতিমধ্যে 4র্থ পুনরাবৃত্তিতে অর্জন করা হয়েছিল।

অ্যাপ্লিকেশন থেকে প্রস্থান করতে, "প্রস্থান করুন?" লিখুন => ১.

সেক্যান্ট পদ্ধতি

ডেরিভেটিভের গণনা এড়াতে, নিউটনের পদ্ধতিটি আগের দুটি পয়েন্ট থেকে গণনা করা আনুমানিকভাবে ডেরিভেটিভকে প্রতিস্থাপন করে সরলীকৃত করা যেতে পারে:

পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়া এই মত দেখায়:

এটি একটি দ্বি-পদক্ষেপ পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া কারণ এটি পরবর্তী আনুমানিকতা খুঁজে পেতে পূর্ববর্তী দুটি ব্যবহার করে।

সেক্যান্ট পদ্ধতির অভিসারণের ক্রম স্পর্শক পদ্ধতির চেয়ে কম এবং একটি একক মূলের ক্ষেত্রে সমান।

এই উল্লেখযোগ্য পরিমাণকে সোনালী অনুপাত বলা হয়:

আমাদের এটি যাচাই করা যাক, সুবিধার জন্য অনুমান করে যে.

এইভাবে, উচ্চ ক্রম অসীম পর্যন্ত

অবশিষ্ট শব্দটি বাদ দিয়ে, আমরা একটি পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক পাই, যার সমাধান স্বাভাবিকভাবেই আকারে চাওয়া হয়।

প্রতিস্থাপনের পরে আমাদের আছে: এবং

কনভারজেন্সের জন্য এটি ইতিবাচক হওয়া প্রয়োজন, তাই।

যেহেতু ডেরিভেটিভের জ্ঞানের প্রয়োজন নেই, সেক্যান্ট পদ্ধতিতে একই পরিমাণ গণনার সাথে (কনভারজেন্সের নিম্ন ক্রম থাকা সত্ত্বেও), স্পর্শক পদ্ধতির চেয়ে বেশি নির্ভুলতা অর্জন করা যেতে পারে।

মনে রাখবেন যে মূলের কাছাকাছি আপনাকে একটি ছোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং এটি নির্ভুলতার ক্ষতির দিকে পরিচালিত করে (বিশেষত একাধিক মূলের ক্ষেত্রে), তাই, তুলনামূলকভাবে ছোট সংখ্যা বেছে নেওয়ার আগে, গণনাগুলি সম্পাদন করুন এবং প্রতিবেশী অনুমানগুলির মধ্যে পার্থক্যের মডুলাস হ্রাস না হওয়া পর্যন্ত তাদের চালিয়ে যান।

যত তাড়াতাড়ি বৃদ্ধি শুরু হয়, গণনা বন্ধ করা হয় এবং শেষ পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করা হয় না।

পুনরাবৃত্তির সমাপ্তি নির্ধারণের এই পদ্ধতিটিকে কৌশল বলা হয় গারভিকা।

প্যারাবোলা পদ্ধতি

আসুন একটি তিন-পদক্ষেপ পদ্ধতি বিবেচনা করি যেখানে পূর্ববর্তী তিনটি বিন্দু দ্বারা অনুমান নির্ধারণ করা হয়, এবং।

এটি করার জন্য, আমরা প্রতিস্থাপন করি, একইভাবে সেকেন্ট পদ্ধতিতে, একটি ইন্টারপোলেশন প্যারাবোলা বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া ফাংশনটি এবং।

নিউটনের আকারে এটির মতো দেখায়:

একটি বিন্দুকে এই বহুপদীর মূলগুলির একটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা বিন্দুর পরম মানের কাছাকাছি।

প্যারাবোলা পদ্ধতির অভিসারণের ক্রম সেকান্ট পদ্ধতির চেয়ে বেশি, তবে নিউটনের পদ্ধতির চেয়ে কম।

পূর্বে বিবেচনা করা পদ্ধতিগুলির থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হল যে বাস্তবের জন্য বাস্তব এবং প্রারম্ভিক অনুমানগুলিকে বাস্তব হিসাবে বেছে নেওয়া হলেও, প্যারাবোলা পদ্ধতিটি মূল সমস্যার একটি জটিল মূলের দিকে নিয়ে যেতে পারে।

উচ্চ ডিগ্রি বহুপদীর শিকড় খোঁজার জন্য এই পদ্ধতিটি খুবই সুবিধাজনক।

সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি

সমীকরণের সমাধান খোঁজার সমস্যাটিকে মূল খোঁজার সমস্যা হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে: , বা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু খুঁজে পাওয়ার সমস্যা হিসাবে।

যাক এবং - কম্প্রেশন: (বিশেষত, সত্য যে - কম্প্রেশন, যেমনটি দেখতে সহজ, এর অর্থ হল)।

বানাচের উপপাদ্য অনুসারে একটি অনন্য স্থির বিন্দু রয়েছে

এটি একটি সাধারণ পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির সীমা হিসাবে পাওয়া যেতে পারে

যেখানে প্রাথমিক আনুমানিক ব্যবধানে একটি নির্বিচারী বিন্দু।

যদি ফাংশনটি পার্থক্যযোগ্য হয়, তাহলে একটি সুবিধাজনক কম্প্রেশন মানদণ্ড হল সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, ল্যাগ্রেঞ্জের উপপাদ্য অনুসারে

সুতরাং, ডেরিভেটিভ যদি একের কম হয়, তবে এটি একটি সংকোচন।

অবস্থা অত্যাবশ্যক, কারণ যদি, উদাহরণস্বরূপ, অন, তাহলে কোন নির্দিষ্ট বিন্দু নেই, যদিও ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান। অভিসারের গতি মানের উপর নির্ভর করে। যত ছোট, তত দ্রুত অভিসারন।

f(x)=0 সমীকরণের মূলটিকে সেগমেন্টে আলাদা করা যাক, প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ f’(x) এবং f""(x) xÎ এর জন্য অবিচ্ছিন্ন এবং ধ্রুব চিহ্ন।

রুট পরিমার্জনের কিছু ধাপে রুট x n-এর পরবর্তী অনুমান পাওয়া যায় (নির্বাচিত) . তারপর ধরুন যে পরবর্তী আনুমানিক সংশোধন h n ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়েছে , মূলের সঠিক মানের দিকে নিয়ে যায়

x = xn + hn। (1.2.3-6)

গণনা জ nছোট মান, আমরা টেলর সিরিজের আকারে f(х n + h n) উপস্থাপন করি, নিজেদেরকে রৈখিক পদে সীমাবদ্ধ রাখি

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n)। (1.2.3-7)

f(x) = f(x n + h n) = 0 বিবেচনা করে, আমরা f(x n) + h n f’ (x n) » 0 পাই।

তাই h n » - f(x n)/ f’(x n)। এর মান প্রতিস্থাপন করা যাক জ n in (1.2.3-6) এবং মূলের সঠিক মানের পরিবর্তে xআমরা অন্য অনুমান পেতে

সূত্র (1.2.3-8) আমাদের অনুমান x 1, x 2, x 3 ... এর একটি ক্রম প্রাপ্ত করার অনুমতি দেয়, যা নির্দিষ্ট শর্তে, মূলের সঠিক মানের সাথে মিলিত হয় x,যে

নিউটনের পদ্ধতির জ্যামিতিক ব্যাখ্যানিম্নরূপ
(চিত্র 1.2.3-6)। চলুন, খ-এর ডান প্রান্তটিকে প্রাথমিক অনুমান x 0 হিসাবে গ্রহণ করি এবং y = f(x) ফাংশনের গ্রাফের অনুরূপ বিন্দু B 0-এ একটি স্পর্শক তৈরি করি। x-অক্ষের সাথে স্পর্শকটির ছেদ বিন্দুটিকে একটি নতুন, আরও সঠিক অনুমান x 1 হিসাবে নেওয়া হয়। এই পদ্ধতিটি বহুবার পুনরাবৃত্তি করা আমাদের অনুমান x 0, x 1, x 2 এর একটি ক্রম পেতে দেয়। , . . ., যা মূলের সঠিক মানের দিকে থাকে x

নিউটনের পদ্ধতির (1.2.3-8) গণনার সূত্র একটি জ্যামিতিক নির্মাণ থেকে পাওয়া যেতে পারে। সুতরাং একটি সমকোণী ত্রিভুজে x 0 B 0 x 1 পা
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga। সেই বিন্দুটি বিবেচনা করলে ফাংশনের গ্রাফে B 0 রয়েছে f(x),এবং কর্ণটি B 0 বিন্দুতে গ্রাফ f(x) এর স্পর্শক দ্বারা গঠিত হয়, আমরা পাই

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

এই সূত্রটি nম আনুমানিকতার জন্য (1.2.3-8) এর সাথে মিলে যায়।

চিত্র 1.2.3-6 থেকে এটা স্পষ্ট যে প্রাথমিক অনুমান হিসাবে বিন্দু a বেছে নেওয়ার ফলে পরবর্তী আনুমানিক x 1 সেগমেন্টের বাইরে হবে যার উপর মূলটি আলাদা করা হয়েছে। x. এই ক্ষেত্রে, প্রক্রিয়ার অভিন্নতা নিশ্চিত করা হয় না। সাধারণ ক্ষেত্রে, প্রাথমিক অনুমান নির্বাচন নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে করা হয়: প্রাথমিক অনুমানটিকে একটি বিন্দু x 0 О হিসাবে নেওয়া উচিত, যেখানে f(x 0)×f''(x 0)>0 , অর্থাৎ, ফাংশনের চিহ্ন এবং এর দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ মিল।

নিউটনের পদ্ধতির একত্রিত হওয়ার শর্তগুলি নিম্নলিখিত উপপাদ্যে প্রণয়ন করা হয়েছে।

রেখাংশের উপর সমীকরণের মূল আলাদা করা হলে, এবং f’(x 0) এবং f’(x) শূন্য থেকে আলাদা এবং যখন তাদের চিহ্ন ধরে রাখে xО, তারপর যদি আমরা প্রাথমিক আনুমানিক হিসাবে যেমন একটি বিন্দু নির্বাচন করি x 0 О , কি f(x 0).f¢(x 0)>0 , তাহলে সমীকরণের মূল f(x)=0 নির্ভুলতা কোনো ডিগ্রী সঙ্গে গণনা করা যেতে পারে.

নিউটনের পদ্ধতির ত্রুটি অনুমান নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়:

(1.2.3-11)

যেখানে সবচেয়ে ছোট মান এ

সর্বোচ্চ মান এ

গণনা প্রক্রিয়া বন্ধ হয়ে যায় যদি ,

যেখানে নির্দিষ্ট নির্ভুলতা।

উপরন্তু, নিউটনের পদ্ধতি ব্যবহার করে মূলকে পরিমার্জন করার সময় নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি প্রদত্ত নির্ভুলতা অর্জনের শর্ত হিসাবে কাজ করতে পারে:

নিউটন পদ্ধতির অ্যালগরিদমের চিত্রটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 1.2.3-7।

মূল সমীকরণ f(x) এর বাম দিক এবং অ্যালগরিদমে এর ডেরিভেটিভ f’(x) আলাদা সফটওয়্যার মডিউল হিসেবে ডিজাইন করা হয়েছে।

ভাত। 1.2.3-7। নিউটন মেথড অ্যালগরিদম ডায়াগ্রাম

উদাহরণ 1.2.3-3 নিউটনের পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণ x-ln(x+2) = 0 এর মূলগুলিকে পরিমার্জন করুন, তবে শর্ত থাকে যে এই সমীকরণের মূলগুলি x 1 О[-1.9;-1.1] এবং সেগমেন্টগুলিতে পৃথক করা হয়েছে। x 2 О [-0.9;2]।

প্রথম ডেরিভেটিভ f’(x) = 1 – 1/(x+2) প্রতিটি অংশে তার চিহ্ন ধরে রাখে:

চ'(এক্স)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 এ xО [-০.৯; 2]।

যেকোনো x এর জন্য দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0।

এইভাবে, কনভারজেন্স শর্ত সন্তুষ্ট হয়. যেহেতু f""(x)>0 অনুমোদিত মানের সম্পূর্ণ পরিসরে, তারপর প্রাথমিক আনুমানিকতার মূলটি স্পষ্ট করতে x 1 x 0 = -1.9 বেছে নিন (যেহেতু f(-1.9)×f”(-1.9)>0)। আমরা অনুমানগুলির একটি ক্রম প্রাপ্ত করি:

গণনা অব্যাহত রেখে, আমরা প্রথম চারটি অনুমানগুলির নিম্নলিখিত ক্রমটি পাই: -1.9; -1.8552, -1.8421; -1.8414 . x=-1.8414 বিন্দুতে f(x) ফাংশনের মান f(-1.8414)=-0.00003 এর সমান .

মূল x 2 О[-0.9;2] স্পষ্ট করতে আমরা 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) প্রাথমিক অনুমান হিসাবে বেছে নিই। x 0 = 2 এর উপর ভিত্তি করে, আমরা অনুমানগুলির একটি ক্রম পাই: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461। x=1.1461 বিন্দুতে f(x) ফাংশনের মান f(1.1461)= -0.00006 এর সমান।

নিউটনের পদ্ধতির একটি উচ্চ অভিসারী হার রয়েছে, তবে প্রতিটি ধাপে এটির জন্য শুধুমাত্র ফাংশনের মান নয়, এর ডেরিভেটিভও গণনা করা প্রয়োজন।

জ্যা পদ্ধতি

জ্যা পদ্ধতির জ্যামিতিক ব্যাখ্যানিম্নরূপ
(চিত্র 1.2.3-8)।

চলুন A এবং B বিন্দুর মাধ্যমে একটি রেখার অংশ আঁকুন। পরবর্তী অনুমান x 1 হল 0x অক্ষের সাথে জ্যাটির ছেদ বিন্দুর অবসিসা। আসুন একটি সরল রেখার অংশের সমীকরণ তৈরি করি:

আসুন y=0 সেট করি এবং x=x 1 (পরবর্তী আনুমানিক) মানটি সন্ধান করি:

আসুন মূলের পরবর্তী অনুমান পেতে গণনা প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করি - x 2 :

আমাদের ক্ষেত্রে (চিত্র 1.2.11) এবং জ্যা পদ্ধতির গণনা সূত্রের ফর্ম থাকবে

এই সূত্রটি বৈধ যখন বিন্দু বি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হিসাবে নেওয়া হয় এবং একটি বিন্দু একটি প্রাথমিক অনুমান হিসাবে কাজ করে।

আসুন আরেকটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক (চিত্র 1.2.3-9), কখন .

এই ক্ষেত্রে সরলরেখা সমীকরণ ফর্ম আছে

পরবর্তী অনুমান x 1 এ y = 0

তারপর এই ক্ষেত্রে জ্যা পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি সূত্র ফর্ম আছে

এটি লক্ষ করা উচিত যে জ্যা পদ্ধতিতে নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে সেগমেন্টের শেষ হিসাবে বেছে নেওয়া হয়েছে যার জন্য শর্ত f (x)∙f¢ (x)>0 সন্তুষ্ট।

এইভাবে, যদি একটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হিসাবে নেওয়া হয় , তারপর x 0 = b প্রাথমিক অনুমান হিসাবে কাজ করে এবং এর বিপরীতে।

জ্যা সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণ f(x) = 0 এর মূলের গণনা নিশ্চিত করার পর্যাপ্ত শর্তগুলি স্পর্শক পদ্ধতির (নিউটনের পদ্ধতি) মতোই হবে, শুধুমাত্র প্রাথমিক আনুমানিকতার পরিবর্তে, একটি নির্দিষ্ট বিন্দু বেছে নেওয়া হয়। জ্যা পদ্ধতি নিউটনের পদ্ধতির একটি পরিবর্তন। পার্থক্য হল নিউটনের পদ্ধতিতে পরবর্তী অনুমান হল 0X অক্ষের সাথে স্পর্শকটির ছেদ বিন্দু এবং জ্যা পদ্ধতিতে - 0X অক্ষের সাথে জ্যাটির ছেদ বিন্দু - অনুমানগুলি বিভিন্ন দিক থেকে মূলে একত্রিত হয় .

জ্যা পদ্ধতির ত্রুটি অনুমান এক্সপ্রেশন দ্বারা দেওয়া হয়

(1.2.3-15)

জ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়া শেষ করার শর্ত

(1.2.3-16)

ক্ষেত্রে এম 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e

উদাহরণ 1.2.3-4. e x – 3x = 0 সমীকরণটির মূলটি স্পষ্ট করুন, 10 -4 এর নির্ভুলতার সাথে সেগমেন্টে বিভক্ত।

চলুন কনভারজেন্স অবস্থা পরীক্ষা করা যাক:

ফলস্বরূপ, a=0 স্থির বিন্দু হিসাবে বেছে নেওয়া উচিত, এবং x 0 =1 প্রাথমিক অনুমান হিসাবে নেওয়া উচিত, যেহেতু f(0)=1>0 এবং f(0)*f"(0)>0।

একটি ফাংশন ন্যূনতম করার সমস্যায়, প্রাথমিক আনুমানিকতার সফল পছন্দটি অবশ্যই গুরুত্বপূর্ণ সাধারণ নিয়ম, যা সমস্ত ক্ষেত্রে সন্তোষজনক হবে, অর্থাৎ, সমস্ত সম্ভাব্য অরৈখিক ফাংশনগুলির জন্য প্রতিবার আপনাকে নিজের সমাধান খুঁজতে হবে৷ নীচে আমরা মোটামুটি প্রাথমিক আনুমানিকতা খুঁজে বের করার জন্য কিছু পদ্ধতির একটি সেট প্রস্তাব করছি, যা বাস্তবে একটি নির্দিষ্ট সমস্যায় সন্তোষজনক অনুমান অনুসন্ধানের জন্য একটি সূচনা বিন্দু হিসাবে কাজ করতে পারে।

9.6.1। গ্রিড অনুসন্ধান। এই পদ্ধতিটি বিশেষ করে অল্প সংখ্যক প্রকৃত ননলিনিয়ার প্যারামিটারের সাথে কার্যকর। প্রায়শই ফাংশনগুলি এমনভাবে ডিজাইন করা হয় যে যখন কিছু প্যারামিটারের মান (যাকে আমরা ননলিনিয়ার বলি) স্থির করা হয়, বাকি প্যারামিটারগুলি রৈখিক হয়ে যায়।

তারপরে অরৈখিক পরামিতিগুলির জন্য নিম্ন এবং উপরের সীমাগুলি নির্দিষ্ট করার পরে, একটি নির্দিষ্ট পদক্ষেপের সাথে এই অরৈখিক পরামিতিগুলির মানের ফলাফলের গ্রিডের বিকল্পগুলির মাধ্যমে বাছাই করা সম্ভব এবং লিনিয়ার রিগ্রেশন সনাক্ত করা সম্ভব যা সর্বনিম্ন সমষ্টির দিকে নিয়ে যায় বর্গক্ষেত্র

একটি উদাহরণ হিসাবে, ফাংশন বিবেচনা করুন

এখানে প্রকৃত ননলাইনার প্যারামিটার হবে। বলে রাখি এটা জানা গেছে। h প্যারামিটারের জন্য ধাপ হিসাবে ধরা যাক। আসুন লিনিয়ার রিগ্রেশন গণনা করি

যেখানে আমরা তাদের প্রতিটির জন্য সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্রের যোগফল খুঁজে পাই। তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতমটি সর্বোত্তম প্রাথমিক আনুমানিকতার সাথে মিলে যায়। নীতিগতভাবে, গ্রিডের "ঘনত্ব" যে ধাপের উপর নির্ভর করে তা পরিবর্তিত হতে পারে, যাতে h এর মান হ্রাস করে, প্যারামিটারের মানগুলি যে কোনও নির্ভুলতার সাথে পাওয়া যায়।

9.6.2। মডেল রূপান্তর।

কখনও কখনও, কিছু রূপান্তরের মাধ্যমে, মডেলটিকে রৈখিক থেকে কমিয়ে আনা যেতে পারে বা প্রকৃত অরৈখিক প্যারামিটারের সংখ্যা হ্রাস করা যেতে পারে (বিভাগ 6.2.3 দেখুন)। একটি লজিস্টিক বক্ররেখার উদাহরণ ব্যবহার করে কীভাবে এটি অর্জন করা যায় তা দেখাই

সংশ্লিষ্ট রিগ্রেশন সমীকরণে বিপরীত রূপান্তর সম্পাদন করে, আমরা পাই

চিহ্নিত করার মাধ্যমে, আমরা একটি নতুন ফাংশনে পৌঁছেছি, যার রৈখিক পরামিতির সংখ্যা এক থেকে দুই পর্যন্ত বেড়েছে। নতুন মডেলের প্যারামিটারের অনুমান পাওয়া যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী পদ্ধতি ব্যবহার করে।

এখানে রিগ্রেশন মডেলের রূপান্তর সম্পর্কে নিম্নলিখিত মন্তব্য করা উপযুক্ত। এটি মনে রাখা উচিত যে মূল সমীকরণে যে ত্রুটিটি সংযোজনী ছিল তা সাধারণভাবে বলতে গেলে, রূপান্তরের পরে আর যোগ হবে না।

টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ ব্যবহার করে এবং এর দ্বারা রূপান্তর নির্দেশ করে, আমরা অর্ডারের শর্তাবলীকে উপেক্ষা করে পাই

এটি অনুসরণ করে

একটি রূপান্তরিত মডেলের সাথে সমস্যাটি বিশ্লেষণ করার জন্য সর্বশেষ সমতাটিকে একটি ভিত্তি হিসাবে নেওয়া যেতে পারে।

9.6.3। নমুনাটিকে সাবস্যাম্পলে ভাগ করা।

প্রাথমিক আনুমানিকতা খুঁজে বের করার জন্য, আপনি সম্পূর্ণ নমুনাটিকে উপ-নমুনাগুলিতে ভাগ করতে পারেন (প্রায় সমান ভলিউম সহ), যেখানে অজানা পরামিতির সংখ্যা রয়েছে। প্রতিটি উপ-নমুনার জন্য, আমরা y এবং X-এর উপরে গড় খুঁজে পাই, যা আমরা যথাক্রমে m দ্বারা চিহ্নিত করি, আসুন আমরা ননলাইনার সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করি

এই সিস্টেমের সমাধান হবে পরামিতিগুলির প্রাথমিক অনুমান। স্পষ্টতই, যাতে এই পদ্ধতি"কাজ" করার জন্য, অরৈখিক সমীকরণের এই সিস্টেমটি বেশ সহজে সমাধান করা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ বিশ্লেষণাত্মকভাবে।

9.6.4। স্বাধীন ভেরিয়েবলে টেলর সিরিজের বিস্তার।

স্কোয়ারের যোগফলের পুনরাবৃত্তিমূলক ন্যূনতমকরণের ভিত্তি হল একটি টেলর সিরিজের রিগ্রেশন ফাংশনকে প্যারামিটারের রৈখিক পদে সম্প্রসারণ করা। একটি মোটামুটি প্রাথমিক আনুমানিকতা খুঁজে পেতে, স্বাধীন ভেরিয়েবলে এটিকে একটি টেলর সিরিজে প্রসারিত করে রিগ্রেশন আনুমানিক পদ্ধতি কখনও কখনও দরকারী। সরলতার জন্য, আমরা ধরে নেব যে এটি এক-মাত্রিক। গড় মান হতে দিন, তারপর প্রায়

আমরা বোঝাই, এইভাবে আমরা রৈখিক মডেলে পৌঁছেছি

এর পরামিতিগুলির আনুমানিক বর্গাকার অনুমান করা যাক লিনিয়ার রিগ্রেশন. প্রাথমিক অনুমান হিসাবে, আমরা সাপেক্ষে সমীকরণের একটি ননলাইনার সিস্টেমের সমাধান নেব

গণিতের পাঠে সমীকরণগুলি সমাধান করার সাথে স্কুলে লড়াই করার সময়, অনেক শিক্ষার্থী প্রায়ই নিশ্চিত হয় যে তারা তাদের সময় সম্পূর্ণরূপে নিরর্থকভাবে নষ্ট করছে, এবং তবুও এই জাতীয় দক্ষতা কেবল তাদের জন্যই নয় যারা ডেসকার্টের পদাঙ্ক অনুসরণ করার সিদ্ধান্ত নেয়, তাদের জন্য জীবনে কার্যকর হবে। অয়লার বা লোবাচেভস্কি।

অনুশীলনে, উদাহরণস্বরূপ, ওষুধ বা অর্থনীতিতে, প্রায়শই এমন পরিস্থিতি থাকে যখন একজন বিশেষজ্ঞকে খুঁজে বের করতে হয় কখন একটি নির্দিষ্ট ওষুধের সক্রিয় পদার্থের ঘনত্ব রোগীর রক্তে প্রয়োজনীয় স্তরে পৌঁছাবে বা একটি ওষুধের জন্য প্রয়োজনীয় সময় গণনা করতে হবে। লাভজনক হতে বিশেষ ব্যবসা।

আরো প্রায়ই আমরা সম্পর্কে কথা বলছিবিভিন্ন ধরনের অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের উপর। সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি আপনাকে যত তাড়াতাড়ি সম্ভব এটি করতে দেয়, বিশেষ করে একটি কম্পিউটার ব্যবহার করে। তারা ভাল অধ্যয়ন করা হয় এবং দীর্ঘ তাদের কার্যকারিতা প্রমাণিত হয়েছে. এর মধ্যে রয়েছে নিউটনের স্পর্শক পদ্ধতি, যা এই নিবন্ধের বিষয়।

সমস্যার বিবৃতি

এই ক্ষেত্রে, একটি ফাংশন g আছে, যা সেগমেন্টে (a, b) সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং এটির উপর নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করে, অর্থাৎ, প্রতিটি x (a, b) এর সাথে সম্পর্কিত একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সাথে যুক্ত হতে পারে (x)।

পয়েন্ট a এবং b (প্রান্তগুলি সহ) এর মধ্যবর্তী ব্যবধান থেকে সমীকরণের সমস্ত মূল স্থাপন করা প্রয়োজন, যার জন্য ফাংশনটি শূন্যে সেট করা হয়েছে। স্পষ্টতই, এইগুলি OX-এর সাথে y = g(x) এর ছেদ বিন্দু হবে।

কিছু কিছু ক্ষেত্রে, g(x)=0কে একই রকমের সাথে প্রতিস্থাপন করা আরও সুবিধাজনক, যেমন g 1 (x) = g 2 (x)। এই ক্ষেত্রে, g 1 (x) এবং g 2 (x) গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলির abscissas (x মান) মূল হিসাবে কাজ করে।

সমাধান অরৈখিক সমীকরণএছাড়াও অপ্টিমাইজেশান সমস্যার জন্য গুরুত্বপূর্ণ যার জন্য শর্ত স্থানীয় চরম- একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভকে 0 এ পরিণত করা। অন্য কথায়, p(x) = 0 সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার জন্য এই ধরনের সমস্যা কমানো যেতে পারে, যেখানে p(x) g"(x) এর সাথে অভিন্ন।

সমাধান পদ্ধতি

কিছু ধরণের অরৈখিক সমীকরণের জন্য, যেমন দ্বিঘাত বা সরল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, শিকড়গুলি মোটামুটি সহজ উপায়ে পাওয়া যেতে পারে। বিশেষ করে, প্রতিটি স্কুলছাত্র এমন সূত্রগুলি জানে যা সহজেই বিন্দুগুলির যুক্তির মানগুলি খুঁজে পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে চতুর্মুখী ত্রিনয়ক অদৃশ্য হয়ে যায়।

অরৈখিক সমীকরণের শিকড় বের করার পদ্ধতিগুলি সাধারণত বিশ্লেষণাত্মক (সরাসরি) এবং পুনরাবৃত্তে বিভক্ত। প্রথম ক্ষেত্রে, পছন্দসই সমাধানের একটি সূত্রের আকার রয়েছে, যা ব্যবহার করে, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপে, কেউ পছন্দসই শিকড়ের মান খুঁজে পেতে পারে। সূচকীয়, ত্রিকোণমিতিক, লগারিদমিক এবং সরল জন্য অনুরূপ পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে বীজগণিত সমীকরণ. বাকি জন্য, আপনি বিশেষ সংখ্যাগত পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে. এগুলি কম্পিউটার ব্যবহার করে বাস্তবায়ন করা সহজ, যা আপনাকে প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার সাথে শিকড় খুঁজে পেতে দেয়।

এই তথাকথিত অন্তর্ভুক্ত সংখ্যাগত পদ্ধতি 17 শতকের শেষের দিকে মহান বিজ্ঞানী আইজ্যাক নিউটন দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। পরবর্তী শতাব্দীতে, পদ্ধতিটি বারবার উন্নত করা হয়েছিল।

স্থানীয়করণ

জটিল সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি যেগুলির বিশ্লেষণাত্মক সমাধান নেই সেগুলি সাধারণত 2টি পর্যায়ে সঞ্চালিত হয়। প্রথমে আপনাকে তাদের স্থানীয়করণ করতে হবে। এই ক্রিয়াকলাপটি OX-এ এমন সেগমেন্টগুলি খুঁজে নিয়ে গঠিত যেখানে সমীকরণটির একটি মূল সমাধান করা হচ্ছে।

এর সেগমেন্ট বিবেচনা করা যাক. যদি g(x) এর উপর কোন বিচ্ছিন্নতা না থাকে এবং শেষ বিন্দুতে বিভিন্ন চিহ্নের মান নেয়, তাহলে a এবং b এর মধ্যে বা তাদের মধ্যে g(x) = 0 সমীকরণের কমপক্ষে 1টি মূল আছে। অনন্য হতে হবে, এটা প্রয়োজন যে g(x) একঘেয়ে ছিল না। হিসাবে জানা যায়, এটিতে এই বৈশিষ্ট্য থাকবে যদি g’(x) এর চিহ্ন ধ্রুবক থাকে।

অন্য কথায়, যদি g(x) এর কোনো বিরতি না থাকে এবং একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় এবং শেষ বিন্দুতে এর মানগুলির একই চিহ্ন না থাকে, তাহলে g(x) এর 1 এবং শুধুমাত্র 1 মূল আছে।

যাইহোক, আপনার জানা উচিত যে একাধিক সমীকরণের মূলে এই মানদণ্ড প্রযোজ্য হবে না।

অর্ধেক করে একটি সমীকরণ সমাধান করা

আরও জটিল সংখ্যাসূচক স্পর্শক এবং এর জাতগুলি বিবেচনা করার আগে, এটি সবচেয়ে বেশি পরিচিত হওয়া মূল্যবান একটি সহজ উপায়েশিকড় সনাক্তকরণ। একে বলা হয় দ্বিধাবিভক্তি এবং উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে শিকড়ের স্বজ্ঞাত অনুসন্ধানকে বোঝায় যে যদি জি(এক্স), একটি অবিচ্ছিন্ন একটি, বিভিন্ন চিহ্নের শর্ত সন্তুষ্ট হয়, তবে বিবেচনাধীন অংশে কমপক্ষে 1টি মূল g( x) = 0।

এটি খুঁজে পেতে, আপনাকে সেগমেন্টটিকে অর্ধেক ভাগ করতে হবে এবং মধ্যবিন্দুটিকে x 2 হিসাবে মনোনীত করতে হবে। তারপরে দুটি বিকল্প সম্ভব: g(x 0) * g(x 2) বা g(x 2) * g(x 1) 0 এর সমান বা কম। এই অসমতাগুলির মধ্যে কোনটির জন্য সত্য তা আমরা বেছে নিই। আমরা উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করি যতক্ষণ না দৈর্ঘ্য একটি নির্দিষ্ট প্রাক-নির্বাচিত মানের থেকে কম হয়ে যায় যা তে সমীকরণের মূল নির্ধারণের নির্ভুলতা নির্ধারণ করে।

পদ্ধতির সুবিধার মধ্যে রয়েছে এর নির্ভরযোগ্যতা এবং সরলতা, কিন্তু অসুবিধা হল প্রাথমিকভাবে এমন পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করার প্রয়োজন যেখানে g(x) বিভিন্ন চিহ্ন নেয়, তাই এটি এমনকি বহুগুণের মূলের জন্য ব্যবহার করা যাবে না। উপরন্তু, এটি সমীকরণের একটি সিস্টেমের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করে না বা যদি আমরা জটিল শিকড় সম্পর্কে কথা বলি।

উদাহরণ 1

আসুন আমরা সমীকরণটি সমাধান করতে চাই g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0। একটি উপযুক্ত বিভাগ খুঁজতে দীর্ঘ সময় ব্যয় না করার জন্য, আমরা একটি গ্রাফ তৈরি করি, উদাহরণস্বরূপ, সুপরিচিত এক্সেল প্রোগ্রামটি ব্যবহার করে। . আমরা দেখতে পাই যে রুট স্থানীয়করণের জন্য একটি সেগমেন্ট হিসাবে ব্যবধান থেকে মানগুলি নেওয়া ভাল। আমরা নিশ্চিত হতে পারি যে এটিতে প্রয়োজনীয় সমীকরণের অন্তত একটি মূল রয়েছে।

g"(x) = 10x 4 + 1, অর্থাৎ এটি একটি একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন, তাই নির্বাচিত অংশে শুধুমাত্র 1টি রুট রয়েছে।

আমরা সমীকরণে শেষ পয়েন্টগুলি প্রতিস্থাপন করি। আমরা যথাক্রমে 0 এবং 1 আছে. প্রথম ধাপে, আমরা সমাধান হিসাবে পয়েন্ট 0.5 গ্রহণ করি। তারপর g(0.5) = -0.4375। এর মানে হল যে পরবর্তী সেগমেন্ট অর্ধেক হবে। এর মধ্যবিন্দু 0.75। এতে, ফাংশনের মান 0.226। আমরা সেগমেন্ট এবং এর মাঝামাঝি বিবেচনা করি, যা 0.625 পয়েন্টে অবস্থিত। আমরা g(x) এর মান 0.625 গণনা করি। এটি -0.11 এর সমান, অর্থাৎ নেতিবাচক। এই ফলাফলের উপর ভিত্তি করে, আমরা বিভাগটি নির্বাচন করি। আমরা x = 0.6875 পাই। তারপর g(x) = -0.00532। যদি সমাধানের নির্ভুলতা 0.01 হয়, তাহলে আমরা অনুমান করতে পারি যে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল 0.6875।

তাত্ত্বিক ভিত্তি

নিউটনের স্পর্শক পদ্ধতি ব্যবহার করে শিকড় খোঁজার এই পদ্ধতিটি খুব দ্রুত অভিসারণের কারণে জনপ্রিয়।

এটি প্রমাণিত সত্যের উপর ভিত্তি করে যে x n যদি মূল f(x) = 0 এর একটি অনুমান হয়, যেমন f" C 1, তাহলে পরবর্তী আনুমানিক বিন্দুতে হবে যেখানে স্পর্শকের সমীকরণ f(x) এর সাথে শূন্য হয়, অর্থাৎ

x = x n+1 প্রতিস্থাপন করুন এবং y কে শূন্যে সেট করুন।

তারপর স্পর্শক এই মত দেখায়:

উদাহরণ 2

ব্যবহার করার চেষ্টা করা যাক ক্লাসিক পদ্ধতিনিউটনের স্পর্শক এবং যে কোনো অরৈখিক সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করুন যা বিশ্লেষণাত্মকভাবে খুঁজে পাওয়া কঠিন বা অসম্ভব।

কিছু নির্ভুলতার সাথে x 3 + 4x - 3 = 0 এর জন্য শিকড় সনাক্ত করা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ 0.001। যেমনটি জানা যায়, বিজোড় ডিগ্রির বহুপদী আকারে যেকোন ফাংশনের গ্রাফকে অবশ্যই OX অক্ষকে অন্তত একবার ছেদ করতে হবে, অর্থাৎ শিকড়ের অস্তিত্ব সম্পর্কে কোনো সন্দেহ নেই।

স্পর্শক পদ্ধতি ব্যবহার করে আমাদের উদাহরণ সমাধান করার আগে, আমরা একটি গ্রাফ তৈরি করি f(x) = x 3 + 4x - 3 পয়েন্টওয়াইসে। এটি করা খুব সহজ, উদাহরণস্বরূপ, একটি এক্সেল স্প্রেডশীট প্রসেসর ব্যবহার করে। প্রাপ্ত গ্রাফ থেকে এটি স্পষ্ট হবে যে এটি OX অক্ষের সাথে ছেদ করে না এবং ফাংশন y = x 3 + 4x - 3 একঘেয়ে বৃদ্ধি পায়। আমরা নিশ্চিত হতে পারি যে x 3 + 4x - 3 = 0 সমীকরণটির একটি সমাধান আছে এবং এটি অনন্য।

অ্যালগরিদম

স্পর্শক পদ্ধতি দ্বারা সমীকরণের যেকোনো সমাধান f"(x) এর গণনা দিয়ে শুরু হয়। আমাদের আছে:

তাহলে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হবে x*6।

এই অভিব্যক্তিগুলি ব্যবহার করে, আমরা ফর্মটিতে স্পর্শক পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমীকরণের শিকড় সনাক্ত করার জন্য একটি সূত্র লিখতে পারি:

এর পরে, আপনাকে একটি প্রাথমিক অনুমান নির্বাচন করতে হবে, অর্থাৎ, পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়ার জন্য কোন বিন্দুটিকে প্রারম্ভিক বিন্দু (ভলিউম x 0) হিসাবে বিবেচনা করা হবে তা নির্ধারণ করা শুরু করুন। আমরা সেগমেন্টের শেষ বিবেচনা. আমরা একটি ব্যবহার করব যার জন্য শর্তটি যে ফাংশন এবং x 0 এ এর ​​2য় ডেরিভেটিভ বিভিন্ন চিহ্নের সত্য। আমরা দেখতে পাচ্ছি, x 0 = 0 প্রতিস্থাপন করার সময় এটি ভেঙে যায়, কিন্তু x 0 = 1 বেশ উপযুক্ত।

তারপর যদি আমরা নির্ভুলতার সাথে স্পর্শক পদ্ধতিটি সমাধান করতে আগ্রহী হই, তাহলে x n মানটিকে সমস্যার প্রয়োজনীয়তা পূরণ করার জন্য বিবেচনা করা যেতে পারে, তবে শর্ত থাকে যে অসমতা |f(x n) / f’(x n)|< e.

প্রথম স্পর্শক ধাপে আমাদের আছে:

• x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1- 0.2857 = 0.71429;
• যেহেতু শর্ত পূরণ হয়নি, আমরা এগিয়ে যাই;
• আমরা x 2 এর জন্য একটি নতুন মান পাই, যা 0.674 এর সমান;
• আমরা লক্ষ্য করি যে x 2-এ ফাংশনের মানের অনুপাত 0.0063-এর চেয়ে কম, আমরা প্রক্রিয়াটি বন্ধ করি।

এক্সেলে স্পর্শক পদ্ধতি

আপনি যদি ম্যানুয়ালি (ক্যালকুলেটরে) গণনা না করেন তবে আপনার ক্ষমতাগুলি ব্যবহার করলে আপনি আগের উদাহরণটি আরও সহজ এবং দ্রুত সমাধান করতে পারেন টেবিল প্রসেসরমাইক্রোসফট থেকে।

এক্সেলে এটি করার জন্য আপনাকে তৈরি করতে হবে নতুন পাতাএবং নিম্নলিখিত সূত্র দিয়ে এর কোষগুলি পূরণ করুন:

• C7 এ আমরা লিখি “= DEGREE (B7;3) + 4 * B7 - 3”;
• D7 এ আমরা "= 4 + 3 * ডিগ্রী (B7;2)" লিখি;
• E7 এ আমরা লিখি “= (ডিগ্রী (বি7;3)- 3 + 4 * বি7) / (3* ডিগ্রী (বি7;2) + 4)”;
• D7 এ আমরা "=B7 - E7" অভিব্যক্তি লিখি;
• B8 এ আমরা শর্ত সূত্র লিখি “=IF(E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

একটি নির্দিষ্ট সমস্যায়, শিলালিপি "পুনরাবৃত্তি সম্পূর্ণ করা" সেল B10-এ প্রদর্শিত হবে এবং সমস্যার সমাধান করার জন্য আপনাকে উপরের এক লাইনে অবস্থিত ঘরে লেখা নম্বরটি নিতে হবে। আপনি সেখানে একটি সূত্র-শর্ত প্রবেশ করে এটির জন্য একটি পৃথক "প্রসারিতযোগ্য" কলাম নির্বাচন করতে পারেন, সেই অনুযায়ী ফলাফলটি সেখানে লেখা হবে যদি কলাম B-এর এক বা অন্য কক্ষের বিষয়বস্তু "পুনরাবৃত্তির সমাপ্তি" রূপ নেয়।

প্যাসকেলে বাস্তবায়ন

প্যাসকেলে স্পর্শক পদ্ধতি ব্যবহার করে y = x 4 - 4 - 2 * x অরৈখিক সমীকরণের একটি সমাধান পাওয়ার চেষ্টা করা যাক।

আমরা একটি সহায়ক ফাংশন ব্যবহার করি যা একটি আনুমানিক গণনা চালাতে সাহায্য করবে f"(x) = (f(x + ডেল্টা) - f(x)) / ডেল্টা৷ পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়াটি সম্পূর্ণ করার শর্ত হিসাবে, আমরা এর পূর্ণতা নির্বাচন করি অসমতা |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

প্রোগ্রামটি উল্লেখযোগ্য যে এটি ডেরিভেটিভের ম্যানুয়াল গণনার প্রয়োজন নেই।

জ্যা পদ্ধতি

চলুন অরৈখিক সমীকরণের মূল শনাক্ত করার আরেকটি উপায় বিবেচনা করা যাক। পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়াটি এই বাস্তবতায় গঠিত যে f(x) = 0 এর জন্য কাঙ্ক্ষিত মূলের ধারাবাহিক অনুমান হিসাবে, OX এর সাথে শেষ বিন্দু a এবং b এর abscissa সহ জ্যার ছেদ বিন্দুর মানগুলি নেওয়া হয়, x 1, ..., x n হিসাবে চিহ্নিত। আমাদের আছে:

যে বিন্দুতে জ্যা OX অক্ষকে ছেদ করে, তার জন্য অভিব্যক্তিটি লেখা হবে:

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি x £ এর জন্য ধনাত্মক হতে দিন (যদি আমরা f(x) = 0 লিখি তবে বিপরীত ক্ষেত্রে বিবেচনাধীন একটিতে হ্রাস পাবে)। এই ক্ষেত্রে, গ্রাফ y = f(x) একটি বক্ররেখা, নীচে উত্তল এবং জ্যার নীচে অবস্থিত এবি. 2টি ক্ষেত্রে হতে পারে: যখন একটি বিন্দুতে ফাংশনের একটি ধনাত্মক মান থাকে বা বি বিন্দুতে এটি ঋণাত্মক হয়।

প্রথম ক্ষেত্রে, আমরা স্থির হিসাবে শেষ a বেছে নিই এবং বি বিন্দুকে x 0 হিসাবে নিই। তারপরে উপরে উপস্থাপিত সূত্র অনুসারে ধারাবাহিক অনুমানগুলি একটি ক্রম তৈরি করে যা একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, শেষ b x 0 = a এ স্থির করা হয়েছে। প্রতিটি পুনরাবৃত্তি ধাপে প্রাপ্ত x মানগুলি একটি ক্রম তৈরি করে যা একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়।

সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে:

• জ্যা পদ্ধতিতে, সেগমেন্টের নির্দিষ্ট প্রান্ত যেখানে ফাংশনের চিহ্ন এবং এর দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ মিলে না;
• মূলের অনুমান x - x m - এটির পাশ থেকে যেখানে f(x) এর একটি চিহ্ন রয়েছে যা f"" (x) চিহ্নের সাথে মিলে না।

পুনরাবৃত্তি চালিয়ে যাওয়া যেতে পারে যতক্ষণ না শিকড়ের নৈকট্যের শর্ত পূরণ না হয় এবং পূর্ববর্তী পুনরাবৃত্তি ধাপ মডুলো abs(x m - x m - 1)< e.

পরিবর্তিত পদ্ধতি

জ্যা এবং স্পর্শকগুলির সম্মিলিত পদ্ধতি আপনাকে বিভিন্ন দিক থেকে তাদের কাছে এসে একটি সমীকরণের শিকড় স্থাপন করতে দেয়। এই মান, যেখানে গ্রাফ f(x) OX কে ছেদ করে, আপনাকে প্রতিটি পদ্ধতি আলাদাভাবে ব্যবহার করার চেয়ে সমাধানটিকে আরও দ্রুত পরিমার্জন করতে দেয়।

ধরুন আমাদের f(x)=0 এর শিকড় খুঁজে বের করতে হবে, যদি সেগুলি তে থাকে। আপনি উপরে বর্ণিত যে কোনো পদ্ধতি প্রয়োগ করতে পারেন। যাইহোক, তাদের একটি সংমিশ্রণ চেষ্টা করা ভাল, যা উল্লেখযোগ্যভাবে মূলের নির্ভুলতা উন্নত করবে।

প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু x-এ বিভিন্ন চিহ্নের হয় এমন শর্তের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি প্রাথমিক অনুমান সহ কেসটিকে আমরা বিবেচনা করি।

এই ধরনের অবস্থার অধীনে, স্পর্শক পদ্ধতি দ্বারা অরৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করা একজনকে x 0 =b হলে অতিরিক্ত সহ একটি মূল খুঁজে পেতে দেয় এবং একটি নির্দিষ্ট প্রান্ত b সহ জ্যা ব্যবহার করার পদ্ধতিটি একটি ঘাটতি সহ একটি আনুমানিক মূল খুঁজে বের করে।

ব্যবহৃত সূত্র:

এখন প্রয়োজনীয় রুট x ব্যবধানে অনুসন্ধান করতে হবে। পরবর্তী ধাপে, আপনাকে এই বিভাগে সম্মিলিত পদ্ধতি প্রয়োগ করতে হবে। এইভাবে এগিয়ে যাওয়া, আমরা ফর্মের সূত্রগুলি পাই:

যদি প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের আলাদা আলাদা লক্ষণ থাকে, তাহলে একইভাবে যুক্তি দিয়ে মূলটিকে স্পষ্ট করার জন্য আমরা নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্ত সূত্রগুলি পাই:

ব্যবহৃত শর্ত হল আনুমানিক অসমতা| b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

যদি উপরের অসমতা সত্য হয়, তাহলে একটি প্রদত্ত সেগমেন্টে অরৈখিক সমীকরণের মূল হিসাবে, একটি নির্দিষ্ট পুনরাবৃত্তি ধাপে পাওয়া সমাধানগুলির মধ্যে ঠিক অর্ধেক বিন্দুটি নিন।

TURBO PASCAL পরিবেশে সম্মিলিত পদ্ধতিটি সহজেই প্রয়োগ করা হয়। আপনি যদি সত্যিই চান, আপনি Excel এ ট্যাবুলার পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্ত গণনা চালানোর চেষ্টা করতে পারেন।

পরবর্তী ক্ষেত্রে, কর্ড ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের জন্য এবং আইজ্যাক নিউটনের প্রস্তাবিত পদ্ধতির জন্য আলাদাভাবে বেশ কয়েকটি কলাম বরাদ্দ করা হয়েছে।

এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি লাইন দুটি পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট পুনরাবৃত্তি ধাপে গণনা রেকর্ড করতে ব্যবহৃত হয়। তারপরে, সমাধানের ক্ষেত্রের বাম দিকে, সক্রিয় কাজের পৃষ্ঠায় একটি কলাম হাইলাইট করা হয়েছে যেখানে প্রতিটি পদ্ধতির জন্য পরবর্তী পুনরাবৃত্তিমূলক ধাপের মানের পার্থক্যের মডিউল গণনা করার ফলাফল প্রবেশ করানো হয়েছে। লজিক্যাল কনস্ট্রাক্ট "IF" গণনার সূত্র ব্যবহার করে গণনার ফলাফল লিখতে আরেকটি ব্যবহার করা যেতে পারে, যা একটি শর্ত সত্য কিনা তা খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়।

এখন আপনি কিভাবে জটিল সমীকরণ সমাধান করতে জানেন. স্পর্শক পদ্ধতি, আপনি ইতিমধ্যে দেখেছেন, প্যাসকেল এবং এক্সেল উভয় ক্ষেত্রেই বেশ সহজভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে। অতএব, আপনি সর্বদা একটি সমীকরণের মূল নির্ধারণ করতে পারেন যা সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা কঠিন বা অসম্ভব।