নির্দেশনা

মূলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার আগে, সমাধান করা উদাহরণে উপস্থিত অন্যান্য ফাংশনগুলিতে মনোযোগ দিন। যদি সমস্যাটির অনেক র্যাডিকাল অভিব্যক্তি থাকে, তাহলে বর্গমূলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য নিম্নলিখিত নিয়মটি ব্যবহার করুন:

(√x)" = 1 / 2√x।

এবং ঘনমূলের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, সূত্রটি ব্যবহার করুন:

(³√x)" = 1 / 3(³√x)²,

যেখানে ³√x x এর ঘনমূল নির্দেশ করে।

যদি, পার্থক্যের উদ্দেশ্যে, ভগ্নাংশে একটি পরিবর্তনশীল থাকে, তাহলে উপযুক্ত সূচক সহ মূলটিকে একটি পাওয়ার ফাংশনে রূপান্তর করুন। একটি বর্গমূলের জন্য এটি হবে ½ এর শক্তি, এবং একটি ঘনমূলের জন্য এটি হবে ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

যেখানে ^ সূচক বোঝায়।

সাধারণভাবে একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং x^1, x^⅓ বিশেষভাবে, নিম্নলিখিত নিয়মটি ব্যবহার করুন:

(x^n)" = n * x^(n-1)।

একটি মূলের ডেরিভেটিভের জন্য, এই সম্পর্কটি বোঝায়:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) এবং
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔)।

সবকিছু আলাদা করার পরে, বাকি উদাহরণটি মনোযোগ সহকারে দেখুন। যদি আপনার উত্তরে একটি খুব কষ্টকর অভিব্যক্তি থাকে, তাহলে আপনি সম্ভবত এটি সরলীকরণ করতে পারেন। বেশিরভাগ স্কুলের উদাহরণগুলি এমনভাবে গঠন করা হয় যে শেষ ফলাফলটি একটি ছোট সংখ্যা বা একটি কম্প্যাক্ট এক্সপ্রেশন।

অনেক ডেরিভেটিভ সমস্যায়, মূল (বর্গ এবং ঘনক) অন্যান্য ফাংশনের সাথে একসাথে পাওয়া যায়। এই ক্ষেত্রে মূলের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, নিম্নলিখিত নিয়মগুলি ব্যবহার করুন:
একটি ধ্রুবক (ধ্রুবক সংখ্যা, C) এর ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান: C" = 0;
ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে বের করা হয়: (k*f)" = k * (f)" (f একটি নির্বিচারে ফাংশন);
বেশ কয়েকটি ফাংশনের যোগফলের ডেরিভেটিভ ডেরিভেটিভের যোগফলের সমান: (f + g)" = (f)" + (g)";
দুটি ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ সমান... না, ডেরিভেটিভের গুণফল নয়, কিন্তু নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি: (fg)" = (f)"g + f (g)";
ভাগফলের ডেরিভেটিভও ডেরিভেটিভের ভাগফলের সমান নয়, তবে নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে পাওয়া যায়: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g²।

দয়া করে নোট করুন

এই পৃষ্ঠায় আপনি অনলাইনে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করতে পারেন এবং সমস্যার একটি বিশদ সমাধান পেতে পারেন। ইনস্টিটিউটে গাণিতিক বিশ্লেষণের কোর্সে শিক্ষার্থীরা যে পার্থক্যের নিয়মগুলি অধ্যয়ন করে তা ব্যবহার করে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের সমাধান তৈরি করা হয়। একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, আপনাকে ডেটা এন্ট্রি নিয়ম অনুসারে "ফাংশন" ক্ষেত্রে পার্থক্যের জন্য ফাংশনটি প্রবেশ করতে হবে।

দরকারী পরামর্শ

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল একটি ফাংশনের বৃদ্ধি এবং যুক্তির বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা যখন আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি শূন্য হয়: এই সংজ্ঞাটির গাণিতিক অর্থ বোঝা খুব সহজ নয়, যেহেতু একটি স্কুলে বীজগণিত কোর্সে একটি ফাংশনের সীমার ধারণাটি হয় একেবারেই অধ্যয়ন করা হয় না বা খুব সূক্ষ্মভাবে অধ্যয়ন করা হয়। কিন্তু বিভিন্ন ফাংশনের ডেরিভেটিভগুলি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা শিখতে, এটি প্রয়োজনীয় নয়।

সূত্র:

• x এর প্রাপ্ত মূল

একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রের উৎপত্তি (x থেকে a এর শক্তি)। x এর শিকড় থেকে ডেরিভেটিভ বিবেচনা করা হয়। উচ্চ ক্রম পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র। ডেরিভেটিভ গণনা করার উদাহরণ।

বিষয়বস্তু

আরও দেখুন: পাওয়ার ফাংশন এবং শিকড়, সূত্র এবং গ্রাফ
পাওয়ার ফাংশন গ্রাফ

মৌলিক সূত্র

a এর ঘাত x ​​এর ডেরিভেটিভ একটি বিয়োগ এক এর শক্তির x গুণের সমান:
(1) .

x এর nম মূল থেকে mth শক্তির ডেরিভেটিভ হল:
(2) .

একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রের ডেরিভেশন

কেস x > 0

এক্সপোনেন্ট a সহ চলকের x এর একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করুন:
(3) .
এখানে a একটি নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা। প্রথমে কেসটি বিবেচনা করা যাক।

ফাংশন (3) এর ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, আমরা একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করি এবং এটিকে নিম্নলিখিত ফর্মে রূপান্তর করি:
.

এখন আমরা ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
;
.
এখানে

সূত্র (1) প্রমাণিত হয়েছে।

x এর ডিগ্রী n থেকে m ডিগ্রী পর্যন্ত একটি মূলের ডেরিভেটিভের সূত্রের উদ্ভব

এখন একটি ফাংশন বিবেচনা করুন যা নিম্নলিখিত ফর্মটির মূল:
(4) .

ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, আমরা রুটটিকে একটি পাওয়ার ফাংশনে রূপান্তরিত করি:
.
সূত্র (3) এর সাথে তুলনা করলে আমরা তা দেখতে পাই
.
তারপর
.

সূত্র (1) ব্যবহার করে আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
(1) ;
;
(2) .

অনুশীলনে, সূত্র (2) মুখস্থ করার প্রয়োজন নেই। প্রথমে মূলগুলিকে পাওয়ার ফাংশনে রূপান্তর করা অনেক বেশি সুবিধাজনক, এবং তারপর সূত্র (1) ব্যবহার করে তাদের ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করুন (পৃষ্ঠার শেষে উদাহরণগুলি দেখুন)।

কেস x = 0

যদি , তাহলে পাওয়ার ফাংশনটি x = ভেরিয়েবলের মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় 0 . 0 x = এ ফাংশন (3) এর ডেরিভেটিভ বের করি
.

. 0 :
.
এটি করার জন্য, আমরা একটি ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা ব্যবহার করি:

আসুন x = প্রতিস্থাপন করি
.
এই ক্ষেত্রে, ডেরিভেটিভ দ্বারা আমরা ডান-হাতের সীমাকে বুঝি যার জন্য।
তাই আমরা খুঁজে পেয়েছি:
তাই আমরা খুঁজে পেয়েছি:
এই ফলাফলটি সূত্র (1) থেকেও পাওয়া যায়:
(1) .
অতএব, সূত্র (1) x = এর জন্যও বৈধ 0 .

কেস এক্স< 0

ফাংশন (3) আবার বিবেচনা করুন:
(3) .
ধ্রুবক a এর নির্দিষ্ট মানের জন্য, এটি পরিবর্তনশীল x এর নেতিবাচক মানের জন্যও সংজ্ঞায়িত করা হয়।
,
যথা, একটি মূলদ সংখ্যা হতে দিন। তারপর এটি একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

যেখানে m এবং n হল পূর্ণসংখ্যা যেগুলির একটি সাধারণ ভাজক নেই। 3 যদি n বিজোড় হয়, তাহলে পাওয়ার ফাংশনটি x ভেরিয়েবলের নেতিবাচক মানের জন্যও সংজ্ঞায়িত করা হয়। 1 উদাহরণস্বরূপ, যখন n =
.
এবং m =

আমাদের কাছে x এর ঘনমূল আছে:
.
এটি পরিবর্তনশীল x এর নেতিবাচক মানের জন্যও সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।
.
ধ্রুবক a যার জন্য এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তার মূলদ মানের জন্য এবং জন্য পাওয়ার ফাংশন (3) এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, নিম্নলিখিত আকারে x কল্পনা করুন:

.
তারপর,
.
আমরা ডেরিভেটিভের চিহ্নের বাইরে ধ্রুবকটিকে রেখে এবং একটি জটিল ফাংশনকে আলাদা করার জন্য নিয়ম প্রয়োগ করে ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
.
তারপর
.
এখানে কিন্তু
(1) .

সেই থেকে

অর্থাৎ, সূত্র (1) এর জন্যও বৈধ:
(3) .
উচ্চ অর্ডার ডেরিভেটিভস
.

এখন পাওয়ার ফাংশনের উচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করা যাক
.
আমরা ইতিমধ্যে প্রথম অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি:
;

.

ডেরিভেটিভের চিহ্নের বাইরে ধ্রুবকটিকে নিয়ে, আমরা দ্বিতীয়-ক্রম ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই: একইভাবে, আমরা তৃতীয় এবং চতুর্থ ক্রমগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই:এ থেকে বোঝা যায় যে
.

নির্বিচারে nth আদেশের ডেরিভেটিভ নিম্নলিখিত ফর্ম আছে:উল্লেখ্য যে
.
যদি a একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়
,
, তারপর nম ডেরিভেটিভ ধ্রুবক:

তারপরে সমস্ত পরবর্তী ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান:

এ

ডেরিভেটিভ গণনা করার উদাহরণ
.

উদাহরণ
;
.
ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:
.

আসুন মূলকে শক্তিতে রূপান্তর করি:
;
.
তারপর মূল ফাংশন ফর্ম নেয়:
.

ক্ষমতার ডেরিভেটিভস খোঁজা:

ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ হল শূন্য:

একটি জটিল ধরনের ফাংশন সবসময় একটি জটিল ফাংশনের সংজ্ঞার সাথে খাপ খায় না। যদি y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 ফর্মের একটি ফাংশন থাকে, তাহলে এটিকে জটিল হিসাবে বিবেচনা করা যাবে না, y = sin 2 x এর বিপরীতে।

এই নিবন্ধটি একটি জটিল ফাংশনের ধারণা এবং এর সনাক্তকরণ দেখাবে। উপসংহারে সমাধানের উদাহরণ সহ ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সূত্র নিয়ে কাজ করা যাক। ডেরিভেটিভ সারণী এবং পার্থক্যের নিয়মের ব্যবহার উল্লেখযোগ্যভাবে ডেরিভেটিভ খোঁজার সময় কমিয়ে দেয়।

মৌলিক সংজ্ঞা

সংজ্ঞা 1

একটি জটিল ফাংশন হল একটি যার আর্গুমেন্টও একটি ফাংশন।

যদি একটি ফাংশন f থাকে এবং এটি একটি কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশন হয়, তাহলে g(x) = ln x হল প্রাকৃতিক লগারিদম ফাংশন। আমরা দেখতে পাই যে জটিল ফাংশন f (g (x)) arctg(lnx) হিসাবে লেখা হবে। অথবা একটি ফাংশন f, যেটি একটি ফাংশন যা 4র্থ শক্তিতে উত্থাপিত হয়, যেখানে g (x) = x 2 + 2 x - 3 একটি সম্পূর্ণ মূলদ ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয়, আমরা পাই যে f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4।

স্পষ্টতই g(x) জটিল হতে পারে। উদাহরণ y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 থেকে এটা স্পষ্ট যে g এর মান ভগ্নাংশের ঘনমূল রয়েছে। এই অভিব্যক্তিটিকে y = f (f 1 (f 2 (x))) হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। যেখান থেকে আমাদের আছে যে f হল একটি সাইন ফাংশন, এবং f 1 হল বর্গমূলের নীচে অবস্থিত একটি ফাংশন, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 একটি ভগ্নাংশ মূলদ ফাংশন।

সংজ্ঞা 3

বাসা বাঁধার মাত্রা যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) হিসাবে লেখা হয়।

সংজ্ঞা 4

ফাংশন কম্পোজিশনের ধারণাটি সমস্যার শর্ত অনুযায়ী নেস্টেড ফাংশনের সংখ্যা বোঝায়। সমাধান করতে, ফর্মের একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করুন

(f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x)

উদাহরণ

উদাহরণ 1

y = (2 x + 1) 2 ফর্মের একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।

সমাধান

শর্তটি দেখায় যে f একটি স্কোয়ারিং ফাংশন, এবং g(x) = 2 x + 1 একটি রৈখিক ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয়।

আসুন একটি জটিল ফাংশনের জন্য ডেরিভেটিভ সূত্র প্রয়োগ করি এবং লিখি:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

ফাংশনের একটি সরলীকৃত মূল ফর্ম সহ ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা প্রয়োজন। আমরা পাই:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

এখান থেকে আমরা যে আছে

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

ফলাফল একই ছিল।

এই ধরণের সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, f এবং g (x) ফর্মের ফাংশনটি কোথায় অবস্থিত হবে তা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ।

উদাহরণ 2

আপনি y = sin 2 x এবং y = sin x 2 ফর্মের জটিল ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাবেন।

সমাধান

প্রথম ফাংশন নোটেশন বলে যে f হল স্কোয়ারিং ফাংশন এবং g(x) হল সাইন ফাংশন। তারপর আমরা যে পেতে

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

দ্বিতীয় এন্ট্রি দেখায় যে f একটি সাইন ফাংশন, এবং g(x) = x 2 একটি পাওয়ার ফাংশন নির্দেশ করে। এটি অনুসরণ করে যে আমরা একটি জটিল ফাংশনের গুণফল হিসাবে লিখি

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

ডেরিভেটিভ y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) এর সূত্রটি y " = f " (f 1 (f 2 (f 3) হিসাবে লেখা হবে। . )) )) · । . . fn "(x)

উদাহরণ 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) ফাংশনের ডেরিভেটিভ নির্ণয় কর।

সমাধান

এই উদাহরণটি লেখার এবং ফাংশনের অবস্থান নির্ধারণের অসুবিধা দেখায়। তারপর y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) বোঝায় যেখানে f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) হল সাইন ফাংশন, উত্থাপনের ফাংশন 3 ডিগ্রী পর্যন্ত, লগারিদম এবং বেস e, আর্কটেনজেন্ট এবং রৈখিক ফাংশন সহ ফাংশন।

একটি জটিল ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার জন্য সূত্র থেকে আমরা এটি আছে

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

আমাদের যা খুঁজতে হবে তা আমরা পাই

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ডেরিভেটিভের সারণী অনুসারে সাইনের ডেরিভেটিভ হিসাবে, তারপর f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4)) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x))।
2. একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভ হিসাবে f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))), তারপর f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x)।
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) লগারিদমিক ডেরিভেটিভ হিসাবে, তারপর f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x)।
4. f 3 " (f 4 (x)) arctangent এর ডেরিভেটিভ হিসাবে, তারপর f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2।
5. ডেরিভেটিভ f 4 (x) = 2 x খুঁজে বের করার সময়, 1 এর সমান সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র ব্যবহার করে ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে 2 সরিয়ে দিন, তারপর f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2।

আমরা মধ্যবর্তী ফলাফলগুলি একত্রিত করি এবং এটি পাই

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

এই ধরনের ফাংশন বিশ্লেষণ নেস্টিং পুতুল স্মরণ করিয়ে দেয়। পার্থক্যের নিয়মগুলি সর্বদা একটি ডেরিভেটিভ টেবিল ব্যবহার করে স্পষ্টভাবে প্রয়োগ করা যায় না। প্রায়শই আপনাকে জটিল ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

জটিল চেহারা এবং জটিল ফাংশনের মধ্যে কিছু পার্থক্য রয়েছে। এটিকে আলাদা করার একটি স্পষ্ট ক্ষমতার সাথে, ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাওয়া বিশেষত সহজ হবে৷

উদাহরণ 4

এমন উদাহরণ দেওয়া বিবেচনা করা প্রয়োজন। যদি y = t g 2 x + 3 t g x + 1 ফর্মের একটি ফাংশন থাকে, তবে এটি g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 ফর্মের একটি জটিল ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। . স্পষ্টতই, একটি জটিল ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করা প্রয়োজন:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ফর্মের একটি ফাংশন জটিল বলে বিবেচিত হয় না, কারণ এটিতে t g x 2, 3 t g x এবং 1 এর যোগফল রয়েছে। যাইহোক, t g x 2 একটি জটিল ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয়, তারপর আমরা g (x) = x 2 এবং f ফর্মের একটি পাওয়ার ফাংশন পাই, যা একটি স্পর্শক ফাংশন। এটি করার জন্য, পরিমাণ দ্বারা পার্থক্য করুন। আমরা যে পেতে

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 কারণ 2 x

আসুন একটি জটিল ফাংশন (t g x 2) এর ডেরিভেটিভ খোঁজার দিকে এগিয়ে যাই ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

আমরা পাই যে y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

একটি জটিল ধরণের ফাংশনগুলি জটিল ফাংশনে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে এবং জটিল ফাংশনগুলি নিজেই একটি জটিল ধরণের ফাংশনের উপাদান হতে পারে।

উদাহরণ 5

উদাহরণস্বরূপ, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) ফর্মের একটি জটিল ফাংশন বিবেচনা করুন।

এই ফাংশনটিকে y = f (g (x)) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে f এর মান হল বেস 3 লগারিদমের একটি ফাংশন, এবং g (x) h (x) = ফর্মের দুটি ফাংশনের যোগফল হিসাবে বিবেচিত হয়। x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 এবং k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1)। স্পষ্টতই, y = f(h(x) + k(x))।

h(x) ফাংশনটি বিবেচনা করুন। এটি হল অনুপাত l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 থেকে m (x) = e x 2 + 3 3

আমাদের আছে যে l(x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) হল দুটি ফাংশনের যোগফল n (x) = x 2 + 7 এবং p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1), যেখানে p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) হল একটি জটিল ফাংশন যার সংখ্যাসূচক সহগ 3, এবং p 1 হল একটি ঘনক ফাংশন, একটি কোসাইন ফাংশন দ্বারা p 2, একটি রৈখিক ফাংশন দ্বারা p 3 (x) = 2 x + 1।

আমরা দেখতে পেলাম যে m(x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) হল দুটি ফাংশনের সমষ্টি q (x) = e x 2 এবং r (x) = 3 3, যেখানে q (x) = q 1 (q 2 (x)) একটি জটিল ফাংশন, q 1 একটি সূচক সহ একটি ফাংশন, q 2 (x) = x 2 একটি পাওয়ার ফাংশন।

এটি দেখায় যে h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) ফর্মের একটি অভিব্যক্তিতে যাওয়ার সময়, এটি স্পষ্ট যে ফাংশনটি একটি জটিল s (x) আকারে উপস্থাপিত হয়েছে। = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) একটি মূলদ পূর্ণসংখ্যা t (x) = x 2 + 1 সহ, যেখানে s 1 একটি বর্গক্ষেত্র ফাংশন, এবং s 2 (x) = ln x বেস e সহ লগারিদমিক .

এটি অনুসরণ করে যে অভিব্যক্তিটি k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) রূপ নেবে।

তারপর আমরা যে পেতে

y = লগ 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

ফাংশনের কাঠামোর উপর ভিত্তি করে, এটি স্পষ্ট হয়ে গেছে যে কীভাবে এবং কী সূত্রগুলি ব্যবহার করা প্রয়োজন তা ভিন্ন করার সময় অভিব্যক্তিটিকে সরল করার জন্য। এই জাতীয় সমস্যার সাথে পরিচিত হওয়ার জন্য এবং তাদের সমাধানের ধারণার জন্য, একটি ফাংশনকে আলাদা করার বিন্দুতে ঘুরতে হবে, অর্থাৎ এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

1. একটি স্বেচ্ছাচারী ডিগ্রির মূলের ডেরিভেটিভের সূত্রের সাধারণ কেস- লবের একটি ভগ্নাংশ যার মধ্যে একটি আছে, এবং হরটিতে মূলের শক্তির সমান একটি সংখ্যা যার জন্য ডেরিভেটিভ গণনা করা হয়েছিল, একই ঘাতের মূল দ্বারা গুণ করা হয়েছে, যার মূল অভিব্যক্তিটি একটি পরিবর্তনশীল মূলের শক্তি যার জন্য ডেরিভেটিভ গণনা করা হয়েছিল, এক দ্বারা হ্রাস করা হয়েছে
2. বর্গমূল ডেরিভেটিভ- পূর্ববর্তী সূত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। x এর বর্গমূলের ডেরিভেটিভএকটি ভগ্নাংশ যার লব এক এবং হর হল x এর বর্গমূলের দ্বিগুণ
3. ঘনমূলের ডেরিভেটিভ, সাধারণ সূত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্রেও। একটি ঘনমূলের ডেরিভেটিভ হল x বর্গক্ষেত্রের তিনটি ঘনমূল দ্বারা বিভক্ত।

নীচে রূপান্তরগুলি রয়েছে যা ব্যাখ্যা করে যে কেন বর্গ এবং ঘনমূলের ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার সূত্রগুলি চিত্রে দেখানো ঠিক একই রকম।

অবশ্যই, আপনাকে এই সূত্রগুলি মোটেও মনে রাখতে হবে না, যদি আপনি বিবেচনা করেন যে একটি ডেরিভেটিভ পাওয়ারের মূল বের করা একটি ভগ্নাংশকে উত্থাপন করার সমান যার হর একই শক্তির সমান। তারপর মূলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করে সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের শক্তির ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সূত্রটি প্রয়োগ করার জন্য হ্রাস করা হয়।.

বর্গমূলের অধীনে একটি চলকের ডেরিভেটিভ

(√x)" = 1 / (2√x)অথবা 1/2 x -1/2

ব্যাখ্যা:
(√x)" = (x 1/2)"

বর্গমূল ঠিক একই ক্রিয়াকলাপ যা 1/2 শক্তিতে উত্থাপন করে,এর মানে হল যে একটি মূলের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, আপনি একটি নির্বিচারে একটি পরিবর্তনশীলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার নিয়ম থেকে সূত্রটি প্রয়োগ করতে পারেন:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

ঘনমূলের ডেরিভেটিভ (তৃতীয় মূলের ডেরিভেটিভ)

একটি ঘনমূলের ডেরিভেটিভ একটি বর্গমূল হিসাবে ঠিক একই নীতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়।

আসুন ঘনমূলটিকে 1/3 এর শক্তি হিসাবে কল্পনা করি এবং পার্থক্যের সাধারণ নিয়মগুলি ব্যবহার করে ডেরিভেটিভটি সন্ধান করি। উপরের ছবিতে সংক্ষিপ্ত সূত্রটি দেখা যায় এবং কেন এটি এমন হয় তার একটি ব্যাখ্যা নীচে রয়েছে।

1/3 থেকে একটি বিয়োগ করলে শক্তি -2/3 পাওয়া যায়

ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার অপারেশনকে ডিফারেন্সিয়েশন বলা হয়।

যুক্তির বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা হিসাবে ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করে সবচেয়ে সহজ (এবং খুব সাধারণ নয়) ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার সমস্যাগুলি সমাধান করার ফলে, ডেরিভেটিভগুলির একটি টেবিল এবং পার্থক্যের সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত নিয়ম উপস্থিত হয়েছিল . ডেরিভেটিভস খোঁজার ক্ষেত্রে প্রথম কাজ করেন আইজ্যাক নিউটন (1643-1727) এবং গটফ্রাইড উইলহেম লিবনিজ (1646-1716)।

অতএব, আমাদের সময়ে, যেকোন ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে ফাংশনের বৃদ্ধির সাথে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাতের উপরে উল্লিখিত সীমা গণনা করতে হবে না, তবে আপনাকে শুধুমাত্র টেবিলটি ব্যবহার করতে হবে ডেরিভেটিভ এবং পার্থক্যের নিয়ম। নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত।

ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে, আপনার প্রধান চিহ্নের অধীনে একটি অভিব্যক্তি প্রয়োজন সরল ফাংশনগুলিকে উপাদানে বিভক্ত করুনএবং কি কর্ম নির্ধারণ করুন (পণ্য, যোগফল, ভাগফল)এই ফাংশন সম্পর্কিত। এর পরে, আমরা ডেরিভেটিভের সারণীতে প্রাথমিক ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই, এবং পণ্যের ডেরিভেটিভের সূত্র, যোগফল এবং ভাগফল - পার্থক্যের নিয়মগুলিতে। প্রথম দুটি উদাহরণের পরে ডেরিভেটিভ টেবিল এবং পার্থক্যের নিয়ম দেওয়া হয়েছে।

উদাহরণ 1.একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

সমাধান। পার্থক্যের নিয়মগুলি থেকে আমরা জানতে পারি যে ফাংশনের যোগফলের ডেরিভেটিভ হল ফাংশনের ডেরিভেটিভের যোগফল, যেমন

ডেরিভেটিভের সারণী থেকে আমরা জানতে পারি যে "X" এর ডেরিভেটিভ একের সমান এবং সাইনের ডেরিভেটিভ কোসাইনের সমান। আমরা এই মানগুলিকে ডেরিভেটিভের যোগফলের মধ্যে প্রতিস্থাপন করি এবং সমস্যার শর্ত অনুসারে প্রয়োজনীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

উদাহরণ 2।একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

সমাধান। আমরা একটি সমষ্টির ডেরিভেটিভ হিসাবে পার্থক্য করি যেখানে দ্বিতীয় পদটির একটি ধ্রুবক গুণক থাকে এটি ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে নেওয়া যেতে পারে:

কোন কিছু কোথা থেকে আসে সে সম্পর্কে যদি এখনও প্রশ্ন ওঠে, তবে সাধারণত ডেরিভেটিভের টেবিল এবং পার্থক্যের সহজতম নিয়মগুলির সাথে নিজেকে পরিচিত করার পরে সেগুলি পরিষ্কার করা হয়। আমরা এখনই তাদের দিকে এগিয়ে যাচ্ছি।

সাধারণ ফাংশনের ডেরিভেটিভের সারণী

1. একটি ধ্রুবক (সংখ্যা) এর ডেরিভেটিভ। যে কোনো সংখ্যা (1, 2, 5, 200...) যেটি ফাংশন এক্সপ্রেশনে আছে। সর্বদা শূন্যের সমান। এটি মনে রাখা খুবই গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি প্রায়ই প্রয়োজন হয়
2. স্বাধীন চলকের ডেরিভেটিভ। প্রায়শই "এক্স"। সর্বদা একজনের সমান। এটি দীর্ঘ সময়ের জন্য মনে রাখাও গুরুত্বপূর্ণ
3. ডিগ্রির ডেরিভেটিভ। সমস্যা সমাধান করার সময়, আপনাকে অ-বর্গমূলকে শক্তিতে রূপান্তর করতে হবে।
4. একটি ভেরিয়েবল থেকে পাওয়ার -1 এর ডেরিভেটিভ
5. বর্গমূলের ডেরিভেটিভ
6. সাইনের ডেরিভেটিভ
7. কোসাইন এর ডেরিভেটিভ
8. স্পর্শক এর ডেরিভেটিভ
9. কোট্যাঞ্জেন্টের ডেরিভেটিভ
10. আর্কসিনের ডেরিভেটিভ
11. আর্ক কোসাইন এর ডেরিভেটিভ
12. arctangent এর ডেরিভেটিভ
13. আর্ক কোট্যাঞ্জেন্টের ডেরিভেটিভ
14. প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ
15. লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ
16. সূচকের ডেরিভেটিভ
17. একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ

পার্থক্যের নিয়ম

1. একটি যোগফল বা পার্থক্যের ডেরিভেটিভ
2. পণ্যের ডেরিভেটিভ
2ক. একটি ধ্রুবক গুণনীয়ক দ্বারা গুণিত একটি অভিব্যক্তির ডেরিভেটিভ
3. ভাগফলের ডেরিভেটিভ
4. একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ

নিয়ম 1।যদি ফাংশন

কিছু সময়ে পার্থক্যযোগ্য, তারপর ফাংশন একই বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য

এবং

যারা ফাংশনগুলির একটি বীজগণিতীয় সমষ্টির ডেরিভেটিভ এই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলির বীজগণিতীয় যোগফলের সমান।

পরিণতি। যদি দুটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশন একটি ধ্রুবক পদ দ্বারা পৃথক হয়, তাহলে তাদের ডেরিভেটিভ সমান, অর্থাৎ

নিয়ম 2।যদি ফাংশন

কিছু সময়ে পার্থক্যযোগ্য, তারপর তাদের পণ্য একই বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য

এবং

যারা দুটি ফাংশনের পণ্যের ডেরিভেটিভ এই ফাংশনের প্রতিটির পণ্যের যোগফল এবং অন্যটির ডেরিভেটিভের সমান।

করলারি 1. ধ্রুবক গুণনীয়কটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:

ফলাফল 2. বেশ কয়েকটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের পণ্যের ডেরিভেটিভ প্রতিটি ফ্যাক্টরের ডেরিভেটিভের পণ্যের যোগফল এবং অন্য সবগুলির সমান।

উদাহরণস্বরূপ, তিনটি গুণকের জন্য:

নিয়ম 3।যদি ফাংশন

কিছু সময়ে পার্থক্যযোগ্য এবং , তারপর এই সময়ে তাদের ভাগফলও পার্থক্যযোগ্যu/v, এবং

যারা দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ একটি ভগ্নাংশের সমান, যার লব হল হর এবং লব এবং লবের ডেরিভেটিভ এবং হর এর ডেরিভেটিভের মধ্যে পার্থক্য এবং হর হল এর বর্গ প্রাক্তন লব।

অন্যান্য পৃষ্ঠাগুলিতে জিনিসগুলি কোথায় সন্ধান করবেন

প্রকৃত সমস্যায় একটি পণ্যের ডেরিভেটিভ এবং একটি ভাগফল খুঁজে বের করার সময়, একবারে বেশ কয়েকটি পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করা প্রয়োজন, তাই নিবন্ধে এই ডেরিভেটিভগুলির আরও উদাহরণ রয়েছে"পণ্যের ডেরিভেটিভ এবং ফাংশনের ভাগফল".

মন্তব্য করুন।আপনি একটি যোগফল এবং একটি ধ্রুবক গুণনীয়ক হিসাবে একটি শব্দ হিসাবে একটি ধ্রুবক (অর্থাৎ একটি সংখ্যা) বিভ্রান্ত করা উচিত নয়! একটি পদের ক্ষেত্রে, এর ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান, এবং একটি ধ্রুবক গুণকের ক্ষেত্রে, এটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে বের করা হয়। এটি একটি সাধারণ ভুল যা ডেরিভেটিভ অধ্যয়ন করার প্রাথমিক পর্যায়ে ঘটে, কিন্তু গড় শিক্ষার্থী যেহেতু একাধিক এক- এবং দুই-অংশের উদাহরণ সমাধান করে, সে আর এই ভুলটি করে না।

এবং যদি, একটি পণ্য বা ভাগফল পার্থক্য করার সময়, আপনার একটি শব্দ আছে u"v, যার মধ্যে u- একটি সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ, 2 বা 5, অর্থাৎ একটি ধ্রুবক, তাহলে এই সংখ্যাটির ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান হবে এবং তাই, পুরো শব্দটি শূন্যের সমান হবে (এই ক্ষেত্রে উদাহরণ 10 এ আলোচনা করা হয়েছে)।

আরেকটি সাধারণ ভুল হল যান্ত্রিকভাবে জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভকে একটি সাধারণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ হিসাবে সমাধান করা। সেজন্য একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভএকটি পৃথক নিবন্ধ উৎসর্গ করা হয়. কিন্তু প্রথমে আমরা সহজ ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করতে শিখব।

পথ ধরে, আপনি অভিব্যক্তি রূপান্তর ছাড়া করতে পারবেন না। এটি করার জন্য, আপনাকে নতুন উইন্ডোতে ম্যানুয়ালটি খুলতে হতে পারে। ক্ষমতা এবং শিকড় সঙ্গে কর্মএবং ভগ্নাংশ সঙ্গে অপারেশন .

আপনি যদি শক্তি এবং শিকড় সহ ভগ্নাংশের ডেরিভেটিভের সমাধান খুঁজছেন, অর্থাৎ, যখন ফাংশনটি এমন দেখাচ্ছে , তারপর "শক্তি এবং মূল সহ ভগ্নাংশের যোগফলের ডেরিভেটিভ" পাঠটি অনুসরণ করুন।

যদি আপনার মত একটি কাজ আছে , তারপর আপনি "সরল ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস" পাঠটি নেবেন।

ধাপে ধাপে উদাহরণ - কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয়

উদাহরণ 3.একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

সমাধান। আমরা ফাংশন এক্সপ্রেশনের অংশগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি: সম্পূর্ণ এক্সপ্রেশনটি একটি পণ্যকে উপস্থাপন করে এবং এর ফ্যাক্টরগুলি হল সমষ্টি, যার দ্বিতীয়টিতে একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর রয়েছে। আমরা পণ্যের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি: দুটি ফাংশনের পণ্যের ডেরিভেটিভ অন্যটির ডেরিভেটিভ দ্বারা এই ফাংশনের প্রতিটির পণ্যের যোগফলের সমান:

এর পরে, আমরা যোগফলের পার্থক্যের নিয়মটি প্রয়োগ করি: একটি বীজগণিতীয় সমষ্টির ফাংশনের ডেরিভেটিভ এই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভের বীজগণিতীয় যোগফলের সমান। আমাদের ক্ষেত্রে, প্রতিটি যোগফলের দ্বিতীয় পদে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে। প্রতিটি সমষ্টিতে আমরা একটি স্বাধীন চলক উভয়ই দেখতে পাই, যার ডেরিভেটিভ একটি সমান এবং একটি ধ্রুবক (সংখ্যা), যার ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান। সুতরাং, "X" এক হয়ে যায়, এবং বিয়োগ 5 শূন্যে পরিণত হয়। দ্বিতীয় রাশিতে, "x" কে 2 দ্বারা গুণ করা হয়, তাই আমরা "x" এর ডেরিভেটিভ হিসাবে একই একক দ্বারা দুটিকে গুণ করি। আমরা নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভ মানগুলি পাই:

আমরা প্রাপ্ত ডেরিভেটিভগুলিকে পণ্যের যোগফলের মধ্যে প্রতিস্থাপন করি এবং সমস্যার শর্ত দ্বারা প্রয়োজনীয় সমগ্র ফাংশনের ডেরিভেটিভ পাই:

এবং আপনি ডেরিভেটিভ সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করতে পারেন।

উদাহরণ 4.একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

সমাধান। আমাদের ভাগফলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে। আমরা ভাগফলকে আলাদা করার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করি: দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ একটি ভগ্নাংশের সমান, যার লবটি হর এবং লবের ডেরিভেটিভ এবং লবের ডেরিভেটিভ এবং এর ডেরিভেটিভের মধ্যে পার্থক্য হর, এবং হর হল পূর্ববর্তী লবের বর্গ। আমরা পাই:

আমরা ইতিমধ্যে 2 উদাহরণে অংকের ফ্যাক্টরগুলির ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি। আমাদের এও ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে পণ্যটি, যা বর্তমান উদাহরণে অংকের দ্বিতীয় ফ্যাক্টর, একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয়েছে:

আপনি যদি এমন সমস্যার সমাধান খুঁজছেন যেখানে আপনাকে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে, যেখানে শিকড় এবং ক্ষমতার অবিচ্ছিন্ন স্তূপ রয়েছে, যেমন, উদাহরণস্বরূপ, , তারপর ক্লাসে স্বাগতম "শক্তি এবং মূল সহ ভগ্নাংশের যোগফলের ডেরিভেটিভ" .

সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস সম্পর্কে আপনার যদি আরও জানার প্রয়োজন হয়, অর্থাৎ ফাংশনটি দেখতে কেমন হয় , তাহলে আপনার জন্য একটি পাঠ "সরল ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস" .

উদাহরণ 5।একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

সমাধান। এই ফাংশনে আমরা একটি পণ্য দেখতে পাই, যার একটি কারণ হল স্বাধীন পরিবর্তনশীলের বর্গমূল, যার ডেরিভেটিভের সাথে আমরা নিজেদেরকে ডেরিভেটিভের টেবিলে পরিচিত করেছি। বর্গমূলের ডেরিভেটিভের গুণফল এবং সারণী মানের পার্থক্য করার নিয়ম ব্যবহার করে, আমরা পাই:

আপনি এখানে ডেরিভেটিভ সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করতে পারেন অনলাইন ডেরিভেটিভ ক্যালকুলেটর .

উদাহরণ 6.একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

সমাধান। এই ফাংশনে আমরা একটি ভাগফল দেখতে পাচ্ছি যার লভ্যাংশ হল স্বাধীন চলকের বর্গমূল। ভাগফলের পার্থক্যের নিয়ম ব্যবহার করে, যা আমরা পুনরাবৃত্তি করেছি এবং প্রয়োগ করেছি উদাহরণ 4, এবং বর্গমূলের ডেরিভেটিভের সারণীকৃত মান, আমরা পাই:

লবের একটি ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পেতে, লব এবং হরকে গুন করুন।