পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা। হ্যালো ছাত্র সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করছে

শক্তি সিরিজ।

পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একীভূত করা সম্ভব।

ফর্মের একটি লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন:

যদি সমস্ত সহগ এবং এই সমীকরণের ডানদিকে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একত্রিত হওয়া পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত হয়, তবে শূন্য বিন্দুর কিছু ছোট পাড়ায় এই সমীকরণের একটি সমাধান রয়েছে যা প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে।

এই সমাধানটি একটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:

একটি সমাধান খুঁজে বের করার জন্য, এটি অজানা ধ্রুবক নির্ধারণ করা অবশেষ গ i.

এই সমস্যা সমাধান করা যেতে পারে তুলনা পদ্ধতি অনিশ্চিত সহগ . আমরা মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে পছন্দসই ফাংশনের জন্য লিখিত অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি, পাওয়ার সিরিজ (পার্থক্য, যোগ, বিয়োগ, গুণ ইত্যাদি) সহ সমস্ত প্রয়োজনীয় ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করি।

তারপরে আমরা একই ডিগ্রিতে সহগগুলিকে সমান করি এক্সসমীকরণের বাম এবং ডান দিকে। ফলস্বরূপ, প্রাথমিক অবস্থা বিবেচনা করে, আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই যা থেকে আমরা পর্যায়ক্রমে সহগ নির্ধারণ করি গ i.

উল্লেখ্য যে এই পদ্ধতিটি ননলাইনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

উদাহরণ।প্রাথমিক অবস্থার সাথে সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজুন y(0)=1, y’(0)=0।

আমরা ফর্মে সমীকরণের সমাধান খুঁজব

আমরা মূল সমীকরণে ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিগুলি প্রতিস্থাপন করি:

এখান থেকে আমরা পাই:

………………

আমরা পছন্দসই ফাংশন এবং এর প্রথম ডেরিভেটিভের জন্য অভিব্যক্তিতে প্রাথমিক শর্তগুলি প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত করি:

অবশেষে আমরা পাই:

আরেকটি সমাধান পদ্ধতি আছে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণসারি ব্যবহার করে। এটা বলা হয় অনুক্রমিক পার্থক্য পদ্ধতি।

এর একই উদাহরণ তাকান. আমরা ম্যাকলরিন সিরিজে অজানা ফাংশনের সম্প্রসারণের আকারে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান খুঁজব।

যদি প্রাথমিক শর্ত দেওয়া হয় y(0)=1, y’(0)=0মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন, আমরা তা পাই

প্রাপ্ত মানগুলি প্রতিস্থাপন করার পরে আমরা পাই:

ফুরিয়ার সিরিজ।

(জিন ব্যাপটিস্ট জোসেফ ফুরিয়ার (1768 - 1830) - ফরাসি গণিতবিদ)

ত্রিকোণমিতিক সিরিজ।

সংজ্ঞা।ত্রিকোণমিতিক সিরিজফর্মের একটি সিরিজ বলা হয়:

বা, সংক্ষেপে,

বাস্তব সংখ্যা a i, b iত্রিকোণমিতিক সিরিজের সহগ বলা হয়।

যদি উপরে উপস্থাপিত প্রকারের একটি সিরিজ একত্রিত হয়, তাহলে এর যোগফল হল একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন যার সময়কাল 2p, কারণ ফাংশন পাপ nxএবং কারণ nxপিরিয়ড 2p সহ পর্যায়ক্রমিক ফাংশন।

ত্রিকোণমিতিক সিরিজগুলিকে সেগমেন্টে অভিন্নভাবে একত্রিত করা যাক [-p; p], এবং তাই পর্যায়ক্রমের কারণে যেকোন সেগমেন্টে, এবং এর যোগফল সমান f(x).

আসুন এই সিরিজের সহগ নির্ধারণ করি।

এই সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা নিম্নলিখিত সমতা ব্যবহার করি:

এই সমতাগুলির বৈধতা তাদের আবেদন থেকে ইন্টিগ্র্যান্ড পর্যন্ত অনুসরণ করে ত্রিকোণমিতিক সূত্র. আরও তথ্যের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশন একীভূত করা দেখুন।

কারণ ফাংশন f(x)ব্যবধানে একটানা থাকে [-p; p], তারপর একটি অবিচ্ছেদ্য আছে

এই ফল প্রাপ্ত হয় যে ফলে.

এখান থেকে আমরা পাই:

একইভাবে, আমরা সিন দ্বারা একটি ফাংশনের সিরিজ প্রসারণের জন্য অভিব্যক্তিকে গুণ করি nxএবং -p থেকে p পর্যন্ত পরিসরে একীভূত করুন।

আমরা পাই:

সহগের জন্য অভিব্যক্তি একটি 0সহগ প্রকাশের জন্য একটি বিশেষ ক্ষেত্রে একটি n.

সুতরাং, যদি ফাংশন f(x)– পিরিয়ড 2p-এর যেকোন পর্যায়ক্রমিক ফাংশন, বিরতিতে একটানা [-p; p] অথবা এই সেগমেন্টে প্রথম ধরণের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর একটি সীমিত সংখ্যক, তারপর সহগ

বিদ্যমান এবং বলা হয় ফুরিয়ার সহগফাংশনের জন্য f(x)।

সংজ্ঞা।ফুরিয়ারের কাছেফাংশনের জন্য f(x)একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ বলা হয় যার সহগ হল ফুরিয়ার সহগ। যদি ফুরিয়ার সিরিজ ফাংশন f(x)এটির সাথে তার ধারাবাহিকতার সমস্ত পয়েন্টে কনভার্জ করে, তারপর আমরা বলি যে ফাংশনটি f(x)একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত হয়।

ফুরিয়ার সিরিজে পচনশীলতার যথেষ্ট লক্ষণ।

উপপাদ্য। (ডিরিচলেটের উপপাদ্য) যদি ফাংশন f(x) এর একটি পিরিয়ড 2p এবং সেগমেন্টে থাকে

[-p;p] অবিচ্ছিন্ন বা প্রথম ধরণের এবং সেগমেন্টের সীমাবদ্ধ সংখ্যক বিচ্ছিন্নতা বিন্দু রয়েছে

[-p;p] একটি সসীম সংখ্যক সেগমেন্টে বিভক্ত করা যেতে পারে যাতে তাদের প্রত্যেকের মধ্যে ফাংশন f(x) একঘেয়ে হয়, তারপর ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ f(x) x এর সমস্ত মানের জন্য একত্রিত হয়, এবং ফাংশন f(x) এর ধারাবাহিকতার বিন্দুতে এর যোগফল f(x) এর সমান, এবং বিরতির বিন্দুতে এর যোগফল সমান হয়, অর্থাৎ বাম এবং ডানে সীমা মানগুলির গাণিতিক গড়। এই ক্ষেত্রে, ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ f(x) ফাংশনের ধারাবাহিকতা ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত যেকোন সেগমেন্টে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়।

একটি ফাংশন f(x) যার জন্য ডিরিচলেটের উপপাদ্যের শর্তগুলি সন্তুষ্ট হয় তাকে বলা হয় piecewise একঘেয়েমিসেগমেন্টে [-p;p]।

উপপাদ্য। যদি ফাংশন f(x) এর সময়কাল 2p থাকে, উপরন্তু, f(x) এবং এর ডেরিভেটিভ f’(x) – ক্রমাগত ফাংশনব্যবধানে [-p;p] বা এই ব্যবধানে প্রথম ধরণের বিচ্ছিন্নতার একটি সীমিত সংখ্যক বিন্দু আছে, তারপর ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ f(x) x এর সমস্ত মানের জন্য এবং এর বিন্দুতে একত্রিত হয় ধারাবাহিকতা এর যোগফল f(x) এর সমান, এবং বিরতির বিন্দুতে এটি সমান। এই ক্ষেত্রে, ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ f(x) ফাংশনের ধারাবাহিকতা ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত যেকোন সেগমেন্টে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়।

একটি ফাংশন যা এই উপপাদ্যের শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে তাকে বলা হয় piecewise – মসৃণসেগমেন্টে [-p;p]।

একটি অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ বিস্তৃতি।

একটি ফুরিয়ার সিরিজে একটি অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশন প্রসারিত করার সমস্যাটি নীতিগতভাবে, একটি ফুরিয়ার সিরিজে একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনকে সম্প্রসারিত করার থেকে আলাদা নয়।

এর ফাংশন বলা যাক f(x)একটি ব্যবধানে দেওয়া হয় এবং এই ব্যবধানে টুকরো টুকরো একঘেয়ে। একটি নির্বিচারে পর্যায়ক্রমিক পিসওয়াইজ একঘেয়ে ফাংশন বিবেচনা করুন চ 1 (এক্স)পিরিয়ড সহ 2T ³ ïb-aï, সেগমেন্টের f(x) ফাংশনের সাথে মিলে যাচ্ছে।

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

তাই ফাংশন f(x)যোগ করা হয়েছে। এখন ফাংশন চ 1 (এক্স)একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত হয়। সেগমেন্টের সমস্ত পয়েন্টে এই সিরিজের যোগফল ফাংশনের সাথে মিলে যায় f(x),যারা আমরা যে ফাংশন অনুমান করতে পারেন f(x)সেগমেন্টে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত হয়েছে।

এইভাবে, যদি ফাংশন f(x) 2p এর সমান একটি ব্যবধানে দেওয়া হয়, তবে এটি একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের সিরিজ প্রসারণ থেকে আলাদা নয়। যে সেগমেন্টে ফাংশন দেওয়া হয়েছে সেটি যদি 2p-এর কম হয়, তাহলে ফাংশনটি ব্যবধানে (b, a + 2p) প্রসারিত হয় যাতে ফুরিয়ার সিরিজে সম্প্রসারণের শর্তগুলি সংরক্ষিত থাকে।

সাধারণভাবে বলতে গেলে, এই ক্ষেত্রে, 2p দৈর্ঘ্যের একটি সেগমেন্টে (ব্যবধান) একটি প্রদত্ত ফাংশনের ধারাবাহিকতা অসীম সংখ্যক উপায়ে সঞ্চালিত হতে পারে, তাই ফলাফল সিরিজের যোগফল ভিন্ন হবে, তবে তারা প্রদত্তের সাথে মিলে যাবে সেগমেন্টে ফাংশন f(x)।

জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ।

আসুন জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি নোট করি:

2) দুটি জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের গুণফল একটি জোড় ফাংশন।

3) জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের গুণফল একটি বিজোড় ফাংশন।

জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে এই বৈশিষ্ট্যগুলির বৈধতা সহজেই প্রমাণ করা যেতে পারে।

যদি f(x) 2p পিরিয়ড সহ একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন হয়, যা একটি ফুরিয়ার সিরিজে সম্প্রসারণের শর্ত পূরণ করে, তাহলে আমরা লিখতে পারি:

সুতরাং, একটি সমান ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজটি লেখা হয়েছে:

একইভাবে, আমরা ফুরিয়ার সিরিজের সম্প্রসারণ পাই অদ্ভুত ফাংশন:

উদাহরণ।একটি ফুরিয়ার সিরিজে একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনকে প্রসারিত করুন, যেখানে ব্যবধানে পিরিয়ড T = 2p আছে [-p;p]।

প্রদত্ত ফাংশনটি বিজোড়, তাই, আমরা ফর্মে ফুরিয়ার সহগগুলি সন্ধান করি:

সংজ্ঞা।ফুরিয়ারের কাছে অর্থোগোনাল সিস্টেমফাংশন j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) ফর্মের একটি সিরিজ বলা হয়:

যার সহগ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

যেখানে f(x)= ফাংশনের অর্থোগোনাল সিস্টেম বরাবর একটি অংশে অভিন্নভাবে অভিসারিত একটি সিরিজের সমষ্টি। f(x)-যে কোনো ফাংশন যেটি অবিচ্ছিন্ন বা সেগমেন্টে প্রথম ধরণের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর একটি সীমিত সংখ্যা রয়েছে।

ফাংশনগুলির একটি অর্থনর্মাল সিস্টেমের ক্ষেত্রে, সহগ নির্ধারণ করা হয়:

কম্পিউটার সংস্করণ ব্যবহার করার সময় " উচ্চতর গণিত কোর্স” এমন একটি প্রোগ্রাম চালানো সম্ভব যা একটি ফুরিয়ার সিরিজে একটি নির্বিচারে ফাংশন প্রসারিত করে।

বেলারুশ প্রজাতন্ত্রের শিক্ষা মন্ত্রণালয়

শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

"মোগিলেভস্কি রাষ্ট্রীয় বিশ্ববিদ্যালয় A.A এর নামানুসারে কুলেশোভা"

MAiVT বিভাগ

সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান তৈরি করা

কোর্সওয়ার্ক

সম্পূর্ণ করেছেন: 3য় বর্ষের গ্রুপ বি ছাত্র

পদার্থবিদ্যা এবং গণিত অনুষদ

ইউস্কেভা আলেকজান্দ্রা মারাতোভনা

বৈজ্ঞানিক সুপারভাইজার:

মোরোজভ নিকোলে পোরফিরিভিচ

মোগিলেভ, 2010

ভূমিকা

1. উচ্চতর আদেশের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

1.1। nth অর্ডারের একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধারণা

2. সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণ

2.1। পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ইন্টিগ্রেশন।

2.2। সাধারণীকৃত পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ইন্টিগ্রেশন।

3. ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার সময় সাধারণীকৃত পাওয়ার সিরিজ ব্যবহারের বিশেষ ক্ষেত্রে।

3.1। বেসেলের সমীকরণ।

3.2। হাইপারজিওমেট্রিক সমীকরণ বা গাউসিয়ান সমীকরণ।

4. অনুশীলনে সিরিজ ব্যবহার করে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার পদ্ধতির প্রয়োগ।

উপসংহার

সাহিত্য

ভূমিকা

সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি প্রথম-ক্রম সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে একীভূত করে তার সঠিক সমাধান খুঁজে পাওয়া অসম্ভব। অধিকন্তু, এটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য সম্ভব নয়। এই পরিস্থিতি সৃষ্টির দিকে পরিচালিত করে বড় সংখ্যাসাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং তাদের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য আনুমানিক পদ্ধতি। আনুমানিক পদ্ধতিগুলির মধ্যে, তিনটি গ্রুপকে আলাদা করা যেতে পারে: বিশ্লেষণাত্মক, গ্রাফিক্যাল এবং সংখ্যাসূচক। অবশ্যই, এই ধরনের শ্রেণীবিভাগ একটি নির্দিষ্ট পরিমাণে নির্বিচারে। উদাহরণস্বরূপ, অয়লারের ভাঙা লাইনগুলির গ্রাফিকাল পদ্ধতি হল একটি পদ্ধতির ভিত্তি সংখ্যাগত সমাধানডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণ একটি আনুমানিক বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি, সাধারণত প্রয়োগ করা হয় রৈখিক সমীকরণদ্বিতীয় আদেশের চেয়ে কম নয়।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কোর্সে বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি পাওয়া যায়। প্রথম ক্রম সমীকরণের জন্য (বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ, সমজাতীয়, রৈখিক, ইত্যাদি), পাশাপাশি কিছু ধরণের উচ্চ ক্রম সমীকরণের জন্য (উদাহরণস্বরূপ, রৈখিক সহ ধ্রুবক সহগ) বিশ্লেষণাত্মক রূপান্তরের মাধ্যমে সূত্র আকারে সমাধান পাওয়া সম্ভব।

কাজের উদ্দেশ্য আনুমানিক এক বিশ্লেষণ করা হয় বিশ্লেষণী পদ্ধতি, যেমন সিরিজ ব্যবহার করে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করা এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য তাদের প্রয়োগ করা।

উচ্চ ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

nম ক্রমটির একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল ফর্মের একটি সম্পর্ক

যেখানে F তার আর্গুমেন্টের একটি পরিচিত ফাংশন, একটি নির্দিষ্ট ডোমেনে সংজ্ঞায়িত;

x - স্বাধীন পরিবর্তনশীল;

y হল x চলকের একটি ফাংশন যা নির্ধারণ করা হবে;

y’, y”, …, y (n) - ফাংশন y এর ডেরিভেটিভস।

এই ক্ষেত্রে, ধারণা করা হয় যে y (n) আসলে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অন্তর্ভুক্ত। ফাংশন F এর অন্য কোনো আর্গুমেন্ট এই সম্পর্কের মধ্যে স্পষ্টভাবে অংশগ্রহণ নাও করতে পারে।

যে কোন ফাংশন একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে তাকে এর সমাধান বা অবিচ্ছেদ্য বলা হয়। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা মানে এর সমস্ত সমাধান খুঁজে পাওয়া। যদি প্রয়োজনীয় ফাংশনের জন্য y একটি সূত্র পাওয়া সম্ভব হয় যা একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমস্ত সমাধান দেয় এবং শুধুমাত্র সেগুলি দেয়, তাহলে আমরা বলি যে আমরা এটির সাধারণ সমাধান বা সাধারণ অবিচ্ছেদ্য খুঁজে পেয়েছি।

একটি nম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানে n নির্বিচারে ধ্রুবক c 1, c 2,..., c n রয়েছে এবং ফর্ম রয়েছে।

1.1। একটি লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধারণাn-ম আদেশ

nম ক্রমটির একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে রৈখিক বলা হয় যদি এটি y, y’, ..., y (n) পরিমাণের সেটের ক্ষেত্রে প্রথম ডিগ্রির হয়। সুতরাং, nম ক্রমটির রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে:

যেখানে x এর একটানা ফাংশন জানা যায়।

এই সমীকরণটিকে বলা হয় অসংলগ্ন রৈখিক সমীকরণ বা ডানদিকের সমীকরণ। যদি সমীকরণের ডান দিকটি অভিন্নভাবে শূন্যের সমান হয়, তবে রৈখিক সমীকরণটিকে একটি সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল রৈখিক সমীকরণ বলা হয় এবং এর ফর্ম রয়েছে

যদি n 2 এর সমান হয়, তাহলে আমরা দ্বিতীয় ক্রমটির একটি রৈখিক সমীকরণ পাব, যা এইভাবে লেখা হবে: ঠিক যেমন nম ক্রমটির একটি রৈখিক সমীকরণ, একটি দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণ সমজাতীয় () এবং অসঙ্গতিপূর্ণ হতে পারে।

সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণ।

পরিবর্তনশীল সহগ সহ প্রথম ক্রমের উপরে একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানগুলি সর্বদা প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয় না এবং এই জাতীয় সমীকরণের সংহতকরণ খুব কমই চতুর্ভুজে হ্রাস পায়।

2.1। পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ইন্টিগ্রেশন।

একীকরণের সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি উপরের সমীকরণগুলিএকটি পাওয়ার সিরিজ আকারে পছন্দসই সমাধানের উপস্থাপনা। পরিবর্তনশীল সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ বিবেচনা করুন

নোট ১. ফাংশন একটি মোটামুটি বিস্তৃত বর্গ ফর্ম প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে

যেখানে, কিছু ধ্রুবক আছে। এই অভিব্যক্তিটিকে পাওয়ার সিরিজ বলা হয়। যদি এর মানগুলি ব্যবধান (x 0 - T; x 0 + T) থেকে যেকোনো x-এর জন্য ফাংশনের সংশ্লিষ্ট মানের সমান হয়, তবে এই ব্যবধানে এই ধরনের সিরিজকে অভিসারী বলা হয়।

আমরা ধরে নিই যে ফাংশন a(x), b(x) হল সমীকরণের বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন (2.1) ব্যবধানে (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, অর্থাৎ। পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত হয়:

নিম্নলিখিত উপপাদ্য ধারণ করে (প্রমাণটি বাদ দিয়ে, আমরা শুধুমাত্র এর সূত্র উপস্থাপন করি)।

উপপাদ্য_1. যদি ফাংশন a(x), b(x) এর ফর্ম (2.2) থাকে, তাহলে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (2.1) এর যেকোনো সমাধান y(x) কে |x - x 0 |< Т степенного ряда:

এই উপপাদ্যটি শুধুমাত্র একটি পাওয়ার সিরিজের আকারে সমাধানকে উপস্থাপন করা সম্ভব করে না, তবে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, এটি সিরিজের (2.3) একত্রিত হওয়াকে ন্যায়সঙ্গত করে।

এই ধরনের উপস্থাপনার জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ। সুবিধার জন্য, আসুন x 0 = 0 in (2.2) এবং (2.3) রাখি এবং ফর্মে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (2.1) এর সমাধান খুঁজি।

(2.4) প্রতিস্থাপন (2.1), আমরা সমতা প্রাপ্ত

(2.5) পূরণ করতে, প্রতিটি পাওয়ার x এর সহগ শূন্যের সমান হওয়া প্রয়োজন। এই অবস্থা থেকে আমরা রৈখিক একটি অসীম সিস্টেম প্রাপ্ত বীজগণিত সমীকরণ

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের ফলস্বরূপ অসীম সিস্টেম থেকে, কেউ পর্যায়ক্রমে খুঁজে পেতে পারে, ..., যদি কেউ মান নির্ধারণ করে এবং (সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (2.1) এর জন্য কচি সমস্যার ক্ষেত্রে, কেউ প্রাথমিক শর্তগুলি প্রবর্তন করতে পারে। = , =)।

যদি ফাংশন a(x), b(x) মূলদ হয়, যেমন , b , যেখানে বহুপদী, তাহলে বিন্দুর আশেপাশে যেখানে বা, একটি পাওয়ার সিরিজ আকারে একটি সমাধান বিদ্যমান নাও থাকতে পারে, এবং যদি এটি বিদ্যমান থাকে, তাহলে x = 0 বিন্দু ব্যতীত এটি সর্বত্র বিচ্যুত হতে পারে। এই পরিস্থিতিতে এল. অয়লার পরিচিত ছিলেন, যিনি প্রথম ক্রম সমীকরণ বিবেচনা করেছিলেন

এই সমীকরণটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারা সন্তুষ্ট

তবে, এই সিরিজটি যে কারো জন্য ভিন্ন হয় তা দেখা কঠিন নয়। একটি ভিন্ন শক্তি সিরিজের আকারে একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানকে আনুষ্ঠানিক বলে।

প্রয়োগের সবচেয়ে আকর্ষণীয় এবং স্পষ্ট উদাহরণগুলির মধ্যে একটি এই পদ্ধতিইন্টিগ্রেশন হল বায়বীয় সমীকরণ বা

এই সমীকরণের সমস্ত সমাধান হল x এর সম্পূর্ণ ফাংশন। তারপরে আমরা একটি পাওয়ার সিরিজ (2.4) আকারে এয়ারি সমীকরণের সমাধান খুঁজব। তারপর সমতা (2.5) রূপ নেয়

আসুন প্রতিটি পাওয়ার x শূন্যের সমান সহগ নির্ধারণ করি। আমরা আছে

……………………………

x এর শূন্য ডিগ্রির সহগ 2y 2 এর সমান। ফলস্বরূপ, y 2 = 0। তারপর সহগের সমতা থেকে শূন্য পর্যন্ত আমরা = খুঁজে পাই। সহগ সমান। এখান থেকে।

এই সূত্র থেকে আমরা পাই

মতভেদ অনিশ্চিত রয়ে গেছে। সমাধানের মৌলিক সিস্টেম খুঁজে বের করার জন্য, আমরা প্রথমে = 1, = 0 সেট করি এবং তারপরে বিপরীতে। প্রথম ক্ষেত্রে আমরা আছে

এবং দ্বিতীয়টিতে

উপপাদ্য_1 এর উপর ভিত্তি করে, এই সিরিজগুলি সংখ্যারেখার সর্বত্র অভিসারী।

ফাংশন এবং বলা হয় Airy ফাংশন. এ বড় মান x এই ফাংশনগুলির অ্যাসিম্পোটিক আচরণ নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা বর্ণিত হয়েছে এবং।

এই ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 2.1। আমরা দেখতে পাই যে x-এর সীমাহীন বৃদ্ধির সাথে, বায়বীয় সমীকরণের যেকোনো সমাধানের শূন্য অনির্দিষ্টকালের জন্য একসাথে কাছাকাছি চলে আসে, যা এই সমাধানগুলির অ্যাসিম্পোটিক উপস্থাপনা থেকেও স্পষ্ট, কিন্তু বায়ুযুক্ত ফাংশনগুলির প্রতিনিধিত্ব থেকে একেবারেই স্পষ্ট নয় অভিসারী শক্তি সিরিজের ফর্ম। এটি অনুসরণ করে যে একটি সিরিজ ব্যবহার করে একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান অনুসন্ধানের পদ্ধতিটি সাধারণত প্রয়োগ করা সমস্যা সমাধানে খুব কমই ব্যবহার করা হয় এবং একটি সিরিজের আকারে সমাধানটির উপস্থাপনাটি বিশ্লেষণ করা কঠিন করে তোলে। ফলস্বরূপ সমাধানের গুণগত বৈশিষ্ট্য।

সুতরাং, যদি সমীকরণে (2.1) ফাংশন a(x), b(x) মূলদ হয়, তাহলে যে বিন্দুতে বা সমীকরণের একবচন বিন্দু বলা হয় (2.1)।

একটি দ্বিতীয় আদেশ সমীকরণ জন্য

যেখানে a(x), b(x) ব্যবধানে বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

একবচন বিন্দু x = x 0 এর আশেপাশে, একটি পাওয়ার সিরিজের আকারে সমাধানগুলি বিদ্যমান নাও থাকতে পারে, এই ক্ষেত্রে, একটি সাধারণ শক্তি সিরিজের আকারে সমাধানগুলি সন্ধান করতে হবে:

যেখানে λ এবং, …, () নির্ধারণ করতে হবে।

উপপাদ্য_2. একবচন বিন্দু x = x 0 এর আশেপাশে একটি সাধারণ শক্তি সিরিজ (2.7) আকারে সমীকরণের (2.6) অন্তত একটি নির্দিষ্ট সমাধান থাকার জন্য, এই সমীকরণটির ফর্ম থাকা যথেষ্ট

এগুলি অভিসারী শক্তি সিরিজ, এবং সহগ একই সময়ে শূন্যের সমান নয়, কারণ অন্যথায় বিন্দু x = x 0 নয় একক বিন্দুএবং দুটি লিনিয়ার আছে স্বাধীন সমাধান, x = x 0 বিন্দুতে হলোমরফিক। তদুপরি, সমীকরণের সহগ (2.7’) এর অন্তর্ভুক্ত সিরিজ (2.7”) অঞ্চলে একত্রিত হলে | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

x > 0 এর জন্য সমীকরণ (2.6) বিবেচনা করুন। এই সমীকরণে x 0 = 0-এর জন্য রাশি (2.7) প্রতিস্থাপন করুন, আমাদের আছে

x থেকে শূন্যের শক্তিতে সহগকে সমান করে, আমরা সমীকরণের একটি পুনরাবৃত্ত সিস্টেম পাই:

……..........................……………………………………………. (2.8)

যেখানে নির্দেশিত

যেহেতু, তাহলে λ অবশ্যই সমীকরণটি পূরণ করবে

যাকে বলা হয় সংজ্ঞায়িত সমীকরণ। এই সমীকরণের শিকড় হতে দিন. যদি পার্থক্যটি একটি পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা k > 0 এর জন্য, যার অর্থ নির্দেশিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান তৈরি করা সম্ভব (2.6):

যদি পার্থক্যটি একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে উপরের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আপনি একটি সাধারণ সিরিজ আকারে একটি সমাধান তৈরি করতে পারেন। এই সমাধানটি জেনে, Liouville-Ostrogradsky সূত্র ব্যবহার করে, আপনি দ্বিতীয় রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান খুঁজে পেতে পারেন:

একই সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে সমাধানটি ফর্মে চাওয়া যেতে পারে

(সংখ্যা A শূন্যের সমান হতে পারে)।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার সময় সাধারণীকৃত পাওয়ার সিরিজ ব্যবহারের বিশেষ ক্ষেত্রে।

3.1। বেসেলের সমীকরণ।

বেসেল সমীকরণ গণিত এবং এর প্রয়োগের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির মধ্যে একটি। বেসেল সমীকরণের সমাধানগুলি, যা এর ফাংশনগুলির মৌলিক সিস্টেম তৈরি করে, তা নয় প্রাথমিক ফাংশন. তবে এগুলি পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত হয়, যার সহগগুলি বেশ সহজভাবে গণনা করা হয়।

আসুন সাধারণ আকারে বেসেল সমীকরণ বিবেচনা করি:

গাণিতিক পদার্থবিদ্যার অনেক সমস্যা এই সমীকরণে কমে যায়।

যেহেতু x-এর সাথে -x প্রতিস্থাপন করার সময় সমীকরণটি পরিবর্তিত হয় না, তাই x এর অ-নেতিবাচক মান বিবেচনা করা যথেষ্ট। একমাত্র একবচন বিন্দু হল x=0। x=0 এর সাথে সম্পর্কিত সংজ্ঞায়িত সমীকরণ হল, . যদি 0 হয়, তাহলে সংজ্ঞায়িত সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে: এবং। আসুন এই সমীকরণের সমাধান একটি সাধারণীকৃত পাওয়ার সিরিজ আকারে খুঁজে বের করি

তারপর, মূল সমীকরণে y, y" এবং y" প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই

অতএব, দ্বারা হ্রাস, আমরা আছে

এই সমতা অভিন্নভাবে ধরে রাখার জন্য, সহগগুলিকে অবশ্যই সমীকরণগুলি পূরণ করতে হবে

আসুন আমরা সংজ্ঞায়িত সমীকরণ λ = n এর মূলের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ সমাধানটি বের করি। শেষ সমতায় λ = n প্রতিস্থাপন করে, আমরা দেখতে পাই যে আমরা শূন্য ছাড়া অন্য যেকোন সংখ্যা নিতে পারি, সংখ্যা = 0, এবং k = 2, 3, ... এর জন্য আমাদের আছে

সুতরাং, সকলের জন্য m = 0, 1, 2, …।

সুতরাং, সমস্ত সহগ পাওয়া গেছে, যার অর্থ হল সমীকরণের সমাধান (3.1) আকারে লেখা হবে

এর ফাংশন পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক

অয়লারের গামা ফাংশন বলা হয়। পূর্ণসংখ্যার জন্য কী এবং কী বিবেচনা করে এবং একটি নির্বিচারে ধ্রুবক নির্বাচন করে, এটি আকারে লেখা হবে

প্রথম ধরনের nth ক্রমের বেসেল ফাংশন বলা হয়।

বেসেল সমীকরণের দ্বিতীয় বিশেষ সমাধান, রৈখিকভাবে স্বাধীন, আকারে খুঁজছেন

নির্ণয়ের জন্য সমীকরণের ফর্ম আছে

আমরা খুঁজে অনুমান

নিয়ম অনুসারে, n একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই জোড় সংখ্যা সহ সমস্ত সহগ এর মাধ্যমে অনন্যভাবে প্রকাশ করা হয়:

এইভাবে,

ধরে নিচ্ছি আমরা ফর্মে y 2 (x) উপস্থাপন করছি

নেতিবাচক সূচক সহ প্রথম ধরণের বেসেল ফাংশন বলা হয়।

সুতরাং, যদি n একটি পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবে মূল বেসেল সমীকরণের সমস্ত সমাধান হল বেসেল ফাংশনের রৈখিক সমন্বয় এবং:।

3.2। হাইপারজিওমেট্রিক সমীকরণ বা গাউসিয়ান সমীকরণ।

একটি হাইপারজিওমেট্রিক সমীকরণ (বা গাউসিয়ান সমীকরণ) হল ফর্মের একটি সমীকরণ

যেখানে α, β, γ বাস্তব সংখ্যা।

বিন্দু হল সমীকরণের একবচন বিন্দু। উভয়ই নিয়মিত, যেহেতু এই বিন্দুগুলির আশেপাশে গাউস সমীকরণের সহগগুলি স্বাভাবিক আকারে লেখা হয়

একটি সাধারণ শক্তি সিরিজ হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে।

এর একটি বিন্দু জন্য এই নিশ্চিত করা যাক. প্রকৃতপক্ষে, যে লক্ষ্য

সমীকরণ (3.2) হিসাবে লেখা যেতে পারে

এই সমীকরণটি সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে

এবং এখানে, সুতরাং x=0 বিন্দুটি গাউস সমীকরণের একটি নিয়মিত একবচন বিন্দু।

আসুন একবচন বিন্দু x=0 এর আশেপাশে গাউস সমীকরণের সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম তৈরি করি।

x=0 বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত সংজ্ঞায়িত সমীকরণের ফর্ম আছে

এর শিকড়, এবং তাদের পার্থক্য একটি পূর্ণসংখ্যা নয়।

অতএব, একবচন বিন্দু x=0 এর আশেপাশে, সাধারণীকৃত পাওয়ার সিরিজ আকারে সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম তৈরি করা সম্ভব।

যার প্রথমটি সংজ্ঞায়িত সমীকরণের শূন্য মূলের সাথে মিলে যায় এবং এটি একটি সাধারণ পাওয়ার সিরিজ, যাতে সমাধানটি একবচন বিন্দু x=0 এর আশেপাশে হয়লোমরফিক হয়। দ্বিতীয় সমাধানটি স্পষ্টতই x=0 বিন্দুতে অ-হলোমরফিক। আসুন প্রথমে সংজ্ঞায়িত সমীকরণের শূন্য মূলের সাথে সম্পর্কিত একটি নির্দিষ্ট সমাধান তৈরি করি।

সুতরাং, আমরা ফর্মে সমীকরণ (3.2) এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজব

(3.3) প্রতিস্থাপন (3.2), আমরা পাই

মুক্ত শব্দটিকে শূন্যের সাথে সমান করে, আমরা পাই।

এটা হতে দিন, তারপর আমরা এটা পেতে.

সহগকে শূন্যের সমান করে, আমরা পাই:

অতএব, প্রয়োজনীয় বিশেষ সমাধানের ফর্ম রয়েছে:

ডানদিকের সিরিজটিকে হাইপারজ্যামিতিক সিরিজ বলা হয়, যেহেতু α=1, β=γ এটি একটি জ্যামিতিক অগ্রগতিতে পরিণত হয়

Theorem_2 অনুসারে, সিরিজ (3.4) |x| হিসাবে একত্রিত হয়<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

দ্বিতীয় বিশেষ সমাধানের ফর্ম আছে:

অনির্ধারিত সহগগুলির পদ্ধতি খুঁজে পাওয়ার পরিবর্তে, আমরা সূত্রটি ব্যবহার করে গাউস সমীকরণে পছন্দসই ফাংশনটি প্রতিস্থাপন করব

আমরা গাউস সমীকরণ পাই

যেখানে α, β এবং γ পরামিতিগুলির ভূমিকা এবং দ্বারা অভিনয় করা হয়।

অতএব, সংজ্ঞায়িত সমীকরণের শূন্য মূলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এই সমীকরণের একটি আংশিক সমাধান তৈরি করে এবং এটিকে (3.6) প্রতিস্থাপন করে, আমরা এই গাউস সমীকরণের দ্বিতীয় আংশিক সমাধানটি আকারে পাই:

গাউস সমীকরণের সাধারণ সমাধান (3.2) হবে:

একবচন বিন্দু x=0 এর আশেপাশে গাউস সমীকরণের সমাধানের তৈরি মৌলিক সিস্টেম ব্যবহার করে, একবচন বিন্দু x=1 এর আশেপাশে এই সমীকরণের সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম সহজেই তৈরি করা যায়, যা একটি নিয়মিত একক বিন্দু।

এই উদ্দেশ্যে, আমরা স্বতন্ত্র পরিবর্তনশীল x = 1 এর রৈখিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে আমাদের আগ্রহের একবচন বিন্দু x = 1 বিন্দু t = 0 এবং এর সাথে একবচন বিন্দু x = 0 বিন্দু t = 1 এ স্থানান্তর করব। - t.

এই গাউস সমীকরণে এই প্রতিস্থাপনটি বহন করে, আমরা পাই

এটি পরামিতি সহ গাউসিয়ান সমীকরণ। এটা আশেপাশে আছে |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

পরিবর্তনশীল x-এ ফিরে এসে, t = 1 - x সেট করে, আমরা বিন্দুর আশেপাশে মূল গাউস সমীকরণের সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম পাই। x - 1|< 1 особой точки х = 1

অঞ্চলে গাউস সমীকরণের (3.2) সাধারণ সমাধান হবে

অনুশীলনে সিরিজ ব্যবহার করে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার পদ্ধতির প্রয়োগ।

উদাহরণ_1. (নং 691) প্রাথমিক শর্ত সহ সিরিজের প্রথম কয়েকটি সহগ গণনা করুন (x 4 সহ সহগ পর্যন্ত)

প্রাথমিক অবস্থা থেকে এটি অনুসরণ করে যে এখন বাকি সহগগুলি খুঁজে বের করা যাক:

উদাহরণ_2. (নং 696) প্রাথমিক শর্ত সহ সিরিজের প্রথম কয়েকটি সহগ গণনা করুন (x 4 সহ সহগ পর্যন্ত)

সমাধান: আমরা ফর্মে সমীকরণের সমাধান খুঁজব

আমরা মূল সমীকরণে ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিগুলি প্রতিস্থাপন করি:

একটি পাওয়ার সিরিজের আকারে ডান দিকের প্রতিনিধিত্ব করে এবং সমীকরণের উভয় পাশে x এর একই ক্ষমতাগুলির জন্য সহগগুলিকে সমান করে, আমরা পাই:

যেহেতু শর্ত অনুসারে x 4 সহ সহগ পর্যন্ত সিরিজের সহগ গণনা করা প্রয়োজন, তাই সহগ গণনা করা যথেষ্ট।

প্রাথমিক অবস্থা থেকে এটি অনুসরণ করে এবং 2. এখন বাকি সহগগুলি খুঁজে বের করা যাক:

ফলস্বরূপ, সমীকরণের সমাধান আকারে লেখা হবে

উদাহরণ_৩. (নং 700) সমীকরণের পাওয়ার সিরিজ আকারে রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান খুঁজুন। যদি সম্ভব হয়, প্রাথমিক ফাংশন ব্যবহার করে ফলাফল সিরিজের যোগফল প্রকাশ করুন।

সমাধান। আমরা একটি সিরিজ আকারে সমীকরণের সমাধান খুঁজব

এই সিরিজটিকে দুবার পার্থক্য করা এবং এটিকে এই সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা, আমাদের আছে

আসুন আমরা ফলাফল সমীকরণে সিরিজের প্রথম কয়েকটি পদ লিখি:

x থেকে শূন্যের সমান শক্তিতে সহগকে সমান করে, আমরা নির্ধারণের জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:

………………………………….

এই সমীকরণগুলো থেকে আমরা খুঁজে পাই

আসুন আমরা ধরে নিই যে কেবলমাত্র সহগগুলি শূন্য থেকে আলাদা হবে। আমরা যে পেতে

সমীকরণের একটি সমাধান তৈরি করা হয়েছে

আমরা অনুমান করে দ্বিতীয় সমাধানটি পাই, যেটি পাওয়া যায় তার থেকে রৈখিকভাবে স্বাধীন। তারপর শুধুমাত্র সহগ শূন্য থেকে ভিন্ন হবে:

x-এর যেকোনো মানের জন্য যে সিরিজ প্রতিনিধিত্ব করে এবং একত্রিত হয় এবং এটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন। সুতরাং, মূল সমীকরণের সমস্ত সমাধান হল x এর সমস্ত মানের জন্য বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন। সমস্ত সমাধান সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে C 1, C 2 হল নির্বিচারে ধ্রুবক:

যেহেতু প্রাথমিক ফাংশন ব্যবহার করে ফলাফল সিরিজের যোগফল সহজেই প্রকাশ করা যেতে পারে, তাই এটি লেখা হবে:

উদাহরণ_4. (নং 711) 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান। বিন্দু x = 0 এই সমীকরণের একটি নিয়মিত একবচন বিন্দু। আমরা সংজ্ঞায়িত সমীকরণটি রচনা করি: এর মূলগুলি হল λ 1 = 1/2 এবং λ 2 = - 1। আমরা মূল সমীকরণটির সমাধান খুঁজছি যা λ = λ 1 আকারে মূলের সাথে সম্পর্কিত।

প্রতিস্থাপন এবং মূল সমীকরণ মধ্যে, আমরা আছে

এখান থেকে, দ্বারা হ্রাস, আমরা পেতে

x এর একই শক্তিতে সহগগুলিকে সমান করে, আমাদের নির্ধারণের জন্য সমীকরণ রয়েছে:

y 0 = 1 সেট করে আমরা খুঁজে পাই

এইভাবে,

আমরা মূল λ = λ 2 ফর্মের সাথে সম্পর্কিত মূল সমীকরণের সমাধান খুঁজছি

এই রাশিটিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করে এবং x এর একই ঘাতে সহগগুলিকে সমান করে, আমরা পাই বা y 0 = 1 রাখলে, আমরা পাই

আমরা মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান লিখি ফর্মে যেখানে এবং ইচ্ছাকৃত ধ্রুবক।

উপসংহার

অজানা ফাংশন সমন্বিত সমীকরণ এবং তাদের ডেরিভেটিভগুলি প্রথমের চেয়ে বেশি শক্তিতে বা আরও জটিল উপায়ে সমাধান করা প্রায়শই খুব কঠিন।

সাম্প্রতিক বছরগুলিতে, এই ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি ক্রমবর্ধমান মনোযোগ আকর্ষণ করেছে। যেহেতু সমীকরণের সমাধানগুলি প্রায়শই খুব জটিল এবং সহজ সূত্র ব্যবহার করে উপস্থাপন করা কঠিন, তাই আধুনিক তত্ত্বের একটি উল্লেখযোগ্য অংশ তাদের আচরণের গুণগত বিশ্লেষণে নিবেদিত, যেমন পদ্ধতির বিকাশ যা সমীকরণের সমাধান না করেই, সামগ্রিকভাবে সমাধানগুলির প্রকৃতি সম্পর্কে উল্লেখযোগ্য কিছু বলা সম্ভব করে: উদাহরণস্বরূপ, সেগুলি সমস্ত সীমিত, বা একটি পর্যায়ক্রমিক প্রকৃতি রয়েছে, বা একটি নির্দিষ্ট উপায়ে নির্ভর করে সহগ

কোর্সের কাজের সময়, পাওয়ার এবং সাধারণীকৃত পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার পদ্ধতির একটি বিশ্লেষণ করা হয়েছিল।

সাহিত্য:

মাতভিভ এন.ভি. সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার পদ্ধতি। এড. ৪র্থ, রেভ. এবং অতিরিক্ত মিনস্ক, "সর্বোচ্চ। স্কুল", 1974। - 768 পি। অসুস্থ সঙ্গে
Agafonov S.A., German AD., Muratova T.V. ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: পাঠ্যপুস্তক। বিশ্ববিদ্যালয়ের জন্য / এড. B.C. জারুবিনা, এ.পি. ক্রিশ্চেনকো। - 3য় সংস্করণ।, স্টেরিওটাইপ। -এম.: এমএসটিইউ আইএমের পাবলিশিং হাউস। N.E. বাউম্যান, 2004। - 352 পি।
বুগ্রভ ইয়া এস, নিকোলস্কি এস এম উচ্চতর গণিত। T.3: ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। একাধিক অখণ্ড। সারি। একটি জটিল পরিবর্তনশীলের কাজ: পাঠ্যপুস্তক। বিশ্ববিদ্যালয়গুলির জন্য: 3 খণ্ডে / ইয়া এস. বুগ্রভ, এস. এম. নিকোলস্কি; এড. ভি. এ. সাদভনিচি। — ৬ষ্ঠ সংস্করণ, স্টেরিওটাইপ। — এম.: বাস্টার্ড, 2004। —— 512 পি.: অসুস্থ।
Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: উদাহরণ এবং সমস্যা। পাঠ্যপুস্তক ভাতা - ২য় সংস্করণ, সংশোধিত। - এম.: উচ্চতর। স্কুল, 1989. - 383 পিপি: অসুস্থ।
ফিলিপভ এএফ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে সমস্যার সংগ্রহ। পাঠ্যপুস্তক বিশ্ববিদ্যালয়ের জন্য ম্যানুয়াল। - এম.: ফিজমাটিজড, 1961। - 100 পিপি: অসুস্থ।

ডাউনলোড করুন: আপনি আমাদের সার্ভার থেকে ফাইল ডাউনলোড করার অ্যাক্সেস নেই.

পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একীভূত করা সম্ভব।

ফর্মের একটি লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন:

এই সমাধানটি একটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:

একটি সমাধান খুঁজে বের করার জন্য, এটি অজানা ধ্রুবক নির্ধারণ করা অবশেষ গ i .

এই সমস্যা সমাধান করা যেতে পারে অনিশ্চিত সহগ তুলনা করার পদ্ধতি. আমরা মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে পছন্দসই ফাংশনের জন্য লিখিত অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি, পাওয়ার সিরিজ (পার্থক্য, যোগ, বিয়োগ, গুণ ইত্যাদি) সহ সমস্ত প্রয়োজনীয় ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করি।

উদাহরণ।সমীকরণের সমাধান খুঁজুন
প্রাথমিক শর্ত সহ y(0)=1, y’(0)=0.

আমরা ফর্মে সমীকরণের সমাধান খুঁজব

আমরা মূল সমীকরণে ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিগুলি প্রতিস্থাপন করি:

এখান থেকে আমরা পাই:

………………

অবশেষে আমরা পাই:

মোট:

সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য আরেকটি পদ্ধতি আছে। এটা বলা হয় অনুক্রমিক পার্থক্য পদ্ধতি.

যদি প্রাথমিক শর্ত দেওয়া হয় y(0)=1, y’(0)=0 মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন, আমরা তা পাই

এর পরে, আমরা ফর্মে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ লিখি
এবং আমরা ক্রমানুসারে এটি দ্বারা পার্থক্য করব এক্স.

প্রাপ্ত মানগুলি প্রতিস্থাপন করার পরে আমরা পাই:

কচি মানদণ্ড।

(সিরিজের মিলনের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত)

ক্রম জন্য
অভিসারী ছিল, এটা প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে কোনো জন্য
এমন একটি সংখ্যা ছিলএন, যে এn > এনএবং যে কোনোপি> 0, যেখানে p একটি পূর্ণসংখ্যা, নিম্নলিখিত অসমতা থাকবে:

প্রমাণ. (প্রয়োজনীয়তা)

যাক
, তারপর যেকোনো সংখ্যার জন্য
একটি সংখ্যা N আছে যেমন অসমতা

পূর্ণ হয় যখন n>N। n>N এবং যেকোনো পূর্ণসংখ্যা p>0 এর জন্যও অসমতা ধারণ করে
. উভয় অসমতা বিবেচনা করে, আমরা পাই:

প্রয়োজনীয়তা প্রমাণিত হয়েছে। আমরা পর্যাপ্ততার প্রমাণ বিবেচনা করব না।

আসুন সিরিজের জন্য কচি মানদণ্ড তৈরি করি।

সিরিজের জন্য
অভিসারী ছিল, এটা প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে কোনো জন্য
একটি সংখ্যা ছিলএনযেমন এn> এনএবং যে কোনোপি>0 অসমতা ধরে রাখবে

যাইহোক, অনুশীলনে, সরাসরি Cauchy মানদণ্ড ব্যবহার করা খুব সুবিধাজনক নয়। অতএব, একটি নিয়ম হিসাবে, সহজ অভিসারী পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়:

পরিণতি।যদি চ(x) এবং  (এক্স)- বিরতিতে ক্রমাগত ফাংশন (a, b] এবং
তারপর integrals
এবং
অভিসারের ক্ষেত্রে অভিন্ন আচরণ করুন।

আনুমানিক একটি সিরিজ ব্যবহার করে একটি DE এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান কীভাবে খুঁজে পাবেন?

ধারাবাহিক তত্ত্বের ব্যবহারিক প্রয়োগগুলি অধ্যয়ন চালিয়ে যাওয়া, আসুন আরেকটি সাধারণ সমস্যা বিবেচনা করি, যার নাম আপনি শিরোনামে দেখতে পাচ্ছেন। এবং, পুরো পাঠ জুড়ে লনমাওয়ারের মতো অনুভব না করার জন্য, আসুন অবিলম্বে কাজের সারমর্মটি বুঝতে পারি। তিনটি প্রশ্ন এবং তিনটি উত্তর:

আপনি কি খুঁজে বের করতে হবে? একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশেষ সমাধান. লাইনগুলির মধ্যে একটি ইঙ্গিত ফিসফিস করে যে এই মুহুর্তে অন্তত এটি কী তা বোঝার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণএবং তার সমাধান কি।

কিভাবে এই সমাধান প্রয়োজন? প্রায় - একটি সিরিজ ব্যবহার করে.

এবং তৃতীয় যৌক্তিক প্রশ্ন: কেন প্রায়?আমি ইতিমধ্যে ক্লাসে এই প্রশ্নটি কভার করেছি। অয়লার এবং রুঞ্জ-কুট্টা পদ্ধতি, কিন্তু পুনরাবৃত্তি আঘাত করবে না। সুনির্দিষ্ট একটি সমর্থক হচ্ছে, আমি সহজে ফিরে আসব ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. ডিফিউজারগুলির প্রথম বক্তৃতার সময়, আমরা এর সাধারণ সমাধান (সূচকগুলির সেট) এবং প্রাথমিক অবস্থার সাথে সম্পর্কিত একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে পেয়েছি। একটি ফাংশনের গ্রাফ হল সবচেয়ে সাধারণ লাইন যা একটি অঙ্কনে চিত্রিত করা সহজ।

কিন্তু এটি একটি প্রাথমিক কেস। অনুশীলনে, অনেকগুলি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রয়েছে যা বিশ্লেষণাত্মকভাবে সঠিকভাবে সমাধান করা যায় না (অন্তত বর্তমানে পরিচিত পদ্ধতি দ্বারা)। অন্য কথায়, আপনি এই ধরনের সমীকরণকে যেভাবে মোচড় দেন না কেন, এটি একীভূত করা সম্ভব হবে না। আর ক্যাচটাও তাই একটি সাধারণ সমাধান (একটি সমতলে লাইনের একটি পরিবার) বিদ্যমান থাকতে পারে. এবং তারপরে গণিত গণিতের পদ্ধতিগুলি উদ্ধারে আসে।

আমাদের আনন্দ দেখা যাক!

সাধারণ কাজনিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়:

… , প্রাথমিক অবস্থা সন্তুষ্ট, মধ্যে তিনটি ফর্ম (কম প্রায়ই - চার বা পাঁচ)অ-শূন্য পদ টেলর সিরিজ.

প্রয়োজনীয় বিশেষ সমাধান অনুযায়ী এই সিরিজে প্রসারিত করা হয় পরিচিত সূত্র:

একমাত্র জিনিস হল "ef" অক্ষরের পরিবর্তে এখানে "igrek" ব্যবহার করা হয়েছে (এটি ঠিক তাই ঘটে)।

ধারণা এবং অর্থও পরিচিত: কিছু ডিফিউসারের জন্য এবং কিছু শর্তের অধীনে (আমরা তত্ত্বে যাব না) নির্মিত পাওয়ার সিরিজ একত্রিত হবেকাঙ্ক্ষিত বিশেষ সমাধানের জন্য। অর্থাৎ, আমরা সিরিজের যত বেশি পদ বিবেচনা করব, তত বেশি নির্ভুলভাবে সংশ্লিষ্ট বহুপদীর গ্রাফটি ফাংশনের গ্রাফের আনুমানিক হবে।

এটি উল্লেখ করা উচিত যে উপরের বেশিরভাগ ক্ষেত্রে প্রযোজ্য সহজ ক্ষেত্রে. আসুন একই পট্টিতে একটি সাধারণ শিশুদের অধ্যয়ন পরিচালনা করি:

উদাহরণ 1

টেলর সিরিজের প্রথম চারটি অশূন্য পদের আকারে প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে এমন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রায় আংশিক সমাধান খুঁজুন।

সমাধান: এই সমস্যার শর্তে তাই সাধারণ সূত্রটেলর রূপান্তরিত বিশেষ ক্ষেত্রে ম্যাকলরিন সিরিজের সম্প্রসারণ:

একটু সামনের দিকে তাকিয়ে, আমি বলব যে ব্যবহারিক কাজগুলিতে এই আরও কমপ্যাক্ট সিরিজটি অনেক বেশি সাধারণ।

আপনার রেফারেন্স বইতে উভয় কাজের সূত্র লিখুন।

চলুন মানে বুঝি. সমাধানের ধাপগুলি সংখ্যা করা সুবিধাজনক:

0) শূন্য ধাপে, আমরা মানটি লিখি, যা সর্বদা শর্ত থেকে জানা যায়। নোটবুকে, পয়েন্টগুলির চূড়ান্ত ফলাফলগুলিকে বৃত্ত করার পরামর্শ দেওয়া হয় যাতে সেগুলি স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান হয় এবং সমাধানে হারিয়ে না যায়। প্রযুক্তিগত কারণে, আমার পক্ষে সেগুলিকে গাঢ়ভাবে হাইলাইট করা আরও সুবিধাজনক। এছাড়া, মনে রাখবেন যে এই মানটি শূন্য নয়! সব পরে, শর্ত চার খোঁজার প্রয়োজন অ-শূন্যসিরিজের সদস্যরা।

1) আসুন গণনা করা যাক। এটি করার জন্য, "y" এর পরিবর্তে আসল সমীকরণের ডানদিকে পরিচিত মানটিকে প্রতিস্থাপন করুন:

2) আসুন গণনা করা যাক। প্রথমে আমরা খুঁজে পাই দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ:

আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে পাওয়া মানটিকে ডানদিকে প্রতিস্থাপন করি:

আমাদের ইতিমধ্যে তিনটি অ-শূন্য সম্প্রসারণ পদ রয়েছে, আমাদের আরও একটি প্রয়োজন:

উদাহরণ 2

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আনুমানিক আংশিক সমাধান খুঁজুন , টেলর সিরিজের প্রথম তিনটি অশূন্য পদের আকারে প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে।

সমাধানশুরু হয় আদর্শ বাক্যাংশ:

এই সমস্যায়, অতএব:

এখন আমরা ক্রমানুসারে মানগুলি খুঁজে পাই - যতক্ষণ না তিনটি পাওয়া যায় অ-শূন্যফলাফল আপনি ভাগ্যবান হলে, তারা শূন্য থেকে ভিন্ন হবে - এই সঙ্গে আদর্শ ক্ষেত্রে ন্যূনতম পরিমাণকাজ

আসুন সমাধান পয়েন্টগুলি কাটা যাক:

0) শর্ত অনুসারে। এখানেই প্রথম সাফল্য।

1) আসুন গণনা করা যাক। প্রথমে, প্রথম ডেরিভেটিভের সাপেক্ষে মূল সমীকরণটি সমাধান করা যাক, অর্থাৎ আমরা প্রকাশ করি . আসুন পরিচিত মানগুলিকে ডান দিকে প্রতিস্থাপন করি:

আমরা একটি স্টিয়ারিং হুইল পেয়েছি এবং এটি ভাল নয়, যেহেতু আমরা আগ্রহী অ-শূন্যঅর্থ যাইহোক, শূন্য - একই ফলাফল, যা আমরা বৃত্ত বা অন্য কোনো উপায়ে হাইলাইট করতে ভুলবেন না।

2) দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি খুঁজুন এবং পরিচিত মানগুলিকে ডান দিকে প্রতিস্থাপন করুন:

দ্বিতীয়টি "শূন্য নয়"।

3) দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

সাধারণভাবে, কাজটি কিছুটা টেল অফ দ্য টার্নিপের কথা মনে করিয়ে দেয়, যখন একজন দাদা, দাদী এবং নাতনি সাহায্যের জন্য একটি বাগ, একটি বিড়াল ইত্যাদিকে ডাকেন। এবং প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি পরবর্তী ডেরিভেটিভ তার "পূর্বসূরীদের" মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

আসুন পরিচিত মানগুলিকে ডান দিকে প্রতিস্থাপন করি:

তৃতীয় অ-শূন্য মান। তারা শালগম বের করল।

সাবধানে এবং সাবধানে আমাদের সূত্রে "গাঢ়" সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করুন:

উত্তর: নির্দিষ্ট সমাধানের কাঙ্ক্ষিত আনুমানিক সম্প্রসারণ:

বিবেচিত উদাহরণে, দ্বিতীয় স্থানে শুধুমাত্র একটি শূন্য ছিল, এবং এটি এত খারাপ নয়। সাধারণভাবে, শূন্য আপনার পছন্দ অনুযায়ী এবং যেকোনো জায়গায় ঘটতে পারে। আমি আবার বলছি, অ-শূন্য ফলাফলের সাথে তাদের হাইলাইট করা খুবই গুরুত্বপূর্ণ, যাতে চূড়ান্ত পর্যায়ে প্রতিস্থাপনে বিভ্রান্ত না হয়।

এখানে আপনি যান - ব্যাগেল প্রথম স্থানে রয়েছে:

উদাহরণ 3

টেলর সিরিজের প্রথম তিনটি অশূন্য পদের আকারে প্রাথমিক অবস্থার সাথে সম্পর্কিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আনুমানিক আংশিক সমাধান খুঁজুন।

পাঠের শেষে একটি কাজের আনুমানিক উদাহরণ। অ্যালগরিদমের পয়েন্টগুলি সংখ্যায়িত নাও হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, ধাপগুলির মধ্যে খালি লাইনগুলি রেখে), তবে আমি সুপারিশ করি যে নতুনরা একটি কঠোর টেমপ্লেট মেনে চলে।

বিবেচনাধীন কাজটির জন্য বর্ধিত মনোযোগ প্রয়োজন - আপনি যদি কোনও পদক্ষেপে ভুল করেন তবে অন্য সবকিছুও ভুল হবে! অতএব, আপনার পরিষ্কার মাথা ঘড়ির কাঁটার মতো কাজ করা উচিত। হায়, এটা না অবিচ্ছেদ্যবা ডিফিউজার, যা এমনকি একটি ক্লান্ত অবস্থায়ও নির্ভরযোগ্যভাবে সমাধান করা যেতে পারে, যেহেতু তারা একটি কার্যকর পরীক্ষা করার অনুমতি দেয়।

অনুশীলনে এটি অনেক বেশি সাধারণ ম্যাকলরিন সিরিজের সম্প্রসারণ:

উদাহরণ 4

সমাধান: নীতিগতভাবে, আপনি অবিলম্বে লিখতে পারেন ম্যাক্লোরিন সম্প্রসারণ, কিন্তু সাধারণ ক্ষেত্রে সমস্যাটির আনুষ্ঠানিকতা শুরু করা আরও একাডেমিক:

প্রাথমিক অবস্থার অধীনে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধানের প্রসারণের ফর্ম রয়েছে:

এই ক্ষেত্রে, অতএব:

0) শর্ত দ্বারা।

আচ্ছা তুমি কি করতে পারো... আসুন আশা করি কম শূন্য আছে।

1) আসুন গণনা করা যাক। প্রথম ডেরিভেটিভ ইতিমধ্যে ব্যবহারের জন্য প্রস্তুত। আসুন মান প্রতিস্থাপন করা যাক:

2) আসুন দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি খুঁজে বের করি:

এবং এর মধ্যে প্রতিস্থাপন করা যাক:

জিনিস ভাল হয়েছে!

3) খুঁজুন। আমি এটি বিস্তারিতভাবে লিখব:

মনে রাখবেন যে সাধারণ বীজগণিত নিয়মগুলি ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য: শেষ ধাপে অনুরূপ পদগুলি নিয়ে আসা এবং একটি শক্তি হিসাবে গুণফল লিখুন: (ibid.)।

ব্যাকব্রেকিং শ্রমের মাধ্যমে অর্জিত সমস্ত কিছুর প্রতিস্থাপন করা যাক:

তিনটি অ-শূন্য মান জন্মগ্রহণ করে।

আমরা ম্যাকলরিন সূত্রে "বোল্ড" সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করি, যার ফলে নির্দিষ্ট সমাধানের আনুমানিক প্রসারণ পাওয়া যায়:

উত্তর:

জন্য স্বাধীন সিদ্ধান্ত:

উদাহরণ 5

পাওয়ার সিরিজের প্রথম তিনটি অশূন্য পদের যোগফল হিসাবে প্রদত্ত প্রাথমিক অবস্থার সাথে সম্পর্কিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রায় একটি নির্দিষ্ট সমাধান উপস্থাপন করুন।

পাঠের শেষে একটি নমুনা নকশা।

আপনি দেখতে পারেন, একটি নির্দিষ্ট সম্প্রসারণ সঙ্গে সমস্যা ম্যাকলরিন সিরিজসাধারণ মামলার চেয়ে আরও কঠিন হয়ে উঠল। বিবেচনাধীন কাজের জটিলতা, যেমনটি আমরা এইমাত্র দেখেছি, পচনশীলতার মধ্যেই এতটা নিহিত নয়, বরং পার্থক্যের অসুবিধার মধ্যে রয়েছে। তাছাড়া, কখনও কখনও আপনাকে 5-6 ডেরিভেটিভস (বা আরও বেশি) খুঁজে বের করতে হবে, যা ত্রুটির ঝুঁকি বাড়ায়। এবং পাঠের শেষে, আমি বর্ধিত জটিলতার কয়েকটি কাজ অফার করি:

উদাহরণ 6

একটি ম্যাকলরিন সিরিজে একটি নির্দিষ্ট সমাধানের সম্প্রসারণ ব্যবহার করে আনুমানিকভাবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করুন, সিরিজের প্রথম তিনটি অ-শূন্য পদে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রেখে

সমাধান: আমাদের দ্বিতীয় আদেশের পার্থক্য আছে, কিন্তু এটি কার্যত বিষয়টি পরিবর্তন করে না। শর্ত অনুসারে, আমাদের অবিলম্বে ম্যাক্লোরিন সিরিজ ব্যবহার করতে বলা হয়, যা আমরা ব্যবহার করতে ব্যর্থ হব না। চলুন পরিচিত সম্প্রসারণটি লিখি, আরও শর্তাবলী গ্রহণ করা যাক শুধুমাত্র ক্ষেত্রে:

অ্যালগরিদম ঠিক একই কাজ করে:

0) - শর্ত অনুসারে।

1) - শর্ত অনুযায়ী।

2) দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের সাথে মূল সমীকরণটি সমাধান করা যাক: .

এবং এর বিকল্প করা যাক:

প্রথম অ-শূন্য মান

ডেরিভেটিভগুলিতে ক্লিক করুন এবং প্রতিস্থাপনগুলি সম্পাদন করুন:

আসুন প্রতিস্থাপন করি এবং:

আসুন প্রতিস্থাপন করি:

দ্বিতীয় অ-শূন্য মান।

5) - পথ ধরে আমরা অনুরূপ ডেরিভেটিভ উপস্থাপন করি।

আসুন প্রতিস্থাপন করি:

অবশেষে. যাইহোক, এটি আরও খারাপ হতে পারে।

সুতরাং, পছন্দসই নির্দিষ্ট সমাধানের আনুমানিক সম্প্রসারণ হল:

কাজাখস্তান প্রজাতন্ত্রের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রণালয়

উত্তর কাজাখস্তান স্টেট ইউনিভার্সিটি

তাদের এম. কোজিবায়েভা

তথ্য প্রযুক্তি অনুষদ

গণিত বিভাগ

কোর্সওয়ার্ক সুরক্ষিত

"___________" রেটিং সহ

"___"___________ 2013

মাথা বিভাগ____________

উঃ তাদজিগিটভ

গণিতে কোর্সের কাজ

"ভিন্ন সমীকরণের একীকরণ

পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করা"

প্রধান: Valeeva M.B. ___________

পেট্রোপাভলভস্ক 2013

অ্যাডাপটা

Berilgen kurstyk zhumysta qatarlarmen zhane differentials tendemelermen baylanysty theorylyk suraktar karastyrylgan। ডিফারেনশিয়াল еңdemенің integralдауынн мысалDERы zhәne manңағаз қаторлARDың көмімін ка enoughрылған.

টীকা

এর মধ্যে কোর্সের কাজসিরিজ এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সম্পর্কিত তাত্ত্বিক সমস্যা বিবেচনা করা হয়। পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একীভূত করার উদাহরণ বিবেচনা করা হয়।

প্রদত্ত কাজগুলিকে তাত্ত্বিক প্রশ্ন হিসাবে বিবেচনা করা হয় যা সিরিজ এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত। পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ইন্টিগ্রেশন আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণ বিবেচনা করা হয়েছে।

ভূমিকা

সিরিজ এবং ভিন্ন সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত মৌলিক ধারণা

1 সারি। মৌলিক ধারণা। অভিসারের প্রয়োজনীয় চিহ্ন

2 পাওয়ার সিরিজ। পাওয়ার সিরিজের বৈশিষ্ট্য

3 টেলর সারি. ম্যাকলরিন সিরিজ

4 ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

5 সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একীভূত করা

ভিন্ন সমীকরণগুলিকে একীভূত করার ক্ষেত্রে পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করার উদাহরণ

1 বাতাসযুক্ত সমীকরণ

2 বেসেল সমীকরণ

3 ইন্টিগ্রেশন উদাহরণ

ম্যাপলে ইন্টিগ্রেশনের 4 উদাহরণ

উপসংহার

ভূমিকা

"পার্থক্য সমীকরণ" শব্দটি লাইবনিজ (1676, প্রকাশিত 1684) থেকে এসেছে। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উপর গবেষণার সূচনা লাইবনিজ এবং নিউটনের সময় থেকে, যাদের কাজগুলিতে এই ধরনের সমীকরণের দিকে পরিচালিত প্রথম সমস্যাগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল। লাইবনিজ, নিউটন, ভাই জে. এবং আই. বার্নোলি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন। একটি সার্বজনীন পদ্ধতি হিসাবে, পাওয়ার সিরিজে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অবিচ্ছেদ্য সম্প্রসারণ ব্যবহার করা হয়েছিল।

আজকাল, উচ্চ-শক্তি কম্পিউটিং সরঞ্জামগুলির আবির্ভাবের সাথে যুক্ত বিজ্ঞানে গণনা পদ্ধতির ব্যাপক প্রবর্তনের জন্য গণিতের বিভিন্ন শাখার গুরুত্ব এবং বিশেষ করে, সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বের অংশগুলির পুনর্মূল্যায়ন প্রয়োজন। বর্তমানে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানগুলির গুণগত গবেষণার জন্য পদ্ধতিগুলির গুরুত্ব, সেইসাথে সমাধানগুলির আনুমানিক অনুসন্ধানের পদ্ধতিগুলি বৃদ্ধি পেয়েছে।

অনেক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান প্রাথমিক ফাংশন বা চতুর্ভুজে প্রকাশ করা হয় না। এই ক্ষেত্রে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার জন্য আনুমানিক পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়। এরকম একটি পদ্ধতি হল একটি সমীকরণের সমাধানকে পাওয়ার সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করা; এই সিরিজের সসীম সংখ্যক পদের যোগফল কাঙ্খিত সমাধানের প্রায় সমান হবে। এটি নির্বাচিত গবেষণা বিষয়ের প্রাসঙ্গিকতা নির্ধারণ করে।

এই কাজের উদ্দেশ্য: ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণে পাওয়ার সিরিজ পদ্ধতির ব্যবহার দেখানো।

অধ্যয়নের উদ্দেশ্য হল পাওয়ার সিরিজ পদ্ধতি ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার প্রক্রিয়া।

অধ্যয়নের বিষয় হল পাওয়ার সিরিজ দ্বারা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে একীভূত করার ফর্ম, পদ্ধতি এবং উপায়।

লক্ষ্য অনুসারে, এই কাজের মূল উদ্দেশ্যগুলি প্রণয়ন করা যেতে পারে:

সিরিজ এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সম্পর্কিত মৌলিক ধারণাগুলি পর্যালোচনা করুন।

পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একীভূত করার পদ্ধতি বিশ্লেষণ কর।

বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য পাওয়ার সিরিজ পদ্ধতি প্রয়োগ করুন।

কাজের কাঠামো: প্রথম পাতা, কাজের অ্যাসাইনমেন্ট ফর্ম, বিমূর্ত, বিষয়বস্তু, ভূমিকা, প্রধান অংশ, উপসংহার, রেফারেন্সের তালিকা।

কাজের মূল অংশটি দুটি অধ্যায় নিয়ে গঠিত। প্রথম অধ্যায় সিরিজ, পাওয়ার সিরিজ, টেলর সিরিজ এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধারণাগুলি প্রকাশ করে। দ্বিতীয় অধ্যায়ে, পাওয়ার সিরিজ দ্বারা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণের উদাহরণ বিবেচনা করা হয়েছে।

কাজের তাত্ত্বিক অংশ অধ্যয়ন করতে, ব্যবহৃত সাহিত্যের তালিকায় নির্দেশিত শিক্ষামূলক সাহিত্য এবং সাময়িকী থেকে উপকরণ ব্যবহার করা হয়েছিল।

কাজের ভলিউম: 26 পৃষ্ঠা।

1. সিরিজ এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত মৌলিক ধারণা

1.1 সারি। মৌলিক ধারণা। মিলনের প্রয়োজনীয় চিহ্ন

গাণিতিক প্রয়োগের পাশাপাশি অর্থনীতি, পরিসংখ্যান এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে কিছু সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে অসীম সংখ্যক পদের যোগফল বিবেচনা করা হয়। এখানে আমরা এই ধরনের রাশি বলতে কী বোঝায় তার একটি সংজ্ঞা দেব।

একটি অসীম সংখ্যা ক্রম দেওয়া যাক. একটি সংখ্যা সিরিজ বা সহজভাবে একটি সিরিজ ফর্মের একটি অভিব্যক্তি (সমষ্টি)

,(1.1)

সংখ্যাগুলিকে একটি সিরিজের সদস্য বলা হয় - সাধারণ বা nম মেয়াদসারি

সিরিজ (1.1) সংজ্ঞায়িত করার জন্য, এটির সংখ্যা দ্বারা সিরিজের nম পদ গণনা করার স্বাভাবিক যুক্তির কাজটি নির্দিষ্ট করা যথেষ্ট

উদাহরণ 1.1। যাক। সারি

(1.2)

একটি সুরেলা সিরিজ বলা হয়।

সিরিজের শর্তাবলী থেকে (1.1) আমরা গঠন করি সংখ্যা ক্রমআংশিক পরিমাণ যেখানে - সিরিজের প্রথম পদগুলির যোগফল, যাকে nম আংশিক যোগফল বলা হয়, অর্থাৎ

(1.3)

সংখ্যা ক্রম সংখ্যায় সীমাহীন বৃদ্ধির সাথে এটি করতে পারে:

) একটি সীমাবদ্ধ সীমা আছে;

) কোন সীমাবদ্ধ সীমা নেই (সীমাটি বিদ্যমান নেই বা অসীমের সমান)।

সিরিজ (1.1) কে অভিসারী বলা হয় যদি এর আংশিক যোগফলের (1.3) ক্রমটির একটি সসীম সীমা থাকে, যেমন

এই ক্ষেত্রে, সংখ্যাটিকে সিরিজের যোগফল (1.1) বলা হয় এবং লেখা হয়

ধারাটি (1.1) বিবর্তিত বলা হয় যদি এর আংশিক যোগফলের ক্রমটির একটি সসীম সীমা না থাকে। বিচ্ছিন্ন সিরিজের জন্য কোন যোগফল বরাদ্দ করা হয় না।

সুতরাং, একটি অভিসারী সিরিজের যোগফল (1.1) খুঁজে বের করার সমস্যাটি তার আংশিক যোগফলের অনুক্রমের সীমা গণনা করার সমতুল্য।

তত্ত্বের প্রমাণ এই সত্য থেকে অনুসরণ করে , এবং যদি

S হল সিরিজের যোগফল (1.1), তারপর

শর্ত (1.4) একটি প্রয়োজনীয় কিন্তু সিরিজের কনভারজেন্সের জন্য যথেষ্ট নয়। অর্থাৎ, যদি সিরিজের সাধারণ শব্দটি শূন্যের দিকে থাকে, তাহলে এর মানে এই নয় যে সিরিজটি একত্রিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, হারমোনিক সিরিজের জন্য (1.2)

যাইহোক, এটা diverges.

কোরোলারি (একটি সিরিজের বিচ্যুতির একটি যথেষ্ট চিহ্ন): যদি সিরিজের সাধারণ শব্দটি শূন্যের দিকে না থাকে, তাহলে এই সিরিজটি ভিন্ন হয়ে যায়।

উদাহরণ 1.2। অভিসার জন্য সিরিজ পরীক্ষা করুন

এই সিরিজের জন্য তাই, এই সিরিজ diverges.

1.1 1.2 পাওয়ার সিরিজ। পাওয়ার সিরিজের বৈশিষ্ট্য

পাওয়ার সিরিজ কার্যকরী সিরিজের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

একটি পাওয়ার সিরিজ ফর্মের একটি কার্যকরী সিরিজ

এখানে ধ্রুবক বাস্তব সংখ্যা বলা হয় পাওয়ার সিরিজ সহগ;

কিছু ধ্রুবক সংখ্যা;

একটি ভেরিয়েবল যা বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে মান নেয়।

যখন পাওয়ার সিরিজ (1.5) রূপ নেয়

(1.6)

পাওয়ার সিরিজ (1.5) কে বলা হয় ক্ষমতার মধ্যে একটি সিরিজ (1.6) যদি একটি ভেরিয়েবলের কোনো মান দেওয়া হয়, তাহলে পাওয়ার সিরিজ (1.5) (বা (1.6)) একটি সংখ্যায় পরিণত হয়। সিরিজ যা একত্রিত বা ভিন্ন হতে পারে।

একটি পাওয়ার সিরিজের অভিসারী অঞ্চল হল মানগুলির সেট যেখানে পাওয়ার সিরিজটি একত্রিত হয়।

উপপাদ্য 1.2 (অ্যাবেলের থিওরেম): যদি পাওয়ার সিরিজ (1.6) একত্রিত হয় তবে এটি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে এমন সমস্ত মানগুলির জন্য একেবারে একত্রিত হয়, কিন্তু যদি সিরিজ (1.6) এ বিচ্যুত হয় তবে এটি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে এমন সমস্ত মানগুলির জন্য বিচ্ছিন্ন হয়

অ্যাবেলের উপপাদ্যটি একটি পাওয়ার সিরিজের অভিসারী অঞ্চলের গঠন সম্পর্কে একটি পরিষ্কার ধারণা দেয়।

উপপাদ্য 1.3: পাওয়ার সিরিজ (1.6) এর একত্রিত হওয়ার অঞ্চলটি নিম্নলিখিত ব্যবধানগুলির মধ্যে একটির সাথে মিলে যায়:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

যেখানে কিছু অ-নেতিবাচক প্রকৃত সংখ্যাবা

সংখ্যাটিকে অভিসারের ব্যাসার্ধ বলা হয়, ব্যবধানটিকে শক্তি সিরিজের অভিসারের ব্যবধান বলা হয় (1.6)।

যদি তাহলে অভিসারী ব্যবধান সমগ্র সংখ্যা রেখাকে উপস্থাপন করে

যদি তখন অভিসারের ব্যবধান বিন্দুতে অবক্ষয় হয়

দ্রষ্টব্য: যদি পাওয়ার সিরিজ (1.2) এর জন্য অভিসরণ ব্যবধান হয়, তাহলে - পাওয়ার সিরিজের জন্য কনভারজেন্স ব্যবধান (1.5)।

উপপাদ্য 1.3 থেকে এটি অনুসরণ করে যে কার্যত শক্তি সিরিজের (1.6) অভিসারণের অঞ্চলটি খুঁজে পেতে, এটির অভিসারের ব্যাসার্ধটি খুঁজে বের করা এবং অভিসরণ ব্যবধানের শেষে এই সিরিজের অভিসারণের প্রশ্নটি স্পষ্ট করা যথেষ্ট, যেমন এ এবং

একটি পাওয়ার সিরিজের কনভারজেন্সের ব্যাসার্ধ নিম্নলিখিত সূত্রগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে:

ডি'আলেমবার্টের সূত্র:

কচি সূত্র:

উদাহরণ 1.3। পাওয়ার সিরিজের কনভারজেন্স ব্যাসার্ধ, কনভারজেন্স ব্যবধান এবং কনভারজেন্স অঞ্চল খুঁজুন

আসুন সূত্র ব্যবহার করে এই সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ বের করি

আমাদের ক্ষেত্রে

ফলস্বরূপ, এই সিরিজের কনভারজেন্স ব্যবধানের ফর্ম আছে

আসুন অভিসারী ব্যবধানের শেষে সিরিজের অভিসরণ অধ্যয়ন করি।

যা একটি সুরেলা সিরিজের মত বিচ্যুত হয়।

যখন পাওয়ার সিরিজ একটি সংখ্যা সিরিজে পরিণত হয়

এটি একটি বিকল্প সিরিজ, যার শর্তাবলী পরম মান হ্রাস পায় এবং

অতএব, লাইবনিজের মানদণ্ড অনুসারে, এই সংখ্যা সিরিজটি একত্রিত হয়।

এইভাবে, ব্যবধান হল একটি প্রদত্ত পাওয়ার সিরিজের অভিসারণের অঞ্চল।

পাওয়ার সিরিজ (1.6) হল কনভারজেন্স ইন্টারভালে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন, যেমন

এখানে ফাংশনের কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

বৈশিষ্ট্য 1. কনভারজেন্স ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত যে কোনও সেগমেন্টে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন

বৈশিষ্ট্য 2. ফাংশনটি ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য এবং এর ডেরিভেটিভটি সিরিজের টার্ম-বাই-টার্ম ডিফারেন্সিয়েশন দ্বারা পাওয়া যেতে পারে (1.6), অর্থাৎ

সবার জন্য

সম্পত্তি 3. অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যসকলের জন্য ফাংশন থেকে সিরিজের টার্ম-বাই-টার্ম ইন্টিগ্রেশন দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে (1.6), অর্থাৎ

সবার জন্য

এটি লক্ষ করা উচিত যে একটি পাওয়ার সিরিজের টার্ম-বাই-টার্ম পার্থক্য এবং একীকরণের সাথে, এর অভিসার ব্যাসার্ধ পরিবর্তিত হয় না, তবে ব্যবধানের শেষে এর অভিসরণ পরিবর্তিত হতে পারে।

উপরের বৈশিষ্ট্যগুলি পাওয়ার সিরিজের জন্যও বৈধ (1.5)।

উদাহরণ 1.4। পাওয়ার সিরিজ বিবেচনা করুন

উদাহরণ 1.3-এ দেখানো এই সিরিজের অভিসারী অঞ্চল হল ব্যবধান

আসুন আমরা এই সিরিজের শব্দটিকে শব্দ দ্বারা আলাদা করি:

(1.7)

আসুন অভিসারী ব্যবধানের শেষে এই সিরিজের আচরণ অধ্যয়ন করি।

এই সংখ্যা সিরিজটি ভিন্ন হয়ে যায় কারণ প্রয়োজনীয় অভিসারের মানদণ্ড পূরণ হয় না

যার অস্তিত্ব নেই।

যখন পাওয়ার সিরিজ (1.7) একটি সংখ্যা সিরিজে পরিণত হয়

যা ভিন্ন হয়ে যায় কারণ প্রয়োজনীয় অভিসারের মানদণ্ড সন্তুষ্ট নয়।

ফলস্বরূপ, মূল পাওয়ার সিরিজের টার্ম-বাই-টার্ম পার্থক্য দ্বারা প্রাপ্ত পাওয়ার সিরিজের কনভারজেন্সের অঞ্চলটি পরিবর্তিত হয়েছে এবং ব্যবধানের সাথে মিলে গেছে।

1.3 টেলর সিরিজ। ম্যাকলরিন সিরিজ

একটি বিন্দুর আশেপাশে অসীম সংখ্যক বার পার্থক্যযোগ্য একটি ফাংশন হতে দিন, যেমন যেকোন অর্ডারের ডেরিভেটিভ আছে। একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের টেলর সিরিজ একটি পাওয়ার সিরিজ

(1.8)

সিরিজের বিশেষ ক্ষেত্রে (1.8) ম্যাক্লোরিন সিরিজ বলা হয়:

প্রশ্ন উঠছে: কোন ক্ষেত্রে একটি ফাংশনের জন্য টেলর সিরিজটি একটি বিন্দুর আশেপাশে অসীম সংখ্যক বার পার্থক্য করে ফাংশনের সাথে মিলে যায়?

এমন কিছু ক্ষেত্রে হতে পারে যখন একটি ফাংশনের টেলর সিরিজ একত্রিত হয়, কিন্তু এর যোগফল সমান নয়

এই ফাংশনে একটি ফাংশনের টেলর সিরিজের কনভারজেন্সের জন্য একটি যথেষ্ট শর্ত উপস্থাপন করা যাক।

উপপাদ্য 1.4: যদি ব্যবধানে থাকে একটি ফাংশনের যেকোন অর্ডারের ডেরিভেটিভ আছে এবং সেগুলির সবকটিই একই সংখ্যায় পরম মান সীমাবদ্ধ, যেমন তারপর এই ফাংশনের টেলর সিরিজ এই ব্যবধানের যে কোনো একটির জন্য একত্রিত হয় যারা সমতা আছে

কনভারজেন্স ব্যবধানের শেষে এই সমতা বজায় থাকে কিনা তা নির্ধারণ করতে, আলাদা অধ্যয়ন প্রয়োজন।

এটি উল্লেখ করা উচিত যে যদি একটি ফাংশনকে একটি পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত করা হয়, তবে এই সিরিজটি এই ফাংশনের টেলর (ম্যাক্লোরিন) সিরিজ, এবং এই সম্প্রসারণটি অনন্য।

1.4 ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

একটি আর্গুমেন্ট ফাংশনের জন্য nম ক্রমটির একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল ফর্মের একটি সম্পর্ক

কোথায়- প্রদত্ত ফাংশনতাদের যুক্তি।

গাণিতিক সমীকরণের এই শ্রেণীর নামে, "ডিফারেনশিয়াল" শব্দটি জোর দেয় যে তারা ডেরিভেটিভস (পার্থক্যের ফলে গঠিত ফাংশনগুলি) অন্তর্ভুক্ত করে; "সাধারণ" শব্দটি নির্দেশ করে যে পছন্দসই ফাংশন শুধুমাত্র একটি বাস্তব যুক্তির উপর নির্ভর করে।

একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ স্পষ্টভাবে পছন্দসই ফাংশন এবং এর যেকোন ডেরিভেটিভের যুক্তি ধারণ করতে পারে না, তবে সর্বোচ্চ ডেরিভেটিভটি অবশ্যই nম ক্রম সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

যেমন,

ক) - প্রথম ক্রম সমীকরণ;

খ) - তৃতীয় ক্রম সমীকরণ।

সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ লেখার সময়, ডিফারেনশিয়ালের পরিপ্রেক্ষিতে ডেরিভেটিভের জন্য স্বরলিপি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়:

ইন) - দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ;

ছ) - একটি প্রথম-ক্রম সমীকরণ যা, একটি সমতুল্য ফর্ম দ্বারা ভাগ করার পরে, নিম্নলিখিত সমীকরণ গঠন করে:

একটি ফাংশনকে একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান বলা হয় যদি, এটিতে প্রতিস্থাপিত হলে, এটি একটি পরিচয়ে পরিণত হয়।

একটি বা অন্য পদ্ধতি দ্বারা সন্ধান করা, উদাহরণস্বরূপ, নির্বাচন, একটি ফাংশন যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে তা সমাধান করার অর্থ নয়। একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার অর্থ হল সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হলে একটি পরিচয় তৈরি করে এমন সমস্ত ফাংশন খুঁজে পাওয়া। সমীকরণের জন্য (1.10), এই ধরনের ফাংশনগুলির একটি পরিবার নির্বিচারে ধ্রুবক ব্যবহার করে গঠিত হয় এবং এটিকে nম ক্রমের একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান বলা হয় এবং ধ্রুবকের সংখ্যা সমীকরণের ক্রমটির সাথে মিলে যায়: সাধারণ সমাধান নাও হতে পারে এই ক্ষেত্রে, সমাধানটিকে সাধারণত সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য (1.10) বলা হয়।

সাধারণ সমাধান বা সাধারণ অবিচ্ছেদ্য সমস্ত নির্বিচারে ধ্রুবকগুলিতে কিছু গ্রহণযোগ্য মান নির্ধারণ করে, আমরা একটি নির্দিষ্ট ফাংশন পাই যেটিতে আর নির্বিচারী ধ্রুবক থাকে না। এই ফাংশনটিকে আংশিক সমাধান বা সমীকরণের আংশিক অখণ্ড (1.10) বলা হয়। নির্বিচারে ধ্রুবকগুলির মান খুঁজে পেতে, এবং তাই একটি নির্দিষ্ট সমাধান, সমীকরণের বিভিন্ন অতিরিক্ত শর্ত (1.10) ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, তথাকথিত প্রাথমিক শর্তগুলি এখানে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে:

প্রাথমিক অবস্থার (1.11) ডানদিকে ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সংখ্যাসূচক মান দেওয়া আছে, এবং, মোট সংখ্যাপ্রারম্ভিক শর্ত সংজ্ঞায়িত নির্বিচারী ধ্রুবকের সংখ্যার সমান।

প্রাথমিক অবস্থার উপর ভিত্তি করে সমীকরণের (1.10) একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করার সমস্যাকে কচি সমস্যা বলা হয়।

1.5 সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একীভূত করা

সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি প্রথম-ক্রম সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (ODE) একীভূত করে এর সঠিক সমাধান খুঁজে পাওয়া অসম্ভব। অধিকন্তু, এটি একটি ODE সিস্টেমের জন্য সম্ভব নয়। এই পরিস্থিতিতে ওডিই এবং তাদের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য প্রচুর পরিমাণে আনুমানিক পদ্ধতি তৈরির দিকে পরিচালিত করে। আনুমানিক পদ্ধতিগুলির মধ্যে, তিনটি গ্রুপকে আলাদা করা যেতে পারে: বিশ্লেষণাত্মক, গ্রাফিক্যাল এবং সংখ্যাসূচক। অবশ্যই, এই ধরনের শ্রেণীবিভাগ একটি নির্দিষ্ট পরিমাণে নির্বিচারে। উদাহরণস্বরূপ, অয়লারের ভাঙা লাইনের গ্রাফিকাল পদ্ধতিটি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সংখ্যাগতভাবে সমাধান করার জন্য একটি পদ্ধতির অন্তর্গত।

পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ওডিই একত্রিত করা একটি আনুমানিক বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি, সাধারণত কমপক্ষে দ্বিতীয় ক্রমে রৈখিক সমীকরণে প্রয়োগ করা হয়। সরলতার জন্য, আমরা পরিবর্তনশীল সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রম ODE বিবেচনা করার জন্য নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখি

(1.12)

দ্রষ্টব্য: ফাংশনের একটি মোটামুটি বিস্তৃত শ্রেণি ফর্মটিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে

যেখানে কিছু ধ্রুবক আছে। এই অভিব্যক্তিটিকে পাওয়ার সিরিজ বলা হয়।

আসুন আমরা ধরে নিই যে ফাংশনগুলিকে ব্যবধানে একত্রিত হওয়া সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে:

উপপাদ্য 1.5: যদি ফাংশনগুলির ফর্ম (1.13) থাকে, তাহলে ODE (1.12) এর যেকোনো সমাধানকে একটি পাওয়ার সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যেখানে কনভার্সিং হয়:

(1.14)

এই উপপাদ্যটি শুধুমাত্র একটি পাওয়ার সিরিজের আকারে সমাধানটি উপস্থাপন করা সম্ভব করে না, তবে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, এটি সিরিজের (1.14) রূপান্তরকে ন্যায়সঙ্গত করে। সরলতার জন্য, আমরা (1.13) এবং (1.14) রাখি এবং ফর্মে ODE (1.12) এর সমাধান খুঁজি

(1.15)

(1.15) এর পরিবর্তে (1.12), আমরা সমতা পাই

(1.16) পূরণ করতে, প্রতিটি ডিগ্রির জন্য গুণাঙ্ক শূন্যের সমান হওয়া প্রয়োজন।

এই অবস্থা থেকে আমরা রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি অসীম সিস্টেম পাই

যেখান থেকে কেউ পর্যায়ক্রমে খুঁজে পেতে পারে যদি কেউ মান সেট করে এবং (ODE (1.12) এর জন্য Cauchy সমস্যার ক্ষেত্রে সেগুলি প্রাথমিক অবস্থায় অন্তর্ভুক্ত করা হয় ).

যদি ফাংশনগুলি যুক্তিযুক্ত হয়, যেমন

যেখানে বহুপদ আছে, তাহলে বিন্দুর আশেপাশে যেখানে একটি পাওয়ার সিরিজ আকারে একটি সমাধান বিদ্যমান নাও থাকতে পারে, এবং যদি এটি বিদ্যমান থাকে তবে এটি বিন্দু ব্যতীত সর্বত্র বিচ্যুত হতে পারে এই পরিস্থিতিটি এল. অয়লারের জানা ছিল, যারা প্রথম ক্রম সমীকরণ বিবেচনা করে

এই সমীকরণটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারা সন্তুষ্ট

তবে, এই সিরিজটি যে কারো জন্য ভিন্ন হয় তা দেখা কঠিন নয়

একটি অপসারিত শক্তি সিরিজ আকারে একটি ODE এর সমাধানকে আনুষ্ঠানিক বলা হয়।

2. ভিন্ন সমীকরণগুলিকে একীভূত করার সময় পাওয়ার সিরিজ ব্যবহারের উদাহরণ

বায়বীয় সমীকরণ

বায়বীয় সমীকরণের সমাধান

আমরা একটি পাওয়ার সিরিজ (1.15) আকারে অনুসন্ধান করব। তারপর সমতা (1.16) রূপ নেবে

এর সহগ সমান তাই, সহগটি শূন্যের সমান, আমরা দেখতে পাই যে এর সহগটি সমান এখান থেকে

এই সূত্র থেকে আমরা পাই

একইভাবে আমরা খুঁজে পাই

মতভেদ অনিশ্চিত রয়ে গেছে। সমাধানের মৌলিক সিস্টেম খুঁজে বের করতে, আমরা প্রথমে সেট করি এবং তারপর তদ্বিপরীত. প্রথম ক্ষেত্রে আমরা আছে

এবং দ্বিতীয়টিতে

উপপাদ্য 1.5 এর উপর ভিত্তি করে, এই সিরিজগুলি সংখ্যারেখার সর্বত্র অভিসারী

ফাংশনকে বলা হয় এয়ারি ফাংশন। বড় মানের জন্য, এই ফাংশনগুলির অ্যাসিম্পোটিক আচরণ সূত্র দ্বারা বর্ণিত হয়

এই ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি চিত্র 1 এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র 1

সীমাহীন বৃদ্ধির সাথে, বায়বীয় সমীকরণের যেকোন সমাধানের শূন্য অনির্দিষ্টকালের জন্য কাছাকাছি আসে, যা এই সমাধানগুলির অ্যাসিম্পোটিক উপস্থাপনা থেকে স্পষ্ট হয়, কিন্তু অভিসারী শক্তি সিরিজের আকারে এয়ারি ফাংশনগুলির উপস্থাপনা থেকে একেবারেই স্পষ্ট নয়। এটি অনুসরণ করে যে একটি সিরিজ ব্যবহার করে একটি ODE-এর সমাধান অনুসন্ধানের পদ্ধতিটি সাধারণত প্রয়োগ করা সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় খুব কমই ব্যবহার করা হয় এবং একটি সিরিজের আকারে একটি সমাধানের খুব প্রতিনিধিত্ব গুণগত বৈশিষ্ট্যগুলি বিশ্লেষণ করা কঠিন করে তোলে। ফলে সমাধানের।

2.1 বেসেল সমীকরণ

পরিবর্তনশীল সহগ সহ লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, ফর্ম আছে

বেসেলের সমীকরণ বলা হয়।

আমরা একটি সাধারণীকৃত পাওয়ার সিরিজ আকারে সমীকরণ (2.1) এর সমাধান খুঁজব, যেমন স্টেপ সিরিজের কিছু ডিগ্রী পণ্য:

(2.2)

একটি সাধারণীকৃত পাওয়ার সিরিজকে সমীকরণে (2.1) প্রতিস্থাপিত করে এবং সমীকরণের বাম দিকের প্রতিটি পাওয়ারের জন্য সহগকে শূন্য করে, আমরা সিস্টেমটি পাই

ধরে নিই যে এই সিস্টেম থেকে আমরা Let then খুঁজে পাই সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে এবং 3,5,7,... মান প্রদানকারী সমীকরণ থেকে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে জোড় সংখ্যা সহ সহগগুলির জন্য আমরা অভিব্যক্তিগুলি পাই

পাওয়া সহগগুলিকে সিরিজে (2.2) প্রতিস্থাপন করে, আমরা সমাধান পাই

যেখানে সহগ নির্বিচারে থাকে।

সমস্ত সহগ একইভাবে নির্ধারিত হয় শুধুমাত্র ক্ষেত্রে যখন এটি একটি পূর্ণসংখ্যার সমান নয়। তারপর সমাধানটি পূর্ববর্তী সমাধানের মানটিকে এর সাথে প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:

ফলে পাওয়ার সিরিজের সমস্ত মানের জন্য একত্রিত হয়, যা ডি'আলেমবার্টের পরীক্ষার উপর ভিত্তি করে সহজেই প্রতিষ্ঠিত হয়। সমাধানগুলি এবং রৈখিকভাবে স্বাধীন, যেহেতু তাদের অনুপাত ধ্রুবক নয়।

একটি ধ্রুবক দ্বারা গুণিত সমাধান প্রথম ধরণের ক্রম অনুসারে বেসেল ফাংশন (বা নলাকার ফাংশন) বলা হয় এবং সমাধান চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

ধ্রুবকের সাধারণভাবে গৃহীত পছন্দ গামা ফাংশনকে জড়িত করে, যা অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য দ্বারা নির্ধারিত হয়:

ফলস্বরূপ, একটি অ-পূর্ণসংখ্যার জন্য সমীকরণের (2.1) সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে যেখানে এবং ইচ্ছাকৃত ধ্রুবক।

2.2 ইন্টিগ্রেশন উদাহরণ

যেসব ক্ষেত্রে সমীকরণের প্রাথমিক অবস্থার অধীনে কচি সমস্যা সমাধানের প্রয়োজন হয়, টেলর সিরিজ ব্যবহার করে সমাধানটি চাওয়া যেতে পারে:

যেখানে মূল সমীকরণের ধারাবাহিক পার্থক্য এবং মানগুলির পরিবর্তে পার্থক্যের ফলাফলে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে আরও একটি ডেরিভেটিভ পাওয়া যায় এবং অন্যান্য সমস্ত পরবর্তী ডেরিভেটিভগুলি পাওয়া যায়। একইভাবে, উচ্চ ক্রম সমীকরণ টেলর সিরিজ ব্যবহার করে একত্রিত করা যেতে পারে।

উদাহরণ 2.1। সম্প্রসারণের প্রথম ছয়টি অশূন্য পদ গ্রহণ করে টেলর সিরিজ ব্যবহার করে সমীকরণটি প্রায় একত্রিত করুন।

প্রাথমিক অবস্থার সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে পাই এই সমীকরণের পার্থক্য করে, আমরা পর্যায়ক্রমে প্রাপ্ত করি

বিশ্বাস এবং অর্থ ব্যবহার আমরা ধারাবাহিকভাবে প্রয়োজনীয় সমাধান ফর্ম আছে খুঁজে

উদাহরণ 2.2। সম্প্রসারণের প্রথম চারটি (অ-শূন্য) পদ খুঁজুন। এবং

পাওয়া মানগুলিকে সিরিজে (2.3) প্রতিস্থাপন করে, আমরা নির্দিষ্ট নির্ভুলতার সাথে পছন্দসই সমাধান পাই:

2.3 ম্যাপলে ইন্টিগ্রেশনের উদাহরণ

ম্যাপলে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশ্লেষণাত্মক সমাধান খুঁজতে, dsolve(eq,var,options) কমান্ডটি ব্যবহার করুন, যেখানে eq হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, var হল অজানা ফাংশন, বিকল্পগুলি হল প্যারামিটার৷ প্যারামিটারগুলি একটি সমস্যা সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতি নির্দেশ করতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, ডিফল্টরূপে একটি বিশ্লেষণাত্মক সমাধান অনুসন্ধান করা হয়: type=exact. ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রচনা করার সময়, ডিফ কমান্ডটি ডেরিভেটিভ বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি ফর্মটিতে লেখা হয়: diff(y(x),x$2)+y(x)=x।

পাওয়ার সিরিজের আকারে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আনুমানিক সমাধান খুঁজতে, dsolve কমান্ডে আপনাকে ভেরিয়েবলের পরে পরামিতি প্রকার = সিরিজ (বা সহজভাবে সিরিজ) উল্লেখ করতে হবে। পচনের ক্রম নির্দেশ করার জন্য, i.e. যে ডিগ্রীতে পচন সঞ্চালিত হয় তার ক্রমটি অর্ডারের সংজ্ঞা দ্বারা পূর্বে হতে হবে অর্ডার:=n কমান্ডটি ব্যবহার করে।

যদি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণের আকারে চাওয়া হয়, তাহলে পাওয়া সম্প্রসারণের ক্ষমতার সহগগুলি থাকবে অজানা মানশূন্যে কাজ করে এবং এর ডেরিভেটিভস ইত্যাদি আউটপুট লাইনে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিটি Maclaurin সিরিজে পছন্দসই সমাধানের প্রসারণের অনুরূপ একটি ফর্ম থাকবে, কিন্তু ক্ষমতাগুলির জন্য বিভিন্ন সহগ সহ। একটি নির্দিষ্ট সমাধানকে বিচ্ছিন্ন করার জন্য, প্রাথমিক শর্তগুলি, ইত্যাদিকে অবশ্যই নির্দিষ্ট করতে হবে এবং এই প্রাথমিক অবস্থার সংখ্যা অবশ্যই সংশ্লিষ্ট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম অনুসারে হতে হবে।

একটি পাওয়ার সিরিজে সম্প্রসারণটি সিরিজ টাইপের, তাই এই সিরিজের সাথে আরও কাজ করার জন্য, কনভার্ট(%,পলিনম) কমান্ড ব্যবহার করে এটিকে একটি বহুপদে রূপান্তর করা উচিত এবং তারপরে rhs(এর সাথে ফলাফলের অভিব্যক্তির ডান দিকটি নির্বাচন করুন) %) কমান্ড।

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),series);

দ্রষ্টব্য: একটি সিরিজ আকারে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের ধরনটি সিরিজ, তাই এই জাতীয় সমাধানের আরও ব্যবহারের জন্য (গণনা বা প্লটিং), কনভার্ট কমান্ড ব্যবহার করে এটিকে বহুপদীতে রূপান্তর করতে হবে।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সিরিজ ডিগ্রী

> রূপান্তর (%,পলিনোম): y2:=rhs(%):

> p1:=প্লট(y1, x=-3..3, বেধ=2, রঙ=কালো):

> p2:=প্লট(y2, x=-3..3, লাইনস্টাইল=3, বেধ=2, রঙ=কালো):

> সহ(প্লট): প্রদর্শন(p1,p2);

চিত্র 2 দেখায় যে একটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারা সঠিক সমাধানের সর্বোত্তম অনুমান প্রায় ব্যবধানে অর্জিত হয়

চিত্র 2

উপসংহার

কোর্সের কাজে নির্ধারিত লক্ষ্যগুলি সম্পূর্ণরূপে অর্জিত হয়েছে, নিম্নলিখিত কাজগুলি সমাধান করা হয়েছে:

সিরিজ এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত মৌলিক ধারণাগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একীভূত করার পদ্ধতি বিবেচনা করা হয়।

এই বিষয়ে সমস্যা সমাধান করা হয়েছে.

এই কোর্সের কাজে, উপাদানটি অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং শিক্ষার্থীদের দ্বারা ব্যবহারের জন্য পদ্ধতিগতভাবে করা হয়েছে স্ব-অধ্যয়নপাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সংহত করার পদ্ধতি। সিরিজ এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধারণাগুলি বিবেচনা করা হয়। সিরিজ ব্যবহার করে আনুমানিক গণনা করা হয়েছিল।

কাজটি প্রযুক্তিগত এবং গাণিতিক বিশেষত্বের শিক্ষার্থীদের জন্য একটি শিক্ষণ সহায়তা হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

কাজের ফলাফলগুলি আরও গবেষণার ভিত্তি হিসাবে কাজ করতে পারে।

ব্যবহৃত রেফারেন্সের তালিকা

1 Tricomi F. ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। ইংরেজি থেকে অনুবাদ। - এম।: বুকিনিস্ট, 2003। - 352 পি।

ভ্লাসোভা বি.এ., জারুবিন বি.এস., কুভিরকিন জি.এন. গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের আনুমানিক পদ্ধতি: বিশ্ববিদ্যালয়গুলির জন্য পাঠ্যপুস্তক। - এম.: এমএসটিইউ আইএমের পাবলিশিং হাউস। এন ই বাউম্যান, 2001। - 700 পি।

Budak B. M. Fomin S. V. একাধিক অখণ্ড এবং সিরিজ। - এম।: ফিজমাটলিট, 2002। - 512 পি।

ডেমিডোভিচ বিপি সমস্যা এবং ব্যায়ামের সংগ্রহ গাণিতিক বিশ্লেষণ. - এম.: পাবলিশিং হাউস মস্ক। চেরো ইউনিভার্সিটি, 2000। - 624 সে.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I., ইত্যাদি সব উচ্চতর গণিত: পাঠ্যপুস্তক। টি. 3. - এম.: পাবলিশিং হাউস সম্পাদকীয় ইউআরএসএস, 2005। - 240 পি।

ইয়াবলনস্কি এ.আই., কুজনেটসভ এ.ভি., শিলকিনা ই.আই. এবং অন্যান্য উচ্চতর গণিত: সাধারণ কোর্স: পাঠ্যপুস্তক। - এম.: উচ্চতর। স্কুল, 2000.- 351 পি।

মালাখভ এ.এন., মাকসিউকভ এন.আই., নিকিশকিন ভি.এ. উচ্চতর গণিত। - এম।: EAOI, 2008। - 315 পি।

মার্কভ এল.এন., রাজমিস্লোভিচ জি.পি. উচ্চতর গণিত। পার্ট 2. গাণিতিক বিশ্লেষণের মৌলিক বিষয় এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উপাদান। - এম।: আমালফেয়া, 2003। - 352 পি।

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। - এম.: এমএসটিইউ আইএমের পাবলিশিং হাউস। N.E. বাউম্যান, 2004। - 352 পি।

কোডিংটন ই. এ., লেভিনসন এন. সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্ব। - এম।: আমালফেয়া, 2001। - 475 পি।

ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের ফিখটেনগোল্টস জি.এম. কোর্স। টি. 2. - এম.: ফিজমাটলিট, 2001। - 810 পি।