একটি চলক x এর উপর একটি ভেরিয়েবল y এর নির্ভরতা, যেখানে x এর প্রতিটি মান y এর একক মানের সাথে মিলে যায় তাকে একটি ফাংশন বলা হয়। উপাধির জন্য স্বরলিপি y=f(x) ব্যবহার করুন। প্রতিটি ফাংশনের অনেকগুলি মৌলিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যেমন একঘেয়েতা, সমতা, পর্যায়ক্রম এবং অন্যান্য।
সমতা সম্পত্তি ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন.
একটি ফাংশন y=f(x) বলা হয় যদিও এটি নিম্নলিখিত দুটি শর্ত পূরণ করে:
2. বিন্দু x-এ ফাংশনের মান, ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত, বিন্দু -x-এ ফাংশনের মানের সমান হতে হবে। অর্থাৎ, যেকোনো বিন্দু x এর জন্য, নিম্নলিখিত সমতা অবশ্যই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন থেকে সন্তুষ্ট হতে হবে: f(x) = f(-x)।
একটি সমান ফাংশনের গ্রাফ
যদি আপনি একটি জোড় ফাংশনের একটি গ্রাফ প্লট করেন, তাহলে এটি Oy অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম হবে।
উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন y=x^2 জোড়। আসুন এটি পরীক্ষা করে দেখি। সংজ্ঞার ডোমেন হল সম্পূর্ণ সংখ্যাসূচক অক্ষ, যার মানে এটি বিন্দু O সম্পর্কে প্রতিসম।
একটি নির্বিচারে x=3 ধরা যাক। f(x)=3^2=9।
f(-x)=(-3)^2=9. অতএব f(x) = f(-x)। এইভাবে, উভয় শর্ত পূরণ করা হয়, যার মানে ফাংশন সমান। নিচে y=x^2 ফাংশনের একটি গ্রাফ রয়েছে।
চিত্রটি দেখায় যে গ্রাফটি ওয় অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম।
একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ
একটি ফাংশন y=f(x) কে বিজোড় বলা হয় যদি এটি নিম্নলিখিত দুটি শর্ত পূরণ করে:
1. একটি প্রদত্ত ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনটি O বিন্দুর সাপেক্ষে প্রতিসম হতে হবে। অর্থাৎ, যদি কিছু বিন্দু a ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত হয়, তবে সংশ্লিষ্ট বিন্দু -a অবশ্যই সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত হবে। প্রদত্ত ফাংশনের।
2. যেকোনো বিন্দু x এর জন্য, নিম্নলিখিত সমতা অবশ্যই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন থেকে সন্তুষ্ট হতে হবে: f(x) = -f(x)।
সময়সূচী অদ্ভুত ফাংশন O বিন্দুর সাপেক্ষে প্রতিসম হয় - স্থানাঙ্কের উৎপত্তি। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন y=x^3 বিজোড়। আসুন এটি পরীক্ষা করে দেখি। সংজ্ঞার ডোমেন হল সম্পূর্ণ সংখ্যাসূচক অক্ষ, যার মানে এটি বিন্দু O সম্পর্কে প্রতিসম।
একটি নির্বিচারে x=2 ধরা যাক। f(x)=2^3=8।
f(-x)=(-2)^3=-8. অতএব f(x) = -f(x)। এইভাবে, উভয় শর্ত পূরণ করা হয়, যার অর্থ ফাংশনটি বিজোড়। নিচে y=x^3 ফাংশনের একটি গ্রাফ রয়েছে।
চিত্রটি স্পষ্টভাবে দেখায় যে বিজোড় ফাংশন y=x^3 উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।
এমনকি, যদি সকল \(x\) এর সংজ্ঞার ডোমেন থেকে নিম্নলিখিতটি সত্য হয়: \(f(-x)=f(x)\)।
একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফ \(y\) অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম:
উদাহরণ: ফাংশন \(f(x)=x^2+\cos x\) জোড়, কারণ \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) ফাংশন \(f(x)\) বলা হয় অদ্ভুত, যদি সকল \(x\) এর সংজ্ঞার ডোমেন থেকে নিম্নলিখিতটি সত্য হয়: \(f(-x)=-f(x)\)।
একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফটি উত্স সম্পর্কে প্রতিসম:
উদাহরণ: ফাংশন \(f(x)=x^3+x\) বিজোড় কারণ \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) যে ফাংশনগুলি জোড় বা বিজোড় নয় তাকে ফাংশন বলে সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি. এই ধরনের একটি ফাংশন সবসময় একটি জোড় এবং একটি বিজোড় ফাংশনের যোগফল হিসাবে অনন্যভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন \(f(x)=x^2-x\) জোড় ফাংশনের যোগফল \(f_1=x^2\) এবং বিজোড় \(f_2=-x\)।
\(\blacktriangleright\) কিছু বৈশিষ্ট্য:
1) একই প্যারিটির দুটি ফাংশনের গুণফল এবং ভাগফল একটি জোড় ফাংশন।
2) বিভিন্ন প্যারিটির দুটি ফাংশনের গুণফল এবং ভাগফল একটি বিজোড় ফাংশন।
3) জোড় ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্য একটি জোড় ফাংশন।
4) বিজোড় ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্য - বিজোড় ফাংশন।
5) যদি \(f(x)\) একটি জোড় ফাংশন হয়, তাহলে সমীকরণ \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) একটি অনন্য মূল আছে যদি এবং শুধুমাত্র যখন \( x =0\)।
6) যদি \(f(x)\) একটি জোড় বা বিজোড় ফাংশন হয় এবং সমীকরণ \(f(x)=0\) এর একটি রুট থাকে \(x=b\), তাহলে এই সমীকরণটিতে অবশ্যই একটি সেকেন্ড থাকবে রুট \(x =-b\)।
\(\blacktriangleright\) একটি ফাংশন \(f(x)\) কে পর্যায়ক্রমিক বলা হয় \(X\) যদি কিছু সংখ্যার জন্য \(T\ne 0\) নিম্নলিখিত ধারণ করে: \(f(x)=f( x+T) \) , যেখানে \(x, x+T\in X\)। ক্ষুদ্রতম \(T\) যার জন্য এই সমতা সন্তুষ্ট হয় তাকে ফাংশনের প্রধান (প্রধান) সময়কাল বলা হয়।
একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের যেকোনো সংখ্যক ফর্ম \(nT\) থাকে, যেখানে \(n\in \mathbb(Z)\)ও একটি পিরিয়ড হবে।
উদাহরণ: যেকোনো ত্রিকোণমিতিক ফাংশনপর্যায়ক্রমিক;
ফাংশনের জন্য \(f(x)=\sin x\) এবং \(f(x)=\cos x\) মূল সময়কাল \(2\pi\), ফাংশনের জন্য \(f(x) এর সমান )=\mathrm( tg)\,x\) এবং \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) মূল পর্যায়টি \(\pi\) এর সমান।
একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করার জন্য, আপনি দৈর্ঘ্য \(T\) (প্রধান সময়কাল) এর যেকোনো অংশে এর গ্রাফ প্লট করতে পারেন; তারপর সম্পূর্ণ ফাংশনের গ্রাফটি ডান এবং বামে পিরিয়ডের একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা নির্মিত অংশটি স্থানান্তর করে সম্পন্ন করা হয়:
\(\blacktriangleright\) ফাংশনের ডোমেন \(D(f)\) \(f(x)\) আর্গুমেন্ট \(x\) এর সমস্ত মান নিয়ে গঠিত একটি সেট যার জন্য ফাংশনটি অর্থপূর্ণ (সংজ্ঞায়িত করা হয়)।
উদাহরণ: ফাংশন \(f(x)=\sqrt x+1\) এর একটি সংজ্ঞার ডোমেন রয়েছে: \(x\in
টাস্ক 1 #6364
টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান
প্যারামিটারের কোন মানগুলিতে \(a\) সমীকরণটি করে
একটি একক সমাধান আছে?
মনে রাখবেন যে যেহেতু \(x^2\) এবং \(\cos x\) এমনকি ফাংশন, যদি সমীকরণটির একটি রুট থাকে \(x_0\) তবে এর একটি রুট \(-x_0\)ও থাকবে।
প্রকৃতপক্ষে, \(x_0\) একটি মূল হতে দিন, অর্থাৎ সমতা \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)অধিকার আসুন প্রতিস্থাপন করি \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
এইভাবে, যদি \(x_0\ne 0\), তাহলে সমীকরণটির ইতিমধ্যেই অন্তত দুটি মূল থাকবে। অতএব, \(x_0=0\)। তারপর:
আমরা পরামিতি \(a\) এর জন্য দুটি মান পেয়েছি। মনে রাখবেন যে আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করেছি যে \(x=0\) আসল সমীকরণের ঠিক মূল। কিন্তু আমরা কখনই এই সত্যটি ব্যবহার করিনি যে তিনিই একমাত্র। অতএব, আপনাকে মূল সমীকরণে পরামিতি \(a\) এর ফলের মানগুলি প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং কোন নির্দিষ্ট \(a\) রুট \(x=0\) সত্যিই অনন্য হবে তা পরীক্ষা করতে হবে।
1) যদি \(a=0\) হয়, তাহলে সমীকরণটি \(2x^2=0\) রূপ নেবে। স্পষ্টতই, এই সমীকরণটির শুধুমাত্র একটি মূল আছে \(x=0\)। অতএব, মান \(a=0\) আমাদের জন্য উপযুক্ত।
2) যদি \(a=-\mathrm(tg)\,1\), তাহলে সমীকরণটি রূপ নেবে \ আসুন ফর্মে সমীকরণটি আবার লিখি \ কারণ \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), যে \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). ফলস্বরূপ, সমীকরণের ডান দিকের মান (*) সেগমেন্টের অন্তর্গত \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
যেহেতু \(x^2\geqslant 0\) , তাহলে সমীকরণের (*) বাম দিকটি \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) এর থেকে বড় বা সমান।
সুতরাং, সমতা (*) তখনই সত্য হতে পারে যখন সমীকরণের উভয় দিকই \(\mathrm(tg)^2\,1\) সমান হয়। এবং এই যে মানে \[\begin(কেস) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]অতএব, মান \(a=-\mathrm(tg)\,1\) আমাদের জন্য উপযুক্ত।
উত্তরঃ
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
টাস্ক 2 #3923
টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান
প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন \(a\) , যার প্রতিটির জন্য ফাংশনের গ্রাফ \
উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।
যদি একটি ফাংশনের গ্রাফ উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম হয়, তাহলে এই ধরনের একটি ফাংশন বিজোড়, অর্থাৎ, ডোমেইন থেকে যে কোনো \(x\) এর জন্য \(f(-x)=-f(x)\) ধরে রাখে ফাংশনের সংজ্ঞা। সুতরাং, সেই প্যারামিটার মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে যার জন্য \(f(-x)=-f(x)।\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(সারিবদ্ধ)\]
শেষ সমীকরণটি অবশ্যই \(f(x)\ এর ডোমেন থেকে সকল \(x\) এর জন্য সন্তুষ্ট হতে হবে, তাই, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
উত্তরঃ
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
টাস্ক 3 #3069
টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান
পরামিতি \(a\) এর সমস্ত মান খুঁজুন, যার প্রতিটির জন্য সমীকরণের \ 4টি সমাধান রয়েছে, যেখানে \(f\) একটি সম পর্যায়ক্রমিক ফাংশন যা সময়কাল \(T=\dfrac(16)3\) সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনে সংজ্ঞায়িত এবং \(f(x)=ax^2\) এর জন্য \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(সাবস্ক্রাইবারদের থেকে কাজ)
যেহেতু \(f(x)\) একটি জোড় ফাংশন, তাই এর গ্রাফ অর্ডিনেট অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম, তাই, যখন \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\)। এইভাবে, যখন \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), এবং এটি দৈর্ঘ্যের একটি সেগমেন্ট \(\dfrac(16)3\), ফাংশন \(f(x)=ax^2\)।
1) চলুন \(a>0\)। তাহলে \(f(x)\) ফাংশনের গ্রাফটি এরকম দেখাবে: 
তারপর, সমীকরণটির 4টি সমাধানের জন্য, গ্রাফটি \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) বিন্দু \(A\) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া আবশ্যক : 
তাই, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(সংগৃহীত)\begin(সারিবদ্ধ) &9(a+2)=32a\\ &9(a) +2)=-32a\end(সংযুক্ত)\end(সংগৃহীত)\right। \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(সারিবদ্ধ) \end( সংগৃহীত)\right।\]যেহেতু \(a>0\) , তাহলে \(a=\dfrac(18)(23)\) উপযুক্ত।
2) যাক \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
এটি প্রয়োজনীয় যে গ্রাফ \(g(x)\) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(সংগৃহীত)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(সংযুক্ত) \end(সংগৃহীত)\right।\]যেহেতু \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) ক্ষেত্রে যখন \(a=0\) উপযুক্ত নয়, তখন থেকে \(f(x)=0\) সকলের জন্য \(x\), \(g(x)=2\sqrtx\) এবং সমীকরণের শুধুমাত্র 1টি রুট থাকবে।
উত্তরঃ
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
টাস্ক 4 #3072
টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান
\(a\) এর সমস্ত মান খুঁজুন, যার প্রতিটির সমীকরণ \
অন্তত একটি মূল আছে.
(সাবস্ক্রাইবারদের থেকে কাজ)
আসুন ফর্মে সমীকরণটি আবার লিখি \
এবং দুটি ফাংশন বিবেচনা করুন: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) এবং \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ )
ফাংশন \(g(x)\) সমান এবং একটি ন্যূনতম বিন্দু আছে \(x=0\) (এবং \(g(0)=49\) )।
\(x>0\) এর জন্য \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পাচ্ছে এবং \(x এর জন্য)<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
প্রকৃতপক্ষে, যখন \(x>0\) দ্বিতীয় মডিউলটি ইতিবাচকভাবে খুলবে (\(|x|=x\) ), অতএব, প্রথম মডিউলটি যেভাবে খুলবে না কেন, \(f(x)\) সমান হবে থেকে \( kx+A\) , যেখানে \(A\) হল \(a\) এর রাশি এবং \(k\) হয় \(-9\) বা \(-3\) এর সমান। যখন \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
সর্বোচ্চ বিন্দুতে \(f\) এর মান খুঁজে বের করা যাক: \ 
সমীকরণের অন্তত একটি সমাধানের জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে ফাংশনগুলির গ্রাফগুলিতে \(f\) এবং \(g\) অন্তত একটি ছেদ বিন্দু থাকবে। অতএব, আপনার প্রয়োজন: \ \\]
উত্তরঃ
\(a\in \(-7\)\কাপ\)
টাস্ক 5 #3912
টাস্ক লেভেল: ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমান
প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন \(a\) , যার প্রতিটির জন্য সমীকরণ \
ছয়টি ভিন্ন সমাধান আছে।
প্রতিস্থাপন করা যাক \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\)। তাহলে সমীকরণটি রূপ নেবে \
আমরা ধীরে ধীরে লিখব যে শর্তগুলির অধীনে মূল সমীকরণের ছয়টি সমাধান থাকবে।
মনে রাখবেন দ্বিঘাত সমীকরণ \((*)\) এর সর্বাধিক দুটি সমাধান থাকতে পারে। যেকোনো ঘন সমীকরণ \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) তিনটির বেশি সমাধান থাকতে পারে না। অতএব, যদি \(*)\) সমীকরণের দুটি ভিন্ন সমাধান থাকে (ধনাত্মক!, যেহেতু \(t\) অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে) \(t_1\) এবং \(t_2\) , তাহলে, বিপরীত করে প্রতিস্থাপন, আমরা পাই: \[\left[\begin(সংগৃহীত)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2) +4)=t_2\end(সারিবদ্ধ)\end(সংগৃহীত)\right।\]যেহেতু কোন ইতিবাচক সংখ্যাকিছু পরিমাণে \(\sqrt2\) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), তারপর সেটের প্রথম সমীকরণটি আকারে পুনরায় লেখা হবে \
আমরা আগেই বলেছি, যেকোনো ঘন সমীকরণের তিনটির বেশি সমাধান নেই, তাই সেটের প্রতিটি সমীকরণে তিনটির বেশি সমাধান থাকবে না। এর মানে হল যে পুরো সেটটিতে ছয়টির বেশি সমাধান থাকবে না।
এর মানে হল যে মূল সমীকরণের জন্য ছয়টি সমাধান থাকতে হবে, দ্বিঘাত সমীকরণ \((*)\) এর দুটি ভিন্ন সমাধান থাকতে হবে এবং প্রতিটি ঘন সমীকরণের (সেট থেকে) তিনটি ভিন্ন সমাধান থাকতে হবে (এবং একটি একক সমাধান নয় একটি সমীকরণটি যেকোনটির সাথে মিলিত হওয়া উচিত - দ্বিতীয়টির সিদ্ধান্তের দ্বারা!)
স্পষ্টতই, যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \((*)\) এর একটি সমাধান থাকে, তাহলে আমরা মূল সমীকরণের ছয়টি সমাধান পাব না।
সুতরাং, সমাধান পরিকল্পনা পরিষ্কার হয়ে যায়। চলুন বিন্দু বিন্দু পূরণ করতে হবে যে শর্ত লিখুন.
1) সমীকরণের জন্য \((*)\) দুটি ভিন্ন সমাধান থাকতে, এর বৈষম্য অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে: \
2) এটিও প্রয়োজনীয় যে উভয় মূলই ধনাত্মক (যেহেতু \(t>0\))। যদি দুটি মূলের গুণফল ধনাত্মক হয় এবং তাদের যোগফল ধনাত্মক হয়, তাহলে মূলগুলি নিজেই ধনাত্মক হবে। অতএব, আপনার প্রয়োজন: \[\শুরু(কেস) 12-a>0\\-(a-10)>0\শেষ(কেস)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
এইভাবে, আমরা ইতিমধ্যেই দুটি ভিন্ন ইতিবাচক মূল \(t_1\) এবং \(t_2\) দিয়েছি।
3)
চলুন এই সমীকরণ তাকান \
কিসের জন্য \(t\) এর তিনটি ভিন্ন সমাধান থাকবে? এইভাবে, আমরা স্থির করেছি যে \((*)\) সমীকরণের উভয় মূলই ব্যবধানে থাকা আবশ্যক \((1;4)\)। এই অবস্থা কিভাবে লিখব? চারটি ভিন্ন মূল ছিল, শূন্য থেকে ভিন্ন, প্রতিনিধিত্ব করে, একসাথে \(x=0\), একটি গাণিতিক অগ্রগতি। মনে রাখবেন যে ফাংশন \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) জোড়, যার মানে হল যদি \(x_0\) সমীকরণের মূল হয় \( (*)\ ) , তারপর \(-x_0\) এর মূলও হবে। তারপরে এই সমীকরণের মূলগুলি ক্রমবর্ধমান ক্রমানুসারে সংখ্যা হওয়া আবশ্যক: \(-2d, -d, d, 2d\) (তারপর \(d>0\))। তখনই এই পাঁচটি সংখ্যা একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করবে (পার্থক্য \(d\) সহ)। এই মূলগুলি \(-2d, -d, d, 2d\) সংখ্যা হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে সংখ্যাগুলি \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) এর মূল হতে হবে। সমীকরণ \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\)। তারপর, ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে: আসুন ফর্মে সমীকরণটি আবার লিখি \
এবং দুটি ফাংশন বিবেচনা করুন: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) এবং \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . সমীকরণের অন্তত একটি সমাধানের জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে ফাংশনগুলির গ্রাফগুলিতে \(f\) এবং \(g\) অন্তত একটি ছেদ বিন্দু থাকবে। অতএব, আপনার প্রয়োজন: \
সিস্টেমের এই সেটটি সমাধান করে, আমরা উত্তর পাই: \\]
উত্তরঃ \(a\in \(-2\)\কাপ\) মনোযোগ! স্লাইড প্রিভিউ শুধুমাত্র তথ্যগত উদ্দেশ্যে এবং উপস্থাপনার সমস্ত বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন নাও করতে পারে। আপনি যদি এই কাজটিতে আগ্রহী হন তবে দয়া করে সম্পূর্ণ সংস্করণটি ডাউনলোড করুন। লক্ষ্য: সরঞ্জাম:মাল্টিমিডিয়া ইনস্টলেশন, ইন্টারেক্টিভ হোয়াইটবোর্ড, হ্যান্ডআউটস। কাজের ফর্ম:অনুসন্ধান এবং গবেষণা কার্যক্রমের উপাদান সহ ফ্রন্টাল এবং গ্রুপ। তথ্য সূত্র: পাঠের অগ্রগতি 1. সাংগঠনিক মুহূর্ত পাঠের লক্ষ্য ও উদ্দেশ্য নির্ধারণ করা। 2.
বাড়ির কাজ পরীক্ষা করা হচ্ছে নং 10.17 (9ম শ্রেণীর সমস্যা বই। A.G. Mordkovich)। ক) এ = চ(এক্স), চ(এক্স) = খ) চ (–2) = –3; চ (0) = –1; চ(5) = 69; গ) 1. ডি( চ) = [– 2; + ∞) (আপনি একটি ফাংশন অন্বেষণ অ্যালগরিদম ব্যবহার করেছেন?) স্লাইড
2. স্লাইড থেকে আপনাকে যে টেবিলটি জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল তা দেখুন। সংজ্ঞার ডোমেন ফাংশন শূন্য চিহ্ন স্থিরতার ব্যবধান x = –5, x € (–5;3) U x € (–∞;–5) U x ∞ –5, x € (–5;3) U x € (–∞;–5) U x ≠ –5, x € (–∞; –5) U x € (–5; 2) 3.
জ্ঞান আপডেট করা - ফাংশন দেওয়া হয়. এক্স ≠ 0 এবং সংজ্ঞায়িত নয় 4. নতুন উপাদান
- এই কাজটি করার সময়, বন্ধুরা, আমরা ফাংশনের আরেকটি বৈশিষ্ট্য চিহ্নিত করেছি, যা আপনার কাছে অপরিচিত, তবে অন্যদের থেকে কম গুরুত্বপূর্ণ নয় - এটি হল ফাংশনের সমানতা এবং অদ্ভুততা। পাঠের বিষয়টি লিখুন: "জোড় এবং বিজোড় ফাংশন", আমাদের কাজ হল একটি ফাংশনের জোড় এবং বিজোড়তা নির্ধারণ করতে শেখা, ফাংশন এবং প্লটিং গ্রাফ অধ্যয়নের ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যটির তাত্পর্য খুঁজে বের করা। ডিফ 1ফাংশন এ = চ (এক্স, সেটে সংজ্ঞায়িত X বলা হয় এমনকি, যদি কোনো মূল্যের জন্য এক্সЄ X কার্যকর করা হয় সমতা f(–x) = f(x)। উদাহরণ দিন। ডিফ 2ফাংশন y = f(x), সেটে সংজ্ঞায়িত X বলা হয় অদ্ভুত, যদি কোনো মূল্যের জন্য এক্সЄ এক্স সমতা f(–х)= –f(х) ধারণ করে। উদাহরণ দিন। আমরা কোথায় "জোড়" এবং "বিজোড়" পদগুলি পূরণ করেছি? একটি ফাংশন জোড় বা বিজোড় কিনা তা নিয়ে গবেষণাকে ফাংশনের সমতার অধ্যয়ন বলে।স্লাইড সংজ্ঞা 1 এবং 2-এ আমরা x এবং – x-এ ফাংশনের মান সম্পর্কে কথা বলছিলাম, এর ফলে ধরে নেওয়া হয় যে ফাংশনটিও মানের সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এক্স, এবং এ - এক্স. Def 3.যদি একটি সংখ্যাসূচক সেট, তার প্রতিটি উপাদান x এর সাথে, এছাড়াও বিপরীত উপাদান –x ধারণ করে, তাহলে সেটটি এক্সএকটি প্রতিসম সেট বলা হয়। উদাহরণ: (–২;২), [–৫;৫]; (∞;∞) হল প্রতিসম সেট, এবং , [–5;4] হল অপ্রতিসম। - এমনকি ফাংশনগুলিরও কি সংজ্ঞার একটি ডোমেন আছে যা একটি প্রতিসম সেট? অদ্ভুত বেশী? স্লাইড
সমতার জন্য একটি ফাংশন অধ্যয়ন করার জন্য অ্যালগরিদম 1. ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনটি প্রতিসম কিনা তা নির্ধারণ করুন। যদি না হয়, তাহলে ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়। যদি হ্যাঁ, তাহলে অ্যালগরিদমের ধাপ 2 এ যান। 2. জন্য একটি অভিব্যক্তি লিখুন চ(–এক্স). 3. তুলনা করুন চ(–এক্স) এবং চ(এক্স): উদাহরণ:
ফাংশন পরীক্ষা ক) সমতা জন্য এ= x 5 +; খ) এ= ভি) এ= . সমাধান। ক) h(x) = x 5 +, 1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), প্রতিসম সেট। 2) h (–x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +), 3) h(– x) = – h (x) => ফাংশন h(x)= x 5 + বিজোড়। খ) y =, এ = চ(এক্স), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), একটি অপ্রতিসম সেট, যার অর্থ ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়। ভি) চ(এক্স) = , y = f (x), 1) ডি( চ) = (–∞; 3] ≠; b) (∞; –2), (–4; 4]? বিকল্প 2 1. প্রদত্ত সেটটি কি প্রতিসম: a) [–2;2]; খ) (∞; 0], (0; 7)? ক) y = x 2 (2x – x 3), b) y = পারস্পরিক চেক অন স্লাইড 6. বাড়ির কাজ: №11.11, 11.21,11.22; সমতা সম্পত্তির জ্যামিতিক অর্থের প্রমাণ। ***(ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন অপশনের অ্যাসাইনমেন্ট)। 1. বিজোড় ফাংশন y = f(x) সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ভেরিয়েবল x-এর যেকোনো অ-নেতিবাচক মানের জন্য, এই ফাংশনের মান g( ফাংশনের মানের সাথে মিলে যায় এক্স)
= এক্স(এক্স + 1)(এক্স + 3)(এক্স- 7)। ফাংশনের মান খুঁজে বের করুন h( এক্স) = এ এক্স = 3. 7. সংক্ষিপ্তকরণ এমনকি ফাংশন.
এমনকিএমন একটি ফাংশন যার চিহ্ন পরিবর্তিত হলে চিহ্ন পরিবর্তিত হয় না x. xসমতা ধরে রাখে চ(–x) = চ(x) সাইন xচিহ্নকে প্রভাবিত করে না y. একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফটি স্থানাঙ্ক অক্ষের (চিত্র 1) সম্পর্কে প্রতিসম। একটি সমান ফাংশনের উদাহরণ: y= কারণ x y = x 2 y = –x 2 y = x 4 y = x 6 y = x 2 + x ব্যাখ্যা: অদ্ভুত ফাংশন।
বিজোড়একটি ফাংশন যার চিহ্ন পরিবর্তন হলে চিহ্ন পরিবর্তিত হয় x. অন্য কথায়, যে কোনও মূল্যের জন্য xসমতা ধরে রাখে চ(–x) = –চ(x). একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম (চিত্র 2)। বিজোড় ফাংশনের উদাহরণ: y= পাপ x y = x 3 y = –x 3 ব্যাখ্যা: y = – ফাংশনটি ধরা যাক x 3 . জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:
দ্রষ্টব্য:
সব ফাংশন জোড় বা বিজোড় নয়। এমন কিছু ফাংশন আছে যা এই ধরনের গ্রেডেশন মানে না। যেমন রুট ফাংশন এ = √এক্সজোড় বা বিজোড় ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয় (চিত্র 3)। এই ধরনের ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি তালিকাভুক্ত করার সময়, একটি উপযুক্ত বিবরণ দেওয়া উচিত: জোড় বা বিজোড়ও নয়। পর্যায়ক্রমিক ফাংশন।
আপনি জানেন যে, পর্যায়ক্রম হল একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে নির্দিষ্ট প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি। যে ফাংশনগুলি এই প্রক্রিয়াগুলি বর্ণনা করে তাকে বলা হয় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন. অর্থাৎ, এগুলি এমন ফাংশন যার গ্রাফে এমন উপাদান রয়েছে যা নির্দিষ্ট সংখ্যার ব্যবধানে পুনরাবৃত্তি করে। সংজ্ঞা 1. ফাংশন বলা হয় এমনকি
(অদ্ভুত
), যদি প্রতিটি পরিবর্তনশীল মানের সাথে একসাথে থাকে সুতরাং, একটি ফাংশন জোড় বা বিজোড় হতে পারে শুধুমাত্র যদি এর সংজ্ঞার ডোমেন সংখ্যা রেখার স্থানাঙ্কের উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম হয় (সংখ্যা এক্সএবং - এক্সএকই সময়ে অন্তর্গত ফাংশন ফাংশন ফাংশন একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফ অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম ওহ, কারণ যদি বিন্দু একটি ফাংশন জোড় বা বিজোড় কিনা তা প্রমাণ করার সময়, নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি কার্যকর। উপপাদ্য 1. ক) দুটি জোড় (বিজোড়) ফাংশনের যোগফল একটি জোড় (বিজোড়) ফাংশন। b) দুটি জোড় (বিজোড়) ফাংশনের গুণফল একটি জোড় ফাংশন। গ) একটি জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের গুণফল একটি বিজোড় ফাংশন। ঘ) যদি চ- সেটে এমনকি ফাংশন এক্স, এবং ফাংশন g
সেটে সংজ্ঞায়িত ঘ) যদি চ- সেটে অদ্ভুত ফাংশন এক্স, এবং ফাংশন g
সেটে সংজ্ঞায়িত প্রমাণ. আসুন প্রমাণ করি, উদাহরণস্বরূপ, b) এবং d)। খ) যাক ঘ) যাক চ
একটি সমান ফাংশন. তারপর. উপপাদ্যের অবশিষ্ট বক্তব্য একইভাবে প্রমাণ করা যেতে পারে। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে। উপপাদ্য 2. কোন ফাংশন প্রমাণ. ফাংশন ফাংশন সংজ্ঞা 2. ফাংশন এমন একটি সংখ্যা টিডাকা সময়কাল
ফাংশন সংজ্ঞা 1 থেকে এটি অনুসরণ করে যে যদি টি- ফাংশনের সময়কাল সংজ্ঞা 3. একটি ফাংশনের ধনাত্মক পর্যায়গুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোটকে তার বলে প্রধান
সময়কাল উপপাদ্য 3. যদি টি- ফাংশনের প্রধান সময়কাল চ, তারপর অবশিষ্ট সময়কাল এর গুণিতক। প্রমাণ. আসুন আমরা উল্টোটা ধরে নিই, অর্থাৎ একটা পিরিয়ড আছে যে এটা সুপরিচিত যে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়ক্রমিক। প্রধান সময়কাল (কারণ অর্থ টি, প্রথম সমতা থেকে নির্ধারিত, একটি সময়কাল হতে পারে না, যেহেতু এটি নির্ভর করে এক্স, অর্থাৎ এর একটি ফাংশন এক্স, এবং একটি ধ্রুবক সংখ্যা নয়। সময়কাল দ্বিতীয় সমতা থেকে নির্ধারিত হয়: আরও জটিল পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের উদাহরণ হল ডিরিচলেট ফাংশন উল্লেখ্য যে যদি টিতাহলে একটি মূলদ সংখ্যা যেকোনো মূলদ সংখ্যার জন্য টি. অতএব, যেকোনো মূলদ সংখ্যা টিডিরিচলেট ফাংশনের সময়কাল। এটা স্পষ্ট যে এই ফাংশনের একটি প্রধান সময়কাল নেই, যেহেতু ইতিবাচক আছে মূলদ সংখ্যা, নির্বিচারে শূন্যের কাছাকাছি (উদাহরণস্বরূপ, একটি মূলদ সংখ্যা একটি পছন্দ করা যেতে পারে nনির্বিচারে শূন্যের কাছাকাছি)। উপপাদ্য 4. যদি ফাংশন চ
সেটে সংজ্ঞায়িত এক্সএবং একটি পিরিয়ড আছে টি, এবং ফাংশন g
সেটে সংজ্ঞায়িত প্রমাণ. আমরা তাই আছে অর্থাৎ উপপাদ্যের বক্তব্য প্রমাণিত। উদাহরণস্বরূপ, যেহেতু কারণ
x
একটি সময়কাল আছে সংজ্ঞা 4. পর্যায়ক্রমিক নয় এমন ফাংশনগুলিকে বলা হয় অ-পর্যায়ক্রমিক
.
ফাংশনটি বিবেচনা করুন \(f(x)=x^3-3x^2+4\)।
ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে: \
অতএব, এর শূন্য হল: \(x=-1;2\)।
যদি আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই \(f"(x)=3x^2-6x\), তাহলে আমরা দুটি এক্সট্রিম পয়েন্ট পাব \(x_(সর্বোচ্চ)=0, x_(মিনিট)=2\)।
অতএব, গ্রাফ এই মত দেখায়: 
আমরা দেখতে পাই যে কোনো অনুভূমিক রেখা \(y=k\), যেখানে \(0
সুতরাং, আপনার প্রয়োজন: \[\শুরু(কেস) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
আসুন অবিলম্বে লক্ষ্য করুন যে সংখ্যাগুলি \(t_1\) এবং \(t_2\) ভিন্ন হলে, সংখ্যাগুলি \(\log_(\sqrt2)t_1\) এবং \(\log_(\sqrt2)t_2\) হবে ভিন্ন, যার মানে সমীকরণ \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)এবং \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)বিভিন্ন শিকড় থাকবে।
সিস্টেম \((**)\) নিম্নরূপ পুনরায় লেখা যেতে পারে: \[\শুরু(কেস) ১
আমরা শিকড়গুলি স্পষ্টভাবে লিখব না।
ফাংশনটি বিবেচনা করুন \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\)। এর গ্রাফটি ঊর্ধ্বগামী শাখা সহ একটি প্যারাবোলা, যার x-অক্ষের সাথে ছেদ করার দুটি বিন্দু রয়েছে (আমরা অনুচ্ছেদ 1) এ এই অবস্থাটি লিখেছি)। এর গ্রাফটি কেমন হওয়া উচিত যাতে x-অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুগুলি ব্যবধানে থাকে \((1;4)\)? তাই: 
প্রথমত, \(1\) এবং \(4\) বিন্দুতে ফাংশনের \(g(1)\) এবং \(g(4)\) মানগুলি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে এবং দ্বিতীয়ত, এর শীর্ষবিন্দু প্যারাবোলা \(t_0\ ) অবশ্যই ব্যবধানে হতে হবে \((1;4)\)। অতএব, আমরা সিস্টেম লিখতে পারি: \[\begin(কেস) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
ফাংশন \(g(x)\) এর সর্বোচ্চ বিন্দু আছে \(x=0\) (এবং \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). জিরো ডেরিভেটিভ: \(x=0\)। যখন \(x<0\)
имеем: \(g">0\), \(x>0\) এর জন্য : \(g"<0\)
.
\(x>0\) এর জন্য \(f(x)\) ফাংশন বাড়ছে এবং \(x) এর জন্য<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
প্রকৃতপক্ষে, যখন \(x>0\) প্রথম মডিউলটি ইতিবাচকভাবে খুলবে (\(|x|=x\)), অতএব, দ্বিতীয় মডিউলটি যেভাবে খুলবে না কেন, \(f(x)\) সমান হবে থেকে \( kx+A\) , যেখানে \(A\) হল \(a\) এর রাশি এবং \(k\) হয় \(13-10=3\) বা \(13+10) এর সমান =23\)। যখন \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
আসুন ন্যূনতম বিন্দুতে \(f\) এর মান খুঁজে বের করি: \
ব্যাক ফরওয়ার্ড
1. বীজগণিত 9ম শ্রেণী A.G. মর্ডকোভিচ। পাঠ্যপুস্তক।
2. বীজগণিত 9ম গ্রেড এ.জি. মর্ডকোভিচ। সমস্যা বই।
3. বীজগণিত 9ম শ্রেণী। ছাত্র শেখার এবং উন্নয়নের জন্য কাজ. বেলেনকোভা ই.ইউ. লেবেডিন্টসেভা ই.এ.
2. ই( চ) = [– 3; + ∞)
3. চ(এক্স) = 0 এ এক্স ~ 0,4
4. চ(এক্স) >0 এ এক্স > 0,4 ; চ(এক্স)
< 0 при – 2 <
এক্স <
0,4.
5. এর সাথে ফাংশন বৃদ্ধি পায় এক্স € [– 2; + ∞)
6. ফাংশন নীচে থেকে সীমিত.
7. এনাইম = – ৩, এনায়েবের অস্তিত্ব নেই
8. ফাংশন ক্রমাগত হয়.টেবিলটি পূরণ করুন
Oy এর সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক
x = 2
U(2;∞)
U (–3;2)
x ≠ 2
U(2;∞)
U (–3;2)
x ≠ 2
U(2;∞)
- প্রতিটি ফাংশনের জন্য সংজ্ঞার সুযোগ নির্দিষ্ট করুন।
– আর্গুমেন্ট মানের প্রতিটি জোড়ার জন্য প্রতিটি ফাংশনের মান তুলনা করুন: 1 এবং – 1; 2 এবং – 2।
- সংজ্ঞার ডোমেনে এই ফাংশনগুলির মধ্যে কোনটির জন্য সমতাগুলি ধারণ করে৷ চ(– এক্স)
= চ(এক্স), চ(– এক্স) = – চ(এক্স)? (টেবিলে প্রাপ্ত ডেটা প্রবেশ করান) স্লাইড
চ(1) এবং চ(– 1)
চ(2) এবং চ(– 2)
গ্রাফিক্স
চ(– এক্স) = –চ(এক্স)
চ(– এক্স) = চ(এক্স)
1. চ(এক্স) =
2. চ(এক্স) = এক্স 3
3. চ(এক্স) = | এক্স |
4.চ(এক্স) = 2এক্স – 3
5. চ(এক্স) =
6. চ(এক্স)=
এক্স >
–1
সুতরাং, আসুন পাঠ্যপুস্তকের সংজ্ঞাগুলি খুঁজে বের করি এবং পড়ি (পৃ. 110) . স্লাইড
এই ফাংশনগুলির মধ্যে কোনটি জোড় হবে, আপনি কি মনে করেন? কেন? কোনগুলো বিজোড়? কেন?
ফর্মের যেকোনো কাজের জন্য এ= x n, কোথায় n- একটি পূর্ণসংখ্যা, এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে ফাংশনটি যখন বিজোড় হয় n- বিজোড় এবং ফাংশনটি জোড় হলে n- এমনকি
- ফাংশন দেখুন এ= এবং এ = 2এক্স- 3 জোড় বা বিজোড় নয়, কারণ সমতা সন্তুষ্ট নয় চ(– এক্স) = – চ(এক্স), চ(–
এক্স) = চ(এক্স)
- যদি ডি( চ) একটি অপ্রতিসম সেট, তাহলে ফাংশন কি?
- এইভাবে, যদি ফাংশন এ = চ(এক্স) - জোড় বা বিজোড়, তাহলে এর সংজ্ঞার ডোমেন হল D( চ) একটি প্রতিসম সেট। কথোপকথন বিবৃতিটি কি সত্য: যদি একটি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন একটি প্রতিসম সেট হয়, তাহলে এটি কি জোড় বা বিজোড়?
- এর অর্থ হল সংজ্ঞার ডোমেনের একটি প্রতিসম সেটের উপস্থিতি একটি প্রয়োজনীয় শর্ত, কিন্তু যথেষ্ট নয়।
- তাহলে কীভাবে সমতার জন্য একটি ফাংশন অধ্যয়ন করবেন? আসুন একটি অ্যালগরিদম তৈরি করার চেষ্টা করি।
ক); b) y = x (5 – x 2)।2. সমতার জন্য ফাংশন পরীক্ষা করুন:
3. চিত্রে। একটি গ্রাফ তৈরি করা হয়েছে এ = চ(এক্স), সবার জন্য এক্স, শর্ত সন্তুষ্ট এক্স?
0.
ফাংশন গ্রাফ করুন এ = চ(এক্স), যদি এ = চ(এক্স) একটি সমান ফাংশন। 
3. চিত্রে। একটি গ্রাফ তৈরি করা হয়েছে এ = চ(এক্স), সব x জন্য শর্ত x সন্তুষ্ট? 0
ফাংশন গ্রাফ করুন এ = চ(এক্স), যদি এ = চ(এক্স) একটি অদ্ভুত ফাংশন। 
এর ফাংশন নেওয়া যাক y = x 2 বা y = –x 2 .
যেকোনো মূল্যের জন্য xফাংশনটি ইতিবাচক। সাইন xচিহ্নকে প্রভাবিত করে না y. গ্রাফটি স্থানাঙ্ক অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম। এটি একটি সমান ফাংশন.
সমস্ত অর্থ এএতে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকবে। যে একটি চিহ্ন xচিহ্নকে প্রভাবিত করে y. যদি স্বাধীন চলকটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে ফাংশনটি ধনাত্মক, যদি স্বাধীন চলকটি হয় ঋণাত্মক সংখ্যা, তারপর ফাংশন নেতিবাচক: চ(–x) = –চ(x).
ফাংশনের গ্রাফটি উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম। এটি একটি অদ্ভুত ফাংশন.
অর্থ- এক্সএছাড়াও অন্তর্গত 
এবং সমতা ধারণ করে
) উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন 
জোড় বা বিজোড়ও নয়, যেহেতু এর সংজ্ঞার ডোমেন 
উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম নয়।
এমনকি, কারণ 
উত্স সম্পর্কে প্রতিসম এবং.
অদ্ভুত, কারণ 
এবং 
.
জোড় এবং বিজোড় নয়, যদিও 
এবং উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম, সমতা (11.1) সন্তুষ্ট নয়। উদাহরণস্বরূপ,.
এছাড়াও তফসিলের অন্তর্গত। একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফটি উত্স সম্পর্কে প্রতিসম, যেহেতু যদি 
গ্রাফের অন্তর্গত, তারপর বিন্দু 
এছাড়াও তফসিলের অন্তর্গত।
, তারপর ফাংশন 
- এমনকি
এবং জোড় (বিজোড়), তারপর ফাংশন 
- জোড় (বিজোড়)।
এবং 
- এমনকি ফাংশন। তারপর, তাই. বিজোড় ফাংশনের ক্ষেত্রেও একইভাবে আচরণ করা হয় 
এবং 
.
, সেটে সংজ্ঞায়িত এক্স, উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম, জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।
ফর্মে লেখা যাবে
.
- এমনকি, কারণ 
, এবং ফাংশন 
- অদ্ভুত, কারণ। এইভাবে, 
, কোথায় 
- এমনকি, এবং 
- অদ্ভুত ফাংশন। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
ডাকা পর্যায়ক্রমিক
, যদি একটি সংখ্যা থাকে 
, যেমন যে কোনো জন্য 
সংখ্যা 
এবং 
এছাড়াও সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত 
এবং সমতা সন্তুষ্ট
.
, তারপর সংখ্যা - টিএকই
ফাংশনের সময়কাল
(প্রতিস্থাপনের পর থেকে টিঅন - টিসমতা বজায় রাখা হয়)। গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখা যায় যে যদি টি- ফাংশনের সময়কাল চ, তারপর 
, এছাড়াও একটি সময়কাল. এটি অনুসরণ করে যে যদি একটি ফাংশনের একটি পিরিয়ড থাকে, তবে এটির অসীম অনেকগুলি পিরিয়ড থাকে।
ফাংশন চ
(
>0), একাধিক নয় টি. তারপর, বিভাজন 
অন টিবাকি সঙ্গে, আমরা পেতে 
, কোথায় 
. সেজন্য
- ফাংশনের সময়কাল চ, এবং 
, এবং এই সত্য যে বিরোধিতা টি- ফাংশনের প্রধান সময়কাল চ. তত্ত্বের বিবৃতি ফলস্বরূপ দ্বন্দ্ব থেকে অনুসরণ করে। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
এবং 
সমান 
,
এবং 
. চলুন ফাংশনের সময়কাল খুঁজে বের করা যাক 
. যাক 
- এই ফাংশনের সময়কাল। তারপর
.
oror 
.
. অসীম অনেক সময়সীমা আছে, সঙ্গে 
ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক সময়কাল এ প্রাপ্ত হয় 
:
. এটি ফাংশনের প্রধান সময়কাল 
.
এবং 
মূলদ জন্য মূলদ সংখ্যা এক্সএবং অযৌক্তিক যখন অযৌক্তিক এক্স. সেজন্য
, তারপর একটি জটিল ফাংশন 
এছাড়াও একটি সময় আছে টি.
, তারপর ফাংশন 
একটি সময়কাল আছে 
.
