আর্গুমেন্ট এবং ফাংশন বৃদ্ধি কি. বক্তৃতা কোর্স

যাক এক্স- যুক্তি (স্বাধীন পরিবর্তনশীল); y=y(x)- ফাংশন।

এর একটি নির্দিষ্ট যুক্তি মান নেওয়া যাক x=x 0 এবং ফাংশনের মান গণনা করুন y 0 =y(x 0 ) . এখন এর নির্বিচারে সেট করা যাক বৃদ্ধি যুক্তির (পরিবর্তন) এবং এটি নির্দেশ করুন  এক্স ( এক্সযে কোন চিহ্ন হতে পারে)।

বৃদ্ধি যুক্তি একটি বিন্দু এক্স 0 +  এক্স. ধরা যাক এটিতে একটি ফাংশন মানও রয়েছে y=y(x 0 +  এক্স)(ছবি দেখুন)।

এইভাবে, আর্গুমেন্টের মানের নির্বিচারে পরিবর্তনের সাথে, ফাংশনে একটি পরিবর্তন পাওয়া যায়, যাকে বলা হয় বৃদ্ধি ফাংশন মান:

এবং নির্বিচারে নয়, তবে ফাংশন এবং মান প্রকারের উপর নির্ভর করে
.

আর্গুমেন্ট এবং ফাংশন ইনক্রিমেন্ট হতে পারে চূড়ান্ত, অর্থাৎ ধ্রুবক সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা হয়, এই ক্ষেত্রে তাদের কখনও কখনও সসীম পার্থক্য বলা হয়।

অর্থনীতিতে, সসীম বৃদ্ধিকে প্রায়শই বিবেচনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, টেবিলটি একটি নির্দিষ্ট রাজ্যের রেলওয়ে নেটওয়ার্কের দৈর্ঘ্যের ডেটা দেখায়। স্পষ্টতই, নেটওয়ার্ক দৈর্ঘ্যের বৃদ্ধি পরবর্তী মান থেকে পূর্ববর্তী মান বিয়োগ করে গণনা করা হয়।

আমরা রেলওয়ে নেটওয়ার্কের দৈর্ঘ্যকে একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করব, যার যুক্তিটি হবে সময় (বছর)।

৩১ ডিসেম্বর পর্যন্ত রেলপথের দৈর্ঘ্য হাজার হাজার কি.মি.	ইনক্রিমেন্ট	গড় বার্ষিক বৃদ্ধি

নিজেই, একটি ফাংশনের বৃদ্ধি (এই ক্ষেত্রে, রেলওয়ে নেটওয়ার্কের দৈর্ঘ্য) ফাংশনের পরিবর্তনকে ভালভাবে চিহ্নিত করে না। আমাদের উদাহরণে, যে সত্য থেকে 2,5>0,9 এটা বলা যায় না যে নেটওয়ার্ক দ্রুত বৃদ্ধি পেয়েছে 2000-2003 বছরের তুলনায় 2004 g., কারণ বৃদ্ধি 2,5 একটি তিন বছরের সময়কাল বোঝায়, এবং 0,9 - মাত্র এক বছরে। অতএব, এটা খুবই স্বাভাবিক যে একটি ফাংশনে একটি বৃদ্ধি যুক্তিতে একটি ইউনিট পরিবর্তনের দিকে নিয়ে যায়। এখানে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি হচ্ছে পিরিয়ড: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

অর্থনৈতিক সাহিত্যে যা বলা হয় তা আমরা পাই গড় বার্ষিক বৃদ্ধি.

আপনি আর্গুমেন্ট পরিবর্তনের ইউনিটে ইনক্রিমেন্ট হ্রাস করার ক্রিয়াকলাপ এড়াতে পারেন যদি আপনি আর্গুমেন্ট মানগুলির জন্য ফাংশন মানগুলি নেন যা একটি দ্বারা পৃথক হয়, যা সবসময় সম্ভব নয়।

গাণিতিক বিশ্লেষণে, বিশেষ করে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসে, যুক্তি এবং ফাংশনের অসীম (IM) বৃদ্ধি বিবেচনা করা হয়।

একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের পার্থক্য (ডেরিভেটিভ এবং ডিফারেনশিয়াল) একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ

একটি বিন্দুতে যুক্তি এবং ফাংশনের বৃদ্ধি এক্স 0 তুলনামূলক অসীম পরিমাণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে (বিষয় 4, বিএম-এর তুলনা দেখুন), যেমন একই আদেশের বি.এম.

তাহলে তাদের অনুপাতের একটি সীমাবদ্ধ সীমা থাকবে, যা t-এ ফাংশনের ডেরিভেটিভ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এক্স 0 .

একটি বিন্দুতে আর্গুমেন্টের BM বৃদ্ধির সাথে একটি ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা x=x 0 ডাকা ডেরিভেটিভ একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টে ফাংশন।

একটি স্ট্রোক দ্বারা একটি ডেরিভেটিভের প্রতীকী পদবী (বা বরং, রোমান সংখ্যা I দ্বারা) নিউটন দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। আপনি একটি সাবস্ক্রিপ্টও ব্যবহার করতে পারেন, যা দেখায় কোন ভেরিয়েবল দিয়ে ডেরিভেটিভ গণনা করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, . ডেরিভেটিভের ক্যালকুলাসের প্রতিষ্ঠাতা, জার্মান গণিতবিদ লাইবনিজ দ্বারা প্রস্তাবিত আরেকটি স্বরলিপিও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়:
. আপনি বিভাগে এই উপাধির উত্স সম্পর্কে আরও শিখবেন৷ ফাংশন ডিফারেনশিয়াল এবং আর্গুমেন্ট ডিফারেনশিয়াল।

এই সংখ্যা অনুমান গতিএকটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া ফাংশনে পরিবর্তন
.

এর ইনস্টল করা যাক জ্যামিতিক অর্থএকটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ। এই উদ্দেশ্যে, আমরা ফাংশন প্লট করব y=y(x)এবং এটিতে বিন্দুগুলি চিহ্নিত করুন যা পরিবর্তন নির্ধারণ করে y(x)মধ্যে

একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক এম 0
আমরা সেক্যান্টের সীমিত অবস্থান বিবেচনা করব এম 0 এমযে দেওয়া
(বিন্দু এমএকটি ফাংশনের গ্রাফ বরাবর একটি বিন্দুতে স্লাইড করে এম 0 ).

এর বিবেচনা করা যাক
. স্পষ্টতই,
.

যদি বিন্দু এমবিন্দুর দিকে ফাংশনের গ্রাফ বরাবর সরাসরি এম 0 , তারপর মান
একটি নির্দিষ্ট সীমার দিকে ঝোঁক থাকবে, যা আমরা বোঝাই
. একই সময়ে।

সীমা কোণ  সহ ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শকের প্রবণতার কোণের সাথে মিলে যায়। এম 0 , তাই ডেরিভেটিভ
সংখ্যাগতভাবে সমান স্পর্শক ঢাল নির্দিষ্ট পয়েন্টে।

একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ.

এইভাবে, আমরা স্পর্শক এবং স্বাভাবিক সমীকরণ লিখতে পারি ( স্বাভাবিক - এটি একটি সরল রেখা যা স্পর্শকের সাথে লম্ব) কিছু সময়ে ফাংশনের গ্রাফে এক্স 0 :

স্পর্শক -।

স্বাভাবিক -
.

আগ্রহের বিষয় হল যখন এই রেখাগুলি অনুভূমিকভাবে বা উল্লম্বভাবে অবস্থিত (বিষয় 3 দেখুন, একটি সমতলে একটি লাইনের অবস্থানের বিশেষ ক্ষেত্রে)। তারপর,

যদি
;

যদি
.

ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা বলা হয় পার্থক্য ফাংশন

 যদি ফাংশনটি একটি বিন্দুতে থাকে এক্স 0 একটি সসীম ডেরিভেটিভ আছে, তারপর এটি বলা হয় পার্থক্যযোগ্যএই সময়ে একটি ফাংশন যা একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের সমস্ত বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য তাকে এই ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য বলে।

 উপপাদ্য . যদি ফাংশন y=y(x)পার্থক্যযোগ্য সহ এক্স 0 , তারপর এটি এই বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন।

এইভাবে, ধারাবাহিকতা- একটি ফাংশনের পার্থক্যের জন্য একটি প্রয়োজনীয় (কিন্তু পর্যাপ্ত নয়) শর্ত।

1. আর্গুমেন্ট ইনক্রিমেন্ট এবং ফাংশন ইনক্রিমেন্ট।

ফাংশন দেওয়া যাক. এর দুটি আর্গুমেন্ট মান নেওয়া যাক: প্রাথমিক এবং পরিবর্তিত, যা সাধারণত চিহ্নিত করা হয়
, কোথায় - প্রথম মান থেকে দ্বিতীয় মানে যাওয়ার সময় যে পরিমাণ যুক্তিতে পরিবর্তন হয়, তাকে বলে যুক্তি বৃদ্ধি

আর্গুমেন্টের মানগুলি এবং নির্দিষ্ট ফাংশন মানগুলির সাথে সম্পর্কিত: প্রাথমিক এবং পরিবর্তিত
, মাত্রা , যার দ্বারা আর্গুমেন্ট মান দ্বারা পরিবর্তিত হলে ফাংশনের মান পরিবর্তিত হয়, বলা হয় ফাংশন বৃদ্ধি।

2. একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা ধারণা।

সংখ্যা ফাংশনের সীমা বলা হয়
প্রবণতা সঙ্গে , যদি কোন সংখ্যার জন্য
এরকম একটি সংখ্যা আছে
যেটা সবার সামনে
, অসমতা সন্তুষ্ট
, অসমতা সন্তুষ্ট হবে
.

দ্বিতীয় সংজ্ঞা: একটি সংখ্যাকে একটি ফাংশনের সীমা বলা হয় যেভাবে এটি প্রবণ হয়, যদি কোনো সংখ্যার জন্য বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যেমন এই আশেপাশের যেকোনোটির জন্য। মনোনীত
.

3. একটি বিন্দুতে অসীমভাবে বড় এবং অসীম ফাংশন। অবিরাম ছোট ফাংশনএকটি বিন্দুতে - একটি ফাংশন যার সীমা, যখন এটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে থাকে, তখন শূন্যের সমান। একটি বিন্দুতে একটি অসীম বড় ফাংশন হল একটি ফাংশন যার সীমা যখন একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে থাকে তখন অসীমের সমান হয়।

4. তাদের থেকে সীমা এবং ফলাফল সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য (প্রমাণ ছাড়া)।

ফলাফল: ধ্রুবক ফ্যাক্টর সীমা চিহ্ন অতিক্রম করা যেতে পারে:

যদি ক্রম এবং একত্রিত করুন এবং অনুক্রমের সীমা অশূন্য, তারপর

ফলাফল: ধ্রুবক ফ্যাক্টর সীমা চিহ্ন অতিক্রম করা যেতে পারে.

11. যদি ফাংশনের সীমা থাকে
এবং
এবং ফাংশনের সীমা অ-শূন্য,

তারপরে তাদের অনুপাতের একটি সীমাও রয়েছে, ফাংশনের সীমার অনুপাতের সমান এবং:

12. যদি
, যে
, কথোপকথন এছাড়াও সত্য.

13. একটি মধ্যবর্তী ক্রম সীমার উপর উপপাদ্য। যদি ক্রম
একত্রিত, এবং
এবং
যে

5. অনন্তে একটি ফাংশনের সীমা।

সংখ্যা a কে অসীমের দিকে একটি ফাংশনের সীমা বলা হয় (x অসীমের দিকে প্রবণতার জন্য) যদি কোনো ক্রম অসীমের দিকে ঝোঁক থাকে
সংখ্যার প্রবণতা মানগুলির একটি ক্রম অনুসারে ক.

6. সীমা সংখ্যা ক্রম.

সংখ্যা কএকটি সংখ্যা অনুক্রমের সীমা বলা হয় যদি থাকে ইতিবাচক সংখ্যা থাকবে স্বাভাবিক সংখ্যাএন, যেমন সব জন্য n> এনঅসমতা ধরে রাখে
.

প্রতীকীভাবে এটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:
ন্যায্য

সংখ্যাটা আসলেই কঅনুক্রমের সীমা, নিম্নরূপ নির্দেশিত:

7. সংখ্যা "ই"। প্রাকৃতিক লগারিদম।

সংখ্যা "ই" সংখ্যা অনুক্রমের সীমা প্রতিনিধিত্ব করে, n- যার তম সদস্য
, অর্থাৎ

প্রাকৃতিক লগারিদম - একটি বেস সহ লগারিদম e প্রাকৃতিক লগারিদম চিহ্নিত করা হয়
কারণ উল্লেখ না করেই।

সংখ্যা
আপনাকে দশমিক লগারিদম থেকে প্রাকৃতিক এক এবং পিছনে যেতে অনুমতি দেয়।

, এটি থেকে রূপান্তর মডিউল বলা হয় প্রাকৃতিক লগারিদমদশমিক থেকে

8. চমৎকার সীমা
,

প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা:

এইভাবে এ

মধ্যবর্তী ক্রম সীমা উপপাদ্য দ্বারা

দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা:

সীমার অস্তিত্ব প্রমাণ করতে
লেমা ব্যবহার করুন: যেকোনো জন্য প্রকৃত সংখ্যা
এবং
অসমতা সত্য
(2) (এ
বা
অসমতা সমতায় পরিণত হয়।)

ক্রম (1) নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

এখন একটি সাধারণ পদ সহ একটি সহায়ক ক্রম বিবেচনা করুন
আসুন নিশ্চিত করি যে এটি হ্রাস পায় এবং নীচে আবদ্ধ হয়:
যদি
, তারপর ক্রম হ্রাস পায়। যদি
, তারপর ক্রমটি নীচে আবদ্ধ। আসুন এটি দেখাই:

সমতার কারণে (2)

অর্থাৎ
বা
. অর্থাৎ, ক্রমটি হ্রাস পাচ্ছে এবং যেহেতু ক্রমটি নীচে আবদ্ধ। যদি একটি ক্রম হ্রাস পায় এবং নীচে আবদ্ধ হয়, তবে এর একটি সীমা রয়েছে। তারপর

একটি সীমা এবং ক্রম আছে (1), কারণ

এবং
.

এল. অয়লার এই সীমাকে বলে .

9. একতরফা সীমা, ফাংশনের বিরতি।

সংখ্যা A হল বাম সীমা যদি নিম্নলিখিত কোন ক্রমটির জন্য থাকে:

সংখ্যা A হল সঠিক সীমা যদি নিম্নলিখিত কোন ক্রমটির জন্য থাকে:

যদি বিন্দুতে কফাংশন বা এর সীমানার সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত, ফাংশনের ধারাবাহিকতার শর্ত লঙ্ঘন করা হয়, তারপর পয়েন্ট কএকটি ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা বিন্দু বা বিচ্ছিন্নতা বলা হয়, যদি বিন্দু থাকে

12. অসীম হ্রাস পদের যোগফল জ্যামিতিক অগ্রগতি. জ্যামিতিক অগ্রগতি এমন একটি ক্রম যেখানে পরবর্তী এবং পূর্ববর্তী পদগুলির মধ্যে অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে, এই অনুপাতটিকে অগ্রগতির হর বলা হয়। প্রথম যোগফল nজ্যামিতিক অগ্রগতির সদস্যদের সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়
এই সূত্রটি ক্রমহ্রাসমান জ্যামিতিক অগ্রগতির জন্য ব্যবহার করা সুবিধাজনক - একটি অগ্রগতি যেখানে এর হরটির পরম মান শূন্যের চেয়ে কম। - প্রথম সদস্য; - অগ্রগতি হর; - অনুক্রমের নেওয়া সদস্যের সংখ্যা। অসীম ক্রমহ্রাসমান অগ্রগতির যোগফল হল সেই সংখ্যা যা একটি ক্রমহ্রাসমান অগ্রগতির প্রথম পদগুলির যোগফল যখন অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায় তখন অনির্দিষ্টকালের জন্য আসে৷
যে. অসীমভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত জ্যামিতিক অগ্রগতির পদগুলির যোগফল সমান .

সংজ্ঞা 1

যদি প্রতিটি জোড়া $(x,y)$ কিছু ডোমেইন থেকে দুটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের মানের জন্য একটি নির্দিষ্ট মান $z$ যুক্ত থাকে, তাহলে $z$ কে দুটি ভেরিয়েবল $(x,y) এর একটি ফাংশন বলা হয়। $ নোটেশন: $z=f(x,y)$।

$z=f(x,y)$ ফাংশনের সাথে, আসুন একটি ফাংশনের সাধারণ (মোট) এবং আংশিক বৃদ্ধির ধারণাগুলি বিবেচনা করি।

একটি ফাংশন $z=f(x,y)$ দেওয়া যাক দুটি স্বাধীন ভেরিয়েবল $(x,y)$।

নোট ১

যেহেতু ভেরিয়েবল $(x,y)$ স্বাধীন, তাদের মধ্যে একটি পরিবর্তন হতে পারে, অন্যটি স্থির থাকে।

চলুন $x$ ভেরিয়েবলের মান অপরিবর্তিত রেখে $\Delta x$ এর একটি বৃদ্ধি দেই।

তারপর $z=f(x,y)$ ফাংশনটি একটি ইনক্রিমেন্ট পাবে, যাকে $x$ ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে $z=f(x,y)$ ফাংশনের আংশিক ইনক্রিমেন্ট বলা হবে। পদবী:

একইভাবে, আমরা ভেরিয়েবলকে $x$ এর মান অপরিবর্তিত রেখে $\Delta y$ এর একটি বৃদ্ধি দেব।

তারপর ফাংশন $z=f(x,y)$ একটি ইনক্রিমেন্ট পাবে, যাকে $y$ ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে $z=f(x,y)$ ফাংশনের আংশিক ইনক্রিমেন্ট বলা হবে। পদবী:

যদি আর্গুমেন্ট $x$ কে ইনক্রিমেন্ট $\Delta x$ দেওয়া হয়, এবং আর্গুমেন্ট $y$ কে ইনক্রিমেন্ট $\Delta y$ দেওয়া হয়, তাহলে আমরা পাব সম্পূর্ণ বৃদ্ধি প্রদত্ত ফাংশন$z=f(x,y)$। পদবী:

এইভাবে আমাদের আছে:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ দ্বারা $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ দ্বারা $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - ফাংশনের মোট বৃদ্ধি $z=f(x,y)$।

উদাহরণ 1

সমাধান:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ $x$ থেকে বেশি;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $y$ এর সাপেক্ষে $z=f(x,y)$ ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি।

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - ফাংশনের মোট বৃদ্ধি $z=f(x,y)$।

উদাহরণ 2

$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$ এর জন্য $(1;2)$ বিন্দুতে $z=xy$ ফাংশনের আংশিক এবং মোট বৃদ্ধি গণনা করুন।

সমাধান:

আংশিক বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ $x$ থেকে

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ দ্বারা $y$;

মোট বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ ফাংশনের মোট বৃদ্ধি।

তাই,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]

নোট 2

একটি প্রদত্ত ফাংশনের মোট বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ এর আংশিক বৃদ্ধি $\Delta _(x) z$ এবং $\Delta _(y) z$ এর সমষ্টির সমান নয়। গাণিতিক স্বরলিপি: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$।

উদাহরণ 3

ফাংশন জন্য দাবী মন্তব্য চেক করুন

সমাধান:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (উদাহরণ 1 প্রাপ্ত)

আসুন একটি প্রদত্ত ফাংশন $z=f(x,y)$ এর আংশিক বৃদ্ধির যোগফল বের করি

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y।\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

সংজ্ঞা 2

যদি কিছু ডোমেইন থেকে তিনটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের প্রতিটি ট্রিপল $(x,y,z)$ এর জন্য একটি নির্দিষ্ট মান $w$ যুক্ত থাকে, তাহলে $w$ কে তিনটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন বলা হয় $(x, y,z)$ এই এলাকায়।

নোটেশন: $w=f(x,y,z)$।

সংজ্ঞা 3

যদি একটি নির্দিষ্ট অঞ্চল থেকে স্বাধীন ভেরিয়েবলের প্রতিটি সেট $(x,y,z,...,t)$ এর জন্য একটি নির্দিষ্ট মান $w$ যুক্ত থাকে, তাহলে $w$ এর একটি ফাংশন বলা হয় এই এলাকায় $(x,y, z,...,t)$ ভেরিয়েবল।

নোটেশন: $w=f(x,y,z,...,t)$।

তিনটি বা ততোধিক ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য, দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের মতো একইভাবে, প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য আংশিক বৃদ্ধি নির্ধারিত হয়:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z,... ,t )$ দ্বারা $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি =f (x,y,z,...,t)$ $t$ দ্বারা।

উদাহরণ 4

আংশিক এবং মোট বৃদ্ধি ফাংশন লিখ

সমাধান:

আংশিক বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)+y)\cdot z$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $x$ থেকে

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $y$ থেকে বেশি;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $z$ থেকে বেশি;

মোট বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta w=(x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ ফাংশনের মোট বৃদ্ধি।

উদাহরণ 5

$\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, এর জন্য $(1;2;1)$ বিন্দুতে $w=xyz$ ফাংশনের আংশিক এবং মোট বৃদ্ধি গণনা করুন \, \Delta z=0.1$।

সমাধান:

আংশিক বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $x$ এর বেশি

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ দ্বারা $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $z$ থেকে বেশি;

মোট বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ ফাংশনের মোট বৃদ্ধি।

তাই,

\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

সঙ্গে জ্যামিতিক বিন্দুদর্শনের পরিপ্রেক্ষিতে, $z=f(x,y)$ ফাংশনের মোট বৃদ্ধি (সংজ্ঞা অনুসারে $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) বিন্দু $M(x,y)$ থেকে $M_(1) (x+\Delta x,y+) বিন্দুতে যাওয়ার সময় $z =f(x,y)$ ফাংশনের গ্রাফের প্রয়োগের বৃদ্ধির সমান। \Delta y)$ (চিত্র 1)।

চিত্র 1।

সংজ্ঞা 1

একটি ফাংশন $z=f(x,y)$ দেওয়া যাক দুটি স্বাধীন ভেরিয়েবল $(x,y)$।

নোট ১

চলুন $x$ ভেরিয়েবলের মান অপরিবর্তিত রেখে $\Delta x$ এর একটি বৃদ্ধি দেই।

একইভাবে, আমরা ভেরিয়েবলকে $x$ এর মান অপরিবর্তিত রেখে $\Delta y$ এর একটি বৃদ্ধি দেব।

যদি আর্গুমেন্ট $x$ কে একটি ইনক্রিমেন্ট $\Delta x$ দেওয়া হয়, এবং আর্গুমেন্ট $y$ কে ইনক্রিমেন্ট $\Delta y$ দেওয়া হয়, তাহলে প্রদত্ত ফাংশনের সম্পূর্ণ ইনক্রিমেন্ট $z=f(x,y)$ প্রাপ্ত হয়। পদবী:

এইভাবে আমাদের আছে:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ দ্বারা $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ দ্বারা $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - ফাংশনের মোট বৃদ্ধি $z=f(x,y)$।

উদাহরণ 1

সমাধান:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ $x$ থেকে বেশি;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $y$ এর সাপেক্ষে $z=f(x,y)$ ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি।

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - ফাংশনের মোট বৃদ্ধি $z=f(x,y)$।

উদাহরণ 2

$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$ এর জন্য $(1;2)$ বিন্দুতে $z=xy$ ফাংশনের আংশিক এবং মোট বৃদ্ধি গণনা করুন।

সমাধান:

আংশিক বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ $x$ থেকে

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ দ্বারা $y$;

মোট বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ ফাংশনের মোট বৃদ্ধি।

তাই,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]

নোট 2

উদাহরণ 3

ফাংশন জন্য দাবী মন্তব্য চেক করুন

সমাধান:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (উদাহরণ 1 প্রাপ্ত)

আসুন একটি প্রদত্ত ফাংশন $z=f(x,y)$ এর আংশিক বৃদ্ধির যোগফল বের করি

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y।\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

সংজ্ঞা 2

নোটেশন: $w=f(x,y,z)$।

সংজ্ঞা 3

নোটেশন: $w=f(x,y,z,...,t)$।

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z,... ,t )$ দ্বারা $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি =f (x,y,z,...,t)$ $t$ দ্বারা।

উদাহরণ 4

আংশিক এবং মোট বৃদ্ধি ফাংশন লিখ

সমাধান:

আংশিক বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)+y)\cdot z$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $x$ থেকে

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $y$ থেকে বেশি;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $z$ থেকে বেশি;

মোট বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta w=(x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ ফাংশনের মোট বৃদ্ধি।

উদাহরণ 5

সমাধান:

আংশিক বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $x$ এর বেশি

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ দ্বারা $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - ফাংশনের আংশিক বৃদ্ধি $w=f(x,y,z)$ $z$ থেকে বেশি;

মোট বৃদ্ধির সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ ফাংশনের মোট বৃদ্ধি।

তাই,

জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, ফাংশনের মোট বৃদ্ধি $z=f(x,y)$ (সংজ্ঞা অনুসারে $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) গ্রাফ ফাংশনের প্রয়োগের বৃদ্ধির সমান $z=f(x,y)$ যখন বিন্দু $M(x,y)$ থেকে বিন্দু $M_(1) (x+\Delta x,y+ এ চলে যায়) \Delta y)$ (চিত্র 1)।

চিত্র 1।