আসুন অক্স অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ একটি বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড বিবেচনা করা যাক, বক্ররেখা y=f(x) এবং দুটি সরল রেখা: x=a এবং x=b (চিত্র 85)। আসুন x এর একটি নির্বিচারে মান নিই (শুধু a এবং b নয়)। এর একটি বৃদ্ধি দেওয়া যাক h = dx এবং বিবেচনাধীন বক্ররেখা AB এবং CD, অক্স অক্ষ এবং চাপ বিডি দ্বারা আবদ্ধ একটি স্ট্রিপ বিবেচনা করুন। আমরা এই স্ট্রিপটিকে একটি প্রাথমিক স্ট্রিপ বলব। একটি প্রাথমিক স্ট্রিপের ক্ষেত্রফল বক্ররেখার ত্রিভুজ BQD দ্বারা আয়তক্ষেত্র ACQB এর ক্ষেত্রফল থেকে পৃথক, এবং পরবর্তীটির ক্ষেত্রফল BQ = =h= বাহু বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র BQDM এর ক্ষেত্রফলের চেয়ে কম। dx) QD=Ay এবং ক্ষেত্রফল hAy = Ay dx এর সমান। পাশের h কমে যাওয়ার সাথে সাথে পাশের Duও কমে যায় এবং একই সাথে h এর সাথে শূন্যের দিকে যায়। অতএব, বিকিউডিএম-এর ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়-ক্রম অসীম। একটি প্রাথমিক স্ট্রিপের ক্ষেত্রফল হল ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি এবং আয়তক্ষেত্র ACQB এর ক্ষেত্রফল, AB-AC ==/(x) dx> এর সমান হল ক্ষেত্রফলের পার্থক্য। ফলস্বরূপ, আমরা এর ডিফারেনশিয়ালকে একীভূত করে ক্ষেত্রটিকে নিজেই খুঁজে পাই। বিবেচনাধীন চিত্রের মধ্যে, স্বাধীন চলক l: a থেকে b তে পরিবর্তিত হয়, তাই প্রয়োজনীয় এলাকা 5 হবে 5= \f(x) dx এর সমান। (I) উদাহরণ 1. চলুন প্যারাবোলা y - 1 -x*, সরলরেখা X =--Fj-, x = 1 এবং O* অক্ষ (চিত্র 86) দ্বারা আবদ্ধ এলাকা গণনা করি। ডুমুর এ 87. ডুমুর। 86. 1 এখানে f(x) = 1 - l?, একীকরণের সীমা হল a = - এবং £ = 1, অতএব J [*-t]\- -fl - Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* উদাহরণ 2. আসুন সাইনুসয়েড y = sinXy, অক্স অক্ষ এবং সরলরেখা (চিত্র 87) দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল গণনা করি। সূত্র (I) প্রয়োগ করে, আমরা A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf উদাহরণ 3 পাই। সাইনুসয়েডের চাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ এলাকা গণনা করুন ^у = sin jc, আবদ্ধ অক্স অক্ষের সাথে দুটি সংলগ্ন ছেদ বিন্দুর মধ্যে (উদাহরণস্বরূপ, মূল এবং অ্যাবসিসা i সহ বিন্দুর মধ্যে)। উল্লেখ্য যে জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে এটি স্পষ্ট যে এই এলাকাটি দ্বিগুণ হবে আরো এলাকাআগের উদাহরণ। যাইহোক, আসুন গণনা করি: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2। o প্রকৃতপক্ষে, আমাদের অনুমান সঠিক বলে প্রমাণিত হয়েছে। উদাহরণ 4. সাইনুসয়েড এবং অক্স অক্ষের দ্বারা আবদ্ধ এলাকাটি এক সময়কালে গণনা করুন (চিত্র 88)। প্রাথমিক গণনা থেকে বোঝা যায় যে ক্ষেত্রফলটি উদাহরণ 2 এর চেয়ে চারগুণ বড় হবে। যাইহোক, গণনা করার পরে, আমরা "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. এই ফলাফলের জন্য স্পষ্টতা প্রয়োজন। বিষয়টির সারমর্মকে স্পষ্ট করার জন্য, আমরা একই সাইনুসয়েড y = sin l: এবং l থেকে 2i রেঞ্জের মধ্যে Ox অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ এলাকাটিও গণনা করি। সূত্র (I) প্রয়োগ করে, আমরা 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 পাই। এইভাবে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এই এলাকাটি নেতিবাচক হয়ে উঠেছে। অনুশীলন 3 এ গণনা করা এলাকার সাথে তুলনা করে, আমরা দেখতে পাই যে তাদের পরম মান একই, তবে লক্ষণগুলি ভিন্ন। যদি আমরা সম্পত্তি V প্রয়োগ করি (অধ্যায় XI, § 4 দেখুন), আমরা 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 এই উদাহরণে যা ঘটেছে তা দুর্ঘটনা নয়। সর্বদা অক্স অক্ষের নীচে অবস্থিত ক্ষেত্রটি, যদি পূর্ণাঙ্গ ব্যবহার করে গণনা করা হয় তখন বাম থেকে ডানে স্বাধীন পরিবর্তনশীল পরিবর্তন হয়। এই কোর্সে আমরা সবসময় চিহ্ন ছাড়া এলাকা বিবেচনা করব। অতএব, উদাহরণের উত্তরটি শুধু আলোচিত হবে: প্রয়োজনীয় এলাকা হল 2 + ​​|-2| = 4. উদাহরণ 5. চলুন চিত্রে দেখানো BAB এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যাক। 89. এই ক্ষেত্রটি অক্স অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ, প্যারাবোলা y = - xr এবং সরলরেখা y - = -x+\। একটি বক্ররেখা ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল প্রয়োজনীয় এলাকা OAB দুটি অংশ নিয়ে গঠিত: OAM এবং MAV। যেহেতু বিন্দু A হল একটি প্যারাবোলা এবং একটি সরল রেখার ছেদ বিন্দু, তাই আমরা 3 2 Y = mx সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করে এর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাব। (আমাদের শুধুমাত্র বিন্দু A এর abscissa খুঁজে বের করতে হবে)। সিস্টেম সমাধান, আমরা l খুঁজে; = ~। অতএব, ক্ষেত্রফল অংশে গণনা করতে হবে, প্রথম বর্গক্ষেত্র। OAM এবং তারপর pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2। QAM-^x)