ইন্টিগ্রেলগুলি সমাধান করা একটি সহজ কাজ, তবে শুধুমাত্র কয়েকজনের জন্য। এই নিবন্ধটি তাদের জন্য যারা অবিচ্ছেদ্য বুঝতে শিখতে চান, কিন্তু তাদের সম্পর্কে কিছুই জানেন না বা প্রায় কিছুই জানেন না। অবিচ্ছেদ্য... কেন এটা প্রয়োজন? এটা কিভাবে গণনা করতে? নির্দিষ্ট এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য কি?

একটি অবিচ্ছেদ্য জন্য আপনি যদি একমাত্র ব্যবহার জানেন তা হল একটি অবিচ্ছেদ্য আইকনের মতো আকৃতির একটি ক্রোশেট হুক ব্যবহার করা যা হার্ড-টু-নাগালের জায়গা থেকে দরকারী কিছু পেতে, তাহলে স্বাগতম! কীভাবে সহজ এবং অন্যান্য পূর্ণাঙ্গ সমাধান করবেন এবং কেন আপনি গণিতে এটি ছাড়া করতে পারবেন না তা সন্ধান করুন।

আমরা ধারণা অধ্যয়ন « অবিচ্ছেদ্য »

ইন্টিগ্রেশন ফিরে পরিচিত ছিল প্রাচীন মিশর. অবশ্যই মধ্যে না আধুনিক ফর্ম, কিন্তু এখনও. তারপর থেকে, গণিতবিদরা এই বিষয়ে অনেক বই লিখেছেন। বিশেষ করে নিজেদের আলাদা করেছে নিউটন এবং লাইবনিজ , কিন্তু জিনিসের সারাংশ পরিবর্তিত হয়নি.

কিভাবে স্ক্র্যাচ থেকে integrals বুঝতে? কোন উপায় নেই! এই বিষয়টি বোঝার জন্য আপনার এখনও মৌলিক বিষয়গুলির একটি প্রাথমিক বোঝার প্রয়োজন হবে। গাণিতিক বিশ্লেষণ. আমাদের কাছে ইতিমধ্যেই আমাদের ব্লগে সীমা এবং ডেরিভেটিভস সম্পর্কে তথ্য রয়েছে, যা ইন্টিগ্রেল বোঝার জন্য প্রয়োজনীয়।

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য

আমাদের কিছু ফাংশন আছে f(x) .

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ফাংশন f(x) এই ফাংশন বলা হয় F(x) , যার ডেরিভেটিভ ফাংশনের সমান f(x) .

অন্য কথায়, একটি অখণ্ড হল বিপরীতে একটি ডেরিভেটিভ বা একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ। যাইহোক, ডেরিভেটিভগুলি কীভাবে গণনা করা যায় সে সম্পর্কে আমাদের নিবন্ধটি পড়ুন।

অ্যান্টিডেরিভেটিভ সবার জন্য বিদ্যমান ক্রমাগত ফাংশন. এছাড়াও, একটি ধ্রুবক চিহ্ন প্রায়ই অ্যান্টিডেরিভেটিভের সাথে যোগ করা হয়, যেহেতু ফাংশনের ডেরিভেটিভগুলি একটি ধ্রুবক দ্বারা পৃথক হয়। অখণ্ড খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় ইন্টিগ্রেশন।

সহজ উদাহরণ:

ক্রমাগত antiderivatives গণনা না করার জন্য প্রাথমিক ফাংশন, একটি টেবিলে তাদের সংক্ষিপ্ত করা এবং তৈরি মান ব্যবহার করা সুবিধাজনক।

শিক্ষার্থীদের জন্য পূর্ণাঙ্গ সারণী

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য

একটি অবিচ্ছেদ্য ধারণা নিয়ে কাজ করার সময়, আমরা অসীম পরিমাণের সাথে কাজ করছি। অখণ্ডটি চিত্রের ক্ষেত্রফল, অসংলগ্ন দেহের ভর, যে দূরত্বে ভ্রমণ করেছে তা গণনা করতে সহায়তা করবে অসম আন্দোলনপথ এবং আরো অনেক কিছু। এটা মনে রাখা উচিত যে একটি অখণ্ড হল অসীম সংখ্যক অসীম পদের সমষ্টি।

উদাহরণ হিসাবে, কিছু ফাংশনের একটি গ্রাফ কল্পনা করুন।

একটি ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়? একটি অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে! এর এটা ভেঙ্গে দেওয়া যাক বাঁকা ট্র্যাপিজয়েড, স্থানাঙ্ক অক্ষ এবং ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা সীমাবদ্ধ, অসীম ছোট অংশে। এইভাবে চিত্রটি পাতলা কলামে বিভক্ত হবে। কলামের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি হবে ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল। তবে মনে রাখবেন যে এই জাতীয় গণনা একটি আনুমানিক ফলাফল দেবে। যাইহোক, অংশগুলি যত ছোট এবং সংকীর্ণ হবে, গণনা তত বেশি সঠিক হবে। যদি আমরা সেগুলিকে এমন পরিমাণে কমিয়ে দেই যে দৈর্ঘ্য শূন্যের দিকে ঝুঁকে যায়, তাহলে অংশগুলির ক্ষেত্রগুলির যোগফল চিত্রের ক্ষেত্রফলের দিকে ঝুঁকবে। এটি একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, যা এই মত লেখা হয়:

বিন্দু a এবং b কে বলা হয় একীকরণের সীমা।

« অখণ্ড »

যাইহোক! আমাদের পাঠকদের জন্য এখন রয়েছে 10% ডিসকাউন্ট যে কোন ধরনের কাজ

ডামিগুলির জন্য পূর্ণাঙ্গ গণনা করার নিয়ম

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য

কিভাবে একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান? এখানে আমরা বৈশিষ্ট্যগুলি দেখব নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, যা উদাহরণ সমাধান করার সময় দরকারী হবে।

• অখণ্ডের ডেরিভেটিভটি ইন্টিগ্র্যান্ডের সমান:

• অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের নীচে থেকে ধ্রুবকটি বের করা যেতে পারে:

• সমষ্টির অখণ্ড সংখ্যা অখণ্ডের সমষ্টির সমান। এটি পার্থক্যের জন্যও সত্য:

একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য

• রৈখিকতা:

• একীকরণের সীমা অদলবদল করা হলে অখণ্ড পরিবর্তনের চিহ্ন:

• এ যেকোনোপয়েন্ট ক, খএবং সঙ্গে:

আমরা ইতিমধ্যে খুঁজে পেয়েছি যে একটি নির্দিষ্ট অখণ্ড হল একটি যোগফলের সীমা। কিন্তু কিভাবে একটি উদাহরণ সমাধান করার সময় একটি নির্দিষ্ট মান পেতে? এই জন্য নিউটন-লাইবনিজ সূত্র আছে:

পূর্ণাঙ্গ সমাধানের উদাহরণ

নীচে আমরা সমাধান সহ অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য এবং উদাহরণগুলি বিবেচনা করব। আমরা আপনাকে সমাধানের জটিলতাগুলি নিজেই খুঁজে বের করার পরামর্শ দিই, এবং যদি কিছু অস্পষ্ট হয় তবে মন্তব্যগুলিতে প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন।

উপাদানটিকে শক্তিশালী করতে, কীভাবে অখণ্ডগুলি অনুশীলনে সমাধান করা হয় সে সম্পর্কে একটি ভিডিও দেখুন। অবিচ্ছেদ্য অবিলম্বে দেওয়া না হলে হতাশ হবেন না। একটি পেশাদারী ছাত্র সেবা যোগাযোগ করুন, এবং কোনো ট্রিপল বা লাইন অবিচ্ছেদ্যএকটি বন্ধ পৃষ্ঠ আপনি এটি করতে সক্ষম হবে.

কিভাবে সুনির্দিষ্ট পূর্ণাঙ্গ সমাধান করতে হয় তা শিখতে আপনার প্রয়োজন:

1) সক্ষম হবেন খুঁজুনঅনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য

2) সক্ষম হও গণনা করানির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডকে আয়ত্ত করার জন্য, আপনার "সাধারণ" অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি সম্পর্কে মোটামুটি ভাল ধারণা থাকতে হবে। অতএব, আপনি যদি সবেমাত্র অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসে ডুব দেওয়া শুরু করেন এবং কেটলিটি এখনও সেদ্ধ না হয় তবে পাঠটি দিয়ে শুরু করা ভাল। অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য। সমাধানের উদাহরণ.

IN সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গিসুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য নিম্নরূপ লেখা হয়:

অনির্দিষ্ট অখণ্ডের তুলনায় কী যোগ করা হয়? আরও একীকরণের সীমা.

একীকরণের নিম্ন সীমা
একীকরণের উচ্চ সীমাপ্রমিতভাবে চিঠি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
সেগমেন্ট বলা হয় একীকরণের সেগমেন্ট.

আমরা ব্যবহারিক উদাহরণে এগিয়ে যাওয়ার আগে, নির্দিষ্ট অখণ্ডের উপর একটু "fucking"।

একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য কি?আমি আপনাকে একটি সেগমেন্টের ব্যাস, অখণ্ড রাশির সীমা ইত্যাদি সম্পর্কে বলতে পারি, কিন্তু পাঠটি একটি ব্যবহারিক প্রকৃতির। অতএব, আমি বলব যে একটি নির্দিষ্ট অখণ্ড হল একটি NUMBER৷ হ্যাঁ, হ্যাঁ, সবচেয়ে সাধারণ সংখ্যা।

নির্দিষ্ট অখণ্ডের কি জ্যামিতিক অর্থ আছে?খাও। এবং খুব ভাল. সবচেয়ে জনপ্রিয় কাজ হয় একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে এলাকা গণনা করা.

একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করার অর্থ কী?একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করা মানে একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা।

কিভাবে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান?স্কুল থেকে পরিচিত নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করে:

একটি পৃথক কাগজে ফর্মুলাটি পুনরায় লেখা ভাল; পুরো পাঠ জুড়ে এটি আপনার চোখের সামনে থাকা উচিত।

একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধানের পদক্ষেপগুলি নিম্নরূপ:

1) প্রথমে আমরা খুঁজে পাই অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন(অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য)। উল্লেখ্য যে নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য মধ্যে ধ্রুবক যোগ করা হয় না. উপাধিটি সম্পূর্ণরূপে প্রযুক্তিগত, এবং উল্লম্ব লাঠি কোন গাণিতিক অর্থ বহন করে না, এটি কেবল একটি চিহ্ন; কেন রেকর্ডিং নিজেই প্রয়োজন? নিউটন-লাইবনিজ সূত্র প্রয়োগের প্রস্তুতি।

2) অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনে উপরের সীমার মান প্রতিস্থাপন করুন: .

3) অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনে নিম্ন সীমার মান প্রতিস্থাপন করুন: .

4) আমরা গণনা করি (ত্রুটি ছাড়াই!) পার্থক্য, অর্থাৎ আমরা সংখ্যাটি খুঁজে পাই।

একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সবসময় বিদ্যমান?না, সবসময় নয়।

উদাহরণ স্বরূপ, ইন্টিগ্রেলের অস্তিত্ব নেই, যেহেতু ইন্টিগ্রেন্ডের সেগমেন্টটি ইন্টিগ্র্যান্ডের সংজ্ঞার ডোমেনে অন্তর্ভুক্ত নয় (এর অধীনে মানগুলি বর্গমূলনেতিবাচক হতে পারে না)। এখানে একটি কম সুস্পষ্ট উদাহরণ: . এই ধরনের একটি অখণ্ডেরও অস্তিত্ব নেই, যেহেতু সেগমেন্টের বিন্দুতে কোনো স্পর্শক নেই। যাইহোক, কে এখনও এটি পড়েনি? পদ্ধতিগত উপাদান গ্রাফ এবং প্রাথমিক ফাংশনের মৌলিক বৈশিষ্ট্য- এটা করার সময় এখন। উচ্চতর গণিতের পুরো কোর্স জুড়ে এটি সাহায্য করার জন্য দুর্দান্ত হবে।

একটি সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য অস্তিত্বের জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশনটি ইন্টিগ্রেশনের ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন থাকবে।

উপরোক্ত থেকে, প্রথম গুরুত্বপূর্ণ সুপারিশটি অনুসরণ করা হয়েছে: আপনি যেকোন নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল সমাধান করা শুরু করার আগে, আপনাকে নিশ্চিত করতে হবে যে ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন একীকরণের ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন. যখন আমি একজন ছাত্র ছিলাম, তখন আমার বারবার একটি ঘটনা ঘটেছিল যখন আমি একটি কঠিন অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য দীর্ঘ সময় ধরে সংগ্রাম করেছি এবং অবশেষে যখন আমি এটি খুঁজে পেয়েছি, তখন আমি আমার মস্তিষ্ককে অন্য একটি প্রশ্নে তাক করেছিলাম: "এটি কী ধরণের বাজে কথা হয়ে উঠল? ?" একটি সরলীকৃত সংস্করণে, পরিস্থিতিটি এরকম কিছু দেখায়:

???!!!

আপনি মূলের নিচে ঋণাত্মক সংখ্যা প্রতিস্থাপন করতে পারবেন না!

যদি সমাধান করতে হয় (in পরীক্ষা কাজ, একটি পরীক্ষা, পরীক্ষায়) আপনাকে একটি অস্তিত্বহীন অবিচ্ছেদ্য মত দেওয়া হয়

তারপর আপনাকে একটি উত্তর দিতে হবে যে অবিচ্ছেদ্য অস্তিত্ব নেই এবং কেন ন্যায্যতা।

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমান হতে পারে? ঋণাত্মক সংখ্যা? হতে পারে। এবং একটি নেতিবাচক সংখ্যা। এবং শূন্য। এটি এমনকি অসীম হতে পারে, কিন্তু এটি ইতিমধ্যেই হবে অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য, যা একটি পৃথক বক্তৃতা দেওয়া হয়.

একীকরণের নিম্ন সীমা কি একীকরণের উপরের সীমার চেয়ে বেশি হতে পারে?সম্ভবত এই পরিস্থিতি বাস্তবে ঘটে।

- নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করে অখণ্ডটি সহজেই গণনা করা যেতে পারে।

উচ্চতর গণিত কি অপরিহার্য? অবশ্যই, সমস্ত ধরণের বৈশিষ্ট্য ছাড়াই। অতএব, আসুন আমরা নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য কিছু বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করি।

একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যভাবে, আপনি চিহ্ন পরিবর্তন করে উপরের এবং নিম্ন সীমাগুলিকে পুনরায় সাজাতে পারেন:

উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালে, ইন্টিগ্রেশনের আগে, ইন্টিগ্রেশনের সীমা "স্বাভাবিক" অর্ডারে পরিবর্তন করার পরামর্শ দেওয়া হয়:

- এই ফর্মে এটি সংহত করা অনেক বেশি সুবিধাজনক।

অনির্দিষ্ট অখণ্ডের মতো, নির্দিষ্ট অখণ্ডের রৈখিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

- এটি শুধুমাত্র দুটির জন্য নয়, যেকোন সংখ্যক ফাংশনের জন্যও সত্য।

একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য মধ্যে এক বহন করতে পারেন ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবলের প্রতিস্থাপন, তবে, অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যের তুলনায়, এর নিজস্ব সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা আমরা পরে কথা বলব।

একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য জন্য নিম্নলিখিত সত্য ধারণ করে: অংশ সূত্র দ্বারা একীকরণ:

উদাহরণ 1

সমাধান:

(1) আমরা অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন থেকে ধ্রুবককে বের করি।

(2) সবচেয়ে জনপ্রিয় সূত্র ব্যবহার করে টেবিলে একীভূত করুন . উদীয়মান ধ্রুবকটিকে থেকে আলাদা করে বন্ধনীর বাইরে রাখার পরামর্শ দেওয়া হয়। এটি করার প্রয়োজন নেই, তবে এটি বাঞ্ছনীয় - বাড়তি হিসেব কেন?

(3) আমরা নিউটন-লাইবনিজ সূত্র ব্যবহার করি

.

প্রথমে আমরা উপরের সীমা প্রতিস্থাপন করি, তারপর নিম্ন সীমা। আমরা আরও গণনা করি এবং চূড়ান্ত উত্তর পাই।

উদাহরণ 2

সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ, সমাধান এবং উত্তর পাঠের শেষে রয়েছে।

আসুন কাজটি একটু জটিল করি:

উদাহরণ 3

সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন

সমাধান:

(1) আমরা নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের রৈখিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি।

(2) আমরা সমস্ত ধ্রুবক বের করার সময় টেবিল অনুসারে একীভূত করি - তারা উপরের এবং নিম্ন সীমার প্রতিস্থাপনে অংশগ্রহণ করবে না।

(3) তিনটি পদের প্রতিটির জন্য আমরা নিউটন-লাইবনিজ সূত্র প্রয়োগ করি:

সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য মধ্যে দুর্বল লিঙ্ক হল গণনার ত্রুটি এবং চিহ্নগুলিতে সাধারণ বিভ্রান্তি। সাবধান! আমি তৃতীয় মেয়াদে বিশেষ মনোযোগ দিচ্ছি:

- অসাবধানতার কারণে ত্রুটির হিট প্যারেডে প্রথম স্থান, প্রায়শই তারা স্বয়ংক্রিয়ভাবে লিখে

(বিশেষ করে যখন উপরের এবং নিম্ন সীমার প্রতিস্থাপন মৌখিকভাবে করা হয় এবং এই ধরনের বিস্তারিতভাবে লেখা হয় না)। আবার, সাবধানে উপরের উদাহরণ অধ্যয়ন.

এটি লক্ষ করা উচিত যে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধানের বিবেচিত পদ্ধতিটি একমাত্র নয়। কিছু অভিজ্ঞতার সাথে, সমাধানটি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আমি নিজে এই ধরনের অবিচ্ছেদ্য সমাধান করতে অভ্যস্ত:

এখানে আমি মৌখিকভাবে রৈখিকতার নিয়ম ব্যবহার করেছি এবং টেবিল ব্যবহার করে মৌখিকভাবে একত্রিত করেছি। আমি সীমা চিহ্নিত করে মাত্র একটি বন্ধনী দিয়ে শেষ করেছি:

(প্রথম পদ্ধতিতে তিনটি বন্ধনীর বিপরীতে)। এবং "পুরো" অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনে, আমি প্রথমে 4 প্রতিস্থাপন করেছি, তারপর -2, আবার আমার মনের সমস্ত ক্রিয়া সম্পাদন করছি।

সংক্ষিপ্ত সমাধানের অসুবিধাগুলি কী কী? গণনার যৌক্তিকতার দৃষ্টিকোণ থেকে এখানে সবকিছু খুব ভাল নয়, তবে ব্যক্তিগতভাবে আমি পাত্তা দিই না - সাধারণ ভগ্নাংশআমি একটি ক্যালকুলেটর গণনা.
এছাড়াও, গণনায় ত্রুটি হওয়ার ঝুঁকি রয়েছে, তাই একজন চা শিক্ষার্থীর সমাধানের "আমার" পদ্ধতির সাথে প্রথম পদ্ধতিটি ব্যবহার করা ভাল, চিহ্নটি অবশ্যই কোথাও হারিয়ে যাবে।

দ্বিতীয় পদ্ধতির নিঃসন্দেহে সুবিধাগুলি হল সমাধানের গতি, স্বরলিপির সংক্ষিপ্ততা এবং সত্য যে অ্যান্টিডেরিভেটিভ

একটি বন্ধনী আছে.

>> >> >> ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি

মৌলিক একীকরণ পদ্ধতি

অখণ্ডের সংজ্ঞা, সুনির্দিষ্ট এবং অনির্দিষ্ট, অখণ্ডের সারণী, নিউটন-লাইবনিজ সূত্র, অংশ দ্বারা একীকরণ, অখণ্ড গণনার উদাহরণ।

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য

ধরা যাক u = f(x) এবং v = g(x) ফাংশন যাতে একটানা থাকে। তারপর কাজ অনুযায়ী,

d(uv))= udv + vdu বা udv = d(uv) - vdu.

d(uv) অভিব্যক্তির জন্য, অ্যান্টিডেরিভেটিভ স্পষ্টতই uv হবে, তাই সূত্রটি ধারণ করে:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

এই সূত্রটি নিয়ম প্রকাশ করে অংশ দ্বারা একীকরণ. এটি udv=uv"dx এক্সপ্রেশনের ইন্টিগ্রেশনকে vdu=vu"dx এক্সপ্রেশনের ইন্টিগ্রেশনে নিয়ে যায়।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি ∫xcosx dx খুঁজতে চান। u = x, dv = cosxdx, তাই du=dx, v=sinx রাখি। তারপর

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C।

ভেরিয়েবলের প্রতিস্থাপনের চেয়ে অংশ দ্বারা একীকরণের নিয়মের আরও সীমিত সুযোগ রয়েছে। কিন্তু অখণ্ডের সম্পূর্ণ শ্রেণী রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax এবং অন্যান্য, যেগুলি অংশ দ্বারা সংহতকরণ ব্যবহার করে সঠিকভাবে গণনা করা হয়।

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য

ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি, একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ধারণা নিম্নরূপ প্রবর্তিত হয়. একটি ফাংশন f(x) একটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা যাক। আসুন আমরা সেগমেন্ট [a,b] কে n অংশে বিন্দু a= x 0 দিয়ে ভাগ করি< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1। f(ξ i)Δ x i ফর্মের একটি সমষ্টিকে একটি অখণ্ড সমষ্টি বলা হয় এবং এর সীমা λ = maxΔx i → 0, যদি এটি বিদ্যমান থাকে এবং সসীম হয়, তাকে বলা হয় নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যফাংশন f(x) a থেকে b এবং চিহ্নিত করা হয়:

F(ξ i)Δx i (8.5)।

এই ক্ষেত্রে ফাংশন f(x) বলা হয় ব্যবধানে অখণ্ডনীয়, সংখ্যা a এবং b বলা হয় অবিচ্ছেদ্য নিম্ন এবং উপরের সীমা.

ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতিনিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য আছে:

শেষ সম্পত্তি বলা হয় গড় মান উপপাদ্য.

f(x) একটানা অন হতে দিন। তারপর এই সেগমেন্টে একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য আছে

∫f(x)dx = F(x) + C

এবং সঞ্চালিত হয় নিউটন-লাইবনিজ সূত্র, অনির্দিষ্ট অখণ্ডের সাথে নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সংযোগ করা:

F(b)- F(a)। (৮.৬)

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা: উপরে থেকে বক্ররেখা y=f(x), সরলরেখা x = a এবং x = b এবং Ox অক্ষের একটি অংশ দ্বারা আবদ্ধ একটি বক্ররেখার ট্রাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলকে প্রতিনিধিত্ব করে।

অনুপযুক্ত ইন্টিগ্রেল

অসীম সীমা সহ অখণ্ড এবং বিচ্ছিন্ন (সীমাহীন) ফাংশনের অখণ্ডগুলিকে অনুপযুক্ত বলা হয়। প্রথম ধরনের অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য -এগুলি একটি অসীম ব্যবধানে অবিচ্ছেদ্য, নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত:

(8.7)

যদি এই সীমাটি বিদ্যমান থাকে এবং সসীম হয়, তবে এটিকে [a,+ ∞) ব্যবধানে f(x) এর একটি অভিসারী অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য বলা হয় এবং অসীম ব্যবধানে f(x) ফাংশনটিকে অখণ্ডনীয় বলা হয় [a,+ ∞ ) অন্যথায়, অবিচ্ছেদ্য অস্তিত্ব নেই বা বিচ্যুত বলা হয়.

ব্যবধানে অনুপযুক্ত পূর্ণাঙ্গ (-∞,b] এবং (-∞, + ∞) একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

আসুন একটি সীমাহীন ফাংশনের একটি অবিচ্ছেদ্য ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করি। যদি f(x) বিন্দু c ব্যতীত সেগমেন্টের x সকল মানের জন্য অবিচ্ছিন্ন থাকে, যেখানে f(x) একটি অসীম বিচ্ছিন্নতা থাকে, তাহলে দ্বিতীয় ধরনের অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য f(x) ক থেকে খ পর্যন্তপরিমাণ বলা হয়:

যদি এই সীমাগুলি বিদ্যমান থাকে এবং সসীম হয়। পদবী:

অবিচ্ছেদ্য গণনার উদাহরণ

উদাহরণ 3.30।∫dx/(x+2) গণনা করুন।

সমাধান। t = x+2, তারপর dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +গ.

উদাহরণ 3.31. ∫ tgxdx খুঁজুন।

সমাধান: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx। ধরুন t=cosx, তারপর ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

উদাহরণ3.32 . ∫dx/sinx খুঁজুন

উদাহরণ3.33. খুঁজুন

সমাধান। =

.

উদাহরণ3.34 . ∫arctgxdx খুঁজুন।

সমাধান। এর অংশ দ্বারা সংহত করা যাক. u=arctgx, dv=dx বোঝাই। তারপর du = dx/(x 2 +1), v=x, যেখান থেকে ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; কারণ
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C।

উদাহরণ3.35 . ∫lnxdx গণনা করুন।

সমাধান।অংশ সূত্র দ্বারা একীকরণ প্রয়োগ, আমরা প্রাপ্ত:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x। তারপর ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C।

উদাহরণ3.36 . ∫e x sinxdx গণনা করুন।

সমাধান। পার্টস সূত্র দ্বারা ইন্টিগ্রেশন প্রয়োগ করা যাক। u = e x, dv = sinxdx, তারপর du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx বোঝাই।
∫e x cosxdx অংশ দ্বারাও একত্রিত হয়: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx। আমাদের আছে:

উদাহরণ 3.37. ∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx। আমরা ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx সম্পর্ক পেয়েছি, যেখান থেকে 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C।

J = ∫cos(lnx)dx/x গণনা করুন।

উদাহরণ 3.38 সমাধান: যেহেতু dx/x = dlnx, তারপর J= ∫cos(lnx)d(lnx)। t এর মাধ্যমে lnx প্রতিস্থাপন করে, আমরা টেবিলে পৌঁছাই integral J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C।

. J = গণনা করুন। .

উদাহরণ 3.39 সমাধান। বিবেচনা করে = d(lnx), আমরা lnx = t প্রতিস্থাপন করি। তারপর J = .

. J = গণনা করুন সমাধান। আমাদের আছে: =

. সেজন্য

কি জন্য integrals হয়? নিজের জন্য এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করুন।

• পূর্ণাঙ্গ বিষয় ব্যাখ্যা করার সময়, শিক্ষকরা প্রয়োগের ক্ষেত্রগুলি তালিকাভুক্ত করেন যেগুলি স্কুলের মনের জন্য খুব কমই কাজে লাগে। তাদের মধ্যে:
• একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করা।
• অসম ঘনত্ব সহ শরীরের ভর গণনা।
• পরিবর্তনশীল গতিতে চলার সময় ভ্রমণ করা দূরত্ব নির্ধারণ করা।

ইত্যাদি

এই সমস্ত প্রক্রিয়াগুলিকে সংযুক্ত করা সবসময় সম্ভব হয় না, তাই অনেক শিক্ষার্থী বিভ্রান্ত হয়ে পড়ে, এমনকি যদি তাদের অখণ্ডকে বোঝার জন্য সমস্ত প্রাথমিক জ্ঞান থাকে।অজ্ঞতার প্রধান কারণ

- অখণ্ডের ব্যবহারিক তাত্পর্য বোঝার অভাব।

অবিচ্ছেদ্য - এটা কি?পূর্বশর্ত

. প্রাচীন গ্রীসে একীকরণের প্রয়োজনীয়তা দেখা দেয়। সেই সময়ে, আর্কিমিডিস একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য আধুনিক ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের মতো পদ্ধতি ব্যবহার করতে শুরু করেছিলেন। তখন অসম পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রফল নির্ধারণের প্রধান পদ্ধতি ছিল "এক্সাউশন মেথড", যা বোঝা বেশ সহজ।পদ্ধতির সারমর্ম

. অন্যান্য পরিসংখ্যানগুলির একটি একঘেয়ে ক্রম এই চিত্রের সাথে ফিট করে এবং তারপরে তাদের ক্ষেত্রগুলির অনুক্রমের সীমা গণনা করা হয়। এই সীমাটি এই চিত্রের ক্ষেত্র হিসাবে নেওয়া হয়েছিল। এই পদ্ধতিটি সহজেই অখণ্ড ক্যালকুলাসের ধারণাটি সনাক্ত করে, যা একটি অসীম যোগফলের সীমা খুঁজে বের করা। এই ধারণাটি পরে বিজ্ঞানীরা সমাধানের জন্য ব্যবহার করেছিলেনমহাকাশবিদ্যা, অর্থনীতি, মেকানিক্স, ইত্যাদি

আধুনিক অবিচ্ছেদ্য. একীকরণের শাস্ত্রীয় তত্ত্ব নিউটন এবং লাইবনিজ দ্বারা সাধারণ আকারে প্রণয়ন করা হয়েছিল। এটি ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের তৎকালীন বিদ্যমান আইনের উপর নির্ভর করে। এটি বোঝার জন্য, আপনার কিছু মৌলিক জ্ঞান থাকতে হবে যা আপনাকে গাণিতিক ভাষা ব্যবহার করে পূর্ণাঙ্গ সম্পর্কে চাক্ষুষ এবং স্বজ্ঞাত ধারণাগুলি বর্ণনা করতে সাহায্য করবে।

আমরা "অখণ্ড" ধারণাটি ব্যাখ্যা করি

ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় পার্থক্য, এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা - ইন্টিগ্রেশন.

অখণ্ড গাণিতিক ভাষা– এটি ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ (ডেরিভেটিভের আগে কী ছিল) + ধ্রুবক "C"।

অখণ্ড সহজ কথায়একটি বক্র চিত্রের ক্ষেত্র। অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমগ্র এলাকা। নির্দিষ্ট অখণ্ড হল একটি নির্দিষ্ট এলাকার ক্ষেত্রফল।

অবিচ্ছেদ্য এই মত লেখা হয়:

প্রতিটি ইন্টিগ্র্যান্ড "dx" উপাদান দ্বারা গুণিত হয়। এটি দেখায় কোন পরিবর্তনশীলের উপর ইন্টিগ্রেশন করা হচ্ছে। "dx" হল আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি। X এর পরিবর্তে অন্য কোন যুক্তি থাকতে পারে, উদাহরণস্বরূপ t (সময়)।

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য

একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ইন্টিগ্রেশনের কোন সীমা নেই।

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করতে, ইন্টিগ্র্যান্ডের অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা এবং এতে "সি" যোগ করা যথেষ্ট।

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য

একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডে, সীমাবদ্ধতা "a" এবং "b" একীকরণ চিহ্নে লেখা হয়। এগুলি নীচের গ্রাফে X-অক্ষে নির্দেশিত হয়েছে।

একটি সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে, আপনাকে অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে, এতে "a" এবং "b" মানগুলি প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং পার্থক্যটি খুঁজে বের করতে হবে। গণিতে একে বলে নিউটন-লাইবনিজ সূত্র:

শিক্ষার্থীদের জন্য অখণ্ডের সারণী (মৌলিক সূত্র)

অবিচ্ছেদ্য সূত্র ডাউনলোড করুন, তারা আপনার জন্য দরকারী হবে

কিভাবে সঠিকভাবে পূর্ণাঙ্গ গণনা করা যায়

পূর্ণাঙ্গ রূপান্তর করার জন্য বেশ কয়েকটি সহজ ক্রিয়াকলাপ রয়েছে। এখানে প্রধান হল:

অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের নীচে থেকে একটি ধ্রুবক অপসারণ করা হচ্ছে

একটি সমষ্টির অখণ্ডের যোগফলের মধ্যে পচন

আপনি a এবং b অদলবদল করলে, চিহ্নটি পরিবর্তন হবে

আপনি নিম্নরূপ বিরতিতে অবিচ্ছেদ্য বিভক্ত করতে পারেন:

এগুলি হল সবচেয়ে সহজ বৈশিষ্ট্য, যার ভিত্তিতে পরবর্তীতে ক্যালকুলাসের আরও জটিল উপপাদ্য এবং পদ্ধতিগুলি প্রণয়ন করা হবে।

অবিচ্ছেদ্য গণনার উদাহরণ

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান

সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করা

বিষয় বোঝার জন্য মৌলিক ধারণা

যাতে আপনি একীকরণের সারমর্ম বুঝতে পারেন এবং ভুল বোঝাবুঝি থেকে পৃষ্ঠাটি বন্ধ না করেন, আমরা বেশ কয়েকটি মৌলিক ধারণা ব্যাখ্যা করব। একটি ফাংশন, ডেরিভেটিভ, লিমিট এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভ কি?

ফাংশন- একটি নিয়ম যা অনুসারে এক সেটের সমস্ত উপাদান অন্য সেটের সমস্ত উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত।

ডেরিভেটিভ- একটি ফাংশন যা প্রতিটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে অন্য ফাংশনের পরিবর্তনের হার বর্ণনা করে। কঠোর ভাষায়, এটি একটি ফাংশনের বৃদ্ধির সাথে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা। এটি ম্যানুয়ালি গণনা করা হয়, তবে একটি ডেরিভেটিভ টেবিল ব্যবহার করা সহজ, যাতে বেশিরভাগ স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন থাকে।

বৃদ্ধি- যুক্তিতে কিছু পরিবর্তনের সাথে ফাংশনে একটি পরিমাণগত পরিবর্তন।

সীমা– যে মানটির দিকে ফাংশনের মান থাকে যখন আর্গুমেন্ট একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে থাকে।

একটি সীমার উদাহরণ: ধরা যাক X যদি 1 এর সমান হয়, Y হবে 2 এর সমান। কিন্তু X যদি 1 এর সমান না হয় তবে 1 এর দিকে থাকে, অর্থাৎ এটি কখনই পৌঁছায় না? এই ক্ষেত্রে, y কখনই 2 এ পৌঁছাবে না, তবে শুধুমাত্র এই মানটির দিকে ঝোঁক থাকবে। গাণিতিক ভাষায় এটি এইভাবে লেখা হয়: limY(X), X –> 1 = 2 এর জন্য। এতে লেখা হয়: ফাংশনের Y(X), 1-এর প্রবণতার জন্য, 2 এর সমান।

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, একটি ডেরিভেটিভ হল একটি ফাংশন যা অন্য ফাংশনকে বর্ণনা করে। মূল ফাংশনটি অন্য কোন ফাংশনের ডেরিভেটিভ হতে পারে। এই অন্য ফাংশন বলা হয় অ্যান্টিডেরিভেটিভ.

উপসংহার

অবিচ্ছেদ্যগুলি খুঁজে পাওয়া কঠিন নয়। আপনি যদি বুঝতে না পারেন কিভাবে এটি করবেন, . দ্বিতীয়বার এটি পরিষ্কার হয়ে যায়। মনে রাখবেন! integrals সমাধান করা integrand এর সরল রূপান্তর এবং এর মধ্যে এটি অনুসন্ধানে নেমে আসে।

যদি পাঠ্যের ব্যাখ্যাটি আপনার পক্ষে উপযুক্ত না হয় তবে অবিচ্ছেদ্য এবং ডেরিভেটিভের অর্থ সম্পর্কে ভিডিওটি দেখুন:

ইন্টিগ্রেল - তারা কি, কিভাবে সমাধান করতে হয়, সমাধানের উদাহরণ এবং ডামিগুলির জন্য ব্যাখ্যাআপডেট: নভেম্বর 22, 2019 দ্বারা: বৈজ্ঞানিক প্রবন্ধ.রু

বিজ্ঞানে অখণ্ড সমাধানের প্রক্রিয়াকে গণিত বলে ইন্টিগ্রেশন বলে। ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে আমরা কিছু খুঁজে পেতে পারি শারীরিক পরিমাণ: এলাকা, আয়তন, দেহের ভর এবং আরও অনেক কিছু।

ইন্টিগ্রেলগুলি অনির্দিষ্ট বা নির্দিষ্ট হতে পারে। আসুন একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ফর্ম বিবেচনা করুন এবং এটি বোঝার চেষ্টা করুন শারীরিক অর্থ. এটি এই ফর্মে উপস্থাপন করা হয়: $$ \int ^a _b f(x) dx $$। স্বাতন্ত্র্যসূচক বৈশিষ্ট্যএকটি অনির্দিষ্ট অখণ্ডের একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য লেখা হল যে a এবং b এর একীকরণের সীমা রয়েছে। এখন আমরা খুঁজে বের করব কেন তাদের প্রয়োজন, এবং একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য আসলে কী বোঝায়। IN জ্যামিতিক ইন্দ্রিয়যেমন একটি অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্রফলের সমানবক্ররেখা f(x), রেখা a এবং b, এবং Ox অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ একটি চিত্র।

চিত্র 1 থেকে এটা স্পষ্ট যে নির্দিষ্ট অখণ্ড হল একই এলাকা যা ধূসর রঙের ছায়াযুক্ত। একটি সহজ উদাহরণ দিয়ে এটি পরীক্ষা করা যাক। আসুন ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে নীচের ছবিতে চিত্রটির ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করি, এবং তারপর প্রস্থ দ্বারা দৈর্ঘ্যকে গুণ করার স্বাভাবিক উপায়ে এটি গণনা করি।

চিত্র 2 থেকে এটা স্পষ্ট যে $y=f(x)=3 $, $a=1, b=2$। এখন আমরা সেগুলোকে অখণ্ডের সংজ্ঞায় প্রতিস্থাপন করি, আমরা পাই যে $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ চলুন স্বাভাবিক পদ্ধতিতে পরীক্ষা করা যাক। আমাদের ক্ষেত্রে, দৈর্ঘ্য = 3, চিত্রের প্রস্থ = 1। $$ S = \text(দৈর্ঘ্য) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ আপনি যেভাবে পারেন দেখুন, সবকিছু পুরোপুরি ফিট করে।

প্রশ্ন উঠেছে: কীভাবে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করবেন এবং তাদের অর্থ কী? এই ধরনের ইন্টিগ্রেলগুলি সমাধান করা হল অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনগুলি খুঁজে বের করা। এই প্রক্রিয়াটি ডেরিভেটিভ খোঁজার বিপরীত। অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়ার জন্য, আপনি গণিতে সমস্যা সমাধানে আমাদের সহায়তা ব্যবহার করতে পারেন, অথবা আপনাকে স্বাধীনভাবে অখণ্ডের বৈশিষ্ট্যগুলি এবং সহজতম প্রাথমিক ফাংশনগুলির একীকরণের টেবিলটি মুখস্থ করতে হবে। এটি খুঁজে বের করলে মনে হচ্ছে $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(যেখানে) F(x) $ হল $f(x), C = const $ এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ।

ইন্টিগ্রাল সমাধান করার জন্য, আপনাকে একটি ভেরিয়েবলের উপর $f(x)$ ফাংশনটি সংহত করতে হবে। যদি ফাংশনটি ট্যাবুলার হয়, তবে উত্তরটি উপযুক্ত আকারে লেখা হয়। যদি তা না হয়, তবে প্রক্রিয়াটি প্রাপ্তিতে নেমে আসে টেবিল ফাংশনফাংশন $f(x)$ থেকে কঠিন গাণিতিক রূপান্তরের মাধ্যমে। এই জন্য আছে বিভিন্ন পদ্ধতিএবং বৈশিষ্ট্য যা আমরা আরও বিবেচনা করব।

তাহলে, এখন আসুন ডামিগুলির জন্য অবিচ্ছেদ্য সমাধানের জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করি?

পূর্ণাঙ্গ গণনার জন্য অ্যালগরিদম

1. চলুন জেনে নেওয়া যাক সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য কি না।
2. যদি অনির্ধারিত হয়, তাহলে আপনাকে গাণিতিক রূপান্তর ব্যবহার করে integrand $ f(x) $ এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন খুঁজে বের করতে হবে $f(x)$ ফাংশনের একটি সারণী ফর্মের দিকে নিয়ে যায়।
3. যদি সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাহলে আপনাকে ধাপ 2 সম্পাদন করতে হবে, এবং তারপর $a $ এবং $b$ সীমাগুলিকে অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন $ F(x) $ এ প্রতিস্থাপন করতে হবে। আপনি "নিউটন-লাইবনিজ সূত্র" নিবন্ধে এটি কী করতে হবে তা জানতে পারবেন।

সমাধানের উদাহরণ

সুতরাং, আপনি শিখেছেন কিভাবে ডামিগুলির জন্য পূর্ণাঙ্গ সমাধান করতে হয়, অখণ্ড সমাধানের উদাহরণগুলি সাজানো হয়েছে। আমরা তাদের শারীরিক এবং জ্যামিতিক অর্থ শিখেছি। সমাধান পদ্ধতি অন্যান্য নিবন্ধে বর্ণনা করা হবে.