লেকচার 5। গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য

5. 1. শক্তির কাজ

ফোর্স মে - সিস্টেমের সমস্ত শক্তির ফলাফল, P বিন্দুতে প্রয়োগ করা হয়, এবং ( dx, dy, dz) – বিন্দু P এর প্রাথমিক গতিপথ P 1 P 2 বরাবর (চিত্র 5.1)। প্রাথমিক কাজ dকবলগুলিকে স্কেলার পণ্য বলা হয়

প্রাথমিক কাজ একটি স্কেলার পরিমাণ। যদি বল এবং স্থানচ্যুতির দিকের মধ্যে কোণ হয়, তাহলে অভিব্যক্তি (5.1) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

প্রাথমিক স্থানচ্যুতির দিকের (বা বিন্দু বেগের দিক) দিকে শক্তির অভিক্ষেপ কোথায়।

প্রাথমিক কাজের চিহ্ন ফাংশনের চিহ্নের উপর নির্ভর করে। যদি - তীব্র কোণ, তারপর, যদি একটি স্থূলকোণ হয়, তাহলে , যদি , তাহলে।

বিন্দু যাক আরঅবস্থান থেকে অবস্থানে একটি চূড়ান্ত আন্দোলন করে, একটি চাপ বর্ণনা করে। এর মধ্যে চাপা বিভক্ত করা যাক nনির্বিচারে ছোট বিভাগ, সংখ্যা সহ বিভাগের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে kমাধ্যমে তারপর জোর করে প্রাথমিক কাজ k- বিভাগ সমান হবে, এবং সমস্ত উপায় থেকে - পৃথক বিভাগে কাজের পরিমাণ

আমরা সীমা সরানোর দ্বারা কাজের সঠিক মান প্রাপ্ত, যে বিভাগ সংখ্যা nঅনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায়, এবং প্রতিটি বিভাগের দৈর্ঘ্য হ্রাস পায়:

.

এই ধরনের একটি সীমা একটি চাপ বরাবর প্রথম ধরনের একটি বক্ররেখা অবিচ্ছেদ্য বলা হয় এবং নিম্নরূপ লেখা হয়

. (5.3)

একীকরণের ফলাফল হল সম্পূর্ণ কাজ কশক্তি চপথ বরাবর বিবেচিত সীমিত স্থানচ্যুতিতে।

5. 1. 1. মহাকর্ষের কাজ

যাক মি - বিন্দু ভর, g- ত্বরণ বিনামূল্যে পতন. তারপর

সূত্র (5.1) এবং (5.3) ব্যবহার করে কাজ গণনা করা, আমাদের আছে

বিন্দুর অবতারণের উচ্চতা কোথায়।

যখন বিন্দু বেড়ে যায়, তাই, .

5. 1. 2. রৈখিক ইলাস্টিক বলের কাজ

উপাদান পয়েন্ট যাক আরঅক্ষ বরাবর চলে ওহ(চিত্র 5.3) বসন্তের কর্মের অধীনে যা এটি সংযুক্ত। যদি এ , , তারপর বসন্ত বিকৃত হয় এবং বিন্দুর ছোট বিচ্যুতির জন্য আমরা অনুমান করতে পারি যে বসন্তের দিক থেকে এটিতে একটি ইলাস্টিক বল প্রয়োগ করা হয়েছে। তারপর স্থানচ্যুতির উপর ইলাস্টিক বলের কাজ x 0 x 1 সমান হবে

. (5.5)

স্থিতিস্থাপক বলের কাজ দৃঢ়তা সহগের অর্ধেক গুণফলের সমান এবং স্প্রিং এর প্রারম্ভিক এবং চূড়ান্ত প্রসারণের (বা কম্প্রেশন) বর্গক্ষেত্রের মধ্যে পার্থক্য।

5. 1. 3. একটি কঠিন শরীরে প্রয়োগ করা বাহিনীর প্রাথমিক কাজ

এর একটি সমতলে একটি শরীরের গতি বিবেচনা করা যাক. যাক সম্পর্কে- একটি কঠিন শরীরের উপর নির্বিচারে নির্বাচিত বিন্দু (চিত্র 5.4)। একে মেরু বলি। তারপরে একটি সমতলে একটি শরীরের গতিকে সরলতমের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: মেরু এবং মেরুটির চারপাশে শরীরের ঘূর্ণন সহ অনুবাদমূলক গতি। তারপরে, স্থির স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সাপেক্ষে বিন্দুর গতি দুটি গতির জ্যামিতিক যোগফল হিসাবে নির্ধারিত হবে

মেরুটির গতি কোথায়, এটি অনমনীয় দেহের কৌণিক বেগের ভেক্টর, অয়লার গতি, অর্থাৎ মেরুটির চারপাশে ঘোরার সময় বিন্দুর গতি।

আমরা একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের সমন্বয়ে গঠিত একটি কঠিন শরীরকে উপস্থাপন করব এনপৃথক পয়েন্ট, যার মধ্যে পারস্পরিক দূরত্ব পরিবর্তন হয় না।

আসুন বলের প্রভাবে একটি বিন্দুর স্থানচ্যুতি গণনা করি:

তারপর

প্রাথমিক কাজ, (5.1) অনুযায়ী নিম্নরূপ লেখা হবে

ভেক্টরের মিশ্র পণ্যের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা , আমরা ফর্মের শেষ অভিব্যক্তিটি পুনরায় লিখি

সমস্ত শক্তি, বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ (চিত্র 5.4) এর ফলাফল হতে দিন, শরীরের একটি বিন্দুতে প্রয়োগ করা হয়, অর্থাৎ

.

তারপর (a) এভাবে লেখা হবে

(3.1 এবং 3.2) অনুসারে, প্রধান ভেক্টর এবং প্রধান পয়েন্ট অভ্যন্তরীণ শক্তিসিস্টেম শূন্য সমান, আমরা পেতে

এখানে: - প্রধান ভেক্টর, - বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত বাহ্যিক শক্তির প্রধান মুহূর্ত সম্পর্কে.

বিশেষ ক্ষেত্রে

ক. একটি অনমনীয় শরীরের অনুবাদমূলক গতি. শরীরের সমস্ত বিন্দুর একই স্থানচ্যুতি রয়েছে (চিত্র 5.5, ক) মাত্রা এবং দিক উভয় ক্ষেত্রে, তারপর, (5.6) থেকে, আমরা (এখানে):

. (5.7)

খ. চারপাশে একটি অনমনীয় শরীর ঘোরানো স্থির অক্ষ . অক্ষ যাক zমেরু দিয়ে যায় সম্পর্কে(চিত্র 5.5 খ)। তারপর,; (5.6) থেকে আমরা পাই

. (5.8)

উদাহরণ।কুণ্ডলী ভর মিএবং ব্যাসার্ধ আরঅবিরাম শক্তি দ্বারা চালিত চবিন্দুতে প্রয়োগ করা হয়েছে ক(চিত্র 5.6)। রুক্ষ পৃষ্ঠে পিছলে না গিয়ে রিলটি ডানদিকে গড়িয়ে যায়।

সমস্ত বাহ্যিক শক্তির কাজ গণনা করুন যদি কয়েলের কেন্দ্রটি দূরত্বে চলে যায়, - ঘূর্ণায়মান ঘর্ষণ সহগ, - ঘর্ষণ বল, r - কয়েল কোরের ব্যাসার্ধ যেখানে বল প্রয়োগ করা হয়।

সমাধান।কয়েলটি সমতল গতিতে চলে। যেহেতু স্লাইডিং ছাড়াই ঘূর্ণায়মান হয়, গতির তাত্ক্ষণিক কেন্দ্রটি সমতলের সাথে কয়েলের যোগাযোগের বিন্দুতে অবস্থিত, যেমন বিন্দুতে আর(চিত্র 5.6)। আসুন S অক্ষটিকে অনুভূমিকভাবে ডানদিকে নির্দেশ করি। আন্দোলনের নির্দেশনা অনুযায়ী আমরা গ্রহণ করি ইতিবাচক দিকঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘূর্ণন কোণ।

কুণ্ডলী কেন্দ্র যাক সঙ্গেসরানো হবে. এই ক্ষেত্রে, কয়েলটি একটি কোণে ঘোরবে। তাহলে কোথা থেকে

বিন্দু গ্রহণ করে আরঘূর্ণনের তাত্ক্ষণিক অক্ষের জন্য, আমরা সূত্র ব্যবহার করে প্রাথমিক কাজ গণনা করি (5.8):

(ক)

এখানে: বাহিনীর কর্মের লাইন এবং মিলিগ্রামঘূর্ণনের অক্ষকে ছেদ করুন, অতএব; আরও, কোথায় এন- স্বাভাবিক প্রতিক্রিয়ার শক্তি।

প্রয়োজনীয় কাজ নির্ণয় করার জন্য, 0 থেকে রেঞ্জের মধ্যে (a) থেকে একটি সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য নিতে হবে এসক. আমরা পাই

5. 2. বল ক্ষেত্র। পাওয়ার ফাংশন। সম্ভাব্য শক্তি

আসুন আমরা ধরে নিই যে একটি বিন্দু কিছু স্থানের মধ্যে চলমান এবং স্থান থেকে একটি শক্তি দ্বারা কাজ করা হয় যা এই স্থানের বিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে, কিন্তু বিন্দুর গতির গতির উপর নির্ভর করে না। এ ক্ষেত্রে তারা বলে স্পেস দেওয়ার কথা বল ক্ষেত্র, এবং এটিও যে বিন্দুটি একটি বল ক্ষেত্রে চলে। বস্তুগত পয়েন্টগুলির একটি সিস্টেমের জন্য সংশ্লিষ্ট ধারণাগুলি একই রকম।

তাদের প্রয়োগের পয়েন্টগুলির অবস্থানের উপর নির্ভর করে বাহিনীগুলি প্রায়শই যান্ত্রিকতায় সম্মুখীন হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি উপাদান বিন্দুতে একটি স্থিতিস্থাপক বল প্রয়োগ করা হয় যা একটি স্প্রিং এর ক্রিয়াকলাপের অধীনে একটি অনুভূমিক রেখা বরাবর চলে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ বল ক্ষেত্রপ্রকৃতিতে একটি মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র রয়েছে: নির্দিষ্ট ভরের একটি গ্রহে সূর্যের ক্রিয়াটি মহাকাশের প্রতিটি বিন্দুতে আইন দ্বারা নির্ধারিত হয় সার্বজনীন মাধ্যাকর্ষণ.

বল ক্ষেত্র বলা হয় সম্ভাব্য, যদি একটি স্কেলার ফাংশন থাকে উ, শুধুমাত্র স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে, , বিন্দু-বিন্দু উপাদান সিস্টেম(সম্ভবত সময়ে সময়ে), যেমন

ফাংশন বলা হয় পাওয়ার ফাংশন.

বল ফাংশনের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা যাক।

প্রাথমিক কাজ (5.1) নিম্নরূপ বল ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত

এইভাবে, একটি সম্ভাব্য বল ক্ষেত্রের প্রাথমিক কাজ সমান হয় সম্পূর্ণ ডিফারেনশিয়ালপাওয়ার ফাংশন থেকে ii.

বিন্দু থেকে এলাকায় শক্তির মোট কাজ বিন্দুতে (চিত্র 5.1)

যারা . (5.10)

প্রাপ্ত অভিব্যক্তি থেকে এটি অনুসরণ করে যে

1. যে কোন বন্ধ পথ বরাবর একটি সম্ভাব্য বল ক্ষেত্রে একটি শক্তি দ্বারা সম্পন্ন কাজ শূন্য;

2. একটি সম্ভাব্য বল ক্ষেত্রে শক্তির কাজ শুধুমাত্র চূড়ান্ত এবং প্রাথমিক অবস্থানের উপর নির্ভর করে পয়েন্ট, কিন্তু আন্দোলনের পথ নিজেই কোন ব্যাপার না.

সম্ভাব্য শক্তি।সম্ভাব্য শক্তি পৃবল ক্ষেত্রের বিবেচিত বিন্দুতে আরএকটি বস্তুগত বিন্দুতে কাজ করে যখন এটি একটি বিন্দু থেকে সরে যায় তখন ফিল্ড ফোর্স দ্বারা করা কাজ আরভি শুরু বিন্দু 1, i.e.

পৃ= বা পৃ=

বল ফাংশন সংযোগ করা যাক উসম্ভাব্য শক্তি সহ। আমরা আছে

সম্ভাব্য শক্তি গণনার উদাহরণ

1. অভিন্ন মাধ্যাকর্ষণ ক্ষেত্র. যাক মি- বিন্দু ভর; g - বিনামূল্যে পতনের ত্বরণ। তারপর (চিত্র 5.2)

2. ইলাস্টিক স্প্রিং ফোর্স ফিল্ড. উপাদান বিন্দু অক্ষ বরাবর সরানো যাক ওহ(চিত্র 5.3) বসন্তের কর্মের অধীনে যা এটি সংযুক্ত। যদি বসন্তে বিকৃত না হয়, তাহলে, সূত্র ধরে (5.5), আমরা প্রাপ্ত করি

.

5. 3. গতিশক্তি

5. 3. 1. সিস্টেমের গতিশক্তি। কোয়েনিগের উপপাদ্য

গতিশক্তি উপাদান বিন্দুতারা একটি বিন্দুর ভরের অর্ধেক গুণফল এবং তার বেগের বর্গকে বলে, যেমন . গতিশক্তি একটি ধনাত্মক স্কেলার পরিমাণ। এসআই সিস্টেমে, গতিশক্তির একক হল জুল: .

গতিশক্তি যান্ত্রিক সিস্টেমসিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত বিন্দুর গতিশক্তির যোগফল হল:

(5.11)

সিস্টেমের বিন্দুগুলির বেগ (5.1) একটি নির্দিষ্ট রেফারেন্স ফ্রেমের সাপেক্ষে নির্ধারিত হয়।

আসুন আমরা সিস্টেমের ভর কেন্দ্রের সাথে স্থানাঙ্কের উত্সকে সারিবদ্ধ করি। আসুন আমরা ধরে নিই যে যান্ত্রিক সিস্টেম, স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সাথে, স্থির স্থানাঙ্ক সিস্টেমের (চিত্র 5.7) সাথে তুলনামূলকভাবে অনুবাদমূলকভাবে চলে। পয়েন্ট - সিস্টেমের বিন্দু।

তারপর, বেগের যোগের উপর উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, বিন্দুর পরম গতি আরk. সিস্টেমটি এভাবে লেখা হবে ভেক্টর যোগফলবহনযোগ্য এবং আপেক্ষিক গতি:

, (ক)

চলমান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উৎপত্তির গতি কোথায় (স্থানান্তরযোগ্য গতি, অর্থাৎ সিস্টেমের ভর কেন্দ্রের গতি); - পয়েন্ট গতি আরkচলমান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সাথে সম্পর্কিত ওহুz (আপেক্ষিক গতি)।

(a) সূত্রে (5.11) প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই

(5.12)

এখানে পুরো সিস্টেমের ভর।

চলমান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় সিস্টেমের ভর কেন্দ্রের ব্যাসার্ধ ভেক্টর নির্ধারণ করা হয়, (2.1) অনুসারে, – , কোথায় , অর্থাৎ . উৎপত্তি থেকে সম্পর্কেসিস্টেমের ভর কেন্দ্র, তারপর, তারপর, অর্থাৎ অভিব্যক্তিতে দ্বিতীয় যোগফল (5.12) শূন্যের সমান।

এইভাবে, সিস্টেমের গতিশক্তি (5.12) ফর্ম আছে

(5.13)

এই সমতা নির্ধারণ করে কোয়েনিগের উপপাদ্য।

উপপাদ্য. একটি সিস্টেমের গতিশক্তি হল গতিশক্তির সমষ্টির সমান যা সিস্টেমের ভরের কেন্দ্রে অবস্থিত একটি বস্তুগত বিন্দুতে থাকে এবং সিস্টেমের ভরের সমান ভর থাকে, এবং গতির গতিশক্তি ভর কেন্দ্র আপেক্ষিক সিস্টেম.

5. 3. 2. একটি কঠিন শরীরের গতিশক্তি

একটি অনমনীয় শরীর একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের একটি বিশেষ কেস এবং এটি একটি ক্রমাগত বিতরণ করা ভর হিসাবে বিবেচিত হয়, তারপর সিস্টেমের গতিশক্তির জন্য অভিব্যক্তিতে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত যোগ অখণ্ডে চলে যায়। সুতরাং, একটি কঠিন শরীরের জন্য, সূত্র (5.11) ফর্ম গ্রহণ করবে

. (5.14)

1. একটি অনমনীয় শরীরের গতিশক্তি এগিয়ে যাচ্ছে।

এই ধরনের আন্দোলনের সাথে, শরীরের সমস্ত পয়েন্টের বেগ একই (চিত্র 5.8)। সূত্রে (5.14) অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন বের করে আমরা পাই

. (5.15)

অনুবাদমূলকভাবে চলমান একটি অনমনীয় শরীরের গতিশক্তি শরীরের ভরের অর্ধেক গুণফলের সমানএমএর গতির বর্গ দ্বারা।

2. একটি স্থির অক্ষের চারপাশে ঘোরানো একটি অনমনীয় দেহের গতিশক্তি

গতি মডিউল ভিএকটি স্থির অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণায়মান একটি অনমনীয় বস্তুর যেকোনো বিন্দু সমান, যেখানে অনমনীয় দেহের কৌণিক বেগের মডুলাসটি বিন্দু থেকে ঘূর্ণনের অক্ষের দূরত্ব z(চিত্র 5.9)। সূত্রে প্রতিস্থাপন (5.14), আমরা পাই

এখানে - অক্ষের সাপেক্ষে একটি অনমনীয় শরীরের জড়তার মুহূর্ত z.

একটি স্থির অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণায়মান একটি অনমনীয় দেহের গতিশক্তি ঘূর্ণনের অক্ষ এবং দেহের কৌণিক বেগের বর্গক্ষেত্রের সাপেক্ষে শরীরের জড়তার মুহুর্তের অর্ধেক গুণফলের সমান।

3. সমতল-সমান্তরাল গতির সময় একটি অনমনীয় শরীরের গতিশক্তি

সমতল-সমান্তরাল গতিতে, শরীরের যেকোনো বিন্দুর গতি থাকে জ্যামিতিক যোগফলমেরুটির গতি এবং মেরুর চারপাশে ঘোরার সময় বিন্দুর গতি। শরীরকে সমতলে নড়াচড়া করতে দিন অক্সি, তারপর

|| . আমরা শরীরের ভরের কেন্দ্রটিকে মেরু হিসাবে বেছে নিই, তারপর সূত্রে (5.13), গতি হল বিন্দুর গতি kতার ঘূর্ণন সময় শরীরের মেরু (ভর কেন্দ্র) আপেক্ষিক এবং সমান , দূরত্ব কোথায় k- ওহ পোলের দিকে নির্দেশ করুন। তারপর (5.13) পুনরায় লেখা হবে

সেটা মাথায় রেখে - অক্ষের সাপেক্ষে শরীরের জড়তার মুহূর্ত zমেরু দিয়ে যাচ্ছে সঙ্গে, শেষ অভিব্যক্তি হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে

, (5.17)

একটি শরীরের সমতল-সমান্তরাল গতিতে, গতিশক্তিতে ভরের কেন্দ্রের সাথে অনুবাদমূলক গতির গতিশক্তি এবং ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন থেকে গতিশক্তি এবং গতিশক্তি থাকে। সমতলে লম্বআন্দোলন

5. 4. গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য

5. 4. 1. একটি বিন্দুর গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য

চলুন কাজ এবং গতি পরিবর্তন মধ্যে সংযোগ খুঁজে বের করা যাক. ভর সঙ্গে একটি উপাদান বিন্দু যাক মিঅক্ষ বরাবর চলে ওহএকটি শক্তির প্রভাবের অধীনে, উদাহরণস্বরূপ একটি সংকুচিত বা ডিকম্প্রেসড স্প্রিং, স্থানাঙ্কের উত্সে স্থির - একটি বিন্দু সম্পর্কে(চিত্র 5.10)। একটি বিন্দুর গতির সমীকরণের ফর্ম আছে

আসুন এই সমীকরণের উভয় দিককে , এবং, এটি বিবেচনায় নিয়ে গুণ করি , আমরা পাই

. (5.19)

এই সমতা ডান দিকে আমরা প্রতিস্থাপন ভি xদ্বারা এবং দ্বারা গুণ dtডান এবং বাম দিক। তারপর

. (5.20)

এই ফর্মে, সমতার একটি খুব স্পষ্ট অর্থ রয়েছে: যখন বিন্দুটি স্থানান্তরিত হয় dx, বল কাজ করে, যার ফলে পরিমাণ পরিবর্তিত হয় একটি বিন্দুর গতিশক্তি, একটি বিন্দুর গতির বৈশিষ্ট্য এবং বিশেষ করে, এর বেগের মডুলাস। যদি একটি বিন্দু একটি অবস্থান থেকে তে চলে যায় এবং এর গতি , থেকে , এ পরিবর্তিত হয়, তাহলে, একীভূতকরণ (5.20), আমাদের আছে

. (5.21)

সেই বিবেচনায় , আমরা অবশেষে খুঁজে

. (5.22)

যে কোনো নড়াচড়ার সময় বস্তুগত বিন্দুর গতিশক্তির পরিবর্তন একই গতিতে বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বলের দ্বারা করা কাজের সমান।

সমস্ত পূর্ববর্তী পদ্ধতি বহন করে, আমরা পেতে

,

এখানে একটি চাপ রয়েছে যার সাথে বিন্দু চলে (চিত্র 5.11)।

5. 4. 2. সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য

ভর সিস্টেমের বিন্দুগুলিকে সরাতে দিন যাতে ইনর্শিয়াল রেফারেন্স সিস্টেমে তাদের ব্যাসার্ধ ভেক্টরগুলি একটি বৃদ্ধি পায়। চলুন জেনে নেওয়া যাক কিভাবে গতিশক্তি পরিবর্তিত হয় টিসিস্টেম

(5.11) অনুসারে, সিস্টেমের গতিশক্তি

.

আসুন আমরা সিস্টেমের গতিশক্তির ডিফারেন্সিয়াল গণনা করি এবং এর ফলে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিকে রূপান্তর করি

এখানে

সেই বিবেচনায় , কোথায় a বিন্দুর ত্বরণ এবং এর ফলে বিন্দুতে প্রয়োগ করা বাহ্যিক ও অভ্যন্তরীণ বলগুলি, আমরা ফর্মে শেষ সমতাটি আবার লিখি

এইভাবে,

. (5.23)

শেষ সমতা ডিফারেনশিয়াল আকারে একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য প্রকাশ করে: সিস্টেমের গতিশক্তির পার্থক্য সিস্টেমের সমস্ত শক্তির প্রাথমিক কাজের সমান।

বিশেষ ক্ষেত্রে . একটি একেবারে অনমনীয় শরীরের জন্য, সিস্টেমের সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তি দ্বারা সম্পন্ন কাজের যোগফল শূন্যের সমান:

.

ফলস্বরূপ, একটি অনমনীয় শরীরের জন্য গতিশক্তি (5.23) পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যটি আকারে লেখা যেতে পারে

যে কোন প্রাথমিক স্থানচ্যুতির সময় একটি কঠিন শরীরের গতিশক্তির পরিবর্তন শরীরের উপর কাজ করা বাহ্যিক শক্তির প্রাথমিক কাজের সমান।

যদি (5.24) এর উভয় দিক দুটি অবস্থানের মধ্যে একত্রিত হয় - প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত, যেখানে গতিশক্তি এবং যথাক্রমে থাকে, আমরা পাই

. (5.25)

উদাহরণ 1. ডিস্ক ভর মি=5 কেজিএবং ব্যাসার্ধ বিন্দুতে প্রয়োগ করা একটি ধ্রুবক বল দ্বারা গতিতে সেট করা হয় ক(চিত্র 5.6)। ডিস্কটি স্খলন ছাড়াই ডানদিকে একটি রুক্ষ পৃষ্ঠের উপর রোল করে। ভর কেন্দ্রের গতি নির্ণয় কর সঙ্গেমুহুর্তে কুণ্ডলী যখন এটি একটি দূরত্ব সরানো , স্লাইডিং ঘর্ষণ সহগ , , ডিস্কের gyration ব্যাসার্ধ

সমাধান।ডিস্কটি সমতল গতিতে চলে। একটি কঠিন শরীরের জন্য গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যটি লিখি

ডিস্কের গতিশক্তি গণনা করা যাক। সময়ের প্রাথমিক মুহুর্তে, ডিস্কটি বিশ্রামে ছিল, অর্থাৎ . ডিস্কের চূড়ান্ত অবস্থানে গতিশক্তি

একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তি তার সমস্ত বিন্দুর গতিশক্তি নিয়ে গঠিত:

সময়ের সাপেক্ষে এই সমতার প্রতিটি অংশকে আলাদা করে আমরা পাই

গতিবিদ্যার মৌলিক সূত্র ব্যবহার করে প্রতিসিস্টেমের তম পয়েন্ট m k 2i k= Fj., আমরা সমতায় পৌঁছেছি

প্রয়োগের বিন্দুতে বল F এবং বেগ v এর স্কেলার গুণফল বলা হয় বল শক্তিএবং বোঝান আর:

এই নতুন স্বরলিপি ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত ফর্মে (11.6) প্রতিনিধিত্ব করি:

ফলস্বরূপ সমতা গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যের ডিফারেনশিয়াল ফর্ম প্রকাশ করে: একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনের হার সিস্টেমে ক্রিয়াশীল সমস্ত সেন্টিমিটারের jপাওয়ারের সমষ্টির সমান।

ডেরিভেটিভ উপস্থাপন চ(8.5) ভগ্নাংশ আকারে -- এবং পারফর্ম করছে

তারপর ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করে, আমরা পাই:

যেখানে dT-গতিশক্তি ডিফারেনশিয়াল, অর্থাৎ একটি অসীম সময়ের মধ্যে তার পরিবর্তন dr, dr k = k dt -প্রাথমিক আন্দোলন প্রতি-সিস্টেমের তম পয়েন্ট, যেমন সময়ে আন্দোলন dt

F বল এবং প্রাথমিক স্থানচ্যুতির স্কেলার গুণফল ডআবেদন এর পয়েন্ট বলা হয় মৌলিক কাজবাহিনী এবং বোঝায় dA:

বৈশিষ্ট্য ব্যবহার বিন্দু পণ্যশক্তির প্রাথমিক কাজটিও আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে

এখানে ds = dr -বল প্রয়োগ বিন্দুর গতিপথের চাপের দৈর্ঘ্য, এটির প্রাথমিক স্থানচ্যুতি s/g এর সাথে সম্পর্কিত; ক -বল ভেক্টর F এবং প্রাথমিক স্থানচ্যুতি ভেক্টর c/r এর দিকগুলির মধ্যে কোণ; F„Fy, F,- কার্টেসিয়ান অক্ষের উপর বল ভেক্টর F এর অনুমান; dx, dy, dz -প্রাথমিক স্থানচ্যুতি s/g এর ভেক্টরের কার্টেসিয়ান অক্ষের উপর অনুমান।

স্বরলিপি (11.9) বিবেচনায় নিয়ে, সমতা (11.8) নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

যারা সিস্টেমের গতিশক্তির পার্থক্য যোগফলের সমান মৌলিক কাজসমস্ত শক্তি সিস্টেমের উপর কাজ করে।এই সমতা, যেমন (11.7), গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যটির ডিফারেনশিয়াল ফর্ম প্রকাশ করে, কিন্তু (11.7) থেকে আলাদা যে এটি ডেরিভেটিভ নয়, বরং অসীম বৃদ্ধি - ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে।

সাম্যের টার্ম-বাই-টার্ম ইন্টিগ্রেশন (11.12), আমরা প্রাপ্ত করি

যেখানে নিম্নলিখিতগুলি ইন্টিগ্রেশন লিমিট হিসাবে ব্যবহার করা হয়: 7 0 - সময়ে একটি মুহূর্তে সিস্টেমের গতিশক্তি? 0; 7) - সময়ের মুহূর্তে সিস্টেমের গতিশক্তি tx.

সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যসময়কাল বা A(F):

দ্রষ্টব্য 1. কাজ গণনা করার জন্য, কখনও কখনও ট্র্যাজেক্টোরির একটি নন-আর্ক প্যারামিটারাইজেশন ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক M(গুলি),এবং সমন্বয় M(x(t), y(/), z(f))। এই ক্ষেত্রে, প্রাথমিক কাজের জন্য প্রতিনিধিত্ব গ্রহণ করা স্বাভাবিক (11.11), এবং লাইন অবিচ্ছেদ্যআকারে উপস্থিত:

একটি সীমিত স্থানচ্যুতিতে কাজের স্বরলিপি (11.14) বিবেচনায় নিয়ে, সমতা (11.13) রূপ নেয়

এবং একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যের চূড়ান্ত রূপকে উপস্থাপন করে।

উপপাদ্য 3. একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন যখন এটি প্রাথমিক অবস্থান থেকে চূড়ান্ত অবস্থানে চলে যায় তখন এই আন্দোলনের সময় সিস্টেমের বিন্দুতে কাজ করা সমস্ত শক্তির কাজের যোগফলের সমান হয়।

মন্তব্য করুন 2. সমতার ডান দিক (11.16) কাজটিকে বিবেচনা করে আমাদের সমস্ত শক্তি দিয়ে, সিস্টেমে অভিনয়, উভয় বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ. তা সত্ত্বেও, এমন যান্ত্রিক ব্যবস্থা রয়েছে যার জন্য সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তি দ্বারা সম্পাদিত মোট কাজ শূন্য। অহংকার তথাকথিত অপরিবর্তনীয় সিস্টেম, যেখানে মিথস্ক্রিয়াকারী উপাদান বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব পরিবর্তন হয় না। উদাহরণস্বরূপ, সিস্টেম কঠিন পদার্থ, ঘর্ষণহীন কব্জা বা নমনীয় অক্ষম থ্রেড দ্বারা সংযুক্ত। এই ধরনের সিস্টেমের জন্য, সমতা (11.16) শুধুমাত্র বাহ্যিক শক্তির কাজকে বিবেচনায় নেওয়া যথেষ্ট, যেমন উপপাদ্য (11.16) ফর্ম নেয়:

সিস্টেমের সমস্ত বিন্দুর গতিশক্তির সমষ্টির সমান স্কেলার পরিমাণ T কে সিস্টেমের গতিশক্তি বলা হয়।

গতিশক্তি হল একটি সিস্টেমের অনুবাদমূলক এবং ঘূর্ণন গতির একটি বৈশিষ্ট্য। এর পরিবর্তন বাহ্যিক শক্তির ক্রিয়া দ্বারা প্রভাবিত হয় এবং যেহেতু এটি একটি স্কেলার, এটি সিস্টেমের অংশগুলির গতিবিধির উপর নির্ভর করে না।

চলুন গতির বিভিন্ন ক্ষেত্রে গতিশক্তি খুঁজে বের করা যাক:

1.অগ্রসর আন্দোলন

সিস্টেমের সমস্ত বিন্দুর বেগ ভর কেন্দ্রের বেগের সমান। তারপর

অনুবাদমূলক গতির সময় সিস্টেমের গতিশক্তি সিস্টেমের ভরের অর্ধেক গুণফল এবং ভর কেন্দ্রের বেগের বর্গক্ষেত্রের সমান।

2. ঘূর্ণায়মান আন্দোলন (চিত্র 77)

শরীরের যে কোনো বিন্দুর গতি: . তারপর

অথবা সূত্র ব্যবহার করে (15.3.1):

ঘূর্ণনের সময় একটি শরীরের গতিশক্তি ঘূর্ণনের অক্ষ এবং এর কৌণিক বেগের বর্গক্ষেত্রের সাপেক্ষে শরীরের জড়তার মুহুর্তের অর্ধেক গুণফলের সমান।

3. সমতল-সমান্তরাল গতি

একটি প্রদত্ত আন্দোলনের জন্য, গতিশক্তি অনুবাদমূলক এবং ঘূর্ণনশীল আন্দোলনের শক্তি নিয়ে গঠিত

গতির সাধারণ কেসটি শেষের মতো গতিশক্তি গণনা করার জন্য একটি সূত্র দেয়।

আমরা অধ্যায় 14-এর 3 অনুচ্ছেদে কাজ এবং ক্ষমতার সংজ্ঞা তৈরি করেছি। এখানে আমরা একটি যান্ত্রিক সিস্টেমে কাজ করে এমন শক্তির কাজ এবং শক্তি গণনা করার উদাহরণগুলি দেখব।

1.মাধ্যাকর্ষণ শক্তির কাজ. চলুন, শরীরের k বিন্দুর প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত অবস্থানের স্থানাঙ্ক। এই ওজন কণার উপর অভিকর্ষ বল কাজ করে কাজ করবে . তারপর সম্পূর্ণ কাজ:

যেখানে P হল বস্তুগত বিন্দুর সিস্টেমের ওজন, C হল মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের উল্লম্ব স্থানচ্যুতি।

2. একটি ঘূর্ণায়মান শরীরে প্রয়োগ করা শক্তির কাজ.

সম্পর্ক অনুসারে (14.3.1), আমরা লিখতে পারি, কিন্তু চিত্র 74 অনুযায়ী ds, এর অসীম ক্ষুদ্রতার কারণে, আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে - শরীরের ঘূর্ণনের একটি অসীম কোণ। তারপর

মাত্রা টর্ক বলা হয়।

আমরা সূত্র (19.1.6) হিসাবে পুনরায় লিখি

প্রাথমিক কাজ টর্ক বার প্রাথমিক ঘূর্ণনের গুণফলের সমান।

চূড়ান্ত কোণের মাধ্যমে ঘোরানোর সময় আমাদের আছে:

যদি টর্ক ধ্রুবক হয়, তাহলে

এবং ক্ষমতা সম্পর্ক থেকে নির্ধারিত হয় (14.3.5)

ঘূর্ণন সঁচারক বল সময় পণ্য হিসাবে কৌণিক বেগমৃতদেহ

একটি বিন্দু (§ 14.4) এর জন্য প্রমাণিত গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য সিস্টেমের যেকোনো বিন্দুর জন্য বৈধ হবে

সিস্টেমের সমস্ত বিন্দুর জন্য এই ধরনের সমীকরণ রচনা করে এবং সেগুলিকে মেয়াদ অনুসারে যোগ করে, আমরা পাই:

বা, (19.1.1) অনুসারে:

যা ডিফারেনশিয়াল আকারে একটি সিস্টেমের গতিশক্তির উপর উপপাদ্যের একটি অভিব্যক্তি।

একীভূতকরণ (19.2.2) আমরা পাই:

চূড়ান্ত আকারে গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য: কিছু চূড়ান্ত আন্দোলনের সময় একটি সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন সিস্টেমে প্রয়োগ করা সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির এই আন্দোলনের উপর করা কাজের সমষ্টির সমান।

আমরা জোর দিয়েছি যে অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলি বাদ দেওয়া হয় না। একটি অপরিবর্তনীয় সিস্টেমের জন্য, সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তি দ্বারা সম্পন্ন কাজের যোগফল শূন্য এবং

যদি সিস্টেমে আরোপিত সীমাবদ্ধতা সময়ের সাথে পরিবর্তিত না হয়, তাহলে বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ উভয় শক্তিকে সক্রিয় এবং প্রতিক্রিয়া সীমাবদ্ধতায় ভাগ করা যেতে পারে এবং সমীকরণ (19.2.2) এখন লেখা যেতে পারে:

গতিবিদ্যায়, একটি "আদর্শ" যান্ত্রিক সিস্টেমের ধারণা চালু করা হয়। এটি এমন একটি সিস্টেম যেখানে সংযোগের উপস্থিতি গতিশক্তির পরিবর্তনকে প্রভাবিত করে না, অর্থাৎ

এই ধরনের সংযোগগুলি, যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না এবং যাদের একটি প্রাথমিক স্থানচ্যুতিতে কাজের যোগফল শূন্য, তাদের বলা হয় আদর্শ, এবং সমীকরণ (19.2.5) লেখা হবে:

একটি প্রদত্ত অবস্থান M-এ একটি বস্তুগত বিন্দুর সম্ভাব্য শক্তি হল স্কেলার পরিমাণ P, বিন্দুটিকে M অবস্থান থেকে শূন্যে নিয়ে যাওয়ার সময় ক্ষেত্র বাহিনী যে কাজটি তৈরি করবে তার সমান

P = A (mo) (19.3.1)

সম্ভাব্য শক্তি M বিন্দুর অবস্থানের উপর, অর্থাৎ এর স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে

P = P(x,y,z) (19.3.2)

আসুন আমরা এখানে ব্যাখ্যা করি যে একটি বল ক্ষেত্র হল একটি স্থানিক আয়তনের একটি অংশ, যার প্রতিটি বিন্দুতে একটি নির্দিষ্ট মাত্রা এবং দিকনির্দেশের একটি বল একটি কণার উপর কাজ করে, যা কণার অবস্থানের উপর নির্ভর করে, অর্থাৎ স্থানাঙ্ক x এর উপর, y, z. যেমন পৃথিবীর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র।

স্থানাঙ্কের একটি ফাংশন U যার ডিফারেন্সিয়াল কাজের সমান তাকে বলা হয় পাওয়ার ফাংশন. একটি বল ক্ষেত্র যার জন্য একটি বল ফাংশন বিদ্যমান তাকে বলা হয় সম্ভাব্য শক্তি ক্ষেত্র, এবং এই ক্ষেত্রে অভিনয় বাহিনী হয় সম্ভাব্য শক্তি.

দুটি ফোর্স ফাংশন P(x,y,z) এবং U(x,y,z) এর জন্য শূন্য বিন্দুগুলো মিলে যাক।

সূত্র ব্যবহার করে (14.3.5) আমরা পাই, যেমন dA = dU(x,y,z) এবং

যেখানে U হল M বিন্দুতে বল ফাংশনের মান। তাই

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

বল ক্ষেত্রের যেকোনো বিন্দুতে সম্ভাব্য শক্তি এই বিন্দুতে বল ফাংশনের মানের সমান, বিপরীত চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয়।

অর্থাৎ, বল ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করার সময়, বল ফাংশনের পরিবর্তে, আমরা সম্ভাব্য শক্তি বিবেচনা করতে পারি এবং বিশেষত, সমীকরণ (19.3.3) হিসাবে পুনরায় লেখা হবে

একটি সম্ভাব্য শক্তি দ্বারা করা কাজ প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত অবস্থানে একটি চলমান বিন্দুর সম্ভাব্য শক্তি মানের মধ্যে পার্থক্যের সমান।

বিশেষ করে, মহাকর্ষের কাজ:

সিস্টেমের উপর কাজ করে এমন সমস্ত শক্তিকে সম্ভাব্য হতে দিন। তারপর সিস্টেমের প্রতিটি বিন্দু k জন্য কাজ সমান হয়

তারপর বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ উভয় শক্তির জন্যই থাকবে

যেখানে সমগ্র সিস্টেমের সম্ভাব্য শক্তি।

আমরা গতিশক্তি (19.2.3) এর অভিব্যক্তিতে এই যোগফলগুলি প্রতিস্থাপন করি:

বা অবশেষে:

সম্ভাব্য শক্তির প্রভাবে চলার সময়, সিস্টেমের গতি এবং সম্ভাব্য শক্তির সমষ্টি তার প্রতিটি অবস্থানে স্থির থাকে। এটি যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের নিয়ম।

x = 0.1sinl0t আইন অনুসারে 1 কেজি ওজনের একটি লোড অবাধে দোদুল্যমান হয়। বসন্তের দৃঢ়তা সহগ c = 100 N/m. x = 0.05 মিটারে লোডের মোট যান্ত্রিক শক্তি নির্ধারণ করুন, যদি x = 0 এ সম্ভাব্য শক্তি শূন্য হয় . (0,5)

একটি লোড m = 4 kg, নিচে পড়ে, একটি থ্রেডের সাহায্যে R = 0.4 m ব্যাসার্ধের একটি সিলিন্ডার ঘূর্ণনের অক্ষের সাপেক্ষে সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্ত হল I = 0.2৷ লোডের গতি v = 2m/s সময়ের মুহুর্তে দেহের সিস্টেমের গতিশক্তি নির্ধারণ করুন . (10,5)

যদি আমরা ভর দিয়ে সিস্টেমের কোন বিন্দু বিবেচনা করি , গতি আছে , তারপর এই বিন্দু জন্য এটা হবে

,

কোথায় এবং - একটি বিন্দুতে কাজ করে বহিরাগত এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রাথমিক কাজ। সিস্টেমের প্রতিটি পয়েন্টের জন্য এই ধরনের সমীকরণগুলি সংকলন করা এবং সেগুলিকে মেয়াদ অনুসারে যুক্ত করা, আমরা পাই

,

. (2)

সমতা ডিফারেনশিয়াল আকারে সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন সম্পর্কে উপপাদ্য প্রকাশ করে।

যদি ফলাফলের অভিব্যক্তিটি প্রাথমিক সময়ের সাথে সম্পর্কিত হয় যার মধ্যে প্রশ্নে আন্দোলন ঘটেছিল, আমরা উপপাদ্যটির ডিফারেনশিয়াল ফর্মের জন্য একটি দ্বিতীয় সূত্র পেতে পারি: যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির সময় ডেরিভেটিভ সমষ্টির সমান সমস্ত বাহ্যিক () এবং অভ্যন্তরীণ () শক্তির ক্ষমতা, যেমন

গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যের ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলি কম্পাইল করতে ব্যবহার করা যেতে পারে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণআন্দোলন, তবে এটি খুব কমই করা হয়, কারণ আরও সুবিধাজনক কৌশল রয়েছে।

সমতার উভয় দিককে একীভূত করা (2) কিছু প্রাথমিক অবস্থান থেকে সিস্টেমের গতিবিধির সাথে সম্পর্কিত সীমার মধ্যে, যেখানে গতিশক্তি সমান, এমন একটি অবস্থানে যেখানে গতিশক্তির মান সমান হয় , আমাদের থাকবে

ফলস্বরূপ সমীকরণটি চূড়ান্ত আকারে গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য প্রকাশ করে: কিছু আন্দোলনের সময় সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন সিস্টেমে প্রয়োগ করা সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির এই আন্দোলনের উপর করা কাজের যোগফলের সমান।

পূর্ববর্তী উপপাদ্যগুলির বিপরীতে, অভ্যন্তরীণ বলগুলিকে সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া হয় না। প্রকৃতপক্ষে, যদি এবং পয়েন্ট এবং সিস্টেমের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া শক্তি (চিত্র 51 দেখুন), তারপর . কিন্তু একই সময়ে, বিন্দু , দিকে যেতে পারে, এবং বিন্দু - দিকে। প্রতিটি শক্তি দ্বারা করা কাজ তখন ইতিবাচক হবে এবং কাজের যোগফল শূন্য হবে না। একটি উদাহরণ হল রোলব্যাকের ঘটনা। অভ্যন্তরীণ শক্তি (চাপ বল), প্রক্ষিপ্ত এবং ঘূর্ণায়মান উভয় অংশে কাজ করে, এখানে ইতিবাচক কাজ করে। এই কাজের যোগফল, যা শূন্যের সমান নয়, সিস্টেমের গতিশক্তিকে শটের শুরুতে মান থেকে শেষে মান পর্যন্ত পরিবর্তন করে।

আরেকটি উদাহরণ: একটি স্প্রিং দ্বারা সংযুক্ত দুটি পয়েন্ট। যখন বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব পরিবর্তিত হয়, তখন বিন্দুতে প্রয়োগ করা ইলাস্টিক বাহিনী কাজ করবে। কিন্তু যদি সিস্টেমটি একেবারে অনমনীয় সংস্থাগুলির সমন্বয়ে গঠিত হয় এবং তাদের মধ্যে সংযোগগুলি অপরিবর্তনীয়, অ-স্থিতিস্থাপক, আদর্শ হয়, তবে অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলির কাজ শূন্যের সমান হবে এবং সেগুলি উপেক্ষা করা যেতে পারে এবং ডিজাইন ডায়াগ্রামে দেখানো হবে না।

আসুন দুটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।

1) অপরিবর্তনীয় সিস্টেম. অপরিবর্তনীয়আমরা এমন একটি সিস্টেমকে কল করব যেখানে অভ্যন্তরীণ শক্তি প্রয়োগের বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব পরিবর্তন হয় না যখন সিস্টেমটি চলে যায়। বিশেষ করে, এই ধরনের একটি সিস্টেম একটি একেবারে অনমনীয় শরীর বা একটি অক্ষম থ্রেড।

চিত্র.51

একটি অপরিবর্তনীয় সিস্টেমের দুটি বিন্দু (চিত্র 51), একে অপরের সাথে বাহিনী এবং () এর গতিবেগ এবং এই মুহূর্তে কাজ করে। তারপর একটা সময় ধরে dtএই পয়েন্ট প্রাথমিক আন্দোলন করা হবে এবং , ভেক্টর বরাবর নির্দেশিত এবং . কিন্তু যেহেতু সেগমেন্টটি অপরিবর্তনীয়, তাই, গতিবিদ্যার সুপরিচিত উপপাদ্য অনুসারে, ভেক্টরের অভিক্ষেপ এবং , এবং, ফলস্বরূপ, স্থানচ্যুতি এবং সেগমেন্টের দিক উভয়ই একে অপরের সমান হবে, অর্থাৎ . তাহলে শক্তির প্রাথমিক কাজ আকারে অভিন্ন হবে এবং চিহ্নে বিপরীত হবে এবং মোট শূন্য দেবে। এই ফলাফলটি সিস্টেমের যেকোনো আন্দোলনের জন্য সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তির জন্য বৈধ।

এখান থেকে আমরা সেই উপসংহারে আসি একটি অপরিবর্তনীয় সিস্টেমের জন্য, সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তি দ্বারা সম্পন্ন কাজের যোগফল শূন্যএবং সমীকরণগুলি রূপ নেয়

2) আদর্শ সংযোগ সহ সিস্টেম. আসুন আমরা এমন একটি সিস্টেম বিবেচনা করি যার উপর সংযোগ আরোপ করা হয় যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না। আসুন আমরা সিস্টেমের পয়েন্টগুলিতে কাজ করে এমন সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তিকে ভাগ করি সক্রিয়এবং সংযোগ প্রতিক্রিয়া।তারপর

,

যেখানে প্রাথমিক কাজ চলছে k-বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সক্রিয় শক্তিগুলির সিস্টেমের তম বিন্দু, a হল বহিরাগত এবং অভ্যন্তরীণ সংযোগ দ্বারা একই বিন্দুতে আরোপিত প্রতিক্রিয়াগুলির প্রাথমিক কাজ।

আমরা দেখতে পাই, সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন কাজ এবং সক্রিয় শক্তি এবং বন্ধনের প্রতিক্রিয়ার উপর নির্ভর করে। যাইহোক, এই ধরনের "আদর্শ" যান্ত্রিক সিস্টেমের ধারণাটি প্রবর্তন করা সম্ভব যেখানে সংযোগের উপস্থিতি তার চলাচলের সময় সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনকে প্রভাবিত করে না। এই ধরনের সংযোগের জন্য, নিম্নলিখিত শর্ত অবশ্যই সন্তুষ্ট হতে হবে:

যদি সময়ের সাথে পরিবর্তন না হয় এমন সংযোগগুলির জন্য, সিস্টেমের প্রাথমিক স্থানচ্যুতির সময় সমস্ত প্রতিক্রিয়া দ্বারা সম্পন্ন কাজের যোগফল শূন্যের সমান হয়, তাহলে এই ধরনের সংযোগগুলিকে বলা হয় আদর্শএকটি যান্ত্রিক সিস্টেমের জন্য যার উপর শুধুমাত্র আদর্শ সংযোগগুলি আরোপ করা হয় যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না, আমাদের অবশ্যই থাকবে

এইভাবে, আদর্শ সংযোগের সাথে একটি সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন যা সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তন হয় না যেটি এটির যেকোন চলাচলের সময় বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সিস্টেমে প্রয়োগ করা এই আন্দোলনের কাজের যোগফলের সমান। সক্রিয় বাহিনী।

যান্ত্রিক ব্যবস্থা বলা হয় রক্ষণশীল(এর শক্তি, যেমন ছিল, সংরক্ষিত এবং পরিবর্তিত হয় না), যদি এটির জন্য শক্তি অবিচ্ছেদ্য স্থান নেয়

বা (3)

এটা আছে যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের আইন: যখন একটি সিস্টেম একটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রে চলে, তখন তার যান্ত্রিক শক্তি (সম্ভাব্য এবং গতির সমষ্টি) অপরিবর্তিত এবং স্থির থাকে।

একটি যান্ত্রিক ব্যবস্থা রক্ষণশীল হবে যদি এটিতে কাজ করে এমন শক্তিগুলি সম্ভাব্য হয়, উদাহরণস্বরূপ মাধ্যাকর্ষণ, স্থিতিস্থাপক শক্তি। রক্ষণশীল যান্ত্রিক সিস্টেমে, গতির ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সঠিকতা পরীক্ষা করতে শক্তির অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি সিস্টেমটি রক্ষণশীল হয়, এবং শর্ত (3) সন্তুষ্ট না হয়, তাহলে গতির সমীকরণগুলি আঁকার ক্ষেত্রে একটি ত্রুটি তৈরি করা হয়েছিল।

এনার্জি ইন্টিগ্রালটি ডেরিভেটিভ গণনা না করে অন্য উপায়ে সমীকরণের সঠিকতা পরীক্ষা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, বহন করার পরে সংখ্যাগত একীকরণগতির সমীকরণ, দুইটির জন্য মোট যান্ত্রিক শক্তির মান গণনা করুন বিভিন্ন মুহূর্তসময়, উদাহরণস্বরূপ, শুরু এবং শেষ। যদি মানের পার্থক্য গণনা ত্রুটির সাথে তুলনীয় হতে দেখা যায়, তাহলে এটি ব্যবহৃত সমীকরণের সঠিকতা নির্দেশ করবে।

পূর্ববর্তী সমস্ত উপপাদ্যগুলি গতির সমীকরণগুলি থেকে অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলিকে বাদ দেওয়া সম্ভব করেছিল, তবে সমস্তই বহিরাগত শক্তি, পূর্বে অজানা প্রতিক্রিয়া সহ বাহ্যিক সম্পর্ক, সমীকরণে রাখা হয়েছিল। গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যটির ব্যবহারিক মূল্য হল, আদর্শ সংযোগের সাথে যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না, এটি গতির সমীকরণ থেকে বাদ দিতে দেয়। সবসংযোগের পূর্বে অজানা প্রতিক্রিয়া।

একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তি হল এর সমস্ত বস্তুগত বিন্দুর গতিশক্তির সমষ্টি:

চলুন গতিশক্তির অভিব্যক্তি থেকে পার্থক্য গণনা করি এবং কিছু সাধারণ রূপান্তর সম্পাদন করি:

মধ্যবর্তী মান বাদ দিয়ে এবং প্রাথমিক কাজ বোঝাতে পূর্বে প্রবর্তিত প্রতীক ব্যবহার করে, আমরা লিখি:

সুতরাং, একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির পার্থক্যটি সিস্টেমের বিন্দুতে কাজ করা সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রাথমিক কাজের যোগফলের সমান। এটি গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যের বিষয়বস্তু।

মনে রাখবেন যে সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তি দ্বারা সম্পন্ন কাজের যোগফল সাধারণ ক্ষেত্রে শূন্যের সমান নয়। এটি শুধুমাত্র কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে অদৃশ্য হয়ে যায়: যখন সিস্টেমটি একটি একেবারে অনমনীয় শরীর; একেবারে অনমনীয় দেহগুলির একটি সিস্টেম যা অ-বিকৃত উপাদানগুলির সাহায্যে যোগাযোগ করে (আদর্শ কব্জা, একেবারে অনমনীয় রড, অক্ষম থ্রেড ইত্যাদি)। এই কারণে, গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যটি একমাত্র সাধারণ উপপাদ্যগতিবিদ্যা, যা অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রভাবকে বিবেচনা করে।

কেউ গতিশক্তির পরিবর্তনে আগ্রহী হতে পারে একটি অসীম সময়ের মধ্যে নয়, যেমন উপরে করা হয়েছে, কিন্তু একটি নির্দিষ্ট সময়সীমার মধ্যে। তারপর ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে আমরা পেতে পারি:

এখানে - গতিশক্তির মান, যথাক্রমে, সময়ের মুহুর্তে - বিবেচিত সময়ের জন্য বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির মোট কাজের যোগফল।

ফলস্বরূপ সমতা একটি চূড়ান্ত (অখণ্ড) আকারে গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য প্রকাশ করে, যা নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে: একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের এক অবস্থান থেকে অন্য অবস্থানে স্থানান্তরের সময় গতিশক্তির পরিবর্তন সমষ্টির সমান। সমস্ত বহিরাগত এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির মোট কাজ।