এই পাঠে, প্রত্যেকে "আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল" বিষয় অধ্যয়ন করতে সক্ষম হবে। পাঠের শুরুতে, আমরা নির্বিচারে এবং সোজা সমান্তরালপাপগুলি কী তা পুনরাবৃত্তি করব, তাদের বিপরীত মুখের বৈশিষ্ট্য এবং সমান্তরাল পাইপের কর্ণগুলি মনে রাখবেন। তারপরে আমরা একটি কিউবয়েড কী তা দেখব এবং এর মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়ে আলোচনা করব।

বিষয়: রেখা এবং সমতলের লম্বতা

পাঠ: কিউবয়েড

দুটি সমান সমান্তরাল ABCD এবং A 1 B 1 C 1 D 1 এবং চারটি সমান্তরাল ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 নিয়ে গঠিত একটি পৃষ্ঠকে বলা হয় সমান্তরাল পাইপড(চিত্র 1)।

ভাত। 1 সমান্তরাল পাইপড

অর্থাৎ: আমাদের দুটি সমান সমান্তরাল ABCD এবং A 1 B 1 C 1 D 1 (বেস) আছে, তারা সমান্তরাল সমতলে থাকে যাতে পাশের প্রান্ত AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 সমান্তরাল হয়। সুতরাং, সমান্তরালগ্রাম দ্বারা গঠিত একটি পৃষ্ঠ বলা হয় সমান্তরাল পাইপড.

এইভাবে, একটি সমান্তরালপিপের পৃষ্ঠটি সমান্তরাল পাইপ তৈরি করে এমন সমস্ত সমান্তরালগ্রামের সমষ্টি।

1. সমান্তরাল পাইপের বিপরীত মুখগুলি সমান্তরাল এবং সমান।

(আকারগুলি সমান, অর্থাৎ, তারা ওভারল্যাপিং দ্বারা একত্রিত হতে পারে)

যেমন:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (সংজ্ঞা অনুসারে সমান সমান্তরাল),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (যেহেতু AA 1 B 1 B এবং DD 1 C 1 C সমান্তরাল পাইপের বিপরীতমুখী),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (যেহেতু AA 1 D 1 D এবং BB 1 C 1 C সমান্তরাল পাইপের বিপরীতমুখী)।

2. একটি সমান্তরাল পাইপের কর্ণ একটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং এই বিন্দু দ্বারা দ্বিখণ্ডিত হয়।

সমান্তরাল পাইপযুক্ত AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B এর কর্ণগুলি O একটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং প্রতিটি কর্ণকে এই বিন্দু দ্বারা অর্ধেক ভাগ করা হয়েছে (চিত্র 2)।

ভাত। 2 একটি সমান্তরাল পাইপের কর্ণ ছেদ করে এবং ছেদ বিন্দু দ্বারা অর্ধেকে বিভক্ত।

3. একটি সমান্তরাল পাইপের সমান এবং সমান্তরাল প্রান্তের তিনটি চতুর্ভুজ রয়েছে: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1।

সংজ্ঞা। একটি সমান্তরাল পাইপকে সোজা বলা হয় যদি এর পার্শ্বীয় প্রান্তগুলি ঘাঁটির সাথে লম্ব হয়।

পাশের প্রান্ত AA 1টিকে ভিত্তির সাথে লম্ব করা যাক (চিত্র 3)। এর মানে হল যে সরলরেখা AA 1 সরলরেখা AD এবং AB, যা ভিত্তির সমতলে অবস্থিত। এর মানে হল যে পাশের মুখগুলি আয়তক্ষেত্র ধারণ করে। এবং ঘাঁটিগুলি নির্বিচারে সমান্তরালগ্রাম ধারণ করে। আসুন ∠BAD = φ বোঝাই, কোণ φ যেকোনো হতে পারে।

ভাত। 3 ডান সমান্তরাল

সুতরাং, একটি ডান প্যারালেলেপিপড হল একটি প্যারালেলেপিপড যার পাশের প্রান্তগুলি সমান্তরাল পাইপের ভিত্তিগুলির সাথে লম্ব।

সংজ্ঞা। সমান্তরাল পাইপকে বলা হয় আয়তক্ষেত্রাকার,যদি এর পার্শ্বীয় প্রান্তগুলি বেসের সাথে লম্ব হয়। ভিত্তিগুলি আয়তক্ষেত্রাকার।

সমান্তরাল ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 আয়তক্ষেত্রাকার (চিত্র 4), যদি:

1. AA 1 ⊥ ABCD (বেসের সমতলে পার্শ্বীয় প্রান্ত লম্ব, অর্থাৎ একটি সরল সমান্তরাল পাইপড)।

2. ∠BAD = 90°, অর্থাৎ ভিত্তিটি একটি আয়তক্ষেত্র।

ভাত। 4 আয়তাকার সমান্তরাল পাইপযুক্ত

একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরালপিপে একটি নির্বিচারে সমান্তরাল পাইপের সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে।কিন্তু সংজ্ঞা থেকে উদ্ভূত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য আছে আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপযুক্ত.

তাই, ঘনক্ষেত্রএকটি সমান্তরাল পাইপ যার পাশের প্রান্তগুলি ভিত্তির সাথে লম্ব। একটি কিউবয়েডের ভিত্তি একটি আয়তক্ষেত্র.

1. একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরালে, ছয়টি মুখই আয়তক্ষেত্র।

ABCD এবং A 1 B 1 C 1 D 1 সংজ্ঞা অনুসারে আয়তক্ষেত্র।

2. পার্শ্বীয় পাঁজরগুলি ভিত্তির সাথে লম্ব. এর অর্থ হল একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের সমস্ত পার্শ্বীয় মুখগুলি আয়তক্ষেত্র।

3. একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপডের সমস্ত ডাইহেড্রাল কোণ সঠিক।

আসুন, উদাহরণ স্বরূপ, এজ AB এর সাথে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপযুক্ত ডাইহেড্রাল কোণ, অর্থাৎ, ABC 1 এবং ABC সমতলের মধ্যবর্তী কোণ বিবেচনা করা যাক।

AB একটি প্রান্ত, বিন্দু A 1 একটি সমতলে অবস্থিত - সমতল ABB 1 এ, এবং বিন্দু D অন্যটি - সমতলে A 1 B 1 C 1 D 1। তারপর বিবেচনাধীন ডিহেড্রাল কোণটিকেও নিম্নরূপ নির্দেশ করা যেতে পারে: ∠A 1 ABD।

AB প্রান্তে বিন্দু A ধরা যাক। AA 1 সমতলে AB-এর প্রান্তে লম্ব, AD সমতলে ABC-এর প্রান্ত AB-এর লম্ব। এর মানে হল যে ∠A 1 AD হল একটি প্রদত্ত ডিহেড্রাল কোণের রৈখিক কোণ। ∠A 1 AD = 90°, যার মানে হল যে প্রান্ত AB-তে ডিহেড্রাল কোণ 90°।

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°।

একইভাবে, এটি প্রমাণিত হয় যে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের যেকোনো দ্বিমুখী কোণ সঠিক।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের কর্ণের বর্গ তার তিনটি মাত্রার বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।

দ্রষ্টব্য। একটি কিউবয়েডের একটি শীর্ষবিন্দু থেকে নির্গত তিনটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য হল কিউবয়েডের পরিমাপ। এগুলিকে কখনও কখনও দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা বলা হয়।

দেওয়া হয়েছে: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপড (চিত্র 5)।

প্রমাণ করুন:।

ভাত। 5 আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপযুক্ত

প্রমাণ:

সরলরেখা CC 1 সমতল ABC-তে লম্ব এবং তাই সরলরেখা AC-তে। এর মানে হল ত্রিভুজ CC 1 A সমকোণ। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে:

এর বিবেচনা করা যাক সমকোণী ত্রিভুজএবিসি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে:

কিন্তু খ্রিস্টপূর্ব এবং খ্রি. বিপরীত পক্ষআয়তক্ষেত্র তাই BC = AD. তারপর:

কারণ , ক , যে. যেহেতু CC 1 = AA 1, এটিই প্রমাণ করা দরকার।

একটি আয়তাকার সমান্তরাল পাইপের কর্ণ সমান।

সমান্তরাল পাইপযুক্ত ABC-এর মাত্রা a, b, c (চিত্র 6 দেখুন), তারপর AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

একে প্যারালেলেপিপড বলা হয় চতুর্ভুজাকার প্রিজম, যার ভিত্তি সমান্তরাল। একটি সমান্তরাল পাইপের উচ্চতা হল এর বেসগুলির সমতলগুলির মধ্যে দূরত্ব। চিত্রে, উচ্চতা সেগমেন্ট দ্বারা দেখানো হয়েছে . দুটি ধরণের সমান্তরাল পাইপড রয়েছে: সোজা এবং বাঁক। একটি নিয়ম হিসাবে, একজন গণিত শিক্ষক প্রথমে একটি প্রিজমের জন্য উপযুক্ত সংজ্ঞা দেন এবং তারপরে সেগুলিকে সমান্তরালে স্থানান্তরিত করেন। আমরাও তাই করব।

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি প্রিজমকে সোজা বলা হয় যদি এর পার্শ্বের প্রান্তগুলি বেসের সাথে লম্ব হয় তবে প্রিজমকে বলা হয় ঝোঁক। এই পরিভাষাটিও প্যারালেলিপিপড দ্বারা উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত। একটি ডান প্যারালেলেপিপড এক ধরনের সোজা প্রিজম ছাড়া আর কিছুই নয়, যার পাশের প্রান্তটি উচ্চতার সাথে মিলে যায়। মুখ, প্রান্ত এবং শীর্ষবিন্দুর মতো ধারণাগুলির সংজ্ঞাগুলি, যা পলিহেড্রার সমগ্র পরিবারের জন্য সাধারণ, সংরক্ষণ করা হয়েছে। বিপরীত মুখের ধারণা উপস্থিত হয়। একটি সমান্তরাল পাইপের 3 জোড়া বিপরীত মুখ, 8টি শীর্ষবিন্দু এবং 12টি প্রান্ত রয়েছে।

একটি সমান্তরালপিপের কর্ণ (একটি প্রিজমের কর্ণ) হল একটি অংশ যা একটি পলিহেড্রনের দুটি শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে এবং এর কোন মুখের উপর থাকে না।

তির্যক বিভাগ - একটি সমান্তরাল পাইপের একটি অংশ যা এর তির্যক এবং এর ভিত্তির কর্ণের মধ্য দিয়ে যায়।

একটি আনত সমান্তরাল পাইপ এর বৈশিষ্ট্য:
1) এর সমস্ত মুখগুলি সমান্তরাল, এবং বিপরীত মুখগুলি সমান সমান্তরাল।
2)একটি সমান্তরাল পাইপের কর্ণ একটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং এই বিন্দুতে দ্বিখণ্ডিত হয়।
3)প্রতিটি প্যারালেলেপিপড সমান আয়তনের ছয়টি ত্রিভুজাকার পিরামিড নিয়ে গঠিত। সেগুলি ছাত্রকে দেখানোর জন্য, গণিতের শিক্ষককে অবশ্যই তার তির্যক অংশের সাথে সমান্তরাল অংশের অর্ধেকটি কেটে ফেলতে হবে এবং এটিকে আলাদাভাবে 3টি পিরামিডে ভাগ করতে হবে। তাদের ঘাঁটিগুলি অবশ্যই মূল প্যারালেলেপিপডের বিভিন্ন মুখের উপর থাকতে হবে। একজন গণিত শিক্ষক এই সম্পত্তির আবেদন খুঁজে পাবেন বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি. এটি ভেক্টরের মিশ্র পণ্যের মাধ্যমে একটি পিরামিডের আয়তন বের করতে ব্যবহৃত হয়।

সমান্তরাল পাইপের আয়তনের সূত্র:
1) , বেসের ক্ষেত্রফল কোথায়, h হল উচ্চতা।
2) সমান্তরাল পাইপের আয়তন ক্ষেত্রফলের গুণফলের সমান ক্রস অধ্যায়পাশের প্রান্তে।
গণিতের শিক্ষক: আপনি জানেন, সূত্রটি সমস্ত প্রিজমের জন্য সাধারণ এবং যদি শিক্ষক ইতিমধ্যেই এটি প্রমাণ করে থাকেন, তাহলে সমান্তরাল পাইপডের জন্য একই জিনিস পুনরাবৃত্তি করার কোন মানে নেই। যাইহোক, যখন একজন গড়-স্তরের ছাত্রের সাথে কাজ করা হয় (সুত্রটি দুর্বল ছাত্রের জন্য উপযোগী নয়), তখন শিক্ষকের জন্য ঠিক বিপরীত কাজ করার পরামর্শ দেওয়া হয়। প্রিজমটিকে একা ছেড়ে দিন এবং প্যারালেলেপিপডের জন্য একটি সতর্ক প্রমাণ বহন করুন।
3) , সমান্তরাল পাইপ তৈরি করে এমন ছয়টি ত্রিভুজাকার পিরামিডের একটির আয়তন কোথায়।
4) যদি, তাহলে

একটি সমান্তরাল পাইপের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল এর সমস্ত মুখের ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি:
সমান্তরাল পাইপের মোট পৃষ্ঠ হল এর সমস্ত মুখের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, অর্থাৎ ক্ষেত্রফল + ভিত্তির দুটি ক্ষেত্র: .

একটি আনত সমান্তরাল সঙ্গে একটি শিক্ষকের কাজ সম্পর্কে:
একজন গণিত শিক্ষক প্রায়শই একটি ঝোঁক প্যারালেলেপিপড জড়িত সমস্যাগুলিতে কাজ করেন না। ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় তাদের উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা খুবই কম, এবং শিক্ষাগত দিকগুলি অশালীনভাবে দুর্বল। একটি আনত সমান্তরাল পাইপ কলের ভলিউমের উপর একটি কম বা কম শালীন সমস্যা গুরুতর সমস্যা, বিন্দু H এর অবস্থান নির্ধারণের সাথে যুক্ত - এর উচ্চতার ভিত্তি। এই ক্ষেত্রে, গণিত শিক্ষককে তার ছয়টি পিরামিডের একটিতে সমান্তরাল পাইপ কাটার পরামর্শ দেওয়া যেতে পারে (যা সম্পর্কে আমরা সম্পর্কে কথা বলছিসম্পত্তি নং 3-এ), এর আয়তন খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন এবং এটিকে 6 দ্বারা গুণ করুন।

যদি একটি সমান্তরাল পাইপের পাশের প্রান্তটি বেসের বাহুগুলির সাথে সমান কোণ থাকে, তাহলে H বেস ABCD-এর A কোণের দ্বিখন্ডের উপর অবস্থিত। এবং যদি, উদাহরণস্বরূপ, ABCD একটি রম্বস হয়, তাহলে

গণিত শিক্ষকের কাজ:
1) সমান্তরাল পাইপগুলির মুখগুলি 2 সেমি এবং একটি পাশের সাথে একে অপরের সমান তীব্র কোণ. সমান্তরাল পাইপ এর আয়তন খুঁজুন।
2) একটি আনত সমান্তরাল পাইপে, পাশের প্রান্তটি 5 সেমি। এটির লম্ব অংশটি একটি চতুর্ভুজ যার দৈর্ঘ্য 6 সেমি এবং 8 সেমি সমান।
3) একটি বাঁকানো সমান্তরালে এটি জানা যায় যে , এবং ABCD তে ভিত্তি হল একটি রম্বস যার একটি বাহু 2 সেমি এবং একটি কোণ। সমান্তরাল পাইপ এর আয়তন নির্ধারণ করুন।

গণিতের শিক্ষক, আলেকজান্ডার কোলপাকভ

বা (সমতুল্যভাবে) ছয়টি মুখ বিশিষ্ট একটি পলিহেড্রন যা সমান্তরাল। ষড়ভুজ।

যে সমান্তরাল বৃত্তগুলি একটি সমান্তরাল পাইপ তৈরি করে প্রান্তএই সমান্তরালপিন্ডের, এই সমান্তরালগ্রামগুলির বাহুগুলি হল একটি সমান্তরাল পাইপ এর প্রান্ত, এবং সমান্তরালগ্রামের শীর্ষবিন্দু হল চূড়া সমান্তরাল পাইপড. একটি সমান্তরাল মধ্যে, প্রতিটি মুখ হয় সমান্তরাল বৃত্ত.

একটি নিয়ম হিসাবে, যেকোনো 2টি বিপরীত মুখ চিহ্নিত করা হয় এবং বলা হয় সমান্তরাল পাইপ এর ঘাঁটি, এবং অবশিষ্ট মুখগুলি - প্যারালেলেপিপড এর পার্শ্বীয় মুখ. সমান্তরাল পাইপের প্রান্তগুলি যা বেসের অন্তর্গত নয় পার্শ্বীয় পাঁজর.

একটি সমান্তরাল পাইপের 2টি মুখ যার একটি সাধারণ প্রান্ত রয়েছে সংলগ্ন, এবং যাদের সাধারণ প্রান্ত নেই - বিপরীত.

একটি সেগমেন্ট যা 2টি শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে যা 1ম মুখের অন্তর্গত নয় সমান্তরাল তির্যক.

সমান্তরাল নয় এমন একটি আয়তাকার সমান্তরাল পাইপের প্রান্তের দৈর্ঘ্য রৈখিক মাত্রা (পরিমাপ) সমান্তরাল পাইপযুক্ত। একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের 3টি রৈখিক মাত্রা রয়েছে।

সমান্তরাল পাইপ এর প্রকার।

বিভিন্ন ধরণের সমান্তরাল পাইপড রয়েছে:

সরাসরিএকটি প্রান্ত সঙ্গে একটি সমান্তরাল পাইপ, সমতলে লম্বভিত্তি

একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপ যার সমস্ত 3টি মাত্রা সমান ঘনক্ষেত্র. কিউবের প্রতিটি মুখ সমান বর্গক্ষেত্র .

যে কোন সমান্তরাল পাইপড।একটি আনত সমান্তরাল পাইপের আয়তন এবং অনুপাত প্রধানত ভেক্টর বীজগণিত ব্যবহার করে নির্ধারিত হয়। একটি সমান্তরাল পাইপের আয়তন 3টি ভেক্টরের মিশ্র গুণফলের পরম মানের সমান, যা সমান্তরাল পাইপডের 3টি বাহু দ্বারা নির্ধারিত হয় (যা একই শীর্ষ থেকে উৎপন্ন হয়)। সমান্তরালপিপের বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যকার কোণের মধ্যে সম্পর্ক এই বিবৃতিটি দেখায় যে প্রদত্ত 3টি ভেক্টরের গ্রাম নির্ধারক তাদের মিশ্র গুণফলের বর্গক্ষেত্রের সমান।

একটি সমান্তরাল পাইপ এর বৈশিষ্ট্য.

• সমান্তরাল পাইপ তার কর্ণের মাঝখানে প্রতিসম।
• সমান্তরাল পাইপের পৃষ্ঠের অন্তর্গত এবং এর তির্যকের মাঝখান দিয়ে যাওয়া প্রান্ত সহ যে কোনও অংশকে এটি দ্বারা দুটি সমান ভাগে ভাগ করা হয়। সমান্তরাল পাইপের সমস্ত কর্ণ 1ম বিন্দুতে ছেদ করে এবং এটি দ্বারা দুটি সমান অংশে বিভক্ত।
• সমান্তরাল পাইপের বিপরীত মুখগুলি সমান্তরাল এবং সমান মাত্রা রয়েছে।
• একটি আয়তাকার সমান্তরাল পাইপের কর্ণের দৈর্ঘ্যের বর্গ সমান