একটি সমান্তরাল সংজ্ঞা কি? সমান্তরাল বৃত্তের উপপাদ্য

একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান্তরাল।

এই সংজ্ঞা ইতিমধ্যেই যথেষ্ট, যেহেতু সমান্তরালগ্রামের অবশিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি এটি থেকে অনুসরণ করে এবং উপপাদ্য আকারে প্রমাণিত হয়।

একটি সমান্তরালগ্রামের প্রধান বৈশিষ্ট্য হল:
একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ একটি উত্তল চতুর্ভুজ;
একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহু রয়েছে যা জোড়ায় সমান;
একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত কোণগুলি জোড়ায় সমান হয়;

সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলিকে ছেদ বিন্দু দ্বারা অর্ধেক ভাগ করা হয়।

সমান্তরাল চতুর্ভুজ - উত্তল চতুর্ভুজ আসুন প্রথমে উপপাদ্যটি প্রমাণ করিএকটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ একটি উত্তল চতুর্ভুজ

. একটি বহুভুজ উত্তল হয় যদি এর যে কোন দিকটি একটি সরলরেখায় প্রসারিত হয়, বহুভুজের অন্য সমস্ত বাহু এই সরলরেখার একই পাশে থাকবে।

একটি সমান্তরাল ABCD দেওয়া যাক, যার মধ্যে AB হল CD-এর বিপরীত বাহু, এবং BC হল AD-এর বিপরীত দিক। তারপর একটি সমান্তরালগ্রামের সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে AB || সিডি, বিসি || খ্রি. কোন সমান্তরাল লাইন আছেসাধারণ পয়েন্ট

, তারা ছেদ না. এর মানে হল যে CD AB এর একপাশে রয়েছে। যেহেতু BC সেগমেন্ট AB এর বিন্দু B কে সেগমেন্ট CD এর বিন্দু C এর সাথে সংযুক্ত করে এবং সেগমেন্ট AD অন্যান্য বিন্দু AB এবং CD কে সংযুক্ত করে, BC এবং AD রেখা AB এর একই পাশে যেখানে CD রয়েছে। এইভাবে, তিনটি বাহু - CD, BC, AD - AB এর একই পাশে অবস্থিত।

একইভাবে, এটি প্রমাণিত হয় যে সমান্তরালগ্রামের অন্যান্য বাহুর সাথে সম্পর্কিত, অন্য তিনটি বাহু একই পাশে রয়েছে।

বিপরীত বাহু এবং কোণ সমান একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল এটিএকটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত বাহু এবং বিপরীত কোণ জোড়ায় সমান

. উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সমান্তরাল ABCD দেওয়া হয়, তাহলে তার AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D আছে। এই উপপাদ্য নিম্নরূপ প্রমাণিত হয়.

একটি সমান্তরালগ্রাম একটি চতুর্ভুজ। এর মানে এটির দুটি কর্ণ রয়েছে। যেহেতু একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ একটি উত্তল চতুর্ভুজ, তাদের যেকোনো একটি এটিকে দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে। সমান্তরাল ABCD-এ, কর্ণ AC অঙ্কন করে প্রাপ্ত ত্রিভুজ ABC এবং ADC বিবেচনা করুন।

এই ত্রিভুজগুলিতে, বাহুর AB পাশের CD এর সাথে এবং BC AD এর সাথে মিলে যায়। অতএব, AB = CD এবং BC = AD।

কোণ B কোণ D এর সাথে মিলে যায়, যেমন ∠B = ∠D। একটি সমান্তরালগ্রামের কোণ A হল দুটি কোণের সমষ্টি - ∠BAC এবং ∠CAD। কোণ C ∠BCA এবং ∠ACD এর সমান। যেহেতু জোড়া কোণগুলি একে অপরের সমান, তাহলে ∠A = ∠C।

এইভাবে, এটা প্রমাণিত যে একটি সমান্তরাল ভুমিকাতে বিপরীত বাহু এবং কোণগুলি সমান।

কর্ণ অর্ধেক বিভক্ত করা হয়

যেহেতু একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ একটি উত্তল চতুর্ভুজ, তাই এর দুটি কর্ণ রয়েছে এবং তারা ছেদ করে। সমান্তরাল ABCD দেওয়া যাক, এর কর্ণ AC এবং BD E বিন্দুতে ছেদ করে। তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ABE এবং CDE বিবেচনা করুন।

এই ত্রিভুজের বাহু AB এবং CD একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুর সমান। সমান্তরাল রেখা AB এবং CD এর সাথে আড়াআড়িভাবে থাকা কোণ ABE কোণ CDE এর সমান। একই কারণে, ∠BAE = ∠DCE। এর মানে হল ∆ABE = ∆CDE দুটি কোণে এবং তাদের মধ্যবর্তী দিক।

আপনি আরও লক্ষ্য করতে পারেন যে AEB এবং CED কোণগুলি উল্লম্ব এবং তাই একে অপরের সমান।

যেহেতু ত্রিভুজ ABE এবং CDE একে অপরের সমান, তাহলে তাদের সমস্ত সংশ্লিষ্ট উপাদান সমান। প্রথম ত্রিভুজের পার্শ্ব AE দ্বিতীয়টির পার্শ্ব CE এর সাথে মিলে যায়, যার অর্থ AE = CE। একইভাবে BE = DE। সমান অংশের প্রতিটি জোড়া একটি সমান্তরালগ্রামের একটি কর্ণ গঠন করে। সুতরাং এটি প্রমাণিত হয় একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি তাদের ছেদ বিন্দু দ্বারা দ্বিখণ্ডিত হয়.

একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান্তরাল। একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল তার ভিত্তি (a) এবং উচ্চতা (h) এর গুণফলের সমান। আপনি এর ক্ষেত্রফল দুটি বাহু এবং একটি কোণ এবং কর্ণের মাধ্যমেও খুঁজে পেতে পারেন।

একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য

1. বিপরীত দিকগুলি অভিন্ন

প্রথমত, তির্যক আঁকুন $AC$। আমরা দুটি ত্রিভুজ পাই: $ABC$ এবং $ADC$।

যেহেতু $ABCD$ একটি সমান্তরাল, তাই নিম্নলিখিতটি সত্য:

$AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2$আড়াআড়িভাবে মিথ্যা মত.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4$আড়াআড়িভাবে মিথ্যা মত.

অতএব, (দ্বিতীয় মানদণ্ড অনুসারে: এবং $AC$ সাধারণ)।

আর এর মানে $\ত্রিভুজ ABC = \ত্রিভুজ ADC$, তারপর $AB = CD$ এবং $AD = BC$।

2. বিপরীত কোণগুলি অভিন্ন

প্রমাণ অনুযায়ী বৈশিষ্ট্য 1আমরা তা জানি $\ কোণ 1 = \ কোণ 2, \ কোণ 3 = \ কোণ 4$. সুতরাং বিপরীত কোণের সমষ্টি হল: $\ কোণ 1 + \ কোণ 3 = \ কোণ 2 + \ কোণ 4$. সেই বিবেচনায় $\ত্রিভুজ ABC = \ত্রিভুজ ADC$আমরা পাই $\ কোণ A = \ কোণ C $, $\ কোণ B = \ কোণ D $।

3. কর্ণগুলিকে ছেদ বিন্দু দ্বারা অর্ধেক ভাগ করা হয়

দ্বারা সম্পত্তি 1আমরা জানি যে বিপরীত বাহুগুলি অভিন্ন: $AB = CD$। আবারও, ক্রসওয়াইজ শুয়ে থাকা সমান কোণগুলি নোট করুন।

সুতরাং এটা স্পষ্ট যে $\ত্রিভুজ AOB = \ত্রিভুজ COD$ত্রিভুজের সমতার দ্বিতীয় চিহ্ন অনুসারে (দুটি কোণ এবং তাদের মধ্যবর্তী দিক)। অর্থাৎ, $BO = OD$ (কোণগুলির বিপরীতে $\কোণ 2$ এবং $\কোণ 1$ ) এবং $AO = OC$ (কোণগুলির বিপরীত $\কোণ 3$ এবং $ \কোণ 4$ যথাক্রমে)।

একটি সমান্তরাল বৃত্তের চিহ্ন

যদি আপনার সমস্যায় শুধুমাত্র একটি বৈশিষ্ট্য উপস্থিত থাকে, তাহলে চিত্রটি একটি সমান্তরালগ্রাম এবং আপনি এই চিত্রের সমস্ত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে পারেন।

ভালোভাবে মুখস্থ করার জন্য, লক্ষ্য করুন যে সমান্তরাল চিহ্নটি নিম্নলিখিত প্রশ্নের উত্তর দেবে- "কিভাবে খুঁজে বের করব?". অর্থাৎ, কিভাবে খুঁজে বের করা যায় যে একটি প্রদত্ত চিত্র একটি সমান্তরালগ্রাম।

1. একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার দুটি বাহু সমান এবং সমান্তরাল

$AB = CD$; $AB || CD \Rightarrow ABCD$- সমান্তরাল বৃত্ত।

এর একটি ঘনিষ্ঠ কটাক্ষপাত করা যাক. কেন $AD || BC $?

$\ত্রিভুজ ABC = \ত্রিভুজ ADC$দ্বারা সম্পত্তি 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ আড়াআড়িভাবে পড়ে থাকে যখন $AB $ এবং $CD $ এবং সেক্যান্ট $AC $ সমান্তরাল হয়।

কিন্তু যদি $\ত্রিভুজ ABC = \ত্রিভুজ ADC$, তারপর $\কোণ 3 = \কোণ 4 $ (বিপরীত মিথ্যা $AD || BC $ ($\কোণ 3 $ এবং $\কোণ 4 $ - যারা আড়াআড়িভাবে পড়ে থাকে তারাও সমান)।

প্রথম চিহ্নটি সঠিক।

2. একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি সমান

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ একটি সমান্তরালগ্রাম।

আসুন এই চিহ্নটি বিবেচনা করি। আবার তির্যক $AC$ আঁকি।

দ্বারা সম্পত্তি 1$\ত্রিভুজ ABC = \ত্রিভুজ ACD$.

এটি এই থেকে অনুসরণ করে যে: $\কোণ 1 = \কোণ 2 \Rightarrow AD || BC $এবং $\কোণ 3 = \কোণ 4 \Rightarrow AB || CD $, অর্থাৎ, $ABCD$ একটি সমান্তরালগ্রাম।

দ্বিতীয় চিহ্নটি সঠিক।

3. একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত কোণগুলি সমান

$\কোণ এ = \কোণ সি$ , $\কোণ B = \কোণ D \Rightarrow ABCD$- সমান্তরাল বৃত্ত।

$2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) $(যেহেতু $\ কোণ A = \ কোণ C$, $\ কোণ B = \ কোণ D$ শর্ত অনুসারে)।

এটা সক্রিয় আউট, . কিন্তু $\alpha $ এবং $\beta $ সেক্যান্ট $AB $ এ অভ্যন্তরীণ একতরফা।

এবং কি $\আলফা + \বিটা = 180^(\circ) $এটাও বলে যে $AD || BC $।

1. সমান্তরালগ্রামের সংজ্ঞা।

যদি আমরা একটি জোড়া সমান্তরাল রেখার সাথে অন্য একটি জোড়া সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করি, তাহলে আমরা একটি চতুর্ভুজ পাই যার বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান্তরাল।

চতুর্ভুজ ABDC এবং EFNM (চিত্র 224) ВD || এসি এবং এবি || সিডি;

ইএফ || MN এবং EM || এফএন

একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান্তরাল তাকে সমান্তরালগ্রাম বলে।

2. একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য।

উপপাদ্য। একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এটিকে দুটি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

একটি সমান্তরাল ABDC (চিত্র 225) থাকুক, যার মধ্যে AB || সিডি এবং এসি || ভিডি

আপনাকে প্রমাণ করতে হবে যে তির্যকটি এটিকে দুটি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

সমান্তরাল ABDC-তে কর্ণ CB আঁকুন। আসুন প্রমাণ করি যে $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ।

NE পাশ এই ত্রিভুজগুলির জন্য সাধারণ; ∠ABC = ∠BCD, সমান্তরাল AB এবং CD এবং সেকেন্ট CB সহ অভ্যন্তরীণ আড়াআড়ি কোণ হিসাবে; ∠ACB = ∠СВD, সমান্তরাল AC এবং BD এবং সেকেন্ট CB সহ অভ্যন্তরীণ আড়াআড়ি কোণের মতো।

তাই $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

একইভাবে, কেউ প্রমাণ করতে পারে যে তির্যক AD সমান্তরালগ্রামকে দুটি সমান ত্রিভুজ ACD এবং ABD এ ভাগ করবে।

পরিণতি:

1 . একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত কোণগুলি একে অপরের সমান।

∠A = ∠D, এটি CAB এবং CDB ত্রিভুজের সমতা থেকে অনুসরণ করে।

একইভাবে, ∠C = ∠B.

2. একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুগুলি একে অপরের সমান।

AB = CD এবং AC = BD, যেহেতু এগুলি সমান ত্রিভুজের বাহু এবং বিপরীত সমান কোণ রয়েছে।

উপপাদ্য 2। একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি তাদের ছেদ বিন্দুতে অর্ধেক ভাগে বিভক্ত।

BC এবং AD সমান্তরাল ABC (চিত্র 226) এর কর্ণ। আসুন প্রমাণ করি যে AO = OD এবং CO = OB।

এটি করার জন্য, বিপরীতভাবে অবস্থিত ত্রিভুজগুলির কিছু জোড়া তুলনা করুন, উদাহরণস্বরূপ $\Delta$AOB এবং $\Delta$СOD।

এই ত্রিভুজগুলিতে AB = CD, একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুর মতো;

∠1 = ∠2, সমান্তরাল AB এবং CD এবং সেকেন্ট AD সহ আড়াআড়িভাবে থাকা অভ্যন্তরীণ কোণ হিসাবে;

∠3 = ∠4 একই কারণে, যেহেতু AB || সিডি এবং এসভি তাদের সেক্যান্ট।

এটি অনুসরণ করে যে $\Delta$AOB = $\Delta$СOD। এবং ইন সমান ত্রিভুজবিপরীত সমান কোণে থাকা সমান পক্ষ. অতএব, AO = OD এবং CO = OB।

উপপাদ্য 3. একটি সমান্তরালগ্রামের এক বাহুর সংলগ্ন কোণের সমষ্টি সমান 180°.

সমান্তরাল ABCD-এ আমরা তির্যক AC আঁকি এবং ABC এবং ADC দুটি ত্রিভুজ পাই।

ত্রিভুজগুলি সমান, যেহেতু ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (সমান্তরাল রেখার জন্য আড়াআড়ি কোণ), এবং পার্শ্ব AC সাধারণ।
সমতা $\Delta$ABC = $\Delta$ADC থেকে এটি অনুসরণ করে যে AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D।

এক বাহুর সংলগ্ন কোণের সমষ্টি, উদাহরণস্বরূপ কোণ A এবং D, সমান্তরাল রেখার জন্য একতরফা কোণ হিসাবে 180° এর সমান।

সংজ্ঞা

সমান্তরাল বৃত্তএকটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান্তরাল।

সমান্তরালগ্রামের কর্ণের ছেদ বিন্দুকে বলা হয় কেন্দ্র.

একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য:

একটি সমান্তরালগ্রামের যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি হল $180^(\circ)$, এবং বিপরীত কোণগুলি সমান।
একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুগুলি সমান।
একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি ছেদ বিন্দুতে ছেদ করে এবং দ্বিখণ্ডিত করে।

প্রমাণ

একটি সমান্তরাল বৃত্তাকার $ABCD$ দেওয়া যাক।

1. মনে রাখবেন যে সমান্তরালগ্রামের সন্নিহিত কোণ $A$ এবং $B$ হল একতরফা অভ্যন্তরীণ কোণ যার সমান্তরাল রেখা $AD$ এবং $BC$ এবং একটি সেকেন্ট $AB$, অর্থাৎ তাদের যোগফল $180^ এর সমান। \circ$। অনুরূপভাবে কোণ অন্যান্য জোড়া জন্য.

যদি $\angle A + \angle B=180^\circ$ এবং $\angle C + \angle B=180^\circ$, তাহলে $\angle A = \angle C$। একইভাবে, $\কোণ B = \কোণ D$।

2. $ABC$ এবং $CDA$ ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুর সমান্তরালতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে $\angle BAC=\angle DCA$ এবং $\angle BCA=\angle DAC$। যেহেতু $AC$ সাধারণ, তাহলে দ্বিতীয় মানদণ্ড অনুযায়ী $ABC$ এবং $CDA$ ত্রিভুজ সমান। ত্রিভুজের সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে $AB=CD$ এবং $BC=AD$।

3. যেহেতু একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ একটি উত্তল চতুর্ভুজ, তাই এর কর্ণগুলি ছেদ করে। $O$ কে ছেদ বিন্দু হতে দিন। সমান্তরালগ্রামের $BC$ এবং $AD$ বাহুগুলির সমান্তরালতা থেকে এটি $\angle OAD=\angle OCB$ এবং $\angle ODA=\angle OBC$ অনুসরণ করে। সমতা $BC=AD$ বিবেচনা করে, আমরা পাই যে ত্রিভুজ $AOD$ এবং $COB$ দ্বিতীয় মানদণ্ড অনুযায়ী সমান। অতএব, প্রয়োজন অনুযায়ী $AO=CO$ এবং $DO=BO$।

একটি সমান্তরালগ্রামের চিহ্ন:

যদি একটি চতুর্ভুজে যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি হয় $180^(\circ)$, তাহলে এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরাল।
যদি একটি চতুর্ভুজে বিপরীত কোণগুলি জোড়ায় সমান হয়, তবে এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরাল।
যদি একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান হয়, তাহলে এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।
যদি একটি চতুর্ভুজের দুটি বাহু সমান এবং সমান্তরাল হয়, তবে চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।
যদি একটি চতুর্ভুজের কর্ণগুলি তাদের ছেদ বিন্দু দ্বারা দ্বিখণ্ডিত হয়, তাহলে চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

প্রমাণ

ধরুন $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ।

1. লক্ষ্য করুন যে সন্নিহিত কোণগুলি $A$ এবং $B$ হল একতরফা অভ্যন্তরীণ কোণ যার $AD$ এবং $BC$ এবং ট্রান্সভার্সাল $AB$। যেহেতু তাদের যোগফল হল $180^\circ$, তাহলে লাইন $AD$ এবং $BC$ সমান্তরাল। একইভাবে আরেকটি জোড়া লাইনের জন্য, অর্থাৎ $ABCD$ হল সংজ্ঞা অনুসারে একটি সমান্তরালগ্রাম।

2. নোট করুন যে $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$। যদি $\কোণ A = \কোণ C$, এবং $\কোণ B = \কোণ D$, তাহলে $\angle A + \angle B=180^\circ$ এবং একইভাবে অন্যান্য জোড়া সন্নিহিত কোণের জন্য। পরবর্তীতে আমরা পূর্ববর্তী চিহ্ন ব্যবহার করি।

3. $ABC$ এবং $CDA$ ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। যেহেতু $AC$ সাধারণ, এটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুর সমতা থেকে অনুসরণ করে যে ত্রিভুজ $ABC$ এবং $CDA$ তৃতীয় মানদণ্ড অনুযায়ী সমান। অতএব, $\angle BAC=\angle DCA$ এবং $\angle BCA=\angle DAC$, যা বিপরীত বাহুর সমান্তরালতা বোঝায়।

4. যাক $BC$ এবং $AD$ সমান এবং সমান্তরাল। $ABC$ এবং $CDA$ ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। রেখাগুলির সমান্তরাল থেকে এটি $\angle BCA=\angle DAC$ অনুসরণ করে। যেহেতু $AC$ সাধারণ এবং $BC=AD$, তাহলে ত্রিভুজ $ABC$ এবং $CDA$ প্রথম মানদণ্ড অনুযায়ী সমান। অতএব, $AB=CD$। পরবর্তীতে আমরা পূর্ববর্তী চিহ্ন ব্যবহার করি।

5. ধরুন $O$ কে কর্ণ এবং $AO=CO$ এবং $DO=BO$ এর সমতা বিবেচনা করে, আমরা পাই যে $AOD$ এবং $COB$ হল ত্রিভুজ। প্রথম মানদণ্ড অনুযায়ী সমান। অতএব, $\angle OAD=\angle OCB$, যা $BC$ এবং $AD$ এর সমান্তরালতাকে বোঝায়। একইভাবে পক্ষের অন্যান্য জোড়া জন্য.

সংজ্ঞা

যে চতুর্ভুজের তিনটি সমকোণ আছে তাকে বলে আয়তক্ষেত্র

আয়তক্ষেত্র বৈশিষ্ট্য:

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সমান।

প্রমাণ

একটি আয়তক্ষেত্র $ABCD$ দেওয়া যাক। যেহেতু আয়তক্ষেত্রটি একটি সমান্তরাল, তাই এর বিপরীত বাহুগুলো সমান। তারপর সমকোণী ত্রিভুজ$ABD$ এবং $DCA$ দুই পায়ে সমান, যার মানে হল $BD=AC$।

একটি আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য:

যদি একটি সমান্তরালগ্রামের একটি সমকোণ থাকে, তাহলে এই সমান্তরালগ্রামটি একটি আয়তক্ষেত্র।
যদি একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ সমান হয়, তাহলে এই সমান্তরালটি একটি আয়তক্ষেত্র।

প্রমাণ

1. যদি একটি সমান্তরালগ্রামের একটি কোণ সরল হয়, তাহলে, সন্নিহিত কোণের সমষ্টি $180^(\circ)$, এই বিবেচনায় আমরা পাই যে অবশিষ্ট কোণগুলিও সরল।

2. সমান্তরাল $ABCD$-এ কর্ণ $AC$ এবং $BD$ সমান হোক। $AB$ এবং $DC$ বিপরীত বাহুর সমতা বিবেচনায় নিয়ে, আমরা পাই যে $ABD$ এবং $DCA$ ত্রিভুজগুলি তৃতীয় মানদণ্ড অনুসারে সমান। অতএব, $\angle BAD=\angle CDA$, অর্থাৎ, তারা সোজা। এটি পূর্ববর্তী চিহ্ন ব্যবহার অবশেষ।

সংজ্ঞা

যে চতুর্ভুজের সব বাহু সমান তাকে বলে হীরা

একটি রম্বসের বৈশিষ্ট্য:

একটি রম্বসের কর্ণগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব এবং এর কোণের দ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ

রম্বসের $AC$ এবং $BD$ কর্ণ $ABCD$ $O$ বিন্দুতে ছেদ করতে দিন। যেহেতু একটি রম্বস একটি সমান্তরাল, $AO=OC$। এর বিবেচনা করা যাক সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ$ABC$। যেহেতু $AO$ হল বেসের দিকে টানা মাঝারি, তাই এটি দ্বিখণ্ডক এবং উচ্চতা, যা প্রয়োজন ছিল।

হীরার চিহ্ন:

যদি একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব হয়, তাহলে এই সমান্তরালটি একটি রম্বস।
যদি একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণটি তার কোণের দ্বিখণ্ডক হয়, তাহলে এই সমান্তরালটি একটি রম্বস।

প্রমাণ

সমান্তরালগ্রাম $ABCD$-এর কর্ণ $AC$ এবং $BD$ $O$ বিন্দুতে ছেদ করা যাক। ত্রিভুজ $ABC$ বিবেচনা করুন।

1. যদি কর্ণগুলি লম্ব হয়, তাহলে $BO$ হল ত্রিভুজের মধ্যমা এবং উচ্চতা।

2. যদি তির্যক $BD$-এ $ABC$ কোণের দ্বিখণ্ডক থাকে, তাহলে $BO$ হল মধ্যমা এবং ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডক।

উভয় ক্ষেত্রেই, আমরা দেখতে পাই যে $ABC$ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু এবং একটি সমান্তরালগ্রামে সন্নিহিত বাহুগুলি সমান। অতএব, এটি একটি রম্বস, যা প্রয়োজন ছিল।

সংজ্ঞা

যে আয়তক্ষেত্রের দুটি সন্নিহিত বাহু সমান তাকে বলা হয় বর্গক্ষেত্র

বর্গক্ষেত্রের চিহ্ন:

যদি একটি রম্বসের একটি সমকোণ থাকে, তাহলে সেই রম্বসটি একটি বর্গক্ষেত্র।
যদি একটি রম্বসের সমান কর্ণ থাকে, তাহলে রম্বসটি একটি বর্গক্ষেত্র।

প্রমাণ

যদি একটি সমান্তরালগ্রামের একটি সমকোণ বা সমান কর্ণ থাকে, তাহলে এটি একটি আয়তক্ষেত্র। যদি একটি চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি রম্বস হয়, তাহলে এটি একটি বর্গক্ষেত্র।

সংজ্ঞা

সমান্তরাল বৃত্তএকটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান্তরাল।

চিত্র 1 সমান্তরাল বৃত্ত দেখায় $A B C D, A B\|C D, B C\| A D$।

একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য

একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত বাহুগুলি সমান: $A B=C D, B C=A D$ (চিত্র 1)।
একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত কোণগুলি $\কোণ A=\কোণ C, \কোণ B=\কোণ D$ (চিত্র 1) এর সমান।
ছেদ বিন্দুতে সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি অর্ধেক $A O=O C, B O=O D$ (চিত্র 1) এ বিভক্ত।
একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এটিকে দুটি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

এক বাহুর সংলগ্ন একটি সমান্তরালগ্রামের কোণের সমষ্টি হল $180^(\circ)$:

$$\কোণ A+\কোণ B=180^(\circ), \কোণ B+\কোণ C=180^(\circ)$$

$$\কোণ C+\কোণ D=180^(\circ), \angle D+\angle A=180^(\circ)$$

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এবং বাহুগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

একটি সমান্তরালগ্রামে, উচ্চতার মধ্যে কোণটি এর সমান ধারালো কোণ: $\angle K B H=\কোণ A$।
একটি সমান্তরালগ্রামের এক পাশে সংলগ্ন কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব।
একটি সমান্তরালগ্রামের দুটি বিপরীত কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি সমান্তরাল।

একটি সমান্তরাল বৃত্তের চিহ্ন

চতুর্ভুজ $ABCD$ যদি একটি সমান্তরাল হয়

$A B=C D$ এবং $A B \| C D$
$A B=C D$ এবং $B C=A D$
$A O=O C$ এবং $B O=O D$
$\কোণ A=\কোণ C$ এবং $\কোণ B=\কোণ D$

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল নিম্নলিখিত সূত্রগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ

ব্যায়াম।একটি সমান্তরালগ্রামের দুটি কোণের সমষ্টি হল $140^(\circ)$। সমান্তরালগ্রামের সর্বশ্রেষ্ঠ কোণ নির্ণয় কর।

সমাধান।একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত কোণগুলি সমান। সমান্তরালগ্রামের বৃহত্তর কোণটিকে $\alpha$ এবং ছোট কোণটিকে $\beta$ হিসাবে চিহ্নিত করা যাক। $\alpha$ এবং $\beta$ কোণের সমষ্টি হল $180^(\circ)$, তাই $140^(\circ)$ এর সমান একটি প্রদত্ত যোগফল হল দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি, তারপর $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$। এইভাবে ছোট কোণ হল $\beta=70^(\circ)$। আমরা সম্পর্ক থেকে $\alpha$ বড় কোণ খুঁজে পাই:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

উত্তর।$\alpha=110^(\circ)$

উদাহরণ

ব্যায়াম।সমান্তরালগ্রামের বাহুগুলি 18 সেমি এবং 15 সেমি, এবং ছোট দিকে টানা উচ্চতা 6 সেমি সমান্তরালগ্রামের অন্য উচ্চতা খুঁজুন।

সমাধান।আসুন একটি অঙ্কন করি (চিত্র 2)