বহুপদগুলির হ্রাসযোগ্যতা নির্ভর করে যে ক্ষেত্রে তারা বিবেচনা করা হয় তার উপর। একটি বহুপদ হল অপরিবর্তনীয় (একটি বহুপদী যা নিম্নতর ডিগ্রির গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করা যায় না) Q ক্ষেত্রের উপর এবং R ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য।

অপরিবর্তনীয় বহুপদীর বৈশিষ্ট্য:

1. ডিগ্রী শূন্যের একটি বহুপদ যেকোনো ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য
2. যদি একটি বহুপদ f(x) মাঠের উপরে হ্রাসযোগ্য নয় আর, তারপর বহুপদ a f(x) এছাড়াও মাঠের উপরে হ্রাসযোগ্য নয় আর.
3. চলুন বহুপদী চ (x)এবং p(x) মাঠের উপরে আর, এবং p(x) - একটি ক্ষেত্রের উপর অপরিবর্তনীয় আর, তারপর ক্ষেত্রে সম্ভব

1) বহুপদ চ (x)এবং p(x) তুলনামূলকভাবে প্রধান

2) f(x:(সম্পূর্ণ) p(x)

একটি ক্ষেত্র বীজগণিতভাবে বন্ধ বলা হয় যদি এই ক্ষেত্রের উপর যে কোনো বহুপদ যা একটি ধ্রুবকের সমান নয় তার অন্তত একটি মূল থাকে। বেজউটের উপপাদ্য থেকে এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে এই জাতীয় ক্ষেত্রের উপর যে কোনও অ-ধ্রুবক বহুপদকে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলির একটি গুণে পরিণত করা যেতে পারে। এই অর্থে, বীজগণিতীয়ভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলি অ-বীজগণিতভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলির তুলনায় গঠনে সহজ। আমরা জানি যে বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রতিটি বর্গাকার ত্রিনয়কের একটি মূল থাকে না, এইভাবে ক্ষেত্র ℝ বীজগণিতভাবে বন্ধ হয় না। দেখা যাচ্ছে যে তিনি বীজগণিত বন্ধের সামান্য ছোট। অন্য কথায়: একটি সমীকরণ সম্পর্কে একটি আপাতদৃষ্টিতে বিশেষ সমস্যা সমাধান করার পরে, আমরা একই সাথে অন্যান্য বহুপদী সমীকরণগুলি সমাধান করেছি।

বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য।যে কোনো বহুপদী ক্ষেত্রের উপর ℂ যেটি একটি ধ্রুবকের সমান নয় তার অন্তত একটি জটিল মূল থাকে।

তদন্ত।আমরা জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের ধ্রুবকের সমান নয় এমন যেকোন বহুপদীকে রৈখিক গুণনীয়কের গুণফলের মধ্যে প্রসারিত করতে পারি:

এখানে বহুপদীর শীর্ষস্থানীয় সহগ, বহুপদীর সমস্ত বিভিন্ন জটিল মূল এবং তাদের বহুগুণ। সমতা সন্তুষ্ট হতে হবে

ফলাফলের প্রমাণ হল বহুপদ ডিগ্রীর উপর একটি সরল আবেশ।

অন্যান্য ক্ষেত্রগুলির তুলনায় বহুপদগুলির পচনশীলতার ক্ষেত্রে পরিস্থিতি এতটা ভাল নয়। আমরা একটি বহুপদীকে অপরিবর্তনীয় বলি যদি, প্রথমত, এটি একটি ধ্রুবক না হয় এবং, দ্বিতীয়ত, এটি নিম্ন ডিগ্রির বহুপদীর গুণফলের মধ্যে পচনশীল না হয়। এটা স্পষ্ট যে প্রতিটি রৈখিক বহুপদী (যেকোন ক্ষেত্রের উপরে) অপরিবর্তনীয়। ফলাফলকে নিম্নরূপ সংস্কার করা যেতে পারে: একটি অগ্রণী একক সহগ (অন্য কথায়: একক) জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর অপরিবর্তনীয় বহুপদগুলি ফর্ম () এর বহুপদ দ্বারা নিঃশেষ হয়ে যায়।

একটি চতুর্ভুজ ত্রিনামিকের পচনশীলতা কমপক্ষে একটি মূলের উপস্থিতির সমতুল্য। সমীকরণটিকে আকারে রূপান্তরিত করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের মূলটি বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি বৈষম্যকারীটি K ক্ষেত্রের কিছু উপাদানের বর্গ হয় (এখানে আমরা ধরে নিই যে K ক্ষেত্রের 2≠ 0)। এখান থেকে আমরা পাই

অফার K ক্ষেত্রের উপর একটি বর্গাকার ত্রিনমিক যেখানে 2≠ 0 অপরিবর্তনীয় যদি এবং শুধুমাত্র K ক্ষেত্রের কোনো শিকড় না থাকে। এটি এই সত্যের সমতুল্য যে বৈষম্যকারীটি K ক্ষেত্রের কোনো উপাদানের বর্গ নয়। বিশেষ করে , বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর বর্গাকার ত্রিনামিক অপরিবর্তনীয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি।

সুতরাং বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে অন্তত দুটি ধরণের অপরিবর্তনীয় বহুপদ রয়েছে: রৈখিক এবং দ্বিঘাত এবং ঋণাত্মক বৈষম্য। দেখা যাচ্ছে যে এই দুটি ক্ষেত্রে ℝ এর উপরে অপরিবর্তনীয় বহুপদগুলির সেট নিঃশেষ হয়ে যায়।

থিওরেম।আমরা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর যেকোন বহুপদীকে রৈখিক ফ্যাক্টর এবং নেতিবাচক বৈষম্য সহ দ্বিঘাত গুণনীয়কের গুণফলের মধ্যে পচন করতে পারি:

এখানে বহুপদীর সমস্ত ভিন্ন বাস্তব মূল রয়েছে, তাদের বহুত্ব, সমস্ত বৈষম্য শূন্যের চেয়ে কম এবং দ্বিঘাত ত্রিপদীগুলি সবই আলাদা।

প্রথমে আমরা লেমা প্রমাণ করি

লেমা।যদি কোনটির জন্য হয়, তাহলে কনজুগেট সংখ্যাটিও বহুপদীর মূল।

প্রমাণ। যাক, এবং একটি বহুপদীর একটি জটিল মূল। তারপর

যেখানে আমরা সাথী বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করেছি। তাই, . সুতরাং, এটি বহুপদীর মূল। □

উপপাদ্যের প্রমাণ। এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর যে কোনো অপরিবর্তনীয় বহুপদী হয় রৈখিক বা একটি ঋণাত্মক বৈষম্য সহ দ্বিঘাত। একক অগ্রণী সহগ সহ একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদী হতে দিন। ক্ষেত্রে আমরা অবিলম্বে কিছু বাস্তব জন্য প্রাপ্ত. ধরা যাক যে. জটিল সংখ্যার বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে বিদ্যমান এই বহুপদীর যেকোন জটিল মূল দ্বারা চিহ্নিত করা যাক। যেহেতু এটি অপরিবর্তনীয়, তাহলে (বেজউটের উপপাদ্য দেখুন)। তারপর, লেমা দ্বারা, বহুপদীর আরেকটি মূল হবে, এর থেকে আলাদা।

একটি বহুপদী প্রকৃত সহগ আছে। উপরন্তু, Bezout এর উপপাদ্য অনুযায়ী বিভাজন। যেহেতু এটি অপরিবর্তনীয় এবং একটি ইউনিট লিডিং সহগ আছে, তাই আমরা সমতা পাই। এই বহুপদীর বৈষম্যকারী নেতিবাচক, কারণ অন্যথায় এর প্রকৃত শিকড় থাকবে।□

উদাহরণ ক.চলুন বহুপদকে অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরে পরিণত করি। ধ্রুবক পদ 6 এর ভাজকগুলির মধ্যে, আমরা বহুপদীর মূলের সন্ধান করি। আমরা নিশ্চিত করি যে 1 এবং 2 মূল। এইভাবে বহুপদী দ্বারা বিভক্ত। বিভক্ত থাকার, আমরা খুঁজে

ক্ষেত্রের উপর চূড়ান্ত সম্প্রসারণ, কারণ বর্গক্ষেত্রের ত্রিনামিকের বৈষম্য ঋণাত্মক এবং তাই, এটিকে বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর আরও প্রসারিত করা যায় না। আমরা জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে একই বহুপদীর সম্প্রসারণ পাই যদি আমরা বর্গাকার ত্রিনয়কের জটিল মূল খুঁজে পাই। তারাই সারমর্ম। তারপর

এই বহুপদীর সম্প্রসারণ

B. আসুন বাস্তব এবং জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রগুলিকে প্রসারিত করি। যেহেতু এই বহুপদীটির কোনো প্রকৃত শিকড় নেই, তাই এটিকে নেতিবাচক বৈষম্য সহ দুটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনামলে পরিণত করা যেতে পারে।

যেহেতু বহুপদী দ্বারা প্রতিস্থাপিত হলে এটি পরিবর্তিত হয় না, তাই এই ধরনের প্রতিস্থাপনের সাথে বর্গাকার ত্রিনমীয়কে প্রবেশ করতে হবে এবং এর বিপরীতে। এখান থেকে। সহগ সমান করে, আমরা বিশেষভাবে, প্রাপ্ত করি। তারপর সম্পর্ক থেকে (প্রতিস্থাপন দ্বারা প্রাপ্ত আমরা নিষ্কাশন করি, এবং অবশেষে, . তাই,

বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর বিস্তৃতি।

জটিল সংখ্যার উপর এই বহুপদকে প্রসারিত করার জন্য, আমরা সমীকরণটি সমাধান করি বা। এটা স্পষ্ট যে শিকড় থাকবে। আমরা সব বিভিন্ন শিকড় পেতে. তাই,

জটিল সংখ্যার উপর প্রসারণ। হিসাব করা সহজ

এবং আমরা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর একটি বহুপদকে প্রসারিত করার সমস্যার আরেকটি সমাধান পাই।

কাজ শেষ -

এই বিষয় বিভাগের অন্তর্গত:

মৌলিক এবং কম্পিউটার বীজগণিত

ভূমিকা

আপনার যদি এই বিষয়ে অতিরিক্ত উপাদানের প্রয়োজন হয়, বা আপনি যা খুঁজছিলেন তা খুঁজে না পান, আমরা আমাদের কাজের ডাটাবেসে অনুসন্ধান ব্যবহার করার পরামর্শ দিই:

প্রাপ্ত উপাদান দিয়ে আমরা কী করব:

যদি এই উপাদানটি আপনার জন্য উপযোগী হয়, আপনি সামাজিক নেটওয়ার্কগুলিতে আপনার পৃষ্ঠায় এটি সংরক্ষণ করতে পারেন:

এই বিভাগে সমস্ত বিষয়:

N.I. Dubrovin
Spassky সেটেলমেন্ট 2012 বিষয়বস্তু ভূমিকা. 4 চিহ্ন এবং পদের তালিকা। 5 1 বেসিক সম্পর্কে একটু। 6 2 নিষ্পাপ সেট তত্ত্ব। 9

বেসিক সম্পর্কে একটু
গণিতে তারা বিভিন্ন প্রকৃতির সংখ্যা (প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ, বাস্তব, জটিল), এক এবং একাধিক চলকের বহুপদ, ম্যাট্রিক্সের মতো বস্তুর সাথে কাজ করে।

নিষ্পাপ সেট তত্ত্ব
একটি গাণিতিক পাঠ্য সংজ্ঞা এবং বিবৃতি নিয়ে গঠিত। কিছু বিবৃতি, তাদের গুরুত্ব এবং অন্যান্য বিবৃতির সাথে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে, নিম্নলিখিত পদগুলির মধ্যে একটি বলা হয়:

কার্টেসিয়ান পণ্য
একটি আদেশযুক্ত জোড়া, বা সহজভাবে উপাদানগুলির একটি জোড়া, গণিতের মৌলিক নির্মাণগুলির মধ্যে একটি। আপনি এটিকে দুটি স্থান সহ একটি তাক হিসাবে কল্পনা করতে পারেন - প্রথম এবং দ্বিতীয়। অনেক সময় গণিতে তা হয় না

প্রাকৃতিক সংখ্যা
সংখ্যাগুলি (1,2,3,...), যা যোগ করে একটি থেকে পাওয়া যায়, তাদেরকে প্রাকৃতিক সংখ্যা বলা হয় এবং ℕ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি স্বতঃসিদ্ধ বর্ণনা এরকম হতে পারে (দেখুন।

পুনরাবৃত্তি
স্বতঃসিদ্ধ N1-N3 থেকে শুরু করে প্রাথমিক বিদ্যালয় থেকে সকলের কাছে পরিচিত প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ ও গুণনের ক্রিয়াকলাপ, একে অপরের সাথে প্রাকৃতিক সংখ্যার তুলনা এবং ফর্মের বৈশিষ্ট্য “পদগুলির স্থানগুলিকে বিপরীত করা থেকে, যোগফল হয় না

স্বাভাবিক সংখ্যার সেটে অর্ডার করুন
সেট একটি রৈখিক আদেশ সম্পর্ক আছে. ধরা যাক যে n

প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজ্যতা
প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্ষেত্রে বিভাগ অপারেশন সবসময় সম্ভব হয় না। এটি আমাদেরকে বিভাজ্যতার সম্পর্ক প্রবর্তন করার অধিকার দেয়: ধরা যাক যে সংখ্যাটি n সংখ্যাটিকে m ভাগ করে যদি m=nk কিছু উপযুক্ত k∈ এর জন্য

পূর্ণসংখ্যার বিভাজ্যতা
পূর্ণসংখ্যার বলয় দ্বারা বোঝানো যাক। "রিং" শব্দটির অর্থ হল আমরা একটি সেট R নিয়ে কাজ করছি যার উপর দুটি ক্রিয়াকলাপ দেওয়া হয়েছে - যোগ এবং গুণ, পরিচিত আইন মেনে চলা

ইউক্লিডের অ্যালগরিদম
এক জোড়া পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয়েছে (m,n)। আমরা n কে সংখ্যা 1 সহ একটি অবশিষ্টাংশ হিসাবে বিবেচনা করি। ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের প্রথম ধাপ হল m কে একটি অবশিষ্টাংশের সাথে n দ্বারা ভাগ করা এবং তারপর অবশিষ্টটিকে নতুন প্রাপ্ত অবশিষ্টাংশ দ্বারা ভাগ করা, যতক্ষণ না এটি নতুনভাবে প্রাপ্ত হয়।

ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা
ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের একটি ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা দেওয়া যাক (ম্যাট্রিসের জন্য, পরবর্তী অনুচ্ছেদটি দেখুন)। চলুন ম্যাট্রিক্স আকারে অবশিষ্টাংশের সাথে ভাগের ক্রমটি পুনরায় লিখি: প্রতিটিতে প্রতিস্থাপন করা

যুক্তির উপাদান
গণিতবিদরা বস্তুর সাথে ডিল করেন, যেমন, যেমন, সংখ্যা, ফাংশন, ম্যাট্রিস, প্লেনে লাইন ইত্যাদি, এবং বিবৃতি নিয়েও কাজ করেন। একটি উচ্চারণ এক ধরনের আখ্যান

অভিব্যক্তিপূর্ণ ফর্ম
অভিব্যক্তি একটি বিবৃতি হবে? না, এই রেকর্ডটি একটি পরিবর্তনশীলের একটি অভিব্যক্তিপূর্ণ রূপ। যদি আমরা একটি ভেরিয়েবলের পরিবর্তে বৈধ মান প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা বিভিন্ন বিবৃতি পাই

ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
রিং R এর উপর ম্যাট্রিক্স বীজগণিত (R হল পূর্ণসংখ্যার বলয়, মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্র, বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র) হল ক্রিয়াকলাপের একটি সেট সহ সর্বাধিক ব্যবহৃত বীজগণিত ব্যবস্থা

নির্ধারক
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারক হল এর সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য, বা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ছোট-মাত্রিক ম্যাট্রিক্স 1,2,3 এর নির্ধারক দিয়ে শুরু করা যাক: সংজ্ঞা। পু

রৈখিক সমতল রূপান্তর
এটা জানা যায় যে সমতল ϕ এর যে কোনো রূপান্তর যা দূরত্ব রক্ষা করে তা হয় একটি ভেক্টরের সমান্তরাল অনুবাদ, অথবা একটি কোণ α দ্বারা O বিন্দুর চারপাশে ঘূর্ণন, অথবা সরলতার সাপেক্ষে প্রতিসাম্য।

জটিল সংখ্যা
এই বিভাগে আমরা শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্র অধ্যয়ন করি - জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র ℂ। জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি একটি সমতল, এবং একটি বীজগণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি

জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের নির্মাণ
আমরা আসলে ইতিমধ্যেই আগের অনুচ্ছেদে জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র তৈরি করেছি। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের ব্যতিক্রমী গুরুত্বের কারণে, আমরা এর সরাসরি নির্মাণ উপস্থাপন করি। সঙ্গে একটি স্থান বিবেচনা করুন

সংযুক্ত জটিল সংখ্যা
জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রটি আমাদের একটি নতুন সম্পত্তি দেয় - একটি অ-অভিন্ন অবিচ্ছিন্ন স্বয়ংক্রিয়তার উপস্থিতি (নিজেই আইসোমরফিজম)।

একটি জটিল সংখ্যাকে বলা হয় কনজুগেট টু, এবং ম্যাপ
জটিল সংখ্যা লেখার ত্রিকোণমিতিক রূপ

আসুন একটি ভেক্টর হিসাবে একটি জটিল সংখ্যা উপস্থাপন করি। এই ভেক্টরের দৈর্ঘ্য, যেমন পরিমাণকে একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস বলা হয় এবং এটি চিহ্নিত করা হয়। আমরা পরিমাণকে সংখ্যার আদর্শ বলব; কখনও কখনও এটি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক
জটিল সূচক

অনুচ্ছেদের নিয়ম (2) আমাদের একটি সম্পূর্ণ কাল্পনিক সংখ্যার সূচক নির্ধারণ করার অধিকার দেয়: প্রকৃতপক্ষে, এইভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে: &
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

একটি রৈখিক বহুপদে সর্বদা একটি মূল থাকে। বর্গাকার ত্রিনামিক আর সব সময় বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর মূল থাকে না।
জটিল সংখ্যা () এর ক্ষেত্রের উপর একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিক হতে দিন। কনভয়

সমতা সম্পর্ক তত্ত্ব

ধরুন “ ” সেট M-এ একটি সমতুল্য সম্পর্ক। একটি উপাদানের জন্য আমরা এটিকে সমতুল্য শ্রেণী দ্বারা চিহ্নিত করি। তারপর সেট M সমতুল্য শ্রেণীর একটি ইউনিয়নে বিভক্ত; M থেকে প্রতিটি উপাদান একটি ক্ষেত্র F বীজগণিতভাবে বন্ধ বলা হয় যদি F-এর উপর ধনাত্মক ডিগ্রির কোনো বহুপদীর F-এ মূল থাকে।উপপাদ্য 5.1

(বহুপদ বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য)। 5 .1.1. জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র বীজগণিতভাবে বন্ধ। পরিণতিওভার

সঙ্গে প্রথম ডিগ্রির শুধুমাত্র অপরিবর্তনীয় বহুপদ রয়েছে। nফলাফল 5.1.2। পরিণতিবহুপদ n- উপরে তম ডিগ্রী

আছে জটিল শিকড়। চউপপাদ্য 5.2। চ.

(বহুপদ বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য)। 5 .2.1. জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র বীজগণিতভাবে বন্ধ। আর If একটি বহুপদীর একটি জটিল মূল

বাস্তব সহগ সহ, তারপর জটিল সংযোজিত সংখ্যাটিও একটি মূল বহুপদী ওভারের কাল্পনিক শিকড় আরজটিল কনজুগেট জোড়ায় পচন।

উদাহরণ 5.1। অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর এর উপর ফ্যাক্টর পরিণতিএবং উপরে আরবহুপদ x 4 + 4.

সমাধান। আমরা আছে

x 4 + 4 =x 4 + 4এক্স 2 + 4 – 4এক্স 2 = (x 2 + 2) 2 – 4এক্স 2 = (x 2 – 2এক্স+ 2)(x 2 + 2এক্স+ 2) –

উপর সম্প্রসারণ আর. পরিণতি:

x 4 + 4 = (x – 1 – i) (x – 1 + i) (x + 1 – i) (x + 1 + i).

স্বাভাবিক উপায়ে বন্ধনীতে দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদীর জটিল শিকড় খুঁজে পাওয়ার পর, আমরা একটি সম্প্রসারণ পাই i.

উদাহরণ 5.2। মূল 2 এবং 1 + সহ বাস্তব সহগ সহ ক্ষুদ্রতম ডিগ্রির একটি বহুপদ তৈরি করুন i সমাধান। কোরোলারি 5.2.2 অনুসারে, বহুপদীর মূল 2, 1 থাকতে হবে – iএবং 1 +

. এর সহগগুলি ভিয়েটার সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে: i) + (1 +i) = 4;

 1 = 2 + (1 – i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 2 = 2(1 – i)(1 + i) = 4.

 3 = 2(1 – চ =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

এখান থেকে

ব্যায়াম। পরিণতিএবং উপরে আর 5.1।

অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর এর উপর ফ্যাক্টর এক্স 3 – 6এক্স 2 + 11এক্স – 6;

বহুপদ এক্স 4 – 10এক্স 2 + 1.

ক) i.

খ)

5.2। ডবল রুট 1 এবং সরল রুট 1 – 2 সহ বাস্তব সহগ সহ ক্ষুদ্রতম ডিগ্রির একটি বহুপদ তৈরি করুন যাক 6. মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর বহুপদ 0 উপপাদ্য 6.1 1 (আইজেনস্টাইন মানদণ্ড)।+ ক n x n f = a পি+ ক ক 0 , ক 1 , … , ক n x +... পি, ক n- পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদ। পি,কএমন মৌলিক সংখ্যা থাকলে পি, কি চ -1 দ্বারা বিভক্ত

দ্বারা বিভাজ্য নয় 0 দ্বারা বিভাজ্য নয় 2, তারপর

মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য নয়। চ= 2এক্স 5 + 3এক্স 4 – 9এক্স 3 – 6এক্সব্যায়াম 6.1। উপর irreducibility প্রমাণ চ= 5এক্স 4 + 6এক্স 3 – 18এক্স 2 – 12এক্স + 54.

প্র বহুপদ ক) চ = ক 0 + ক 1 x + … + ক n x n+ 3; খ)

ক 0  পি, ক n  উপপাদ্য 6.2।;

চ(1)  যাকচ(–1)  – একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ যা একটি বহুপদীর মূল.

পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ। তারপর

q

চ = 2এক্স 4 + 7এক্স 3 + 3এক্স 2 – 15এক্স– 18.

p–q, পি p+q উপপাদ্য 6.2।এই উপপাদ্যটি আমাদেরকে পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ বহুপদীর মূলদ খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধান করতে দেয়। এটি করার জন্য, আমরা মুক্ত পদের সমস্ত ভাজক এবং অগ্রণী সহগ নির্ধারণ করি এবং তাদের থেকে সমস্ত ধরণের অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ তৈরি করি।

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

এই ভগ্নাংশগুলির মধ্যে সমস্ত যুক্তিযুক্ত শিকড় রয়েছে। তাদের নির্ধারণ করতে, আপনি Horner এর স্কিম ব্যবহার করতে পারেন। এতে অপ্রয়োজনীয় গণনা এড়াতে, আমরা উপপাদ্য 6.2 এর বিবৃতি 2) ব্যবহার করি।

– ভাজক 18, এবং হর এক্স- বিভাজক 2: এক্সআমরা হর্নারের স্কিম অনুযায়ী সেগুলি পরীক্ষা করি: চ(1)পি – উপপাদ্য 6.2। মন্তব্য করুন চ(–1)পি + উপপাদ্য 6.2। p–q পি = 3, উপপাদ্য 6.2।মূলের সন্ধান চ(1) = –21পি – উপপাদ্য 6.2। 1 = –2 এবং বহুপদকে দ্বারা ভাগ করা

+ 2, আমরা একটি নতুন মুক্ত পদ –9 সহ একটি বহুপদ পেয়েছি (এর সহগগুলি আন্ডারলাইন করা হয়েছে)। অবশিষ্ট মূলের অংকগুলি অবশ্যই এই সংখ্যার ভাজক হতে হবে এবং যে ভগ্নাংশগুলি এই শর্তটি পূরণ করে না সেগুলিকে তালিকা থেকে বাদ দেওয়া যেতে পারে৷ এক্স 2 = 3/2, আমরা 3 এর একটি নতুন মুক্ত পদ এবং 1 এর একটি অগ্রণী সহগ সহ একটি বহুপদ পেয়েছি (যখন মূলটি ভগ্নাংশ হয়, ফলে বহুপদীর সহগ হ্রাস করা উচিত)।

তালিকা থেকে কোন অবশিষ্ট সংখ্যা আর এর মূল হতে পারে না, এবং মূলদ মূলের তালিকাটি শেষ হয়ে গেছে।

পাওয়া শিকড় বহুগুণ জন্য চেক করা উচিত.

যদি সমাধানের প্রক্রিয়ায় আমরা দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদীতে আসি, এবং ভগ্নাংশের তালিকা এখনও শেষ না হয়, তবে অবশিষ্ট মূলগুলি একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনাময়ের মূল হিসাবে সাধারণ সূত্রগুলি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে।

মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য নয়। এক্স 3 – 6এক্স 2 + 15এক্স– 14;

ব্যায়াম 6.2। বহুপদীর মূলদ নির্ণয় কর এক্স 5 – 7এক্স 3 – 12এক্স 2 + 6এক্স+ 36;

খ) এক্স 4 – 11এক্স 3 + 23এক্স 2 – 24এক্স+ 12;

গ) 2 এক্স 4 – 7এক্স 2 – 5এক্স– 1.