একটি ত্রিভুজের পরিধি এবং ক্ষেত্রফল। একটি ত্রিভুজের পরিধি এবং ক্ষেত্রফল কীভাবে একটি সমদ্বিবাহুটির পরিধি খুঁজে পাওয়া যায়

প্রাথমিক তথ্য

সমতলে যেকোন সমতল জ্যামিতিক চিত্রের পরিধিকে তার সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ত্রিভুজও এর ব্যতিক্রম নয়। প্রথমত, আমরা একটি ত্রিভুজের ধারণা উপস্থাপন করি, সেইসাথে বাহুগুলির উপর নির্ভর করে ত্রিভুজের প্রকারগুলি।

সংজ্ঞা 1

আমরা একটি ত্রিভুজকে একটি জ্যামিতিক চিত্র বলব যেটি তিনটি বিন্দুর দ্বারা একে অপরের সাথে অংশ দ্বারা সংযুক্ত (চিত্র 1)।

সংজ্ঞা 2

সংজ্ঞা 1 এর কাঠামোর মধ্যে, আমরা বিন্দুগুলিকে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু বলব।

সংজ্ঞা 3

সংজ্ঞা 1 এর কাঠামোর মধ্যে, অংশগুলিকে ত্রিভুজের বাহু বলা হবে।

স্পষ্টতই, যেকোনো ত্রিভুজের 3টি শীর্ষবিন্দু থাকবে, পাশাপাশি তিনটি বাহু থাকবে।

একে অপরের সাথে বাহুর সম্পর্কের উপর নির্ভর করে, ত্রিভুজগুলি স্কেলিন, সমদ্বিবাহু এবং সমবাহুতে বিভক্ত।

সংজ্ঞা 4

আমরা একটি ত্রিভুজ স্কেলিন বলব যদি এর কোনটিও অন্য কোনটির সমান না হয়।

সংজ্ঞা 5

আমরা একটি ত্রিভুজকে সমদ্বিবাহু বলবো যদি এর দুটি বাহু একে অপরের সমান হয়, কিন্তু তৃতীয় বাহুর সমান না হয়।

সংজ্ঞা 6

আমরা একটি ত্রিভুজকে সমবাহু বলব যদি এর সমস্ত বাহু একে অপরের সমান হয়।

আপনি চিত্র 2-এ এই ত্রিভুজগুলির সমস্ত প্রকার দেখতে পারেন।

কিভাবে একটি স্কেলিন ত্রিভুজের পরিধি খুঁজে বের করতে হয়?

আমাদের একটি স্কেলিন ত্রিভুজ দেওয়া যাক যার বাহুর দৈর্ঘ্য $α$, $β$ এবং $γ$ এর সমান।

উপসংহার:একটি স্কেলিন ত্রিভুজের পরিধি খুঁজে পেতে, আপনাকে এর বাহুর সমস্ত দৈর্ঘ্য একসাথে যোগ করতে হবে।

উদাহরণ 1

$34$ cm, $12$ cm এবং $11$ cm সমান স্কেলিন ত্রিভুজের পরিধি খুঁজুন।

$P=34+12+11=57$ সেমি

উত্তর: $57$ সেমি।

উদাহরণ 2

পরিধি খুঁজুন সমকোণী ত্রিভুজ, যার পা $6$ এবং $8$ সেমি সমান।

প্রথমে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে এই ত্রিভুজের কর্ণের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা যাক। তাহলে $α$ দ্বারা এটিকে বোঝাই

$α=10$ একটি স্কেলিন ত্রিভুজের পরিধি গণনা করার নিয়ম অনুসারে, আমরা পাই

$P=10+8+6=24$ সেমি

উত্তর: $24$ দেখুন।

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি কিভাবে খুঁজে পাওয়া যায়?

আমাদের একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ দেওয়া যাক, বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $α$, এবং ভিত্তিটির দৈর্ঘ্য হবে $β$ এর সমান।

সমতল সমতলের পরিধির সংজ্ঞা দ্বারা জ্যামিতিক চিত্র, আমরা এটা পেতে

$P=α+α+β=2α+β$

উপসংহার:পরিধি খুঁজে বের করতে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজআপনাকে এর বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ বেসের দৈর্ঘ্যের সাথে যোগ করতে হবে।

উদাহরণ 3

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি নির্ণয় করুন যদি এর বাহুগুলো হয় $12$ cm এবং এর ভিত্তি $11$ cm হয়।

উপরে আলোচিত উদাহরণ থেকে আমরা তা দেখতে পাই

$P=2\cdot 12+11=35$ সেমি

উত্তর: $35$ সেমি।

উদাহরণ 4

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি নির্ণয় করুন যদি বেসে টানা এর উচ্চতা হয় $8$ সেমি, এবং ভিত্তি $12$ সেমি হয়।

চলুন সমস্যা অবস্থা অনুযায়ী অঙ্কন তাকান:

যেহেতু ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু, $BD$ও মধ্যমা, তাই $AD=6$ সেমি।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে, $ADB$ ত্রিভুজ থেকে, আমরা পার্শ্বীয় দিকটি খুঁজে পাই। তাহলে $α$ দ্বারা এটিকে বোঝাই

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি গণনা করার নিয়ম অনুসারে, আমরা পাই

$P=2\cdot 10+12=32$ সেমি

উত্তর: $32$ দেখুন।

কিভাবে একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি খুঁজে বের করতে হয়?

আমাদের একটি সমবাহু ত্রিভুজ দেওয়া যাক যার সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্য $α$ এর সমান।

একটি সমতল জ্যামিতিক চিত্রের পরিধি নির্ধারণ করে, আমরা তা পাই

$P=α+α+α=3α$

উপসংহার:পরিধি খুঁজে বের করতে সমবাহু ত্রিভুজআপনাকে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যকে $3$ দ্বারা গুণ করতে হবে।

উদাহরণ 5

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি নির্ণয় করুন যদি এর বাহু $12$ সেমি হয়।

উপরে আলোচিত উদাহরণ থেকে আমরা তা দেখতে পাই

$P=3\cdot 12=36$ সেমি

পরিধি হল একটি চিত্রের সমস্ত বাহুর সমষ্টি। এই বৈশিষ্ট্যটি, এলাকা সহ, সমস্ত পরিসংখ্যানের জন্য সমানভাবে চাহিদা রয়েছে। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধির সূত্রটি যৌক্তিকভাবে এর বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে অনুসরণ করে, তবে সূত্রটি ব্যবহারিক দক্ষতা অর্জন এবং একত্রিত করার মতো জটিল নয়।

পরিধি গণনা করার জন্য সূত্র

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পার্শ্বীয় বাহুগুলি একে অপরের সমান। এটি সংজ্ঞা থেকে উদ্ভূত এবং চিত্রের নাম থেকেও স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান। এই সম্পত্তি থেকে ঘের সূত্রটি তৈরি হয়:

P=2a+b, যেখানে b হল ত্রিভুজের ভিত্তি, a হল বাহুর মান।

ভাত। 1. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

সূত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে পরিধি খুঁজে বের করার জন্য বেস এবং একটি পক্ষের আকার জানা যথেষ্ট। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি খুঁজে পেতে বিভিন্ন সমস্যা বিবেচনা করুন। আমরা তাদের জটিলতা বাড়ার সাথে সাথে সমস্যার সমাধান করব, এটি আমাদের চিন্তাভাবনার পদ্ধতিকে আরও ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করবে যা পরিধি খুঁজে পেতে অনুসরণ করা প্রয়োজন।

সমস্যা 1

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ভিত্তিটি 6, এবং এই বেসের দিকে টানা উচ্চতা হল 4। চিত্রটির পরিধি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

ভাত। 2. টাস্ক 1 এর জন্য অঙ্কন

বেসের দিকে টানা একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতাও মধ্যমা এবং উচ্চতা। এই বৈশিষ্ট্যটি প্রায়শই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

উচ্চতা BM সহ ত্রিভুজ ABC দুটি সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত: ABM এবং BCM। ত্রিভুজ ABM-এ, লেগ BM পরিচিত, লেগ AM ত্রিভুজ ABC-এর অর্ধেক ভিত্তির সমান, যেহেতু BM হল মধ্যক দ্বিখণ্ডক এবং উচ্চতা। পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা কর্ণ AB এর মান খুঁজে পাই।

$$АВ^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

আসুন পরিধিটি বের করি: P=AC+AB*2=6+5*2=16

সমস্যা 2

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, বেসের দিকে টানা উচ্চতা হল 10, এবং বেসের তীব্র কোণ হল 30 ডিগ্রি। আপনাকে ত্রিভুজের পরিধি খুঁজে বের করতে হবে।

ভাত। 3. টাস্ক 2 এর জন্য অঙ্কন

এই কাজটি ত্রিভুজের বাহু সম্পর্কে তথ্যের অভাবের কারণে জটিল, কিন্তু, উচ্চতা এবং কোণের মান জেনে, ABH সমকোণ ত্রিভুজে আপনি লেগ AH খুঁজে পেতে পারেন এবং তারপরে সমাধানটি একই পরিস্থিতি অনুসরণ করবে সমস্যা 1.

সাইনের মানের মাধ্যমে AH খুঁজে বের করা যাক:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - 30 ডিগ্রির সাইন হল একটি সারণি মান।

আসুন প্রয়োজনীয় দিকটি প্রকাশ করি:

$$AB=((BH\over (1\over 2))) =BH*2=10*2=20$$

কোট্যাঞ্জেন্ট ব্যবহার করে আমরা AH এর মান খুঁজে পাই:

$$ctg(BAH)=(AH\over BH)=(1\over\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17.32$$ - ফলাফলের মানকে নিকটতম শততম পর্যন্ত বৃত্তাকার করুন।

আসুন ভিত্তি খুঁজে বের করা যাক:

AC=AH*2=17.32*2=34.64

এখন যেহেতু সমস্ত প্রয়োজনীয় মান পাওয়া গেছে, আসুন পরিধি নির্ধারণ করি:

P=AC+2*AB=34.64+2*20=74.64

সমস্যা 3

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রফল $$16\over\sqrt(3)$$ এবং 30 ডিগ্রির গোড়ায় একটি তীব্র কোণ রয়েছে। ত্রিভুজের পরিধি নির্ণয় কর।

শর্তের মানগুলি প্রায়শই মূল এবং সংখ্যার গুণফল হিসাবে দেওয়া হয়। এটি পরবর্তী সমাধানটিকে যতটা সম্ভব ত্রুটি থেকে রক্ষা করার জন্য করা হয়। গণনার শেষে ফলাফলটি রাউন্ড করা ভাল

সমস্যার এই প্রণয়নের সাথে, এটি মনে হতে পারে যে কোনও সমাধান নেই, কারণ উপলব্ধ ডেটা থেকে একটি দিক বা উচ্চতা প্রকাশ করা কঠিন। আসুন এটি ভিন্নভাবে সমাধান করার চেষ্টা করি।

বেসের উচ্চতা এবং অর্ধেক নির্দেশ করা যাক ল্যাটিন অক্ষরে: BH=h এবং AH=a

তাহলে ভিত্তিটি সমান হবে: AC=AH+HC=AH*2=2a

এলাকা: $$S=(1\over 2)*AC*BH=(1\over 2)*2a*h=ah$$

অন্যদিকে, তীব্র কোণের স্পর্শক হিসাবে h এর মান ABH ত্রিভুজ থেকে প্রকাশ করা যেতে পারে। স্পর্শক কেন? কারণ ABH ত্রিভুজে আমরা ইতিমধ্যে দুটি পা a এবং h নির্ধারণ করেছি। একটিকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। দুটি পা একসাথে স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টকে সংযুক্ত করে। ঐতিহ্যগতভাবে, কোট্যাঞ্জেন্ট এবং কোসাইন ব্যবহার করা হয় শুধুমাত্র যদি স্পর্শক বা সাইন ফিট না হয়। এটি একটি নিয়ম নয়, আপনি সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যে এটি সুবিধাজনক, এটি শুধুমাত্র গৃহীত।

$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$

$$h=(a\over\sqrt(3))$$

এর ফলের মানটিকে এরিয়া সূত্রে প্রতিস্থাপন করা যাক।

$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$

আসুন একটি প্রকাশ করা যাক:

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

ক্ষেত্রফল সূত্রে a এর মান প্রতিস্থাপন করুন এবং উচ্চতার মান নির্ধারণ করুন:

$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2.31$$- প্রাপ্ত মান আসুন রাউন্ড করি নিকটতম শততম

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে আমরা ত্রিভুজের পার্শ্বীয় দিকটি খুঁজে পাই:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2.31^2)=4.62$$

আসুন পরিসীমা সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করি:

P=AB*2+AH*2=4.62*2+4*2=17.24

আমরা কি শিখেছি?

আমরা একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি খোঁজার সমস্ত জটিলতা বিশদভাবে বুঝেছি। আমরা বিভিন্ন স্তরের জটিলতার তিনটি সমস্যার সমাধান করেছি, একটি উদাহরণ দিয়ে দেখিয়েছি কিভাবে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ সমাধানের জন্য সাধারণ সমস্যাগুলি সমাধান করা হয়।

বিষয়ে পরীক্ষা

নিবন্ধ রেটিং

গড় রেটিং: 4.4। মোট প্রাপ্ত রেটিং: 83.

যেকোনো ত্রিভুজ তার তিন বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টির সমান। সাধারণ সূত্রত্রিভুজগুলির পরিধি খুঁজে পেতে:

পৃ = ক + খ + গ

যেখানে পৃত্রিভুজের পরিধি, ক, খএবং গ- তার পক্ষ।

আপনি এটির বাহুর দৈর্ঘ্য ক্রমিকভাবে যোগ করে বা পাশের দৈর্ঘ্যকে 2 দ্বারা গুণ করে এবং গুণফলের সাথে ভিত্তিটির দৈর্ঘ্য যোগ করে এটি খুঁজে পেতে পারেন। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলির পরিধি খুঁজে বের করার জন্য সাধারণ সূত্রটি এইরকম দেখাবে:

পৃ = 2ক + খ

যেখানে পৃএকটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি, ক- যে কোন পক্ষ, খ- ভিত্তি।

আপনি এটির বাহুর দৈর্ঘ্য ক্রমানুসারে যোগ করে বা এর যেকোনো বাহুর দৈর্ঘ্যকে 3 দ্বারা গুণ করে এটি খুঁজে পেতে পারেন। সমবাহু ত্রিভুজগুলির পরিধি খুঁজে বের করার জন্য সাধারণ সূত্রটি এইরকম দেখাবে:

পৃ = 3ক

যেখানে পৃএকটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি, ক- এর যে কোনো দিক।

বর্গক্ষেত্র

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে, আপনি এটি একটি সমান্তরালগ্রামের সাথে তুলনা করতে পারেন। একটি ত্রিভুজ বিবেচনা করুন এবিসি:

আপনি যদি এটির সমান একটি ত্রিভুজ নেন এবং এটিকে এমনভাবে রাখুন যাতে আপনি একটি সমান্তরালগ্রাম পান, আপনি প্রদত্ত ত্রিভুজের মতো একই উচ্চতা এবং ভিত্তি সহ একটি সমান্তরালগ্রাম পাবেন:

এই ক্ষেত্রে, একত্রে ভাঁজ করা ত্রিভুজগুলির সাধারণ দিকটি গঠিত সমান্তরালগ্রামের কর্ণ। সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য থেকে জানা যায় যে কর্ণ সর্বদা সমান্তরালগ্রামকে দুটি ভাগে ভাগ করে। সমান ত্রিভুজ, যার অর্থ প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান্তরালগ্রামের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান।

যেহেতু একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল তার ভিত্তি এবং উচ্চতার গুণফলের সমান, তাই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এই গুণফলের অর্ধেকের সমান হবে। তাই Δ এর জন্য এবিসিএলাকা সমান হবে

এখন একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন:

দুটি সমান সমকোণী ত্রিভুজ একে অপরের বিপরীতে তাদের কর্ণ স্থাপন করে একটি আয়তক্ষেত্রে ভাঁজ করা যেতে পারে। যেহেতু একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার গুণফলের সমান সংলগ্ন পক্ষগুলি, তাহলে এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান:

এ থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 দ্বারা বিভক্ত পায়ের গুণফলের সমান।

এই উদাহরণগুলি থেকে আমরা এটি উপসংহার করতে পারি যেকোন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বেসের দৈর্ঘ্য এবং বেসের উচ্চতার গুণফলের সমান, 2 দ্বারা বিভক্ত. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য সাধারণ সূত্রটি দেখতে এরকম হবে:

এস =	ah a
	2

যেখানে এসত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, ক- এর ভিত্তি, জ ক- উচ্চতা বেস থেকে নিচু ক.

একটি ত্রিভুজের পরিধি, যে কোনো চিত্রের মতো, একে সব বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি বলা হয়। প্রায়শই এই মানটি এলাকা খুঁজে পেতে সাহায্য করে বা চিত্রের অন্যান্য পরামিতি গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।
একটি ত্রিভুজের পরিধির সূত্রটি এইরকম দেখায়:

একটি ত্রিভুজের পরিধি গণনার একটি উদাহরণ। একটি ত্রিভুজ বাহু দিয়ে দেওয়া যাক a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm তথ্যটিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন: cm

পরিধি গণনা করার জন্য সূত্র সমদ্বিবাহু ত্রিভুজএই মত দেখাবে:

পরিধি গণনা করার জন্য সূত্র সমবাহু ত্রিভুজ:

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি গণনার একটি উদাহরণ। যখন একটি চিত্রের সমস্ত বাহু সমান হয়, তখন তাদের সহজভাবে তিনটি দ্বারা গুণ করা যায়। দেওয়া বলা যাক নিয়মিত ত্রিভুজএই ক্ষেত্রে 5 সেমি একটি পাশ সহ: সেমি

সাধারণভাবে, একবার সমস্ত দিক দেওয়া হলে, ঘেরটি খুঁজে পাওয়া বেশ সহজ। অন্যান্য পরিস্থিতিতে, আপনাকে অনুপস্থিত দিকের আকার খুঁজে বের করতে হবে। একটি সমকোণী ত্রিভুজে আপনি তৃতীয় বাহু খুঁজে পেতে পারেন পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য. উদাহরণস্বরূপ, যদি পায়ের দৈর্ঘ্য জানা থাকে, তাহলে আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে কর্ণটি খুঁজে পেতে পারেন:

আসুন একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি গণনার একটি উদাহরণ বিবেচনা করি, যদি আমরা একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পায়ের দৈর্ঘ্য জানি।
পা সহ একটি ত্রিভুজ a =b = 5 সেমি পরিধি নির্ণয় করুন। প্রথমে, অনুপস্থিত দিকটি সন্ধান করা যাক গ. সেমি
এখন পরিধি গণনা করা যাক: সেমি
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিধি হবে 17 সেমি।

এমন ক্ষেত্রে যখন কর্ণ এবং এক পায়ের দৈর্ঘ্য জানা যায়, আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে অনুপস্থিতটিকে খুঁজে পেতে পারেন:
একটি সমকোণী ত্রিভুজে থাকলে কর্ণটি পরিচিত হয় এবং এর একটি ধারালো কোণ, তারপর সূত্র ব্যবহার করে অনুপস্থিত দিক পাওয়া যায়।