সাধারণভাবে, এই সমস্যাটি বিশেষ মনোযোগের দাবি রাখে, তবে এখানে সবকিছুই সহজ: ডিগ্রীর কোণে সাইন এবং কোসাইন উভয়ই ইতিবাচক (চিত্র দেখুন), তারপর আমরা যোগ চিহ্নটি গ্রহণ করি।

এখন উপরেরটির উপর ভিত্তি করে কোণের সাইন এবং কোসাইন খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন: এবং

আপনি প্রতারণা করতে পারেন: বিশেষ করে ডিগ্রী একটি কোণ জন্য. কারণ যদি এক কোণে সমকোণী ত্রিভুজডিগ্রীর সমান, তারপর দ্বিতীয়টি ডিগ্রীর সমান। এখন পরিচিত সূত্র কার্যকর হয়:

তারপর থেকে, তারপর এবং. তারপর থেকে এবং. ডিগ্রির সাথে এটি আরও সহজ: যদি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ডিগ্রির সমান হয়, তবে অন্যটিও ডিগ্রির সমান, যার অর্থ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

এর মানে হল এর পা সমান। এর মানে হল এর সাইন এবং কোসাইন সমান।

এখন, নতুন সংজ্ঞা ব্যবহার করে (X এবং Y ব্যবহার করে!), ডিগ্রি এবং ডিগ্রীতে কোণের সাইন এবং কোসাইন খুঁজুন। আপনি এখানে কোনো ত্রিভুজ আঁকতে পারবেন না! তারা খুব সমতল হবে!

আপনার পাওয়া উচিত ছিল:

আপনি সূত্র ব্যবহার করে স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট নিজেই খুঁজে পেতে পারেন:

দয়া করে মনে রাখবেন আপনি শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারবেন না!!

এখন সমস্ত প্রাপ্ত সংখ্যা সারণী করা যেতে পারে:

এখানে কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মান রয়েছে ১ম ত্রৈমাসিক. সুবিধার জন্য, কোণগুলি ডিগ্রী এবং রেডিয়ান উভয় ক্ষেত্রেই দেওয়া হয় (তবে এখন আপনি তাদের মধ্যে সম্পর্ক জানেন!) সারণীতে 2টি ড্যাশের দিকে মনোযোগ দিন: যথা, শূন্যের কোট্যাঞ্জেন্ট এবং ডিগ্রীর স্পর্শক। এটা কোন দুর্ঘটনা নয়!

বিশেষ করে:

এখন সাইন এবং কোসাইনের ধারণাটিকে সম্পূর্ণ নির্বিচারে কোণে সাধারণীকরণ করা যাক। আমি এখানে দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করব:

1. কোণটি ডিগ্রী থেকে শুরু করে
2. ডিগ্রির চেয়ে বড় কোণ

সাধারণভাবে বলতে গেলে, আমি যখন "একদম সমস্ত" কোণ সম্পর্কে কথা বলেছিলাম তখন আমি আমার হৃদয়কে কিছুটা মোচড় দিয়েছিলাম। তারা নেতিবাচকও হতে পারে! কিন্তু আমরা অন্য নিবন্ধে এই ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হবে. প্রথমে প্রথম কেসটা দেখি।

যদি কোণটি 1 ম ত্রৈমাসিকে থাকে, তবে সবকিছু পরিষ্কার, আমরা ইতিমধ্যে এই কেসটি বিবেচনা করেছি এবং এমনকি টেবিল আঁকেছি।

এখন আমাদের কোণটি ডিগ্রীর চেয়ে বেশি এবং এর বেশি নয়। এর মানে হল এটি 2য়, 3য় বা 4র্থ ত্রৈমাসিকে অবস্থিত।

আমরা কি করব? হ্যাঁ, ঠিক একই!

চলুন দেখে নেওয়া যাক এই মত কিছু পরিবর্তে ...

...এর মত:

অর্থাৎ, দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকে শুয়ে থাকা কোণটি বিবেচনা করুন। আমরা তার সম্পর্কে কি বলতে পারি?

যে বিন্দুটি রশ্মির ছেদ বিন্দু এবং বৃত্তের এখনও 2টি স্থানাঙ্ক রয়েছে (অলৌকিক কিছুই নয়, তাই না?)। এই স্থানাঙ্ক এবং.

তাছাড়া, প্রথম স্থানাঙ্কটি নেতিবাচক, এবং দ্বিতীয়টি ইতিবাচক! এর মানে হল দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের কোণায়, কোসাইনটি ঋণাত্মক এবং সাইনটি ধনাত্মক!

আশ্চর্যজনক, তাই না? এর আগে, আমরা কখনই একটি নেতিবাচক কোসাইন সম্মুখীন হইনি।

এবং নীতিগতভাবে এটি এমন হতে পারে না যখন আমরা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত হিসাবে বিবেচনা করি। উপায় দ্বারা, কোন কোণ একই কোসাইন আছে সম্পর্কে চিন্তা করুন? কোনগুলো একই সাইন আছে?

একইভাবে, আপনি অন্যান্য সমস্ত চতুর্থাংশের কোণগুলি বিবেচনা করতে পারেন। আমি শুধু আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে কোণটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে গণনা করা হয়! (শেষ ছবিতে দেখানো হয়েছে!)

অবশ্যই, আপনি অন্য দিকে গণনা করতে পারেন, তবে এই জাতীয় কোণগুলির পদ্ধতি কিছুটা আলাদা হবে।

উপরের যুক্তির উপর ভিত্তি করে, আমরা সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট (কোসাইন দ্বারা বিভক্ত সাইন হিসাবে) এবং কোট্যানজেন্ট (সাইন দ্বারা বিভক্ত কোসাইন হিসাবে) চারটি চতুর্থাংশের জন্য চিহ্নগুলি সাজাতে পারি।

কিন্তু আবারও, এই অঙ্কন মুখস্থ করার কোন মানে নেই। আপনার যা জানা দরকার:

আসুন আপনার সাথে একটু অনুশীলন করি। খুব সহজ কাজ:

নিম্নলিখিত পরিমাণে কি চিহ্ন রয়েছে তা সন্ধান করুন:

আমরা কি পরীক্ষা করব?

1. ডিগ্রী হল একটি কোণ, বৃহত্তর এবং কম, যার মানে এটি 3 চতুর্থাংশে অবস্থিত। 3য় ত্রৈমাসিকের যেকোন কোণ আঁকুন এবং দেখুন এতে কোন ধরনের খেলোয়াড় আছে। এটা নেতিবাচক হতে চালু হবে. তারপর.
   ডিগ্রি - 2 চতুর্থাংশ কোণ। সেখানে সাইনটি ধনাত্মক এবং কোসাইনটি ঋণাত্মক। যোগ বিয়োগ দ্বারা বিয়োগ সমান বিয়োগ. মানে।
   ডিগ্রি - কোণ, বড় এবং কম। এর মানে এটি 4র্থ ত্রৈমাসিকে অবস্থিত। চতুর্থ ত্রৈমাসিকের যেকোন কোণের জন্য, "x" ধনাত্মক হবে, যার অর্থ
2. আমরা একইভাবে রেডিয়ানগুলির সাথে কাজ করি: এটি দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের কোণ (যেহেতু এবং। দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের সাইনটি ধনাত্মক৷
   .
   , এটি চতুর্থ ত্রৈমাসিক কর্নার। সেখানে কোসাইন ইতিবাচক।
   - চতুর্থ ত্রৈমাসিকের আবার কোণে। সেখানে কোসাইনটি ধনাত্মক এবং সাইনটি ঋণাত্মক। তাহলে স্পর্শকটি শূন্যের চেয়ে কম হবে:

সম্ভবত রেডিয়ানে কোয়ার্টার নির্ধারণ করা আপনার পক্ষে কঠিন। সেক্ষেত্রে আপনি সবসময় ডিগ্রিতে যেতে পারেন। উত্তর, অবশ্যই, ঠিক একই হবে।

এখন আমি খুব সংক্ষেপে আরেকটি বিষয়ে আলোচনা করতে চাই। আবার মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় মনে রাখা যাক।

আমি আগেই বলেছি, এটি থেকে আমরা কোসাইন বা তদ্বিপরীত মাধ্যমে সাইন প্রকাশ করতে পারি:

আমাদের আলফা কোণটি যে ত্রৈমাসিকটিতে অবস্থিত তার দ্বারা চিহ্নের পছন্দটি প্রভাবিত হবে। ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার শেষ দুটি সূত্রে অনেক সমস্যা রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, এইগুলি:

টাস্ক

যদি এবং খুঁজুন.

আসলে এটা একটা কোয়ার্টার টাস্ক! দেখুন কিভাবে এটি সমাধান করা হয়:

সমাধান

সুতরাং, আসুন এখানে মান প্রতিস্থাপন করা যাক, তারপর. এখন একটাই কাজ বাকি আছে তা হলো সাইনবোর্ড। এই জন্য আমরা কি প্রয়োজন? আমাদের কর্নার কোন কোয়ার্টারে আছে তা জানুন। সমস্যার শর্ত অনুযায়ী: . এটা কোন কোয়ার্টার? চতুর্থ। চতুর্থ ত্রৈমাসিকে কোসাইনের চিহ্ন কী? চতুর্থ ত্রৈমাসিকের কোসাইন ইতিবাচক। তারপর আমাদের যা করতে হবে তা হল সামনের প্লাস চিহ্নটি নির্বাচন করুন। , তারপর।

আমি এখন এই ধরনের কাজগুলি সম্পর্কে বিস্তারিতভাবে চিন্তা করব না; আপনি নিবন্ধে তাদের একটি বিশদ বিশ্লেষণ পেতে পারেন। আমি শুধু এই বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটি ত্রৈমাসিকের উপর নির্ভর করে কী চিহ্ন নেয় তার গুরুত্ব আপনাকে নির্দেশ করতে চেয়েছিলাম।

ডিগ্রির চেয়ে বড় কোণ

শেষ জিনিসটি আমি এই নিবন্ধে উল্লেখ করতে চাই ডিগ্রীর চেয়ে বড় কোণগুলির সাথে কী করতে হবে?

এটি কী এবং দম বন্ধ করার জন্য আপনি এটি কী দিয়ে খেতে পারেন? চলুন, ধরা যাক, ডিগ্রীতে একটি কোণ (রেডিয়ান) এবং এটি থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে যাই...

ছবিতে আমি একটি সর্পিল এঁকেছি, কিন্তু আপনি বুঝতে পেরেছেন যে আসলে আমাদের কোনও সর্পিল নেই: আমাদের কেবল একটি বৃত্ত রয়েছে।

তাহলে আমরা কোথায় গিয়ে শেষ করব যদি আমরা একটি নির্দিষ্ট কোণ থেকে শুরু করি এবং পুরো বৃত্তে (ডিগ্রি বা রেডিয়ান) হাঁটা?

আমরা কোথায় যাব? এবং আমরা একই কোণে আসব!

একই, অবশ্যই, অন্য কোন কোণের জন্য সত্য:

একটি নির্বিচারে কোণে নিয়ে এবং পুরো বৃত্তের চারপাশে সম্পূর্ণভাবে ঘুরলে, আমরা একই কোণে ফিরে যাব।

এটা আমাদের কি দেবে? এখানে কি: যদি, তারপর

যেখান থেকে আমরা অবশেষে পাই:

যে কোনো সম্পূর্ণ জন্য. এর মানে হল সাইন এবং কোসাইন হল পিরিয়ড সহ পর্যায়ক্রমিক ফাংশন.

সুতরাং, এখনকার নির্বিচারে কোণের চিহ্ন খুঁজে পেতে কোনও সমস্যা নেই: আমাদের কেবলমাত্র আমাদের কোণে মানানসই সমস্ত "সম্পূর্ণ বৃত্ত" বাতিল করতে হবে এবং অবশিষ্ট কোণটি কোন চতুর্থাংশে রয়েছে তা খুঁজে বের করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, একটি চিহ্ন খুঁজুন:

আমরা পরীক্ষা করি:

1. ডিগ্রীতে ডিগ্রী (ডিগ্রী):
   ডিগ্রী বাকি এটি একটি 4 চতুর্থাংশ কোণ। সেখানে সাইনটি ঋণাত্মক, যার অর্থ
2. . ডিগ্রী এটি একটি 3 চতুর্থাংশ কোণ। সেখানে কোসাইন নেতিবাচক। তারপর
3. . . যেহেতু, তারপর - প্রথম ত্রৈমাসিকের কোণ। সেখানে কোসাইন ইতিবাচক। তারপর cos
4. . . যেহেতু, আমাদের কোণটি দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকে অবস্থিত, যেখানে সাইনটি ধনাত্মক।

আমরা স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য একই কাজ করতে পারি। যাইহোক, আসলে, তারা আরও সহজ: তারা পর্যায়ক্রমিক ফাংশন, শুধুমাত্র তাদের সময়কাল 2 গুণ কম:

সুতরাং, আপনি বুঝতে পেরেছেন একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত কী এবং এটি কীসের জন্য প্রয়োজন।

কিন্তু আমাদের এখনও অনেক প্রশ্ন আছে:

1. ঋণাত্মক কোণ কি?
2. এই কোণগুলিতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি কীভাবে গণনা করা যায়
3. 1ম ত্রৈমাসিকের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির পরিচিত মানগুলি কীভাবে ব্যবহার করবেন অন্যান্য ত্রৈমাসিকের ফাংশনের মানগুলি সন্ধান করতে (টেবিলটি ক্র্যাম করা কি সত্যিই প্রয়োজনীয়?!)
4. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান সহজ করার জন্য আপনি কীভাবে একটি বৃত্ত ব্যবহার করতে পারেন?

মিডল লেভেল

ঠিক আছে, এই নিবন্ধে আমরা ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের অধ্যয়ন চালিয়ে যাব এবং নিম্নলিখিত বিষয়গুলি নিয়ে আলোচনা করব:

1. ঋণাত্মক কোণ কি?
2. এই কোণগুলিতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মানগুলি কীভাবে গণনা করা যায়?
3. অন্যান্য ত্রৈমাসিকের ফাংশনগুলির মানগুলি সন্ধান করতে 1 চতুর্থাংশের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পরিচিত মানগুলি কীভাবে ব্যবহার করবেন?
4. স্পর্শক অক্ষ এবং কোট্যাঞ্জেন্ট অক্ষ কি?

আমাদের একটি ইউনিট সার্কেলের সাথে কাজ করার জন্য মৌলিক দক্ষতা ছাড়া অন্য কোনো অতিরিক্ত জ্ঞানের প্রয়োজন নেই (আগের নিবন্ধ)। আচ্ছা, প্রথম প্রশ্নে আসা যাক: ঋণাত্মক কোণগুলো কী?

নেতিবাচক কোণ

ত্রিকোণমিতিতে ঋণাত্মক কোণত্রিকোণমিতিক বৃত্তের উপর শুরু থেকে নীচের দিকে প্লট করা হয়েছে, ঘড়ির কাঁটার দিকে চলাচলের দিকে:

আসুন মনে রাখি কিভাবে আমরা পূর্বে একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্তে কোণ তৈরি করেছিলাম: আমরা সেখান থেকে গিয়েছিলাম ইতিবাচক দিকঅক্ষ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে:

তারপর আমাদের অঙ্কনে সমান একটি কোণ তৈরি করা হয়। আমরা একইভাবে সমস্ত কোণ তৈরি করেছি।

যাইহোক, কিছুই আমাদের অক্ষের ইতিবাচক দিক থেকে অগ্রসর হতে বাধা দেয় না ঘড়ির কাঁটার দিকে.

আমরা বিভিন্ন কোণও পাব, তবে সেগুলি নেতিবাচক হবে:

নিচের ছবিটি দুটি কোণ দেখায়, পরম মানের সমান, কিন্তু চিহ্নে বিপরীত:

সাধারণভাবে, নিয়মটি এইভাবে তৈরি করা যেতে পারে:

• আমরা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে যাই - আমরা ধনাত্মক কোণ পাই
• আমরা ঘড়ির কাঁটার দিকে যাই - আমরা ঋণাত্মক কোণ পাই

নিয়মটি এই চিত্রে পরিকল্পিতভাবে দেখানো হয়েছে:

আপনি আমাকে একটি সম্পূর্ণ যুক্তিসঙ্গত প্রশ্ন করতে পারেন: ভাল, তাদের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট মানগুলি পরিমাপ করার জন্য আমাদের কোণগুলির প্রয়োজন।

তাহলে কি আমাদের কোণ ধনাত্মক এবং কখন ঋণাত্মক কোন পার্থক্য আছে? আমি আপনাকে উত্তর দেব: একটি নিয়ম হিসাবে, আছে।

যাইহোক, আপনি সবসময় হিসাব কমাতে পারেন ত্রিকোণমিতিক ফাংশননেতিবাচক কোণ থেকে কোণে ফাংশন গণনাইতিবাচক

নিচের ছবিটি দেখুন:

আমি দুটি কোণ তৈরি করেছি, তারা পরম মান সমান, কিন্তু বিপরীত চিহ্ন আছে। প্রতিটি কোণের জন্য, অক্ষগুলিতে এর সাইন এবং কোসাইন চিহ্নিত করুন।

আমরা কি দেখতে পাচ্ছি? এখানে যা আছে:

• সাইনগুলি কোণে এবং চিহ্নে বিপরীত! তারপর যদি
• কোণগুলির কোসাইনগুলি মিলে যায়! তারপর যদি
• তারপর থেকে:
• তারপর থেকে:

এইভাবে, আমরা সর্বদা যেকোন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মধ্যে নেতিবাচক চিহ্ন থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি: হয় কেবল এটিকে বাদ দিয়ে, যেমন কোসাইন দিয়ে, অথবা সাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মতো ফাংশনের সামনে রেখে।

যাইহোক, ফাংশনের নাম মনে রাখবেন যেটি কোনও বৈধ মানের জন্য কার্যকর করে: ?

এই ধরনের একটি ফাংশন বিজোড় বলা হয়.

কিন্তু যদি কোন স্বীকার্যের জন্য নিম্নলিখিতটি সত্য হয়: ? তাহলে এই ক্ষেত্রে ফাংশনটিকে ইভেন বলা হয়।

সুতরাং, আপনি এবং আমি শুধু দেখিয়েছি যে:

সাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট - অদ্ভুত ফাংশন, এবং কোসাইন সমান।

এইভাবে, আপনি যেমন বুঝতে পেরেছেন, আমরা একটি ধনাত্মক কোণের সাইন বা নেতিবাচক কোণের সাইন খুঁজছি কিনা তাতে কোন পার্থক্য নেই: একটি বিয়োগ নিয়ে কাজ করা খুবই সহজ। তাই ঋণাত্মক কোণের জন্য আমাদের আলাদাভাবে টেবিলের প্রয়োজন নেই।

অন্যদিকে, আপনাকে অবশ্যই সম্মত হতে হবে যে এটি খুবই সুবিধাজনক হবে, শুধুমাত্র প্রথম ত্রৈমাসিকের কোণগুলির ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি জেনে, অবশিষ্ট ত্রৈমাসিকের জন্য অনুরূপ ফাংশনগুলি গণনা করতে সক্ষম হবেন৷ এটা করা সম্ভব? অবশ্যই পারবেন! আপনার কাছে কমপক্ষে 2টি উপায় রয়েছে: প্রথমটি হল একটি ত্রিভুজ তৈরি করা এবং পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করা (এভাবে আপনি এবং আমি প্রথম ত্রৈমাসিকের প্রধান কোণগুলির জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান খুঁজে পেয়েছি), এবং দ্বিতীয়টি হল প্রথম ত্রৈমাসিকে কোণের জন্য ফাংশনগুলির মান এবং কিছু সাধারণ নিয়ম মনে রাখা, অন্য সমস্ত ত্রৈমাসিকের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশন গণনা করতে সক্ষম হওয়া।দ্বিতীয় পদ্ধতিটি আপনাকে ত্রিভুজ এবং পিথাগোরাসের সাথে অনেক ঝামেলা বাঁচাবে, তাই আমি এটিকে আরও প্রতিশ্রুতিশীল হিসাবে দেখছি:

তাই, এই পদ্ধতি(বা নিয়ম) কে হ্রাস সূত্র বলা হয়।

কমানোর সূত্র

মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এই সূত্রগুলি আপনাকে এই টেবিলটি মনে না রাখতে সাহায্য করবে (যাইহোক, এতে 98টি সংখ্যা রয়েছে!):

আপনি যদি এটি মনে রাখেন (মাত্র 20 সংখ্যা):

অর্থাৎ, আপনি সম্পূর্ণ অপ্রয়োজনীয় 78 নম্বর দিয়ে নিজেকে বিরক্ত করতে পারবেন না! উদাহরণস্বরূপ, আমাদের গণনা করা দরকার। এটা স্পষ্ট যে এটি একটি ছোট টেবিলের ক্ষেত্রে নয়। আমাদের কি করা উচিত? এখানে যা আছে:

প্রথমত, আমাদের নিম্নলিখিত জ্ঞানের প্রয়োজন হবে:

1. সাইন এবং কোসাইন এর একটি পিরিয়ড (ডিগ্রি) আছে, অর্থাৎ

   স্পর্শক (কোট্যাঞ্জেন্ট) এর একটি সময়কাল (ডিগ্রী) আছে

   যেকোনো পূর্ণসংখ্যা

2. সাইন এবং ট্যানজেন্ট বিজোড় ফাংশন, এবং কোসাইন একটি জোড় ফাংশন:

আমরা ইতিমধ্যে আপনার সাথে প্রথম বিবৃতি প্রমাণ করেছি, এবং দ্বিতীয়টির বৈধতা বেশ সম্প্রতি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল।

প্রকৃত ঢালাই নিয়ম এই মত দেখায়:

1. যদি আমরা একটি ঋণাত্মক কোণ থেকে একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান গণনা করি, আমরা সূত্রের একটি গ্রুপ (2) ব্যবহার করে এটিকে ধনাত্মক করি। যেমন:
2. আমরা সাইন এবং কোসাইনের জন্য এর পিরিয়ডগুলি বাতিল করি: (ডিগ্রীতে), এবং স্পর্শকের জন্য - (ডিগ্রিতে)। যেমন:
3. যদি অবশিষ্ট "কোণা" ডিগ্রীর চেয়ে কম হয়, তবে সমস্যাটি সমাধান করা হয়েছে: আমরা এটি "ছোট টেবিল" এ খুঁজি।
4. অন্যথায়, আমরা খুঁজছি আমাদের কোণটি কোন কোয়ার্টারে রয়েছে: এটি হবে ২য়, ৩য় বা ৪র্থ কোয়ার্টার। চতুর্ভুজে কাঙ্খিত ফাংশনের চিহ্নটি দেখা যাক। এই চিহ্নটি মনে রাখবেন !!!
5. আমরা নিম্নলিখিত ফর্মগুলির একটিতে কোণটি উপস্থাপন করি:

   (যদি দ্বিতীয় প্রান্তিকে)
   (যদি দ্বিতীয় প্রান্তিকে)
   (যদি তৃতীয় প্রান্তিকে)
   (যদি তৃতীয় প্রান্তিকে)
   
   (যদি চতুর্থ ত্রৈমাসিকে)

   যাতে অবশিষ্ট কোণটি শূন্যের চেয়ে বড় এবং ডিগ্রির চেয়ে কম। যেমন:

   নীতিগতভাবে, দুটির মধ্যে কোনটি তা বিবেচ্য নয় বিকল্প ফর্মপ্রতি ত্রৈমাসিকের জন্য আপনি একটি কোণ কল্পনা করবেন। এটি চূড়ান্ত ফলাফল প্রভাবিত করবে না.

6. এখন দেখা যাক আমরা কী পেয়েছি: আপনি যদি কিছু পরিপ্রেক্ষিতে বা ডিগ্রী প্লাস মাইনাস লিখতে বেছে নেন, তাহলে ফাংশনের চিহ্নটি পরিবর্তন হবে না: আপনি কেবল অবশিষ্ট কোণের সাইন, কোসাইন বা স্পর্শকটি সরান বা লিখুন। আপনি যদি স্বরলিপিতে বা ডিগ্রি বেছে নেন, তাহলে সাইন থেকে কোসাইন, কোসাইন থেকে সাইন, ট্যানজেন্ট থেকে কোট্যানজেন্ট, কোট্যাঞ্জেন্ট থেকে ট্যানজেন্ট পরিবর্তন করুন।
7. আমরা ফলাফলের অভিব্যক্তির সামনে পয়েন্ট 4 থেকে চিহ্নটি রাখি।

আসুন উদাহরণ সহ উপরের সমস্তগুলি প্রদর্শন করি:

1. হিসাব করুন
2. হিসাব করুন
3. আপনার অর্থ খুঁজুন:

চলুন শুরু করা যাক ক্রমানুসারে:

1. আমরা আমাদের অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ করি। এর জন্য চেনাশোনাগুলির একটি পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করুন:

   সাধারণভাবে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে পুরো কোণটি 5 বার ফিট করে, কিন্তু কতটা বাকি আছে? বাম তারপর

   ঠিক আছে, আমরা অতিরিক্ত পরিত্যাগ করেছি। এখন চিহ্নটি দেখা যাক। 4র্থ ত্রৈমাসিকে অবস্থিত. চতুর্থ ত্রৈমাসিকের সাইনটিতে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে এবং আমি এটিকে উত্তরে রাখতে ভুলবেন না। এর পরে, আমরা হ্রাস করার নিয়মগুলির অনুচ্ছেদ 5 এর দুটি সূত্রের একটি অনুসারে উপস্থাপন করি। আমি নির্বাচন করব:

   এখন দেখা যাক কি ঘটেছে: আমাদের কাছে ডিগ্রী সহ একটি কেস আছে, তারপরে আমরা এটি বাতিল করি এবং সাইনকে কোসাইন এ পরিবর্তন করি। এবং আমরা এটির সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন রাখি!

   ডিগ্রি - প্রথম ত্রৈমাসিকের কোণ। আমরা জানি (আপনি আমাকে একটি ছোট টেবিল শেখার প্রতিশ্রুতি দিয়েছিলেন!!) এর অর্থ:

   তারপর আমরা চূড়ান্ত উত্তর পেতে:

   উত্তরঃ

2. সবকিছু একই, কিন্তু ডিগ্রীর পরিবর্তে - রেডিয়ান। এটা ঠিক আছে. মনে রাখা প্রধান জিনিস যে

   কিন্তু আপনাকে ডিগ্রী দিয়ে রেডিয়ান প্রতিস্থাপন করতে হবে না। এটা আপনার রুচির ব্যাপার। আমি কিছু পরিবর্তন করব না। আমি সম্পূর্ণ চেনাশোনা বাতিল করে আবার শুরু করব:

   এর বাতিল করা যাক - এই দুটি সম্পূর্ণ বৃত্ত. যা বাকি আছে তা হল হিসাব করা। এই কোণ তৃতীয় ত্রৈমাসিক হয়. তৃতীয় প্রান্তিকের কোসাইন ঋণাত্মক। উত্তরে একটি বিয়োগ চিহ্ন দিতে ভুলবেন না। আপনি কিভাবে কল্পনা করতে পারেন. আসুন আমরা আবার নিয়মটি মনে রাখি: আমাদের কাছে একটি "পূর্ণসংখ্যা" সংখ্যার ক্ষেত্রে (বা), তারপর ফাংশনটি পরিবর্তন হয় না:

   তারপর.
   উত্তরঃ।

3. . আপনি একই জিনিস করতে হবে, কিন্তু দুটি ফাংশন সঙ্গে. আমি আরও একটু সংক্ষিপ্ত হব: এবং ডিগ্রি - দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের কোণ। দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের কোসাইনটিতে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে এবং সাইনে একটি প্লাস চিহ্ন রয়েছে। হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: , এবং কিভাবে, তারপর

   উভয় ক্ষেত্রেই "পুরো অর্ধেক"। তারপর সাইন একটি কোসাইনে পরিবর্তিত হয়, এবং কোসাইন একটি সাইনে পরিবর্তিত হয়। তদুপরি, কোসাইনের সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে:

উত্তরঃ।

এখন নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি ব্যবহার করে আপনার নিজের অনুশীলন করুন:

এবং এখানে সমাধান আছে:

1. 
   প্রথমত, সাইনের সামনে রেখে বিয়োগ থেকে মুক্তি দেওয়া যাক (যেহেতু সাইন একটি বিজোড় ফাংশন!!!)। এর পরে আসুন কোণগুলি দেখি:

   আমরা বৃত্তের একটি পূর্ণসংখ্যা বাতিল করি - অর্থাৎ তিনটি চেনাশোনা ()।
   এটা গণনা অবশেষ: .
   আমরা দ্বিতীয় কোণে একই কাজ করি:

   আমরা বৃত্তের একটি পূর্ণসংখ্যা মুছে ফেলি - 3টি চেনাশোনা () তারপর:

   এখন আমরা চিন্তা করি: অবশিষ্ট কোণটি কোন চতুর্থাংশে রয়েছে? সে সব কিছুরই “অল্প”। তাহলে এটা কোন কোয়ার্টার? চতুর্থ। চতুর্থ ত্রৈমাসিকের কোসাইনের চিহ্ন কী? ইতিবাচক। এখন কল্পনা করা যাক। যেহেতু আমরা একটি সম্পূর্ণ পরিমাণ থেকে বিয়োগ করছি, আমরা কোসাইনের চিহ্ন পরিবর্তন করি না:

   আমরা সূত্রে সমস্ত প্রাপ্ত ডেটা প্রতিস্থাপন করি:

   উত্তরঃ।

2. 
   স্ট্যান্ডার্ড: সত্যটি ব্যবহার করে কোসাইন থেকে বিয়োগটি সরান।
   যা অবশিষ্ট থাকে তা হল ডিগ্রির কোসাইন গণনা করা। এর পুরো চেনাশোনা মুছে ফেলা যাক: . তারপর

   তারপর.
   উত্তরঃ।

3. আমরা আগের উদাহরণের মতোই এগিয়ে যাই।

   যেহেতু আপনি মনে রাখবেন যে স্পর্শকের সময়কাল (বা) কোসাইন বা সাইনের বিপরীতে, যেখানে এটি 2 গুণ বড়, তাহলে আমরা পূর্ণসংখ্যার পরিমাণটি সরিয়ে দেব।

   ডিগ্রি - দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের কোণ। দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের স্পর্শকটি নেতিবাচক, তাহলে আসুন শেষে "বিয়োগ" সম্পর্কে ভুলবেন না! হিসাবে লেখা যেতে পারে। স্পর্শক কোট্যানজেন্টে পরিবর্তিত হয়। অবশেষে আমরা পাই:

   তারপর.
   উত্তরঃ।

আচ্ছা, আর একটু বাকি আছে!

স্পর্শক অক্ষ এবং কোট্যাঞ্জেন্ট অক্ষ

শেষ যে জিনিসটি আমি এখানে স্পর্শ করতে চাই তা হল দুটি অতিরিক্ত অক্ষ। যেমনটি আমরা ইতিমধ্যে আলোচনা করেছি, আমাদের দুটি অক্ষ রয়েছে:

1. অক্ষ - কোসাইন অক্ষ
2. অক্ষ - সাইনের অক্ষ

আসলে, আমাদের স্থানাঙ্কের অক্ষ ফুরিয়ে গেছে, তাই না? কিন্তু স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট সম্পর্কে কি?

তাদের জন্য সত্যিই কোন গ্রাফিক ব্যাখ্যা আছে?

আসলে, এটি বিদ্যমান, আপনি এই ছবিতে এটি দেখতে পারেন:

বিশেষ করে, এই ছবিগুলি থেকে আমরা এটি বলতে পারি:

1. স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের একই ত্রৈমাসিক চিহ্ন রয়েছে
2. তারা ১ম ও ৩য় ত্রৈমাসিকে ইতিবাচক
3. 2য় এবং 4র্থ ত্রৈমাসিকে তারা নেতিবাচক
4. স্পর্শক কোণে সংজ্ঞায়িত করা হয় না
5. কোট্যানজেন্ট কোণে সংজ্ঞায়িত নয়

এই ছবিগুলো আর কিসের জন্য? আপনি একটি উন্নত স্তরে শিখবেন, যেখানে আমি আপনাকে বলব কিভাবে আপনি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান সহজ করতে একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করতে পারেন!

উন্নত স্তর

এই নিবন্ধে আমি কিভাবে বর্ণনা করব একক বৃত্ত (ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত)ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানে কার্যকর হতে পারে।

আমি দুটি ক্ষেত্রে চিন্তা করতে পারি যেখানে এটি দরকারী হতে পারে:

1. উত্তরে আমরা একটি "সুন্দর" কোণ পাই না, কিন্তু তবুও আমাদের শিকড়গুলি নির্বাচন করতে হবে
2. উত্তরটিতে শিকড়ের অনেকগুলি সিরিজ রয়েছে

বিষয়ের জ্ঞান ছাড়া আপনার কোন নির্দিষ্ট জ্ঞানের প্রয়োজন নেই:

বিষয় " ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ“আমি বৃত্তের আশ্রয় না নিয়ে লেখার চেষ্টা করেছি। অনেকেই আমার এমন একটি পদ্ধতির প্রশংসা করবেন না।

কিন্তু আমি সূত্র পছন্দ করি, তাই আমি কি করতে পারি? যাইহোক, কিছু ক্ষেত্রে যথেষ্ট সূত্র নেই। নিম্নলিখিত উদাহরণটি আমাকে এই নিবন্ধটি লিখতে অনুপ্রাণিত করেছে:

সমীকরণটি সমাধান করুন:

আচ্ছা তাহলে। সমীকরণ নিজেই সমাধান করা কঠিন নয়।

বিপরীত প্রতিস্থাপন:

সুতরাং, আমাদের মূল সমীকরণটি চারটির মতো সরল সমীকরণের সমতুল্য! আমাদের কি সত্যিই 4 টি সিরিজ শিকড় লিখতে হবে:

নীতিগতভাবে, আমরা সেখানে থামতে পারি। কিন্তু এই নিবন্ধের পাঠকদের জন্য নয়, যা একধরনের "জটিলতা" বলে দাবি করে!

আসুন প্রথমে শিকড়ের প্রথম সিরিজটি দেখি। সুতরাং, আমরা ইউনিট বৃত্ত নিই, এখন এই শিকড়গুলিকে বৃত্তে প্রয়োগ করা যাক (এর জন্য এবং জন্য পৃথকভাবে):

মনোযোগ দিন: কোণ এবং মধ্যে কোন কোণ আছে? এই কোণ। এখন সিরিজের জন্য একই কাজ করা যাক: .

সমীকরণের শিকড়গুলির মধ্যে আমরা আবার একটি কোণ পাই। এখন এই দুটি ছবি একত্রিত করা যাক:

আমরা কি দেখতে পাচ্ছি? অন্যথায়, আমাদের শিকড়গুলির মধ্যে সমস্ত কোণ সমান। এর মানে কি?

যদি আমরা একটি কোণ থেকে শুরু করি এবং সমান কোণ গ্রহণ করি (যেকোনো পূর্ণসংখ্যার জন্য), তাহলে আমরা সর্বদা উপরের বৃত্তের চারটি বিন্দুর একটিতে শেষ করব! সুতরাং, শিকড় 2 সিরিজ:

একটিতে একত্রিত করা যেতে পারে:

হায়, রুট সিরিজের জন্য:

এই যুক্তিগুলো আর বৈধ হবে না। একটি অঙ্কন করুন এবং কেন এটি তাই বুঝতে. যাইহোক, তারা নিম্নলিখিত হিসাবে একত্রিত করা যেতে পারে:

তারপর মূল সমীকরণের শিকড় রয়েছে:

যা একটি চমত্কার সংক্ষিপ্ত এবং সংক্ষিপ্ত উত্তর. সংক্ষিপ্ততা এবং সংক্ষিপ্ততা মানে কি? আপনার গাণিতিক সাক্ষরতার স্তর সম্পর্কে।

এটিই প্রথম উদাহরণ যেখানে ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের ব্যবহার দরকারী ফলাফল তৈরি করেছিল।

দ্বিতীয় উদাহরণ হল "কুৎসিত শিকড়" সমীকরণ।

যেমন:

1. সমীকরণটি সমাধান করুন।
2. ফাঁক এর অন্তর্গত তার শিকড় খুঁজুন.

প্রথম অংশ মোটেও কঠিন নয়।

যেহেতু আপনি ইতিমধ্যেই বিষয়টির সাথে পরিচিত, তাই আমি নিজেকে আমার বিবৃতিতে সংক্ষিপ্ত হতে দেব।

তারপর বা

এইভাবে আমরা আমাদের সমীকরণের শিকড় খুঁজে পেয়েছি। জটিল কিছু না।

বিয়োগ এক চতুর্থাংশের আর্ক কোসাইন ঠিক কী তা না জেনে টাস্কের দ্বিতীয় অংশটি সমাধান করা আরও কঠিন (এটি একটি টেবিলের মান নয়)।

যাইহোক, আমরা ইউনিট বৃত্তে শিকড়ের পাওয়া সিরিজ চিত্রিত করতে পারি:

আমরা কি দেখতে পাচ্ছি? প্রথমত, চিত্রটি আমাদের কাছে স্পষ্ট করেছে যে আর্ক কোসাইনটি কী সীমার মধ্যে রয়েছে:

এই চাক্ষুষ ব্যাখ্যাটি আমাদের সেগমেন্টের শিকড় খুঁজে পেতে সাহায্য করবে:

প্রথমত, সংখ্যাটি নিজেই এতে পড়ে, তারপরে (চিত্র দেখুন)।

এছাড়াও সেগমেন্টের অন্তর্গত।

এইভাবে, ইউনিট বৃত্তটি "কুৎসিত" কোণগুলি কোথায় পড়ে তা নির্ধারণ করতে সহায়তা করে।

আপনার অন্তত আরও একটি প্রশ্ন থাকা উচিত: কিন্তু স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সাথে আমাদের কী করা উচিত?

প্রকৃতপক্ষে, তাদের নিজস্ব অক্ষ রয়েছে, যদিও তাদের কিছুটা নির্দিষ্ট চেহারা রয়েছে:

অন্যথায়, তাদের পরিচালনা করার উপায় সাইন এবং কোসাইন এর মতই হবে।

উদাহরণ

সমীকরণ দেওয়া হয়।

• এই সমীকরণটি সমাধান করুন।
• এই সমীকরণের মূলগুলি নির্দেশ করুন যা ব্যবধানের অন্তর্গত।

সমাধান:

আমরা একটি ইউনিট বৃত্ত আঁকি এবং এতে আমাদের সমাধানগুলি চিহ্নিত করি:

চিত্র থেকে আপনি বুঝতে পারেন যে:

বা আরও বেশি: তারপর থেকে

তারপরে আমরা সেগমেন্টের সাথে সম্পর্কিত শিকড়গুলি খুঁজে পাই।

, (কারণ)

আমি আপনার নিজের জন্য এটি যাচাই করার জন্য এটি ছেড়ে দিচ্ছি যে আমাদের সমীকরণের ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত অন্য কোনও শিকড় নেই।

সারাংশ এবং মৌলিক সূত্র

ত্রিকোণমিতির প্রধান হাতিয়ার হল ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত,এটি আপনাকে কোণ পরিমাপ করতে, তাদের সাইন, কোসাইন ইত্যাদি খুঁজে পেতে দেয়।

কোণ পরিমাপ করার দুটি উপায় আছে।

1. ডিগ্রির মাধ্যমে
2. রেডিয়ানের মাধ্যমে

এবং তদ্বিপরীত: রেডিয়ান থেকে ডিগ্রী পর্যন্ত:

একটি কোণের সাইন এবং কোসাইন খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজন:

1. কোণের শীর্ষবিন্দুর সাথে মিল রেখে কেন্দ্রের সাথে একটি একক বৃত্ত আঁকুন।
2. বৃত্তের সাথে এই কোণের ছেদ বিন্দুটি খুঁজুন।
3. এর "X" স্থানাঙ্কটি পছন্দসই কোণের কোসাইন।
4. এর "গেম" স্থানাঙ্কটি পছন্দসই কোণের সাইন।

কমানোর সূত্র

এগুলি এমন সূত্র যা আপনাকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জটিল অভিব্যক্তিগুলিকে সরল করার অনুমতি দেয়।

এই সূত্রগুলি আপনাকে এই টেবিলটি মনে না রাখতে সাহায্য করবে:

সারসংক্ষেপ

আপনি শিখেছেন কিভাবে ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে একটি সর্বজনীন স্পার তৈরি করতে হয়।

আপনি সমস্যাগুলিকে অনেক সহজ এবং দ্রুত এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, ভুল ছাড়াই সমাধান করতে শিখেছেন।

আপনি বুঝতে পেরেছেন যে আপনার কোনও টেবিল ক্র্যাম করার দরকার নেই এবং কিছুতেই ক্র্যাম করার দরকার নেই!

এখন আমি তোমাকে শুনতে চাই!

আপনি কি এই এক খুঁজে বের করতে পরিচালিত? জটিল বিষয়?

আপনি কি পছন্দ করেছেন? আপনি কি পছন্দ করেননি?

হয়তো আপনি একটি ভুল খুঁজে পেয়েছেন?

মন্তব্যে লিখুন!

এবং পরীক্ষায় শুভকামনা!

পরিধিডাকা অবস্থানএকটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বের সমতলের বিন্দুগুলোকে বলা হয় কেন্দ্র

বিন্দু হতে দিন কেন্দ্র, এবং বিন্দু
, বৃত্তের একটি নির্বিচারে বিন্দু। তারপর

যেখানে R বলা হয় ব্যাসার্ধবৃত্ত, বা প্রসারিত

সমীকরণ (4) বলা হয় ক্যানোনিকালএকটি বৃত্তের সমীকরণ।

মন্তব্য করুন।যদি সমীকরণে (4) আমরা বোঝাই
,
এবং উভয় অংশ দ্বারা বিভক্ত
, আমরা সমীকরণ পেতে
. যে. একটি বৃত্ত সমান অর্ধ-অক্ষ সহ একটি উপবৃত্তের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

7.1.3। হাইপারবোলা

হাইপারবোলসমতলের বিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থান, যার প্রত্যেকটির জন্য দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্বের পার্থক্যের মডুলাস, যাকে বলা হয় কৌশল, একটি ধ্রুবক মান।

যাক
, - ফোকাস, দূরত্ব
,এমহাইপারবোলার একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু। তারপর, সংজ্ঞা অনুযায়ী, আমরা আছে

, (5)

যেখানে ক- নির্দিষ্ট মান।

নিচের চিত্রে দেখানো পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা চালু করা যাক।

তারপর সম্পর্ক (5) বীজগাণিতিক রূপান্তর এবং অযৌক্তিকতা দূর করার পরে এইভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

(6)

যা বলা হয় একটি হাইপারবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ।এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা এবং নির্দিষ্ট সমীকরণে (6), হাইপারবোলার গ্রাফের ফর্ম রয়েছে:

হাইপারবোলা সমীকরণের ফর্ম থাকলে

(7)

তারপর, সেই অনুযায়ী, এর গ্রাফটি এরকম দেখাচ্ছে:

অপশন এবং আধা-অক্ষ বলা হয় - বৈধ, - স্পষ্ট। প্যারামিটার

(8)

ডাকা উদ্ভটতা. এটি একটি হাইপারবোলের রূপকে চিহ্নিত করে।

আসুন হাইপারবোলার কিছু বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করি।

1) একটি হাইপারবোলার প্রতিসাম্যের কমপক্ষে দুটি অক্ষ এবং প্রতিসাম্য কেন্দ্র রয়েছে.

প্রকৃতপক্ষে, সময়কাল (0;0) ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমে হাইপারবোলা গ্রাফের যেকোনো অবস্থানের জন্য, এটি প্রতিসাম্যের কেন্দ্র। প্রতিসাম্যের অক্ষগুলির ভূমিকা অক্ষগুলি দ্বারা অভিনয় করা হয় ওহএবং অপ-অ্যাম্প.

2) একটি হাইপারবোলা প্রতিসাম্যের অক্ষগুলির একটিকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে যাকে বলা হয়চূড়া , হাইপারবোলা প্রতিসাম্যের অন্যান্য অক্ষের সাথে ছেদ করে না.

যেমন, প্রথম গ্রাফে, হাইপারবোলার (6) শীর্ষবিন্দুগুলি অক্ষের উপর অবস্থিত ওহ,এই বিন্দু
এবং
, দ্বিতীয় গ্রাফে (7) - অক্ষে অপ-অ্যাম্প,-এই
এবং
.

3) একটি হাইপারবোলার অ্যাসিম্পটোটস থাকে, অর্থাৎ, সরলরেখা যেখানে হাইপারবোলা সীমা ছাড়াই আসে।, যদি একটি বিন্দু বরাবর স্লাইডিং করে তা অসীমে যায়।

ক্যানোনিকাল সমীকরণ সহ একটি হাইপারবোলার জন্য
উপসর্গ সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়

এবং
. (9)

সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি হাইপারবোলার জন্য
উপসর্গগুলি সরলরেখা দ্বারা দেওয়া হয়

. (10)

হাইপারবোল কৌশল
(বা
জন্য
) তার শীর্ষবিন্দু সহ একই অক্ষে অবস্থিত। এখানে

. (11)

হাইপারবোলার অপটিক্যাল সম্পত্তি। হাইপারবোলার ফোকাসগুলির একটি থেকে উদ্ভূত একটি রশ্মি, বক্ররেখা থেকে প্রতিফলনের পরে, এমনভাবে ভ্রমণ করে যেন এটি দ্বিতীয় ফোকাস থেকে বেরিয়ে এসেছে।

7.1.4। প্যারাবোলা

প্যারাবোলাএকটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বে সমতলে অবস্থিত বিন্দুগুলির অবস্থান, যাকে বলা হয় ফোকাস, এবং এই লাইন, যা বলা হয় প্রধান শিক্ষিকা

এটা সোজা হতে দিন l, - প্রধান শিক্ষিকা, - ফোকাস এবং দূরত্বে প্রধান শিক্ষিকা থেকে সরানো পি, এবং পয়েন্ট এম, প্যারাবোলার একটি নির্বিচারে বিন্দু। তারপর

আসুন নীচে দেখানো হিসাবে একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেম চয়ন করি।

.

তারপর অযৌক্তিকতা দূর করে প্যারাবোলার সমীকরণ রূপ নেবে

,
(12)

যা বলা হয় ক্যানোনিকাল প্যারাবোলা সমীকরণ. এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা এবং নির্দিষ্ট সমীকরণে (12), প্যারাবোলার গ্রাফের ফর্ম রয়েছে:

পাওয়া ক্যানোনিকাল প্যারাবোলা সমীকরণের জন্য, ডিরেক্ট্রিক্স সমীকরণ

,
(13)

এবং ফোকাস পয়েন্টে অবস্থিত
.

আমাদের একটি বৈশিষ্ট্য নোট করা যাক.

একটি প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ রয়েছে।

উপরে নির্বাচিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের অক্ষটি ওহ.

মন্তব্য করুন। 1. ফোকাস স্থানাঙ্ক আছে
, এবং directrix সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়
, তাহলে প্যারাবোলার সমীকরণ রূপ নেয়

. (14)

যদি ফোকাস অক্ষের উপর স্থাপন করা হয় 0y, তাহলে সমীকরণটি রূপ নেয়

বা
, (15)

প্রধান শিক্ষিকার অবস্থানের উপর নির্ভর করে (
বা
, যথাক্রমে)। এই সমীকরণগুলিও বলা হয় ক্যানোনিকাল. উল্লেখিত বৈশিষ্ট্যগুলি দ্ব্যর্থহীনভাবে প্যারাবোলার অবস্থান এবং এর চারিত্রিক বৈশিষ্ট্য (ফোকাস কোঅর্ডিনেট, ডাইরেক্ট্রিক্স সমীকরণ) নির্ধারণ করা সম্ভব করে।

অপটিক্যালসম্পত্তিপ্যারাবোলাসপ্যারাবোলার অক্ষের সমান্তরাল রশ্মি, বক্ররেখা থেকে প্রতিফলনের পর, এর ফোকাসের মধ্য দিয়ে যায়।

প্রথমে, আসুন একটি বৃত্ত এবং একটি বৃত্তের মধ্যে পার্থক্য বুঝতে পারি। এই পার্থক্য দেখতে, উভয় পরিসংখ্যান কি তা বিবেচনা করা যথেষ্ট। এগুলি অবস্থিত সমতলে অসীম সংখ্যক বিন্দু সমান দূরত্বএকটি একক কেন্দ্রীয় বিন্দু থেকে। কিন্তু, যদি বৃত্তে অভ্যন্তরীণ স্থানও থাকে, তবে এটি বৃত্তের অন্তর্গত নয়। দেখা যাচ্ছে যে একটি বৃত্ত হল একটি বৃত্ত যা এটিকে সীমাবদ্ধ করে (বৃত্ত(r)), এবং বৃত্তের ভিতরে থাকা অসংখ্য বিন্দু।

বৃত্তের উপর থাকা L যেকোন বিন্দুর জন্য, সমতা OL=R প্রযোজ্য। (OL রেখাংশের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান)।

একটি রেখাংশ যা একটি বৃত্তের দুটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে তা হল তার জ্যা.

একটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে সরাসরি ক্ষণস্থায়ী একটি জ্যা ব্যাসএই বৃত্ত (D)। সূত্র ব্যবহার করে ব্যাস গণনা করা যেতে পারে: D=2R

পরিধিসূত্র দ্বারা গণনা করা হয়: C=2\pi R

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল: S=\pi R^(2)

একটি বৃত্তের চাপএটির সেই অংশটিকে বলা হয় যা এর দুটি বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত। এই দুটি বিন্দু একটি বৃত্তের দুটি চাপ সংজ্ঞায়িত করে। জ্যা CD দুটি চাপকে সাবটেন করে: CMD এবং CLD। অভিন্ন জ্যাগুলি সমান চাপগুলিকে সাবটেন করে।

কেন্দ্রীয় কোণদুটি ব্যাসার্ধের মধ্যে অবস্থিত একটি কোণকে বলা হয়।

চাপ দৈর্ঘ্যসূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:

1. ব্যবহার করে ডিগ্রী পরিমাপ: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. রেডিয়ান পরিমাপ ব্যবহার করে: CD = \alpha R

ব্যাস, যা জ্যার লম্ব, জ্যা এবং এর দ্বারা সংকুচিত আর্কগুলিকে অর্ধেক ভাগ করে।

যদি বৃত্তের জ্যা AB এবং CD N বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে N বিন্দু দ্বারা পৃথক করা জ্যাগুলির অংশগুলির গুণফল একে অপরের সমান।

AN\cdot NB = CN\cdot ND

একটি বৃত্তের স্পর্শক

একটি বৃত্তের স্পর্শকবৃত্তের সাথে একটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে এমন একটি সরল রেখাকে কল করার প্রথাগত।

যদি একটি সরলরেখা দুটি থাকে সাধারণ পয়েন্ট, তারা তাকে ডাকে সেক্যান্ট.

আপনি যদি স্পর্শক বিন্দুতে ব্যাসার্ধ আঁকেন তবে এটি বৃত্তের স্পর্শকটির সাথে লম্ব হবে।

এই বিন্দু থেকে আমাদের বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকুন। দেখা যাচ্ছে যে স্পর্শক অংশগুলি একে অপরের সমান হবে এবং বৃত্তের কেন্দ্রটি এই বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ কোণের দ্বিখন্ডের উপর অবস্থিত হবে।

AC = CB

এখন আমাদের বিন্দু থেকে বৃত্তে একটি স্পর্শক এবং একটি সেক্যান্ট আঁকুন। আমরা পাই যে স্পর্শক রেখাংশের দৈর্ঘ্যের বর্গ সমগ্র সেক্যান্ট সেগমেন্ট এবং এর বাইরের অংশের গুণফলের সমান হবে।

AC^(2) = CD \cdot BC

আমরা উপসংহারে আসতে পারি: প্রথম সেক্যান্টের একটি সম্পূর্ণ সেগমেন্ট এবং এর বাহ্যিক অংশের গুণফল দ্বিতীয় সেক্যান্টের একটি সম্পূর্ণ অংশ এবং এর বাহ্যিক অংশের গুণফলের সমান।

AC\cdot BC = EC\cdot DC

একটি বৃত্তে কোণ

কেন্দ্রীয় কোণের ডিগ্রী পরিমাপ এবং এটি যে চাপের উপর অবস্থিত তা সমান।

\কোণ COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

খোদাই করা কোণএকটি কোণ যার শীর্ষবিন্দু একটি বৃত্তে এবং যার বাহুতে জ্যা রয়েছে।

আপনি চাপের আকার জেনে এটি গণনা করতে পারেন, যেহেতু এটি এই চাপের অর্ধেকের সমান।

\কোণ AOB = 2 \কোণ ADB

একটি ব্যাসের উপর ভিত্তি করে, খোদাই করা কোণ, সমকোণ।

\কোণ CBD = \কোণ CED = \কোণ CAD = 90^ (\circ)

খোদাই করা কোণগুলি যা একই চাপকে সাবটেন করে অভিন্ন।

একটি জ্যার উপর অবস্থিত খোদাইকৃত কোণগুলি অভিন্ন বা তাদের যোগফল 180^ (\circ) এর সমান।

\কোণ ADB + \কোণ AKB = 180^ (\circ)

\ কোণ ADB = \ কোণ AEB = \ কোণ AFB

একই বৃত্তে অভিন্ন কোণ এবং একটি প্রদত্ত ভিত্তি সহ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু রয়েছে।

বৃত্তের অভ্যন্তরে একটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি কোণ এবং দুটি জ্যার মধ্যে অবস্থিত যা প্রদত্ত এবং উল্লম্ব কোণের মধ্যে থাকা বৃত্তের চাপগুলির কৌণিক মানের অর্ধেক সমষ্টির সমান।

\কোণ DMC = \কোণ ADM + \কোণ DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \ ডান)

বৃত্তের বাইরে একটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি কোণ এবং দুটি সেকেন্টের মধ্যে অবস্থিত কোণের ভিতরে থাকা বৃত্তের চাপগুলির কৌণিক মানের অর্ধেক পার্থক্যের সমান।

\কোণ M = \কোণ CBD - \কোণ ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

খোদাই করা বৃত্ত

খোদাই করা বৃত্তবহুভুজের পাশে একটি বৃত্ত স্পর্শক।

বহুভুজের কোণগুলির দ্বিখণ্ডকগুলিকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, তার কেন্দ্রটি অবস্থিত।

প্রতিটি বহুভুজে একটি বৃত্ত খোদাই করা যাবে না।

একটি উৎকীর্ণ বৃত্ত সহ বহুভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:

S = pr,

p হল বহুভুজের অর্ধ-পরিধি,

r হল খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

এটি অনুসরণ করে যে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান:

r = frac(S)(p)

দৈর্ঘ্যের যোগফল বিপরীত পক্ষযদি বৃত্তটি উত্তল চতুর্ভুজে খোদাই করা থাকে তাহলে অভিন্ন হবে। এবং তদ্বিপরীত: একটি বৃত্ত একটি উত্তল চতুর্ভুজের সাথে ফিট করে যদি বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল অভিন্ন হয়।

AB + DC = AD + BC

ত্রিভুজগুলির যে কোনও একটিতে একটি বৃত্ত খোদাই করা সম্ভব। শুধুমাত্র একটি একক এক. বিন্দুতে যেখানে দ্বিখন্ডগুলি ছেদ করে অভ্যন্তরীণ কোণগুলিচিত্র, এই খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্র মিথ্যা হবে।

খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

r = frac(S)(p) ,

যেখানে p = frac(a + b + c)(2)

বৃত্তাকার

যদি একটি বৃত্ত বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তবে সাধারণত এই ধরনের বৃত্ত বলা হয় বহুভুজ সম্পর্কে বর্ণনা করা হয়েছে.

এই চিত্রের বাহুর লম্ব বিভাজকগুলির ছেদ বিন্দুতে বৃত্তের কেন্দ্র হবে।

বহুভুজের যেকোন 3 টি শীর্ষবিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত ত্রিভুজ সম্পর্কে পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ হিসাবে এটি গণনা করে ব্যাসার্ধটি পাওয়া যেতে পারে।

নিম্নলিখিত শর্ত রয়েছে: একটি চতুর্ভুজের চারপাশে একটি বৃত্তকে বর্ণনা করা যেতে পারে যদি এর বিপরীত কোণের সমষ্টি 180^( \circ) এর সমান হয়।

\ কোণ A + \ কোণ C = \ কোণ B + \ কোণ D = 180^ (\circ)

যেকোনো ত্রিভুজের চারপাশে আপনি একটি বৃত্ত বর্ণনা করতে পারেন, এবং শুধুমাত্র একটি। ত্রিভুজের বাহুর লম্ব দ্বিখণ্ডকগুলিকে ছেদ করে এমন বিন্দুতে এই ধরনের বৃত্তের কেন্দ্র অবস্থিত হবে।

পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = frac(abc)(4 S)

a, b, c হল ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য,

S হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

টলেমির উপপাদ্য

অবশেষে, টলেমির উপপাদ্য বিবেচনা করুন।

টলেমির উপপাদ্য বলে যে কর্ণের গুণফল একটি চক্রীয় চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুর গুণফলের সমষ্টির সমান।

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

এই নিবন্ধে সর্বনিম্ন চেনাশোনা তথ্যের প্রয়োজনীয় সেট রয়েছে৷ সফল সমাপ্তিগণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা।

পরিধি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুগুলির একটি সেট, যাকে বৃত্তের কেন্দ্র বলে।

বৃত্তের উপর থাকা যেকোনো বিন্দুর জন্য, সমতা সন্তুষ্ট (সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

একটি বৃত্তের দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী রেখাখণ্ডকে বলা হয় জ্যা

বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া জ্যাকে বলে ব্যাস বৃত্ত() .

পরিধি:

বৃত্ত এলাকা:

একটি বৃত্তের চাপ:

দুটি বিন্দুর মধ্যে একটি বৃত্তের অংশকে বলা হয় চাপ চেনাশোনা একটি বৃত্তের দুটি বিন্দু দুটি চাপকে সংজ্ঞায়িত করে। জ্যা দুটি চাপকে সাবটেন করে: এবং . সমান কর্ডগুলি সমান চাপগুলিকে সাবটেন করে।

দুটি ব্যাসার্ধের মধ্যবর্তী কোণকে বলা হয় কেন্দ্রীয় কোণ :

চাপের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে, আমরা একটি অনুপাত তৈরি করি:

ক) কোণটি ডিগ্রীতে দেওয়া হয়েছে:

b) কোণটি রেডিয়ানে দেওয়া হয়েছে:

ব্যাস জ্যা লম্ব , এই জ্যা এবং আর্কগুলিকে ভাগ করে যা এটি অর্ধেক করে:

যদি chords এবং বৃত্তগুলি একটি বিন্দুতে ছেদ করে , তারপর জ্যা অংশগুলির পণ্যগুলি যেখানে তারা একটি বিন্দু দ্বারা বিভক্ত হয় একে অপরের সমান:

একটি বৃত্তের স্পর্শক।

একটি সরলরেখা যেখানে একটি বৃত্তের সাথে একটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে তাকে বলা হয় স্পর্শকবৃত্তে যে সরলরেখায় একটি বৃত্তের সাথে দুটি বিন্দুর মিল রয়েছে তাকে বলা হয় সেক্যান্ট

একটি বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শক বিন্দুতে টানা ব্যাসার্ধের লম্ব।

যদি দুটি স্পর্শক একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে আঁকা হয়, তাহলে স্পর্শক অংশগুলি একে অপরের সমানএবং বৃত্তের কেন্দ্র এই বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ কোণের দ্বিখন্ডের উপর অবস্থিত:

যদি একটি স্পর্শক এবং একটি সেকেন্ট একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে আঁকা হয়, তাহলে একটি স্পর্শক সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের বর্গ সমগ্র সেক্যান্ট সেগমেন্ট এবং এর বাইরের অংশের গুণফলের সমান :

পরিণতি: একটি সেকেন্টের সমগ্র অংশের গুণফল এবং এর বাহ্যিক অংশ অন্য সেকেন্টের সমগ্র অংশের গুণফল এবং এর বাহ্যিক অংশের সমান:

একটি বৃত্তে কোণ।

কেন্দ্রীয় কোণের ডিগ্রী পরিমাপটি চাপের ডিগ্রী পরিমাপের সমান যা এটি বিশ্রাম নেয়:

একটি কোণ যার শীর্ষবিন্দু একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত এবং যার বাহুতে জ্যা রয়েছে তাকে বলে খোদাই করা কোণ . একটি খোদাই করা কোণ অর্ধেক চাপ দ্বারা পরিমাপ করা হয় যার উপর এটি অবস্থিত:

∠∠

ব্যাস দ্বারা খোদাই করা কোণটি সঠিক:

∠∠∠

একটি চাপ দ্বারা উপস্থাপিত খোদাইকৃত কোণগুলি সমান :

খোদাইকৃত কোণগুলি একটি জ্যাকে সাবটেন করে সমান বা তাদের যোগফল সমান

∠∠

প্রদত্ত বেস এবং সমান শীর্ষ কোণ সহ ত্রিভুজগুলির শীর্ষবিন্দুগুলি একই বৃত্তের উপর অবস্থিত:

দুটি জ্যার মধ্যে কোণ (বৃত্তের ভিতরে একটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি কোণ) একটি প্রদত্ত কোণের ভিতরে এবং একটি উল্লম্ব কোণের ভিতরে থাকা একটি বৃত্তের চাপগুলির কৌণিক মানের অর্ধেক সমষ্টির সমান।

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

দুই সেকেন্টের মধ্যে কোণ (বৃত্তের বাইরে একটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি কোণ) কোণের ভিতরে থাকা বৃত্তের চাপগুলির কৌণিক মানের অর্ধ-পার্থক্যের সমান।

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

খোদাই করা বৃত্ত।

বৃত্ত বলা হয় বহুভুজে খোদাই করা , যদি এটি তার পাশ স্পর্শ করে। খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্র বহুভুজের কোণের দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দুতে অবস্থিত।

প্রতিটি বহুভুজ একটি বৃত্ত ফিট করতে পারে না।

একটি বহুভুজের ক্ষেত্র যেখানে একটি বৃত্ত খোদাই করা আছে সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যাবে

এখানে বহুভুজের অর্ধ-ঘের, এবং খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

এখান থেকে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান

যদি একটি বৃত্ত উত্তল চতুর্ভুজে খোদাই করা হয়, তাহলে বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল সমান . বিপরীতভাবে: যদি একটি উত্তল চতুর্ভুজে বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল সমান হয়, তাহলে একটি বৃত্ত চতুর্ভুজে খোদাই করা যেতে পারে:

আপনি যেকোন ত্রিভুজ এবং শুধুমাত্র একটিতে একটি বৃত্ত লিখতে পারেন। অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্রটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দুতে অবস্থিত।

খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান এখানে

পরিক্রমা বৃত্ত।

বৃত্ত বলা হয় বহুভুজ সম্পর্কে বর্ণনা করা হয়েছে , যদি এটি বহুভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। বৃত্তের কেন্দ্র বহুভুজের বাহুর লম্ব দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দুতে অবস্থিত। প্রদত্ত বহুভুজের যেকোনো তিনটি শীর্ষবিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত ত্রিভুজ দ্বারা পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ হিসাবে ব্যাসার্ধ গণনা করা হয়:

একটি বৃত্তকে একটি চতুর্ভুজের চারপাশে বর্ণনা করা যেতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর বিপরীত কোণের সমষ্টি সমান হয় .

যেকোনো ত্রিভুজের চারপাশে আপনি একটি বৃত্ত বর্ণনা করতে পারেন, এবং শুধুমাত্র একটি। এর কেন্দ্রটি ত্রিভুজের বাহুর লম্ব দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দুতে অবস্থিত:

বৃত্তাকারসূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কোথায় এবং এর ক্ষেত্রফল কত।

টলেমির উপপাদ্য

একটি চক্রীয় চতুর্ভুজে, কর্ণের গুণফল তার বিপরীত বাহুর গুণফলের সমষ্টির সমান:

বক্তৃতা: বৃত্ত এবং বৃত্ত

বৃত্তএকটি বন্ধ বক্ররেখা, যার সমস্ত বিন্দু কেন্দ্র থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত।

IN দৈনন্দিন জীবনআপনি একাধিকবার একটি বৃত্ত দেখেছেন৷ ঘন্টা এবং সেকেন্ড হ্যান্ড বর্ণনা করে ঠিক এটিই, এবং এটি একটি বৃত্তের আকৃতি যা একটি জিমন্যাস্টিক হুপ রয়েছে।

এখন কল্পনা করুন যে আপনি কাগজের টুকরোতে একটি বৃত্ত এঁকেছেন এবং এটি রঙ করতে চান।

সুতরাং, সমস্ত সজ্জিত স্থান, একটি বৃত্ত দ্বারা সীমাবদ্ধ, একটি বৃত্ত।

বৃত্ত এবং বৃত্ত উভয়েরই কিছু পরামিতি রয়েছে:

কেন্দ্র হল সেই বিন্দু যা বৃত্তের সমস্ত বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত। একটি বৃত্ত এবং বৃত্তের কেন্দ্র O অক্ষর দ্বারা মনোনীত হয়।

ব্যাসার্ধ হল কেন্দ্র থেকে বৃত্তের দূরত্ব (R)।

ব্যাস হল কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার অংশ যা বৃত্তের (d) সমস্ত বিন্দুকে সংযুক্ত করে। তদুপরি, ব্যাস দুটি ব্যাসার্ধের সমান: d = 2R।

একটি জ্যা হল একটি অংশ যা একটি বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে। ব্যাস জ্যা একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

পরিধি খুঁজে পেতে, আপনাকে সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে:

l=2 πআর

দয়া করে মনে রাখবেন যে পরিধি এবং ক্ষেত্রফল শুধুমাত্র বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর নির্ভর করে।

নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল পাওয়া যেতে পারে:

এস=πR 2।

আমি "Pi" সংখ্যাটির প্রতি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই। এই মান একটি বৃত্ত ব্যবহার করে পাওয়া গেছে. এটি করার জন্য, এর দৈর্ঘ্য দুটি রেডিআইতে বিভক্ত ছিল এবং এইভাবে "পাই" সংখ্যাটি প্রাপ্ত হয়েছিল।

যদি একটি বৃত্তকে দুইটি ব্যাসার্ধ দিয়ে কিছু অংশে ভাগ করা হয়, তাহলে সেই অংশগুলোকে সেক্টর বলা হবে। প্রতিটি সেক্টরের নিজস্ব ডিগ্রী পরিমাপ আছে - চাপের ডিগ্রী পরিমাপ যার উপর এটি বিশ্রাম নেয়।

চাপের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে, আপনাকে সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে:

1. ডিগ্রি পরিমাপ ব্যবহার করে:

2. রেডিয়ান পরিমাপ ব্যবহার করে:

যদি একটি নির্দিষ্ট কোণের শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থান করে এবং এর রশ্মি বৃত্তটিকে ছেদ করে, তবে এই কোণটিকে কেন্দ্রীয় বলা হয়।

যদি কিছু দুটি জ্যা কোনো বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে তাদের অংশগুলি সমানুপাতিক: