ভিত্তির সংজ্ঞা।ভেক্টরের একটি সিস্টেম একটি ভিত্তি গঠন করে যদি:

1) এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন,

2) স্থানের যেকোনো ভেক্টর এর মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ 1.মহাকাশ ভিত্তি: .

2. ভেক্টর সিস্টেমে ভিত্তি হল ভেক্টর: , কারণ ভেক্টরের পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়।

মন্তব্য করুন।একটি প্রদত্ত ভেক্টর সিস্টেমের ভিত্তি খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজন:

1) ম্যাট্রিক্সে ভেক্টরের স্থানাঙ্ক লিখুন,

2) প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে, ম্যাট্রিক্সকে একটি ত্রিভুজাকার আকারে আনুন,

3) ম্যাট্রিক্সের অ-শূন্য সারিগুলি সিস্টেমের ভিত্তি হবে,

4) ভিত্তিতে ভেক্টরের সংখ্যা ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান।

ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য

ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য অজানাগুলির সাথে রৈখিক সমীকরণের একটি নির্বিচারে সিস্টেমের সামঞ্জস্যের প্রশ্নের একটি বিস্তৃত উত্তর প্রদান করে

ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য. রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এবং শুধুমাত্র যদি সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান হয়,।

রৈখিক সমীকরণের একযোগে সমস্ত সমাধান খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য এবং নিম্নলিখিত উপপাদ্যগুলি থেকে অনুসরণ করে।

উপপাদ্য।যদি একটি যৌথ সিস্টেমের র্যাঙ্ক অজানা সংখ্যার সমান হয়, তবে সিস্টেমটির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে।

উপপাদ্য।যদি একটি যৌথ সিস্টেমের র্যাঙ্ক অজানা সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তাহলে সিস্টেমটির অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

রৈখিক সমীকরণের একটি নির্বিচারে সিস্টেম সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম:

1. সিস্টেমের প্রধান এবং বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের ক্রম খুঁজুন। যদি তারা সমান না হয় (), তাহলে সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ (কোনও সমাধান নেই)। যদি র‍্যাঙ্কগুলি সমান হয় ( , তাহলে সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ।

2. একটি যৌথ সিস্টেমের জন্য, আমরা কিছু গৌণ খুঁজে পাই, যার ক্রম ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ধারণ করে (যেমন একটি নাবালককে মৌলিক বলা হয়)। আসুন সমীকরণের একটি নতুন সিস্টেম রচনা করি যেখানে অজানাদের সহগগুলি মৌলিক অপ্রাপ্তবয়স্ক (এই অজানাগুলিকে প্রধান অজানা বলা হয়) অন্তর্ভুক্ত করা হয় এবং অবশিষ্ট সমীকরণগুলি বাদ দিন। আমরা বাম দিকে সহগ সহ মূল অজানাগুলি ছেড়ে দেব, এবং অবশিষ্ট অজানাগুলিকে (তাদেরকে মুক্ত অজানা বলা হয়) সমীকরণের ডানদিকে নিয়ে যাব।

3. চলুন বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রধান অজানা জন্য অভিব্যক্তি খুঁজে বের করা যাক. আমরা সিস্টেমের সাধারণ সমাধান পেতে.

4. মুক্ত অজানাকে স্বেচ্ছাচারী মান প্রদান করে, আমরা প্রধান অজানাগুলির সাথে সম্পর্কিত মানগুলি পাই। এইভাবে আমরা সমীকরণের মূল সিস্টেমের আংশিক সমাধান খুঁজে পাই।

লিনিয়ার প্রোগ্রামিং। মৌলিক ধারণা

লিনিয়ার প্রোগ্রামিংগাণিতিক প্রোগ্রামিং এর একটি শাখা যা চরম সমস্যা সমাধানের পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করে যা ভেরিয়েবল এবং একটি রৈখিক মানদণ্ডের মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা তৈরির জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল সম্পদের প্রাপ্যতা, চাহিদার পরিমাণ, এন্টারপ্রাইজের উত্পাদন ক্ষমতা এবং অন্যান্য উত্পাদন কারণগুলির উপর সীমাবদ্ধতা।

রৈখিক প্রোগ্রামিং এর সারমর্ম হল আর্গুমেন্ট এবং জেনারেটরের উপর আরোপিত বিধিনিষেধের একটি নির্দিষ্ট সেটের অধীনে একটি নির্দিষ্ট ফাংশনের বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম মানের পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করা। বিধিনিষেধের ব্যবস্থা , যার, একটি নিয়ম হিসাবে, অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। পরিবর্তনশীল মানের প্রতিটি সেট (ফাংশন আর্গুমেন্ট চ ) যা সীমাবদ্ধতার ব্যবস্থাকে সন্তুষ্ট করে তাকে বলা হয় বৈধ পরিকল্পনা লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা। ফাংশন চ , যার সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন নির্ধারণ করা হয় তাকে বলা হয় লক্ষ্য ফাংশন কাজ একটি সম্ভাব্য পরিকল্পনা যেখানে একটি ফাংশনের সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন অর্জন করা হয় চ , বলা হয় সর্বোত্তম পরিকল্পনা কাজ

বিধিনিষেধের সিস্টেম যা অনেক পরিকল্পনা নির্ধারণ করে তা উৎপাদনের অবস্থার দ্বারা নির্ধারিত হয়। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা ( জেডএলপি ) হল সম্ভাব্য পরিকল্পনার একটি সেট থেকে সবচেয়ে লাভজনক (অনুকূল) একটির পছন্দ।

এর সাধারণ সূত্রে, রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যাটি এইরকম দেখায়:

কোন ভেরিয়েবল আছে? x = (x 1, x 2, ... x n) এবং এই ভেরিয়েবলের কাজ f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , যা বলা হয় লক্ষ্য ফাংশন টাস্ক সেট করা হয়েছে: উদ্দেশ্য ফাংশনের চরমতম (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন) খুঁজে বের করা f(x) যে ভেরিয়েবল প্রদান x কিছু এলাকার অন্তর্গত জি :

ফাংশন ধরনের উপর নির্ভর করে f(x) এবং অঞ্চলগুলি জি এবং গাণিতিক প্রোগ্রামিং এর বিভাগগুলির মধ্যে পার্থক্য করুন: দ্বিঘাত প্রোগ্রামিং, উত্তল প্রোগ্রামিং, পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং ইত্যাদি। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যে
ক) ফাংশন f(x) ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক ফাংশন x 1, x 2, … x n
খ) অঞ্চল জি সিস্টেম দ্বারা নির্ধারিত রৈখিক সমতা বা অসমতা।

ভিত্তির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন ভেক্টর এবং ভেক্টরগুলির সিস্টেমের ভিত্তি খুঁজুন, ভিত্তি অনুসারে তাদের প্রসারিত করুন:

ক 1 = {5, 2, -3, 1}, ক 2 = {4, 1, -2, 3}, ক 3 = {1, 1, -1, -2}, ক 4 = {3, 4, -1, 2}, ক 5 = {13, 8, -7, 4}.

সমাধান. রৈখিক সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেম বিবেচনা করুন

ক 1 এক্স 1 + ক 2 এক্স 2 + ক 3 এক্স 3 + ক 4 এক্স 4 + ক 5 এক্স 5 = 0

বা প্রসারিত আকারে।

আমরা সারি এবং কলাম অদলবদল না করে গাউসিয়ান পদ্ধতিতে এই সিস্টেমটি সমাধান করব, এবং উপরন্তু, উপরের বাম কোণে নয়, পুরো সারি বরাবর প্রধান উপাদানটি বেছে নেব। চ্যালেঞ্জ হল ভেক্টরের রূপান্তরিত সিস্টেমের তির্যক অংশ নির্বাচন করুন.

~ ~

~ ~ ~ .

ভেক্টরের অনুমোদিত সিস্টেম, আসলটির সমতুল্য, ফর্ম রয়েছে

ক 1 1 এক্স 1 + ক 2 1 এক্স 2 + ক 3 1 এক্স 3 + ক 4 1 এক্স 4 + ক 5 1 এক্স 5 = 0 ,

যেখানে ক 1 1 = , ক 2 1 = , ক 3 1 = , ক 4 1 = , ক 5 1 = . (1)

ভেক্টর ক 1 1 , ক 3 1 , ক 4 1 একটি তির্যক সিস্টেম গঠন করে। অতএব, ভেক্টর ক 1 , ক 3 , ক 4 ভেক্টর সিস্টেমের ভিত্তি গঠন করে ক 1 , ক 2 , ক 3 , ক 4 , ক 5 .

এখন ভেক্টরগুলি প্রসারিত করা যাক ক 2 এবং ক ভিত্তিতে 5 ক 1 , ক 3 , ক 4. এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলিকে প্রসারিত করি ক 2 1 এবং ক 5 1 তির্যক সিস্টেম ক 1 1 , ক 3 1 , ক 4 1, মনে রাখবেন যে তির্যক সিস্টেম বরাবর একটি ভেক্টরের প্রসারণের সহগ হল এর স্থানাঙ্ক x i.

(1) থেকে আমাদের আছে:

ক 2 1 = ক 3 1 · (-1) + ক 4 1 0 + ক 1 1 ·1 => ক 2 1 = ক 1 1 – ক 3 1 .

ক 5 1 = ক 3 1 0 + ক 4 1 1 + ক 1 1·2 => ক 5 1 = 2ক 1 1 + ক 4 1 .

ভেক্টর ক 2 এবং ক 5 ভিত্তিতে প্রসারিত হয় ক 1 , ক 3 , ক ভেক্টর হিসাবে একই সহগ সহ 4 ক 2 1 এবং ক 5 1 তির্যক সিস্টেম ক 1 1 , ক 3 1 , ক 4 1 (সেই সহগ x i) তাই,

ক 2 = ক 1 – ক 3 , ক 5 = 2ক 1 + ক 4 .

অ্যাসাইনমেন্ট। 1.ভিত্তিতে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন ভেক্টর এবং ভেক্টরগুলির সিস্টেমের ভিত্তি খুঁজুন, ভিত্তি অনুসারে তাদের প্রসারিত করুন:

1. ক 1 = { 1, 2, 1 }, ক 2 = { 2, 1, 3 }, ক 3 = { 1, 5, 0 }, ক 4 = { 2, -2, 4 }.

2. ক 1 = { 1, 1, 2 }, ক 2 = { 0, 1, 2 }, ক 3 = { 2, 1, -4 }, ক 4 = { 1, 1, 0 }.

3. ক 1 = { 1, -2, 3 }, ক 2 = { 0, 1, -1 }, ক 3 = { 1, 3, 0 }, ক 4 = { 0, -7, 3 }, ক 5 = { 1, 1, 1 }.

4. ক 1 = { 1, 2, -2 }, ক 2 = { 0, -1, 4 }, ক 3 = { 2, -3, 3 }.

2. ভেক্টর সিস্টেমের সমস্ত ভিত্তি খুঁজুন:

1. ক 1 = { 1, 1, 2 }, ক 2 = { 3, 1, 2 }, ক 3 = { 1, 2, 1 }, ক 4 = { 2, 1, 2 }.

2. ক 1 = { 1, 1, 1 }, ক 2 = { -3, -5, 5 }, ক 3 = { 3, 4, -1 }, ক 4 = { 1, -1, 4 }.

ভেক্টরের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ একটি ভেক্টর
, যেখানে λ 1, ..., λ m হল নির্বিচারে সহগ।

ভেক্টর সিস্টেম
রৈখিকভাবে নির্ভরশীল বলা হয় যদি এর সমান একটি রৈখিক সমন্বয় থাকে , যার অন্তত একটি অ-শূন্য সহগ আছে।

ভেক্টর সিস্টেম
রৈখিকভাবে স্বাধীন বলা হয় যদি এর রৈখিক সংমিশ্রণের সমান হয় , সমস্ত সহগ শূন্য।

ভেক্টর সিস্টেমের ভিত্তি
এর অ-খালি রৈখিক স্বাধীন সাবসিস্টেম বলা হয়, যার মাধ্যমে সিস্টেমের যেকোনো ভেক্টর প্রকাশ করা যায়।

উদাহরণ 2. ভেক্টর সিস্টেমের ভিত্তি খুঁজুন = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) এবং অবশিষ্ট ভেক্টরগুলিকে ভিত্তির মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান: আমরা একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করি যাতে এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি কলামে সাজানো হয়। আমরা এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসি।

~
~
~
.

এই সিস্টেমের ভিত্তি ভেক্টর দ্বারা গঠিত হয় ,,, যা বৃত্তে হাইলাইট করা লাইনের অগ্রণী উপাদানগুলির সাথে মিলে যায়৷ একটি ভেক্টর প্রকাশ করতে সমীকরণ x 1 সমাধান করুন +x 2 + x 4 =. এটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমে হ্রাস পায়, যার ম্যাট্রিক্সটি অনুরূপ কলামের মূল স্থানান্তর থেকে প্রাপ্ত হয়

, বিনামূল্যে সদস্যদের কলামের জায়গায়।

অতএব, সিস্টেমটি সমাধান করার জন্য, আমরা ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে ব্যবহার করি, এতে প্রয়োজনীয় পুনর্বিন্যাস করি।

= -+2.

আমরা ধারাবাহিকভাবে খুঁজে পাই:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

ব্যায়াম 2. ভেক্টর সিস্টেমের ভিত্তি খুঁজুন এবং ভিত্তির মাধ্যমে অবশিষ্ট ভেক্টর প্রকাশ করুন:

ক) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

খ) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

ভি) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমকে সমজাতীয় বলা হয় যদি এর সমস্ত মুক্ত পদ শূন্যের সমান হয়।

রৈখিক সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধানের মৌলিক সিস্টেম হল এর সমাধানগুলির সেটের ভিত্তি।

আমাদের রৈখিক সমীকরণের একটি অসংলগ্ন সিস্টেম দেওয়া যাক। একটি প্রদত্ত একটির সাথে যুক্ত একটি সমজাতীয় সিস্টেম হল একটি প্রদত্ত থেকে প্রাপ্ত একটি সিস্টেম যা সমস্ত মুক্ত পদকে শূন্য দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।

যদি অসঙ্গতিপূর্ণ সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অনির্দিষ্ট হয়, তবে এর নির্বিচারে সমাধানের আকার থাকে f n +  1 f o1 + ... +  k f o k, যেখানে f n হল অসঙ্গতিপূর্ণ সিস্টেমের একটি নির্দিষ্ট সমাধান এবং f o1 , ... , f o k হয় সম্পর্কিত সমজাতীয় সিস্টেমের মৌলিক সিস্টেম সমাধান।

উদাহরণ 3. উদাহরণ 1 থেকে একজাতীয় সিস্টেমের একটি নির্দিষ্ট সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা খুঁজুন।

সমাধান 1 উদাহরণে প্রাপ্ত সমাধানটিকে ভেক্টর আকারে লিখি এবং এতে উপস্থিত মুক্ত পরামিতি এবং নির্দিষ্ট সংখ্যাগত মানগুলির উপর ফলে ভেক্টরটিকে একটি সমষ্টিতে পরিণত করি:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0) )

আমরা f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1) পাই।

মন্তব্য করুন। একটি সমজাতীয় ব্যবস্থার সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা খোঁজার সমস্যাটি একইভাবে সমাধান করা হয়।

ব্যায়াম 3.1 একটি সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধানের মৌলিক সিস্টেম খুঁজুন:

ক)

খ)

গ) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0।

ব্যায়াম 3.2। একজাতীয় সিস্টেমের একটি নির্দিষ্ট সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা খুঁজুন:

ক)

খ)

রৈখিক নির্ভরতা এবং ভেক্টরের রৈখিক স্বাধীনতা।
ভেক্টরের ভিত্তি। Affine সমন্বয় সিস্টেম

অডিটোরিয়ামে চকোলেট সহ একটি কার্ট রয়েছে এবং প্রতিটি দর্শক আজ একটি মিষ্টি দম্পতি পাবেন - রৈখিক বীজগণিত সহ বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি। এই নিবন্ধটি উচ্চতর গণিতের দুটি বিভাগকে একবারে স্পর্শ করবে, এবং আমরা দেখব কিভাবে তারা একটি মোড়কে সহাবস্থান করে। একটি বিরতি নিন, একটি Twix খান! ...অভিশাপ, কি একগুচ্ছ আজেবাজে কথা। যদিও, ঠিক আছে, আমি স্কোর করব না, শেষ পর্যন্ত, আপনার পড়াশোনার প্রতি ইতিবাচক মনোভাব থাকা উচিত।

ভেক্টরের রৈখিক নির্ভরতা, রৈখিক ভেক্টর স্বাধীনতা, ভেক্টরের ভিত্তিএবং অন্যান্য পদগুলির শুধুমাত্র একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যাই নয়, সর্বোপরি, একটি বীজগণিতিক অর্থ রয়েছে। রৈখিক বীজগণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে "ভেক্টর" এর ধারণাটি সর্বদা "সাধারণ" ভেক্টর নয় যা আমরা একটি সমতলে বা মহাকাশে চিত্রিত করতে পারি। প্রমাণের জন্য আপনাকে বেশিদূর তাকাতে হবে না, পাঁচ-মাত্রিক স্থানের ভেক্টর আঁকার চেষ্টা করুন . অথবা আবহাওয়া ভেক্টর, যার জন্য আমি শুধু গিসমেটিওতে গিয়েছিলাম: যথাক্রমে তাপমাত্রা এবং বায়ুমণ্ডলীয় চাপ। উদাহরণটি, অবশ্যই, ভেক্টর স্থানের বৈশিষ্ট্যগুলির দৃষ্টিকোণ থেকে ভুল, তবে, তবুও, কেউ এই পরামিতিগুলিকে ভেক্টর হিসাবে আনুষ্ঠানিক করতে নিষেধ করে না। শরতের নিঃশ্বাস...

না, আমি আপনাকে তত্ত্ব, রৈখিক ভেক্টর স্পেস দিয়ে বিরক্ত করতে যাচ্ছি না, কাজটি হল বুঝতেসংজ্ঞা এবং উপপাদ্য। নতুন পদগুলি (রৈখিক নির্ভরতা, স্বাধীনতা, রৈখিক সংমিশ্রণ, ভিত্তি, ইত্যাদি) বীজগাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সমস্ত ভেক্টরের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তবে জ্যামিতিক উদাহরণ দেওয়া হবে। সুতরাং, সবকিছু সহজ, অ্যাক্সেসযোগ্য এবং পরিষ্কার। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সমস্যা ছাড়াও, আমরা কিছু সাধারণ বীজগণিত সমস্যাও বিবেচনা করব। উপাদানটি আয়ত্ত করার জন্য, পাঠের সাথে নিজেকে পরিচিত করার পরামর্শ দেওয়া হয় ডামি জন্য ভেক্টরএবং নির্ধারক গণনা কিভাবে?

সমতল ভেক্টরের রৈখিক নির্ভরতা এবং স্বাধীনতা।
সমতল ভিত্তি এবং affine সমন্বয় সিস্টেম

আসুন আপনার কম্পিউটার ডেস্কের সমতল বিবেচনা করা যাক (শুধু একটি টেবিল, বেডসাইড টেবিল, মেঝে, ছাদ, যা আপনি চান)। কাজটি নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি নিয়ে গঠিত হবে:

1) সমতল ভিত্তিতে নির্বাচন করুন. মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, একটি টেবিলটপের একটি দৈর্ঘ্য এবং একটি প্রস্থ থাকে, তাই এটি স্বজ্ঞাত যে ভিত্তিটি তৈরি করতে দুটি ভেক্টরের প্রয়োজন হবে। একটি ভেক্টর স্পষ্টতই যথেষ্ট নয়, তিনটি ভেক্টর অনেক বেশি।

2) নির্বাচিত ভিত্তিতে উপর ভিত্তি করে সমন্বয় সিস্টেম সেট করুন(সমন্বয় গ্রিড) টেবিলের সমস্ত বস্তুর স্থানাঙ্ক বরাদ্দ করতে।

অবাক হবেন না, প্রথমে ব্যাখ্যা আঙ্গুলের উপর হবে। তাছাড়া, আপনার উপর. দয়া করে বসান বাম তর্জনীটেবিলটপের প্রান্তে যাতে সে মনিটরের দিকে তাকায়। এটি একটি ভেক্টর হবে। এখন জায়গা ডান ছোট আঙুলটেবিলের প্রান্তে একইভাবে - যাতে এটি মনিটরের পর্দায় নির্দেশিত হয়। এটি একটি ভেক্টর হবে। হাসুন, আপনাকে দুর্দান্ত দেখাচ্ছে! আমরা ভেক্টর সম্পর্কে কি বলতে পারি? ডেটা ভেক্টর সমরেখা, যার মানে রৈখিকএকে অপরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়:
, ভাল, বা তদ্বিপরীত: , যেখানে কিছু সংখ্যা শূন্য থেকে আলাদা।

আপনি ক্লাসে এই কর্মের একটি ছবি দেখতে পারেন। ডামি জন্য ভেক্টর, যেখানে আমি একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার নিয়ম ব্যাখ্যা করেছি।

আপনার আঙ্গুলগুলি কি কম্পিউটার ডেস্কের সমতলে ভিত্তি স্থাপন করবে? স্পষ্টতই নয়। কলিনিয়ার ভেক্টরগুলি সামনে পিছনে ভ্রমণ করে একাদিক, এবং একটি সমতল দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ আছে।

এই ধরনের ভেক্টর বলা হয় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল.

তথ্যসূত্র: "রৈখিক", "রৈখিক" শব্দগুলি এই সত্যটিকে বোঝায় যে গাণিতিক সমীকরণ এবং অভিব্যক্তিতে কোনও বর্গ, ঘনক, অন্যান্য শক্তি, লগারিদম, সাইন ইত্যাদি নেই। শুধুমাত্র রৈখিক (1ম ডিগ্রী) অভিব্যক্তি এবং নির্ভরতা আছে।

দুটি সমতল ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীলযদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সমান্তরাল হয়.

টেবিলের উপর আপনার আঙ্গুলগুলি ক্রস করুন যাতে তাদের মধ্যে 0 বা 180 ডিগ্রি ছাড়া অন্য কোন কোণ থাকে। দুটি সমতল ভেক্টররৈখিক নানির্ভরশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সমান্তরাল না হয়. সুতরাং, ভিত্তি প্রাপ্ত হয়. বিব্রত হওয়ার দরকার নেই যে ভিত্তিটি বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের অ-লম্ব ভেক্টরের সাথে "তরল" হয়ে উঠেছে। খুব শীঘ্রই আমরা দেখতে পাব যে এটির নির্মাণের জন্য শুধুমাত্র 90 ডিগ্রি কোণই উপযুক্ত নয়, এবং সমান দৈর্ঘ্যের একক ভেক্টরই নয়।

যে কোনসমতল ভেক্টর একমাত্র উপায়ভিত্তি অনুযায়ী প্রসারিত হয়:
, বাস্তব সংখ্যা কোথায়। নম্বরগুলো বলা হয় ভেক্টর স্থানাঙ্কএই ভিত্তিতে।

এটাও বলা হয় ভেক্টরহিসাবে উপস্থাপিত রৈখিক সংমিশ্রণভিত্তি ভেক্টর. অর্থাৎ অভিব্যক্তি বলা হয় ভেক্টর পচনভিত্তিতেবা রৈখিক সংমিশ্রণভিত্তি ভেক্টর।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা বলতে পারি যে ভেক্টরটি সমতলের অর্থনর্মাল ভিত্তিতে পচে গেছে, বা আমরা বলতে পারি যে এটি ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছে।

আসুন প্রণয়ন করি ভিত্তির সংজ্ঞাআনুষ্ঠানিকভাবে: বিমানের ভিত্তিরৈখিকভাবে স্বাধীন (নন-কোলিনিয়ার) ভেক্টরের জোড়া বলা হয়, , যখন যেকোনোএকটি সমতল ভেক্টর হল ভিত্তি ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।

সংজ্ঞার একটি অপরিহার্য বিষয় হল ভেক্টর নেওয়া হয় একটি নির্দিষ্ট ক্রমে. ঘাঁটি - এই দুটি সম্পূর্ণ ভিন্ন ঘাঁটি! যেমন তারা বলে, আপনি আপনার ডান হাতের ছোট আঙুলের জায়গায় আপনার বাম হাতের কনিষ্ঠ আঙুল প্রতিস্থাপন করতে পারবেন না।

আমরা ভিত্তিটি বের করেছি, কিন্তু আপনার কম্পিউটার ডেস্কের প্রতিটি আইটেমের জন্য একটি স্থানাঙ্ক গ্রিড সেট করা এবং স্থানাঙ্ক বরাদ্দ করা যথেষ্ট নয়। কেন এটা যথেষ্ট নয়? ভেক্টরগুলি মুক্ত এবং সমগ্র সমতল জুড়ে বিচরণ করে। তাহলে আপনি কীভাবে টেবিলের সেই ছোট নোংরা দাগের জন্য স্থানাঙ্ক বরাদ্দ করবেন যা একটি বন্য সপ্তাহান্তের পরে অবশিষ্ট থাকে? একটি শুরু বিন্দু প্রয়োজন. এবং এই জাতীয় ল্যান্ডমার্ক প্রত্যেকের কাছে পরিচিত একটি বিন্দু - স্থানাঙ্কের উত্স। আসুন স্থানাঙ্ক সিস্টেমটি বুঝতে পারি:

আমি "স্কুল" সিস্টেম দিয়ে শুরু করব। ইতিমধ্যেই পরিচায়ক পাঠে ডামি জন্য ভেক্টরআমি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম এবং অর্থনর্মাল ভিত্তির মধ্যে কিছু পার্থক্য তুলে ধরেছি। এখানে স্ট্যান্ডার্ড ছবি:

যখন তারা কথা বলে আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় সিস্টেম, তারপর প্রায়শই তারা উৎপত্তি বোঝায়, অক্ষের সমন্বয় এবং অক্ষ বরাবর স্কেল। একটি সার্চ ইঞ্জিনে "আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম" টাইপ করার চেষ্টা করুন, এবং আপনি দেখতে পাবেন যে অনেক উত্স আপনাকে 5ম-6ম গ্রেড থেকে পরিচিত স্থানাঙ্ক অক্ষ সম্পর্কে এবং একটি সমতলে পয়েন্টগুলি কীভাবে প্লট করতে হয় সে সম্পর্কে বলবে৷

অন্যদিকে, এটা মনে হয় যে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমকে একটি অর্থনরমাল ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এবং যে প্রায় সত্য. শব্দটি নিম্নরূপ:

মূল, এবং অর্থনর্মালভিত্তি সেট করা হয় কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার সমতল স্থানাঙ্ক সিস্টেম . অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা নিশ্চিতভাবেএকটি একক বিন্দু এবং দুটি একক অর্থোগোনাল ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই কারণেই আমি উপরে যে অঙ্কনটি দিয়েছি তা আপনি দেখতে পাচ্ছেন - জ্যামিতিক সমস্যাগুলিতে, উভয় ভেক্টর এবং স্থানাঙ্ক অক্ষ প্রায়শই আঁকা হয় (কিন্তু সর্বদা নয়)।

আমি মনে করি সবাই বুঝতে পারে যে একটি বিন্দু (উৎস) এবং একটি অর্থনর্মাল ভিত্তি ব্যবহার করে প্লেনে যেকোনো পয়েন্ট এবং প্লেনে যেকোনো ভেক্টরস্থানাঙ্ক বরাদ্দ করা যেতে পারে। রূপকভাবে বলতে গেলে, "একটি সমতলের সবকিছুই সংখ্যায়িত হতে পারে।"

সমন্বয় ভেক্টর কি একক হতে হবে? না, তাদের একটি নির্বিচারে অ-শূন্য দৈর্ঘ্য থাকতে পারে। নির্বিচারে অ-শূন্য দৈর্ঘ্যের একটি বিন্দু এবং দুটি অর্থোগোনাল ভেক্টর বিবেচনা করুন:

যেমন একটি ভিত্তি বলা হয় অর্থোগোনাল. ভেক্টরগুলির সাথে স্থানাঙ্কের উত্স একটি স্থানাঙ্ক গ্রিড দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং সমতলে যে কোনও বিন্দু, যে কোনও ভেক্টরের একটি নির্দিষ্ট ভিত্তিতে এর স্থানাঙ্ক থাকে। উদাহরণস্বরূপ, বা. সুস্পষ্ট অসুবিধা হল যে স্থানাঙ্ক ভেক্টর সাধারণ ক্ষেত্রেঐক্য ছাড়া ভিন্ন ভিন্ন দৈর্ঘ্য আছে। যদি দৈর্ঘ্য একতার সমান হয়, তাহলে স্বাভাবিক অর্থনর্মাল ভিত্তি পাওয়া যায়।

! দ্রষ্টব্য : অর্থোগোনাল ভিত্তিতে, পাশাপাশি সমতল এবং স্থানের অ্যাফাইন বেসের নীচে, অক্ষ বরাবর একক বিবেচনা করা হয় শর্তসাপেক্ষ. উদাহরণস্বরূপ, x-অক্ষ বরাবর একটি ইউনিট 4 সেমি, অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর একটি ইউনিট 2 সেমি ধারণ করে, এই তথ্যটি প্রয়োজন হলে, "আমাদের স্বাভাবিক সেন্টিমিটার" তে "অ-মানক" স্থানাঙ্কগুলিকে রূপান্তর করতে যথেষ্ট।

এবং দ্বিতীয় প্রশ্ন, যা আসলে ইতিমধ্যে উত্তর দেওয়া হয়েছে, ভিত্তি ভেক্টর মধ্যে কোণ 90 ডিগ্রী সমান হতে হবে কিনা? না! সংজ্ঞা হিসাবে বলা হয়েছে, ভিত্তি ভেক্টর হতে হবে শুধুমাত্র নন-সমলিনিয়ার. তদনুসারে, কোণটি 0 এবং 180 ডিগ্রী ছাড়া অন্য কিছু হতে পারে।

প্লেনে একটা বিন্দু ডাকল মূল, এবং নন-কোলিনিয়ারভেক্টর, , সেট affine সমতল সমন্বয় সিস্টেম :

কখনও কখনও যেমন একটি সমন্বয় সিস্টেম বলা হয় তির্যকসিস্টেম উদাহরণ হিসাবে, অঙ্কন পয়েন্ট এবং ভেক্টর দেখায়:

আপনি যেমন বুঝতে পেরেছেন, ভেক্টর এবং সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সূত্রগুলি আরও কম সুবিধাজনক, যা আমরা পাঠের দ্বিতীয় অংশে আলোচনা করেছি, এতে কাজ করে না; ডামি জন্য ভেক্টর, অনেক সুস্বাদু সূত্র সম্পর্কিত ভেক্টরের স্কেলার গুণফল. কিন্তু ভেক্টর যোগ করার নিয়ম এবং একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার নিয়ম, এই সম্পর্কের একটি অংশকে ভাগ করার সূত্র এবং সেইসাথে আরও কিছু ধরণের সমস্যা যা আমরা শীঘ্রই বিবেচনা করব তা বৈধ।

এবং উপসংহার হল যে একটি অ্যাফাইন স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সবচেয়ে সুবিধাজনক বিশেষ ক্ষেত্রে কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার সিস্টেম। এই কারণেই আপনাকে প্রায়শই তাকে দেখতে হবে, আমার প্রিয়জন। ...তবে, এই জীবনের সবকিছুই আপেক্ষিক - এমন অনেক পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে একটি তির্যক কোণ (বা অন্য কিছু, উদাহরণস্বরূপ, পোলার) সমন্বয় ব্যবস্থা। এবং humanoids এই ধরনের সিস্টেম পছন্দ করতে পারে =)

চলুন ব্যবহারিক অংশে যাওয়া যাক। এই পাঠের সমস্ত সমস্যা আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম এবং সাধারণ অ্যাফাইন ক্ষেত্রে উভয়ের জন্যই বৈধ। এখানে জটিল কিছু নেই; এমনকি একটি স্কুলছাত্রের কাছেও সমস্ত উপাদান অ্যাক্সেসযোগ্য।

সমতল ভেক্টরের সমসাময়িকতা কীভাবে নির্ধারণ করবেন?

সাধারণ জিনিস। দুটি সমতল ভেক্টরের জন্য সমরেখার ছিল, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে তাদের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক হবেমূলত, এটি সুস্পষ্ট সম্পর্কের বিশদ বিবরণ একটি সমন্বয়-দ্বারা-সমন্বয়।

উদাহরণ 1

ক) ভেক্টর সমরেখার কিনা তা পরীক্ষা করুন .
খ) ভেক্টর কি একটি ভিত্তি তৈরি করে? ?

সমাধান:
ক) ভেক্টর আছে কিনা তা খুঁজে বের করা যাক সমানুপাতিক সহগ, যেমন সমতা সন্তুষ্ট হয়:

আমি অবশ্যই আপনাকে এই নিয়মটি প্রয়োগ করার "ফপপিশ" সংস্করণ সম্পর্কে বলব, যা অনুশীলনে বেশ ভাল কাজ করে। ধারণাটি অবিলম্বে অনুপাত তৈরি করা এবং এটি সঠিক কিনা তা দেখুন:

আসুন ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির অনুপাত থেকে একটি অনুপাত তৈরি করি:

আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক:
, এইভাবে সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক, তাই,

সম্পর্কটি অন্যভাবে তৈরি করা যেতে পারে এটি একটি সমতুল্য বিকল্প:

স্ব-পরীক্ষার জন্য, আপনি এই সত্যটি ব্যবহার করতে পারেন যে সমতলীয় ভেক্টরগুলি একে অপরের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়। এই ক্ষেত্রে, সমতা সঞ্চালিত হয় . ভেক্টর সহ প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপগুলির মাধ্যমে তাদের বৈধতা সহজেই যাচাই করা যেতে পারে:

খ) দুটি সমতল ভেক্টর একটি ভিত্তি তৈরি করে যদি তারা সমরেখাযুক্ত না হয় (রৈখিকভাবে স্বাধীন)। আমরা সমকোনতার জন্য ভেক্টর পরীক্ষা করি . আসুন একটি সিস্টেম তৈরি করি:

প্রথম সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে, দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে, যার অর্থ সিস্টেম অসঙ্গত(কোন সমাধান নেই)। সুতরাং, ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক নয়।

উপসংহার: ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং একটি ভিত্তি তৈরি করে।

সমাধানের একটি সরলীকৃত সংস্করণ এই মত দেখায়:

আসুন ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি থেকে একটি অনুপাত তৈরি করি :
, যার মানে এই ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং একটি ভিত্তি তৈরি করে।

সাধারণত এই বিকল্পটি পর্যালোচকদের দ্বারা প্রত্যাখ্যান করা হয় না, তবে কিছু স্থানাঙ্ক শূন্যের সমান হলে একটি সমস্যা দেখা দেয়। এই মত: . অথবা এই মত: . অথবা এই মত: . এখানে অনুপাতের মাধ্যমে কিভাবে কাজ করবেন? (প্রকৃতপক্ষে, আপনি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না)। এই কারণেই আমি সরলীকৃত সমাধানটিকে "ফপিশ" বলেছি।

উত্তরঃক) , খ) ফর্ম।

আপনার নিজের সমাধানের জন্য একটি ছোট সৃজনশীল উদাহরণ:

উদাহরণ 2

প্যারামিটারের কোন মান ভেক্টর আছে তারা সমরেখার হবে?

নমুনা সমাধানে, অনুপাতের মাধ্যমে পরামিতি পাওয়া যায়।

সমসাময়িকতার জন্য ভেক্টর পরীক্ষা করার একটি মার্জিত বীজগণিত উপায় আছে আসুন আমাদের জ্ঞানকে পদ্ধতিগতভাবে তৈরি করি এবং এটিকে পঞ্চম পয়েন্ট হিসাবে যোগ করি:

দুটি সমতল ভেক্টরের জন্য নিম্নলিখিত বিবৃতি সমতুল্য:

2) ভেক্টর একটি ভিত্তি গঠন করে;
3) ভেক্টর সমরেখার নয়;

+ 5) এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির দ্বারা গঠিত নির্ধারকটি অশূন্য.

যথাক্রমে, নিম্নলিখিত বিপরীত বিবৃতি সমতুল্য:
1) ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল;
2) ভেক্টর একটি ভিত্তি গঠন করে না;
3) ভেক্টর সমরেখাযুক্ত;
4) ভেক্টর একে অপরের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে;
+ 5) এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির দ্বারা গঠিত নির্ধারকটি শূন্যের সমান.

আমি সত্যিই, সত্যিই আশা করি যে আপনি ইতিমধ্যেই আপনার সম্মুখীন হওয়া সমস্ত শর্তাবলী এবং বিবৃতি বুঝতে পেরেছেন৷

আসুন নতুন, পঞ্চম পয়েন্টটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক: দুটি সমতল ভেক্টর যদি প্রদত্ত ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত নির্ধারকটি শূন্যের সমান হয় তবেই এবং শুধুমাত্র তখনই সমরৈখিক হয়:. এই বৈশিষ্ট্যটি প্রয়োগ করতে, অবশ্যই, আপনাকে সক্ষম হতে হবে নির্ধারক খুঁজুন.

সিদ্ধান্ত নেওয়া যাকদ্বিতীয় উপায়ে উদাহরণ 1:

ক) আসুন ভেক্টরের স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করি :
, যার মানে এই ভেক্টর সমরেখার।

খ) দুটি সমতল ভেক্টর একটি ভিত্তি তৈরি করে যদি তারা সমরেখাযুক্ত না হয় (রৈখিকভাবে স্বাধীন)। ভেক্টর স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করা যাক :
, যার মানে ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং একটি ভিত্তি তৈরি করে।

উত্তরঃক) , খ) ফর্ম।

এটি অনুপাত সহ একটি সমাধানের চেয়ে অনেক বেশি কম্প্যাক্ট এবং সুন্দর দেখায়।

বিবেচিত উপাদানের সাহায্যে, কেবল ভেক্টরের সমন্বিততাই নয়, অংশ এবং সরলরেখার সমান্তরালতাও প্রমাণ করা সম্ভব। আসুন নির্দিষ্ট জ্যামিতিক আকারের সাথে কয়েকটি সমস্যা বিবেচনা করি।

উদাহরণ 3

চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু দেওয়া আছে। প্রমাণ করুন যে একটি চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম।

প্রমাণ: সমস্যাটিতে একটি অঙ্কন তৈরি করার দরকার নেই, যেহেতু সমাধানটি সম্পূর্ণরূপে বিশ্লেষণাত্মক হবে। আসুন একটি সমান্তরালগ্রামের সংজ্ঞাটি মনে রাখা যাক:
সমান্তরাল বৃত্ত যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো জোড়ায় সমান্তরাল তাকে বলে।

সুতরাং, এটি প্রমাণ করা প্রয়োজন:
1) বিপরীত পক্ষের সমান্তরালতা এবং;
2) বিপরীত বাহুর সমান্তরালতা এবং।

আমরা প্রমাণ করি:

1) ভেক্টর খুঁজুন:

2) ভেক্টর খুঁজুন:

ফলাফল একই ভেক্টর ("স্কুল অনুযায়ী" - সমান ভেক্টর)। সমন্বিততা বেশ সুস্পষ্ট, তবে ব্যবস্থার সাথে স্পষ্টভাবে সিদ্ধান্তটি আনুষ্ঠানিক করা ভাল। আসুন ভেক্টর স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করি:
, যার মানে এই ভেক্টর সমরেখার, এবং .

উপসংহার: একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু জোড়ায় সমান্তরাল, যার অর্থ সংজ্ঞা অনুসারে এটি একটি সমান্তরালগ্রাম। Q.E.D.

আরও ভাল এবং ভিন্ন পরিসংখ্যান:

উদাহরণ 4

চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু দেওয়া আছে। প্রমাণ করুন যে একটি চতুর্ভুজ একটি ট্র্যাপিজয়েড।

প্রমাণের আরও কঠোর প্রণয়নের জন্য, অবশ্যই, একটি ট্র্যাপিজয়েডের সংজ্ঞা পাওয়া ভাল, তবে এটি দেখতে কেমন তা কেবল মনে রাখাই যথেষ্ট।

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি কাজ। পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান।

এবং এখন প্লেন থেকে ধীরে ধীরে মহাকাশে যাওয়ার সময় এসেছে:

কিভাবে স্পেস ভেক্টরের সমন্বিততা নির্ধারণ করবেন?

নিয়ম খুব অনুরূপ। দুটি স্পেস ভেক্টর সমরেখার হওয়ার জন্য, তাদের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক হওয়া আবশ্যক এবং যথেষ্ট.

উদাহরণ 5

নিম্নলিখিত স্পেস ভেক্টরগুলি সমরেখার কিনা তা সন্ধান করুন:

ক) ;
খ)
ভি)

সমাধান:
ক) ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির জন্য আনুপাতিকতার একটি সহগ আছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক:

সিস্টেমের কোন সমাধান নেই, যার মানে ভেক্টর সমরেখার নয়।

অনুপাত পরীক্ষা করে "সরলীকৃত" আনুষ্ঠানিক করা হয়। এই ক্ষেত্রে:
- সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক নয়, যার মানে ভেক্টরগুলি সমরেখার নয়।

উত্তরঃভেক্টর সমরেখার নয়।

b-c) এগুলি স্বাধীন সিদ্ধান্তের জন্য পয়েন্ট। এটি দুটি উপায়ে চেষ্টা করুন।

একটি তৃতীয়-ক্রম নির্ধারকের মাধ্যমে স্থানিক ভেক্টর পরীক্ষা করার জন্য একটি পদ্ধতি রয়েছে; ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল.

সমতল ক্ষেত্রের মতো, বিবেচিত সরঞ্জামগুলি স্থানিক অংশ এবং সরলরেখাগুলির সমান্তরালতা অধ্যয়ন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

দ্বিতীয় বিভাগে স্বাগতম:

ত্রিমাত্রিক স্থানের ভেক্টরের রৈখিক নির্ভরতা এবং স্বাধীনতা।
স্থানিক ভিত্তি এবং affine সমন্বয় সিস্টেম

প্লেনে আমরা যে নিদর্শনগুলি পরীক্ষা করেছি তার অনেকগুলি স্থানের জন্য বৈধ হবে। আমি তত্ত্বের নোটগুলি ছোট করার চেষ্টা করেছি, যেহেতু তথ্যের সিংহ ভাগ ইতিমধ্যেই চিবানো হয়েছে। যাইহোক, আমি সুপারিশ করছি যে আপনি সূচনা অংশটি মনোযোগ সহকারে পড়ুন, কারণ নতুন শর্তাবলী এবং ধারণাগুলি উপস্থিত হবে।

এখন, কম্পিউটার ডেস্কের প্লেনের পরিবর্তে, আমরা ত্রিমাত্রিক স্থান অন্বেষণ করি। প্রথমত, এর ভিত্তি তৈরি করা যাক। কেউ এখন বাড়ির ভিতরে, কেউ বাইরে, কিন্তু যে কোনও ক্ষেত্রে, আমরা তিনটি মাত্রা এড়াতে পারি না: প্রস্থ, দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা। অতএব, একটি ভিত্তি তৈরি করতে, তিনটি স্থানিক ভেক্টরের প্রয়োজন হবে। এক বা দুটি ভেক্টর যথেষ্ট নয়, চতুর্থটি অতিরিক্ত।

এবং আবার আমরা আমাদের আঙ্গুলের উপর উষ্ণ আপ। অনুগ্রহ করে আপনার হাত উপরে তুলুন এবং বিভিন্ন দিকে ছড়িয়ে দিন থাম্ব, তর্জনী এবং মধ্যমা আঙুল. এগুলি ভেক্টর হবে, তারা বিভিন্ন দিকে তাকায়, বিভিন্ন দৈর্ঘ্য এবং নিজেদের মধ্যে বিভিন্ন কোণ রয়েছে। অভিনন্দন, ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি প্রস্তুত! যাইহোক, শিক্ষকদের কাছে এটি প্রদর্শন করার দরকার নেই, আপনি আপনার আঙ্গুলগুলি যতই শক্ত করুন না কেন, তবে সংজ্ঞা থেকে রেহাই নেই =)

এর পরে, আসুন নিজেদেরকে একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করি: কোন তিনটি ভেক্টর কি ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করে? অনুগ্রহ করে কম্পিউটার ডেস্কের উপরের দিকে তিনটি আঙ্গুল দৃঢ়ভাবে টিপুন। কি হয়েছে? তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থিত, এবং মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, আমরা একটি মাত্রা হারিয়েছি - উচ্চতা। এই ধরনের ভেক্টর হয় কপ্ল্যানারএবং, এটা বেশ স্পষ্ট যে ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করা হয়নি।

এটি লক্ষ করা উচিত যে কপ্ল্যানার ভেক্টরগুলিকে একই সমতলে শুতে হবে না, তারা সমান্তরাল সমতলে থাকতে পারে (শুধু আপনার আঙ্গুল দিয়ে এটি করবেন না, শুধুমাত্র সালভাদর ডালি এটি করেছেন =))।

সংজ্ঞা: ভেক্টর বলা হয় কপ্ল্যানার, যদি একটি সমতল থাকে যার সাথে তারা সমান্তরাল হয়। এখানে যোগ করা যৌক্তিক যে যদি এমন একটি সমতল না থাকে, তাহলে ভেক্টরগুলি কপ্ল্যানার হবে না।

তিনটি কপ্ল্যানার ভেক্টর সবসময় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, অর্থাৎ, তারা একে অপরের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়। সরলতার জন্য, আসুন আমরা আবার কল্পনা করি যে তারা একই সমতলে শুয়ে আছে। প্রথমত, ভেক্টরগুলি কেবল কপ্ল্যানার নয়, তারা সমরেখারও হতে পারে, তারপর যে কোনও ভেক্টরকে যে কোনও ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, যদি, উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টরগুলি সমরেখার না হয়, তবে তৃতীয় ভেক্টর তাদের মাধ্যমে একটি অনন্য উপায়ে প্রকাশ করা হয়: (এবং কেন পূর্ববর্তী বিভাগে উপকরণ থেকে অনুমান করা সহজ)।

কথোপকথনটিও সত্য: তিনটি নন-কপ্লানার ভেক্টর সবসময় রৈখিকভাবে স্বাধীন, অর্থাৎ, তারা একে অপরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় না। এবং, স্পষ্টতই, শুধুমাত্র এই ধরনের ভেক্টর ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করতে পারে।

সংজ্ঞা: ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তিরৈখিকভাবে স্বাধীন (নন-কপ্লানার) ভেক্টরের ট্রিপল বলা হয়, একটি নির্দিষ্ট ক্রমে নেওয়া, এবং স্থানের যেকোনো ভেক্টর একমাত্র উপায়একটি প্রদত্ত ভিত্তিতে পচে যায়, এই ভিত্তিতে ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি কোথায় থাকে

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আমরা এটাও বলতে পারি যে ভেক্টরটি আকারে উপস্থাপিত হয় রৈখিক সংমিশ্রণভিত্তি ভেক্টর।

একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের ধারণাটি প্লেন কেসের জন্য ঠিক একইভাবে প্রবর্তিত হয়েছে এবং যে কোনও তিনটি রৈখিক স্বাধীন ভেক্টর যথেষ্ট:

মূল, এবং নন-কপ্লানারভেক্টর, একটি নির্দিষ্ট ক্রমে নেওয়া, সেট ত্রিমাত্রিক স্থানের অ্যাফাইন সমন্বয় ব্যবস্থা :

অবশ্যই, স্থানাঙ্ক গ্রিড "তির্যক" এবং অসুবিধাজনক, কিন্তু, তবুও, নির্মিত স্থানাঙ্ক সিস্টেম আমাদের অনুমতি দেয় নিশ্চিতভাবেযেকোনো ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং মহাকাশের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন। একটি সমতলের মতো, কিছু সূত্র যা আমি ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি স্থানের অ্যাফাইন সমন্বয় ব্যবস্থায় কাজ করবে না।

একটি অ্যাফাইন কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের সবচেয়ে পরিচিত এবং সুবিধাজনক বিশেষ ক্ষেত্রে, যেমনটি সবাই অনুমান করে, আয়তক্ষেত্রাকার স্থান সমন্বয় সিস্টেম:

মহাকাশে একটি বিন্দু বলা হয় মূল, এবং অর্থনর্মালভিত্তি সেট করা হয় কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থান সমন্বয় সিস্টেম . পরিচিত ছবি:

ব্যবহারিক কাজগুলিতে যাওয়ার আগে, আসুন আবার তথ্যগুলিকে পদ্ধতিগত করা যাক:

তিনটি স্থান ভেক্টরের জন্য নিম্নলিখিত বিবৃতি সমতুল্য:
1) ভেক্টর রৈখিকভাবে স্বাধীন;
2) ভেক্টর একটি ভিত্তি গঠন করে;
3) ভেক্টর কপ্ল্যানার নয়;
4) ভেক্টর একে অপরের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা যায় না;
5) নির্ধারক, এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত, শূন্য থেকে আলাদা।

আমি মনে করি বিপরীত বিবৃতি বোধগম্য।

স্পেস ভেক্টরের রৈখিক নির্ভরতা/স্বাধীনতা ঐতিহ্যগতভাবে একটি নির্ধারক (পয়েন্ট 5) ব্যবহার করে পরীক্ষা করা হয়। অবশিষ্ট ব্যবহারিক কাজগুলি একটি পরিষ্কারভাবে বীজগণিত প্রকৃতির হবে। জ্যামিতি স্টিকটি ঝুলিয়ে রাখার এবং রৈখিক বীজগণিতের বেসবল ব্যাট চালানোর সময় এসেছে:

স্থানের তিনটি ভেক্টরযদি প্রদত্ত ভেক্টরের স্থানাঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত নির্ধারকটি শূন্যের সমান হয় তবেই এবং শুধুমাত্র তাহলেই কপ্ল্যানার হয়: .

আমি একটি ছোট প্রযুক্তিগত সূক্ষ্মতার দিকে আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই: ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি কেবল কলামেই নয়, সারিগুলিতেও লেখা যেতে পারে (নির্ধারকের মান এখান থেকে পরিবর্তিত হবে না - নির্ধারকগুলির বৈশিষ্ট্য দেখুন)। তবে এটি কলামে অনেক ভালো, যেহেতু এটি কিছু ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য বেশি উপকারী।

সেই পাঠকদের জন্য যারা নির্ধারক গণনা করার পদ্ধতিগুলি কিছুটা ভুলে গেছেন, বা সম্ভবত সেগুলি সম্পর্কে খুব কমই বুঝতে পেরেছেন, আমি আমার প্রাচীনতম পাঠগুলির একটি সুপারিশ করছি: নির্ধারক গণনা কিভাবে?

উদাহরণ 6

নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলি ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করে কিনা তা পরীক্ষা করুন:

সমাধান: প্রকৃতপক্ষে, সম্পূর্ণ সমাধান নির্ধারক গণনার জন্য নেমে আসে।

ক) আসুন আমরা ভেক্টরের স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করি (নির্ধারকটি প্রথম লাইনে প্রকাশ করা হয়েছে):

, যার মানে ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন (কপ্ল্যানার নয়) এবং ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করে।

উত্তর: এই ভেক্টর একটি ভিত্তি গঠন করে

খ) এটি স্বাধীন সিদ্ধান্তের জন্য একটি বিন্দু। পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।

এছাড়াও সৃজনশীল কাজ আছে:

উদাহরণ 7

প্যারামিটারের কোন মান দিয়ে ভেক্টরগুলো কপ্ল্যানার হবে?

সমাধান: ভেক্টরগুলি কপ্ল্যানার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির দ্বারা গঠিত নির্ধারক শূন্যের সমান হয়:

মূলত, আপনাকে একটি নির্ধারকের সাথে একটি সমীকরণ সমাধান করতে হবে। আমরা জারবোসের ঘুড়ির মতো শূন্যের উপর ঝাঁপিয়ে পড়ি - দ্বিতীয় লাইনে নির্ধারকটি খোলা এবং অবিলম্বে বিয়োগগুলি থেকে মুক্তি পাওয়া ভাল:

আমরা আরও সরলীকরণ করি এবং বিষয়টিকে সরল রৈখিক সমীকরণে কমিয়ে দিই:

উত্তর: এ

এখানে চেক করা সহজ; এটি করার জন্য, আপনাকে মূল নির্ধারকের সাথে প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং নিশ্চিত করতে হবে , আবার খুলছি।

উপসংহারে, আসুন অন্য একটি সাধারণ সমস্যা দেখি, যা প্রকৃতিতে আরও বীজগণিত এবং ঐতিহ্যগতভাবে একটি রৈখিক বীজগণিত কোর্সে অন্তর্ভুক্ত। এটি এত সাধারণ যে এটি তার নিজস্ব বিষয় প্রাপ্য:

প্রমাণ করুন যে 3টি ভেক্টর ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করে
এবং এই ভিত্তিতে 4র্থ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন

উদাহরণ 8

ভেক্টর দেওয়া হয়। দেখান যে ভেক্টরগুলি ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি ভিত্তি তৈরি করে এবং এই ভিত্তিতে ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করে।

সমাধান: প্রথমত, শর্ত মোকাবেলা করা যাক. শর্ত অনুসারে, চারটি ভেক্টর দেওয়া হয়েছে, এবং আপনি দেখতে পাচ্ছেন, তাদের ইতিমধ্যেই কিছু ভিত্তিতে স্থানাঙ্ক রয়েছে। এই ভিত্তি কি আমাদের আগ্রহের নয়. এবং নিম্নলিখিত বিষয়গুলি আগ্রহের বিষয়: তিনটি ভেক্টর একটি নতুন ভিত্তি তৈরি করতে পারে। এবং প্রথম পর্যায়টি উদাহরণ 6 এর সমাধানের সাথে পুরোপুরি মিলে যায়, ভেক্টরগুলি সত্যিই রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা তা পরীক্ষা করা প্রয়োজন:

আসুন ভেক্টর স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করি:

, যার অর্থ হল ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি তৈরি করে।

! গুরুত্বপূর্ণ : ভেক্টর স্থানাঙ্ক অগত্যালিখুন কলামেনির্ধারক, স্ট্রিং-এ নয়। অন্যথায়, পরবর্তী সমাধান অ্যালগরিদমে বিভ্রান্তি থাকবে।

n-মাত্রিক ভেক্টরের নিবন্ধে, আমরা এন-ডাইমেনশনাল ভেক্টরের একটি সেট দ্বারা উত্পন্ন একটি রৈখিক স্থানের ধারণায় এসেছি। এখন আমাদের সমান গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলি বিবেচনা করতে হবে, যেমন একটি ভেক্টর স্থানের মাত্রা এবং ভিত্তি। এগুলি সরাসরি ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক স্বাধীন সিস্টেমের ধারণার সাথে সম্পর্কিত, তাই অতিরিক্তভাবে এই বিষয়টির মূল বিষয়গুলি মনে করিয়ে দেওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয়।

আসুন কিছু সংজ্ঞা উপস্থাপন করা যাক।

সংজ্ঞা 1

ভেক্টর স্থানের মাত্রা– এই স্থানটিতে সর্বাধিক সংখ্যক রৈখিক স্বাধীন ভেক্টরের সাথে সম্পর্কিত একটি সংখ্যা।

সংজ্ঞা 2

ভেক্টর স্থান ভিত্তি- রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের একটি সেট, স্থানের মাত্রার সমান এবং সংখ্যায় সমান।

n -ভেক্টরের একটি নির্দিষ্ট স্থান বিবেচনা করা যাক। এর মাত্রা অনুরূপভাবে n এর সমান। এন-ইউনিট ভেক্টরের একটি সিস্টেম নেওয়া যাক:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

আমরা এই ভেক্টরগুলিকে ম্যাট্রিক্স A এর উপাদান হিসাবে ব্যবহার করি: এটি n দ্বারা n মাত্রা সহ একক হবে। এই ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হল n। অতএব, ভেক্টর সিস্টেম e (1), e (2) , . . . , e(n) রৈখিকভাবে স্বাধীন। এই ক্ষেত্রে, এটির রৈখিক স্বাধীনতা লঙ্ঘন না করে সিস্টেমে একটি একক ভেক্টর যোগ করা অসম্ভব।

যেহেতু সিস্টেমে ভেক্টরের সংখ্যা n, তাহলে n-মাত্রিক ভেক্টরের স্থানের মাত্রা হল n, এবং একক ভেক্টর হল e (1), e (2), . . . , e (n) হল নির্দিষ্ট স্থানের ভিত্তি।

প্রাপ্ত সংজ্ঞা থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি: n-মাত্রিক ভেক্টরের যে কোনো সিস্টেম যেখানে ভেক্টরের সংখ্যা n-এর চেয়ে কম তা স্থানের ভিত্তি নয়।

যদি আমরা প্রথম এবং দ্বিতীয় ভেক্টর অদলবদল করি, তাহলে আমরা ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেম পাব e (2), e (1) , . . . , e (n)। এটি একটি এন-ডাইমেনশনাল ভেক্টর স্পেসের ভিত্তিও হবে। ফলস্বরূপ সিস্টেমের ভেক্টরকে এর সারি হিসাবে গ্রহণ করে একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করি। প্রথম দুটি সারি অদলবদল করে পরিচয় ম্যাট্রিক্স থেকে ম্যাট্রিক্স পাওয়া যেতে পারে, এর র্যাঙ্ক হবে n। সিস্টেম ই (2), ই (1), . . . , e(n) রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং একটি n-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের ভিত্তি।

মূল সিস্টেমে অন্যান্য ভেক্টরকে পুনর্বিন্যাস করে, আমরা অন্য ভিত্তি পাই।

আমরা নন-ইউনিট ভেক্টরগুলির একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সিস্টেম নিতে পারি এবং এটি একটি এন-ডাইমেনশনাল ভেক্টর স্পেসের ভিত্তিও উপস্থাপন করবে।

সংজ্ঞা 3

মাত্রা n সহ একটি ভেক্টর স্থানের n সংখ্যার n-মাত্রিক ভেক্টরগুলির রৈখিকভাবে স্বাধীন সিস্টেমের মতো অনেকগুলি ভিত্তি রয়েছে।

সমতল একটি দ্বি-মাত্রিক স্থান - এর ভিত্তি হবে যেকোনো দুটি নন-কোলিনিয়ার ভেক্টর। ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি হবে যেকোনো তিনটি নন-কপ্লানার ভেক্টর।

আসুন নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে এই তত্ত্বের প্রয়োগ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 1

প্রাথমিক তথ্য:ভেক্টর

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

নির্দিষ্ট ভেক্টরগুলি একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর স্থানের ভিত্তি কিনা তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

সমাধান

সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা রৈখিক নির্ভরতার জন্য ভেক্টরের প্রদত্ত সিস্টেম অধ্যয়ন করি। আসুন একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করি, যেখানে সারিগুলি ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্ক। ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করা যাক।

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

ফলস্বরূপ, সমস্যার শর্ত দ্বারা নির্দিষ্ট করা ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন, এবং তাদের সংখ্যা ভেক্টর স্থানের মাত্রার সমান - তারা ভেক্টর স্থানের ভিত্তি।

উত্তরঃনির্দেশিত ভেক্টরগুলি ভেক্টর স্থানের ভিত্তি।

উদাহরণ 2

প্রাথমিক তথ্য:ভেক্টর

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

ভেক্টরের নির্দিষ্ট সিস্টেমটি ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি হতে পারে কিনা তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

সমাধান

সমস্যা বিবৃতিতে নির্দিষ্ট ভেক্টর সিস্টেম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, কারণ রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের সর্বাধিক সংখ্যা 3। এইভাবে, ভেক্টরের নির্দেশিত সিস্টেম একটি ত্রি-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের ভিত্তি হিসাবে কাজ করতে পারে না। কিন্তু এটি লক্ষণীয় যে মূল সিস্টেমের সাবসিস্টেম a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) একটি ভিত্তি।

উত্তরঃভেক্টর নির্দেশিত সিস্টেম একটি ভিত্তি নয়.

উদাহরণ 3

প্রাথমিক তথ্য:ভেক্টর

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

তারা কি চার-মাত্রিক স্থানের ভিত্তি হতে পারে?

সমাধান

প্রদত্ত ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলিকে সারি হিসাবে ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যাক

A = 1 2 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ধারণ করি:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ 1 2 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

ফলস্বরূপ, প্রদত্ত ভেক্টরগুলির সিস্টেমটি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং তাদের সংখ্যা ভেক্টর স্থানের মাত্রার সমান - তারা একটি চার-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের ভিত্তি।

উত্তরঃপ্রদত্ত ভেক্টরগুলি চার-মাত্রিক স্থানের ভিত্তি।

উদাহরণ 4

প্রাথমিক তথ্য:ভেক্টর

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

তারা কি 4 মাত্রার একটি স্থানের ভিত্তি তৈরি করে?

সমাধান

ভেক্টরের মূল সিস্টেমটি রৈখিকভাবে স্বাধীন, কিন্তু এতে ভেক্টরের সংখ্যা চার-মাত্রিক স্থানের ভিত্তি হওয়ার জন্য যথেষ্ট নয়।

উত্তরঃনা, তারা করে না।

একটি ভিত্তি হিসাবে একটি ভেক্টরের পচন

ধরা যাক নির্বিচারে ভেক্টর e (1), e (2) , . . . , e (n) হল একটি n-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের ভিত্তি। আসুন তাদের সাথে একটি নির্দিষ্ট n-মাত্রিক ভেক্টর x → যোগ করি: ভেক্টরগুলির ফলস্বরূপ সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়ে উঠবে। রৈখিক নির্ভরতার বৈশিষ্ট্যগুলি বলে যে এই জাতীয় সিস্টেমের কমপক্ষে একটি ভেক্টর অন্যদের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই বিবৃতিটি সংস্কার করে, আমরা বলতে পারি যে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সিস্টেমের অন্তত একটি ভেক্টরকে অবশিষ্ট ভেক্টরগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে।

সুতরাং, আমরা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য গঠনে এসেছি:

সংজ্ঞা 4

একটি এন-ডাইমেনশনাল ভেক্টর স্পেসের যেকোনো ভেক্টর অনন্যভাবে একটি ভিত্তিতে পচে যেতে পারে।

প্রমাণ 1

আসুন এই তত্ত্বটি প্রমাণ করি:

n-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের ভিত্তি নির্ধারণ করা যাক - e (1) , e (2) , . . . , e (n)। এর সাথে একটি n-মাত্রিক ভেক্টর x → যোগ করে সিস্টেমটিকে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল করা যাক। এই ভেক্টরটিকে মূল ভেক্টরের পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) +। . . + x n · e (n), যেখানে x 1 , x 2 , . . . , x n - কিছু সংখ্যা।

এখন আমরা প্রমাণ করি যে এই জাতীয় পচন অনন্য। আসুন ধরে নিই যে এটি এমন নয় এবং আরও একটি অনুরূপ পচন রয়েছে:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) +। . . + x ~ n e (n) , যেখানে x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - কিছু সংখ্যা।

আসুন এই সমতার বাম এবং ডান দিক থেকে যথাক্রমে, সমতার বাম এবং ডান দিক থেকে বিয়োগ করি x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) +। . . + x n · e (n)। আমরা পাই:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) +। . . (x ~ n - x n) e (2)

ভিত্তি ভেক্টর সিস্টেম e (1), e (2) , . . . , e (n) রৈখিকভাবে স্বাধীন; ভেক্টরের একটি সিস্টেমের রৈখিক স্বাধীনতার সংজ্ঞা অনুসারে, উপরের সমতা তখনই সম্ভব যখন সমস্ত সহগ (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) শূন্যের সমান হবে। যা থেকে এটি ন্যায্য হবে: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n। এবং এটি একটি ভেক্টরকে একটি ভিত্তিতে পচানোর একমাত্র বিকল্প প্রমাণ করে।

এই ক্ষেত্রে, সহগ x 1, x 2, . . . , x n কে বলা হয় ভেক্টর x → এর ভিত্তিতে e (1) , e (2) , . . . , e (n)।

প্রমাণিত তত্ত্বটি "একটি n-মাত্রিক ভেক্টর x = (x 1 , x 2 , ... , x n) দেওয়া হয়েছে" অভিব্যক্তিটিকে স্পষ্ট করে: একটি ভেক্টর x → n-মাত্রিক ভেক্টর স্থান বিবেচনা করা হয়, এবং এর স্থানাঙ্কগুলি একটিতে নির্দিষ্ট করা হয় নির্দিষ্ট ভিত্তি। এটাও স্পষ্ট যে n-মাত্রিক স্থানের অন্য ভিত্তিতে একই ভেক্টরের বিভিন্ন স্থানাঙ্ক থাকবে।

নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করুন: ধরুন যে n-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের কিছু ভিত্তিতে n রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেম দেওয়া হয়েছে

এবং ভেক্টর x = (x 1, x 2, ... , x n) দেওয়া হয়েছে।

ভেক্টর e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) এই ক্ষেত্রেও এই ভেক্টর স্থানের ভিত্তি।

ধরা যাক e 1 (1) , e 2 (2) , এর ভিত্তিতে ভেক্টর x → এর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করা প্রয়োজন। . . , e n (n) , x ~ 1 , x ~ 2 , হিসাবে চিহ্নিত। . . , x ~ n।

ভেক্টর x → নিম্নরূপ উপস্থাপন করা হবে:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) +। . . + x ~ n e (n)

আসুন এই অভিব্যক্তিটি স্থানাঙ্ক আকারে লিখি:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2, . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + + x ~ n e 2 (n) , x ~ 2 e n (2) +

ফলস্বরূপ সমতা n অজানা রৈখিক চলক x ~ 1, x ~ 2, সহ n রৈখিক বীজগণিতীয় রাশিগুলির একটি সিস্টেমের সমতুল্য। . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 +। . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +। . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 +। . . + x ~ n e n n

এই সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সের নিম্নলিখিত ফর্ম থাকবে:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) e n (n)

এটি একটি ম্যাট্রিক্স A হতে দিন, এবং এর কলামগুলি e 1 (1), e 2 (2), ভেক্টরগুলির একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সিস্টেমের ভেক্টর। . . , e n (n)। ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল n, এবং এর নির্ধারক হল অশূন্য। এটি নির্দেশ করে যে সমীকরণের সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে, যে কোনও সুবিধাজনক পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারিত হয়: উদাহরণস্বরূপ, ক্রেমার পদ্ধতি বা ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি। এইভাবে আমরা x ~ 1, x ~ 2, স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করতে পারি। . . , x ~ n ভেক্টর x → ভিত্তিতে e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n)।

আসুন একটি নির্দিষ্ট উদাহরণে বিবেচিত তত্ত্বটি প্রয়োগ করি।

উদাহরণ 6

প্রাথমিক তথ্য:ভেক্টর ত্রিমাত্রিক স্থান ভিত্তিতে নির্দিষ্ট করা হয়

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

এটি নিশ্চিত করা প্রয়োজন যে ভেক্টরগুলির সিস্টেম e (1), e (2), e (3) একটি প্রদত্ত স্থানের ভিত্তি হিসাবে কাজ করে এবং একটি নির্দিষ্ট ভিত্তিতে ভেক্টর x এর স্থানাঙ্কগুলিও নির্ধারণ করে।

সমাধান

ই (1), ই (2), ই (3) ভেক্টরগুলির সিস্টেমটি ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিত্তি হবে যদি এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়। ম্যাট্রিক্স A-এর র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করে এই সম্ভাবনাটি খুঁজে বের করা যাক, যার সারিগুলি প্রদত্ত ভেক্টর e (1), e (2), e (3)।

আমরা গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করি:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3। এইভাবে, ভেক্টরের সিস্টেম e (1), e (2), e (3) রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং একটি ভিত্তি।

ভেক্টর x → এর ভিত্তিতে x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 স্থানাঙ্ক রয়েছে। এই স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে সম্পর্ক সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

আসুন সমস্যার শর্ত অনুসারে মানগুলি প্রয়োগ করি:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করা যাক:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

এইভাবে, ভেক্টর x → এর ভিত্তিতে e (1), e (2), e (3) এর স্থানাঙ্ক রয়েছে x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1।

উত্তরঃ x = (1, 1, 1)

ঘাঁটি মধ্যে সম্পর্ক

ধরা যাক এন-ডাইমেনশনাল ভেক্টর স্পেসের কিছু ভিত্তিতে ভেক্টরের দুটি রৈখিক স্বাধীন সিস্টেম দেওয়া হয়েছে:

c (1) = (c 1 (1), c 2 (1), . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2), . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2), e 2 (2), . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , e n (n))

এই সিস্টেমগুলি একটি নির্দিষ্ট স্থানের ভিত্তিও।

ধরুন c ~ 1 (1), c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - e (1) , e (2) , বেসিসে ভেক্টর c (1) এর স্থানাঙ্ক। . . , e (3) , তারপর রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম দ্বারা স্থানাঙ্ক সম্পর্ক দেওয়া হবে:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +। . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

সিস্টেমটিকে একটি ম্যাট্রিক্স হিসাবে নিম্নরূপ উপস্থাপন করা যেতে পারে:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

আসুন আমরা উপমা দ্বারা ভেক্টর c (2) এর জন্য একই এন্ট্রি করি:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

আসুন ম্যাট্রিক্স সমতাগুলিকে একটি অভিব্যক্তিতে একত্রিত করি:

গ 1 (1) গ 2 (1) ⋯ c n (1) গ 1 (2) গ 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ গ 1 (n) গ 2 (n) গ n (n) = গ ~ 1 (1) গ ~ 2 (1) গ ~ n (1) গ ~ 1 (2) গ ~ 2 (2) ⋯ গ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ গ ~ 1 (n) গ ~ 2 (n) ⋯ ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n)

এটি দুটি ভিন্ন ঘাঁটির ভেক্টরের মধ্যে সংযোগ নির্ধারণ করবে।

একই নীতি ব্যবহার করে, সমস্ত ভিত্তি ভেক্টর e(1), e(2), প্রকাশ করা সম্ভব। . . , e (3) ভিত্তিতে c (1) , c (2) , . . . , c(n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e~ 2 (n)⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ গ 1 (n) c 2 (n) ⋯ n (n)

আমাদের নিম্নলিখিত সংজ্ঞা দেওয়া যাক:

সংজ্ঞা 5

ম্যাট্রিক্স c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) গ ~ 2 (n) c ~ n (n) হল বেসিস e (1) , e (2) , থেকে রূপান্তর ম্যাট্রিক্স। . . , ই (3)

ভিত্তিতে c (1), c (2) , . . . , c (n)।

সংজ্ঞা 6

ম্যাট্রিক্স e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) হল ভিত্তি c (1) , c (2) , থেকে রূপান্তর ম্যাট্রিক্স। . . , c(n)

ভিত্তিতে e (1) , e (2) , . . . , e (3)।

এই সমতা থেকে এটা স্পষ্ট যে

গ ~ 1 (1) গ ~ 2 (1) গ ~ n (1) গ ~ 1 (2) গ ~ 2 (2) ⋯ গ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ গ ~ 1 (n) গ ~ 2 (n)⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 0 0 0 1 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1 ই ~ 1 (1) ই ~ 2 (1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) e ~ n (n) · গ ~ 1 (1) গ ~ 2 (1) গ ~ n (1) গ ~ 1 (2) গ ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ গ ~ 1 (n) গ ~ 2 (n) ⋯ ~ n (n) = 1 0 0 0 0 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1

যারা ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স পারস্পরিক।

আসুন একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে তত্ত্বটি দেখি।

উদাহরণ 7

প্রাথমিক তথ্য:ভিত্তি থেকে রূপান্তর ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করা প্রয়োজন

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

এছাড়াও আপনাকে প্রদত্ত বেসগুলিতে একটি নির্বিচারে ভেক্টর x → এর স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করতে হবে।

সমাধান

1. T কে ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স ধরা যাক, তাহলে সমতা সত্য হবে:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

সমতার উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

এবং আমরা পাই:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. রূপান্তর ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞায়িত করুন:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. আসুন আমরা x ভেক্টরের স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করি → :

ধরা যাক ভিত্তিতে c (1), c (2) , . . . , c (n) ভেক্টর x → এর স্থানাঙ্ক আছে x 1 , x 2 , x 3 , তারপর:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

এবং ভিত্তিতে e (1) , e (2) , . . . , e (3) এর স্থানাঙ্ক আছে x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, তারপর:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

কারণ যদি এই সমতাগুলির বাম-হাতের দিকগুলি সমান হয়, আমরা ডান-হাতের দিকগুলিকেও সমান করতে পারি:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

ডানদিকের উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

এবং আমরা পাই:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

ওপারে

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

শেষ সমতা উভয় বেসে ভেক্টর x → এর স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক দেখায়।

উত্তরঃরূপান্তর ম্যাট্রিক্স

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

প্রদত্ত বেসগুলিতে ভেক্টর x → এর স্থানাঙ্কগুলি সম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন