একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব প্রমাণ। বিন্দু থেকে সমতল দূরত্ব

আসুন আমরা মহাকাশে একটি নির্দিষ্ট সমতল π এবং একটি নির্বিচারে বিন্দু M 0 বিবেচনা করি। প্লেনের জন্য বেছে নেওয়া যাক ইউনিট স্বাভাবিক ভেক্টরসঙ্গে n শুরুকিছু বিন্দুতে M 1 ∈ π, এবং p(M 0 ,π) বিন্দু M 0 থেকে সমতল π পর্যন্ত দূরত্ব হতে দিন। তারপর (চিত্র 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

যেহেতু |n| = 1।

যদি π সমতল দেওয়া হয় এর সাধারণ সমীকরণের সাথে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম Ax + By + Cz + D = 0, তারপর এর স্বাভাবিক ভেক্টর হল স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টর (A; B; C) এবং আমরা বেছে নিতে পারি

ধরা যাক (x 0 ; y 0 ; z 0) এবং (x 1 ; y 1 ; z 1) হল M 0 এবং M 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক। তারপর সমতা Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 ধরে, যেহেতু বিন্দু M 1 সমতলের অন্তর্গত, এবং M 1 M 0 ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি পাওয়া যাবে: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; রেকর্ডিং বিন্দু পণ্য nM 1 M 0 সমন্বিত আকারে এবং রূপান্তর (5.8), আমরা পাই

যেহেতু Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. সুতরাং, একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলে দূরত্ব গণনা করতে আপনাকে বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিকে প্রতিস্থাপন করতে হবে সাধারণ সমীকরণসমতল, এবং তারপরে ফলাফলের পরম মানকে স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর দ্বারা ভাগ করুন, দৈর্ঘ্যের সমানসংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক ভেক্টর।

এই নিবন্ধটি একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব নির্ধারণ সম্পর্কে কথা বলে। আসুন স্থানাঙ্ক পদ্ধতি বিশ্লেষণ করি, যা আমাদের দূরত্ব খুঁজে পেতে অনুমতি দেবে প্রদত্ত পয়েন্টত্রিমাত্রিক স্থান। এটিকে শক্তিশালী করার জন্য, আসুন কয়েকটি কাজের উদাহরণ দেখি।

একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব একটি বিন্দু থেকে একটি বিন্দুর পরিচিত দূরত্ব ব্যবহার করে পাওয়া যায়, যেখানে তাদের একটি দেওয়া হয় এবং অন্যটি একটি প্রদত্ত সমতলের অভিক্ষেপ।

যখন একটি সমতল χ সহ একটি বিন্দু M 1 মহাশূন্যে নির্দিষ্ট করা হয়, তখন বিন্দুটির মাধ্যমে আপনি আঁকতে পারেন সমতলে লম্বসরাসরি H 1 হল সাধারণ পয়েন্টতাদের ছেদ এখান থেকে আমরা পাই যে M 1 H 1 রেখাংশটি M 1 বিন্দু থেকে সমতল χ পর্যন্ত অঙ্কিত একটি লম্ব, যেখানে বিন্দু H 1 হল লম্বের ভিত্তি।

সংজ্ঞা 1

একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের গোড়ার দূরত্বকে কল করুন প্রদত্ত বিমান.

সংজ্ঞাটি বিভিন্ন ফর্মুলেশনে লেখা যেতে পারে।

সংজ্ঞা 2

বিন্দু থেকে সমতল দূরত্বএকটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সমতলে আঁকা লম্বের দৈর্ঘ্য।

বিন্দু M 1 থেকে χ সমতলের দূরত্ব নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়: বিন্দু M 1 থেকে χ সমতলের দূরত্ব একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে সমতলের যেকোনো বিন্দুতে সবচেয়ে ছোট হবে। যদি বিন্দু H 2 χ সমতলে অবস্থিত হয় এবং বিন্দু H 2 এর সমান না হয়, তাহলে আমরা M 2 H 1 H 2 ফর্মের একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাই , যা আয়তাকার, যেখানে একটি পা আছে M 2 H 1, M 2 H 2 - কর্ণ। এর মানে হল যে এটি M 1 H 1 অনুসরণ করে< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ঝোঁক হিসাবে বিবেচিত হয়, যা বিন্দু M 1 থেকে সমতল χ পর্যন্ত আঁকা হয়। আমাদের আছে যে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে সমতলে আঁকা লম্বটি বিন্দু থেকে প্রদত্ত সমতলে আঁকা ঝোঁকের চেয়ে কম। আসুন নীচের চিত্রে এই ক্ষেত্রে তাকান.

একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব - তত্ত্ব, উদাহরণ, সমাধান

অনেকগুলি জ্যামিতিক সমস্যা রয়েছে যার সমাধানগুলিতে একটি বিন্দু থেকে সমতলের দূরত্ব থাকতে হবে। এটি সনাক্ত করার বিভিন্ন উপায় থাকতে পারে। সমাধান করতে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য বা ত্রিভুজের মিল ব্যবহার করুন। যখন, শর্ত অনুসারে, ত্রিমাত্রিক স্থানের আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রদত্ত একটি বিন্দু থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করা প্রয়োজন, তখন এটি স্থানাঙ্ক পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয়। এই অনুচ্ছেদ এই পদ্ধতি আলোচনা.

সমস্যার শর্ত অনুসারে, আমাদের কাছে রয়েছে যে স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1, z 1) সমতল χ সহ ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি বিন্দু দেওয়া হয়েছে M 1 থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করা; সমতল χ. সমাধানের জন্য বেশ কিছু সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

প্রথম উপায়

এই পদ্ধতিটি বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে একটি বিন্দু থেকে সমতলের দূরত্ব খুঁজে বের করার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, যা বিন্দু M 1 থেকে সমতল χ পর্যন্ত লম্বের ভিত্তি। এর পরে, আপনাকে M 1 এবং H 1 এর মধ্যে দূরত্ব গণনা করতে হবে।

দ্বিতীয় উপায়ে সমস্যা সমাধান করতে, ব্যবহার করুন স্বাভাবিক সমীকরণপ্রদত্ত বিমান।

দ্বিতীয় উপায়

শর্ত অনুসারে, আমাদের আছে যে H 1 হল লম্বের ভিত্তি, যা বিন্দু M 1 থেকে সমতল χ পর্যন্ত নামানো হয়েছিল। তারপর আমরা বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্ক (x 2, y 2, z 2) নির্ধারণ করি। M 1 থেকে χ সমতল পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্ব M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়, যেখানে M 1 (x 1, y 1, z 1) এবং H 1 (x 2, y 2, z 2)। সমাধান করার জন্য, আপনাকে বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্কগুলি জানতে হবে।

আমাদের আছে যে H 1 হল χ সমতলের ছেদ বিন্দু a রেখা, যা χ সমতলে লম্ব অবস্থিত M 1 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। এটি অনুসরণ করে যে একটি প্রদত্ত সমতলের লম্ব একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার জন্য একটি সমীকরণ কম্পাইল করা প্রয়োজন। তখনই আমরা বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করতে সক্ষম হব। লাইন এবং সমতলের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি গণনা করা প্রয়োজন।

স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1, z 1) সহ একটি বিন্দু থেকে χ সমতলে দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:

সংজ্ঞা 3

বিন্দু M 1 এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার একটি সমীকরণ আঁকুন এবং একই সাথে
χ সমতলে লম্ব;
বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্কগুলি (x 2, y 2, z 2) খুঁজুন এবং গণনা করুন, যা বিন্দু
সমতল χ সহ সরলরেখা a এর ছেদ;
M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 সূত্রটি ব্যবহার করে M 1 থেকে χ পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করুন।

তৃতীয় উপায়

একটি প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় O x y z একটি সমতল χ আছে, তারপর আমরা cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ফর্মের সমতলের একটি সাধারণ সমীকরণ পাই। এখান থেকে আমরা পাই যে দূরত্ব M 1 H 1 বিন্দু M 1 (x 1 , y 1 , z 1) সমতলে টানা χ, সূত্র M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos দ্বারা গণনা করা হয়েছে γ z - p। এই সূত্রটি বৈধ, যেহেতু এটি উপপাদ্যের কারণে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল।

উপপাদ্য

যদি বিন্দু M 1 (x 1, y 1, z 1) দেওয়া হয় ত্রিমাত্রিক স্থান, cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ফর্মের সমতল χ এর একটি স্বাভাবিক সমীকরণ থাকলে, তারপর বিন্দু থেকে সমতল M 1 H 1 এর দূরত্ব M সূত্র থেকে গণনা করা হয় 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, যেহেতু x = x 1, y = y 1, z = z 1।

প্রমাণ

উপপাদ্যের প্রমাণ একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব খুঁজে বের করতে নেমে আসে। এখান থেকে আমরা পাই যে M 1 থেকে χ সমতলের দূরত্ব হল উৎপত্তি থেকে χ সমতলের দূরত্বের সাথে ব্যাসার্ধ ভেক্টর M 1 এর সাংখ্যিক অভিক্ষেপের পার্থক্যের মডুলাস। তাহলে আমরা M 1 H 1 = n p n → O M → - p রাশিটি পাই। সমতল χ এর স্বাভাবিক ভেক্টরটির n → = cos α, cos β, cos γ, এবং এর দৈর্ঘ্য একের সমান, n p n → O M → হল ভেক্টরের সংখ্যাসূচক অভিক্ষেপ O M → = (x 1, y 1 , z 1) ভেক্টর n → দ্বারা নির্ধারিত অভিমুখে।

আসুন গণনার সূত্র প্রয়োগ করি স্কেলার ভেক্টর. তারপরে আমরা n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , যেহেতু n → = cos α , cos β , cos γ ফর্মের একটি ভেক্টর খুঁজে পাওয়ার জন্য একটি অভিব্যক্তি পাই। · z এবং O M → = (x 1 , y 1 , z 1)। লেখার স্থানাঙ্ক ফর্মটি n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , তারপর M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

এখান থেকে আমরা পাই যে বিন্দু M 1 (x 1, y 1, z 1) থেকে সমতল χ পর্যন্ত দূরত্ব cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 প্রতিস্থাপন করে গণনা করা হয় x, y, z স্থানাঙ্ক x 1, y 1 এবং এর পরিবর্তে সমতলের স্বাভাবিক সমীকরণের বাম দিকে z 1, বিন্দু M 1 সম্পর্কিত, প্রাপ্ত মানের পরম মান গ্রহণ করে।

আসুন একটি প্রদত্ত সমতলের স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করার উদাহরণগুলি দেখি।

উদাহরণ 1

স্থানাঙ্ক M 1 (5, - 3, 10) দিয়ে বিন্দু থেকে সমতল 2 x - y + 5 z - 3 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করুন।

সমাধান

আসুন দুটি উপায়ে সমস্যার সমাধান করি।

প্রথম পদ্ধতিটি ক লাইনের দিক ভেক্টর গণনা করে শুরু হয়। শর্ত অনুসারে, আমাদের আছে যে প্রদত্ত সমীকরণ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 হল সমতলের একটি সমীকরণ সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি, এবং n → = (2, - 1, 5) প্রদত্ত সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টর। এটি একটি সরল রেখা a এর একটি দিক ভেক্টর হিসাবে ব্যবহৃত হয়, যা একটি প্রদত্ত সমতলের লম্ব। লিখে রাখা উচিত ক্যানোনিকাল সমীকরণস্থানাঙ্ক 2, - 1, 5 সহ একটি দিক ভেক্টর সহ M 1 (5, - 3, 10) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া মহাকাশে একটি সরল রেখা।

সমীকরণটি x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 হবে।

ছেদ বিন্দু নির্ধারণ করা আবশ্যক. এটি করার জন্য, দুটি ছেদকারী রেখার সমীকরণে ক্যানোনিকাল থেকে সরানোর জন্য একটি সিস্টেমে সমীকরণগুলিকে আলতো করে একত্রিত করুন। এই পয়েন্ট H 1 নেওয়া যাক। আমরা যে পেতে

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

এর পরে আপনাকে সিস্টেমটি সক্ষম করতে হবে

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

আসুন গাউসিয়ান সিস্টেম সমাধানের নিয়মে ফিরে যাই:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

আমরা পাই যে H 1 (1, - 1, 0)।

আমরা একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করি। আমরা পয়েন্ট M 1 (5, - 3, 10) এবং H 1 (1, - 1, 0) নিই এবং পাই

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

দ্বিতীয় সমাধান হল প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 স্বাভাবিক আকারে আনতে হবে। আমরা নরমালাইজিং ফ্যাক্টর নির্ধারণ করি এবং 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 পাই। এখান থেকে আমরা সমতলের সমীকরণ বের করি 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0। সমীকরণের বাম দিকটি x = 5, y = - 3, z = 10 প্রতিস্থাপন করে গণনা করা হয় এবং আপনাকে M 1 (5, - 3, 10) থেকে 2 x - y + 5 z - এর দূরত্ব নিতে হবে। 3 = 0 মডিউল। আমরা অভিব্যক্তি পেতে:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

উত্তর: 2 30।

যখন χ সমতলটি একটি সমতল নির্দিষ্ট করার পদ্ধতিগুলির বিভাগে একটি পদ্ধতি দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়, তখন আপনাকে প্রথমে χ সমতলের সমীকরণ পেতে হবে এবং যেকোনো পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রয়োজনীয় দূরত্ব গণনা করতে হবে।

উদাহরণ 2

ত্রিমাত্রিক স্থানে, স্থানাঙ্ক M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) সহ বিন্দুগুলি নির্দিষ্ট করা হয়েছে। M 1 থেকে A B C সমতলের দূরত্ব গণনা করুন।

সমাধান

প্রথমে আপনাকে স্থানাঙ্ক M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (এর সাথে প্রদত্ত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণটি লিখতে হবে। 4, 0, - 1)।

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

এটি অনুসরণ করে যে সমস্যাটির আগেরটির মতোই একটি সমাধান রয়েছে। এর মানে হল বিন্দু M 1 থেকে সমতল A B C এর দূরত্বের মান 2 30।

উত্তর: 2 30।

একটি সমতলে প্রদত্ত বিন্দু থেকে বা সমতলের দূরত্ব খুঁজে বের করা যার সাথে তারা সমান্তরাল রয়েছে M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p সূত্রটি প্রয়োগ করে আরও সুবিধাজনক। . এটি থেকে আমরা পাই যে প্লেনের স্বাভাবিক সমীকরণগুলি বেশ কয়েকটি ধাপে পাওয়া যায়।

উদাহরণ 3

স্থানাঙ্ক M 1 (- 3 , 2 , - 7) দিয়ে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজুন সমতল সমন্বয়প্রায় x y z এবং সমতল 2 y - 5 = 0 দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

সমাধান

স্থানাঙ্ক সমতল O y z ফর্ম x = 0 এর একটি সমীকরণের সাথে মিলে যায়। O y z প্লেনের জন্য এটা স্বাভাবিক। সুতরাং, এক্সপ্রেশনের বাম দিকে x = - 3 মানগুলি প্রতিস্থাপন করা এবং স্থানাঙ্ক M 1 (- 3, 2, - 7) সহ বিন্দু থেকে দূরত্বের পরম মান সমতলে নেওয়া প্রয়োজন। আমরা - 3 = 3 এর সমান একটি মান পাই।

রূপান্তরের পর, সমতল 2 y - 5 = 0 এর স্বাভাবিক সমীকরণটি y - 5 2 = 0 রূপ নেবে। তারপরে আপনি স্থানাঙ্ক M 1 (- 3, 2, - 7) দিয়ে বিন্দু থেকে সমতল 2 y - 5 = 0 পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্ব খুঁজে পেতে পারেন। প্রতিস্থাপন এবং গণনা করলে, আমরা 2 - 5 2 = 5 2 - 2 পাই।

উত্তরঃ M 1 (- 3, 2, - 7) থেকে O y z পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্বের মান 3, এবং 2 y - 5 = 0 এর মান 5 2 - 2।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

সমতলের একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করতে গণিতে ইউনিফর্ম স্টেট পরীক্ষার সমস্যা C2

কুলিকোভা আনাস্তাসিয়া ইউরিভনা

৫ম বর্ষের ছাত্র, গণিত বিভাগ। বিশ্লেষণ, বীজগণিত এবং জ্যামিতি EI KFU, রাশিয়ান ফেডারেশন, তাতারস্তান প্রজাতন্ত্র, এলাবুগা

গণিভা আইগুল রিফোভনা

বৈজ্ঞানিক সুপারভাইজার, পিএইচডি ped বিজ্ঞান, সহযোগী অধ্যাপক EI KFU, রাশিয়ান ফেডারেশন, তাতারস্তান প্রজাতন্ত্র, এলাবুগা

IN ইউনিফাইড স্টেট এক্সাম অ্যাসাইনমেন্টমধ্যে গণিত সাম্প্রতিক বছরএকটি বিন্দু থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করতে সমস্যা দেখা দেয়। এই নিবন্ধে, একটি সমস্যার উদাহরণ ব্যবহার করে, আমরা বিবেচনা করি বিভিন্ন পদ্ধতিএকটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব খুঁজে বের করা। বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমস্যা সমাধান করার পরে, আপনি অন্য পদ্ধতি ব্যবহার করে ফলাফলের সঠিকতা পরীক্ষা করতে পারেন।

সংজ্ঞা।একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব যেখানে এই বিন্দুটি নেই তা হল এই বিন্দু থেকে প্রদত্ত সমতলে আঁকা লম্ব অংশের দৈর্ঘ্য।

টাস্ক।ড্যান ঘনক্ষেত্র কখসঙ্গেডি.এ. 1 খ 1 গ 1 ডিপাশ সহ 1 এবি=2, B.C.=4, A.A. 1 =6। বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজুন ডিসমতলে এসিডি 1 .

1 উপায়. ব্যবহার করে সংজ্ঞা. দূরত্ব খুঁজুন r( ডি, এসিডি 1) বিন্দু থেকে ডিসমতলে এসিডি 1 (চিত্র 1)।

চিত্র 1. প্রথম পদ্ধতি

এর সঞ্চালন করা যাক ডি.এইচ.⊥এসিতাই, তিনটি লম্বের উপপাদ্য দ্বারা ডি 1 এইচ⊥এসিএবং (ডিডি 1 এইচ)⊥এসি. এর সঞ্চালন করা যাক সরাসরি ডি.টি.লম্ব ডি 1 এইচ. সোজা ডি.টি.একটি সমতলে শুয়ে আছে ডিডি 1 এইচ, তাই ডি.টি.⊥A.C.. তাই, ডি.টি.⊥এসিডি 1.

কডিসিএর কর্ণ খুঁজে বের করা যাক এসিএবং উচ্চতা ডি.এইচ.

একটি সমকোণী ত্রিভুজ থেকে ডি 1 ডি.এইচ. এর কর্ণ খুঁজে বের করা যাক ডি 1 এইচএবং উচ্চতা ডি.টি.

উত্তরঃ।

পদ্ধতি 2।ভলিউম পদ্ধতি (একটি সহায়ক পিরামিড ব্যবহার). এই ধরনের একটি সমস্যা একটি পিরামিডের উচ্চতা গণনা করার সমস্যা থেকে হ্রাস করা যেতে পারে, যেখানে পিরামিডের উচ্চতা একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্ব। প্রমাণ করুন যে এই উচ্চতাটি প্রয়োজনীয় দূরত্ব; দুটি উপায়ে এই পিরামিডের আয়তন খুঁজুন এবং এই উচ্চতা প্রকাশ করুন।

উল্লেখ্য যে এই পদ্ধতির সাহায্যে প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সমতলে লম্ব নির্মাণের প্রয়োজন নেই।

একটি কিউবয়েড একটি সমান্তরাল পাইপ যার সমস্ত মুখই আয়তক্ষেত্র।

এবি=সিডি=2, B.C.=খ্রি=4, A.A. 1 =6.

প্রয়োজনীয় দূরত্ব হবে উচ্চতা জপিরামিড এসিডি 1 ডি, উপরে থেকে নত ডিবেস উপর এসিডি 1 (চিত্র 2)।

আসুন পিরামিডের আয়তন গণনা করি এসিডি 1 ডিদুটি উপায়ে

গণনা করার সময়, প্রথম উপায়ে আমরা ∆ কে ভিত্তি হিসাবে নিই এসিডি 1 তারপর

দ্বিতীয় উপায়ে গণনা করার সময়, আমরা ∆ কে ভিত্তি হিসাবে নিই এসিডি, তারপর

আসুন শেষ দুটি সমতার ডানদিকের দিকগুলিকে সমান করি এবং প্রাপ্ত করি

চিত্র 2. দ্বিতীয় পদ্ধতি

থেকে সমকোণী ত্রিভুজ এসিডি, যোগ করুন 1 , সিডিডি 1 পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে কর্ণ সন্ধান করুন

এসিডি

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এসিডি 1 হেরনের সূত্র ব্যবহার করে

উত্তরঃ।

3 উপায়। সমন্বয় পদ্ধতি।

একটা পয়েন্ট দেওয়া হোক এম(x 0 ,y 0 ,z 0) এবং সমতল α , সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত কুঠার+দ্বারা+cz+dআয়তক্ষেত্রাকারে =0 কার্টেসিয়ান সিস্টেমস্থানাঙ্ক বিন্দু থেকে দূরত্ব এমসমতলে α সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

আসুন একটি সমন্বয় ব্যবস্থা প্রবর্তন করি (চিত্র 3)। একটি বিন্দুতে স্থানাঙ্কের উৎপত্তি IN;

সোজা এবি- অক্ষ এক্স, সোজা সূর্য- অক্ষ y, সোজা বিবি 1 - অক্ষ z.

চিত্র 3. তৃতীয় পদ্ধতি

খ(0,0,0), ক(2,0,0), সঙ্গে(0,4,0), ডি(2,4,0), ডি 1 (2,4,6).

যাক কx+দ্বারা+ cz+ d=0 - সমতল সমীকরণ এসিডি 1. এতে পয়েন্টের স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করা ক, গ, ডি 1 আমরা পাই:

সমতল সমীকরণ এসিডি 1টি ফর্ম নেবে

উত্তরঃ।

4 উপায়। ভেক্টর পদ্ধতি।

আসুন ভিত্তিটি চালু করি (চিত্র 4), .

চিত্র 4. চতুর্থ পদ্ধতি

, প্রতিযোগিতা "পাঠের জন্য উপস্থাপনা"

ক্লাস: 11

পাঠের জন্য উপস্থাপনা

ব্যাক ফরওয়ার্ড

মনোযোগ! স্লাইড প্রিভিউ শুধুমাত্র তথ্যগত উদ্দেশ্যে এবং উপস্থাপনার সমস্ত বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন নাও করতে পারে। আপনি যদি এই কাজটিতে আগ্রহী হন তবে দয়া করে সম্পূর্ণ সংস্করণটি ডাউনলোড করুন।

লক্ষ্য:

শিক্ষার্থীদের জ্ঞান এবং দক্ষতার সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণ;
বিশ্লেষণ, তুলনা, উপসংহার আঁকতে দক্ষতার বিকাশ।

সরঞ্জাম:

মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর;
কম্পিউটার;
সমস্যা টেক্সট সঙ্গে শীট

ক্লাসের অগ্রগতি

I. সাংগঠনিক মুহূর্ত

২. জ্ঞান আপডেট করার পর্যায়(স্লাইড 2)

আমরা পুনরাবৃত্তি করি কিভাবে একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব নির্ধারণ করা হয়

III. বক্তৃতা(স্লাইড 3-15)

ক্লাসে আমরা দেখব বিভিন্ন উপায়েএকটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব খুঁজে বের করা।

প্রথম পদ্ধতি: ধাপে ধাপে গণনামূলক

বিন্দু M থেকে সমতল α দূরত্ব:
– সমতলের দূরত্বের সমান α থেকে একটি নির্বিচারে বিন্দু P থেকে একটি সরল রেখা a, যা M বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং সমতল α এর সমান্তরাল;
– সমতল β-এ থাকা একটি নির্বিচারে বিন্দু P থেকে সমতল α এর দূরত্বের সমান, যা M বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং সমতল α এর সমান্তরাল।

আমরা নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি সমাধান করব:

№1. A...D 1 ঘনক্ষেত্রে, বিন্দু C 1 থেকে সমতল AB 1 C পর্যন্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

এটি O 1 N সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের মান গণনা করতে রয়ে গেছে।

№2. একটি নিয়মিত ষড়ভুজ প্রিজমে A...F 1, যার সমস্ত প্রান্ত 1 এর সমান, বিন্দু A থেকে DEA 1 সমতলের দূরত্ব খুঁজুন।

পরবর্তী পদ্ধতি: ভলিউম পদ্ধতি.

যদি পিরামিড ABCM এর আয়তন V এর সমান হয়, তাহলে ∆ABC সমন্বিত বিন্দু M থেকে সমতল α পর্যন্ত দূরত্ব ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়।
সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, আমরা দুটি ভিন্ন উপায়ে প্রকাশ করা একটি চিত্রের আয়তনের সমতা ব্যবহার করি।

আসুন নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান করি:

№3. পিরামিড DABC-এর প্রান্ত AD বেস সমতল ABC-এর সাথে লম্ব। AB, AC এবং AD প্রান্তের মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া A থেকে সমতলের দূরত্ব খুঁজুন, যদি।

সমস্যা সমাধানের সময় সমন্বয় পদ্ধতিবিন্দু M থেকে সমতল α পর্যন্ত দূরত্ব ρ(M; α) = সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে , যেখানে M(x 0; y 0; z 0), এবং সমতলটি ax + by + cz + d = 0 সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়

আসুন নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান করি:

№4. একটি ইউনিট ঘনক A...D 1 এ, বিন্দু A 1 থেকে সমতল BDC 1 এর দূরত্ব নির্ণয় কর।

A বিন্দুতে উৎপত্তির সাথে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা চালু করা যাক, y-অক্ষটি প্রান্ত AB বরাবর, x-অক্ষটি প্রান্ত AD বরাবর, z-অক্ষটি প্রান্ত AA 1 বরাবর যাবে। তারপর বি (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক
বি, ডি, সি 1 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করা যাক।

তারপর – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0। অতএব, ρ =

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে সমর্থন সমস্যার পদ্ধতি।

আবেদন এই পদ্ধতিপরিচিত সমর্থন সমস্যার প্রয়োগে গঠিত, যা উপপাদ্য হিসাবে প্রণয়ন করা হয়।

আসুন নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান করি:

№5. একটি একক ঘনক A...D 1 এ, বিন্দু D 1 থেকে সমতল AB 1 C এর দূরত্ব নির্ণয় কর।

এর আবেদন বিবেচনা করা যাক ভেক্টর পদ্ধতি।

№6. একটি ইউনিট ঘনক A...D 1 এ, বিন্দু A 1 থেকে সমতল BDC 1 এর দূরত্ব নির্ণয় কর।

সুতরাং, আমরা বিভিন্ন পদ্ধতি দেখেছি যা এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। এক বা অন্য পদ্ধতির পছন্দ নির্দিষ্ট টাস্ক এবং আপনার পছন্দের উপর নির্ভর করে।

IV দলগত কাজ

বিভিন্ন উপায়ে সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করুন।

№1. ঘনক্ষেত্র A...D 1 এর প্রান্ত সমান। শীর্ষবিন্দু C থেকে সমতল BDC 1 পর্যন্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

№2. একটি প্রান্ত সহ একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রন ABCD-এ, বিন্দু A থেকে সমতল BDC পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজুন

№3. একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার প্রিজমে ABCA 1 B 1 C 1 এর সমস্ত প্রান্ত 1 এর সমান, A থেকে সমতল BCA 1 এর দূরত্ব নির্ণয় করুন।

№4. একটি নিয়মিত চতুর্ভুজ পিরামিড SABCD-এ, যার সমস্ত প্রান্ত 1 এর সমান, A থেকে সমতল SCD এর দূরত্ব নির্ণয় করুন।

V. পাঠের সারাংশ, বাড়ির কাজ, প্রতিফলন

, প্রতিযোগিতা "পাঠের জন্য উপস্থাপনা"

ক্লাস: 11