যখন আমি ছোট ছিলাম (সম্ভবত 8 বছর বয়সী), তখন আমি আমার বাবার কাছে গিয়ে জিজ্ঞেস করলাম: "কেলিনিনগ্রাদকে সাতটি সেতুর শহর বলা হয়?" জবাবে, তিনি আমাকে একটি সবচেয়ে আকর্ষণীয় গল্প বলেছিলেন, সবকিছুকে দৃষ্টিভঙ্গিতে রেখে। এটা উত্তেজনাপূর্ণ এবং খুব শিক্ষামূলক ছিল. স্বাভাবিকভাবেই, আমি এই গল্পটিকে তার আসল আকারে আর মনে রাখি না, তবে আমি যতটা সম্ভব উত্তেজনাপূর্ণভাবে বলার চেষ্টা করব।

আপনি জানেন, 1255 সালে প্রতিষ্ঠিত কোনিগসবার্গ শহরটি তিনটি স্বাধীন নগর বসতি নিয়ে গঠিত। তারা শহরটিকে চারটি ভাগে বিভক্ত করে প্রেগেল নদীর (বর্তমানে প্রেগোলিয়া) দ্বীপ ও তীরে অবস্থিত ছিল:

• Altstadt;
• নাইফফ;
• লোমজে;
• ফরস্টাড্ট।

শহরের অংশগুলিকে সংযুক্ত করার জন্য, 14 শতকে সেতুগুলি তৈরি করা শুরু হয়েছিল। প্রতিবেশী পোল্যান্ড এবং লিথুয়ানিয়া থেকে ক্রমাগত সামরিক বিপদের কারণে, কোনিগসবার্গ সেতুগুলির একটি দ্বিতীয় ফাংশন শুরু হয়েছিল - প্রতিরক্ষামূলক। প্রতিটি সেতুর সামনে, একটি প্রতিরক্ষামূলক টাওয়ার তৈরি করা হয়েছিল লকযোগ্য উত্তোলন বা ওক দিয়ে তৈরি ডাবল-পাতার গেট এবং পেটা লোহার আস্তরণ দিয়ে। কিছু সেতুর স্তম্ভগুলির একটি পঞ্চভুজ আকৃতি ছিল, যা বুরুজের মতো। এই সমর্থনগুলির ভিতরে এমন কেসমেট ছিল যেগুলি থেকে এমব্র্যাসারের মাধ্যমে গুলি করা সম্ভব হয়েছিল।

কোনিগসবার্গের সাতটি সেতুই ছিল ড্রব্রিজ। প্রিগোলা বরাবর নৌচলাচল হ্রাসের কারণে, সেতুগুলি আর খোলা হয়নি। একমাত্র ব্যতিক্রম ছিল হাই ব্রিজ, যা মাস্ট জাহাজের মেকানিজম এবং তারের সংযোগ রোধ করার জন্য পর্যায়ক্রমে উত্থাপিত হয়।

একটি ঐতিহ্য ছিল: শহরের একজন অতিথি, পরবর্তীতে কোনিগসবার্গে ফিরে আসার জন্য, একটি সেতু থেকে প্রেগেলে একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করতে হয়েছিল।

এখানে আপনার জন্য একটি আকর্ষণীয় তথ্য আছে, ঐতিহ্যের সাথে যুক্ত: 20 শতকের নব্বইয়ের দশকে প্রিগোলিয়া নদীর তলদেশ একটি ড্রেজ দিয়ে পরিষ্কার করার সময়, মুদ্রাবাদী সংগ্রাহকরা আক্ষরিক অর্থে "অন্ত্রে" চালনি দিয়ে দাঁড়ানোর অধিকারের জন্য লড়াই করেছিলেন যেখান থেকে নীচের পলি ঢেলে যাচ্ছিল।

এবং এখানে দ্বিতীয় সত্য:"কোনিগসবার্গের সাতটি সেতুর সমস্যা।" বিখ্যাত দার্শনিক এবং বিজ্ঞানী ইমানুয়েল কান্ট, কোনিগসবার্গ শহরের সেতুর পাশ দিয়ে হাঁটতে গিয়ে একটি সমস্যা তৈরি করেছিলেন: এই সমস্ত সেতু পেরিয়ে হাঁটা এবং একই সাথে প্রতিটি সেতু অতিক্রম করার জন্য রুটের সূচনা পয়েন্টে ফিরে আসা কি সম্ভব? শুধুমাত্র একবার অনেকেই ব্যবহারিক এবং তাত্ত্বিকভাবে এই সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করেছেন। কিন্তু কেউ সফল হয়নি, এমনকি তাত্ত্বিকভাবেও যে অসম্ভব ছিল তা প্রমাণ করা সম্ভব হয়নি।

1736 সালে, এই সমস্যাটি বিজ্ঞানী লিওনহার্ড অয়লারকে আগ্রহী করে, যিনি একজন অসামান্য এবং বিখ্যাত গণিতবিদ এবং সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমি অফ সায়েন্সেসের সদস্য ছিলেন। তিনি তার বন্ধু, বিজ্ঞানী, ইতালীয় প্রকৌশলী এবং গণিতবিদ মারিওনিকে 13 মার্চ, 1736 তারিখে একটি চিঠিতে এই বিষয়ে লিখেছেন। তিনি একটি নিয়ম খুঁজে পেয়েছিলেন, যা ব্যবহার করে তিনি সহজেই এবং সহজভাবে এই প্রশ্নের উত্তর পেতে পারেন যা সবাইকে আগ্রহী করে। কোনিগসবার্গ শহর এবং এর সেতুগুলির ক্ষেত্রে, এটি অসম্ভব বলে প্রমাণিত হয়েছিল। কিন্তু তিনি গ্রাফের একটি তত্ত্ব তৈরি করতে পেরেছিলেন (গণিতবিদরা বুঝতে পারবেন), যা আজও ব্যবহৃত হয়।

আপনিও এই সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করতে পারেন। এখানে শহরের সেতুগুলির একটি চিত্র রয়েছে:

আসুন জেনে নেওয়া যাক এই সাতটি সেতু কী কী।

Krämerbrücke (বেঞ্চ ব্রিজ)।

সাতটি সেতুর মধ্যে এটিকে প্রাচীনতম বলে মনে করা হয়। এটি 1286 সালে Altstadt এবং Kneiphof শহরগুলিকে সংযুক্ত করার লক্ষ্যে নির্মিত হয়েছিল এবং এর প্রবেশদ্বারে একটি Kneiphof জুতার ছেলে হ্যান্স সাগানের একটি মূর্তি ছিল। কিংবদন্তি বলেছেন: টিউটনিক অর্ডার এবং লিথুয়ানিয়ার সৈন্যদের মধ্যে যুদ্ধের সময়, হ্যান্স একজন আহত নাইটের হাত থেকে পতনশীল আদেশের ব্যানারটি ধরেছিলেন।

ব্রিজটির নামকরণ হয়েছিল এই কারণে যে প্রেগেলের সংলগ্ন তীর এবং তিনি নিজেই বাণিজ্যের জায়গা ছিলেন।

1900 সালে এটি পুনর্নির্মাণ করা হয়েছিল এবং 1972 সালে ইস্তাকাদনি সেতু নির্মাণের কারণে এটি ভেঙে ফেলা হয়েছিল।

Grünebrücke (সবুজ সেতু)।

গ্রিন ব্রিজটি 1322 সালে নির্মিত হয়েছিল এবং ন্যাইফফ এবং ফরস্ট্যাডকে সংযুক্ত করেছিল। এটি পেইন্ট রঙ থেকে এর নাম পেয়েছে যা ঐতিহ্যগতভাবে সেতুর সমর্থন এবং স্প্যান আঁকার জন্য ব্যবহৃত হত।

17 শতকে, গ্রিন ব্রিজে, একজন বার্তাবাহক কোনিগসবার্গে পৌঁছে যাওয়া চিঠিগুলি বিতরণ করেছিলেন। চিঠিপত্রের প্রত্যাশায়, শহরের ব্যবসায়ীরা এখানে জড়ো হতেন এবং ডাকের অপেক্ষায় তাদের দৈনন্দিন বিষয় নিয়ে আলোচনা করতেন। কিংবদন্তি অনুসারে, এই কারণেই 1623 সালে গ্রিন ব্রিজের কাছে কোনিগসবার্গ ট্রেড এক্সচেঞ্জের প্রথম বিল্ডিংটি নির্মিত হয়েছিল।

1875 সালে, সেতুর অপর পাশে একটি নতুন ট্রেডিং এক্সচেঞ্জ বিল্ডিং নির্মিত হয়েছিল, যা আজও দাঁড়িয়ে আছে। এখন এই ভবনটি নাবিকদের সংস্কৃতির প্রাসাদ।

1907 সালে, সেতুটি পুনর্নির্মাণ করা হয়েছিল, এবং 1972 সালে এটি লাভোচনি সেতুর মতো একই পরিণতি ভোগ করেছিল: সেগুলি ইস্তাকাদনি সেতু দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছিল।

Köttelbrücke (ওয়ার্কিং ব্রিজ)।

কার্যক্ষম সেতুটি 1337 সালে নির্মিত হয়েছিল। সংযুক্ত Kneiphof এবং Forstadt. কখনও কখনও এর নাম "গিবলেট" হিসাবে অনুবাদ করা হয়, যা কাছাকাছি অবস্থিত কসাইখানার সাথে যুক্ত। যেখান থেকে এই সেতু দিয়ে প্রেগেল বরাবর সাঁতার কেটে ওফাল পরিবহন করা হতো।

প্রাথমিকভাবে, সেতুটি একটি ড্রব্রিজ ছিল এবং তিনটি স্প্যান নিয়ে গঠিত। 1621 সালে এটি একটি বন্যায় ভেসে যায় এবং একটি উত্তোলন প্রক্রিয়া ছাড়াই পুনর্নির্মিত হয়।

1886 সালে ফরস্ট্যাডের উন্নয়নের সময়, শ্রমিক সেতুটি পাথর এবং ধাতুতে পুনর্নির্মিত হয়েছিল। ডিভোর্স ফাংশন তাকে ফিরিয়ে দেওয়া হয়েছিল।

মহান দেশপ্রেমিক যুদ্ধের সময় সেতুটি পুড়ে যায় এবং বিংশ শতাব্দীর 70-এর দশকে ষাঁড়ের সমর্থন সহ ভেঙে ফেলা হয়।

Schmiedebrücke (ফরজ ব্রিজ)।

ফোরজ ব্রিজটি 1397 সালে নির্মিত হয়েছিল। সংযুক্ত Altstadt এবং Kneiphof.

কামাররা ঐতিহ্যগতভাবে প্রেগেলের তীরে এই সেতুর পাশে অবস্থিত ছিল এবং স্পষ্টতই এটি এখানেই এর নাম পেয়েছে।

নির্মাণের পরে, সেতুটি লাভোচনি সেতু থেকে লোডের কিছু অংশ দখল করে, যা সমান্তরাল, সামান্য নীচের দিকে অবস্থিত। এটি মূলত প্ল্যাঙ্ক স্প্যান দিয়ে আচ্ছাদিত দুটি পাথরের পিয়ার দিয়ে সজ্জিত ছিল, যা 1787 সালের মধ্যে খারাপভাবে জীর্ণ হয়ে গিয়েছিল এবং প্রতিস্থাপন করা হয়েছিল। 1896 সালে, কুজনেচনি সেতু পুনর্নির্মাণ করা হয় এবং আলংকারিক সমর্থন, ইস্পাত স্প্যান লাভ করে এবং একটি ড্রব্রিজে পরিণত হয়। Altstadt দিকে, একটি তত্ত্বাবধায়ক টাওয়ার নির্মিত হয়েছিল, যা শহরের জল সরবরাহের জলের চাপ ব্যবহার করে সেতুর স্প্যানগুলি বাড়ানোর জন্য একটি ইনস্টলেশন স্থাপন করেছিল এবং উত্তোলন প্রক্রিয়া নিয়ন্ত্রণ করেছিল।

মহান দেশপ্রেমিক যুদ্ধের সময় এটি ধ্বংস হয়ে গিয়েছিল এবং যুদ্ধের পরে পুনরুদ্ধার করা হয়নি।

Holzbrücke (কাঠের সেতু)।

কাঠের সেতুটি 1404 সালে নির্মিত হয়েছিল এবং Altstadt এবং Lomse কে সংযুক্ত করেছিল।

এটিতে আলব্রেখট লুহেল ডেভিডের "প্রুশিয়ান ক্রনিকল" থেকে উদ্ধৃতাংশ সহ একটি স্মারক ফলক ছিল। এই দশ-খণ্ডের কাজটি পৌত্তলিক প্রুশিয়া এবং টিউটনিক অর্ডারের ইতিহাস সম্পর্কে বলেছিল।

কাঠের সেতুটি 1904 সালে পুনর্গঠিত হয়েছিল এবং এখনও এই আকারে বিদ্যমান।

Hohebrücke (উচ্চ সেতু)।

উচ্চ সেতুটি 1520 সালে নির্মিত হয়েছিল, লোমসে এবং ফরস্ট্যাডকে সংযুক্ত করেছে। 1882 সালে এটি "ব্রিজ কিপারস হাউস" (সেতু উত্থাপন প্রক্রিয়া বিতরণের জন্য একটি কক্ষ) যোগ করে এটি পুনর্নির্মাণ করা হয়েছিল। নিও-গথিক শৈলীর এই ভবনটি আজও দাঁড়িয়ে আছে।

হাই ব্রিজটি 1938 সালে ভেঙে ফেলা হয়েছিল।

পুরনো হাই ব্রিজের টিকে থাকা পাথরের স্তম্ভ থেকে কয়েক দশ মিটার দূরে একটি নতুন হাই ব্রিজ তৈরি করা হয়েছিল, যা আজও দাঁড়িয়ে আছে। মাস্ট জাহাজগুলিকে গাইড করার জন্য এটিতে একটি সামঞ্জস্যযোগ্য মধ্যম অংশ রয়েছে।

Honigbrücke (মধু সেতু)।

সাতটি সেতুর মধ্যে সর্বকনিষ্ঠটি লোমসে এবং নাইফফকে সংযুক্ত করে। নামের উৎপত্তি সম্পর্কে বিভিন্ন সংস্করণ রয়েছে:

1. বেসেনরোড, নাইফ টাউন হলের সদস্য, মধুর ব্যারেল দিয়ে সেতুটি নির্মাণের জন্য অর্থ প্রদান করেছিলেন।
2. একই বেজেনরোড মধুর ব্যারেল সহ নদীর ওপারের অঞ্চলে একটি ট্রেডিং পোস্ট নির্মাণের জন্য অর্থ প্রদান করেছিল।
3. নামটি "হন" শব্দ থেকে এসেছে, যার অর্থ উপহাস বা উপহাস। এই সেতুটি নির্মাণের মাধ্যমে, Kneiphof এর বাসিন্দারা Altstadt-এর অন্তর্গত হাই ব্রিজকে বাইপাস করে লোমসে শহরে সরাসরি প্রবেশাধিকার লাভ করে। এইভাবে, হানি ব্রিজ প্রধান কনিগসবার্গ সেতুর উপহাস হয়ে ওঠে।

এখন এটির একটি পথচারী চরিত্র রয়েছে এবং এটি কান্ট দ্বীপ থেকে ক্যাথেড্রাল এবং ভাস্কর্য পার্কে নিয়ে যায়। সেখানে ব্যক্তিগত গাড়ি চলাচল নিষিদ্ধ।

গ্রাফ তত্ত্বের (পাশাপাশি টপোলজি) জনক হলেন অয়লার (1707-1782), যিনি 1736 সালে একটি সমস্যা সমাধান করেছিলেন যা সেই সময়ে ব্যাপকভাবে পরিচিত ছিল, যাকে কনিগসবার্গ ব্রিজ সমস্যা বলা হয়। কোয়েনিগসবার্গ শহরে দুটি দ্বীপ ছিল সাতটি সেতু দ্বারা প্রিগোলিয়া নদীর তীরে এবং একে অপরের সাথে সংযুক্ত ছিল চিত্র 4 এ দেখানো হয়েছে।

কাজটি নিম্নরূপ ছিল: ভূমির চারটি অংশের মধ্য দিয়ে একটি পথ খুঁজুন যা তাদের যেকোনো একটি থেকে শুরু হবে, একই অংশে শেষ হবে এবং প্রতিটি সেতুর উপর দিয়ে ঠিক একবার অতিক্রম করবে। এটা সহজ, অবশ্যই, এই সমস্যাটি অভিজ্ঞতামূলকভাবে সমাধান করার চেষ্টা করা, সমস্ত রুটের মাধ্যমে অনুসন্ধান করা, কিন্তু সমস্ত প্রচেষ্টা ব্যর্থতায় শেষ হবে।

চিত্র 4 - কোনিগসবার্গ সেতুর সমস্যা।

এই সমস্যা সমাধানে অয়লারের ব্যতিক্রমী অবদান হল যে তিনি এমন একটি পথের অসম্ভবতা প্রমাণ করেছিলেন।

সমস্যাটির কোনো সমাধান ছিল না তা প্রমাণ করার জন্য, অয়লার ভূমির প্রতিটি অংশকে একটি বিন্দু (শীর্ষ) দিয়ে এবং প্রতিটি সেতুকে একটি লাইন (প্রান্ত) দিয়ে সংশ্লিষ্ট বিন্দুকে সংযুক্ত করেছেন। ফলাফল একটি গণনা ছিল. এই সমস্যার একটি ইতিবাচক সমাধানের অস্তিত্ব না থাকা সম্পর্কে বিবৃতিটি এই গ্রাফটিকে একটি বিশেষ উপায়ে অতিক্রম করার অসম্ভবতা সম্পর্কে বিবৃতির সমতুল্য।

চিত্র 5 – গ্রাফ।

গ্রাফের উপাদান। একটি গ্রাফ নির্দিষ্ট করার জন্য পদ্ধতি।

সাবগ্রাফ

প্রতিশব্দ হিসাবে একটি গ্রাফের মতো একটি কাঠামো ("নেটওয়ার্ক" শব্দটিও ব্যবহৃত হয়) কম্পিউটার বিজ্ঞানে বিভিন্ন ধরণের অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে।গণনাজিনামক সিস্টেম (, ভি) ,

উ নামক সিস্টেম (={ যেখানে} - v অনেক উপাদান বলা হয়চূড়া

ভি=={ গ্রাফ;} - u নামক উপাদানের সেটপাঁজর

গ্রাফ

প্রতিটি প্রান্ত হয় এক জোড়া শীর্ষবিন্দু (v1,v2) অথবা দুটি বিপরীত জোড়া (v1,v2) এবং (v2,v1) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। , যদি U থেকে একটি প্রান্ত শুধুমাত্র একটি জোড়া দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় (v1,v2) তারপর এটা বলা হয়ওরিয়েন্টেড প্রান্ত

, v1 থেকে v2 তে এগিয়ে। এই ক্ষেত্রে, v1 কে শুরু বলা হয়, এবং v2 এই ধরনের প্রান্তের শেষ। যদি একটি প্রান্ত U দুটি জোড়া (v1,v2) এবং (v2,v1) দ্বারা উপস্থাপিত হয়, তাহলে U বলা হয় unoriented প্রান্ত . শীর্ষবিন্দু v1 এবং v2 এর মধ্যে প্রতিটি অনির্দেশিত প্রান্ত v1 থেকে উভয় দিকে নিয়ে যায়যেখানে2, সামনে পিছনে এই ক্ষেত্রে, শীর্ষবিন্দু v1 এবং v2 উভয়ই এই প্রান্তের শুরু এবং শেষ। তারা বলে যে পাঁজরের মতো বাড়ে থেকেযেখানে1 ইনযেখানে2, তাই এবং থেকেযেখানে2 ইঞ্চিযেখানে1.

একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত যে কোন দুটি শীর্ষবিন্দু সংলগ্ন।

উপাদানের সংখ্যার উপর ভিত্তি করে, গ্রাফগুলিকে ভাগ করা হয় চূড়ান্তএবং অন্তহীন

একটি গ্রাফ যার প্রান্তগুলি সমস্ত অনির্দেশিত বলা হয় অভিমুখীগণনা

যদি একটি গ্রাফের প্রান্তগুলিকে নির্দিষ্ট জোড়া শীর্ষবিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাহলে এই ধরনের গ্রাফকে বলা হয় ভিত্তিক

আর
চিত্র 6 – নির্দেশিত গ্রাফ।

আছে মিশ্র গ্রাফ, উভয় ভিত্তিক এবং অমুখী প্রান্ত নিয়ে গঠিত।

যদি দুটি শীর্ষবিন্দু দুটি বা ততোধিক প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত থাকে তবে এই প্রান্তগুলিকে বলা হয় সমান্তরাল.

যদি একটি প্রান্তের শুরু এবং শেষ মিলে যায়, তাহলে এমন একটি প্রান্ত বলা হয় লুপ .

লুপ এবং সমান্তরাল প্রান্ত ছাড়া একটি গ্রাফ বলা হয় সহজ

যদি একটি প্রান্তকে শীর্ষবিন্দু v1 এবং v2 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাহলে প্রান্ত ঘটনাশীর্ষবিন্দু v1 এবং v2।

একটি শীর্ষবিন্দু যা কোন প্রান্তে ঘটে না তাকে বলা হয় বিচ্ছিন্ন.

ঠিক এক প্রান্তে একটি শীর্ষবিন্দু ঘটনা এবং এই প্রান্ত নিজেই বলা হয় শেষ,বা ঝুলন্ত

যে প্রান্তগুলো একই জোড়া শীর্ষবিন্দুর সাথে যুক্ত তাদেরকে বলে একাধিক বা সমান্তরাল।

দুই একটি অনির্দেশিত গ্রাফের শীর্ষবিন্দু v1 এবং v2 বলা হয় সংলগ্ন,যদি গ্রাফে একটি প্রান্ত (v1,v2) থাকে।

দুই একটি নির্দেশিত গ্রাফের শীর্ষবিন্দু v1 এবং v2 বলা হয় সংলগ্ন,যদি সেগুলি আলাদা হয় এবং একটি প্রান্ত থাকে যা vertex v1 থেকে v2 পর্যন্ত যায়।

চলুন একটি নির্দেশিত গ্রাফের জন্য কিছু ধারণা দেখি।

চিত্র 7 – নির্দেশিত গ্রাফ।

সহজ উপায়:

প্রাথমিক পথ:

প্রাথমিক রূপরেখা:

সার্কিট:

জন্য অনির্দেশিত গ্রাফ"সহজ পথ", "প্রাথমিক পথ", "সার্কিট", "প্রাথমিক সার্কিট" ধারণাগুলি যথাক্রমে "চেইন", "সাধারণ সার্কিট", "চক্র", "সরল চক্র" প্রতিস্থাপন করে। গ্রাফ বলা হয় সুসঙ্গত, যদি কোন দুটি শীর্ষবিন্দুর জন্য এই শীর্ষগুলিকে সংযুক্ত করার জন্য একটি পথ (চেইন) থাকে।

চক্র ছাড়া একটি অনির্দেশিত সংযুক্ত গ্রাফ বলা হয় গাছ.

চক্র ছাড়া অনির্দেশিত সংযোগ বিচ্ছিন্ন গ্রাফ - বন.

চিত্র 8 - সংযুক্ত গ্রাফ।

চিত্র 9 - বন।

চিত্র 10 - গাছ।

একটি গাণিতিক বিজ্ঞান হিসাবে গ্রাফ তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপিত হয়েছিল 1736 সালে লিওনহার্ড অয়লার, কোনিগসবার্গ সেতুর সমস্যা বিবেচনা করে। আজ এই কাজটি একটি ক্লাসিক হয়ে উঠেছে।

প্রাক্তন কোয়েনিগসবার্গ (বর্তমানে কালিনিনগ্রাদ) প্রেগেল নদীর তীরে অবস্থিত। শহরের মধ্যে, নদী দুটি দ্বীপ ধুয়েছে। উপকূল থেকে দ্বীপ পর্যন্ত সেতু নির্মাণ করা হয়েছিল। পুরানো সেতুগুলি বেঁচে নেই, তবে শহরের একটি মানচিত্র রয়ে গেছে, যেখানে তাদের চিত্রিত করা হয়েছে। কোয়েনিগসবার্গাররা দর্শনার্থীদের নিম্নলিখিত কাজটি অফার করেছিল: সমস্ত সেতু অতিক্রম করে স্টার্টিং পয়েন্টে ফিরে যেতে, এবং প্রতিটি সেতু একবারই পরিদর্শন করতে হয়েছিল।

কোনিগসবার্গের সাতটি সেতুর সমস্যা

কোনিগসবার্গের সাতটি সেতুর সমস্যা বা কোনিগসবার্গ সেতুর সমস্যা (জার্মান: Königsberger Brückenproblem) হল একটি প্রাচীন গাণিতিক সমস্যা যা জিজ্ঞাসা করেছিল যে কোনিগসবার্গের সাতটি সেতুর উপর দিয়ে দুবার না গিয়ে কীভাবে হেঁটে যাওয়া সম্ভব। এটি প্রথম 1736 সালে জার্মান এবং রাশিয়ান গণিতবিদ লিওনহার্ড অয়লার দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল।

কোনিগসবার্গের বাসিন্দাদের মধ্যে নিম্নলিখিত ধাঁধাটি দীর্ঘকাল ধরে প্রচলিত ছিল: কীভাবে সমস্ত সেতু (প্রেগোলিয়া নদীর ওপারে) দুবার অতিক্রম না করেই পার হতে হয়। অনেক কোনিগসবার্গার হাঁটার সময় তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিকভাবে এই সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করেছিলেন। যাইহোক, এই ধরনের একটি পথের অস্তিত্বের সম্ভাবনা কেউ প্রমাণ বা অস্বীকার করতে পারেনি।

1736 সালে, সাতটি সেতুর সমস্যাটি অসামান্য গণিতবিদ, সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমি অফ সায়েন্সের সদস্য, লিওনহার্ড অয়লারকে আগ্রহী করেছিল, যা তিনি 13 মার্চ, 1736 তারিখে ইতালীয় গণিতবিদ এবং প্রকৌশলী মারিওনিকে একটি চিঠিতে লিখেছিলেন। এই চিঠিতে, অয়লার লিখেছেন যে তিনি একটি নিয়ম খুঁজে পেতে সক্ষম হয়েছিলেন, যা ব্যবহার করে এটি নির্ধারণ করা সহজ যে সমস্ত সেতুর উপর দিয়ে দুবার অতিক্রম না করেই হাঁটা সম্ভব কিনা। উত্তর ছিল "না"।

লিওনহার্ড অয়লারের মতে সমস্যার সমাধান

একটি শহরের অংশগুলির একটি সরলীকৃত চিত্রে (গ্রাফ), সেতুগুলি রেখাগুলির সাথে মিলিত হয় (গ্রাফের আর্কস), এবং শহরের কিছু অংশগুলি লাইনগুলির সাথে সংযোগকারী পয়েন্টগুলির সাথে (গ্রাফের শীর্ষবিন্দুগুলি) মিলিত হয়৷ তার যুক্তির সময়, অয়লার নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তে এসেছিলেন:

গ্রাফের বিজোড় শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা (যে শীর্ষে বিজোড় সংখ্যার প্রান্ত চলে যায়) অবশ্যই জোড় হতে হবে। বিজোড় সংখ্যক বিজোড় শীর্ষবিন্দু আছে এমন একটি গ্রাফ থাকতে পারে না।
যদি গ্রাফের সমস্ত শীর্ষবিন্দু সমান হয়, তাহলে আপনি কাগজ থেকে আপনার পেন্সিল না তুলে একটি গ্রাফ আঁকতে পারেন এবং আপনি গ্রাফের যেকোনো শীর্ষ থেকে শুরু করে একই শীর্ষবিন্দুতে শেষ করতে পারেন।
দুটির বেশি বিজোড় শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট একটি গ্রাফ এক স্ট্রোক দিয়ে আঁকা যাবে না।
কোনিগসবার্গ ব্রিজের গ্রাফে চারটি (নীল) বিজোড় শীর্ষবিন্দু ছিল (অর্থাৎ তাদের সবকটি), তাই তাদের একটির উপর দিয়ে দুবার না গিয়ে সমস্ত সেতুর উপর দিয়ে হাঁটা অসম্ভব।

অয়লার দ্বারা তৈরি গ্রাফ তত্ত্বটি পরিবহন এবং যোগাযোগ ব্যবস্থায় খুব ব্যাপক প্রয়োগ পেয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, সিস্টেমগুলি নিজেরাই অধ্যয়ন করা, পণ্য সরবরাহের জন্য সর্বোত্তম রুট তৈরি করা, বা ইন্টারনেটে ডেটা রাউটিং করা)।

Königsberg এর সেতুর আরও ইতিহাস

1905 সালে, ইম্পেরিয়াল ব্রিজটি নির্মিত হয়েছিল, যা পরবর্তীতে দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময় বোমা হামলায় ধ্বংস হয়ে গিয়েছিল। একটি কিংবদন্তি রয়েছে যে এই সেতুটি কায়সারের নির্দেশে নির্মিত হয়েছিল, যিনি কোনিগসবার্গ সেতুগুলির সমস্যা সমাধান করতে অক্ষম হয়েছিলেন এবং একটি সামাজিক সংবর্ধনা অনুষ্ঠানে উপস্থিত বিদ্বানদের দ্বারা তাকে নিয়ে খেলা একটি রসিকতার শিকার হয়েছিলেন (যদি আপনি অষ্টম সেতু যোগ করুন, তারপর সমস্যাটি সমাধানযোগ্য হয়ে যায়)। জুবিলি সেতুটি 2005 সালে ইম্পেরিয়াল সেতুর পিলারের উপর নির্মিত হয়েছিল। এই মুহুর্তে কালিনিনগ্রাদে সাতটি সেতু রয়েছে এবং কালিনিনগ্রাদের দ্বীপ এবং সেতুগুলির ভিত্তিতে নির্মিত গ্রাফটিতে এখনও অয়লার পথ নেই।

অথবা কোনিগসবার্গের সাতটি সেতু - একটি প্রাচীন গাণিতিক সমস্যা যা জিজ্ঞাসা করেছিল যে কীভাবে কেউ কোনিগসবার্গের সাতটি সেতু দুবার অতিক্রম না করেই হাঁটতে পারে। এটি প্রথম 1736 সালে গণিতবিদ দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল লিওনহার্ড অয়লার , যিনি প্রমাণ করেছিলেন যে এটি অসম্ভব ছিল এবং এইভাবে আবিষ্কার করেছিলেন অয়লার চক্র .

কোনিগসবার্গের বাসিন্দাদের মধ্যে নিম্নলিখিত ধাঁধাটি দীর্ঘদিন ধরে প্রচলিত ছিল: কীভাবে শহরের সমস্ত সেতু (প্রিগোলিয়া নদীর ওপারে) দুবার অতিক্রম না করে অতিক্রম করা যায়। অনেক কোনিগসবার্গার হাঁটার সময় তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিকভাবে এই সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করেছিলেন। যাইহোক, এই ধরনের একটি পথের অস্তিত্বের সম্ভাবনা কেউ প্রমাণ বা অস্বীকার করতে পারেনি।

1736 সালে, সাতটি সেতুর সমস্যাটি অসামান্য গণিতবিদ, সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমি অফ সায়েন্সের সদস্য, লিওনহার্ড অয়লারকে আগ্রহী করেছিল, যা তিনি 13 মার্চ, 1736 তারিখে ইতালীয় গণিতবিদ এবং প্রকৌশলী মারিনোনিকে একটি চিঠিতে লিখেছিলেন। এই চিঠিতে, অয়লার লিখেছেন যে তিনি একটি নিয়ম খুঁজে পেতে সক্ষম হয়েছিলেন, যা ব্যবহার করে এটি নির্ধারণ করা সহজ যে সমস্ত সেতুর উপর দিয়ে দুবার অতিক্রম না করেই হাঁটা সম্ভব কিনা। এই ক্ষেত্রে, উত্তর ছিল "না"।

লিওনহার্ড অয়লারের মতে সমস্যার সমাধান

একটি সরলীকৃত সিটি ডায়াগ্রামে (গ্রাফ), সেতুগুলি লাইনের (গ্রাফের প্রান্তগুলি) সাথে মিলে যায় এবং শহরের অংশগুলি লাইনের সাথে সংযোগকারী বিন্দুগুলির (গ্রাফের শীর্ষবিন্দু) সাথে মিলে যায়। তার যুক্তির সময়, অয়লার নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তে এসেছিলেন:

• গ্রাফের বিজোড় শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা (যে শীর্ষে বিজোড় সংখ্যার প্রান্ত চলে যায়) অবশ্যই জোড় হতে হবে। বিজোড় সংখ্যক বিজোড় শীর্ষবিন্দু আছে এমন একটি গ্রাফ থাকতে পারে না।

• যদি গ্রাফের সমস্ত শীর্ষবিন্দু সমান হয়, তাহলে আপনি কাগজ থেকে আপনার পেন্সিল না তুলে একটি গ্রাফ আঁকতে পারেন এবং আপনি গ্রাফের যেকোনো শীর্ষ থেকে শুরু করে একই শীর্ষবিন্দুতে শেষ করতে পারেন।

• যদি গ্রাফের ঠিক দুটি শীর্ষবিন্দু বিজোড় হয়, তাহলে আপনি কাগজ থেকে আপনার পেন্সিল না তুলেই একটি গ্রাফ আঁকতে পারেন এবং আপনি যেকোনো বিজোড় শীর্ষবিন্দু থেকে শুরু করে অন্য একটি বিজোড় শীর্ষবিন্দুতে শেষ করতে পারেন।

• দুটির বেশি বিজোড় শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট একটি গ্রাফ এক স্ট্রোক দিয়ে আঁকা যাবে না।

• কোনিগসবার্গ সেতুগুলির গ্রাফে চারটি বিজোড় শীর্ষবিন্দু ছিল (অর্থাৎ, তাদের সবগুলি) - তাই, তাদের একটিকে দুবার অতিক্রম না করে সমস্ত সেতুর উপর দিয়ে হাঁটা অসম্ভব।

তবে সবচেয়ে মজার বিষয় হল যে ঐতিহাসিকরা বিশ্বাস করেন যে এমন একজন ব্যক্তি আছেন যিনি এই সমস্যার সমাধান করেছিলেন; তিনি শুধুমাত্র একবার সমস্ত সেতু অতিক্রম করতে পেরেছিলেন, যদিও তাত্ত্বিকভাবে, কিন্তু একটি সমাধান ছিল ... এবং এইভাবে এটি ঘটেছে ...

কায়সার (সম্রাট) উইলহেম তার সরল চিন্তাভাবনা, প্রত্যক্ষতা এবং সৈনিকভাবে "সংকীর্ণ মানসিকতার" জন্য বিখ্যাত ছিলেন। একদিন, একটি সামাজিক অনুষ্ঠানে, তিনি প্রায় একটি রসিকতার শিকার হয়েছিলেন যে রিসেপশনে উপস্থিত বিদ্বান মন তাকে নিয়ে খেলার সিদ্ধান্ত নিয়েছিল। তারা কায়সারকে কনিগসবার্গ শহরের একটি মানচিত্র দেখিয়েছিল এবং তাকে এই বিখ্যাত সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করতে বলেছিল, যা সংজ্ঞা অনুসারে, কেবল অমীমাংসিত ছিল।

সবাইকে অবাক করে দিয়ে, কায়সার একটি কাগজ এবং একটি কলম চেয়েছিলেন এবং একই সাথে উল্লেখ করেছিলেন যে তিনি এই সমস্যাটি মাত্র দেড় মিনিটের মধ্যে সমাধান করবেন। হতবাক বিজ্ঞানীরা তাদের কানকে বিশ্বাস করতে পারছিলেন না, তবে তার জন্য কালি এবং কাগজ দ্রুত পাওয়া গেল। কায়সার কাগজটা টেবিলে রাখলেন, কলমটা নিয়ে লিখলেন: "আমি লোমজে দ্বীপে অষ্টম সেতু নির্মাণের আদেশ দিচ্ছি।"এবং এটি হল: সমস্যাটি সমাধান করা হয়েছে ...

তাই কোনিগসবার্গ শহরে একটি নতুন হাজির 8 ম সেতুনদীর ওপারে, যার নাম ছিল তাই- কায়সার সেতু, যা পরবর্তীতে দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময় বোমা হামলায় ধ্বংস হয়ে যায়।

জুবিলি সেতুটি 2005 সালে ইম্পেরিয়াল সেতুর পিলারের উপর নির্মিত হয়েছিল। 2017 সালের হিসাবে, কালিনিনগ্রাদে আটটি সেতু রয়েছে।

____________________

একটি সংক্ষিপ্ত জনপ্রিয় বিজ্ঞান চলচ্চিত্র যা বলে যে একটি বিমূর্ত গাণিতিক তত্ত্ব যা 300 বছর আগে উদ্ভূত হয়েছিল তা অপ্রত্যাশিতভাবে আধুনিক বিজ্ঞানে এর প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে।

1735 সালে, গণিতবিদ লিওনহার্ড অয়লার কোনিগসবার্গের সাতটি সেতুর বিখ্যাত ধাঁধার সমাধান করেছিলেন, যা গণিতের একটি নতুন ক্ষেত্র - গ্রাফ তত্ত্বের সূচনা করে। প্রাথমিকভাবে, তত্ত্বের কোন প্রয়োগিক তাৎপর্য দেখা যায়নি এবং এটি "শুদ্ধরূপে গাণিতিক" থেকে যায়। যাইহোক, 21 শতকে, গ্রাফ তত্ত্ব বিজ্ঞানের অনেক ক্ষেত্রে এর প্রয়োগ খুঁজে পাচ্ছে। এর সাহায্যে, উদাহরণস্বরূপ, ডিএনএ ডিক্রিপশনের সমস্যা সমাধান করা হয়।

কোনিগসবার্গের সেতু থেকে জিনোম সমাবেশ পর্যন্ত

পৌর স্বায়ত্তশাসিত শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

"মাধ্যমিক বিদ্যালয় নং 6" পার্ম

গণিতের ইতিহাস

কোনিগসবার্গের সেতু সম্পর্কে পুরানো, পুরানো সমস্যা

সম্পূর্ণ করেছেন: Zheleznov Egor,

দশম শ্রেণীর ছাত্র

প্রধান: Orlova E. V.,

গণিত শিক্ষক

2014, পার্ম

ভূমিকা…………………………………………………………………………………………..৩

কোনিগসবার্গ সেতুর ইতিহাস ……………………………………………………………… 4

কোনিগসবার্গের সাতটি সেতুর সমস্যা ………………………………………………………………

এক স্ট্রোক দিয়ে চিত্র অঙ্কন……………………………………….12

উপসংহার………………………………………………………………………………১৫

তথ্যসূত্র………………………………………………………….16

পরিশিষ্ট 1 ……………………………………………………………………………… 18

পরিশিষ্ট 2 ………………………………………………………………………………… ২২

পরিশিষ্ট 3………………………………………………………………………………২৩

পরিশিষ্ট 4 ………………………………………………………………………………২৬

রক্ষণাবেক্ষণ

কোয়েনিগসবার্গ হল কালিনিনগ্রাদের ঐতিহাসিক নাম, রাশিয়ার সবচেয়ে পশ্চিমাঞ্চলের কেন্দ্রস্থল, এটি তার মৃদু জলবায়ু, সৈকত এবং অ্যাম্বার পণ্যের জন্য বিখ্যাত। কালিনিনগ্রাদের একটি সমৃদ্ধ সাংস্কৃতিক ঐতিহ্য রয়েছে। মহান দার্শনিক আই. কান্ট, গল্পকার আর্নস্ট থিওডর অ্যামাডিয়াস হফম্যান, পদার্থবিজ্ঞানী ফ্রাঞ্জ নিউম্যান এবং আরও অনেকে, যাদের নাম বিজ্ঞান ও সৃজনশীলতার ইতিহাসে খোদাই করা আছে, তারা একসময় এখানে বাস করতেন এবং কাজ করতেন। একটি আকর্ষণীয় সমস্যা কোনিগসবার্গের সাথে যুক্ত, তথাকথিত কোনিগসবার্গ সেতু সমস্যা।

আমাদের গবেষণার উদ্দেশ্য:কোনিগবার্গ সেতুর সমস্যার ইতিহাস অধ্যয়ন করুন, এর সমাধান বিবেচনা করুন, গণিতের বিকাশে সমস্যার ভূমিকা খুঁজে বের করুন।

লক্ষ্য অর্জনের জন্য, নিম্নলিখিতগুলি সমাধান করা প্রয়োজন কাজ:

এই বিষয়ে সাহিত্য অধ্যয়ন;

উপাদান পদ্ধতিগত করা;

কন্টগসবার্গ সেতুর সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় এমন সমাধানে সমস্যাগুলি নির্বাচন করুন;

রেফারেন্সের একটি গ্রন্থপঞ্জী তালিকা কম্পাইল করুন।

কোনিগসবার্গে সেতুর ইতিহাস

মধ্যে উদ্ভূত কোনিগসবার্গ শহর (এখন) তিনটি আনুষ্ঠানিকভাবে স্বাধীন শহুরে বসতি এবং আরও কয়েকটি "বসতি" এবং "গ্রাম" নিয়ে গঠিত। তারা দ্বীপ এবং নদীর তীরে অবস্থিত ছিল(এখন প্রিগোলিয়া), শহরটিকে চারটি প্রধান অংশে বিভক্ত করে:, , এবং . ইতিমধ্যে শহরের অংশগুলির মধ্যে যোগাযোগের জন্যনির্মাণ করতে শুরু করে . প্রতিবেশী থেকে ক্রমাগত সামরিক বিপদের কারণেএবং , সেইসাথে Königsberg শহরগুলির মধ্যে গৃহযুদ্ধের কারণে (এ- এমনকি শহরগুলির মধ্যে একটি যুদ্ধও হয়েছিল, এই কারণে যে নাইফফ পোল্যান্ডের পাশে চলে গিয়েছিল এবং আল্টস্টাডট এবং লোবেনিখ্ট অনুগত ছিলেন) ভি কোনিগসবার্গ সেতুগুলির প্রতিরক্ষামূলক গুণাবলী ছিল। প্রতিটি সেতুর সামনে, একটি প্রতিরক্ষামূলক টাওয়ার তৈরি করা হয়েছিল লকযোগ্য উত্তোলন বা ওক দিয়ে তৈরি ডাবল-পাতার গেট এবং পেটা লোহার আস্তরণ দিয়ে। এবং সেতুগুলি নিজেরাই প্রতিরক্ষামূলক কাঠামোর চরিত্র অর্জন করেছিল। কিছু সেতুর স্তম্ভগুলির একটি পঞ্চভুজ আকৃতি ছিল, যা বুরুজের মতো। এই সমর্থনের ভিতরে কেসমেট ছিল। সমর্থনগুলি থেকে এমব্র্যাসারগুলির মাধ্যমে গুলি করা সম্ভব হয়েছিল।

সেতুগুলি ছিল মিছিল, ধর্মীয় ও উৎসবের মিছিলের স্থান এবং তথাকথিত "প্রথম রাশিয়ান সময়" (-) এর বছরগুলিতে, যখন সাত বছরের যুদ্ধের সময় কোনিগসবার্গ সংক্ষিপ্তভাবে শহরের অংশ হয়ে ওঠে, ধর্মীয় মিছিল হয়েছিল। সেতু জুড়ে একবার এই ধরনের একটি ধর্মীয় মিছিল এমনকি প্রেগেল নদীর জলের আশীর্বাদের অর্থোডক্স ছুটির জন্য উত্সর্গীকৃত হয়েছিল, যা কোনিগসবার্গের বাসিন্দাদের মধ্যে প্রকৃত আগ্রহ জাগিয়েছিল।

19 শতকের শেষের দিকে, কোনিগসবার্গে 7টি প্রধান সেতু নির্মিত হয়েছিল (পরিশিষ্ট 1)।

সাতটি সেতুর মধ্যে প্রাচীনতম দোকানসেতু(Krämerbrücke / Krämer-brücke)। এটি 1286 সালে নির্মিত হয়েছিল। সেতুর নাম নিজেই কথা বলে। এর সংলগ্ন চত্বরটি ছিল জীবন্ত বাণিজ্যের স্থান। এটি মধ্যযুগীয় দুটি শহর Altstadt এবং Kneiphof কে সংযুক্ত করেছে। এটি অবিলম্বে পাথরে নির্মিত হয়েছিল। 1900 সালে এটি পুনর্নির্মাণ করা হয়েছিল এবং সামঞ্জস্যযোগ্য করা হয়েছিল। সেতুর উপর দিয়ে ট্রাম চলতে শুরু করে। যুদ্ধের সময় এটি ব্যাপকভাবে ক্ষতিগ্রস্ত হয়েছিল, কিন্তু 1972 সালে এটি ভেঙে না যাওয়া পর্যন্ত পুনরুদ্ধার করা হয়েছিল।

দ্বিতীয় প্রবীণ ছিলেনসবুজ সেতু (গ্রুন ব্রুক/গ্রুন-ব্রুক). এটি নির্মিত হয়েছিল. এই সেতুটি প্রেগেলের দক্ষিণ তীরের সাথে নাইফোফ দ্বীপকে সংযুক্ত করেছিল। এটিও পাথরের তৈরি এবং তিনটি স্প্যান ছিল। 1907 সালে, সেতুটি পুনর্নির্মাণ করা হয়েছিল, মধ্যবর্তী স্প্যানটি চলমান হয়ে ওঠে এবং ট্রামগুলি এটি বরাবর চলতে শুরু করে। যুদ্ধের সময়, এই সেতুটি খারাপভাবে ক্ষতিগ্রস্ত হয়েছিল, এটি পুনরুদ্ধার করা হয়েছিল এবং 1972 সালে এটি ভেঙে ফেলা হয়েছিল।সেতুটির নামটি এসেছে রঙের রঙ থেকে যা ঐতিহ্যগতভাবে সেতুর সমর্থন এবং স্প্যান আঁকার জন্য ব্যবহৃত হত। INগ্রিন ব্রিজে, একজন বার্তাবাহক চিঠিগুলি বিতরণ করেছিলেন যা কোনিগসবার্গে পৌঁছেছিল। চিঠিপত্রের প্রত্যাশায় শহরের ব্যবসায়ীরা এখানে জড়ো হন। এখানে, মেইলের জন্য অপেক্ষা করার সময়, তারা তাদের বিষয়গুলি নিয়ে আলোচনা করেছিল। এটা আশ্চর্যজনক নয় যে এটি গ্রীন ব্রিজের আশেপাশে রয়েছেKönigsberg বাণিজ্য কেন্দ্র নির্মিত হয়েছিল. IN প্রেগেলের অন্য তীরে, তবে গ্রিন ব্রিজের কাছাকাছিও, ট্রেডিং এক্সচেঞ্জের একটি নতুন বিল্ডিং তৈরি করা হয়েছিল, যা আজও টিকে আছে (বর্তমানে নাবিকদের সংস্কৃতির প্রাসাদ)।1972 সালে, ইস্তাকাদনি সেতুটি সবুজ এবং লাভোচনি সেতুর পরিবর্তে নির্মিত হয়েছিল।

Lavochny এবং Zeleny নির্মিত হয়েছিল পরেকাজের সেতু (Koettelbrucke / Kettel বা Kittel-brücke), এছাড়াও Kneiphof এবং Forstadt কে সংযুক্ত করে। কখনও কখনও নামটি জিবলেট ব্রিজ হিসাবেও অনুবাদ করা হয়। উভয় অনুবাদ বিকল্প আদর্শ নয়, যেহেতু জার্মান নামটি এসেছেএবং রাশিয়ান ভাষায় এর অর্থ প্রায় "কর্মী, সহায়ক, আবর্জনা পরিবহনের উদ্দেশ্যে" ইত্যাদি। এই সেতু ছিলনির্মিত . এটি নোইফোফ শহরকে ফরস্টাডট শহরতলির সাথে সংযুক্ত করেছে। সেতুটি ছিল অর্ধেক পাথরের, এবং স্প্যানগুলি ছিল কাঠের ডেক। 1621 সালে, একটি তীব্র বন্যার সময়, সেতুটি ছিঁড়ে নদীতে নিয়ে যায়। সেতুটি তার জায়গায় ফিরিয়ে দেওয়া হয়েছে। 1886 সালে এটি একটি নতুন, ইস্পাত, তিন-স্প্যান, চলমান একটি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছিল। এর সাথে ট্রামও ছুটেছে। এ সময় সেতুটি ধ্বংস হয়ে যায়এবং পরে পুনরুদ্ধার করা হয়নি।

Königsberg এর সাতটি সেতু - উইকিপিডিয়া (ru/wikipedia .ord)

গ্রাফ তত্ত্ব – ওয়েবসাইট www .ref .by /refs

পরিশিষ্ট 1

ল্যাভোচনি ব্রিজ

সবুজ সেতু

জিবলেট ব্রিজ

কুজনেচনি ব্রিজ

কাঠের সেতু

উঁচু সেতু

মধু সেতু। এর সাইড ভিউ

সাবেক ড্রব্রিজ।

মধু সেতু। সামঞ্জস্যযোগ্য প্রক্রিয়ার অবশেষ।

কায়সার সেতু

পরিশিষ্ট 2

লিওনার্ড অয়লার

এন জার্মান এবং রাশিয়ান গণিতবিদ, মেকানিক এবং পদার্থবিদ। জন্ম 15 এপ্রিল, 1707 বাসেলে। তিনি বাসেল বিশ্ববিদ্যালয়ে (1720-1724) অধ্যয়ন করেন, যেখানে তার শিক্ষক ছিলেন জোহান বার্নোলি। 1722 সালে তিনি মাস্টার অফ আর্টস ডিগ্রী লাভ করেন। 1727 সালে তিনি সেন্ট পিটার্সবার্গে চলে যান, নতুন প্রতিষ্ঠিত একাডেমি অফ সায়েন্সেস অ্যান্ড আর্টসে সহযোগী অধ্যাপক হিসেবে পদ লাভ করেন। 1730 সালে তিনি পদার্থবিদ্যার অধ্যাপক হন, 1733 সালে - গণিতের অধ্যাপক। সেন্ট পিটার্সবার্গে তার প্রথম অবস্থানের 14 বছরে, অয়লার 50 টিরও বেশি রচনা প্রকাশ করেছিলেন। 1741-1766 সালে ফ্রেডরিক II-এর বিশেষ পৃষ্ঠপোষকতায় বার্লিন একাডেমি অফ সায়েন্সেস-এ কাজ করেন এবং বিশুদ্ধ এবং ফলিত গণিতের সমস্ত বিভাগকে অন্তর্ভুক্ত করে অনেক প্রবন্ধ লিখেছেন। 1766 সালে, দ্বিতীয় ক্যাথরিনের আমন্ত্রণে, অয়লার রাশিয়ায় ফিরে আসেন। সেন্ট পিটার্সবার্গে আসার পরপরই, তিনি ছানিজনিত কারণে সম্পূর্ণরূপে দৃষ্টিশক্তি হারিয়ে ফেলেন, কিন্তু তার চমৎকার স্মৃতিশক্তি এবং মানসিক গণনা করার ক্ষমতার জন্য ধন্যবাদ, তিনি তার জীবনের শেষ অবধি বৈজ্ঞানিক গবেষণায় নিযুক্ত ছিলেন: এই সময়ে তিনি তার সম্পর্কে প্রকাশ করেন। 400টি কাজ, যার মোট সংখ্যা 850 ছাড়িয়ে গেছে। অয়লার সেন্ট পিটার্সবার্গে 18 সেপ্টেম্বর, 1783 সালে মারা যান।

অয়লারের কাজগুলি লেখকের অসাধারণ বহুমুখীতার সাক্ষ্য দেয়। মহাকাশীয় বলবিদ্যার উপর তাঁর গ্রন্থ "গ্রহ ও ধূমকেতুর গতির তত্ত্ব" ব্যাপকভাবে পরিচিত। হাইড্রলিক্স, জাহাজ নির্মাণ, আর্টিলারি বইয়ের লেখক। অয়লার বিশুদ্ধ গণিতের গবেষণার জন্য সবচেয়ে বেশি পরিচিত ছিলেন।

পরিশিষ্ট 3

কাজ

জেড
সমস্যা 1(লেনিনগ্রাদের সেতু সম্পর্কে সমস্যা)। সেন্ট পিটার্সবার্গের হাউস অফ এন্টারটেইনিং সায়েন্সের হলগুলির একটিতে, দর্শকদের শহরের সেতুগুলির একটি চিত্র (চিত্র) দেখানো হয়েছিল৷ সেন্ট পিটার্সবার্গে অবস্থিত নেভা দ্বীপ এবং তীর সংযোগকারী সমস্ত 17টি সেতুর চারপাশে যাওয়া দরকার ছিল। আপনাকে চারপাশে যেতে হবে যাতে প্রতিটি সেতু একবার পার হয়।

এবং ব্লকগুলি কেটে ফেলা,

হঠাৎ অন্ধকার থেকে উঠে আসা

সেন্ট পিটার্সবার্গ খাল,

সেন্ট পিটার্সবার্গ ব্রিজ!

(এন। অগ্নিভৎসেভ)

ডি প্রমাণ করুন যে সেই সময়ের সেন্ট পিটার্সবার্গের সমস্ত সেতুর প্রয়োজনীয় ইউনিকারসাল বাইপাস সম্ভব, কিন্তু বন্ধ করা যাবে না, অর্থাৎ শেষ. শীর্ষবিন্দু v1 এবং v2 এর মধ্যে প্রতিটি অনির্দেশিত প্রান্ত v1 থেকে উভয় দিকে নিয়ে যায় যে বিন্দু থেকে এটি শুরু হয়েছিল।

টাস্ক 2।হ্রদে সাতটি দ্বীপ রয়েছে, যেগুলো ছবির মতো একে অপরের সঙ্গে যুক্ত। একটি নৌকা ভ্রমণকারীদের কোন দ্বীপে নিয়ে যাওয়া উচিত যাতে তারা প্রতিটি সেতু এবং শুধুমাত্র একবার অতিক্রম করতে পারে? কেন যাত্রীদের দ্বীপ এ পরিবহন করা যাবে না? 17

জেড ভাগ্য 3। (গুপ্তধনের সন্ধানে) .

চিত্রে। একটি অন্ধকূপের একটি পরিকল্পনা চিত্রিত করে, যার একটি কক্ষে নাইটের সম্পদ লুকানো আছে। নিরাপদে এই ঘরে প্রবেশ করতে, আপনাকে অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট গেট দিয়ে অন্ধকূপের বাইরের কক্ষগুলির মধ্যে একটিতে প্রবেশ করতে হবে, অ্যালার্মটি বন্ধ করে ক্রমানুসারে 29টি দরজা দিয়ে যেতে হবে। আপনি একই দরজা দিয়ে দুবার যেতে পারবেন না। যে ঘরে ধন লুকানো আছে তার সংখ্যা নির্ধারণ করুন এবং যে গেট দিয়ে আপনাকে প্রবেশ করতে হবে? 20

জেড

সমস্যা 4. পাভলিক, একজন আগ্রহী সাইক্লিস্ট, চকবোর্ডে এলাকা এবং গ্রামের পরিকল্পনার অংশ আঁকেন (চিত্র 8), যেখানে তিনি গত গ্রীষ্মে থাকতেন। পাভলিকের গল্প অনুসারে, ওয়া নদীর তীরে অবস্থিত গ্রাম থেকে খুব দূরে, ভূগর্ভস্থ স্প্রিংস দ্বারা খাওয়ানো একটি ছোট গভীর হ্রদ রয়েছে। ওয়া এর উৎপত্তি, যা গ্রামের প্রবেশদ্বারে দুটি পৃথক নদীতে বিভক্ত, একটি প্রাকৃতিক চ্যানেল দ্বারা সংযুক্ত যাতে একটি সবুজ ধারালোwok(অক্ষর দিয়ে চিহ্নিত চিত্রেক) একটি সৈকত এবং ক্রীড়া মাঠ সহ। ডালেকওগ্রামের পিছনে, উভয় নদী একত্রিত হয়ে একটি প্রশস্ত নদী তৈরি করেছে। পাভলিক দাবি করেন যে খেলাধুলা থেকে সাইকেলে ফিরে আসার সময়দ্বীপে অবস্থিত সাইট, বাড়ি (ছবিতে চিঠিটিডি ), তিনি পরিকল্পনায় দেখানো আটটি সেতুর উপর দিয়ে একবার চলে যান, কখনও তার চলাচলে বাধা না দিয়ে। এই ধরনের ধাঁধার তত্ত্বে আমাদের বিশেষজ্ঞরা অক্ষর দিয়ে চিহ্নিত করেছেনA, B, C, ডি গ্রামের অংশগুলি, একটি নদী দ্বারা পৃথক করা হয়েছে (বিভাগগুলি নেটওয়ার্কের নোড, সেতুগুলি শাখা) এবং প্রতিষ্ঠিত হয়েছে যে ইউনিকার্সাল রুটটি শুরু হচ্ছেক (বিজোড় নোড), সম্ভব, তবে এটি অবশ্যই বি-তে শেষ হবে - দ্বিতীয় বিজোড় নোডে, অন্য দুটি নোডসঙ্গে এবংডি - এমনকি কিন্তু পাভলিক সত্য বলছে: তার পথ থেকেক ভিডি সত্যিই সব আটটি সেতু বরাবর দৌড়ে এবং ইউনিকার্শাল ছিল. এখানে কি ব্যাপার? আপনি কি মনে করেন?

জেড সমস্যা 5 . ইংরেজ গণিতবিদ এল. ক্যারল (বিশ্ববিখ্যাত বই "অ্যালিস ইন ওয়ান্ডারল্যান্ড", "এলিস থ্রু দ্য লুকিং গ্লাস" ইত্যাদির লেখক) তার ছোট বন্ধুদের একটি চিত্রের চারপাশে হাঁটার জন্য একটি ধাঁধা জিজ্ঞাসা করতে পছন্দ করতেন (চিত্র 9)কলমের একক স্ট্রোক দিয়ে এবং কনট্যুরের কোনো অংশ দিয়ে দুইবার না গিয়ে। লাইন ক্রসিং অনুমোদিত ছিল. এই সমস্যা সহজভাবে সমাধান করা যেতে পারে।

আসুন এটিকে একটি অতিরিক্ত প্রয়োজনের সাথে জটিল করি: একটি নোডের মাধ্যমে প্রতিটি স্থানান্তরের সাথে (চিত্রে লাইনের ছেদ বিন্দুগুলিকে নোড হিসাবে বিবেচনা করে), ট্র্যাভার্সালের দিকটি 90° দ্বারা পরিবর্তিত হতে হবে। (যেকোনো নোড থেকে একটি ট্রাভার্সাল শুরু করে, আপনাকে 23টি বাঁক নিতে হবে) 6 .

সমস্যা 6 . (জারে মাছি) A fly climbed into a sugar jar. বয়াম একটি ঘনক আকৃতি আছে. একটি মাছি কি একই প্রান্তে দুবার না গিয়ে ক্রমানুসারে একটি ঘনক্ষেত্রের 12টি প্রান্তের চারপাশে যেতে পারে? জায়গায় জায়গায় লাফ দেওয়া এবং উড়ে যাওয়া অনুমোদিত নয়। 22

জেড সমস্যা 7 . ছবিতে একটি পাখি দেখা যাচ্ছে। এটা কি এক স্ট্রোক দিয়ে আঁকা সম্ভব?

জেড সমস্যা 8 . চালুচিত্র 10 অয়লারের প্রতিকৃতিগুলির একটির একটি স্কেচ দেখায়। শিল্পী কলমের এক স্ট্রোক দিয়ে এটি পুনরুত্পাদন করেছেন (শুধু চুল আলাদাভাবে আঁকা হয়)। চিত্রে ইউনিকার্সাল কনট্যুরের শুরু এবং শেষ কোথায় অবস্থিত? শিল্পীর কলমের নড়াচড়ার পুনরাবৃত্তি করুন (অঙ্কনে চুল এবং বিন্দুযুক্ত রেখা অন্তর্ভুক্ত নয়ভিচক্কর পথ) 6 .

চিত্র 10

জেড

ভাগ্য 9. এক স্ট্রোক দিয়ে নিম্নলিখিত আকারগুলি আঁকুন। (এই ধরনের পরিসংখ্যানকে বলা হয় ইউনিকারসাল (ল্যাটিন ইউনাস থেকে - এক, কার্সাস - পথ))।

পরিশিষ্ট 4

সমস্যা সমাধান

1

.

3 . সমাধান করার জন্য, আপনাকে একটি গ্রাফ তৈরি করতে হবে, যেখানে শীর্ষগুলি হল ঘরের সংখ্যা এবং প্রান্তগুলি হল দরজা৷

বিজোড় শীর্ষবিন্দু: 6, 18. যেহেতু বিজোড় শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = 2, ধনসম্পদ সহ নিরাপদে ঘরে প্রবেশ করা সম্ভব।

আপনাকে গেট দিয়ে যাত্রা শুরু করতে হবে IN, এবং রুমে শেষ 18 .

5. প্রয়োজনীয় বাইপাসের একটি উদাহরণ চিত্রে দেওয়া হয়েছে

6 . ঘনক্ষেত্রের প্রান্ত এবং শীর্ষবিন্দুগুলি একটি গ্রাফ তৈরি করে, যার সবকটি 8টি শীর্ষবিন্দুর 3 গুণ রয়েছে এবং তাই, শর্ত দ্বারা প্রয়োজনীয় ট্রাভার্সাল অসম্ভব।

7. রেখার ছেদ বিন্দুগুলিকে গ্রাফের শীর্ষবিন্দু হিসাবে নিলে, আমরা 7টি শীর্ষবিন্দু পাই, যার মধ্যে মাত্র দুটির একটি বিজোড় ডিগ্রি রয়েছে। অতএব, এই গ্রাফে একটি অয়লার পথ রয়েছে, যার অর্থ হল এটি (অর্থাৎ, পাখি) এক স্ট্রোক দিয়ে আঁকা যায়। আপনাকে একটি বিজোড় শীর্ষে পথটি শুরু করতে হবে এবং অন্যটিতে শেষ করতে হবে।

8. আপনাকে ডান চোখের কোণে বিজোড় নোড থেকে ট্রাভার্সাল শুরু করতে হবে এবং বাম চোখের উপরে ভ্রুর বিজোড় নোডে শেষ করতে হবে (ডটেড লাইনগুলি নেটওয়ার্কে অন্তর্ভুক্ত নয়)। চিত্রের অন্যান্য সমস্ত নোড সমান।

9 .