জ্ঞান মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফগুণন সারণী জানার চেয়ে কম গুরুত্বপূর্ণ নয়। তারা ভিত্তির মতো, সবকিছু তাদের উপর ভিত্তি করে, সবকিছু তাদের থেকে নির্মিত এবং সবকিছু তাদের কাছে নেমে আসে।
এই নিবন্ধে আমরা সমস্ত প্রধান প্রাথমিক ফাংশন তালিকাভুক্ত করব, তাদের গ্রাফ প্রদান করব এবং উপসংহার বা প্রমাণ ছাড়াই দেব। মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন বৈশিষ্ট্যস্কিম অনুযায়ী:
- সংজ্ঞার ডোমেনের সীমানায় একটি ফাংশনের আচরণ, উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটস (যদি প্রয়োজন হয়, একটি ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা পয়েন্টগুলির নিবন্ধ শ্রেণীবিভাগ দেখুন);
- জোড় এবং বিজোড়;
- উত্তলতার ব্যবধান (উর্ধ্বমুখী উত্তল) এবং উত্তলতা (নিম্নমুখী), প্রবর্তন বিন্দু (যদি প্রয়োজন হয়, নিবন্ধটি একটি ফাংশনের উত্তলতা, উত্তলতার দিক, প্রবর্তন বিন্দু, উত্তল এবং প্রবর্তনের শর্তগুলি দেখুন);
- ঝোঁক এবং অনুভূমিক উপসর্গ;
- ফাংশন একক পয়েন্ট;
- কিছু ফাংশনের বিশেষ বৈশিষ্ট্য (উদাহরণস্বরূপ, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক সময়কাল)।
আপনি যদি আগ্রহী হন বা, তাহলে আপনি তত্ত্বের এই বিভাগে যেতে পারেন।
মৌলিক প্রাথমিক ফাংশনহল: ধ্রুবক ফাংশন (ধ্রুবক), nth রুট, পাওয়ার ফাংশন, সূচকীয়, লগারিদমিক ফাংশন, ত্রিকোণমিতিক এবং বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
স্থায়ী ফাংশন।
একটি ধ্রুবক ফাংশন সূত্র দ্বারা সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে C হল কিছু বাস্তব সংখ্যা। একটি ধ্রুবক ফাংশন স্বাধীন ভেরিয়েবল x-এর প্রতিটি বাস্তব মানকে নির্ভরশীল ভেরিয়েবল y-এর একই মানের সাথে যুক্ত করে - মান C। একটি ধ্রুবক ফাংশন একটি ধ্রুবক বলা হয়.
একটি ধ্রুবক ফাংশনের গ্রাফ হল x-অক্ষের সমান্তরাল একটি সরল রেখা এবং স্থানাঙ্ক (0,C) সহ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। উদাহরণ হিসেবে, আমরা y=5, y=-2 এবং নিচের চিত্রে যথাক্রমে কালো, লাল এবং নীল রেখার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ধ্রুবক ফাংশনের গ্রাফ দেখাব।
একটি ধ্রুবক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
- ডোমেইন: বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট।
- ধ্রুবক ফাংশন সমান।
- মানের পরিসীমা: সমন্বিত সেট একবচনসঙ্গে।
- একটি ধ্রুবক ফাংশন অ-ক্রমবর্ধমান এবং অ-হ্রাস (তাই এটি ধ্রুবক)।
- ধ্রুবকের উত্তলতা এবং অবতলতা সম্পর্কে কথা বলার কোন মানে নেই।
- কোন উপসর্গ নেই.
- ফাংশনটি স্থানাঙ্ক সমতলের বিন্দু (0,C) এর মধ্য দিয়ে যায়।
nম ডিগ্রির মূল।
আসুন প্রাথমিক প্রাথমিক ফাংশন বিবেচনা করি, যা সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে n – স্বাভাবিক সংখ্যা, একের বেশি
nম ডিগ্রির মূল, n একটি জোড় সংখ্যা।
রুট সূচক n এর জোড় মানের জন্য nth root ফাংশন দিয়ে শুরু করা যাক।
উদাহরণ হিসাবে, এখানে ফাংশন গ্রাফের ছবি সহ একটি ছবি রয়েছে 
এবং , তারা কালো, লাল এবং নীল রেখার সাথে মিলে যায়।
সম-ডিগ্রী রুট ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি এক্সপোনেন্টের অন্যান্য মানের জন্য একই রকমের উপস্থিতি রয়েছে।
জোড় n-এর জন্য nম রুট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
nম মূল, n একটি বিজোড় সংখ্যা।
একটি বিজোড় মূল সূচক n সহ nম মূল ফাংশনটি বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এখানে ফাংশন গ্রাফ আছে 
এবং, তারা কালো, লাল এবং নীল বক্ররেখার সাথে মিলে যায়।
রুট এক্সপোনেন্টের অন্যান্য বিজোড় মানের জন্য, ফাংশন গ্রাফগুলির একটি অনুরূপ চেহারা থাকবে।
বিজোড় n-এর জন্য nম রুট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
পাওয়ার ফাংশন।
পাওয়ার ফাংশনফর্মের একটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়।
আসুন একটি পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ফর্ম এবং সূচকের মানের উপর নির্ভর করে একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করি।
একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক a সহ একটি পাওয়ার ফাংশন দিয়ে শুরু করা যাক। এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফগুলির উপস্থিতি এবং ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি সূচকের সমানতা বা বিজোড়তার পাশাপাশি তার চিহ্নের উপর নির্ভর করে। অতএব, আমরা প্রথমে a এর সূচকের বিজোড় ধনাত্মক মানের জন্য পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করব, তারপর জোড় ধনাত্মক সূচকের জন্য, তারপর বিজোড় ঋণাত্মক সূচকের জন্য এবং অবশেষে, জোড় ঋণাত্মক a-এর জন্য।
ভগ্নাংশ এবং অযৌক্তিক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য (পাশাপাশি এই ধরনের পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ধরন) সূচক a-এর মানের উপর নির্ভর করে। আমরা সেগুলি বিবেচনা করব, প্রথমত, শূন্য থেকে এক, দ্বিতীয়ত, একের বেশির জন্য, তৃতীয়ত, বিয়োগ এক থেকে শূন্যের জন্য, চতুর্থত, বিয়োগের চেয়ে কম।
এই বিভাগের শেষে, সম্পূর্ণতার জন্য, আমরা শূন্য সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বর্ণনা করব।
বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।
আসুন একটি বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করি, অর্থাৎ a = 1,3,5,... সহ।
নীচের চিত্রটি পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় - কালো লাইন, - নীল লাইন, - লাল লাইন, - সবুজ লাইন। a=1 এর জন্য আমাদের আছে লিনিয়ার ফাংশন y=x।
একটি বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
এমনকি ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।
আসুন একটি জোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করি, অর্থাৎ a = 2,4,6,... এর জন্য।
উদাহরণ হিসাবে, আমরা পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দিই - কালো লাইন, - নীল লাইন, - লাল লাইন। a=2 এর জন্য আমাদের আছে দ্বিঘাত ফাংশন, যার গ্রাফ চতুর্মুখী প্যারাবোলা.
একটি জোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
বিজোড় ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।
বিজোড়ের জন্য পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফগুলি দেখুন নেতিবাচক মানসূচক, অর্থাৎ, a = -1, -3, -5,... এর জন্য।
চিত্রটি উদাহরণ হিসাবে পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় - কালো লাইন, - নীল লাইন, - লাল লাইন, - সবুজ লাইন। a=-1 এর জন্য আমাদের আছে বিপরীত সমানুপাতিকতা, যার গ্রাফ হাইপারবোলা.
একটি বিজোড় ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
এমনকি ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।
চলুন a=-2,-4,-6,... এর জন্য পাওয়ার ফাংশনে এগিয়ে যাই।
চিত্রটি পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় - কালো রেখা, - নীল রেখা, - লাল রেখা৷
এমনকি ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
একটি যৌক্তিক বা অযৌক্তিক সূচক সহ একটি শক্তি ফাংশন যার মান শূন্যের চেয়ে বেশি এবং একের চেয়ে কম।
মনোযোগ দিন!যদি a একটি বিজোড় হর সহ একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ হয়, তবে কিছু লেখক শক্তি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনটিকে ব্যবধান হিসাবে বিবেচনা করেন। এটি নির্ধারিত হয় যে সূচক a একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ। এখন বীজগণিতের অনেক পাঠ্যপুস্তকের লেখক এবং বিশ্লেষণের সূচনা যুক্তির নেতিবাচক মানগুলির জন্য একটি বিজোড় হর সহ একটি ভগ্নাংশের আকারে একটি সূচকের সাথে পাওয়ার ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেন না। আমরা সুনির্দিষ্টভাবে এই দৃষ্টিভঙ্গি মেনে চলব, অর্থাৎ, আমরা সেটটিকে ভগ্নাংশীয় ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হিসাবে বিবেচনা করব। আমরা সুপারিশ করি যে শিক্ষার্থীরা মতবিরোধ এড়াতে এই সূক্ষ্ম পয়েন্টে আপনার শিক্ষকের মতামত খুঁজে বের করুন।
আসুন আমরা একটি মূলদ বা অযৌক্তিক সূচক a, এবং সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করি।
আসুন a=11/12 (কালো রেখা), a=5/7 (লাল রেখা), (নীল রেখা), a=2/5 (সবুজ লাইন) এর জন্য পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করি।
অ-পূর্ণসংখ্যা মূলদ বা অযৌক্তিক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন একের বেশি।
আসুন একটি অ-পূর্ণসংখ্যা মূলদ বা অযৌক্তিক সূচক a, এবং সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করি।
সূত্র দ্বারা প্রদত্ত পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করা যাক 
(যথাক্রমে কালো, লাল, নীল এবং সবুজ লাইন)।
সূচক a এর অন্যান্য মানের জন্য, ফাংশনের গ্রাফগুলি একই রকম হবে।
এ পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
একটি বাস্তব সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন যা বিয়োগ এক থেকে বড় এবং শূন্যের চেয়ে কম।
মনোযোগ দিন!যদি a একটি বিজোড় হর সহ একটি ঋণাত্মক ভগ্নাংশ হয়, তবে কিছু লেখক একটি পাওয়ার ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনটিকে ব্যবধান হিসাবে বিবেচনা করেন 
. এটি নির্ধারিত হয় যে সূচক a একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ। এখন বীজগণিতের অনেক পাঠ্যপুস্তকের লেখক এবং বিশ্লেষণের সূচনা যুক্তির নেতিবাচক মানগুলির জন্য একটি বিজোড় হর সহ একটি ভগ্নাংশের আকারে একটি সূচকের সাথে পাওয়ার ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেন না। আমরা সুনির্দিষ্টভাবে এই দৃষ্টিভঙ্গি মেনে চলব, অর্থাৎ, আমরা ভগ্নাংশ ভগ্নাংশ ঋণাত্মক সূচক সহ শক্তি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনগুলিকে যথাক্রমে একটি সেট হিসাবে বিবেচনা করব। আমরা সুপারিশ করি যে শিক্ষার্থীরা মতবিরোধ এড়াতে এই সূক্ষ্ম পয়েন্টে আপনার শিক্ষকের মতামত খুঁজে বের করুন।
চলুন পাওয়ার ফাংশন এগিয়ে চলুন, kgod.
পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফের ফর্ম সম্পর্কে ভাল ধারণা পেতে, আমরা ফাংশনের গ্রাফগুলির উদাহরণ দিই 
(যথাক্রমে কালো, লাল, নীল এবং সবুজ বক্ররেখা)।
সূচক a, সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
একটি অ-পূর্ণসংখ্যা বাস্তব সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন যা বিয়োগ এক থেকে কম।
এর জন্য পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের উদাহরণ দেওয়া যাক 
, তারা যথাক্রমে কালো, লাল, নীল এবং সবুজ লাইন দ্বারা চিত্রিত হয়।
বিয়োগ একের চেয়ে কম অ-পূর্ণসংখ্যা ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
যখন a = 0, তখন আমাদের একটি ফাংশন থাকে - এটি একটি সরল রেখা যা থেকে বিন্দু (0;1) বাদ দেওয়া হয় (এটি 0 0 অভিব্যক্তিতে কোনো তাৎপর্য সংযুক্ত না করার জন্য সম্মত হয়েছিল)।
সূচকীয় ফাংশন।
প্রধান প্রাথমিক ফাংশনগুলির মধ্যে একটি হল সূচকীয় ফাংশন।
সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ, যেখানে এবং ভিত্তি a এর মানের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন রূপ নেয়। আসুন এটি বের করা যাক।
প্রথমত, কেসটি বিবেচনা করুন যখন সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তিটি শূন্য থেকে এক মান নেয়, অর্থাৎ,।
উদাহরণ হিসেবে, আমরা একটি = 1/2 – নীল রেখা, a = 5/6 – লাল রেখার জন্য সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করি। সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফগুলি ব্যবধান থেকে বেসের অন্যান্য মানের জন্য অনুরূপ চেহারা আছে।
একের চেয়ে কম বেস সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি যখন একের চেয়ে বড় হয়, তখন আমরা সেই ক্ষেত্রে এগিয়ে যাই।
একটি উদাহরণ হিসাবে, আমরা সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করি - নীল রেখা এবং - লাল রেখা। একের বেশি বেসের অন্যান্য মানের জন্য, সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফগুলি একই রকম হবে।
একের বেশি বেস সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।
লগারিদমিক ফাংশন।
পরবর্তী প্রধান প্রাথমিক ফাংশনএকটি লগারিদমিক ফাংশন, যেখানে , . লগারিদমিক ফাংশনটি শুধুমাত্র আর্গুমেন্টের ইতিবাচক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ এর জন্য।
একটি লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফটি ভিত্তি a এর মানের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন রূপ নেয়।
সূচকীয় ফাংশন a এর সমান n সংখ্যার গুণফলের একটি সাধারণীকরণ:
y (n) = a n = a·a·a··a,
বাস্তব সংখ্যা x এর সেটে:
y (x) = কুঠার.
এখানে a একটি নির্দিষ্ট বাস্তব সংখ্যা, যাকে বলা হয় সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি.
বেস a সহ একটি সূচকীয় ফাংশনও বলা হয় বেসের সূচক a.
সাধারণীকরণ নিম্নরূপ বাহিত হয়.
প্রাকৃতিক x = জন্য 1, 2, 3,...
, সূচকীয় ফাংশন হল x ফ্যাক্টরের গুণফল:
.
অধিকন্তু, এটির বৈশিষ্ট্য (1.5-8) (), যা সংখ্যাকে গুণ করার নিয়ম থেকে অনুসরণ করে। পূর্ণসংখ্যার শূন্য এবং ঋণাত্মক মানের জন্য, সূচকীয় ফাংশন সূত্র (1.9-10) ব্যবহার করে নির্ধারিত হয়। ভগ্নাংশের মানের জন্য x = m/n মূলদ সংখ্যা, , এটি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় (1.11)। বাস্তবের জন্য, সূচকীয় ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ক্রম সীমা:
,
যেখানে মূলদ সংখ্যার একটি নির্বিচারে ক্রম x এ রূপান্তরিত হয়:
এই সংজ্ঞার সাথে, সূচকীয় ফাংশনটি সকলের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং প্রাকৃতিক x-এর মতো বৈশিষ্ট্যগুলি (1.5-8) সন্তুষ্ট করে।
একটি সূচকীয় ফাংশনের সংজ্ঞা এবং এর বৈশিষ্ট্যের প্রমাণের একটি কঠোর গাণিতিক সূত্র "একটি সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্যের সংজ্ঞা এবং প্রমাণ" পৃষ্ঠায় দেওয়া হয়েছে।
সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য
সূচকীয় ফাংশন y = a x এর বাস্তব সংখ্যার সেটে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে ():
(1.1)
সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন, সকলের জন্য;
(1.2)
একটি ≠ এর জন্য 1
অনেক অর্থ আছে;
(1.3)
কঠোরভাবে বৃদ্ধি পায়, কঠোরভাবে হ্রাস পায়,
স্থির থাকে;
(1.4)
এ ;
এ ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
অন্যান্য দরকারী সূত্র.
.
একটি ভিন্ন সূচক বেস সহ একটি সূচকীয় ফাংশনে রূপান্তর করার সূত্র:
যখন b = e, আমরা সূচকের মাধ্যমে সূচকীয় ফাংশনের অভিব্যক্তি পাই:
ব্যক্তিগত মান
, , , , .
চিত্রটি সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ দেখায়
y (x) = কুঠার
চারটি মানের জন্য ডিগ্রী বেস: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
এবং একটি = 1/8
. 1
এটি একটি > জন্য যে দেখা যায় 0
< a < 1
সূচকীয় ফাংশন একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়। A ডিগ্রির ভিত্তি যত বড় হবে, বৃদ্ধি তত শক্তিশালী হবে। এ
সূচকীয় ফাংশন একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়। সূচক a যত ছোট হবে, তত শক্তিশালী হ্রাস পাবে।
আরোহী, অবরোহ
| এর জন্য সূচকীয় ফাংশনটি কঠোরভাবে একঘেয়ে এবং তাই এর কোন চরমতা নেই। এর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি টেবিলে উপস্থাপন করা হয়েছে। 1 | y = a x , a > 0 < a < 1 | |
| y = কুঠার, | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| সংজ্ঞার ডোমেন | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| মান পরিসীমা | একঘেয়ে | একঘেয়ে বেড়ে যায় |
| একঘেয়ে কমে যায় 0 | শূন্য, y = | শূন্য, y = |
| না 0 | অর্ডিনেট অক্ষের সাথে ইন্টারসেপ্ট পয়েন্ট, x = 1 | অর্ডিনেট অক্ষের সাথে ইন্টারসেপ্ট পয়েন্ট, x = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
y=
বেস a সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের বিপরীত হল a-এর লগারিদম।
যদি, তাহলে
.
যদি, তাহলে
.
একটি সূচকীয় ফাংশনের পার্থক্য
একটি সূচকীয় ফাংশন পার্থক্য করার জন্য, এর বেসটি সংখ্যা ই কমাতে হবে, ডেরিভেটিভের সারণী এবং পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করতে হবে জটিল ফাংশন.
এটি করার জন্য আপনাকে লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে হবে
এবং ডেরিভেটিভ টেবিল থেকে সূত্র:
.
একটি সূচকীয় ফাংশন দেওয়া যাক:
.
আমরা এটিকে বেস ই এ নিয়ে আসি:
জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়মটি প্রয়োগ করা যাক। এটি করার জন্য, পরিবর্তনশীল পরিচয় করিয়ে দিন
তারপর
ডেরিভেটিভের সারণী থেকে আমাদের আছে (এক্স পরিবর্তনশীলকে z দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন):
.
যেহেতু একটি ধ্রুবক, x এর সাপেক্ষে z এর ডেরিভেটিভ সমান
.
একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে:
.
একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ
.
nম অর্ডারের ডেরিভেটিভ:
.
সূত্র প্রাপ্ত করা >>>
একটি সূচকীয় ফাংশন পার্থক্য করার একটি উদাহরণ
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
অর্ডিনেট অক্ষের সাথে ইন্টারসেপ্ট পয়েন্ট, x = 3 5 x
সমাধান
e সংখ্যার মাধ্যমে সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি প্রকাশ করি।
3 = e ln 3
তারপর
.
একটি ভেরিয়েবল লিখুন
.
তারপর
ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে আমরা খুঁজে পাই:
.
যেহেতু 5ln 3একটি ধ্রুবক, তাহলে x এর সাপেক্ষে z এর ডেরিভেটিভ সমান:
.
একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে, আমাদের আছে:
.
উত্তর
অখণ্ড
জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে অভিব্যক্তি
ফাংশন বিবেচনা করুন জটিল সংখ্যা z:
চ (z) = a z
যেখানে z = x + iy; 2 = - 1
.
i
আসুন জটিল ধ্রুবক a কে মডুলাস r এবং আর্গুমেন্ট φ এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করি:
তারপর
.
a = r e i φ যুক্তি φ স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত নয়। IN
φ = φ সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি,
0 + 2 πn যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা। অতএব ফাংশন f(z)
.
এছাড়াও পরিষ্কার নয়। এর প্রধান তাত্পর্য প্রায়ই বিবেচনা করা হয়
.
সিরিজ সম্প্রসারণ
ব্যবহৃত সাহিত্য:
আই.এন. ব্রনস্টেইন, কে.এ. সেমেনদিয়াভ, ইঞ্জিনিয়ার এবং কলেজ ছাত্রদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক, "ল্যান", 2009।
চলুন x=2 চলকের বিভিন্ন যৌক্তিক মানের জন্য রাশিটির মান খুঁজে বের করি; 0; -3; -
উল্লেখ্য যে আমরা x ভেরিয়েবলের জন্য যে সংখ্যাটি প্রতিস্থাপন করি না কেন, আমরা সর্বদা এই রাশিটির মান খুঁজে পেতে পারি। এর মানে হল যে আমরা একটি সূচকীয় ফাংশন বিবেচনা করছি (E হল x এর শক্তির সমান তিন), মূলদ সংখ্যার সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: .
আসুন এই ফাংশনটির মানগুলির একটি টেবিল সংকলন করে একটি গ্রাফ তৈরি করি।
আসুন এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি মসৃণ রেখা আঁকুন (চিত্র 1)
এই ফাংশনের গ্রাফ ব্যবহার করে, এর বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করা যাক:
- 3. সংজ্ঞার সমগ্র এলাকা জুড়ে বৃদ্ধি পায়।
শূন্য থেকে প্লাস অসীম পর্যন্ত মানের পরিসীমা।
যদি আমরা একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করি; y=(y x এর ঘাতের সমান দুই, y x এর ঘাতের পাঁচের সমান, y x এর ঘাতের সাতের সমান), তাহলে আপনি দেখতে পাবেন যে তাদের y= এর মতো একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে (y x এর ঘাতের তিনের সমান) (চিত্র .2), অর্থাৎ, y = ফর্মের সমস্ত ফাংশন (a একটি x পাওয়ারের সমান, একটির চেয়ে বেশি) এই ধরনের বৈশিষ্ট্য থাকবে
ফাংশন প্লট করা যাক:
1. এর মানগুলির একটি টেবিল কম্পাইল করা।
আসুন স্থানাঙ্ক সমতলে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি চিহ্নিত করি।
আসুন এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে একটি মসৃণ রেখা আঁকুন (চিত্র 3)।
এই ফাংশনের গ্রাফ ব্যবহার করে, আমরা এর বৈশিষ্ট্যগুলি নির্দেশ করি:
1. সংজ্ঞার ডোমেইন হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট।
2. জোড় বা বিজোড়ও নয়।
3. সংজ্ঞা সমগ্র ডোমেন জুড়ে হ্রাস.
4. সবচেয়ে বড় বা ক্ষুদ্রতম মান নেই।
5.নিচে সীমিত, কিন্তু উপরে সীমাবদ্ধ নয়।
6. সংজ্ঞা সমগ্র ডোমেন জুড়ে অবিরাম.
7. শূন্য থেকে প্লাস অসীম পর্যন্ত মানের পরিসর।
শূন্য থেকে প্লাস অসীম পর্যন্ত মানের পরিসীমা।
একইভাবে, যদি আমরা একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করি; y = (y x এর ঘাতের এক-অর্ধাংশের সমান, y x এর ঘাতের এক-পঞ্চমাংশের সমান, y x এর ঘাতের এক-সপ্তমাংশের সমান), তাহলে আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে তাদের কাছে আছে y = (y এর সমান বৈশিষ্ট্য x পাওয়ার x (চিত্র 4) এর এক-তৃতীয়াংশের সমান), অর্থাৎ, ফর্ম y = এর সমস্ত ফাংশন (y সমান একটি ভাগের সাথে x শক্তির সাথে ভাগ শূন্যের চেয়ে বড় কিন্তু একের কম) এই ধরনের বৈশিষ্ট্য থাকবে।
একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমে ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করা যাক
এর মানে হল যে y=y= ফাংশনগুলির গ্রাফগুলিও a-এর একই মানের জন্য প্রতিসম হবে (y হল x শক্তির সমান এবং y হল একটি দ্বারা ভাগ করলে x শক্তির সমান)।
সূচকীয় ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে এবং এর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি নির্দেশ করে যা বলা হয়েছে তা সংক্ষিপ্ত করা যাক:
সংজ্ঞা: y= ফর্মের একটি ফাংশন, যেখানে (y ঘাত x এর a এর সমান, যেখানে a ধনাত্মক এবং একটি থেকে আলাদা), একটি সূচকীয় ফাংশন বলা হয়।
সূচকীয় ফাংশন y= এবং পাওয়ার ফাংশন y=, a=2,3,4,… এর মধ্যে পার্থক্য মনে রাখা প্রয়োজন। উভয় শ্রবণ এবং চাক্ষুষরূপে। সূচকীয় ফাংশন এক্সএকটি শক্তি, এবং একটি শক্তি ফাংশন জন্য এক্সভিত্তি।
উদাহরণ 1: সমীকরণটি সমাধান করুন (তিন থেকে শক্তি x নয় সমান)
(Y সমান তিনের সমান X এর শক্তি এবং Y সমান নয়টি) চিত্র 7
উল্লেখ্য যে তাদের একটি আছে সাধারণ পয়েন্ট M (2;9) (em সহ স্থানাঙ্ক দুই; নয়), যার মানে হল বিন্দুর অবসিসা এই সমীকরণের মূল হবে। অর্থাৎ, সমীকরণটির একটি একক মূল x = 2 আছে।
উদাহরণ 2: সমীকরণটি সমাধান করুন
একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, আমরা y= ফাংশনের দুটি গ্রাফ তৈরি করব (y x এর ঘাতের পাঁচের সমান এবং y এক পঁচিশতমের সমান) চিত্র 8। গ্রাফগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে T(-2; (te সহ স্থানাঙ্ক বিয়োগ দুই; এক পঁচিশতম)। এর মানে হল সমীকরণের মূল হল x = -2 (সংখ্যা বিয়োগ দুই)।
উদাহরণ 3: অসমতা সমাধান করুন
একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় আমরা y= ফাংশনের দুটি গ্রাফ তৈরি করব
(Y হল X এর শক্তির সমান তিন এবং Y হল সাতাশের সমান)।
চিত্র.9 ফাংশনের গ্রাফটি y=at ফাংশনের গ্রাফের উপরে অবস্থিত
x অতএব, অসমতার সমাধান হল ব্যবধান (মাইনাস ইনফিনিটি থেকে তিন পর্যন্ত)
উদাহরণ 4: অসমতা সমাধান করুন
একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, আমরা y= ফাংশনের দুটি গ্রাফ তৈরি করব (y x এর ঘাতের চতুর্থাংশের সমান এবং y ষোলটির সমান)। (চিত্র 10)। গ্রাফগুলি এক বিন্দু K (-2;16) এ ছেদ করে। এর মানে হল অসমতার সমাধান হল ব্যবধান (-2; (মাইনাস টু থেকে প্লাস ইনফিনিটি), যেহেতু y= ফাংশনের গ্রাফটি x এ ফাংশনের গ্রাফের নীচে অবস্থিত
আমাদের যুক্তি আমাদের নিম্নলিখিত উপপাদ্যগুলির বৈধতা যাচাই করতে দেয়:
থিম 1: সত্য হলে এবং শুধুমাত্র যদি m=n।
উপপাদ্য 2: যদি সত্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি, অসমতা সত্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি (চিত্র *)
উপপাদ্য 4: যদি সত্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি (চিত্র.**), অসমতা সত্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি উপপাদ্য 3: যদি সত্য হয় এবং শুধুমাত্র যদি m=n।
উদাহরণ 5: ফাংশন y= গ্রাফ করুন
ডিগ্রী y= এর বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করে ফাংশনটি পরিবর্তন করা যাক
আসুন আমরা একটি অতিরিক্ত সমন্বয় ব্যবস্থা তৈরি করি এবং ইন নতুন সিস্টেমস্থানাঙ্ক, আমরা y = ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করব (y x শক্তির সাথে দুইটির সমান) চিত্র 11।
উদাহরণ 6: সমীকরণটি সমাধান করুন
একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় আমরা y= ফাংশনের দুটি গ্রাফ তৈরি করব
(Y সমান সাতটি X এর শক্তির সমান এবং Y সমান আট বিয়োগ X) চিত্র 12।
গ্রাফগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে E (1; (e সহ স্থানাঙ্ক এক; সাত)। এর মানে হল সমীকরণের মূল হল x = 1 (x সমান এক)।
উদাহরণ 7: অসমতা সমাধান করুন
একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় আমরা y= ফাংশনের দুটি গ্রাফ তৈরি করব
(Y হল X-এর শক্তির এক-চতুর্থাংশের সমান এবং Y হল X যোগ পাঁচের সমান)। y=ফাংশনের গ্রাফটি y=x+5 ফাংশনের গ্রাফের নিচে অবস্থিত যখন অসমতার সমাধান হল ব্যবধান x (মাইনাস ওয়ান থেকে প্লাস ইনফিনিটি পর্যন্ত)।
পাঠ নং2
বিষয়: সূচকীয় ফাংশন, এর বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ।
লক্ষ্য:"সূচক ফাংশন" ধারণাটি আয়ত্ত করার গুণমান পরীক্ষা করুন; সূচকীয় ফাংশন চিনতে দক্ষতা বিকাশ করা, এর বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ ব্যবহার করে, শিক্ষার্থীদের বিশ্লেষণাত্মক ব্যবহার করতে শেখানো এবং গ্রাফিক ফর্মসূচকীয় ফাংশন রেকর্ডিং; শ্রেণীকক্ষে কাজের পরিবেশ প্রদান করুন।
সরঞ্জাম:বোর্ড, পোস্টার
পাঠ ফর্ম: ক্লাস পাঠ
পাঠের ধরন: ব্যবহারিক পাঠ
পাঠের ধরন: শেখানোর দক্ষতা এবং ক্ষমতার পাঠ
পাঠ পরিকল্পনা
1. সাংগঠনিক মুহূর্ত
2. স্বাধীন কাজএবং চেক বাড়ির কাজ
3. সমস্যা সমাধান
4. সংক্ষিপ্তকরণ
5. বাড়ির কাজ
পাঠের অগ্রগতি.
1. সাংগঠনিক মুহূর্ত :
হ্যালো। আপনার নোটবুকগুলি খুলুন, আজকের তারিখ এবং পাঠের বিষয় লিখুন "এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন"। আজ আমরা সূচকীয় ফাংশন, এর বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ অধ্যয়ন চালিয়ে যাব।
2. স্বাধীন কাজ এবং বাড়ির কাজ পরীক্ষা করা .
লক্ষ্য:"সূচক ফাংশন" ধারণার আয়ত্তের গুণমান পরীক্ষা করুন এবং হোমওয়ার্কের তাত্ত্বিক অংশের সমাপ্তি পরীক্ষা করুন
পদ্ধতি:পরীক্ষার কাজ, সম্মুখ সমীক্ষা
হোমওয়ার্ক হিসাবে, আপনাকে সমস্যা বই থেকে নম্বর এবং পাঠ্যবই থেকে একটি অনুচ্ছেদ দেওয়া হয়েছিল। আমরা এখন পাঠ্যপুস্তক থেকে আপনার সংখ্যার প্রয়োগ পরীক্ষা করব না, তবে পাঠের শেষে আপনি আপনার নোটবুকগুলি হস্তান্তর করবেন। এখন তত্ত্বটি একটি ছোট পরীক্ষার আকারে পরীক্ষা করা হবে। কাজটি প্রত্যেকের জন্য একই: আপনাকে ফাংশনগুলির একটি তালিকা দেওয়া হয়েছে, আপনাকে অবশ্যই তাদের মধ্যে কোনটি নির্দেশক তা খুঁজে বের করতে হবে (সেগুলিকে নিম্নরেখা করুন)। এবং সূচকীয় ফাংশনের পাশে আপনাকে লিখতে হবে এটি বাড়ছে নাকি কমছে।
বিকল্প 1 উত্তর খ) ডি) - সূচকীয়, হ্রাস | বিকল্প 2 উত্তর ডি) - সূচকীয়, হ্রাস ঘ) - সূচকীয়, ক্রমবর্ধমান |
বিকল্প 3 উত্তর ক) - সূচকীয়, ক্রমবর্ধমান খ) - সূচকীয়, হ্রাস | বিকল্প 4 উত্তর ক) - সূচকীয়, হ্রাস ইন) - সূচকীয়, ক্রমবর্ধমান |
এখন একসাথে মনে রাখা যাক কোন ফাংশনকে সূচকীয় বলা হয়?
ফর্মের একটি ফাংশন, যেখানে এবং , একটি সূচকীয় ফাংশন বলা হয়।
এই ফাংশন এর সুযোগ কি?
সমস্ত বাস্তব সংখ্যা।
সূচকীয় ফাংশনের পরিসর কত?
সমস্ত ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা।
শক্তির ভিত্তি শূন্যের চেয়ে বড় কিন্তু একের কম হলে হ্রাস পায়।
কোন ক্ষেত্রে একটি সূচকীয় ফাংশন তার সংজ্ঞার ডোমেনে হ্রাস পায়?
ক্ষমতার ভিত্তি একের বেশি হলে বাড়ানো।
3. সমস্যা সমাধান
টার্গেট: একটি সূচকীয় ফাংশন সনাক্ত করার দক্ষতা বিকাশের জন্য, এর বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ ব্যবহার করে, শিক্ষার্থীদের একটি সূচকীয় ফাংশন লেখার বিশ্লেষণাত্মক এবং গ্রাফিক্যাল ফর্ম ব্যবহার করতে শেখান
পদ্ধতি: সাধারণ সমস্যা সমাধানের শিক্ষক দ্বারা প্রদর্শন, মৌখিক কাজ, ব্ল্যাকবোর্ডে কাজ, একটি নোটবুকে কাজ, শিক্ষক এবং ছাত্রদের মধ্যে কথোপকথন।
সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি 2 বা তার বেশি সংখ্যার তুলনা করার সময় ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ: নং 000। মান তুলনা করুন এবং যদি ক) 
..gif" width="37" height="20 src=">, তাহলে এটি একটি জটিল কাজ: আমাদের 3 এবং 9 এর ঘনমূল নিতে হবে এবং তাদের তুলনা করতে হবে। কিন্তু আমরা জানি যে এটি বৃদ্ধি পায়, এটি তার নিজস্ব উপায়ে মোড়ের অর্থ হল আর্গুমেন্ট বাড়লে ফাংশনের মান বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ, আমাদের কেবল যুক্তির মানগুলি তুলনা করতে হবে এবং এটি স্পষ্ট যে 
(ক্রমবর্ধমান সূচকীয় ফাংশন দেখানো একটি পোস্টারে প্রদর্শিত হতে পারে)। এবং সর্বদা, এই জাতীয় উদাহরণগুলি সমাধান করার সময়, আপনি প্রথমে সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি নির্ধারণ করুন, এটি 1 এর সাথে তুলনা করুন, একঘেয়েতা নির্ধারণ করুন এবং আর্গুমেন্টগুলি তুলনা করতে এগিয়ে যান। ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের ক্ষেত্রে: যখন আর্গুমেন্ট বাড়ে, ফাংশনের মান কমে যায়, তাই আমরা যখন আর্গুমেন্টের অসমতা থেকে ফাংশনের অসমতায় চলে যাই তখন আমরা অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন করি। পরবর্তী, আমরা মৌখিকভাবে সমাধান: b) 
- 
ইন) 
- 
ছ) 
- 
- নং 000। সংখ্যার তুলনা করুন: ক) এবং
অতএব, ফাংশন বৃদ্ধি, তারপর
কেন?
ফাংশন বৃদ্ধি এবং 
অতএব, ফাংশন কমছে, তারপর 
উভয় ফাংশন তাদের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেন জুড়ে বৃদ্ধি পায়, যেহেতু তারা একের বেশি শক্তির ভিত্তি সহ সূচকীয়।
এর পিছনে অর্থ কি?
আমরা গ্রাফ তৈরি করি:
https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> চেষ্টা করার সময় কোন ফাংশন দ্রুত বৃদ্ধি পায়
https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> চেষ্টা করার সময় কোন ফাংশন দ্রুত হ্রাস পায়
ব্যবধানে কোনটি ফাংশন আছে উচ্চ মানএকটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">। প্রথমে, আসুন এই ফাংশনের সংজ্ঞার সুযোগ খুঁজে বের করি। তারা কি মিলে যায়?
হ্যাঁ, এই ফাংশনগুলির ডোমেইন হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যা।
এই প্রতিটি ফাংশনের সুযোগের নাম দিন।
এই ফাংশনগুলির রেঞ্জগুলি মিলে যায়: সমস্ত ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা।
প্রতিটি ফাংশনের একঘেয়েতার ধরন নির্ধারণ করুন।
তিনটি ফাংশনই তাদের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেন জুড়ে হ্রাস পায়, যেহেতু তারা একটির চেয়ে কম এবং শূন্যের চেয়ে বেশি শক্তির ভিত্তি সহ সূচকীয়।
যা একক বিন্দুএকটি সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ কি বিদ্যমান?
এর পিছনে অর্থ কি?
একটি সূচকীয় ফাংশনের ডিগ্রির ভিত্তি যাই হোক না কেন, যদি সূচকটিতে 0 থাকে তবে এই ফাংশনের মান 1 হবে।
আমরা গ্রাফ তৈরি করি:
এর গ্রাফ বিশ্লেষণ করা যাক. ফাংশনগুলির গ্রাফে ছেদ বিন্দুর কয়টি বিন্দু আছে?
https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57"> চেষ্টা করার সময় কোন ফাংশন দ্রুত হ্রাস পায়
https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57"> চেষ্টা করার সময় কোন ফাংশন দ্রুত বৃদ্ধি পায়
ব্যবধানে, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কোন ফাংশনের মান বেশি?
ব্যবধানে, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কোন ফাংশনের মান বেশি?
কেন বিভিন্ন বেস সহ সূচকীয় ফাংশনের শুধুমাত্র একটি ছেদ বিন্দু থাকে?
সূচকীয় ফাংশনগুলি তাদের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেন জুড়ে কঠোরভাবে একঘেয়ে, তাই তারা শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
পরবর্তী কাজ এই সম্পত্তি ব্যবহার উপর ফোকাস করা হবে. নং 000. বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান খুঁজুন প্রদত্ত ফাংশনএকটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ক)। মনে রাখবেন যে একটি কঠোরভাবে একঘেয়ে ফাংশন একটি প্রদত্ত সেগমেন্টের শেষে তার সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক মানগুলি নেয়। এবং যদি ফাংশন বাড়ছে, তাহলে তার সর্বোচ্চ মানসেগমেন্টের ডান প্রান্তে থাকবে এবং সেগমেন্টের বাম প্রান্তে সবচেয়ে ছোট (পোস্টারে প্রদর্শন, একটি সূচকীয় ফাংশনের উদাহরণ ব্যবহার করে)। যদি ফাংশনটি হ্রাস পায়, তবে এর বৃহত্তম মানটি সেগমেন্টের বাম প্রান্তে এবং সবচেয়ে ছোটটি সেগমেন্টের ডান প্রান্তে (পোস্টারে প্রদর্শন, একটি সূচকীয় ফাংশনের উদাহরণ ব্যবহার করে) হবে। ফাংশন বাড়ছে, কারণ, তাই, ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান হবে https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" বিন্দুতে > পয়েন্ট খ) 
, ভি) 
ঘ) নোটবুকগুলি নিজেই সমাধান করুন, আমরা সেগুলি মৌখিকভাবে পরীক্ষা করব।
শিক্ষার্থীরা তাদের নোটবুকে কাজটি সমাধান করে
|
ফাংশন হ্রাস
|
ফাংশন হ্রাস
|
ক্রমবর্ধমান ফাংশন
|
সেগমেন্টে ফাংশনের সর্বোচ্চ মান
একটি অংশে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান
একটি অংশে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান
সেগমেন্টে ফাংশনের সর্বোচ্চ মান- নং 000। প্রদত্ত ব্যবধানে প্রদত্ত ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান খুঁজুন a) 
. এই কাজটি প্রায় আগেরটির মতোই। তবে এখানে যা দেওয়া হয়েছে তা একটি সেগমেন্ট নয়, একটি রশ্মি। আমরা জানি যে ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান হচ্ছে, এবং এটির পুরো সংখ্যা লাইনে সবচেয়ে বড় বা ক্ষুদ্রতম মান নেই https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, এবং তে থাকে, অর্থাৎ রশ্মির উপর ফাংশনটি 0-তে থাকে, কিন্তু এর ক্ষুদ্রতম মান নেই, তবে বিন্দুতে এটির মান সবচেয়ে বড় 
. পয়েন্ট খ) 
, ভি) 
, ছ) 
নোটবুকগুলি নিজেই সমাধান করুন, আমরা সেগুলি মৌখিকভাবে পরীক্ষা করব।
সংখ্যাগরিষ্ঠ সিদ্ধান্ত গাণিতিক সমস্যাকোন না কোনভাবে সংখ্যাসূচক, বীজগণিত বা কার্যকরী অভিব্যক্তির রূপান্তরের সাথে সম্পর্কিত। উপরোক্ত সিদ্ধান্ত বিশেষভাবে প্রযোজ্য. গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সংস্করণগুলিতে, এই ধরনের সমস্যাটির মধ্যে রয়েছে, বিশেষ করে, টাস্ক C3। C3 কাজগুলি সমাধান করতে শেখা শুধুমাত্র সফল হওয়ার জন্যই গুরুত্বপূর্ণ নয় ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় উত্তীর্ণ, কিন্তু উচ্চ বিদ্যালয়ে একটি গণিত কোর্স অধ্যয়ন করার সময় এই দক্ষতা দরকারী হবে যে কারণে.
কাজ C3 সম্পূর্ণ করার সময়, আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে বিভিন্ন ধরনেরসমীকরণ এবং অসমতা। তাদের মধ্যে যুক্তিযুক্ত, অযৌক্তিক, সূচকীয়, লগারিদমিক, ত্রিকোণমিতিক, মডিউল (পরম মান) ধারণ করে, পাশাপাশি মিলিতগুলিও রয়েছে। এই নিবন্ধটি সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতাগুলির প্রধান প্রকারগুলি নিয়ে আলোচনা করে বিভিন্ন পদ্ধতিতাদের সিদ্ধান্ত। অন্যান্য ধরণের সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করার বিষয়ে পড়ুন "" বিভাগে C3 সমস্যাগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলিতে উত্সর্গীকৃত নিবন্ধগুলিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার বিকল্পগণিতে
আমরা নির্দিষ্ট বিশ্লেষণ শুরু করার আগে সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতা, একজন গণিত শিক্ষক হিসাবে, আমি আপনাকে কিছু তাত্ত্বিক উপাদান ব্রাশ করার পরামর্শ দিই যা আমাদের প্রয়োজন হবে।
সূচকীয় ফাংশন
একটি সূচকীয় ফাংশন কি?
ফর্মের ফাংশন y = একটি x, কোথায় ক> 0 এবং ক≠ 1 বলা হয় সূচকীয় ফাংশন.
মৌলিক সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য y = একটি x:
একটি সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ
সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ হল সূচক:
সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ (সূচক)
সূচকীয় সমীকরণ সমাধান করা
নির্দেশকসমীকরণ বলা হয় যেখানে অজানা চলকটি শুধুমাত্র কিছু শক্তির সূচকে পাওয়া যায়।
সমাধান করতে সূচকীয় সমীকরণআপনাকে নিম্নলিখিত সহজ উপপাদ্যটি জানতে এবং ব্যবহার করতে সক্ষম হতে হবে:
উপপাদ্য ঘ.সূচকীয় সমীকরণ ক চ(x) = ক g(x) (কোথায় ক > 0, ক≠ 1) সমীকরণের সমতুল্য চ(x) = g(x).
এছাড়াও, ডিগ্রি সহ মৌলিক সূত্র এবং ক্রিয়াকলাপগুলি মনে রাখা দরকারী:
শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}
উদাহরণ 1.সমীকরণটি সমাধান করুন:
সমাধান:আমরা উপরের সূত্র এবং প্রতিস্থাপন ব্যবহার করি:
তারপর সমীকরণটি হয়ে যায়:
প্রাপ্তির বৈষম্যকারী দ্বিঘাত সমীকরণইতিবাচক:
শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}
এর মানে হল এই সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে। আমরা তাদের খুঁজে পাই:
বিপরীত প্রতিস্থাপনের দিকে এগিয়ে যাচ্ছি, আমরা পাই:
দ্বিতীয় সমীকরণের কোনো শিকড় নেই, যেহেতু সূচকীয় ফাংশনটি সংজ্ঞার পুরো ডোমেন জুড়ে কঠোরভাবে ইতিবাচক। আসুন দ্বিতীয়টি সমাধান করি:
উপপাদ্য 1 এ যা বলা হয়েছে তা বিবেচনায় নিয়ে, আমরা সমতুল্য সমীকরণে এগিয়ে যাই: x= 3. এটি টাস্কের উত্তর হবে।
উত্তরঃ x = 3.
উদাহরণ 2।সমীকরণটি সমাধান করুন:
সমাধান:সমীকরণের অনুমতিযোগ্য মানগুলির পরিসরের উপর কোন সীমাবদ্ধতা নেই, যেহেতু র্যাডিকাল অভিব্যক্তিটি যে কোনও মানের জন্য অর্থপূর্ণ x(সূচক ফাংশন y = 9 4 -এক্সধনাত্মক এবং শূন্যের সমান নয়)।
আমরা ক্ষমতার গুণ ও ভাগের নিয়ম ব্যবহার করে সমতুল্য রূপান্তরের মাধ্যমে সমীকরণটি সমাধান করি:
শেষ রূপান্তরটি উপপাদ্য 1 অনুসারে করা হয়েছিল।
উত্তরঃx= 6.
উদাহরণ 3.সমীকরণটি সমাধান করুন:
সমাধান:মূল সমীকরণের উভয় পক্ষকে 0.2 দ্বারা ভাগ করা যায় x. এই রূপান্তরটি সমতুল্য হবে, যেহেতু এই অভিব্যক্তিটি যেকোনো মানের জন্য শূন্যের চেয়ে বেশি x(সূচক ফাংশনটি তার সংজ্ঞার ক্ষেত্রে কঠোরভাবে ইতিবাচক)। তারপর সমীকরণ ফর্ম নেয়:
উত্তরঃ x = 0.
উদাহরণ 4.সমীকরণটি সমাধান করুন:
সমাধান:আমরা নিবন্ধের শুরুতে প্রদত্ত ক্ষমতার ভাগ এবং গুণের নিয়মগুলি ব্যবহার করে সমতুল্য রূপান্তরের মাধ্যমে একটি প্রাথমিকের সমীকরণকে সরল করি:
সমীকরণের উভয় দিককে 4 দ্বারা ভাগ করা x, আগের উদাহরণের মতো, একটি সমতুল্য রূপান্তর, যেহেতু এই অভিব্যক্তিটি কোনো মানের জন্য শূন্যের সমান নয় x.
উত্তরঃ x = 0.
উদাহরণ 5।সমীকরণটি সমাধান করুন:
সমাধান:ফাংশন y = 3x, সমীকরণের বাম পাশে দাঁড়ানো, বাড়ছে। ফাংশন y = —xসমীকরণের ডান পাশের -2/3টি কমছে। এর মানে এই যে যদি এই ফাংশনগুলির গ্রাফগুলিকে ছেদ করে তবে সর্বাধিক এক বিন্দুতে। এই ক্ষেত্রে, এটা অনুমান করা সহজ যে গ্রাফগুলি বিন্দুতে ছেদ করে x= -1। অন্য কোন শিকড় থাকবে না।
উত্তরঃ x = -1.
উদাহরণ 6.সমীকরণটি সমাধান করুন:
সমাধান:আমরা সমীকরণটিকে সমতুল্য রূপান্তরের মাধ্যমে সরলীকরণ করি, সর্বত্র মনে রেখে যে সূচকীয় ফাংশনটি যেকোনো মানের জন্য শূন্যের চেয়ে কঠোরভাবে বেশি xএবং নিবন্ধের শুরুতে প্রদত্ত ক্ষমতার গুণফল এবং ভাগফল গণনা করার নিয়মগুলি ব্যবহার করে:
উত্তরঃ x = 2.
সূচকীয় অসমতা সমাধান করা
নির্দেশকঅসমতা বলা হয় যেখানে অজানা চলকটি শুধুমাত্র কিছু শক্তির সূচকে থাকে।
সমাধান করতে সূচকীয় অসমতানিম্নলিখিত উপপাদ্য জ্ঞান প্রয়োজন:
উপপাদ্য 2।যদি ক> 1, তারপর অসমতা ক চ(x) > ক g(x) একই অর্থের একটি অসমতার সমতুল্য: চ(x) > g(x) যদি 0< ক < 1, то সূচকীয় অসমতা ক চ(x) > ক g(x) বিপরীত অর্থ সহ একটি অসমতার সমতুল্য: চ(x) < g(x).
উদাহরণ 7।অসমতা সমাধান করুন:
সমাধান:চলুন ফর্মে মূল অসমতা উপস্থাপন করা যাক:
এই অসমতার উভয় দিককে 3 2 দ্বারা ভাগ করা যাক x, এই ক্ষেত্রে (ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে y= 3 2x) অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে না:
আসুন প্রতিস্থাপনটি ব্যবহার করি:
তাহলে অসমতা রূপ নেবে:
সুতরাং, অসমতার সমাধান হল ব্যবধান:
বিপরীত প্রতিস্থাপনে চলে গেলে, আমরা পাই:
সূচকীয় ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে, বাম অসমতা স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয়। লগারিদমের সুপরিচিত সম্পত্তি ব্যবহার করে, আমরা সমতুল্য অসমতার দিকে এগিয়ে যাই:
যেহেতু ডিগ্রির ভিত্তি হল একটি সংখ্যার চেয়ে বড়, সমতুল্য (থিওরেম 2 দ্বারা) নিম্নোক্ত অসমতার রূপান্তর:
সুতরাং, আমরা অবশেষে পেতে উত্তর:
উদাহরণ 8।অসমতা সমাধান করুন:
সমাধান:ক্ষমতার গুণন এবং ভাগের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা অসমতাকে আকারে আবার লিখি:
চলুন একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করা যাক:
এই প্রতিস্থাপনকে বিবেচনায় নিয়ে, অসমতা রূপ নেয়:
ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 7 দ্বারা গুণ করলে, আমরা নিম্নলিখিত সমতুল্য অসমতা পাই:
সুতরাং, ভেরিয়েবলের নিম্নলিখিত মানগুলি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে t:
তারপরে, বিপরীত প্রতিস্থাপনে চলে যাওয়া, আমরা পাই:
যেহেতু এখানে ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, তাই অসমতার রূপান্তর সমতুল্য হবে (তত্ত্ব 2 দ্বারা):
অবশেষে আমরা পেতে উত্তর:
উদাহরণ 9।অসমতা সমাধান করুন:
সমাধান:
আমরা অভিব্যক্তি দ্বারা অসমতার উভয় পক্ষকে ভাগ করি:
এটি সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় (সূচক ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে), তাই অসমতার চিহ্নটি পরিবর্তন করার প্রয়োজন নেই। আমরা পাই:
টি ব্যবধানে অবস্থিত:
বিপরীত প্রতিস্থাপনের দিকে এগিয়ে গিয়ে, আমরা দেখতে পাই যে মূল অসমতা দুটি ক্ষেত্রে বিভক্ত:
সূচকীয় ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে প্রথম অসমতার কোন সমাধান নেই। আসুন দ্বিতীয়টি সমাধান করি:
উদাহরণ 10।অসমতা সমাধান করুন:
সমাধান:
প্যারাবোলা শাখা y = 2x+2-x 2 নীচের দিকে পরিচালিত হয়, তাই এটি উপরে থেকে সীমিত মান দ্বারা এটি তার শীর্ষে পৌঁছায়:
প্যারাবোলা শাখা y = x 2 -2xসূচকের +2 উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, যার মানে এটি নীচের দিক থেকে সীমিত মান দ্বারা এটি তার শীর্ষে পৌঁছায়:
একই সময়ে, ফাংশনটিও নীচে থেকে আবদ্ধ হতে দেখা যায় y = 3 x 2 -2x+2, যা সমীকরণের ডানদিকে রয়েছে। এটি সূচকের প্যারাবোলার মতো একই বিন্দুতে তার ক্ষুদ্রতম মান পর্যন্ত পৌঁছায় এবং এই মানটি হল 3 1 = 3। সুতরাং, আসল অসমতা তখনই সত্য হতে পারে যখন বাম দিকের ফাংশন এবং ডানদিকের ফাংশনটি মানটিকে গ্রহণ করে। , 3 এর সমান (এই ফাংশনগুলির মানের ব্যাপ্তির ছেদ শুধুমাত্র এই সংখ্যা)। এই শর্ত একক বিন্দুতে সন্তুষ্ট হয় x = 1.
উত্তরঃ x= 1.
সিদ্ধান্ত নিতে শেখার জন্য সূচকীয় সমীকরণএবং অসমতাতাদের সমাধান করার জন্য ক্রমাগত প্রশিক্ষণ দেওয়া প্রয়োজন। এই কঠিন কাজটিতে বিভিন্ন জিনিস আপনাকে সাহায্য করতে পারে। পদ্ধতিগত ম্যানুয়াল, সমস্যা বই প্রাথমিক গণিত, প্রতিযোগিতামূলক সমস্যার সংগ্রহ, স্কুলে গণিত ক্লাস, পাশাপাশি স্বতন্ত্র পাঠএকজন পেশাদার শিক্ষকের সাথে। আমি আন্তরিকভাবে আপনার প্রস্তুতির সাফল্য এবং পরীক্ষায় চমৎকার ফলাফল কামনা করছি।
সের্গেই ভ্যালেরিভিচ
পিএস প্রিয় অতিথিরা! অনুগ্রহ করে মন্তব্যে আপনার সমীকরণ সমাধানের জন্য অনুরোধ লিখবেন না। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমার কাছে এটির জন্য একেবারেই সময় নেই। এই ধরনের বার্তা মুছে ফেলা হবে. অনুগ্রহ করে নিবন্ধটি পড়ুন। সম্ভবত এটিতে আপনি এমন প্রশ্নের উত্তর পাবেন যা আপনাকে নিজের কাজ নিজেই সমাধান করতে দেয়নি।
