অসমতা সমাধান: রৈখিক, দ্বিঘাত এবং ভগ্নাংশ। অনলাইন ক্যালকুলেটর

সহজ কথায়, এগুলি একটি বিশেষ রেসিপি অনুসারে জলে রান্না করা সবজি। আমি দুটি প্রাথমিক উপাদান (সবজি সালাদ এবং জল) এবং সমাপ্ত ফলাফল - borscht বিবেচনা করব। জ্যামিতিকভাবে, এটিকে একটি আয়তক্ষেত্র হিসাবে ভাবা যেতে পারে, যার এক পাশ লেটুস এবং অন্য পাশ জলের প্রতিনিধিত্ব করে। এই দুই বাহুর যোগফল borscht নির্দেশ করবে। এই জাতীয় "বোর্শট" আয়তক্ষেত্রের তির্যক এবং ক্ষেত্রফল সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক ধারণা এবং বোর্শট রেসিপিগুলিতে কখনও ব্যবহৃত হয় না।

গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে লেটুস এবং জল কীভাবে বোর্স্টে পরিণত হয়? দুটি রেখার অংশের যোগফল কীভাবে ত্রিকোণমিতিতে পরিণত হতে পারে? এটি বোঝার জন্য, আমাদের রৈখিক কৌণিক ফাংশন প্রয়োজন।

আপনি গণিতের পাঠ্যপুস্তকে রৈখিক কৌণিক ফাংশন সম্পর্কে কিছু পাবেন না। কিন্তু তাদের ছাড়া গণিত হতে পারে না। গণিতের নিয়ম, প্রকৃতির নিয়মের মতো, আমরা তাদের অস্তিত্ব সম্পর্কে জানি কি না তা নির্বিশেষে কাজ করে।

রৈখিক কৌণিক ফাংশন সংযোজন আইন।দেখুন কিভাবে বীজগণিত জ্যামিতিতে পরিণত হয় এবং জ্যামিতি ত্রিকোণমিতিতে পরিণত হয়।

রৈখিক কৌণিক ফাংশন ছাড়া করা সম্ভব? এটা সম্ভব, কারণ গণিতবিদরা এখনও তাদের ছাড়াই পরিচালনা করেন। গণিতবিদদের কৌতুক হল যে তারা সবসময় আমাদের কেবল সেই সমস্যাগুলি সম্পর্কে বলে যা তারা নিজেরাই জানে কীভাবে সমাধান করতে হয় এবং সেই সমস্যাগুলির বিষয়ে কখনও কথা বলে না যেগুলি তারা সমাধান করতে পারে না। দেখুন। যদি আমরা যোগ এবং একটি পদের ফলাফল জানি, আমরা অন্য পদ খুঁজে পেতে বিয়োগ ব্যবহার করি। সব আমরা অন্যান্য সমস্যাগুলি জানি না এবং কীভাবে সেগুলি সমাধান করা যায় তা আমরা জানি না। আমরা যদি শুধুমাত্র যোগের ফলাফল জানি এবং উভয় পদ না জানি তাহলে আমাদের কী করা উচিত? এই ক্ষেত্রে, সংযোজনের ফলাফলকে রৈখিক কৌণিক ফাংশন ব্যবহার করে দুটি পদে পচন করতে হবে। এর পরে, আমরা নিজেরাই বেছে নিই যে একটি পদ কী হতে পারে এবং রৈখিক কৌণিক ফাংশনগুলি দেখায় যে দ্বিতীয় পদটি কী হওয়া উচিত যাতে সংযোজনের ফলাফলটি ঠিক আমাদের প্রয়োজন। পদের এই ধরনের জোড়া থাকতে পারে অসীম সেট. IN দৈনন্দিন জীবনআমরা যোগফল পচা ছাড়া ঠিক করতে পারেন বিয়োগ আমাদের জন্য যথেষ্ট; কিন্তু যখন বৈজ্ঞানিক গবেষণাপ্রকৃতির নিয়ম, এর উপাদানগুলির মধ্যে একটি যোগফল পচানো খুব দরকারী হতে পারে।

সংযোজনের আরেকটি আইন যা গণিতবিদরা কথা বলতে পছন্দ করেন না (তাদের আরেকটি কৌশল) শর্তাবলীর পরিমাপের একক একই থাকা প্রয়োজন। সালাদ, জল এবং বোর্শটের জন্য, এগুলি ওজন, আয়তন, মান বা পরিমাপের একক হতে পারে।

চিত্রটি গাণিতিক জন্য দুটি স্তরের পার্থক্য দেখায়। প্রথম স্তরটি সংখ্যার ক্ষেত্রের পার্থক্য, যা নির্দেশিত হয় ক, খ, গ. গণিতবিদরা এটাই করেন। দ্বিতীয় স্তরটি হল পরিমাপের এককের ক্ষেত্রের পার্থক্য, যা বর্গাকার বন্ধনীতে দেখানো হয় এবং অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয় উ. পদার্থবিদরা এটাই করেন। আমরা তৃতীয় স্তরটি বুঝতে পারি - বর্ণিত বস্তুর ক্ষেত্রের পার্থক্য। বিভিন্ন বস্তুর পরিমাপের একই সংখ্যক একক থাকতে পারে। এটি কতটা গুরুত্বপূর্ণ, আমরা বোর্শট ত্রিকোণমিতির উদাহরণে দেখতে পারি। যদি আমরা বিভিন্ন অবজেক্টের জন্য একই ইউনিট উপাধিতে সাবস্ক্রিপ্ট যোগ করি, তাহলে আমরা বলতে পারি ঠিক কী গাণিতিক পরিমাণ একটি নির্দিষ্ট বস্তুকে বর্ণনা করে এবং কীভাবে এটি সময়ের সাথে বা আমাদের ক্রিয়াকলাপের কারণে পরিবর্তিত হয়। চিঠি ডব্লিউআমি একটি চিঠি দিয়ে জল মনোনীত করব এসআমি একটি চিঠি দিয়ে সালাদ মনোনীত করব খ- বোর্শ বোর্স্টের জন্য রৈখিক কৌণিক ফাংশনগুলি এইরকম দেখাবে।

যদি আমরা পানির কিছু অংশ এবং সালাদের কিছু অংশ গ্রহণ করি তবে তারা একসাথে বোর্শটের একটি অংশে পরিণত হবে। এখানে আমি আপনাকে borscht থেকে একটু বিরতি নিতে এবং আপনার দূরবর্তী শৈশব মনে করার পরামর্শ দিচ্ছি। মনে আছে কিভাবে আমাদের খরগোশ এবং হাঁস একসাথে রাখতে শেখানো হয়েছিল? সেখানে কত প্রাণী থাকবে তা খুঁজে বের করা দরকার ছিল। তখন আমাদের কী করতে শেখানো হয়েছিল? আমাদেরকে সংখ্যা থেকে পরিমাপের একক আলাদা করতে এবং সংখ্যা যোগ করতে শেখানো হয়েছিল। হ্যাঁ, যেকোনো একটি নম্বর অন্য যেকোনো নম্বরে যোগ করা যাবে। এটি আধুনিক গণিতের অটিজমের একটি প্রত্যক্ষ পথ - আমরা এটি বোধগম্যভাবে করি কী, বোধগম্যভাবে কেন, এবং খুব খারাপভাবে বুঝতে পারি যে এটি বাস্তবতার সাথে কীভাবে সম্পর্কিত, কারণ তিনটি স্তরের পার্থক্যের কারণে, গণিতবিদরা শুধুমাত্র একটি দিয়ে কাজ করেন। পরিমাপের এক ইউনিট থেকে অন্য ইউনিটে কীভাবে যেতে হয় তা শেখা আরও সঠিক হবে।

খরগোশ, হাঁস এবং ছোট প্রাণীগুলিকে টুকরো টুকরো করে গণনা করা যেতে পারে। বিভিন্ন বস্তুর পরিমাপের একটি সাধারণ একক আমাদেরকে সেগুলি একসাথে যোগ করতে দেয়। এটি সমস্যার একটি শিশুদের সংস্করণ। আসুন প্রাপ্তবয়স্কদের জন্য একটি অনুরূপ সমস্যা তাকান. আপনি খরগোশ এবং টাকা যোগ করার সময় আপনি কি পাবেন? এখানে দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে।

প্রথম বিকল্প. আমরা খরগোশের বাজারমূল্য নির্ধারণ করি এবং উপলব্ধ অর্থের সাথে যোগ করি। আমরা আর্থিক শর্তে আমাদের সম্পদের মোট মূল্য পেয়েছি।

দ্বিতীয় বিকল্প. আপনি আমাদের কাছে থাকা ব্যাঙ্কনোটের সংখ্যার সাথে খরগোশের সংখ্যা যোগ করতে পারেন। আমরা অস্থাবর সম্পত্তির পরিমাণ টুকরো টুকরো করে পাব।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একই সংযোজন আইন আপনাকে বিভিন্ন ফলাফল পেতে দেয়। এটা সব আমরা ঠিক কি জানতে চাই উপর নির্ভর করে.

কিন্তু এর আমাদের borscht ফিরে পেতে. এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি কখন কী হবে বিভিন্ন অর্থরৈখিক কৌণিক ফাংশনের কোণ।

কোণটি শূন্য। আমাদের সালাদ আছে, কিন্তু জল নেই। আমরা বোর্শট রান্না করতে পারি না। বোর্স্টের পরিমাণও শূন্য। এর মানে এই নয় যে শূন্য বোর্শট শূন্য জলের সমান। শূন্য সালাদ (সঠিক কোণ) সঙ্গে শূন্য borscht হতে পারে।

ব্যক্তিগতভাবে আমার জন্য, এই সত্যের প্রধান গাণিতিক প্রমাণ। শূন্য যোগ করলে সংখ্যা পরিবর্তন হয় না। এটি ঘটে কারণ শুধুমাত্র একটি পদ থাকলে এবং দ্বিতীয় পদটি অনুপস্থিত থাকলে যোগ করা অসম্ভব। আপনি এটি সম্পর্কে আপনার পছন্দ মতো অনুভব করতে পারেন, তবে মনে রাখবেন - শূন্য সহ সমস্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ নিজেই গণিতবিদদের দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল, তাই আপনার যুক্তিকে ছুঁড়ে ফেলুন এবং গণিতবিদদের দ্বারা উদ্ভাবিত সংজ্ঞাগুলিকে বোকামি করুন: "শূন্য দ্বারা বিভাজন অসম্ভব", "যেকোন সংখ্যা দ্বারা গুণিত শূন্য সমান শূন্য”, “প্যাংচার পয়েন্ট শূন্যের বাইরে” এবং অন্যান্য বাজে কথা। একবার মনে রাখা যথেষ্ট যে শূন্য একটি সংখ্যা নয়, এবং আপনার আর কখনও প্রশ্ন থাকবে না যে শূন্য একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা বা না, কারণ এই জাতীয় প্রশ্নটি সমস্ত অর্থ হারিয়ে ফেলে: কীভাবে একটি সংখ্যা নয় এমন কিছুকে সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে? ? এটি একটি অদৃশ্য রঙকে কী রঙ হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা উচিত তা জিজ্ঞাসা করার মতো। একটি সংখ্যার সাথে একটি শূন্য যোগ করা পেইন্টের সাথে পেইন্ট করার সমান যা সেখানে নেই। আমরা একটি শুকনো ব্রাশ নেড়ে সবাইকে বলেছিলাম যে "আমরা আঁকা।" কিন্তু আমি একটু বিমুখ।

কোণটি শূন্যের চেয়ে বড় কিন্তু পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রির কম। আমাদের অনেক লেটুস আছে, কিন্তু পর্যাপ্ত পানি নেই। ফলস্বরূপ, আমরা পুরু borscht পেতে হবে.

কোণটি পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রি। আমরা সমান পরিমাণ জল এবং সালাদ আছে. এটি নিখুঁত বোর্শট (আমাকে ক্ষমা করুন, শেফরা, এটি কেবল গণিত)।

কোণটি পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রির বেশি, কিন্তু নব্বই ডিগ্রির কম। আমরা অনেক জল এবং সামান্য সালাদ আছে. আপনি তরল borscht পাবেন.

সমকোণ। আমাদের জল আছে। সালাদ থেকে যা অবশিষ্ট থাকে তা হল স্মৃতি, কারণ আমরা সালাদকে একবার চিহ্নিত করা লাইন থেকে কোণ পরিমাপ করতে থাকি। আমরা বোর্শট রান্না করতে পারি না। বোর্স্টের পরিমাণ শূন্য। এই ক্ষেত্রে, আপনার কাছে থাকা অবস্থায় ধরে রাখুন এবং জল পান করুন)))

এখানে। এমন কিছু। আমি এখানে অন্যান্য গল্প বলতে পারি যা এখানে উপযুক্ত হবে।

দুই বন্ধুর একটি সাধারণ ব্যবসায় তাদের শেয়ার ছিল। তাদের একজনকে হত্যা করার পর সবকিছু অন্যের হাতে চলে যায়।

আমাদের গ্রহে গণিতের আবির্ভাব।

এই সমস্ত গল্প রৈখিক কৌণিক ফাংশন ব্যবহার করে গণিতের ভাষায় বলা হয়। অন্য কোন সময় আমি আপনাকে গণিতের কাঠামোতে এই ফাংশনগুলির আসল স্থান দেখাব। এর মধ্যে, আসুন বোর্শট ত্রিকোণমিতিতে ফিরে আসি এবং অনুমানগুলি বিবেচনা করি।

শনিবার, অক্টোবর 26, 2019

আমি সম্পর্কে একটি আকর্ষণীয় ভিডিও দেখেছি গ্র্যান্ডি সিরিজ এক বিয়োগ এক যোগ এক বিয়োগ এক - নম্বরফাইল. গণিতবিদরা মিথ্যা বলেন। তারা তাদের যুক্তির সময় সমতা পরীক্ষা করেনি।

এই সম্পর্কে আমার চিন্তা প্রতিধ্বনিত.

আসুন গণিতবিদরা আমাদের প্রতারিত করছেন এমন লক্ষণগুলি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক। যুক্তির একেবারে শুরুতে, গণিতবিদরা বলেছেন যে একটি অনুক্রমের যোগফল নির্ভর করে তার উপাদানগুলির একটি জোড় সংখ্যা আছে কি না। এটি একটি উদ্দেশ্যমূলকভাবে প্রতিষ্ঠিত সত্য। এরপর কি হবে?

এরপরে, গণিতবিদরা ঐক্য থেকে ক্রম বিয়োগ করেন। এই নেতৃত্ব কি? এটি অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যার পরিবর্তনের দিকে পরিচালিত করে - একটি জোড় সংখ্যা একটি বিজোড় সংখ্যায় পরিবর্তিত হয়, একটি বিজোড় সংখ্যা একটি জোড় সংখ্যায় পরিবর্তিত হয়। সর্বোপরি, আমরা ক্রমটিতে একের সমান একটি উপাদান যুক্ত করেছি। সমস্ত বাহ্যিক সাদৃশ্য থাকা সত্ত্বেও, রূপান্তরের পূর্বের ক্রমটি রূপান্তরের পরের অনুক্রমের সমান নয়। এমনকি যদি আমরা একটি অসীম ক্রম সম্পর্কে কথা বলি তবে আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একটি বিজোড় সংখ্যক উপাদান সহ একটি অসীম ক্রম একটি জোড় সংখ্যক উপাদান সহ অসীম ক্রমের সমান নয়।

দুটি ক্রমকে বিভিন্ন সংখ্যার উপাদানের সাথে সমীকরণ করে, গণিতবিদরা দাবি করেন যে অনুক্রমের যোগফল অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যার উপর নির্ভর করে না, যা একটি উদ্দেশ্যমূলকভাবে প্রতিষ্ঠিত সত্যের বিরোধিতা করে। অসীম অনুক্রমের যোগফল সম্পর্কে আরও যুক্তি মিথ্যা, কারণ এটি একটি মিথ্যা সমতার উপর ভিত্তি করে।

আপনি যদি দেখেন যে গণিতবিদরা, প্রমাণের সময়, বন্ধনী স্থাপন করেন, একটি গাণিতিক অভিব্যক্তির উপাদানগুলিকে পুনর্বিন্যাস করেন, কিছু যোগ করেন বা সরিয়ে দেন, খুব সতর্ক থাকুন, সম্ভবত তারা আপনাকে প্রতারণা করার চেষ্টা করছে। কার্ড জাদুকরদের মতো, গণিতবিদরা আপনার মনোযোগ বিভ্রান্ত করার জন্য অভিব্যক্তির বিভিন্ন হেরফের ব্যবহার করে শেষ পর্যন্ত আপনাকে একটি মিথ্যা ফলাফল দেওয়ার জন্য। আপনি যদি প্রতারণার রহস্য না জেনে একটি কার্ডের কৌশল পুনরাবৃত্তি করতে না পারেন, তবে গণিতে সবকিছু অনেক সহজ: আপনি প্রতারণা সম্পর্কে কিছু সন্দেহও করেন না, তবে সমস্ত ম্যানিপুলেশনের পুনরাবৃত্তি করুন গাণিতিক অভিব্যক্তিআপনাকে আপনার ফলাফলের সঠিকতা সম্পর্কে অন্যদের বোঝাতে অনুমতি দেয়, ঠিক যেমন আপনি একবার নিশ্চিত ছিলেন।

শ্রোতাদের কাছ থেকে প্রশ্ন: অসীম (S অনুক্রমের উপাদানের সংখ্যা হিসাবে) কি জোড় বা বিজোড়? কোন সমতা নেই এমন কিছুর সমতা কিভাবে পরিবর্তন করবেন?

অসীমতা গণিতবিদদের জন্য, যেমন স্বর্গের রাজ্য পুরোহিতদের জন্য - কেউ কখনও সেখানে যায়নি, তবে সবাই জানে যে সেখানে কীভাবে সবকিছু কাজ করে))) আমি সম্মত, মৃত্যুর পরে আপনি একেবারে উদাসীন হবেন আপনি জোড় বা বিজোড় সংখ্যায় বেঁচে ছিলেন কিনা। দিনের, কিন্তু... আপনার জীবনের শুরুতে মাত্র একটি দিন যোগ করলে, আমরা একজন সম্পূর্ণ ভিন্ন ব্যক্তিকে পাব: তার শেষ নাম, প্রথম নাম এবং পৃষ্ঠপোষকতা ঠিক একই, শুধুমাত্র জন্ম তারিখ সম্পূর্ণ ভিন্ন - তিনি ছিলেন তোমার একদিন আগে জন্ম।

এখন আসা যাক বিন্দুতে))) চলুন বলি যে একটি সীমিত ক্রম যাতে সমতা থাকে সে অসীমে যাওয়ার সময় এই সমতা হারায়। তারপর একটি অসীম ক্রম যে কোনো সসীম অংশ সমতা হারাতে হবে. আমরা এটা দেখতে না. আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি না যে একটি অসীম অনুক্রমের একটি জোড় বা বিজোড় সংখ্যক উপাদান আছে কিনা তার মানে এই নয় যে সমতা অদৃশ্য হয়ে গেছে। প্যারিটি, যদি এটি বিদ্যমান থাকে, একটি শার্পির স্লিভের মতো, অসীমের একটি চিহ্ন ছাড়া অদৃশ্য হয়ে যেতে পারে না। এই ক্ষেত্রে একটি খুব ভাল উপমা আছে.

ঘড়ির কাঁটায় বসে থাকা কোকিলকে কি কখনো জিজ্ঞেস করেছো ঘড়ির হাত কোন দিকে ঘোরে? তার জন্য, তীরটি আমরা "ঘড়ির কাঁটার দিকে" বলি তার বিপরীত দিকে ঘোরে। এটি যতটা বিরোধিতাপূর্ণ শোনাতে পারে, ঘূর্ণনের দিকটি নির্ভর করে আমরা কোন দিক থেকে ঘূর্ণন পর্যবেক্ষণ করি তার উপর। এবং তাই, আমাদের একটি চাকা আছে যা ঘোরে। কোন দিকে ঘূর্ণন ঘটে তা আমরা বলতে পারি না, যেহেতু আমরা ঘূর্ণনের সমতলের একপাশ থেকে এবং অন্য দিক থেকে এটি পর্যবেক্ষণ করতে পারি। আমরা শুধুমাত্র ঘূর্ণন আছে যে সত্য সাক্ষ্য দিতে পারেন. একটি অসীম অনুক্রমের সমতার সাথে সম্পূর্ণ সাদৃশ্য এস.

এখন একটি দ্বিতীয় ঘূর্ণন চাকা যোগ করা যাক, যার ঘূর্ণনের সমতলটি প্রথম ঘূর্ণায়মান চাকার ঘূর্ণনের সমতলের সমান্তরাল। আমরা এখনও নিশ্চিতভাবে বলতে পারি না যে এই চাকাগুলি কোন দিকে ঘোরে, তবে আমরা পুরোপুরি বলতে পারি যে উভয় চাকা একই দিকে বা বিপরীত দিকে ঘোরে। দুটি অসীম ক্রম তুলনা এসএবং 1-এস, আমি গণিতের সাহায্যে দেখিয়েছি যে এই ক্রমগুলির বিভিন্ন সমতা রয়েছে এবং তাদের মধ্যে একটি সমান চিহ্ন স্থাপন করা একটি ভুল। ব্যক্তিগতভাবে, আমি গণিতকে বিশ্বাস করি, আমি গণিতবিদদের বিশ্বাস করি না))) যাইহোক, অসীম ক্রমগুলির রূপান্তরের জ্যামিতি সম্পূর্ণরূপে বোঝার জন্য, ধারণাটি প্রবর্তন করা প্রয়োজন "একযোগে". এই আঁকা প্রয়োজন হবে.

বুধবার, 7 আগস্ট, 2019

সম্পর্কে কথোপকথন উপসংহার, আমরা একটি অসীম সেট বিবেচনা করা প্রয়োজন. বিন্দু হল যে "অনন্ত" ধারণাটি গণিতবিদদের প্রভাবিত করে যেমন একটি বোয়া কনস্ট্রিক্টর একটি খরগোশকে প্রভাবিত করে। অসীমের কম্পিত ভয়াবহতা গণিতবিদদের সাধারণ জ্ঞান থেকে বঞ্চিত করে। এখানে একটি উদাহরণ:

মূল উৎস অবস্থিত. আলফা মানে প্রকৃত সংখ্যা. উপরের অভিব্যক্তিতে সমান চিহ্নটি নির্দেশ করে যে আপনি যদি অসীমের সাথে একটি সংখ্যা বা অসীম যোগ করেন তবে কিছুই পরিবর্তন হবে না, ফলাফলটি একই অসীম হবে। যদি আমরা একটি উদাহরণ হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার অসীম সেট গ্রহণ করি, তাহলে বিবেচিত উদাহরণগুলি নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

স্পষ্টভাবে প্রমাণ করার জন্য যে তারা সঠিক ছিল, গণিতবিদরা বিভিন্ন পদ্ধতি নিয়ে এসেছিলেন। ব্যক্তিগতভাবে, আমি এই সমস্ত পদ্ধতিগুলিকে দফ দিয়ে নাচতে শামান হিসাবে দেখি। মূলত, তারা সকলেই এই বিষয়টিতে ফুটে ওঠে যে হয় কিছু রুম খালি রয়েছে এবং নতুন অতিথিরা প্রবেশ করছে, অথবা অতিথিদের জন্য জায়গা তৈরি করার জন্য কিছু দর্শককে করিডোরে ফেলে দেওয়া হয়েছে (খুব মানবিকভাবে)। আমি স্বর্ণকেশী সম্পর্কে একটি ফ্যান্টাসি গল্প আকারে এই ধরনের সিদ্ধান্ত সম্পর্কে আমার মতামত উপস্থাপন. আমার যুক্তি কি উপর ভিত্তি করে? অসীম সংখ্যক দর্শনার্থীদের স্থানান্তরিত করতে অসীম পরিমাণ সময় লাগে। আমরা একজন অতিথির জন্য প্রথম ঘরটি খালি করার পরে, দর্শকদের একজন সর্বদা তার রুম থেকে পরের ঘরে করিডোর বরাবর হাঁটবে সময় শেষ না হওয়া পর্যন্ত। অবশ্যই, টাইম ফ্যাক্টরকে নির্বোধভাবে উপেক্ষা করা যেতে পারে, তবে এটি "মূর্খদের জন্য কোন আইন লেখা হয় না" এর বিভাগে হবে। এটা সব আমরা কি করছি তার উপর নির্ভর করে: গাণিতিক তত্ত্বের সাথে বাস্তবতাকে সামঞ্জস্য করা বা এর বিপরীতে।

একটি "অন্তহীন হোটেল" কি? একটি অসীম হোটেল হল এমন একটি হোটেল যেখানে কতগুলি রুম দখল করা হোক না কেন সবসময় যে কোনও সংখ্যক খালি বিছানা থাকে। যদি অন্তহীন "দর্শক" করিডোরের সমস্ত কক্ষ দখল করা হয়, তবে "অতিথি" কক্ষ সহ আরেকটি অন্তহীন করিডোর রয়েছে। এই ধরনের করিডোর অসীম সংখ্যক হবে। তদুপরি, "অসীম হোটেল" এর অসীম সংখ্যক বিল্ডিংগুলিতে অসীম সংখ্যক ফ্লোর রয়েছে অসীম সংখ্যক গ্রহের অসীম সংখ্যক মহাবিশ্বের অসীম সংখ্যক ঈশ্বরের দ্বারা সৃষ্ট। গণিতবিদরা সাধারণ দৈনন্দিন সমস্যা থেকে নিজেদেরকে দূরে রাখতে সক্ষম হয় না: সর্বদা একমাত্র ঈশ্বর-আল্লাহ-বুদ্ধ থাকে, শুধুমাত্র একটি হোটেল থাকে, একটি মাত্র করিডোর থাকে। তাই গণিতবিদরা হোটেল কক্ষের ক্রমিক সংখ্যাগুলিকে ধামাচাপা দেওয়ার চেষ্টা করছেন, আমাদের বোঝাচ্ছেন যে "অসম্ভবকে ধাক্কা দেওয়া" সম্ভব।

আমি প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি অসীম সেটের উদাহরণ ব্যবহার করে আপনার কাছে আমার যুক্তির যুক্তি প্রদর্শন করব। প্রথমে আপনাকে একটি খুব সহজ প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে: প্রাকৃতিক সংখ্যার কত সেট আছে - এক বা অনেক? এই প্রশ্নের কোন সঠিক উত্তর নেই, যেহেতু আমরা নিজেরাই সংখ্যা আবিষ্কার করেছি প্রকৃতিতে সংখ্যা নেই। হ্যাঁ, প্রকৃতি গণনায় দুর্দান্ত, তবে এর জন্য সে অন্যান্য গাণিতিক সরঞ্জাম ব্যবহার করে যা আমাদের কাছে পরিচিত নয়। প্রকৃতি কি মনে করে তা অন্য সময় বলব। যেহেতু আমরা সংখ্যাগুলি আবিষ্কার করেছি, তাই আমরা নিজেরাই সিদ্ধান্ত নেব যে কত সেট প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে। এর উভয় বিকল্প বিবেচনা করা যাক, প্রকৃত বিজ্ঞানীদের জন্য উপযুক্ত।

বিকল্প এক. "আমাদের দেওয়া হোক" প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি একক সেট, যা শেলফে নিশ্চিন্তে থাকে। আমরা তাক থেকে এই সেট নিতে. এটিই, শেলফে অন্য কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা অবশিষ্ট নেই এবং সেগুলি নেওয়ার কোথাও নেই। আমরা এই সেটে একটি যোগ করতে পারি না, যেহেতু আমাদের এটি ইতিমধ্যেই আছে। আপনি যদি সত্যিই চান? কোন সমস্যা নেই। আমরা ইতিমধ্যে যে সেটটি নিয়েছি তা থেকে আমরা একটি নিতে পারি এবং তা তাকে ফেরত দিতে পারি। এর পরে, আমরা তাক থেকে একটি নিতে পারি এবং আমরা যা রেখেছি তাতে এটি যোগ করতে পারি। ফলস্বরূপ, আমরা আবার প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি অসীম সেট পাব। আপনি এই মত আমাদের সমস্ত ম্যানিপুলেশন লিখতে পারেন:

আমি কর্মগুলো রেকর্ড করেছি বীজগণিত ব্যবস্থাস্বরলিপি এবং সেটের উপাদানগুলির একটি বিশদ তালিকা সহ সেট তত্ত্বে গৃহীত স্বরলিপি পদ্ধতিতে। সাবস্ক্রিপ্টটি নির্দেশ করে যে আমাদের কাছে প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি এবং একমাত্র সেট রয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটি অপরিবর্তিত থাকবে শুধুমাত্র যদি এটি থেকে একটি বিয়োগ করা হয় এবং একই একক যোগ করা হয়।

বিকল্প দুই. আমাদের শেলফে প্রাকৃতিক সংখ্যার অনেক ভিন্ন ভিন্ন অসীম সেট আছে। আমি জোর দিচ্ছি - ভিন্ন, যদিও তারা কার্যত আলাদা নয়। চলুন এই সেটগুলির একটি নেওয়া যাক। তারপরে আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার অন্য সেট থেকে একটি গ্রহণ করি এবং আমরা ইতিমধ্যে যে সেটটি নিয়েছি তাতে এটি যোগ করি। এমনকি আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার দুটি সেট যোগ করতে পারি। আমরা যা পাই তা হল:

"এক" এবং "দুই" সাবস্ক্রিপ্টগুলি নির্দেশ করে যে এই উপাদানগুলি বিভিন্ন সেটের অন্তর্গত। হ্যাঁ, যদি আপনি একটি অসীম সেটে একটি যোগ করেন, ফলাফলটিও একটি অসীম সেট হবে, তবে এটি মূল সেটের মতো হবে না। আপনি যদি একটি অসীম সেটের সাথে আরেকটি অসীম সেট যোগ করেন, ফলাফলটি প্রথম দুটি সেটের উপাদান নিয়ে গঠিত একটি নতুন অসীম সেট।

প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটি গণনার জন্য একইভাবে ব্যবহৃত হয় যেমন একটি শাসক পরিমাপের জন্য। এখন কল্পনা করুন যে আপনি শাসকের সাথে এক সেন্টিমিটার যোগ করেছেন। এটি একটি ভিন্ন লাইন হবে, আসলটির সমান নয়।

আপনি আমার যুক্তি গ্রহণ করতে পারেন বা না মানতে পারেন - এটি আপনার নিজের ব্যবসা। কিন্তু যদি কোনদিন দেখা হয় গণিত সমস্যা, আপনি গণিতবিদদের প্রজন্মের দ্বারা পদদলিত মিথ্যা যুক্তির পথ অনুসরণ করছেন কিনা তা নিয়ে চিন্তা করুন। সর্বোপরি, গণিত অধ্যয়ন, সর্বপ্রথম, আমাদের মধ্যে চিন্তার একটি স্থিতিশীল স্টেরিওটাইপ গঠন করে এবং কেবল তখনই আমাদের মানসিক ক্ষমতাকে যুক্ত করে (বা, বিপরীতভাবে, আমাদের মুক্ত-চিন্তা থেকে বঞ্চিত করে)।

pozg.ru

রবিবার, আগস্ট 4, 2019

আমি একটি নিবন্ধের একটি পোস্টস্ক্রিপ্ট শেষ করছিলাম এবং উইকিপিডিয়ায় এই চমৎকার লেখাটি দেখেছি:

আমরা পড়ি: "... ধনী তাত্ত্বিক ভিত্তিব্যাবিলনের গণিতের একটি সামগ্রিক চরিত্র ছিল না এবং এটি একটি ভিন্ন কৌশলের সেটে পরিণত হয়েছিল, যা ছিল না। সাধারণ সিস্টেমএবং প্রমাণের ভিত্তি।"

বাহ! আমরা কতটা স্মার্ট এবং আমরা কতটা ভালোভাবে অন্যের ত্রুটি দেখতে পারি। আধুনিক গণিতকে একই প্রসঙ্গে দেখা কি আমাদের পক্ষে কঠিন? উপরোক্ত টেক্সটটি সামান্য ব্যাখ্যা করে, আমি ব্যক্তিগতভাবে নিম্নলিখিত পেয়েছি:

আধুনিক গণিতের সমৃদ্ধ তাত্ত্বিক ভিত্তি প্রকৃতিগতভাবে সামগ্রিক নয় এবং এটি একটি সাধারণ সিস্টেম এবং প্রমাণের ভিত্তি বর্জিত ভিন্ন ভিন্ন বিভাগের একটি সেটে হ্রাস পেয়েছে।

আমি আমার শব্দগুলি নিশ্চিত করতে বেশিদূর যাব না - এটিতে একটি ভাষা এবং নিয়ম রয়েছে যা গণিতের অন্যান্য অনেক শাখার ভাষা এবং নিয়মাবলী থেকে আলাদা। গণিতের বিভিন্ন শাখায় একই নামের বিভিন্ন অর্থ হতে পারে। আমি আধুনিক গণিতের সবচেয়ে স্পষ্ট ভুলগুলির জন্য প্রকাশনার একটি সম্পূর্ণ সিরিজ উৎসর্গ করতে চাই। শীঘ্রই দেখা হবে।

শনিবার, 3 আগস্ট, 2019

একটি সেটকে কীভাবে উপসেটে ভাগ করবেন? এটি করার জন্য, আপনাকে পরিমাপের একটি নতুন ইউনিট প্রবেশ করতে হবে যা নির্বাচিত সেটের কিছু উপাদানে উপস্থিত রয়েছে। এর একটি উদাহরণ তাকান.

আমরা প্রচুর আছে কচার জনের সমন্বয়ে গঠিত। এই সেটটি "মানুষ" এর ভিত্তিতে তৈরি করা হয়েছে, আসুন আমরা এই সেটের উপাদানগুলিকে অক্ষর দ্বারা বোঝাই ক, একটি সংখ্যা সহ সাবস্ক্রিপ্ট এই সেটের প্রতিটি ব্যক্তির ক্রমিক নম্বর নির্দেশ করবে। আসুন পরিমাপের একটি নতুন একক "লিঙ্গ" প্রবর্তন করি এবং এটিকে অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করি খ. যেহেতু যৌন বৈশিষ্ট্য সব মানুষের অন্তর্নিহিত, তাই আমরা সেটের প্রতিটি উপাদানকে গুণ করি কলিঙ্গ উপর ভিত্তি করে খ. লক্ষ্য করুন যে আমাদের "মানুষ" এর সেটটি এখন "লিঙ্গ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ব্যক্তিদের" একটি সেটে পরিণত হয়েছে। এর পর আমরা পুরুষের মধ্যে যৌন বৈশিষ্ট্যকে ভাগ করতে পারি bmএবং মহিলাদের bwযৌন বৈশিষ্ট্য। এখন আমরা একটি গাণিতিক ফিল্টার প্রয়োগ করতে পারি: আমরা এই যৌন বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি নির্বাচন করি, পুরুষ বা মহিলা যাই হোক না কেন। যদি একজন ব্যক্তির এটি থাকে তবে আমরা এটিকে এক দ্বারা গুণ করি, যদি এমন কোন চিহ্ন না থাকে তবে আমরা এটিকে শূন্য দিয়ে গুণ করি। এবং তারপরে আমরা নিয়মিত স্কুলের গণিত ব্যবহার করি। দেখুন কি হয়েছে।

গুণ, হ্রাস এবং পুনর্বিন্যাস করার পরে, আমরা দুটি উপসেট দিয়ে শেষ করেছি: পুরুষদের উপসেট বি.এমএবং মহিলাদের একটি উপসেট Bw. গণিতবিদরা প্রায় একইভাবে যুক্তি দেন যখন তারা অনুশীলনে সেট তত্ত্ব প্রয়োগ করেন। কিন্তু তারা আমাদের বিশদ বিবরণ দেয় না, তবে আমাদের সমাপ্ত ফলাফল দেয় - "অনেক লোকে পুরুষদের একটি উপসেট এবং মহিলাদের একটি উপসেট নিয়ে গঠিত।" স্বাভাবিকভাবেই, আপনার একটি প্রশ্ন থাকতে পারে: উপরে বর্ণিত রূপান্তরগুলিতে গণিত কতটা সঠিকভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে? আমি আপনাকে আশ্বস্ত করতে সাহস করি যে, সারমর্মে, রূপান্তরগুলি সঠিকভাবে করা হয়েছিল পাটিগণিত, বুলিয়ান বীজগণিত এবং গণিতের অন্যান্য শাখাগুলির গাণিতিক ভিত্তিগুলি জানা যথেষ্ট। এটা কি? অন্য কোন সময় আমি আপনাকে এই সম্পর্কে বলব.

সুপারসেটের ক্ষেত্রে, আপনি এই দুটি সেটের উপাদানগুলিতে উপস্থিত পরিমাপের একক নির্বাচন করে দুটি সেটকে একটি সুপারসেটে একত্রিত করতে পারেন।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, পরিমাপের একক এবং সাধারণ গণিত সেট তত্ত্বকে অতীতের একটি অবশেষ করে তোলে। সেট তত্ত্বের সাথে সবকিছু ঠিকঠাক নয় এমন একটি লক্ষণ হল যে গণিতবিদরা সেট তত্ত্বের জন্য তাদের নিজস্ব ভাষা এবং স্বরলিপি নিয়ে এসেছেন। গণিতবিদরা একবার শামানদের মতো কাজ করেছিলেন। শুধুমাত্র শামানরা জানে কিভাবে তাদের "জ্ঞান"কে "সঠিকভাবে" প্রয়োগ করতে হয়। তারা আমাদের এই "জ্ঞান" শেখায়।

উপসংহারে, আমি আপনাকে দেখাতে চাই কিভাবে গণিতবিদরা ম্যানিপুলেট করে
ধরা যাক অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে দশগুণ দ্রুত দৌড়ায় এবং তার থেকে এক হাজার ধাপ পিছনে রয়েছে। এই দূরত্ব চালাতে অ্যাকিলিসের সময় লাগবে, কচ্ছপটি একই দিকে একশো ধাপ হামাগুড়ি দেবে। অ্যাকিলিস যখন একশো কদম দৌড়ায়, তখন কচ্ছপ আরও দশ ধাপ হামাগুড়ি দেয়, ইত্যাদি। প্রক্রিয়াটি অনন্তকাল অব্যাহত থাকবে, অ্যাকিলিস কখনই কচ্ছপের সাথে ধরা দেবে না।

এই যুক্তি পরবর্তী সমস্ত প্রজন্মের জন্য একটি যৌক্তিক শক হয়ে ওঠে। অ্যারিস্টটল, ডায়োজেনিস, কান্ট, হেগেল, হিলবার্ট... তারা সকলেই জেনোর অপোরিয়াকে এক বা অন্যভাবে বিবেচনা করেছিলেন। ধাক্কাটা এতটাই শক্তিশালী ছিল যে " ...আলোচনা আজ অবধি চলছে; গাণিতিক বিশ্লেষণ, সেট তত্ত্ব, নতুন শারীরিক এবং দার্শনিক পদ্ধতির; তাদের মধ্যে কোনটিই সমস্যার সাধারণভাবে গৃহীত সমাধান হয়ে ওঠেনি..."[উইকিপিডিয়া, "জেনো'স অ্যাপোরিয়া"। সবাই বোঝে যে তাদের বোকা বানানো হচ্ছে, কিন্তু কেউ বুঝতে পারে না যে প্রতারণা কিসের।

গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, জেনো তার অ্যাপোরিয়াতে পরিমাণ থেকে পরিবর্তিত হওয়ার বিষয়টি স্পষ্টভাবে দেখিয়েছেন। এই রূপান্তরটি স্থায়ীগুলির পরিবর্তে প্রয়োগকে বোঝায়। যতদূর বুঝি, গাণিতিক যন্ত্রপাতিপরিমাপের পরিবর্তনশীল এককগুলির ব্যবহার হয় এখনও বিকশিত হয়নি, বা এটি জেনোর অ্যাপোরিয়াতে প্রয়োগ করা হয়নি। আমাদের স্বাভাবিক যুক্তি প্রয়োগ করা আমাদের একটি ফাঁদে নিয়ে যায়। আমরা, চিন্তার জড়তার কারণে, পারস্পরিক মূল্যে সময়ের ধ্রুবক একক প্রয়োগ করি। দৈহিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি অ্যাকিলিস কচ্ছপের সাথে ধরা পড়ার মুহুর্তে সম্পূর্ণরূপে থেমে না যাওয়া পর্যন্ত সময় ধীর হয়ে যাচ্ছে বলে মনে হচ্ছে। সময় থেমে গেলে, অ্যাকিলিস আর কাছিমকে ছাড়িয়ে যেতে পারবে না।

আমরা যদি আমাদের স্বাভাবিক যুক্তিকে ঘুরিয়ে দেখি, সবকিছু জায়গায় পড়ে। সঙ্গে রান করেন অ্যাকিলিস ধ্রুব গতি. তার পথের প্রতিটি পরবর্তী সেগমেন্ট আগেরটির চেয়ে দশগুণ ছোট। তদনুসারে, এটি কাটিয়ে উঠতে ব্যয় করা সময় আগেরটির চেয়ে দশগুণ কম। যদি আমরা এই পরিস্থিতিতে "অনন্ত" ধারণাটি প্রয়োগ করি, তবে এটি বলা সঠিক হবে "অ্যাকিলিস অসীমভাবে দ্রুত কচ্ছপটিকে ধরবে।"

কিভাবে এই যৌক্তিক ফাঁদ এড়াতে? সময়ের অবিচ্ছিন্ন এককগুলিতে থাকুন এবং পারস্পরিক এককগুলিতে স্যুইচ করবেন না। জেনোর ভাষায় এটি এইরকম দেখায়:

অ্যাকিলিসকে এক হাজার কদম ছুটতে যে সময় লাগবে, কচ্ছপটি একই দিকে একশো কদম হাঁটবে। পরের সময়ের ব্যবধানে প্রথমটির সমান, অ্যাকিলিস আরও হাজার কদম দৌড়াবে এবং কচ্ছপটি একশো ধাপ হাঁটবে। এখন অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে আটশো ধাপ এগিয়ে।

এই পদ্ধতিটি কোন যৌক্তিক প্যারাডক্স ছাড়াই বাস্তবতাকে পর্যাপ্তভাবে বর্ণনা করে। কিন্তু এটা না সম্পূর্ণ সমাধানসমস্যা আলোর গতির অপ্রতিরোধ্যতা সম্পর্কে আইনস্টাইনের বিবৃতি জেনোর অ্যাপোরিয়া "অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ" এর সাথে খুব মিল। আমাদের এখনও এই সমস্যার অধ্যয়ন, পুনর্বিবেচনা এবং সমাধান করতে হবে। এবং সমাধানটি অসীমভাবে বড় সংখ্যায় নয়, পরিমাপের এককের মধ্যে চাওয়া উচিত।

জেনোর আরেকটি আকর্ষণীয় অ্যাপোরিয়া একটি উড়ন্ত তীর সম্পর্কে বলে:

একটি উড়ন্ত তীর গতিহীন, যেহেতু সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে এটি বিশ্রামে থাকে এবং যেহেতু এটি সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে বিশ্রামে থাকে, তাই এটি সর্বদা বিশ্রামে থাকে।

এই অপোরিয়াতে, লজিক্যাল প্যারাডক্সটি খুব সহজভাবে কাটিয়ে উঠেছে - এটি স্পষ্ট করার জন্য যথেষ্ট যে সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে একটি উড়ন্ত তীর মহাকাশের বিভিন্ন পয়েন্টে বিশ্রামে থাকে, যা আসলে গতি। এখানে আরেকটি বিষয় উল্লেখ করা প্রয়োজন। রাস্তায় একটি গাড়ির একটি ছবি থেকে এটির গতিবিধি বা এর দূরত্ব নির্ণয় করা অসম্ভব। একটি গাড়ি চলমান কিনা তা নির্ধারণ করতে, আপনার একই পয়েন্ট থেকে বিভিন্ন সময়ে তোলা দুটি ফটোগ্রাফ প্রয়োজন, তবে আপনি তাদের থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করতে পারবেন না। একটি গাড়ির দূরত্ব নির্ধারণ করার জন্য, আপনার একটি সময়ে মহাকাশের বিভিন্ন বিন্দু থেকে তোলা দুটি ফটোগ্রাফের প্রয়োজন, কিন্তু সেগুলি থেকে আপনি গতিবিধির সত্যতা নির্ধারণ করতে পারবেন না (অবশ্যই, আপনার এখনও গণনার জন্য অতিরিক্ত ডেটা প্রয়োজন, ত্রিকোণমিতি আপনাকে সাহায্য করবে। ) আমি যে বিষয়ে বিশেষ মনোযোগ আকর্ষণ করতে চাই তা হল সময়ের দুটি বিন্দু এবং স্থানের দুটি বিন্দু ভিন্ন জিনিস যা বিভ্রান্ত করা উচিত নয়, কারণ তারা গবেষণার জন্য বিভিন্ন সুযোগ প্রদান করে।
আমি আপনাকে একটি উদাহরণ সহ প্রক্রিয়া দেখাব। আমরা "একটি পিম্পলের মধ্যে লাল কঠিন" নির্বাচন করি - এটি আমাদের "পুরো"। একই সময়ে, আমরা দেখতে পাই যে এই জিনিসগুলি একটি ধনুকের সাথে রয়েছে এবং একটি ধনুক ছাড়াই রয়েছে। এর পরে, আমরা "পুরো" এর অংশ নির্বাচন করি এবং "ধনুক সহ" একটি সেট তৈরি করি। এভাবেই শামানরা তাদের সেট তত্ত্বকে বাস্তবের সাথে বেঁধে তাদের খাদ্য পায়।

এবার একটু কৌশল করা যাক। আসুন "একটি পিম্পল এবং একটি ধনুক সহ কঠিন" নিই এবং লাল উপাদানগুলি নির্বাচন করে রঙ অনুসারে এই "পুরোগুলি" একত্রিত করি। আমরা অনেক "লাল" পেয়েছি। এখন চূড়ান্ত প্রশ্ন: ফলাফল "ধনুক সহ" এবং "লাল" একই সেট নাকি দুটি ভিন্ন সেট? উত্তরটা শুধু শামানরাই জানে। আরও স্পষ্টভাবে, তারা নিজেরাই কিছু জানে না, তবে তারা যেমন বলে, তাই হবে।

এই সহজ উদাহরণ দেখায় যে সেট তত্ত্বটি বাস্তবে আসলে সম্পূর্ণরূপে অকেজো। রহস্য কি? আমরা একটি সেট গঠন "একটি পিম্পল এবং একটি নম সঙ্গে লাল কঠিন।" গঠনটি পরিমাপের চারটি ভিন্ন একক অনুসারে সংঘটিত হয়েছিল: রঙ (লাল), শক্তি (কঠিন), রুক্ষতা (পিম্পলি), সজ্জা (ধনুক সহ)। শুধুমাত্র পরিমাপের এককগুলির একটি সেট আমাদেরকে গণিতের ভাষায় প্রকৃত বস্তুগুলিকে পর্যাপ্তভাবে বর্ণনা করতে দেয়. এটা কি মত দেখায়.

বিভিন্ন সূচক সহ "a" অক্ষরটির অর্থ বিভিন্ন ইউনিটপরিমাপ পরিমাপের একক যার দ্বারা প্রাথমিক পর্যায়ে "সম্পূর্ণ" আলাদা করা হয় বন্ধনীতে হাইলাইট করা হয়। পরিমাপের একক যার দ্বারা সেটটি তৈরি হয় তা বন্ধনী থেকে বের করা হয়। শেষ লাইনটি চূড়ান্ত ফলাফল দেখায় - সেটের একটি উপাদান। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, যদি আমরা একটি সেট তৈরি করতে পরিমাপের একক ব্যবহার করি, তাহলে ফলাফল আমাদের কর্মের ক্রম উপর নির্ভর করে না। এবং এটি গণিত, এবং দফের সাথে শামানদের নাচ নয়। শামানরা "স্বজ্ঞাতভাবে" একই ফলাফলে আসতে পারে, যুক্তি দিয়ে যে এটি "স্পষ্ট" কারণ পরিমাপের একক তাদের "বৈজ্ঞানিক" অস্ত্রাগারের অংশ নয়।

পরিমাপের একক ব্যবহার করে, একটি সেটকে বিভক্ত করা বা একাধিক সেটকে একটি সুপারসেটে একত্রিত করা খুব সহজ। আসুন এই প্রক্রিয়াটির বীজগণিতটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক।

y (x) = ই এক্স, যার ডেরিভেটিভ ফাংশনের সমান।

সূচকটিকে , বা হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

সংখ্যা ই

সূচক ডিগ্রির ভিত্তি সংখ্যা ই. এই অমূলদ সংখ্যা. এটি প্রায় সমান
e ≈ 2,718281828459045...

সংখ্যা e অনুক্রমের সীমার মাধ্যমে নির্ধারিত হয়। এই তথাকথিত হয় দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা:
.

সংখ্যা ই একটি সিরিজ হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:
.

সূচকীয় গ্রাফ

সূচকীয় গ্রাফ, y = e x।

গ্রাফটি সূচকটি দেখায় eএকটি ডিগ্রী পর্যন্ত এক্স.
y (x) = ই এক্স
গ্রাফটি দেখায় যে সূচকটি একঘেয়ে বৃদ্ধি পায়।

সূত্র

মৌলিক সূত্রের জন্য একই সূচকীয় ফাংশনশক্তি বেস সঙ্গে e.

;
;
;

একটি সূচকের মাধ্যমে একটি ডিগ্রী a এর নির্বিচারে ভিত্তি সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের প্রকাশ:
.

ব্যক্তিগত মান

যাক y (x) = ই এক্স.
.

তারপর

সূচক বৈশিষ্ট্য e > 1 .

সূচকটির একটি পাওয়ার বেস সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য রয়েছে

ডোমেন, মান সেট (x) = ই এক্সসূচক y
সব x এর জন্য সংজ্ঞায়িত।
- ∞ < x + ∞ .
এর সংজ্ঞার ডোমেন:
0 < y < + ∞ .

এর অনেক অর্থ:

চরম, বাড়ছে, কমছে

এক্সপোনেনশিয়াল হল একঘেয়ে ক্রমবর্ধমান ফাংশন, তাই এর কোন চরমতা নেই। এর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি টেবিলে উপস্থাপন করা হয়েছে।

বিপরীত ফাংশন
;
.

সূচকের বিপরীত হল প্রাকৃতিক লগারিদম।

সূচকের ডেরিভেটিভ eএকটি ডিগ্রী পর্যন্ত এক্সডেরিভেটিভ eএকটি ডিগ্রী পর্যন্ত এক্স :
.
সমান
.
nম অর্ডারের ডেরিভেটিভ:

সূত্র প্রাপ্ত করা >>>

অখণ্ড

জটিল সংখ্যা সঙ্গে কর্মজটিল সংখ্যা ব্যবহার করে বাহিত:
,
অয়লারের সূত্র
.

কাল্পনিক একক কোথায়:

; ;
.

হাইপারবোলিক ফাংশনের মাধ্যমে অভিব্যক্তি

; ;
;
.

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহার করে অভিব্যক্তি

পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ
ব্যবহৃত সাহিত্য:

আই.এন. ব্রনস্টেইন, কে.এ. সেমেন্দিয়েভ, ইঞ্জিনিয়ার এবং কলেজ ছাত্রদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক, "ল্যান", 2009। সমাধান করার সময় মাত্রা এবং পরিমাণের তুলনা করুনপ্রাচীন কাল থেকে ঘটেছে। একই সময়ে, আরও এবং কম, উচ্চ এবং নিম্ন, হালকা এবং ভারী, শান্ত এবং জোরে, সস্তা এবং আরও ব্যয়বহুল ইত্যাদি শব্দগুলি উপস্থিত হয়েছিল, যা সমজাতীয় পরিমাণের তুলনা করার ফলাফলকে নির্দেশ করে।

বস্তু গণনা, পরিমাপ এবং পরিমাণ তুলনা করার ক্ষেত্রে কম-বেশি ধারণার উদ্ভব হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, প্রাচীন গ্রিসের গণিতবিদরা জানতেন যে যেকোন ত্রিভুজের বাহু অন্য দুটি বাহুর সমষ্টির চেয়ে কম এবং বৃহত্তর দিকটি একটি ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীতে অবস্থিত। আর্কিমিডিস, পরিধি গণনা করার সময়, প্রতিষ্ঠিত করেছিলেন যে যে কোনও বৃত্তের পরিধি ব্যাসের তিনগুণ সমান এবং একটি অতিরিক্ত যা ব্যাসের এক সপ্তমাংশের কম, তবে ব্যাসের দশ সত্তর গুণেরও বেশি।

প্রতীকীভাবে > এবং খ ব্যবহার করে সংখ্যা এবং পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক লিখুন। যে রেকর্ডগুলিতে দুটি সংখ্যা একটি চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত রয়েছে: > (এর চেয়ে বড়), আপনি নিম্ন গ্রেডগুলিতেও সংখ্যাগত অসমতার সম্মুখীন হয়েছেন৷ আপনি জানেন যে অসমতা সত্য হতে পারে, অথবা তারা মিথ্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) একটি সঠিক সংখ্যাগত অসমতা, 0.23 > 0.235 একটি ভুল সংখ্যাগত অসমতা।

অজানাকে জড়িত বৈষম্যগুলি অজানা কিছু মানগুলির জন্য সত্য এবং অন্যদের জন্য মিথ্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অসমতা 2x+1>5 x = 3 এর জন্য সত্য, কিন্তু x = -3 এর জন্য মিথ্যা। একটি অজানা সঙ্গে একটি অসমতার জন্য, আপনি টাস্ক সেট করতে পারেন: অসমতা সমাধান. বাস্তবে, অসমতা সমাধানের সমস্যাগুলি সমীকরণ সমাধানের সমস্যার চেয়ে কম প্রায়ই উত্থাপিত এবং সমাধান করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, অনেক অর্থনৈতিক সমস্যা রৈখিক অসমতার সিস্টেমগুলির অধ্যয়ন এবং সমাধানে নেমে আসে। গণিতের অনেক শাখায়, সমীকরণের চেয়ে অসমতা বেশি দেখা যায়।

কিছু অসমতা একটি নির্দিষ্ট বস্তুর অস্তিত্ব প্রমাণ বা অপ্রমাণ করার একমাত্র সহায়ক উপায় হিসাবে কাজ করে, উদাহরণস্বরূপ, একটি সমীকরণের মূল।

সংখ্যাগত অসমতা

আপনি পূর্ণসংখ্যা তুলনা করতে পারেন? দশমিক. আপনি তুলনা নিয়ম জানেন? সাধারণ ভগ্নাংশএকই হর সহ কিন্তু ভিন্ন লব; একই অংকের সাথে কিন্তু ভিন্ন হর। এখানে আপনি শিখবেন যে কোন দুটি সংখ্যার পার্থক্যের চিহ্ন খুঁজে কীভাবে তুলনা করতে হয়।

সংখ্যার তুলনা ব্যাপকভাবে অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একজন অর্থনীতিবিদ বাস্তবের সাথে পরিকল্পিত সূচকের তুলনা করেন, একজন ডাক্তার একজন রোগীর তাপমাত্রাকে স্বাভাবিকের সাথে তুলনা করেন, একজন টার্নার একটি মানের সাথে একটি মেশিনযুক্ত অংশের মাত্রা তুলনা করেন। এই ধরনের সব ক্ষেত্রে, কিছু সংখ্যা তুলনা করা হয়. সংখ্যার তুলনা করার ফলে, সংখ্যাগত অসমতা দেখা দেয়।

সংজ্ঞা।সংখ্যা a হলে b সংখ্যার চেয়ে বড় পার্থক্য a-bইতিবাচক a সংখ্যাটি b সংখ্যার চেয়ে কম যদি a-b পার্থক্যটি ঋণাত্মক হয়।

a যদি b এর থেকে বড় হয়, তাহলে তারা লিখবে: a > b; a যদি b এর থেকে কম হয়, তাহলে তারা লিখবে: a সুতরাং, অসমতা a > b মানে হল যে পার্থক্য a - b ধনাত্মক, অর্থাৎ a - b > 0. অসমতা a নিচের তিনটি সম্পর্ক থেকে যে কোনো দুটি সংখ্যা a এবং b এর জন্য a > b, a = b, a সংখ্যা a এবং b তুলনা করার অর্থ হল কোনটি চিহ্ন >, = অথবা উপপাদ্য। a > b এবং b > c হলে a > c।

উপপাদ্য।অসমতার উভয় পাশে একই সংখ্যা যোগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে না।
পরিণতি।যে কোনো পদকে অসমতার এক অংশ থেকে অন্য অংশে স্থানান্তরিত করা যেতে পারে এই শব্দটির চিহ্নটিকে বিপরীতে পরিবর্তন করে।

উপপাদ্য।যদি অসমতার উভয় দিককে একই ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তবে অসমতার চিহ্নের পরিবর্তন হয় না। যদি অসমতার উভয় দিক একই দ্বারা গুণ করা হয় ঋণাত্মক সংখ্যা, তাহলে অসমতার চিহ্ন বিপরীতে পরিবর্তিত হবে।
পরিণতি।যদি অসমতার উভয় দিককে একই ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে অসমতার চিহ্নের পরিবর্তন হবে না। যদি অসমতার উভয় পক্ষকে একই ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে অসমতার চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হবে।

আপনি জানেন যে সাংখ্যিক সমতা যোগ করা যেতে পারে এবং পদ দ্বারা গুণিত হতে পারে। এর পরে, আপনি শিখবেন কিভাবে অসমতার সাথে অনুরূপ ক্রিয়া সম্পাদন করতে হয়। পদ দ্বারা অসমতা শব্দ যোগ এবং গুণ করার ক্ষমতা প্রায়ই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়। এই ক্রিয়াগুলি অভিব্যক্তির অর্থ মূল্যায়ন এবং তুলনা করার সমস্যাগুলি সমাধান করতে সহায়তা করে।

বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করার সময়, প্রায়শই অসমতা পদের বাম এবং ডান দিকগুলিকে পদ দ্বারা যোগ বা গুণ করতে হয়। একই সময়ে, কখনও কখনও বলা হয় যে বৈষম্য যোগ করে বা গুণ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একজন পর্যটক প্রথম দিনে 20 কিলোমিটারের বেশি এবং দ্বিতীয় দিনে 25 কিলোমিটারের বেশি হাঁটেন, তবে আমরা বলতে পারি যে দুই দিনে তিনি 45 কিলোমিটারের বেশি হাঁটেন। একইভাবে, যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 13 সেন্টিমিটারের কম হয় এবং প্রস্থ 5 সেন্টিমিটারের কম হয়, তাহলে আমরা বলতে পারি যে এই আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 65 সেমি 2 এর কম।

এই উদাহরণগুলি বিবেচনা করার সময়, নিম্নলিখিতগুলি ব্যবহার করা হয়েছিল: বৈষম্যের যোগ এবং গুণনের উপর উপপাদ্য:

উপপাদ্য।একই চিহ্নের অসমতা যোগ করার সময়, একই চিহ্নের একটি অসমতা পাওয়া যায়: যদি a > b এবং c > d হয়, তাহলে a + c > b + d।

উপপাদ্য।একই চিহ্নের অসমতাকে গুণ করার সময়, যার বাম এবং ডান দিক ধনাত্মক, একই চিহ্নের একটি অসমতা পাওয়া যায়: যদি a > b, c > d এবং a, b, c, d - ইতিবাচক সংখ্যা, তারপর ac > bd.

চিহ্নের সাথে অসমতা > (এর চেয়ে বড়) এবং 1/2, 3/4 b, c কঠোর অসমতার চিহ্নগুলির সাথে > এবং একইভাবে, অসমতা \(a \geq b \) মানে হল সংখ্যাটি a b এর থেকে বড় বা সমান, অর্থাৎ .এবং কম b নয়।

\(\geq \) চিহ্ন বা \(\leq \) চিহ্ন সম্বলিত অসমতাকে অ-কঠোর বলে। উদাহরণস্বরূপ, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) কঠোর অসমতা নয়।

কঠোর অসাম্যের সমস্ত বৈশিষ্ট্য অ-কঠোর অসমতার জন্যও বৈধ। অধিকন্তু, যদি কঠোর অসমতার জন্য > চিহ্নগুলিকে বিপরীত হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং আপনি জানেন যে বেশ কয়েকটি প্রয়োগিত সমস্যার সমাধান করার জন্য আপনাকে একটি সমীকরণ বা সমীকরণের একটি সিস্টেমের আকারে একটি গাণিতিক মডেল তৈরি করতে হবে। পরবর্তী আপনি এটি খুঁজে পাবেন গাণিতিক মডেলঅনেক সমস্যা সমাধানের জন্য অজানা সঙ্গে অসাম্য আছে. আমরা একটি অসমতা সমাধানের ধারণা প্রবর্তন করব এবং কীভাবে তা পরীক্ষা করতে হবে তা দেখাব প্রদত্ত নম্বরএকটি নির্দিষ্ট বৈষম্য সমাধান।

ফর্মের অসমতা
\(ax > b, \quad ax যাতে a এবং b সংখ্যা দেওয়া হয় এবং x একটি অজানা, বলা হয় রৈখিক অসমতাঅপরিচিত একজনের সাথে.

সংজ্ঞা।একটি অজানার সাথে একটি অসমতার সমাধান হল অজানার মান যেখানে এই অসমতা সত্যিকারের সংখ্যাগত অসমতায় পরিণত হয়। একটি অসমতা সমাধান করার অর্থ হল এর সমস্ত সমাধান খুঁজে বের করা বা প্রতিষ্ঠা করা যে কোনটি নেই।

আপনি সমীকরণগুলিকে সরল সমীকরণে হ্রাস করে সমাধান করেছেন। একইভাবে, বৈষম্যগুলি সমাধান করার সময়, কেউ বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, সাধারণ অসমতার আকারে তাদের হ্রাস করার চেষ্টা করে।

একটি পরিবর্তনশীল দিয়ে দ্বিতীয় ডিগ্রি অসমতা সমাধান করা

ফর্মের অসমতা
\(ax^2+bx+c >0 \) এবং \(ax^2+bx+c যেখানে x একটি চলক, a, b এবং c কিছু সংখ্যা এবং \(a \neq 0 \), বলা হয় একটি পরিবর্তনশীলের সাথে দ্বিতীয় ডিগ্রির অসমতা.

বৈষম্যের সমাধান
\(ax^2+bx+c >0 \) বা \(ax^2+bx+c খুঁজে পাওয়া ব্যবধান হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যেখানে ফাংশন \(y= ax^2+bx+c \) ইতিবাচক বা নেতিবাচক গ্রহণ করে মান এটি করার জন্য, এটি বিশ্লেষণ করা যথেষ্ট যে কীভাবে ফাংশনের গ্রাফটি স্থানাঙ্ক সমতলে অবস্থিত: যেখানে প্যারাবোলার শাখাগুলি নির্দেশিত হয় - উপরে বা নীচে, কিনা প্যারাবোলা x অক্ষকে ছেদ করে এবং যদি তা করে, তাহলে কোন বিন্দুতে।

একটি পরিবর্তনশীল দিয়ে দ্বিতীয় ডিগ্রি অসমতা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম:
1) বর্গক্ষেত্রের বৈষম্য নির্ণয় করুন \(ax^2+bx+c\) এবং খুঁজে বের করুন ত্রিনয়কের মূল আছে কিনা;
2) যদি ত্রিনয়কের শিকড় থাকে তবে সেগুলিকে x-অক্ষে চিহ্নিত করুন এবং চিহ্নিত বিন্দুগুলির মাধ্যমে একটি পরিকল্পিত প্যারাবোলা আঁকুন, যার শাখাগুলি একটি > 0 এর জন্য উপরের দিকে বা 0 এর জন্য নীচের দিকে বা 3 এর জন্য নীচের দিকে নির্দেশিত হয়) x-অক্ষের ব্যবধানগুলি খুঁজুন যার জন্য বিন্দু প্যারাবোলাগুলি x-অক্ষের উপরে অবস্থিত (যদি তারা অসমতার সমাধান করে \(ax^2+bx+c >0\)) বা x-অক্ষের নীচে (যদি তারা সমাধান করে অসমতা
\(ax^2+bx+c ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে অসমতা সমাধান করা

ফাংশন বিবেচনা করুন
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

এই ফাংশনের ডোমেইন হল সমস্ত সংখ্যার সেট। ফাংশনের শূন্য হল সংখ্যাগুলি -2, 3, 5। তারা ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনকে বিভক্ত করে \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) এবং \(5; +\infty)\)

আসুন প্রতিটি নির্দেশিত ব্যবধানে এই ফাংশনের লক্ষণগুলি কী তা খুঁজে বের করা যাক।

রাশিটি (x + 2)(x - 3)(x - 5) তিনটি গুণকের গুণফল। বিবেচনাধীন ব্যবধানে এই প্রতিটি কারণের চিহ্নটি টেবিলে নির্দেশিত হয়েছে:

সাধারণভাবে, ফাংশনটি সূত্র দ্বারা দেওয়া যাক
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
যেখানে x একটি পরিবর্তনশীল, এবং x 1, x 2, ..., x n হল এমন সংখ্যা যা একে অপরের সমান নয়। x 1, x 2, ..., x n সংখ্যাগুলি ফাংশনের শূন্য। যে সকল ব্যবধানে সংজ্ঞার ডোমেইনকে ফাংশনের শূন্য দিয়ে ভাগ করা হয়, ফাংশনের চিহ্নটি সংরক্ষিত থাকে এবং শূন্যের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।

এই সম্পত্তি ফর্মের অসমতা সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) যেখানে x 1, x 2, ..., x n সংখ্যাগুলি একে অপরের সমান নয়

বিবেচিত পদ্ধতি অসমতা সমাধানকে বলা হয় ব্যবধান পদ্ধতি।

ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে অসমতা সমাধানের উদাহরণ দেওয়া যাক।

বৈষম্য সমাধান:

\(x(0.5-x)(x+4) স্পষ্টতই, f(x) = x(0.5-x)(x+4) ফাংশনের শূন্য হল বিন্দু \(x=0, \; x= \ frac(1)(2), \; x=-4 \)

আমরা সংখ্যা অক্ষের উপর ফাংশনের শূন্য প্লট করি এবং প্রতিটি ব্যবধানে চিহ্নটি গণনা করি:

আমরা সেই বিরতিগুলি নির্বাচন করি যেখানে ফাংশনটি শূন্যের চেয়ে কম বা সমান এবং উত্তরটি লিখি।

উত্তরঃ
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

কি হয়েছে "চতুর্মুখী অসমতা"?কোন প্রশ্ন নেই!) যদি আপনি নেন যেকোনোদ্বিঘাত সমীকরণ এবং এতে চিহ্নটি প্রতিস্থাপন করুন "=" (সমান) কোনো অসমতার চিহ্নের সাথে ( > ≥ < ≤ ≠ ), আমরা একটি দ্বিঘাত অসমতা পাই। যেমন:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

আচ্ছা, আপনি বুঝতে পারেন ...)

আমি এখানে সমীকরণ এবং বৈষম্যকে সংযুক্ত করেছি এমন কিছুর জন্য নয়। মোদ্দা কথা হল সমাধানের প্রথম ধাপ যেকোনোদ্বিঘাত অসমতা - যে সমীকরণটি থেকে এই অসমতা তৈরি হয়েছে তা সমাধান করুন।এ কারণে সিদ্ধান্ত নিতে অক্ষমতা দ্বিঘাত সমীকরণস্বয়ংক্রিয়ভাবে অসমতার সম্পূর্ণ ব্যর্থতার দিকে নিয়ে যায়। ইঙ্গিতটি কি পরিষ্কার?) যদি কিছু থাকে তবে দেখুন কিভাবে কোন দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা যায়। সেখানে সবকিছু বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করা হয়েছে। এবং এই পাঠে আমরা অসমতা মোকাবেলা করব।

সমাধানের জন্য প্রস্তুত অসমতার ফর্ম রয়েছে: বাম - দ্বিঘাত ত্রিনামিক ax 2 +bx+c, ডানদিকে - শূন্য।অসমতার চিহ্ন একেবারে যে কোনো কিছু হতে পারে। প্রথম দুটি উদাহরণ এখানে ইতিমধ্যে একটি সিদ্ধান্ত নিতে প্রস্তুত.তৃতীয় উদাহরণ এখনও প্রস্তুত করা প্রয়োজন.

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

y=k/y ফাংশনটি বিবেচনা করুন। এই ফাংশনের গ্রাফ একটি রেখা, যাকে গণিতে হাইপারবোলা বলা হয়। সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গিহাইপারবোলাগুলি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে। (গ্রাফটি দেখায় যে ফাংশনটি y সমান k কে x দ্বারা ভাগ করে, যার জন্য k সমান একটি।)

এটি দেখা যায় যে গ্রাফটি দুটি অংশ নিয়ে গঠিত। এই অংশগুলোকে বলা হয় হাইপারবোলার শাখা। এটিও লক্ষণীয় যে হাইপারবোলার প্রতিটি শাখা স্থানাঙ্ক অক্ষের কাছাকাছি এবং কাছাকাছি দিকগুলির একটিতে আসে। এই ক্ষেত্রে স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিকে অ্যাসিম্পটোটস বলা হয়।

সাধারণভাবে, যেকোন সরলরেখা যেখানে একটি ফাংশনের গ্রাফ অসীমভাবে কাছে আসে কিন্তু তাদের কাছে পৌঁছায় না তাকে অ্যাসিম্পটোট বলে। একটি হাইপারবোলা, একটি প্যারাবোলার মতো, প্রতিসাম্যের অক্ষ রয়েছে। উপরের চিত্রে দেখানো হাইপারবোলার জন্য, এটি হল লাইন y=x।

এখন হাইপারবোলের দুটি সাধারণ ক্ষেত্রে দেখা যাক। k ≠0 এর জন্য ফাংশন y = k/x এর গ্রাফ হবে একটি হাইপারবোলা, যার শাখাগুলি হয় প্রথম এবং তৃতীয় স্থানাঙ্ক কোণে, k>0 এর জন্য বা দ্বিতীয় এবং চতুর্থ স্থানাঙ্ক কোণে অবস্থিত, k জন্য<0.