Metoda najmanjih kvadrata koristi se za procjenu parametara regresione jednadžbe.

Jedna od metoda za proučavanje stohastičkih odnosa između karakteristika je regresiona analiza.
Regresiona analiza predstavlja izlaz regresione jednadžbe, uz pomoć koje se pronalazi prosječna vrijednost slučajne varijable (atribut rezultata) ako je poznata vrijednost druge (ili druge) varijabli (faktor-atributa). Uključuje sljedeće korake:

1. izbor oblika veze (vrsta analitičke regresione jednačine);
2. procjena parametara jednadžbe;
3. procjena kvaliteta analitičke regresione jednačine.

Najčešće se linearni oblik koristi za opisivanje statističkog odnosa karakteristika. Pažnja na linearna veza se objašnjava jasnim ekonomskim tumačenjem njegovih parametara, ograničenom varijacijom varijabli i činjenicom da se u većini slučajeva nelinearni oblici komunikacije pretvaraju (logaritmom ili zamjenom varijabli) u linearni oblik za obavljanje proračuna.
U slučaju linearne parne veze, jednačina regresije će imati oblik: y i =a+b·x i +u i . Parametri a i b ove jednačine su procijenjeni iz statističkih podataka posmatranja x i y. Rezultat takve procjene je jednadžba: , gdje su procjene parametara a i b, vrijednost rezultirajućeg atributa (varijable) dobivene iz jednačine regresije (izračunata vrijednost).

Najčešće se koristi za procjenu parametara metoda najmanjih kvadrata (LSM).
Metoda najmanjih kvadrata daje najbolje (dosljedne, efikasne i nepristrasne) procjene parametara regresione jednačine. Ali samo ako su ispunjene određene pretpostavke u vezi sa slučajnim članom (u) i nezavisnom varijablom (x) (vidi OLS pretpostavke).

Problem procjene parametara jednadžbe linearnog para metodom najmanjih kvadrata je kako slijedi: da se dobiju takve procjene parametara , , kod kojih je zbroj kvadrata odstupanja stvarnih vrijednosti rezultujuće karakteristike - y i od izračunatih vrijednosti - minimalan.
Formalno OLS test može se napisati ovako: .

Klasifikacija metoda najmanjih kvadrata

1. Metoda najmanjih kvadrata.
2. Metoda maksimalne vjerovatnoće (za normalan klasični model linearne regresije, postulira se normalnost reziduala regresije).
3. Generalizirana metoda najmanjih kvadrata OLS se koristi u slučaju autokorelacije grešaka iu slučaju heteroskedastičnosti.
4. Metoda ponderiranih najmanjih kvadrata ( poseban slučaj OLS sa heteroskedastičnim rezidualima).

Hajde da ilustrujemo poentu klasična metoda najmanji kvadrati grafički. Da bismo to uradili, konstruisaćemo dijagram raspršenja na osnovu podataka posmatranja (x i , y i , i=1;n) u pravougaoni sistem koordinate (takva tačkasta dijagrama naziva se korelacijsko polje). Pokušajmo odabrati pravu liniju koja je najbliža tačkama korelacionog polja. Prema metodi najmanjih kvadrata, linija se bira tako da zbir kvadrata vertikalnih udaljenosti između tačaka korelacionog polja i ove prave bude minimalan.

Matematička notacija za ovaj problem: .
Vrijednosti y i i x i =1...n su nam poznati; U S funkciji predstavljaju konstante. Varijable u ovoj funkciji su potrebne procjene parametara - , . Da bismo pronašli minimum funkcije dvije varijable, potrebno je izračunati parcijalne izvode ove funkcije za svaki od parametara i izjednačiti ih sa nulom, tj. .
Kao rezultat, dobijamo sistem od 2 normala linearne jednačine:
Odlučivanje ovaj sistem, nalazimo potrebne procjene parametara:

Ispravnost proračuna parametara regresione jednačine može se provjeriti poređenjem iznosa (može doći do neslaganja zbog zaokruživanja proračuna).
Da biste izračunali procjene parametara, možete napraviti tabelu 1.
Znak koeficijenta regresije b ukazuje na smjer odnosa (ako je b >0, odnos je direktan, ako je b<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Formalno, vrijednost parametra a je prosječna vrijednost y sa x jednakim nuli. Ako faktor-atribut nema i ne može imati nultu vrijednost, onda gornja interpretacija parametra a nema smisla.

Procjena bliskosti odnosa između karakteristika izvršeno korištenjem koeficijenta linearne parne korelacije - r x,y. Može se izračunati pomoću formule: . Osim toga, koeficijent korelacije linearnog para može se odrediti preko koeficijenta regresije b: .
Raspon prihvatljivih vrijednosti koeficijenta linearne korelacije para je od –1 do +1. Znak koeficijenta korelacije ukazuje na smjer odnosa. Ako je r x, y >0, onda je veza direktna; ako je r x, y<0, то связь обратная.
Ako je ovaj koeficijent po veličini blizu jedinice, onda se odnos između karakteristika može tumačiti kao prilično blizak linearni. Ako je njegov modul jednak jednom ê r x , y ê =1, tada je odnos između karakteristika funkcionalno linearan. Ako su karakteristike x i y linearno nezavisne, tada je r x,y blizu 0.
Za izračunavanje r x,y možete koristiti i tabelu 1.

Da biste procijenili kvalitetu rezultirajuće regresione jednačine, izračunajte teoretski koeficijent determinacije - R 2 yx:

,
gdje je d 2 varijansa y objašnjena jednadžbom regresije;
e 2 - rezidualna (neobjašnjena jednadžbom regresije) varijansa y;
s 2 y - ukupna (ukupna) varijansa y.
Koeficijent determinacije karakteriše udio varijacije (disperzije) rezultujućeg atributa y objašnjen regresijom (i, posljedično, faktorom x) u ukupnoj varijaciji (disperziji) y. Koeficijent determinacije R 2 yx ima vrijednosti od 0 do 1. Shodno tome, vrijednost 1-R 2 yx karakterizira udio varijanse y uzrokovane utjecajem drugih faktora koji nisu uzeti u obzir u modelu i greškama u specifikaciji.
Sa uparenom linearnom regresijom, R 2 yx =r 2 yx.

Široko se koristi u ekonometriji u obliku jasne ekonomske interpretacije njenih parametara.

Linearna regresija se svodi na pronalaženje jednačine oblika

ili

Jednačina oblika dozvoljava na osnovu specificiranih vrijednosti parametara X imaju teorijske vrijednosti rezultantne karakteristike, zamjenjujući stvarne vrijednosti faktora u nju X.

Konstrukcija linearne regresije svodi se na procjenu njenih parametara - A I V. Procjene parametara linearne regresije mogu se pronaći korištenjem različitih metoda.

Klasičan pristup procjeni parametara linearne regresije temelji se na metoda najmanjih kvadrata(MNC).

Metoda najmanjih kvadrata nam omogućava da dobijemo takve procjene parametara A I V, pri čemu je zbir kvadrata odstupanja stvarnih vrijednosti rezultantne karakteristike (y) od izračunatog (teorijskog) minimum:

Da biste pronašli minimum funkcije, morate izračunati parcijalne izvode za svaki od parametara A I b i postavite ih jednakima nuli.

Označimo sa S, tada:

Transformacijom formule dobijamo sledeći sistem normalnih jednačina za procenu parametara A I V:

Rješavajući sistem normalnih jednačina (3.5) bilo metodom sekvencijalne eliminacije varijabli ili metodom determinanti, nalazimo tražene procjene parametara A I V.

Parametar V nazvan koeficijent regresije. Njegova vrijednost pokazuje prosječnu promjenu rezultata sa promjenom faktora za jednu jedinicu.

Jednačina regresije je uvijek dopunjena indikatorom bliskosti veze. Kada se koristi linearna regresija, takav pokazatelj je koeficijent linearne korelacije. Postoje različite modifikacije formule koeficijenta linearne korelacije. Neki od njih su dati u nastavku:

Kao što je poznato, koeficijent linearne korelacije je u granicama: -1 ≤ ≤ 1.

Za procjenu kvaliteta odabira linearne funkcije izračunava se kvadrat

Koeficijent linearne korelacije tzv koeficijent determinacije. Koeficijent determinacije karakterizira udio varijanse rezultirajuće karakteristike y, objašnjeno regresijom, u ukupnoj varijansi rezultirajuće osobine:

Shodno tome, vrijednost 1 karakterizira udio varijanse y, uzrokovane uticajem drugih faktora koji nisu uzeti u obzir u modelu.

Pitanja za samokontrolu

1. Suština metode najmanjih kvadrata?

2. Koliko varijabli pruža parna regresija?

3. Koji koeficijent određuje bliskost veze između promjena?

4. U kojim granicama se utvrđuje koeficijent determinacije?

5. Procjena parametra b u korelaciono-regresionoj analizi?

1. Christopher Dougherty. Uvod u ekonometriju. - M.: INFRA - M, 2001 - 402 str.

2. S.A. Borodich. Ekonometrija. Minsk DOO “Novo znanje” 2001.

3. R.U. Rakhmetova Kratki kurs iz ekonometrije. Vodič za učenje. Almaty. 2004. -78p.

4. I.I. Eliseeva Econometrics. - M.: “Finansije i statistika”, 2002

5. Mjesečni informativno-analitički časopis.

Nelinearni ekonomski modeli. Modeli nelinearne regresije. Transformacija varijabli.

Nelinearni ekonomski modeli..

Transformacija varijabli.

Koeficijent elastičnosti.

Ako postoje nelinearni odnosi između ekonomskih fenomena, onda se oni izražavaju pomoću odgovarajućih nelinearnih funkcija: na primjer, jednakostranična hiperbola , parabole drugog stepena itd.

Postoje dvije klase nelinearnih regresija:

1. Regresije koje su nelinearne u odnosu na objašnjavajuće varijable uključene u analizu, ali linearne u odnosu na procijenjene parametre, na primjer:

Polinomi različitih stupnjeva - , ;

Jednakostranična hiperbola - ;

Semilogaritamska funkcija - .

2. Regresije koje su nelinearne u parametrima koji se procjenjuju, na primjer:

Snaga - ;

Demonstrativna - ;

Eksponencijalno - .

Ukupan zbroj kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti rezultirajuće karakteristike at od prosječne vrijednosti uzrokovano je uticajem mnogih razloga. Uvjetno podijelimo cijeli niz razloga u dvije grupe: faktor koji se proučava x I drugi faktori.

Ako faktor ne utječe na rezultat, tada je linija regresije na grafu paralelna s osom Oh I

Tada je cijela varijansa rezultirajuće karakteristike posljedica utjecaja drugih faktora i ukupni zbir kvadrata odstupanja će se poklopiti sa ostatkom. Ako drugi faktori ne utiču na rezultat, onda y tied With X funkcionalno i rezidualni zbir kvadrata je nula. U ovom slučaju, zbir kvadrata odstupanja objašnjenih regresijom je isti kao i ukupni zbir kvadrata.

Budući da ne leže sve tačke korelacionog polja na regresijskoj liniji, njihovo rasipanje se uvek javlja kao rezultat uticaja faktora X, odnosno regresija at By X, i uzrokovane drugim uzrocima (neobjašnjive varijacije). Pogodnost linije regresije za predviđanje zavisi od toga koji deo ukupne varijacije osobine at objašnjava objašnjenu varijaciju

Očigledno, ako je zbir kvadrata odstupanja zbog regresije veći od preostalog zbira kvadrata, tada je jednadžba regresije statistički značajna i faktor X ima značajan uticaj na rezultat u.

, tj. sa brojem slobode nezavisne varijacije karakteristike. Broj stepeni slobode povezan je sa brojem jedinica populacije n i brojem konstanti koje se iz njega određuju. U odnosu na problem koji se proučava, broj stepeni slobode treba da pokaže koliko je nezavisnih odstupanja od n

Procjena značaja regresione jednačine u cjelini data je korištenjem F-Fišerov kriterijum. U ovom slučaju se postavlja nulta hipoteza da je koeficijent regresije jednak nuli, tj. b = 0, a samim tim i faktor X ne utiče na rezultat u.

Neposrednom izračunavanju F-testa prethodi analiza varijanse. Centralno mjesto u njemu zauzima dekompozicija ukupnog zbira kvadrata odstupanja varijable at od prosječne vrijednosti at na dva dijela - "objašnjeno" i "neobjašnjeno":

Ukupan zbroj kvadrata odstupanja;

Zbir kvadratnog odstupanja objašnjenog regresijom;

Preostali zbir kvadrata odstupanja.

Svaki zbir odstupanja na kvadrat povezan je sa brojem stepeni slobode , tj. sa brojem slobode nezavisne varijacije karakteristike. Broj stepena slobode povezan je sa brojem populacijskih jedinica n i sa brojem konstanti određenim iz njega. U odnosu na problem koji se proučava, broj stepeni slobode treba da pokaže koliko je nezavisnih odstupanja od n moguće potrebno za formiranje date sume kvadrata.

Disperzija po stepenu slobodeD.

F-odnosi (F-test):

Ako je nulta hipoteza tačna, tada se faktor i preostale varijanse ne razlikuju jedna od druge. Za H 0 potrebno je opovrgavanje kako bi disperzija faktora nekoliko puta premašila disperziju ostatka. Engleski statističar Snedekor razvio je tabele kritičnih vrednosti F-relacije na različitim nivoima značaja nulte hipoteze i različitog broja stepeni slobode. Vrijednost tabele F-kriterijum je maksimalna vrijednost omjera varijansi koja se može pojaviti u slučaju slučajne divergencije za dati nivo vjerovatnoće prisustva nulte hipoteze. Izračunata vrijednost F-relacije se smatraju pouzdanim ako je o veće od tabele.

U ovom slučaju se odbacuje nulta hipoteza o nepostojanju veze između znakova i izvodi se zaključak o značaju ovog odnosa: F činjenica > F tabela H 0 je odbijen.

Ako je vrijednost manja od prikazane u tabeli F činjenica ‹, F tabela, tada je vjerovatnoća nulte hipoteze veća od određenog nivoa i ne može se odbaciti bez ozbiljnog rizika od izvođenja pogrešnog zaključka o postojanju veze. U ovom slučaju, jednačina regresije se smatra statistički beznačajnom. Ali on ne odstupa.

Standardna greška koeficijenta regresije

Da bi se procijenila značajnost koeficijenta regresije, njegova vrijednost se upoređuje sa njegovom standardnom greškom, odnosno utvrđuje se stvarna vrijednost t-Studentov t-test: koji se zatim poredi sa tabelarnom vrednošću na određenom nivou značajnosti i broju stepeni slobode ( n- 2).

Standardna greška parametra A:

Značajnost koeficijenta linearne korelacije se provjerava na osnovu veličine greške koeficijent korelacije t r:

Ukupna varijansa osobina X:

Višestruka linearna regresija

Izgradnja modela

Višestruka regresija predstavlja regresiju efektivne karakteristike sa dva ili više faktora, odnosno model forme

Regresija može dati dobar rezultat pri modeliranju, ako se može zanemariti uticaj drugih faktora koji utiču na predmet proučavanja. Ponašanje pojedinih ekonomskih varijabli ne može se kontrolisati, odnosno nije moguće osigurati jednakost svih ostalih uslova za procjenu uticaja jednog faktora koji se proučava. U ovom slučaju, trebali biste pokušati identificirati utjecaj drugih faktora tako što ćete ih uvesti u model, tj. konstruirati jednadžbu višestruke regresije: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .

Osnovni cilj višestruke regresije je da se izgradi model sa velikim brojem faktora, pri čemu se utvrđuje uticaj svakog od njih posebno, kao i njihov kombinovani uticaj na modelirani indikator. Specifikacija modela uključuje dva niza pitanja: izbor faktora i izbor vrste regresijske jednačine

Ako neki fizička količina zavisi od druge veličine, onda se ova zavisnost može proučavati mjerenjem y na različitim vrijednostima x. Kao rezultat mjerenja dobija se niz vrijednosti:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

Na osnovu podataka ovakvog eksperimenta moguće je konstruisati graf zavisnosti y = ƒ(x). Rezultirajuća kriva omogućava procjenu oblika funkcije ƒ(x). Međutim konstantne kvote, koji su uključeni u ovu funkciju ostaju nepoznati. Mogu se odrediti metodom najmanjih kvadrata. Eksperimentalne tačke, po pravilu, ne leže tačno na krivulji. Metoda najmanjih kvadrata zahtijeva da zbir kvadrata odstupanja eksperimentalnih tačaka od krive, tj.

2 je bio najmanji.

U praksi se ova metoda najčešće (i najjednostavnije) koristi u slučaju linearnog odnosa, tj. Kada y = kx ili

y = a + bx. Linearna zavisnost

veoma rasprostranjena u fizici. Čak i kada je odnos nelinearan, oni obično pokušavaju da konstruišu graf tako da dobiju pravu liniju. Na primjer, ako se pretpostavi da je indeks prelamanja stakla n povezan sa svjetlosnom valnom dužinom λ relacijom n = a + b/λ 2, tada se na grafikonu prikazuje ovisnost n od λ -2. U praksi se ova metoda najčešće (i najjednostavnije) koristi u slučaju linearnog odnosa, tj. Kada Uzmite u obzir zavisnost

(prava koja prolazi kroz ishodište). Sastavimo vrijednost φ kao zbir kvadrata odstupanja naših tačaka od prave linije

Vrijednost φ je uvijek pozitivna i ispada da je manja što su naše tačke bliže pravoj liniji. Metoda najmanjih kvadrata kaže da vrijednost za k treba izabrati tako da φ ima minimum
(19)

ili

, (20)
Proračun pokazuje da je srednja kvadratna greška pri određivanju vrijednosti k jednaka

gdje je n broj mjerenja. Razmotrimo sada malo više hard case , kada tačke moraju zadovoljiti formulu y = a + bx

(prava linija koja ne prolazi kroz ishodište).

Zadatak je pronaći najbolje vrijednosti a i b iz dostupnog skupa vrijednosti x i, y i.

Sastavimo opet kvadratni oblik φ, jednak zbroju kvadrata odstupanja tačaka x i, y i od prave linije

;

.

.

i pronađite vrijednosti a i b za koje φ ima minimum

(21)

Zajedničko rješenje ovih jednačina daje

(23)

Srednje kvadratne greške određivanja a i b su jednake

.  (24)

Prilikom obrade rezultata mjerenja ovom metodom, zgodno je sve podatke sumirati u tabelu u kojoj su preliminarno izračunati svi iznosi uključeni u formule (19)(24). Obrasci ovih tabela dati su u primjerima ispod. Primjer 1. Proučavana je osnovna jednačina dinamike rotaciono kretanje ε = M/J (prava koja prolazi kroz početak). Pri različitim vrijednostima momenta M mjereno je ugaono ubrzanje ε određenog tijela. Potrebno je odrediti moment inercije ovog tijela. Rezultati mjerenja momenta sile i kutnog ubrzanja navedeni su u drugom i trećem stupcu.

tabela 5

Tabela 5	n	M, N m	ε, s -1	M 2	M ε	ε - km
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
4	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑	–	–	123.1886	41.1115	–	0.016436

(ε - km) 2

.

Koristeći formulu (19) određujemo:

0.005775Za određivanje srednje kvadratne greške koristimo formulu (20) kg -1 · -2 .

Prema formuli (18) imamo

; .

S J = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m2.

Postavivši pouzdanost P = 0,95, koristeći tabelu Studentovih koeficijenata za n = 5, nalazimo t = 2,78 i odredimo apsolutnu grešku ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 kg m2.

Zapišimo rezultate u formu:

J = (3,0 ± 0,2) kg m2;

Primjer 2. Izračunajmo temperaturni koeficijent otpornosti metala metodom najmanjih kvadrata. Otpor linearno zavisi od temperature

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

Slobodni član određuje otpor R 0 na temperaturi od 0 ° C, a nagib je proizvod temperaturni koeficijentα na otpor R 0 .

Rezultati mjerenja i proračuna dati su u tabeli ( vidi tabelu 6).

Tabela 6

n	t°, s	r, Ohm	t-¯t	(t-¯t) 2	(t-¯t)r	r - bt - a	(r - bt - a) 2 ,10 -6
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑	515	8.403	–	8166.833	21.5985	–	746.804
∑/n	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

Pomoću formula (21), (22) određujemo

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ohm.

Nađimo grešku u definiciji α. Budući da , tada prema formuli (18) imamo:

.

Koristeći formule (23), (24) imamo

;

0.014126 Ohm.

Postavivši pouzdanost na P = 0,95, koristeći tabelu Studentovih koeficijenata za n = 6, nalazimo t = 2,57 i odredimo apsolutnu grešku Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 stepen -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 hail-1 na P = 0,95.

Primjer 3. Potrebno je odrediti radijus zakrivljenosti sočiva pomoću Newtonovih prstenova. Izmjereni su poluprečniki Njutnovih prstenova r m i određeni brojevi ovih prstenova m. Poluprečnici Njutnovih prstenova povezani su sa radijusom zakrivljenosti sočiva R i brojem prstena po jednačini

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

gdje je d 0 debljina jaza između sočiva i ravnoparalelne ploče (ili deformacija sočiva),

λ talasna dužina upadne svjetlosti.

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

tada će jednačina poprimiti oblik , kada tačke moraju zadovoljiti formulu.

.

Upisuju se rezultati mjerenja i proračuna tabela 7.

Tabela 7

n	x = m	y = r 2, 10 -2 mm 2	m -¯ m	(m -¯m) 2	(m -¯ m)y	y - bx - a, 10 -4	(y - bx - a) 2 , 10 -6
1	1	6.101	-2.5	6.25	-0.152525	12.01	1.44229
2	2	11.834	-1.5	2.25	-0.17751	-9.6	0.930766
3	3	17.808	-0.5	0.25	-0.08904	-7.2	0.519086
4	4	23.814	0.5	0.25	0.11907	-1.6	0.0243955
5	5	29.812	1.5	2.25	0.44718	3.28	0.107646
6	6	35.760	2.5	6.25	0.894	3.12	0.0975819
∑	21	125.129	–	17.5	1.041175	–	3.12176
∑/n	3.5	20.8548333	–	–	–	–	–

Ekstrapolacija - ovo je metoda naučna istraživanja, koji se zasniva na diseminaciji prošlih i sadašnjih trendova, obrazaca, veza sa budućim razvojem objekta prognoze. Metode ekstrapolacije uključuju metoda pokretnog prosjeka, metoda eksponencijalnog izglađivanja, metoda najmanjih kvadrata.

Essence metoda najmanjih kvadrata sastoji se u minimiziranju sume kvadrata odstupanja između posmatranih i izračunatih vrednosti. Izračunate vrijednosti se nalaze pomoću odabrane jednadžbe - jednadžbe regresije. Što je manja udaljenost između stvarnih i izračunatih vrijednosti, to je preciznija prognoza zasnovana na jednadžbi regresije.

Teorijska analiza suština fenomena koji se proučava, čiju promjenu odražava vremenska serija, služi kao osnova za odabir krive. Ponekad se u obzir uzimaju razmatranja o prirodi povećanja nivoa serije. Dakle, ako se očekuje rast proizvodnje na aritmetička progresija, zatim se izravnavanje izvodi u pravoj liniji. Ako se ispostavi da je rast in geometrijska progresija, tada se izravnavanje mora obaviti korištenjem eksponencijalne funkcije.

Radna formula za metodu najmanjih kvadrata : Y t+1 = a*X + b, gdje je t + 1 – period prognoze; Ut+1 – predviđeni indikator; a i b su koeficijenti; X je simbol vremena.

Izračunavanje koeficijenata a i b vrši se pomoću sljedećih formula:

gdje je, Uf – stvarne vrijednosti serije dinamike; n – broj nivoa vremenske serije;

Izglađivanje vremenskih serija metodom najmanjih kvadrata služi da se odrazi obrazac razvoja fenomena koji se proučava. IN analitički izraz

trend, vrijeme se smatra nezavisnom varijablom, a nivoi serije djeluju kao funkcija ove nezavisne varijable.

Razvoj neke pojave ne zavisi od toga koliko je godina prošlo od početne tačke, već od toga koji su faktori uticali na njen razvoj, u kom pravcu i kojim intenzitetom. Odavde je jasno da je razvoj neke pojave tokom vremena rezultat djelovanja ovih faktora. Pravilnim utvrđivanjem tipa krive, tip analitičke zavisnosti od vremena je jedan od najvažnijih složeni zadaci .

analiza pred-prognoza

Odabir tipa funkcije koja opisuje trend, čiji se parametri određuju metodom najmanjih kvadrata, u većini slučajeva provodi se empirijski, konstruiranjem većeg broja funkcija i međusobnom poređenjem prema vrijednosti srednja kvadratna greška, izračunata po formuli:

gdje su UV stvarne vrijednosti serije dinamike; Ur – izračunate (izglađene) vrijednosti serije dinamike; n – broj nivoa vremenske serije; p – broj parametara definisanih u formulama koje opisuju trend (trend razvoja). :

• Nedostaci metode najmanjih kvadrata
• kada pokušavate da opišete ekonomski fenomen koji se proučava pomoću matematičke jednačine, prognoza će biti tačna za kratak vremenski period i regresionu jednačinu treba ponovo izračunati kako nove informacije postanu dostupne;

složenost odabira jednadžbe regresije koja je rješiva ​​korištenjem standardnih kompjuterskih programa.

Primjer korištenja metode najmanjih kvadrata za razvoj prognoze Zadatak

• Konstruisati prognozu stope nezaposlenosti u regionu za novembar, decembar, januar koristeći sledeće metode: pokretni prosek, eksponencijalno izglađivanje, najmanji kvadrati.
• Izračunajte greške u rezultirajućim prognozama koristeći svaku metodu.
• Uporedite rezultate i izvucite zaključke.

Rješenje najmanjih kvadrata

Da bismo to riješili, sastavit ćemo tabelu u kojoj ćemo napraviti potrebne proračune:

Definišimo simbol vremena kao sekvencijalno numerisanje perioda baze prognoze (kolona 3).

Izračunajmo kolone 4 i 5. Izračunate vrijednosti serije Ur odredit će se formulom Y t+1 = a*X + b, gdje je t + 1 period prognoze;

Ut+1 – predviđeni indikator; a i b su koeficijenti; X je simbol vremena.
Određujemo koeficijente a i b koristeći sljedeće formule:
gdje je, Uf – stvarne vrijednosti serije dinamike; n je broj nivoa vremenske serije.

a = / = - 0,17

b = 22,13/10 – (-0,17)*55/10 = 3,15 ε = 28,63/10 = 2,86% Procjena tačnosti prognoze konstruisane metodom ekstrapolacije

tačnost prognoze visoko. : Poređenje rezultata dobijenih iz proračuna , metoda pokretnog prosjeka Predviđanje zasnovano na metodi eksponencijalnog izglađivanja

metoda eksponencijalnog izglađivanja