Linearna funkcija y = kx + m kada je m = 0 poprima oblik y = kx. U ovom slučaju možete primijetiti da:

1. Ako je x = 0, onda je y = 0. Dakle, graf linearna funkcija y = kx prolazi kroz početak bez obzira na vrijednost k.
2. Ako je x = 1, onda je y = k.

Razmotrimo različite vrijednosti k i kako se y mijenja od ovoga.

Ako je k pozitivan (k > 0), tada će prava linija (grafikon funkcije), koja prolazi kroz početak, ležati u I i III koordinatnoj četvrti. Na kraju krajeva, s pozitivnim k, kada je x pozitivan, tada će i y biti pozitivan. A kada je x negativan, y će također biti negativan. Na primjer, za funkciju y = 2x, ako je x = 0,5, onda je y = 1; ako je x = –0,5, onda je y = –1.

Sada, uz pretpostavku da je k pozitivan, razmotrite tri različite linearne jednačine. Neka to budu: y = 0,5x i y = 2x i y = 3x. Kako se mijenja vrijednost y za isto x? Očigledno se povećava sa k: što je veće k, veće je y. To znači da će prava linija (graf funkcije) sa većom vrijednošću k imati veći ugao između x-ose (os apscise) i grafa funkcije. Dakle, ugao pod kojim ravna os seče sa x osom zavisi od k, pa se stoga o k govori kao nagib linearne funkcije.

Proučimo sada situaciju kada je k x pozitivan, tada će y biti negativan; i obrnuto: ako je x y > 0. Dakle, graf funkcije y = kx za na k

Recimo da postoje linearne jednačine y = –0,5x, y = –2x, y = –3x. Za x = 1 dobijamo y = –0,5, y = –2, y = –3. Za x = 2 dobijamo y = –1, y = –2, y = –6. Dakle, što je veći k, veći je y ako je x pozitivan.

Međutim, ako je x = –1, onda je y = 0,5, y = 2, y = 3. Za x = –2 dobijamo y = 1, y = 4, y = 6. Ovdje, kako se vrijednost k smanjuje, y pri x raste

Grafikon funkcije na k

Grafovi funkcija tipa y = kx + m razlikuju se od grafika y = km samo po paralelnom pomaku.

Linearna funkcija

Linearna funkcija je funkcija koja se može specificirati formulom y = kx + b,

gdje je x nezavisna varijabla, k i b su neki brojevi.

Grafikon linearne funkcije je prava linija.

Poziva se broj k nagib prave linije– graf funkcije y = kx + b.

Ako je k > 0, tada je ugao nagiba prave linije y = kx + b prema osi X ljuto; ako k< 0, то этот угол тупой.

Ako su nagibi linija koje su grafovi dviju linearnih funkcija različiti, tada se te prave sijeku. A ako su ugaoni koeficijenti isti, onda su linije paralelne.

Grafikon funkcije y=kx +b, gdje je k ≠ 0, prava paralelna pravoj y = kx.

Direktna proporcionalnost.

Direktna proporcionalnost je funkcija koja se može specificirati formulom y = kx, gdje je x nezavisna varijabla, k je broj koji nije nula. Poziva se broj k koeficijent direktne proporcionalnosti.

Grafikon direktne proporcionalnosti je prava linija koja prolazi kroz ishodište koordinata (vidi sliku).

Direktna proporcionalnost je poseban slučaj linearne funkcije.

Svojstva funkcijey=kx:

Inverzna proporcionalnost

Inverzna proporcionalnost naziva se funkcija koja se može specificirati formulom:

k
y = -
x

Gdje x je nezavisna varijabla, i k– broj različit od nule.

Graf inverzne proporcionalnosti je kriva tzv hiperbola(vidi sliku).

Za krivu koja je graf ove funkcije, os x I y djeluju kao asimptote. Asimptota- ovo je prava linija kojoj se tačke krive približavaju dok se udaljavaju u beskonačnost.

k
Svojstva funkcijey = -:
x

klasa: 8

Prezentacija za lekciju

Nazad Naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: lekcija otkrivanja novog znanja.

Glavni ciljevi:

• formiraju ideju o funkciji y = kx 2, njegova svojstva i grafika;
• ponovite i pojačajte: detalje funkcije y = x 2, svojstva funkcije, poznata iz kursa 7. razreda.

Demo materijal:

1) algoritam za konstruisanje grafa funkcije:

2) Pravilo za određivanje lokacije grafa u zavisnosti od koeficijenta k:

3) samostalan rad: Na sl. prikazani su grafovi funkcija y = kx 2 .

Za svaki grafikon navedite odgovarajuću vrijednost koeficijenta To.

4) uzorak za samotestiranje samostalan rad.

brošura:

1) kartica:

1., 2. grupa:

Grafičke funkcije y = 2X 2 , y = 4X

3, 4 grupa:

Grafičke funkcije y =– 2X 2 , y = – 4X 2 i odredite u kojim se koordinatnim četvrtima nalaze grafovi ovih funkcija. Donijeti zaključak o koeficijentu k.

2) karta za razmišljanje:

NAPREDAK ČASA

1. Motivacija za obrazovne aktivnosti

Ciljevi:

• organizovati ažuriranje zahtjeva učenika u pogledu obrazovnih aktivnosti;
• organizirati studentske aktivnosti radi uspostavljanja tematskih okvira: nastavljamo rad sa funkcijama;
• stvoriti uslove da učenik razvije unutrašnju potrebu za uključivanjem u obrazovne aktivnosti.

Organizacija obrazovni proces u fazi 1:

- Zdravo! Koje ste zanimljive stvari naučili na prethodnim časovima? (Proučavali smo funkciju y = | x |, graf ove funkcije i njena svojstva.)
– Danas ćete nastaviti sa upoznavanjem novih funkcija.
– U kakvom ćete raspoloženju danas raditi? (U dobrom raspoloženju).
– Srećno!

2. Ažuriranje znanja i otklanjanje poteškoća u pojedinačnim aktivnostima

Ciljevi:

• ažurirati obrazovni sadržaj koji je neophodan i dovoljan za percepciju novog gradiva.
• zabilježiti ažurirane metode djelovanja u govoru i znakovima;
• organizirati generalizaciju ažuriranih metoda djelovanja;
• motivisati za izvršenje individualnog zadatka;
• organizovati samostalnu implementaciju individualni zadatak za nova znanja;
• organizovati evidentiranje individualnih teškoća učenika u izvršavanju pojedinačnog zadatka ili u opravdavanju istog.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 2:

Analizirajte nekoliko slajdova 2-5 i odgovorite na pitanje:

– Po kom rasporedu ćete raditi danas? (Sa parabolom).

– Odaberite koja je funkcija graf parabole at = X + 2, at = 2/X, y = x 2 ?(y = x 2 . Ovu funkciju smo učili u 7. razredu).

– Imenujte numerički koeficijent funkcije y = x 2 . (jednako je 1)

– U kojim koordinatnim četvrtima leži grafik funkcije? y = x 2 , Koji je domen definicije i raspon vrijednosti ove funkcije, intervali povećanja i smanjenja? (Grafikon funkcije y = x 2 leži u 1. i 2. koordinatnoj četvrti ili u gornjoj poluravni, domen definicije je cijela brojevna prava, raspon vrijednosti je funkcija y = x 2 uzima nenegativne vrijednosti; raste sa x > 0, opada sa x < 0.)

– Hajde da razgovaramo o tome šta se dešava pri drugim vrednostima koeficijenta.

– Formulirajte temu lekcije. (Funkcija y = kx 2 , njegova svojstva i graf).

1) Na tabli je pripremljena tabela. Pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcije:

y = 2X 2
y = 4X 2
y =– 2X 2
y =– 4X 2

– Popunite tabelu. 4 učenika se pozivaju u tablu uzastopno.

2) Grafikon funkcija y = kx 2 prolazi kroz tačku A(2;8). Odredite vrijednost koeficijenta. Zapišite funkciju. (k = 2, y = 2x 2 ).

3) Koji plan obično koristite za crtanje funkcija? Slajd 7.

(Neophodno -
1. Popunite tabelu vrijednosti
2. Nacrtajte tačke koordinatna ravan
3. Spojite konstruisane tačke glatkom linijom
4. Napišite naziv funkcije.)

-Šta si ponovio?

– A sada, koristeći sve što ste upravo ponovili i naučili, predlažem da izvršite sljedeći zadatak:
Grafičke funkcije y = 2X 2 , y = – 4X 2 i odredite u kojim se koordinatnim četvrtima nalaze grafovi ovih funkcija. Zaključite kako se graf nalazi u zavisnosti od koeficijenta k.

Učenici rade na grafofoliji.

– Ko nema rezultate?
– Šta nisi mogao? (nisam mogao_________________)
– Prikažite rezultate ko je izveo gradnju.
– Kako možete dokazati da ste ispravno izvršili zadatak? (moram___________)
– Čime ćete to dokazati? (___________.)
– Šta nisi mogao?
– Koje ste pravilo koristili prilikom konstruisanja?
– Šta ne možete?

3. Identificiranje uzroka poteškoća

Ciljevi:

• organizujte korelaciju vaših akcija sa standardima koji se koriste (algoritam, koncept, itd.);
• na osnovu toga organizovati identifikaciju i bilježenje u vanjskom govoru uzroka teškoće – onih specifičnih znanja i vještina koji nedostaju za rješavanje izvornog problema.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 3:

– Koji zadatak ste morali da uradite?
– Čime ste izvršili zadatak?
– Gdje je nastala poteškoća?
– Šta je razlog poteškoća? (Nemamo način da odredimo kako se nalazi graf funkcije y = kx2 u zavisnosti od koeficijenta k.)

4. Problematično objašnjenje novih znanja

Ciljevi:

• organizirati postavljanje cilja časa;
• organizovati pojašnjenje i dogovor o temi časa;
• organizirati vodeći ili poticajni dijalog o problematičnom uvođenju novih znanja;
• organizirati korištenje objektivnih radnji sa modelima, dijagramima, svojstvima itd.;
• organizirati snimanje nove metode radnje u govoru;
• organizirati fiksiranje nove metode djelovanja u znakovima;
• povezivanje novog znanja sa pravilom u udžbeniku, priručniku, rečniku itd.
• organizovati zapisnik o savladavanju poteškoća.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 4:

– Formulirajte svrhu svoje aktivnosti. (Pronađite način da odredite kako se nalazi graf funkcije y = kx 2 zavisno od koeficijenta k.)

– Odredite temu lekcije. (Funkcija y = kx 2 ,njegova svojstva i graf). Slajd 6.

– A sada ćete raditi u grupama: Slajd 8.

1., 2. grupa:

Grafičke funkcije y = 2X 2 , y = 4X 2 i odredite u kojim se koordinatnim četvrtima nalaze grafovi ovih funkcija. Donijeti zaključak o koeficijentu k.

3, 4 grupa:

Grafičke funkcije y = – 2X 2 ,y = – 4X 2 i odredite u kojim se koordinatnim četvrtima nalaze grafovi ovih funkcija. Donijeti zaključak o koeficijentu k.

Svaka grupa dobija karticu. (Ako se pojave poteškoće, učenici mogu koristiti udžbenik ili priručnik.)

– Predstavite svoju verziju algoritma.

Svaka grupa predstavlja svoju verziju, ostale se dopunjuju i pojašnjavaju. Nakon dogovora, pravilo se objavljuje na tabli:

Učiteljica dodaje:

– Svaka od linija koju ste konstruisali naziva se parabola. U ovom slučaju, tačka (0;0) se naziva vrh parabole, a osa at– osa simetrije parabole.
“Brzina kretanja” grana parabole prema gore (naniže) i “stepen strmine” parabole zavise od vrijednosti koeficijenta k.
-Šta ste upravo sada otkrili?
– Šta bi sad trebalo da radiš?

5. Primarna konsolidacija u vanjskom govoru

Cilj: organizovati dječiju asimilaciju novog načina djelovanja svojim izgovorom u vanjskom govoru.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 5:

– U kojim koordinatnim četvrtima se nalaze grafovi funkcija? at = 1/5X 2 , at = X 2 /2, at = – X 2 /2, at = 3X 2 ?

Zadatak se izvodi u parovima, jedan par radi za tablom.

6. Samostalan rad sa samotestiranjem prema uzorku

Ciljevi:

• organizovati samostalnu realizaciju od strane učenika tipične zadatke on novi način akcije;
• Na osnovu rezultata samostalnog rada organizovati identifikaciju i ispravljanje grešaka;
• na osnovu rezultata samostalnog rada stvoriti situaciju uspjeha.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 6:

Za samostalan rad na kartici je predviđen zadatak. Slajd 9.

Na sl. prikazani su grafikoni funkcija at = kh 2 .

Za svaki grafikon označite odgovarajuću vrijednost koeficijenta k.

Nakon završenog rada učenici ga provjeravaju prema uzorku: Slajd 10.

– Koja pravila ste koristili prilikom izvršavanja zadatka?
– Ko ima problem – kako odrediti predznak koeficijenta k?
– Ko je imao poteškoća u određivanju vrijednosti koeficijenta k?
– Ko je tačno uradio zadatak?

7. Uključivanje u sistem znanja i ponavljanje

Ciljevi:

• osposobiti vještine korištenja novih sadržaja u kombinaciji s prethodno proučavanim materijalom;
• Pregledajte sadržaj učenja koji je potreban u sljedećim lekcijama:

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 7:

Zadatak iz GIA-9 se izvodi na tabli. Slajdovi 11-16.

– Definišite pojam koji se danas mnogo puta ponavljao (grafikon).

1. Grafikon koje od ovih funkcija je parabola koja se nalazi u donjoj poluravni?

3. Pronađite raspon vrijednosti funkcije y = – 5x2

A) at = –15X 2 b) at = – 9X 2 V) at = – X 2 G) at = – 5X 2

ts uh f i

5. Navedite intervale za povećanje funkcije y = – 5x 2

a) kada X > 0 b) kada X < 0 c) kod X< 0 d) kod X > 0

h O I T

6. Navedite najmanju vrijednost funkcije y = – 5x 2

a) 0 b) ne postoji c) – 5 d) 5

s To d V.

Problemi iz fizike: Slajd 17.

Put koji tijelo pređe tokom prvih t sekundi slobodnog pada izračunava se po formuli: H = GT 2/2, gdje g= 9,8 m/s 2. Nađite zavisnost H na grafu t:

A) udaljenost koju će kamen koji pada preletiti u prvih 6 sekundi;
B) koliko je vremena potrebno da kamen preleti prvih 250 m?

8. Refleksija o aktivnostima na času

Ciljevi:

• organizovati fiksaciju novi sadržaj, učio na lekciji;
• organizuje evidentiranje stepena usklađenosti sa postavljenim ciljem i rezultata rada;
• organizovati usmeno snimanje koraka za postizanje cilja;
• na osnovu rezultata analize rada na času organizovati snimanje pravaca za buduće aktivnosti;
• organizovati samovrednovanje rada učenika na času;
• organizovati diskusiju i snimanje domaće zadaće.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 8:

– Šta ste danas učili?
– Šta ste novo naučili na lekciji?
– Koje ciljeve ste sebi postavili?
– Da li ste ostvarili svoje ciljeve?
– Šta vam je pomoglo da se nosite sa poteškoćama?
– Analizirajte svoj rad na času.

Učenici rade sa karticama za razmišljanje (R).

Domaći: Slajd 18.

• Pročitajte paragraf 17 udžbenika
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

Reference:

1. A.G. Mordkovich. Algebra, 8. razred. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova. M.:Mnemosyne.2011.
2. Internet resursi.

Čas algebre u 7. razredu po udžbeniku Mordkoviča Aleksandra Grigorijeviča.

Linearna funkcija y=kx i njen graf.

Ciljevi:

Generalizirati i produbiti znanje na temu “Linearna funkcija y = kx +m i njen graf” Razmotriti svojstva grafova linearnih funkcija y = kx sa različitim koeficijentima k.

Promovirati razvoj zapažanja, sposobnosti analiziranja, poređenja, generalizacije.

Probuditi kod učenika potrebu za potkrepljivanjem svojih tvrdnji, negovati samokontrolu i međusobnu kontrolu.

Napredak lekcije:

Organizacioni momenat.

Uvodni govor nastavnika.

Već ste proučili linearnu funkciju y =kx +m i naučili kako da napravite grafove ove funkcije, a sada razmotrite grafove sljedećih funkcija i odgovorite na pitanja:

SLAJD 2

Linearne funkcije su iscrtane na koordinatnoj ravni:

y=x,

y =0,5x ;

y=-x;

y=-4x

Hoće li ove funkcije biti linearne? Zašto? Šta je zajedničko za ove četiri funkcije o kojima se govori? Po čemu se razlikuju od prethodno proučavanih linearnih funkcija?

SLAJD 3

Grafovi podataka linearne funkcije.

SLAJD 4 (pitanja za slajd 3)

odgovori:

Grafovi ovih linearnih funkcija su ili u 1. i 3. kvartalu, ili u 2. i 4. kvartalu.

Kakav je odnos između koeficijenta k i položaja grafa na koordinatnoj ravni?

SLAJD 5 (odgovori na pitanja na slajdu 4)

Svi grafovi ovih linearnih funkcija prolaze kroz ishodište O(0;0)

SLAJD 6

Ako je koeficijent k<0, то линейная функция убывает и расположена во 2 и 4 четвертях.

SLAJD 7

Ako je koeficijent k >0, tada se linearna funkcija povećava i nalazi se u prvom i trećem kvartalu.

SLAJD 8

Sada uradite sledeće zadatke iz udžbenika br. 348 (a, b), 355:

Problem br. 348(a; b).
Nacrtajte linearnu funkciju:
a) y =2x,
b) y = -3x.
Na jednoj koordinatnoj ravni.
Šta možete reći o grafovima ovih linearnih funkcija?

(Prolaze kroz ishodište, linearna funkcija y=2x je rastuća i nalazi se u 1. i 3. kvartalu, a linearna funkcija y=-3x je opadajuća i nalazi se u 2. i 4. kvartalu).

SLAJD 9

Rješenje (pronalaženje koordinata tačaka podataka linearnih funkcija). Koliko koordinata tačaka je potrebno za crtanje grafika datih linearnih funkcija? Zašto? (Jedan, jer grafovi linearnih podataka prolaze kroz ishodište, odnosno tačku sa koordinatom (0;0), a mi to već znamo.)

SLIDE10

Ako ste ispravno izvršili zadatak, trebali biste završiti s ovakvim grafikonom.

SLIDE11

Na sličan način konstruišemo graf linearne funkcije y = -3x

Šta možete reći o ovoj funkciji? U kojim će se kvadrantima nalaziti graf ove linearne funkcije?

Ako uzmemo da je vrijednost apscise pozitivna, tada je ordinata negativna, i obrnuto, ako je vrijednost apscise negativna, onda je ordinata pozitivna.

SLIDE12

Ako ste ispravno izvršili zadatak, trebali biste dobiti graf ove linearne funkcije y=-3x.

SLAJD13

(Formulacija problema br. 355)

SLIDE14

(Pitanja koja aktiviraju rješenje zadatka).

SLAJD15

Pronalaženje koordinata tačaka za crtanje grafika date linearne funkcije y=0.4x.

SLIDE16

Koristeći graf ove linearne funkcije, nalazimo vrijednost ordinate koja odgovara vrijednosti apscise jednakoj 0; 5; 10; -5.

Ako x =0, tada je y =0

Ako x =5, tada je y =2

Ako x =10, tada je y =4

Ako x =-5, zatim y =-2

SLIDE17

Koristeći graf ove linearne funkcije, nalazimo vrijednost x koja odgovara vrijednosti y jednakoj 0; 2; 4; -2.

Ako y =0, zatim x =0

Ako y =2, zatim x =5

Ako y =4, zatim x =10

Ako y =-2, zatim x =-5

SLIDE18

Rješenje nejednačine: 0,4x >0. Šta trebamo znati da bismo riješili ovu nejednakost? Pronađite pri kojim vrijednostima apscise (x) će graf ove linearne funkcije biti iznad ose vola.

SLIDE19

Sada, koristeći graf ove linearne funkcije, rješavamo nejednakost: -2≤y ≤0.

Razmislimo o tome kako riješiti ovu nejednakost?

1. Označite tačke y =-2 i y =0 na osi oy.

2. Dobijamo pravi segment koji leži unutar vrijednosti -2≤y ≤0:

Sa ordinate jednake -2 i ordinate jednake 0, spuštamo okomicu na grafik ove linearne funkcije.

3. Sa krajeva pravolinijskog segmenta grafika ispustite okomite na os vola.

4. Dobili smo vrijednosti apscise unutar kojih se nalazi grafik ove prave linije: -5≤x ≤0. Ovaj interval će biti rješenje za ovaj zadatak.

SLAJD 20

Domaći zadatak – samostalni rad br.356.

Definicija linearne funkcije

Hajde da uvedemo definiciju linearne funkcije

Definicija

Funkcija oblika $y=kx+b$, gdje je $k$ različit od nule, naziva se linearna funkcija.

Grafikon linearne funkcije je prava linija. Broj $k$ naziva se nagib prave.

Kada je $b=0$ linearna funkcija se naziva funkcijom direktne proporcionalnosti $y=kx$.

Razmotrite sliku 1.

Rice. 1. Geometrijsko značenje nagiba prave

Razmotrimo trougao ABC. Vidimo da je $VS=kx_0+b$. Nađimo tačku preseka prave $y=kx+b$ sa osom $Ox$:

\ \

Dakle, $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nađimo omjer ovih strana:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

S druge strane, $\frac(BC)(AC)=tg\ugao A$.

Dakle, možemo izvući sljedeći zaključak:

Zaključak

Geometrijsko značenje koeficijent $k$. Ugaoni koeficijent prave $k$ jednak je tangenti ugla nagiba ove prave na osu $Ox$.

Proučavanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ i njenog grafa

Prvo, razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx+b$, gdje je $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Posljedično, ova funkcija se povećava u cijelom domenu definicije. Ne postoje ekstremne tačke.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (slika 2).

Rice. 2. Grafovi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Sada razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx$, gdje je $k

1. Domen definicije su svi brojevi.
2. Raspon vrijednosti su svi brojevi.
3. $f\lijevo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Za $x=0,f\left(0\right)=b$. Kada je $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Točke preseka sa koordinatnim osama: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dakle, funkcija nema prevojne tačke.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (slika 3).