Prvo, formulirajmo samu teoremu: Neka nam je redukovana kvadratna jednadžba oblika x^2+b*x + c = 0. Recimo da ova jednačina sadrži korijene x1 i x2. Tada, prema teoremi, vrijede sljedeće tvrdnje:

1) Zbir korijena x1 i x2 bit će jednak negativnu vrijednost koeficijent b.

2) Proizvod ovih istih korijena će nam dati koeficijent c.

Ali šta je data jednačina?

Redukovana kvadratna jednačina je kvadratna jednačina čiji je koeficijent najvišeg stepena jednak jedan, tj. ovo je jednadžba oblika x^2 + b*x + c = 0. (a jednačina a*x^2 + b*x + c = 0 nije redukovana). Drugim riječima, da bismo doveli jednačinu u dati oblik, moramo ovu jednačinu podijeliti sa koeficijentom najvećeg stepena (a). Zadatak je dovesti ovu jednačinu u sljedeći oblik:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Dijelimo svaku jednačinu sa koeficijentom najvišeg stepena, dobijamo:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Kao što možete vidjeti iz primjera, čak i jednadžbe koje sadrže razlomke mogu se svesti na dati oblik.

Koristeći Vietinu teoremu

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

dobijamo korijene: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

kao rezultat dobijamo korijene: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

dobijamo korijene: x1 = −1; x2 = −4.

Značenje Vietine teoreme

Vietin teorem nam omogućava da riješimo bilo koju kvadratnu redukovanu jednadžbu za skoro nekoliko sekundi. Na prvi pogled ovo izgleda dovoljno izazovan zadatak, ali nakon 5-10 jednačina, možete naučiti vidjeti korijene odmah.

Iz datih primjera, i korištenjem teoreme, jasno je kako možete značajno pojednostaviti rješavanje kvadratnih jednadžbi, jer pomoću ove teoreme možete riješiti kvadratnu jednačinu praktično bez složenih proračuna i izračunavanja diskriminanta, a kao što znate, što je manje kalkulacija, teže je napraviti grešku, što je važno.

U svim primjerima koristili smo ovo pravilo na osnovu dvije važne pretpostavke:

Zadata jednačina, tj. koeficijent najvišeg stepena jednak je jedan (ovaj uslov je lako izbeći. Možete koristiti neredukovani oblik jednačine, tada će važiti sledeće tvrdnje x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, ali to je obično teže riješiti :))

Kada jednadžba ima dva različita korijena. Pretpostavljamo da je nejednakost tačna i da je diskriminanta striktno veća od nule.

Stoga se možemo pomiriti opšti algoritam rješenja korištenjem Vietine teoreme.

Opći algoritam rješenja korištenjem Vietine teoreme

Kvadratnu jednačinu svodimo na reduciran oblik ako nam je jednačina data u nereduciranom obliku. Kada se koeficijenti u kvadratnoj jednadžbi, koje smo prethodno predstavili kao date, pokažu kao razlomci (ne decimalni), onda u ovom slučaju našu jednačinu treba riješiti preko diskriminanta.

Ima i slučajeva povratka u početna jednačina omogućava nam da radimo sa „zgodnim“ brojevima.

Između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe, osim korijenskih formula, postoje i drugi korisni odnosi koji su dati Vietin teorem. U ovom članku ćemo dati formulaciju i dokaz Vietine teoreme za kvadratna jednačina. Zatim ćemo razmotriti teoremu suprotnu Vietinoj teoremi. Nakon toga ćemo analizirati rješenja najtipičnijih primjera. Konačno, zapisujemo Vietine formule koje definiraju odnos između pravih korijena algebarska jednačina stepen n i njegovi koeficijenti.

Navigacija po stranici.

Vietin teorem, formulacija, dokaz

Iz formula za korijene kvadratne jednadžbe a·x 2 +b·x+c=0 oblika, gdje je D=b 2 −4·a·c, slijede sljedeće relacije: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Ovi rezultati su potvrđeni Vietin teorem:

Teorema.

Ako x 1 i x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0, tada je zbir korijena jednak omjeru koeficijenata b i a, uzetih sa suprotnim predznakom, i proizvodu korijeni su jednaki omjeru koeficijenata c i a, odnosno, .

Dokaz.

Provest ćemo dokaz Vietine teoreme prema sljedećoj shemi: sastaviti ćemo zbir i proizvod korijena kvadratne jednadžbe koristeći poznate formule korijena, nakon toga transformiramo rezultirajuće izraze i uvjeravamo se da su jednaki −b/a i c/a, respektivno.

Počnimo sa zbirom korijena i nadoknadimo ga. Sada smanjujemo razlomke na zajednički imenilac, imamo . U brojitelju rezultirajućeg razlomka, nakon čega:. Konačno, nakon 2, dobijamo . Ovo dokazuje prvu relaciju Vietine teoreme za zbir korijena kvadratne jednadžbe. Pređimo na drugu.

Sastavljamo proizvod korijena kvadratne jednadžbe: . Prema pravilu za množenje razlomaka, zadnji komad može se napisati kao . Sada množimo zagradu sa zagradom u brojiocu, ali brže je sažmiti ovaj proizvod za formula kvadratne razlike, Dakle . Zatim, prisjećajući se, izvodimo sljedeći prijelaz. A pošto diskriminanta kvadratne jednačine odgovara formuli D=b 2 −4·a·c, onda umesto D u poslednjem razlomku možemo zameniti b 2 −4·a·c, dobijamo. Nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih pojmova, dolazimo do razlomka , a njegovo smanjenje za 4·a daje . Ovo dokazuje drugu relaciju Vietine teoreme za proizvod korijena.

Ako izostavimo objašnjenja, dokaz Vietine teoreme poprimiće lakonski oblik:
,
.

Ostaje samo primijetiti da ako je diskriminanta jednaka nuli, kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Međutim, ako pretpostavimo da jednadžba u ovom slučaju ima dva identična korijena, onda vrijede i jednakosti iz Vietine teoreme. Zaista, kada je D=0 korijen kvadratne jednadžbe jednak je , tada i , a pošto je D=0, odnosno b ​​2 −4·a·c=0, odakle je b 2 =4·a·c, tada .

U praksi se Vietin teorem najčešće koristi u odnosu na redukovanu kvadratnu jednačinu (sa vodećim koeficijentom a jednakim 1) oblika x 2 +p·x+q=0. Ponekad se formulira za kvadratne jednadžbe upravo ovog tipa, što ne ograničava općenitost, budući da se svaka kvadratna jednačina može zamijeniti ekvivalentnom jednačinom dijeljenjem obje strane brojem a koji nije nula. Dajemo odgovarajuću formulaciju Vietine teoreme:

Teorema.

Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 jednak je koeficijentu od x uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu, odnosno x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema suprotna Vietinoj teoremi

Druga formulacija Vietine teoreme, data u prethodnom pasusu, pokazuje da ako su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0, onda su relacije x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. S druge strane, iz zapisanih relacija x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q slijedi da su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednačine x 2 +p x+q=0. Drugim riječima, istina je obrnuto od Vietine teoreme. Formulirajmo ga u obliku teoreme i dokažimo.

Teorema.

Ako su brojevi x 1 i x 2 takvi da je x 1 +x 2 =−p i x 1 · x 2 =q, tada su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p · x+q =0.

Dokaz.

Nakon zamjene koeficijenata p i q u jednačini x 2 +p·x+q=0 njihovim izrazima kroz x 1 i x 2, ona se transformira u ekvivalentnu jednačinu.

Zamijenimo broj x 1 umjesto x u rezultirajuću jednadžbu i imamo jednakost x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, što za bilo koje x 1 i x 2 predstavlja tačnu numeričku jednakost 0=0, budući da x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Dakle, x 1 je korijen jednadžbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, što znači da je x 1 korijen ekvivalentne jednačine x 2 +p·x+q=0.

Ako je u jednadžbi x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 zamijenimo broj x 2 umjesto x, dobićemo jednakost x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ovo je prava jednakost, jer x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Dakle, x 2 je također korijen jednačine x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, pa stoga i jednačine x 2 +p·x+q=0.

Time je završen dokaz teoreme, obrnuto od teoreme Vieta.

Primjeri korištenja Vietine teoreme

Vrijeme je da razgovaramo o praktičnoj primjeni Vietine teoreme i njene suprotne teoreme. U ovom dijelu ćemo analizirati rješenja za nekoliko najtipičnijih primjera.

Počnimo s primjenom teoreme suprotne Vietinoj teoremi. Pogodno je koristiti za provjeru da li su data dva broja korijeni date kvadratne jednadžbe. U tom slučaju se računa njihov zbir i razlika, nakon čega se provjerava valjanost relacija. Ako su oba ova odnosa zadovoljena, onda se na osnovu teoreme suprotne Vietinoj teoremi zaključuje da su ovi brojevi korijeni jednadžbe. Ako barem jedna od relacija nije zadovoljena, onda ovi brojevi nisu korijeni kvadratne jednadžbe. Ovaj pristup se može koristiti pri rješavanju kvadratnih jednadžbi za provjeru pronađenih korijena.

Primjer.

Koji je od parova brojeva 1) x 1 =−5, x 2 =3 ili 2) ili 3) par korijena kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0?

Rješenje.

Koeficijenti date kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0 su a=4, b=−16, c=9. Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena kvadratne jednadžbe trebao bi biti jednak −b/a, odnosno 16/4=4, a proizvod korijena trebao bi biti jednak c/a, odnosno 9 /4.

Sada izračunajmo zbir i proizvod brojeva u svakom od tri data para i uporedimo ih sa vrijednostima koje smo upravo dobili.

U prvom slučaju imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2. Rezultirajuća vrijednost je različita od 4, tako da se daljnja provjera ne može izvršiti, ali koristeći teorem inverznu Vietinoj teoremi, može se odmah zaključiti da prvi par brojeva nije par korijena date kvadratne jednadžbe.

Pređimo na drugi slučaj. Ovdje je, odnosno, ispunjen prvi uslov. Provjeravamo drugi uvjet: rezultirajuća vrijednost se razlikuje od 9/4. Prema tome, drugi par brojeva nije par korijena kvadratne jednadžbe.

Ostao je još jedan slučaj. Evo i. Oba uslova su ispunjena, pa su ovi brojevi x 1 i x 2 koreni date kvadratne jednačine.

odgovor:

Obrat Vietinog teorema može se koristiti u praksi za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Obično se biraju cjelobrojni korijeni date kvadratne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima, jer je u drugim slučajevima to prilično teško učiniti. U ovom slučaju koriste činjenicu da ako je zbroj dva broja jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a umnožak tih brojeva jednak je slobodnom članu, onda su ti brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe. Hajde da to shvatimo na primjeru.

Uzmimo kvadratnu jednačinu x 2 −5 x+6=0. Da bi brojevi x 1 i x 2 bili korijeni ove jednačine, moraju biti zadovoljene dvije jednakosti: x 1 + x 2 =5 i x 1 ·x 2 =6. Ostaje samo odabrati takve brojeve. U ovom slučaju, to je prilično jednostavno učiniti: takvi brojevi su 2 i 3, pošto je 2+3=5 i 2·3=6. Dakle, 2 i 3 su korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Teorema inverzna Vietinoj teoremi je posebno pogodna za korištenje za pronalaženje drugog korijena date kvadratne jednadžbe kada je jedan od korijena već poznat ili očigledan. U ovom slučaju, drugi korijen se može pronaći iz bilo koje relacije.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 512 x 2 −509 x −3=0. Ovdje je lako vidjeti da je jedinica korijen jednačine, pošto je zbir koeficijenata ove kvadratne jednačine jednak nuli. Dakle, x 1 =1. Drugi korijen x 2 može se naći, na primjer, iz relacije x 1 ·x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512, od čega je x 2 =−3/512. Ovako smo odredili oba korijena kvadratne jednadžbe: 1 i −3/512.

Jasno je da je odabir korijena preporučljiv samo u većini jednostavnim slučajevima. U drugim slučajevima, da biste pronašli korijene, možete koristiti formule za korijene kvadratne jednadžbe preko diskriminanta.

Druga praktična primjena obrnutog Vietinog teorema je konstruiranje kvadratnih jednadžbi datih korijenima x 1 i x 2 . Da biste to učinili, dovoljno je izračunati zbir korijena koji daje koeficijent x sa suprotnim predznakom date kvadratne jednadžbe i proizvod korijena koji daje slobodni član.

Primjer.

Napišite kvadratnu jednačinu čiji su korijeni brojevi −11 i 23.

Rješenje.

Označimo x 1 =−11 i x 2 =23. Izračunavamo zbir i proizvod ovih brojeva: x 1 +x 2 =12 i x 1 ·x 2 =−253. Dakle, navedeni brojevi su korijeni redukovane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom od −12 i slobodnim članom od −253. To jest, x 2 −12·x−253=0 je tražena jednačina.

odgovor:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietin teorem se vrlo često koristi pri rješavanju problema vezanih za predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Kako je Vietin teorem povezan sa predznacima korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p·x+q=0? Evo dvije relevantne izjave:

• Ako je slobodni termin q pozitivan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, tada su obje pozitivne ili obje negativne.
• Ako je slobodni član q negativan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su njihovi predznaci različiti, drugim riječima, jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan.

Ovi iskazi proizlaze iz formule x 1 · x 2 =q, kao i pravila pozitivnog množenja, negativni brojevi i brojeve sa različitim predznacima. Pogledajmo primjere njihove primjene.

Primjer.

R je pozitivan. Koristeći diskriminantnu formulu nalazimo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, vrijednost izraza r 2 +8 je pozitivan za bilo koje realno r, dakle D>0 za bilo koje realno r. Prema tome, originalna kvadratna jednadžba ima dva korijena za bilo koju realnu vrijednost parametra r.

Sada hajde da saznamo kada imaju korenje različiti znakovi. Ako su predznaci korijena različiti, onda je njihov umnožak negativan, a prema Vietinom teoremu, proizvod korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Stoga nas zanimaju one vrijednosti r za koje je slobodni član r−1 negativan. Dakle, da bismo pronašli vrijednosti r koje nas zanimaju, trebamo odlučiti linearna nejednakost r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

na r<1 .

Vieta formule

Gore smo govorili o Vietinoj teoremi za kvadratnu jednačinu i analizirali odnose koje ona tvrdi. Ali postoje formule koje povezuju realne korijene i koeficijente ne samo kvadratnih jednadžbi, već i kubnih jednačina, jednadžbi četvrtog stepena i općenito, algebarske jednačine stepen n. Oni se zovu Vietine formule.

Napišimo Vietinu formulu za algebarsku jednadžbu stepena n oblika, i pretpostavit ćemo da ima n realnih korijena x 1, x 2, ..., x n (među njima mogu biti i podudarni):

Vietine formule se mogu dobiti teorema o dekompoziciji polinoma na linearne faktore, kao i definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata. Dakle, polinom i njegova ekspanzija u linearne faktore oblika su jednaki. Otvarajući zagrade u posljednjem proizvodu i izjednačavajući odgovarajuće koeficijente, dobivamo Vietine formule.

Konkretno, za n=2 imamo već poznate Vietine formule za kvadratnu jednačinu.

Za kubnu jednačinu, Vietine formule imaju oblik

Ostaje samo napomenuti da se na lijevoj strani Vietinih formula nalaze tzv. simetrični polinomi.

Reference.

• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; edited by A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Jedna od metoda za rješavanje kvadratne jednadžbe je korištenje VIET formule, koji je dobio ime po FRANCOIS VIETTE.

Bio je poznati advokat koji je služio francuskom kralju u 16. veku. U slobodno vrijeme studirao je astronomiju i matematiku. Uspostavio je vezu između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe.

Prednosti formule:

1 . Primjenom formule možete brzo pronaći rješenje. Zato što nema potrebe unositi drugi koeficijent u kvadrat, zatim od njega oduzeti 4ac, pronaći diskriminanta i zamijeniti njegovu vrijednost u formulu da pronađemo korijene.

2 . Bez rješenja možete odrediti znakove korijena i odabrati vrijednosti korijena.

3 . Nakon što smo riješili sistem od dva zapisa, nije teško pronaći same korijene. U gornjoj kvadratnoj jednadžbi, zbir korijena jednak je vrijednosti drugog koeficijenta sa predznakom minus. Proizvod korijena u gornjoj kvadratnoj jednadžbi jednak je vrijednosti trećeg koeficijenta.

4 . Koristeći ove korijene, zapišite kvadratnu jednačinu, odnosno riješite inverzni zadatak. Na primjer, ova metoda se koristi pri rješavanju problema iz teorijske mehanike.

5 . Pogodno je koristiti formulu kada je vodeći koeficijent jednak jedan.

Nedostaci:

1 . Formula nije univerzalna.

Vietina teorema 8. razred

Formula
Ako su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 + px + q = 0, tada:

Primjeri
x 1 = -1; x 2 = 3 - korijeni jednadžbe x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Obratna teorema

Formula
Ako su brojevi x 1, x 2, p, q povezani uslovima:

Tada su x 1 i x 2 korijeni jednadžbe x 2 + px + q = 0.

Primjer
Kreirajmo kvadratnu jednačinu koristeći njene korijene:

X 1 = 2 - ? 3 i x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Tražena jednačina ima oblik: x 2 - 4x + 1 = 0.

I. Vietina teorema za redukovanu kvadratnu jednačinu.

Zbir korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Pronađite korijene date kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem.

Primjer 1) x 2 -x-30=0. Ovo je redukovana kvadratna jednadžba ( x 2 +px+q=0), drugi koeficijent p=-1, i besplatni član q=-30. Prvo, uvjerimo se da ova jednadžba ima korijene i da će korijeni (ako ih ima) biti izraženi cijelim brojevima. Da biste to učinili, dovoljno je da diskriminanta bude savršen kvadrat cijelog broja.

Pronalaženje diskriminanta D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Sada, prema Vietinoj teoremi, zbir korijena mora biti jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, tj. ( -p), a proizvod je jednak slobodnom članu, tj. ( q). onda:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Moramo izabrati dva broja tako da im je proizvod jednak -30 , a iznos je jedinica. Ovo su brojevi -5 I 6 . Odgovor: -5; 6.

Primjer 2) x 2 +6x+8=0. Imamo redukovanu kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom p=6 i besplatan član q=8. Uvjerimo se da postoje cjelobrojni korijeni. Hajde da nađemo diskriminanta D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 je savršen kvadrat broja 1 , što znači da su korijeni ove jednadžbe cijeli brojevi. Odaberimo korijene koristeći Vietin teorem: zbir korijena je jednak –r=-6, a proizvod korijena je jednak q=8. Ovo su brojevi -4 I -2 .

U stvari: -4-2=-6=-r; -4∙(-2)=8=q. Odgovor: -4; -2.

Primjer 3) x 2 +2x-4=0. U ovoj redukovanoj kvadratnoj jednadžbi, drugi koeficijent p=2, i besplatni član q=-4. Hajde da nađemo diskriminanta D 1, pošto je drugi koeficijent paran broj. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant nije savršen kvadrat broja, tako da to činimo zaključak: Korijeni ove jednadžbe nisu cijeli brojevi i ne mogu se pronaći pomoću Vietine teoreme. To znači da ovu jednačinu rješavamo, kao i obično, pomoću formula (u ovom slučaju pomoću formula). dobijamo:

Primjer 4). Napišite kvadratnu jednačinu koristeći njene korijene if x 1 =-7, x 2 =4.

Rješenje. Tražena jednačina će biti napisana u obliku: x 2 +px+q=0, i na osnovu Vietine teoreme –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Tada će jednačina poprimiti oblik: x 2 +3x-28=0.

Primjer 5). Napišite kvadratnu jednačinu koristeći njene korijene ako:

II. Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednačinu ax 2 +bx+c=0.

Zbir korijena je minus b, podijeljeno sa A, proizvod korijena je jednak With, podijeljeno sa

Prilikom proučavanja metoda za rješavanje jednačina drugog reda u školskom kursu algebre razmatraju se svojstva rezultujućih korijena. Oni su trenutno poznati kao Vietina teorema. Primjeri njegove upotrebe dati su u ovom članku.

Kvadratna jednadžba

Jednačina drugog reda je jednakost prikazana na slici ispod.

Ovdje su simboli a, b, c neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti jednačine koja se razmatra. Da biste riješili jednakost, morate pronaći vrijednosti x koje je čine istinitom.

Imajte na umu da je maksimalna snaga na koju se x može podići dva, tada je broj korijena u općem slučaju također dva.

Postoji nekoliko načina za rješavanje ove vrste jednakosti. U ovom članku ćemo razmotriti jedan od njih, koji uključuje korištenje takozvane Vietine teoreme.

Formulacija Vietine teoreme

Krajem 16. stoljeća, poznati matematičar Francois Viète (Francuz) primijetio je, analizirajući svojstva korijena različitih kvadratnih jednačina, da određene njihove kombinacije zadovoljavaju specifične odnose. Konkretno, ove kombinacije su njihov proizvod i zbir.

Vietin teorem utvrđuje sljedeće: korijeni kvadratne jednadžbe, kada se zbroje, daju omjer linearnih i kvadratnih koeficijenata uzetih sa suprotnim predznakom, a kada se pomnože, dovode do omjera slobodnog člana i kvadratnog koeficijenta .

Ako je opći oblik jednadžbe napisan kao što je prikazano na fotografiji u prethodnom dijelu članka, onda se matematički ova teorema može napisati u obliku dvije jednakosti:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Gdje je r 1, r 2 vrijednost korijena dotične jednačine.

Gornje dvije jednakosti mogu se koristiti za rješavanje niza različitih matematičkih problema. Upotreba Vietine teoreme u primjerima s rješenjima data je u sljedećim odjeljcima članka.