U prethodnoj lekciji bavili smo se faktorizacijom. Savladali smo dvije metode: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada i grupiranje. U ovoj lekciji - sljedeća moćna metoda: skraćene formule za množenje. Ukratko - FSU.

Skraćene formule množenja (kvadrat zbira i razlike, kocka zbira i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kocki) su izuzetno potrebne u svim granama matematike. Koriste se za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednačina, množenje polinoma, smanjenje razlomaka, rješavanje integrala itd. itd. Ukratko, postoje svi razlozi za suočavanje s njima. Shvatite odakle dolaze, zašto su potrebni, kako ih zapamtiti i kako ih primijeniti.

Da li razumemo?)

Odakle dolaze formule za skraćeno množenje?

Jednačine 6 i 7 nisu napisane na poznat način. Malo je suprotno. Ovo je namjerno.) Svaka jednakost funkcionira i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Ovaj unos pokazuje jasnije odakle dolaze FSU.

One se uzimaju iz množenja.) Na primjer:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To je to, bez naučnih trikova. Jednostavno množimo zagrade i dajemo slične. Ovako ispada sve skraćene formule za množenje. Skraćeno množenje je zato što u samim formulama nema množenja zagrada i redukcije sličnih. Skraćeno.) Rezultat se odmah daje.

FSU treba znati napamet. Bez prva tri, ne možete sanjati o C bez ostatka, ne možete sanjati o B ili A.)

Zašto su nam potrebne skraćene formule za množenje?

Postoje dva razloga da naučite, čak i zapamtite, ove formule. Prvi je da gotov odgovor automatski smanjuje broj grešaka. Ali to nije glavni razlog. Ali drugi...

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisna varijabla, k i b su bilo koji brojevi.
Grafikon linearne funkcije je prava linija.

1. Graditi graf funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i koristiti ih za izračunavanje odgovarajućih y vrijednosti.

Na primjer, za crtanje funkcije y= x+2, zgodno je uzeti x=0 i x=3, tada će ordinate ovih tačaka biti jednake y=2 i y=3. Dobijamo tačke A(0;2) i B(3;3). Povežimo ih i dobijemo graf funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k se naziva koeficijent proporcionalnosti:
ako je k>0, tada funkcija y=kx+b raste
ako k
Koeficijent b pokazuje pomak grafa funkcije duž ose OY:
ako je b>0, onda se graf funkcije y=kx+b dobija iz grafika funkcije y=kx pomicanjem b jedinica prema gore duž ose OY
ako b
Na slici ispod prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent k veće od nule a funkcije su povećanje.Štaviše, nego više vrijednosti k, što je veći ugao nagiba prave linije do pozitivnog smjera OX os.

U svim funkcijama b=3 - i vidimo da svi grafovi sijeku osu OY u tački (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent k manje od nule i funkcije se smanjuju. Koeficijent b=3, a grafovi, kao iu prethodnom slučaju, sijeku osu OY u tački (0;3)

Razmotrimo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada su u svim jednadžbama funkcije koeficijenti k jednaki 2. I dobili smo tri paralelne prave.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafovi sijeku os OY u različitim tačkama:
Grafikon funkcije y=2x+3 (b=3) siječe osu OY u tački (0;3)
Grafikon funkcije y=2x (b=0) siječe osu OY u tački (0;0) - ishodištu.
Grafikon funkcije y=2x-3 (b=-3) siječe osu OY u tački (0;-3)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
Ako k 0

Ako k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k, tada grafik funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k=0, tada se funkcija y=kx+b pretvara u funkciju y=b i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih tačaka na grafu funkcije y=b jednake su b If b=0, tada graf funkcije y=kx (direktna proporcionalnost) prolazi kroz ishodište:

3. Zabilježimo posebno grafik jednačine x=a. Grafikon ove jednačine je prava linija paralelna sa OY osi, čije sve tačke imaju apscisu x=a.

Na primjer, graf jednadžbe x=3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednačina x=a nije funkcija, pa joj odgovara jedna vrijednost argumenta različita značenja funkcije, što ne odgovara definiciji funkcije.

4. Uslov za paralelnost dve prave:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je paralelan sa grafikom funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 =k 2

5. Uslov da dve prave budu okomite:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je okomit na grafik funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Tačke presjeka grafa funkcije y=kx+b sa koordinatnim osa.

Sa OY osovinom. Apscisa bilo koje tačke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OY osom, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto x. Dobijamo y=b. Odnosno, tačka preseka sa OY osom ima koordinate (0; b).

Sa OX osom: Ordinata bilo koje tačke koja pripada OX osi je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa osom OX, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto y. Dobijamo 0=kx+b. Dakle, x=-b/k. To jest, tačka preseka sa OX osom ima koordinate (-b/k;0):

Skraćene formule za množenje. Trening.

Pokušajte procijeniti sljedeće izraze na ovaj način:

odgovori:

Ili, ako znate kvadrate osnovnih dvocifrenih brojeva, zapamtite koliko je to? Sjećaš li se? . Odlično! Pošto kvadriramo, moramo pomnožiti sa. Ispostavilo se da.

Zapamtite da formule za kvadratni zbir i kvadratnu razliku ne vrijede samo za numeričke izraze:

Izračunajte sami sljedeće izraze:

odgovori:

Skraćene formule za množenje. Zaključak.

Hajde da sumiramo malo i napišemo formule za kvadrat zbira i razlike u jednom redu:

Sada vježbajmo "sastavljanje" formule od dekomponiranog pogleda do pogleda. Ova vještina će nam trebati kasnije kada pretvaramo velike izraze.

Recimo da imamo sljedeći izraz:

Znamo da je kvadrat zbira (ili razlike). kvadrat jednog broja kvadrat drugog broja I dvostruki proizvod ovih brojeva.

U ovom zadatku lako je vidjeti kvadrat jednog broja - ovo. Prema tome, jedan od brojeva uključenih u zagradu je kvadratni korijen od, tj

Pošto drugi član sadrži, to znači da je ovo dvostruki proizvod jednog i drugog broja, respektivno:

Gdje je drugi broj uključen u našu zagradu.

Drugi broj u zagradi je jednak.

Hajde da proverimo. treba da bude jednaka. Zaista, to je tako, što znači da smo pronašli oba broja u zagradama: i. Ostaje odrediti znak koji stoji između njih. Šta mislite kakav će znak biti tamo?

Tačno! Pošto mi add Ako se proizvod udvostruči, između brojeva će biti znak za sabiranje. Sada zapišite transformirani izraz. Jeste li uspjeli? Trebali biste dobiti sljedeće:

Napomena: promjena mjesta pojmova ne utječe na rezultat (nije bitno da li se zbrajanje ili oduzimanje stavlja između i).

Apsolutno nije neophodno da termini u izrazu koji se konvertuje budu kao što je napisano u formuli. Pogledajte ovaj izraz: . Pokušajte ga sami pretvoriti. Je li uspjelo?

Vježbajte - transformirajte sljedeće izraze:

odgovori: Jeste li uspjeli? Hajde da popravimo temu. Odaberite između izraza ispod onih koji se mogu predstaviti kao kvadrat zbira ili razlike.

1. - dokazati da je ekvivalentan.

1. - ne može se predstaviti kao kvadrat; moglo bi se zamisliti da umjesto toga postoji.

Razlika kvadrata

Druga skraćena formula za množenje je razlika kvadrata.

Razlika kvadrata nije kvadrat razlike!

Razlika između kvadrata dva broja jednaka je umnošku zbira ovih brojeva i njihove razlike:

Provjerimo da li je ova formula tačna. Da bismo to učinili, pomnožimo, kao što smo radili kada smo izvodili formule za kvadrat zbira i razlike:

Dakle, upravo smo potvrdili da je formula zaista tačna. Ova formula također pojednostavljuje složene računske operacije. Evo primjera:

Potrebno je izračunati: . Naravno, možemo kvadrirati, zatim kvadrirati i oduzimati jedno od drugog, ali formula nam olakšava:

Je li uspjelo? Uporedimo rezultate:

Baš kao kvadrat zbira (razlike), formula za razliku kvadrata može se koristiti ne samo s brojevima:

Znati kako izračunati razliku kvadrata pomoći će nam da transformiramo složene matematičke izraze.

Imajte na umu:

Budući da se prilikom dekomponovanja razlike pravog izraza kvadratom dobije

Budite oprezni i pogledajte koji se termin kvadrira! Da biste konsolidirali temu, transformirajte sljedeće izraze:

Jeste li to zapisali? Uporedimo rezultirajuće izraze:

Sada kada ste savladali kvadrat zbira i kvadrat razlike, kao i razliku kvadrata, pokušajmo riješiti primjere na kombinaciji ove tri formule.

Konverzija elementarnih izraza (zbir na kvadrat, razlika na kvadrat, razlika kvadrata)

Recimo da nam je dat primjer

Ovaj izraz treba pojednostaviti. Pogledajte pažljivo, šta vidite u brojiocu? Tako je, brojilac je savršen kvadrat:

Kada pojednostavljujete izraz, zapamtite da je trag u kojem smjeru treba ići u pojednostavljivanju u nazivniku (ili brojniku). U našem slučaju, kada se nazivnik proširi i ništa se više ne može učiniti, možemo shvatiti da će brojilac biti ili kvadrat zbira ili kvadrat razlike. Pošto sabiramo, postaje jasno da je brojilac kvadrat zbira.

Pokušajte sami konvertirati sljedeće izraze:

Je li uspjelo? Uporedite odgovore i nastavite dalje!

Kocka zbira i kocka razlike

Formule kocke zbira i kocke razlike se izvode na isti način kao kvadrat zbira I razlika na kvadrat: otvaranje zagrada prilikom množenja pojmova jedan s drugim.

Ako se kvadrat zbira i kvadrat razlike vrlo lako pamte, onda se postavlja pitanje: "kako zapamtiti kocke?"

Pažljivo pogledajte dvije opisane formule u poređenju sa kvadriranjem sličnih pojmova:

Koji obrazac vidite?

1. Kada je postavljen u kvadrat imamo kvadrat prvog dana i kvadrat drugi; kada se podigne na kocku - da kocka isti broj i kocka drugi broj.

2. Kada je postavljen u kvadrat, imamo udvostručeno proizvod brojeva (brojevi podignuti na 1. stepen, što je za jedan stepen manje od onog na koji podižemo izraz); tokom izgradnje u kocka - utrostručio proizvod u kojem je jedan od brojeva na kvadrat (koji je također 1 stepen manji od stepena na koji podižemo izraz).

3. Prilikom kvadriranja, znak u zagradama u otvorenom izrazu se odražava pri sabiranju (ili oduzimanju) dvostrukog proizvoda - ako postoji sabirak u zagradama, onda sabiramo, ako postoji oduzimanje, oduzimamo; kod dizanja kocke važi pravilo: ako imamo kocku zbira, onda su svi predznaci “+”, a ako imamo kocku razlike, onda se znaci izmjenjuju: “ ” - “ ” - “ ” - “ “ .

Sve navedeno, osim ovisnosti potencija pri množenju članova, prikazano je na slici.

Hoćemo li vježbati? Otvorite zagrade u sljedećim izrazima:

Uporedite dobijene izraze:

Razlika i zbir kocki

Pogledajmo zadnji par formula: razlika i zbir kocki.

Kao što se sjećamo, u razlici kvadrata množimo razliku i zbir ovih brojeva jedan s drugim. Postoje i dvije zagrade u razlici kocki i zbiru kocki:

1 zagrada - razlika (ili zbir) brojeva na prvi stepen (u zavisnosti od toga da li otkrivamo razliku ili zbir kocki);

2 zagrada - nepotpuni kvadrat (pogledajte pažljivo: ako bismo oduzeli (ili dodali) dvostruki proizvod brojeva, postojao bi kvadrat), znak pri množenju brojeva je suprotan znaku originalnog izraza.

Da bismo pojačali temu, riješimo nekoliko primjera:

Uporedite dobijene izraze:

Trening

odgovori:

Hajde da rezimiramo:

Postoji 7 skraćenih formula za množenje:

NAPREDNI NIVO

Formule za skraćeno množenje su formule koje, znajući što možete izbjeći izvođenje nekih standardnih radnji prilikom pojednostavljivanja izraza ili faktoringa polinoma. Skraćene formule za množenje treba znati napamet!

1. Kvadrat sume dva izraza jednaka su kvadratu prvog izraza plus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza:
2. Razlika na kvadrat dva izraza jednaka su kvadratu prvog izraza minus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza:
3. Razlika kvadrata dva izraza jednaka je proizvodu razlike ovih izraza i njihovog zbira:
4. Kocka zbira dva izraza jednaka kocki prvi izraz plus trostruki umnožak kvadrata prvog izraza i drugi plus trostruki umnožak prvog izraza i kvadrata drugog plus kocke drugog izraza:
5. Kocka razlike dva izraza jednaka su kocki prvog izraza minus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog minus kocke drugog izraza:
6. Zbir kocki dva izraza jednaka je umnošku zbira prvog i drugog izraza i nepotpunog kvadrata razlike ovih izraza:
7. Razlika kocke dva izraza jednaka je proizvodu razlike prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbira ovih izraza:

Dokažimo sada sve ove formule.

Skraćene formule za množenje. Dokaz.

1. .
Kvadratirati izraz znači pomnožiti ga sam sa sobom:
.

Otvorimo zagrade i damo slične:

2. .
Radimo istu stvar: množimo razliku sama po sebi, otvaramo zagrade i dajemo slične:
.

3. .
Uzmimo izraz na desnoj strani i otvorimo zagrade:
.

4. .
Broj u kocki se može predstaviti kao ovaj broj pomnožen njegovim kvadratom:

Isto tako:

U razlici kocki znakovi se izmjenjuju.

6. .

.

7. .
Otvorimo zagrade na desnoj strani:
.

Korištenje skraćenih formula za množenje za rješavanje primjera

Primjer 1:

Pronađite značenje izraza:

Rješenje:

1. Koristimo formulu kvadrat zbira: .
2. Zamislimo ovaj broj kao razliku i koristimo formulu za kvadrat razlike: .

Primjer 2:

Pronađite značenje izraza: .

Rješenje:

Koristeći formulu za razliku kvadrata dva izraza, dobijamo:

Primjer 3:

Pojednostavite izraz:

Rješenje na dva načina:

Koristimo formule: kvadrat zbira i kvadrat razlike:

II metoda.

Koristimo formulu za razliku kvadrata dva izraza:

SADA VAŠA RIJEČ...

Rekao sam vam sve što znam o skraćenim formulama za množenje.

Reci mi sada, hoćeš li ih koristiti? Ako ne, zašto ne?

Šta mislite o ovom članku?

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima. Čitamo sve komentare i odgovaramo na sve.

I sretno na ispitima!

Matematički izrazi (formule) skraćeno množenje(kvadrat zbira i razlike, kocka zbira i razlike, razlika kvadrata, zbir i razlika kocki) su izuzetno nezamjenjivi u mnogim oblastima egzaktnih nauka. Ovih 7 simboličkih zapisa je neprocjenjivo za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednačina, množenje polinoma, smanjenje razlomaka, rješavanje integrala i još mnogo toga. To znači da će biti vrlo korisno razumjeti kako se dobijaju, zašto su potrebni, i što je najvažnije, kako ih zapamtiti i zatim primijeniti. Zatim prijava skraćene formule za množenje u praksi će najteže biti vidjeti šta jeste X a šta imaš. Očigledno, nema ograničenja za a I b ne, što znači da može biti bilo koji numerički ili alfabetski izraz.

I evo ih:

Prvo x 2 - u 2 = (x - y) (x+y).Da izračunam razlika kvadrata dva izraza, trebate pomnožiti razlike ovih izraza njihovim zbirom.

Drugo (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Da nađem kvadrat zbira dva izraza, morate kvadratu prvog izraza dodati dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.

Treće (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Da izračunam razlika na kvadrat dva izraza, morate od kvadrata prvog izraza oduzeti dva puta umnožak prvog izraza sa drugim plus kvadrat drugog izraza.

Četvrto (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + u 3. Da izračunam kocka zbira dva izraza, morate kocki prvog izraza dodati trostruki proizvod kvadrata prvog izraza sa drugim plus trostruki proizvod prvog izraza sa kvadratom drugog plus kocku drugog izraza.

Peto (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - u 3. Da izračunam kocka razlike dva izraza, potrebno je od kocke prvog izraza oduzeti trostruki proizvod kvadrata prvog izraza za drugi plus trostruki proizvod prvog izraza za kvadrat drugog minus kocka drugog izraza.

Šesto x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Da izračunam zbir kocki dva izraza, trebate pomnožiti zbroje prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom razlike ovih izraza.

Sedmo x 3 - u 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Za izvođenje proračuna razlike kocki dva izraza, trebate pomnožiti razliku prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbira ovih izraza.

Nije teško zapamtiti da se sve formule koriste za izvođenje proračuna u suprotnom smjeru (s desna na lijevo).

Postojanje ovih obrazaca bilo je poznato prije oko 4 hiljade godina. Stanovnici su ih naširoko koristili drevni Babilon i Egipat. Ali u tim epohama oni su se izražavali verbalno ili geometrijski i nisu koristili slova u proračunima.

Hajde da to sredimo dokaz kvadratne sume(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.

Prvo ovo matematički obrazac dokazao je starogrčki naučnik Euklid, koji je radio u Aleksandriji u 3. veku pre nove ere, koristio je geometrijsku metodu za dokazivanje formule, jer naučnici nisu koristili slova ni za označavanje brojeva drevne Helade. Oni su posvuda koristili ne “a 2”, već “kvadrat na segmentu a”, ne “ab”, već “pravougaonik zatvoren između segmenata a i b”.