Rešimo sada problem dovođenja proizvoljnog sistema sila u dato središte, odnosno zamene datog sistema sila drugim, njemu ekvivalentnim, ali mnogo jednostavnijim, naime, koji se sastoji, kao što ćemo videti, samo od jedna sila i par.
Neka na čvrsto tijelo djeluje proizvoljan sistem sila (slika 40, a).
Odaberimo neku tačku O kao centar redukcije i, koristeći teoremu dokazanu u § 11, prebacimo sve sile u centar O, dodajući odgovarajuće parove (vidi sliku 37, b). Tada će na tijelo djelovati sistem sila
primijenjen na centar O, i sistem parova čiji su momenti, prema formuli (18), jednaki:
Konvergentne sile primijenjene u tački O zamjenjuju se jednom silom R primijenjenoj u tački O. U ovom slučaju, ili, prema jednakosti (19),
Da biste dodali sve rezultirajuće parove, morate dodati vektore momenta ovih parova. Kao rezultat, sistem parova će biti zamijenjen jednim parom, čiji trenutak ili, prema jednakosti (20),
Kao što je poznato, vrijednost R je jednaka geometrijski zbir svih sila naziva se glavnim vektorom sistema, vrijednost jednaka geometrijskom zbiru momenata svih sila u odnosu na centar O naziva se glavnim momentom sistema sila u odnosu na ovaj centar.
Tako smo dokazali sljedeću teoremu o redukciji sistema sila: svaki sistem sila koje djeluju na apsolutno kruto tijelo, kada se svede na proizvoljno odabrano središte O, zamjenjuje se jednom silom R, jednakom glavnom vektoru sistem sila i primenjen na centar redukcije O, i jedan par sa momentom jednakim glavnom momentu sistema sila u odnosu na centar O (sl. 40, b).
Imajte na umu da sila R ovdje nije rezultanta ovog sistema sila, jer zamjenjuje sistem sila ne sama, već zajedno sa parom.
Iz dokazane teoreme proizilazi da su dva sistema sila koja imaju iste glavne vektore i glavne momente u odnosu na isti centar ekvivalentna (uslovi za ekvivalentnost sistema sila).
Napomenimo i da vrijednost R očito ne ovisi o izboru centra O. Vrijednost, kada se promijeni položaj centra O, općenito se može promijeniti zbog promjena vrijednosti momenata pojedinačnih sila. Stoga je uvijek potrebno naznačiti u odnosu na koji centar je određen glavna poenta.
Metoda dovođenja jedne sile u datu tačku može se primijeniti na bilo koji broj sila. Pretpostavimo da su na nekim tačkama tela (slika 1.24) primenjene sile F 1 F 2 , F 3 I F4. Potrebno je ove sile dovesti do tačke O avion. Hajde da prvo predstavimo silu primenjenu u tački A. Primenimo (videti § 16) na ovom mestu O dvije sile koje su odvojeno jednake vrijednosti datoj sili, paralelne s njom i usmjerene u suprotnim smjerovima. Kao rezultat dovođenja sile, dobijamo silu , primijenjeno u tački O, i nekoliko sila sa ramenom . Radeći isto sa silom , primijenjen na tački IN, dobićemo moć , primijenjen na tački O, i par sila sa ramenom, itd. Ravni sistem sila primenjenih u tačkama A, B, C I D, zamijenili smo konvergentnim silama , primijenjen u jednom trenutku O, i parovi sila sa momentima, jednakih trenutaka date sile u odnosu na tačku O:
Sl.1.24
Sile koje konvergiraju u tački mogu se zamijeniti jednom silom jednakom geometrijskom zbroju komponenti,
Ova sila, jednaka geometrijskom zbiru datih sila, naziva se glavni vektor sistema sila i označiti .
Na osnovu veličine projekcije glavnog vektora na koordinatne ose nalazimo modul glavnog vektora:
Na osnovu pravila za sabiranje parova sila, one se mogu zamijeniti rezultirajućim parom čiji je moment jednak algebarskom zbiru momenata datih sila u odnosu na tačku O i zove se glavna poenta u odnosu na referentnu tačku
Dakle, proizvoljan ravan sistem sila se svodi na jednu silu(glavni vektor sistema sila) i jedan trenutak(glavni momenat sistema sila).
Potrebno je shvatiti da sto glavnih vektora nije rezultanta datog sistema sila, jer ovaj sistem nije ekvivalentan jednoj sili. Pošto je glavni vektor jednak geometrijskom zbiru sila u datom sistemu, ni njegova veličina ni njegov pravac ne zavise od izbora centra redukcije. Vrijednost i predznak glavnog momenta ovisi o položaju centra redukcije, budući da krakovi parova komponenti zavise od relativnog položaja sila i tačke (centra) u odnosu na koju se momenti uzimaju.
Posebni slučajevi redukcije sistema snaga:
1) ; sistem je u ravnoteži, tj. Za ravnotežu ravnog sistema sila potrebno je i dovoljno da njegov glavni vektor i glavni moment budu istovremeno jednaki nuli.
Predavanje 5
Rezime: Dovođenje sile u dato središte. Dovođenje sistema sila u dato središte. Uslovi ravnoteže prostorni sistem paralelne sile. Uslovi ravnoteže za ravan sistem sila. Teorema o tri momenta. Statički definirani i statički neodređeni problemi. Ravnoteža sistema tijela.
DOVOĐENJE SISTEMA SILA U ODREĐENI CENTAR. USLOVI RAVNOTEŽE
Dovođenje sile u dato središte.
Rezultanta sistema sila koje se konvergiraju direktno se nalazi sabiranjem sila prema pravilu paralelograma. Očigledno, sličan problem se može riješiti za proizvoljan sistem sila ako za njih pronađemo metodu koja nam omogućava da prenesemo sve sile u jednu tačku.
Teorema o paralelnom prijenosu sile . Sila primijenjena na apsolutno kruto tijelo može se, bez promjene učinka koje vrši, prenijeti iz date tačke u bilo koju drugu tačku tijela, dodajući par s momentom jednakim momentu prenesene sile u odnosu na tačku u kojoj sila se prenosi.
Neka se u tački A primjenjuje sila. Učinak ove sile se ne mijenja ako se u tački B primjenjuju dvije uravnotežene sile. Rezultirajući sistem od tri sile je sila jednaka, ali primijenjena u tački B, i par sa momentom. Proces zamjene sile sa silom i parom sila naziva se dovođenje sile u dato središte B.
Dovođenje sistema sila u dato središte.
Glavna teorema statika (Poinsot).
Svaki proizvoljni sistem sila koje djeluju na kruto tijelo može se, općenito, svesti na silu i par sila. Ovaj proces zamjene sistema sila jednom silom i jednim parom sila naziva se dovođenje sistema sila u dato središte.
Glavni vektor sistema snagu naziva se vektor jednak vektorska suma ove snage.
Glavna tačka sistema snagu U odnosu na tačku O tijela, vektor se naziva jednak vektorskom zbiru momenata svih sila sistema u odnosu na ovu tačku.
Formule za izračunavanje glavnog vektora i glavnog momenta
Formule za izračunavanje modula i kosinusa smjera
glavni vektor i glavni moment
Uslovi za ravnotežu sistema sila.
Vektorski oblik.
Za ravnotežu proizvoljnog sistema sila primijenjenih na kruto tijelo, potrebno je i dovoljno da glavni vektor sistema sila bude jednak nuli, a glavni moment sistema sila u odnosu na bilo koje središte redukcije također jednak nula.
Algebarski oblik.
Za ravnotežu proizvoljnog sistema sila primijenjenih na kruto tijelo, potrebno je i dovoljno da tri sume projekcija svih sila na osu Kartezijanske koordinate bile su jednake nuli i tri sume momenata svih sila u odnosu na tri koordinatne ose također su bile jednake nuli.
Uslovi za ravnotežu prostornog sistema
paralelne sile.
Na tijelo djeluje sistem paralelnih sila. Postavimo Oz osu paralelno sa silama.
Jednačine 
Za ravnotežu prostornog sistema paralelnih sila koje deluju na čvrsto telo, neophodno je i dovoljno da zbir projekcija ovih sila bude jednak nuli i zbir momenata tih sila u odnosu na dve koordinatne ose okomite na sile su takođe jednake nuli.
- projekcija sile na Oz osu.
FLAT FORCE SYSTEM.
Uslovi ravnoteže za ravan sistem sila.
Na tijelo djeluje ravan sistem sila. Postavimo ose Ox i Oy u ravan djelovanja sila.
Jednačine 
Za ravnotežu ravnog sistema sila koje djeluju na čvrsto tijelo, potrebno je i dovoljno da su zbroji projekcija ovih sila na svaku od dvije pravokutne koordinatne osi koje se nalaze u ravni djelovanja sila jednake nuli. a zbir momenata ovih sila u odnosu na bilo koju tačku koja se nalazi u ravni djelovanja sile su također bile nula.
Teorema o tri momenta.
Za ravnotežu ravnog sistema sila koje djeluju na kruto tijelo, potrebno je i dovoljno da sume momenata ovih sila sistema u odnosu na bilo koje tri tačke koje se nalaze u ravni djelovanja sila, a ne leže na ista ravna linija jednaka je nuli.
Statički definirani i statički neodređeni problemi.
Za bilo koji ravan sistem sila koje deluju na kruto telo, postoje tri nezavisna uslova ravnoteže. Prema tome, za bilo koji ravan sistem sila, ne mogu se naći više od tri nepoznate iz uslova ravnoteže.
U slučaju prostornog sistema sila koje deluju na kruto telo, postoji šest nezavisnih uslova ravnoteže. Prema tome, za bilo koji prostorni sistem sila ne može se naći više od šest nepoznatih iz uslova ravnoteže.
Zadaci u kojima broj nepoznatih nije veći od broja nezavisnih uslova ravnoteže za dati sistem sila primijenjenih na kruto tijelo nazivaju se statički odrediv.
Inače, problemi su statički neodređeni.
Ravnoteža sistema tijela.
Razmotrimo ravnotežu sila primijenjenih na sistem tijela u interakciji. Tijela se mogu međusobno povezati pomoću šarki ili na drugi način.
Sile koje djeluju na sistem tijela koji se razmatra mogu se podijeliti na vanjske i unutrašnje.
Eksterni nazivaju se sile kojima na tijela razmatranog sistema djeluju tijela koja nisu uključena u ovaj sistem sila.
Interni nazivaju se silama interakcije između tijela sistema koji se razmatra.
Kada se razmatra ravnoteža sila primijenjenih na sistem tijela, može se mentalno podijeliti sistem tijela na pojedinačna čvrsta tijela i primijeniti ravnotežne uslove za jedno tijelo na sile koje djeluju na ta tijela. Ovi uslovi ravnoteže će uključivati i spoljašnje i unutrašnje sile sistema tela. Unutrašnje sile Na osnovu aksioma o jednakosti sila djelovanja i reakcije u svakoj tački artikulacije dva tijela, one čine ravnotežni sistem sila.
Pokažimo to na primjeru sistema dva tijela i ravni sistema sila.
Ako stvorimo ravnotežne uslove za svaki solidan sistem tijela, zatim za tijelo I 
.
za tijelo II 
Osim toga, iz aksioma o jednakosti sila djelovanja i reakcije za dva tijela u interakciji imamo 
.
Prikazane jednakosti su uslovi ravnoteže spoljne sile, djelujući na sistem.
Reakcija zaptivanja.
Razmotrimo gredu čiji je jedan kraj AB ugrađen u zid. Ova vrsta pričvršćivanja kraja grede AB naziva se zaptivanje na tački B. Neka na gredu djeluje ravan sistem sila. Odredimo sile koje se moraju primijeniti na tačku B grede ako se dio grede AB odbaci. Raspodijeljene sile reakcije se primjenjuju na presjek grede (B). Ako se te sile zamijene elementarnim koncentrisanim silama i zatim dovedu u tačku B, tada u tački B dobijamo silu (glavni vektor reakcionih sila) i par sila sa momentom M (glavni vektor reakcionih sila u odnosu na tačka B). Trenutak M nazvan momenat zatvaranja ili direktivnog momenta. Reakciona sila se može zamijeniti sa dvije komponente i .
Brtva, za razliku od šarke, stvara ne samo reakciju nepoznate veličine i smjera, već i par sila s nepoznatim momentom M u brtvi.
Opisani metod dovođenja jedne sile u datu tačku može se primijeniti na bilo koji broj sila. Pretpostavimo da u tačkama tela A,B,C I D(Sl. 19) primijenjene sile 1 , 2 , 3 I 4 . Potrebno je ove sile dovesti do tačke O avion. Hajde da prvo damo snagu 1 , primijenjen na tački A. Primijenimo u tački O dvije sile ’ 1 I ’’ 1 , odvojeno jednak modulu datoj sili 1 , paralelno s njim i usmjereno prema suprotne strane. Kao rezultat dovođenja sile 1 dobićemo moć ’ 1 , primijenjen u tački O, i par sila 1 ’’ 1 (sile koje formiraju par su označene crticama) sa ramenom a 1. Radeći isto sa silom 2 , primijenjen u tački IN, dobijamo snagu 2 , primijenjen u tački O, i par sila 2 ’’ 2 sa ramenom a 2 itd.
Ravan sistem sila primijenjenih u tačkama A, IN, WITH I D, zamijenili smo konvergentnim silama ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 I ’ 4 , primijenjen u tački O, i parove sila sa momentima jednakim momentima datih sila u odnosu na tačku O:
M 1 = P 1 a 1 = M o ( 1); M 2 = P 2 a 2 = M o (2);
M 3 = – P 3 a 3 = M o ( 3); M 4 = – P 4 a 4 = M o (4).
Sile koje konvergiraju u tački mogu se zamijeniti jednom silom " , jednako geometrijskom zbiru komponenti,
" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = i .(16)
Ova sila, jednaka geometrijskom zbiru datih sila, naziva se glavni vektor sistema sila.
Na osnovu pravila za sabiranje parova sila, iz se može zamijeniti rezultirajućim parom, čiji je moment jednak algebarskom zbiru momenata datih sila u odnosu na tačku O:
M o = M 1 + M 2 + M 3 + M 4 = i = o (i).(17)
Po analogiji sa glavnim vektorom, trenutkom M 0 parovi jednaki algebarskom zbiru momenata svih sila u odnosu na centar redukcije O, zvao glavni moment sistema u odnosu na dati centar redukcije O. dakle, u opštem slučaju, ravan sistem sila kao rezultat redukcije na datu tačku O zamenjuje se ekvivalentnim sistemom koji se sastoji od jedne sile - glavnog vektora - i jednog para, čiji se moment naziva glavni moment sile. dati sistem sila u odnosu na centar redukcije.
Potrebno je shvatiti da je glavni vektor ’ nije rezultanta datog sistema sila, jer ovaj sistem nije ekvivalentan jednoj sili ’. Samo u posebnom slučaju kada glavni moment nestane, glavni vektor će biti rezultanta datog sistema sila. Budući da je glavni vektor jednak geometrijskom zbiru sila datog sistema, ni njegova veličina ni njegov smjer ne zavise od izbora centra redukcije. Veličina i znak glavnog trenutka M 0 zavise od položaja centra redukcije, budući da krakovi parova komponenti zavise od relativnog položaja sila i tačke (centra) u odnosu na koju se momenti uzimaju.
Mogu se javiti sljedeći slučajevi dovođenja sistema snaga:
1. " ≠ 0; M o ≠ 0 - opšti slučaj; sistem se svodi na glavni vektor i glavni moment.
2. " ≠ 0; M o = 0; sistem se svodi na jednu rezultantu jednaku glavnom vektoru sistema.
3. " = 0; M o ≠ 0; sistem se svodi na par sila čiji je moment jednak glavnom momentu.
4. " = 0; M o = 0; sistem je u ravnoteži.
Može se dokazati da u opštem slučaju, kada " ≠ 0 i M o ≠ 0, Uvijek postoji tačka u odnosu na koju je glavni moment sistema sila jednak nuli.
Razmotrimo ravan sistem sila koji je sveden na tačku O, tj. zamijenjen glavnim vektorom " ≠ 0 , primijenjen u tački O, i glavna poenta M o ≠ 0(Sl. 20).
Radi određenosti, pretpostavljamo da je glavni moment usmjeren u smjeru kazaljke na satu, tj. M o< 0. Oslikajmo ovaj glavni trenutak sa parom sila "" , čiji je modul izabran jednak modulu glavnog vektora " , tj. R =R'' = R'. Jedna od sila koje čine par je sila "" – prijavite se u redukcionom centru O, druga sila – u nekom trenutku WITH, čiji je položaj određen iz uslova: M o = OS*R. dakle,
OS =. (18)
Uložimo par sila "" tako da snaga "" bila usmjerena u smjeru suprotnom od glavnog vektora " . U tački O(Sl. 20) imamo dvije jednake i međusobno suprotne sile " I "" , usmjeren duž jedne prave linije; mogu se odbaciti (prema trećem aksiomu). Dakle, u odnosu na stvar WITH glavni moment sistema sila koji se razmatra jednak je nuli, a sistem se svodi na rezultantu .
§ 18. Teorema o momentu rezultante (Varinjonova teorema)
U opštem slučaju (vidi § 17), proizvoljni ravan sistem sila se svodi na glavni vektor " i glavna poenta M 0 u odnosu na odabrani centar redukcije, a glavni moment jednak je algebarskom zbiru momenata datih sila u odnosu na tačku O
M o = o (i).(A)
Pokazalo se da je moguće odabrati centar redukcije (na slici 20, tačka WITH), u odnosu na koji će glavni moment sistema biti jednak nuli, a sistem sila će se svesti na jednu rezultantu jednaku po veličini glavnom vektoru ( R = R'). Odredimo moment rezultante u odnosu na tačku O. S obzirom da je rame OS sile jednake , dobijamo
M o () = R*OC = R = M o.(b)
Dvije veličine, odvojeno jednake trećoj, jednake su jedna drugoj, pa iz jednačina (a) i (b) nalazimo
M o () = o ( i).(19)
Rezultirajuća jednačina izražava Varignonovu teoremu: moment rezultantnog sistema sila u odnosu na proizvoljnu tačku jednak je algebarskom zbiru momenata komponentnih sila u odnosu na istu tačku.
Iz Varignonovog teorema slijedi da je glavni moment ravnog sistema sila u odnosu na bilo koju tačku koja leži na liniji djelovanja njegove rezultante jednak nuli.
