Moment inercije preseka u obliku slova T. Momenti inercije poprečnog presjeka

Napominjemo da ova stranica ima online servis za izračunavanje težišta i momenata inercije kompozitnih presjeka, koji se sastoje od valjanih profila (I-grede, uglovi itd.) i jednostavnih figura.

Često je prilikom proračuna elemenata građevinskih konstrukcija potrebno odrediti geometrijske karakteristike profila sastavljenih od elementarnih geometrijski oblici(pravougaonik, krug, itd.) i valjani profili. Pogledajmo pobliže primjer izračuna.

Potrebno je odrediti geometrijske karakteristike kompozitnog preseka (sl.), koji se sastoji od ugla 20/12,5/1,2, ugla 14/1 i pravougaonika 20x2cm.

Definiranje vlastitih karakteristika pojedinačnih profila- komponente poprečnog presjeka

Vlastite karakteristike valjanih profila određuju se iz asortimana.

Za nejednaki ugao 20/12,5/1,2:

- visina i širina ugla h = 20 cm, b = 12,5 cm;

- površina $A$= 37,9 cm 2 ;

- sopstveni aksijalni momenti inercije $(I_x)$=1570 cm 4, $(I_y)$= 482 cm 4;

- vlastiti centrifugalni moment inercije $(I_(xy))$=505 cm 4 ;

- koordinate centra gravitacije $(x_c)$= 2,83 cm, $(y_c)$= 6,51 cm.

Za jednak ugao 14/1:

- visina i širina ugla h = b = 14 cm;

- površina $A$= 27,3 cm 2 ;

- sopstveni aksijalni momenti inercije $(I_x)$= $(I_y)$= 512 cm 4 ;

- vlastiti centrifugalni moment inercije $(I_(xy))$=301 cm 4 ;

- koordinate centra gravitacije $(x_c)$= $(y_c)$= 3,82 cm.

Za pravougaonik 20x2cm:

- visina i širina pravougaonika h = 20 cm, b = 2 cm;

Površina $A$= 20 ∙ 2 = 40 cm 2 ;

- sopstveni aksijalni momenti inercije $(I_x) = \frac((2 \cdot ((20)^3)))((12)) = 1330$ cm 4 , $(I_y) = \frac((20 \cdot (2^3)))((12)) = 13,3$cm 4 ;

- vlastiti centrifugalni moment inercije $(I_(xy))$= 0, pošto profil ima os simetrije.

Određivanje težišta presjeka

Ukupna površina celog preseka A = 37,9+27,3+40 = 105cm 2 .

Crtamo pomoćne ose $X$ i $Y$ i određujemo težište presjeka u odnosu na njih:

$(X_c) = \frac((\sum ((X_i) \cdot (A_i)) ))(A) = \frac(((\text(37))(\text(,9)) \cdot (\ text((- 13))(\text(,5) + 27))(\text(,3)) \cdot (\text((- 3))(\text(,82) + 40)) \cdot (\text(1))))(((\text(105))))(\text( = - 5))(\text(,49))$cm;

$(Y_c) = \frac((\sum ((Y_i) \cdot (A_i)) ))(A) = \frac(((\text(37))(\text(,9)) \cdot (\ text((- 2))(\text(,83) + 27))(\text(,3)) \cdot (\text(10))(\text(,2 + 40)) \cdot (\text (10))))((105)) = 5,44 USD.

Štaviše, u koordinatama centara gravitacije odgovornosti komponenti’ Obavezno uzmite u obzir znak. Odvojite osi koje prolaze kroz centar gravitacije- centralne ose $Xc$ i $(Y_c)$.

Određivanje centralnih momenata inercije

Aksijalni i centrifugalni momenti inercije presjeka određuju se pomoću formula za prijelaz između paralelnih osa. Da bismo to učinili, nalazimo i prikazujemo na crtežu udaljenosti između centralnih osa cijelog presjeka i pravih osa svake od figura.

$Ix = \sum (\left((I(x_i) + A \cdot (b^2)) \right) = (\text(482 + 8))(\text(,2))((\text( 7))^(\text(2))) \cdot (\text(37))(\text(,9 + 512 + 4))(\text(,7))((\text(6))^ (\text(2))) \cdot (\text(27))(\text(,3 + 1330 + 4))(\text(,5))((\text(6))^(\text( 2))) \cdot (\text(40 = 6360))) $cm 4 ;

$Iy = \sum (\left((I(y_i) + A \cdot (a^2)) \right)) = (\text(1570 + 8))(\text(,0))((\text (1))^(\text(2))) \cdot (\text(37))(\text(,9 + 512 + 1))(\text(,6))((\text(7)) ^(\text(2))) \cdot (\text(27))(\text(,3 + 13))(\text(,3 + 6))(\text(,4))((\text (9))^(\text(2))) \cdot (\text(40 = 6280))$cm 4 ;

$(I_(xy)) = \sum (\left(((I_(xy))_i + A \cdot a \cdot b) \desno)) = $

$ = 505 + (- 8,01) \cdot (- 8,27) \cdot 37,9 - 301 + 1,67 \cdot 4,76 \cdot 27,3 + 0 + 6,49 \cdot 4,56 \cdot 40 = 4120 $ 4 .

U ovom slučaju, obaveze su obavezne Uzimamo u obzir postavljanje figura u odnosu na osi koje razmatramo. Dakle, prilikom određivanja momenta inercije $(I_x)$, u formulu zamjenjujemo vlastiti moment inercije nejednakog ugla u odnosu na osu koja je paralelna sa $(X_c)$ osi, u asortimanu je to $Y$ osa, i obrnuto.

Određivanje položaja glavnih osa i glavnih momenata inercije

Ugao rotacije glavnih osa u odnosu na ose za koje su poznati momenti inercije određen je formulom

\ $\alpha = \frac((arctg(- 97)))(2) = - 44.7^\circ $.

Ako je $\alpha > 0$, glavne ose su iscrtane suprotno od kazaljke na satu, i obrnuto.

Glavni momenti inercije definirani su na sljedeći način:

$(I_(x0)) = (I_x) \cdot (\cos ^2)\alpha + (I_y) \cdot (\sin ^2)\alpha - (I_(xy)) \cdot \sin 2\alpha = $

$ = 6360 \cdot (\cos ^2)(- 44,7^\circ) + 6280 \cdot (\sin ^2)(- 44,7^\circ) - 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ ) = 10430$cm 4 .

$(I_(y0)) = (I_y) \cdot (\cos ^2)\alpha + (I_x) \cdot (\sin ^2)\alpha + (I_(xy)) \cdot \sin 2\alpha = $

$ = 6280 \cdot (\cos ^2)(- 44,7^\circ) + 6360 \cdot (\sin ^2)(- 44,7^\circ) + 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ ) = 2210$cm 4 .

Centrifugalni moment inercije oko glavnih osa je nula.

Radijusi inercije. Trenuci otpora

Radijusi rotacije presjeka

$(i_x) = \sqrt[()]((\frac(((I_x)))(A))) = \sqrt[()]((\frac((10430))((105)))) = 9,96$cm, $(i_y) = \sqrt[()]((\frac(((I_y)))(A))) = \sqrt[()]((\frac((2210)) (( 105)))) = 4,58$cm.

Momenti otpora presjeka određuju se u odnosu na središnje ose. Da biste to učinili, potrebno je odrediti udaljenosti $(x_(\max ))$ i $(y_(\max ))$ do maksimalnih tačaka od glavnih osa. Prvo, iz crteža morate odrediti koje su točke najudaljenije. U našem slučaju, to su tačke $A$ i $B$ (sl.). Potrebne udaljenosti mogu se odrediti tako što se koordinate ovih tačaka nalaze u središnjim (nevraćenim osama).

$(x_(\max )) = (x_A) \cdot \cos \left(\alpha \right) + (y_A) \cdot \sin \left(\alpha \right)$

$(y_(\max )) = (y_B) \cdot \cos \left(\alpha \right) - (x_B) \cdot \sin \left(\alpha \right)$

X A = - 8,53 cm Y A = 8,57 cm

X B = - 14,5 cm Y B = - 18 cm

x max = - 12,1 cm y max = - 23 cm

Trenuci otpora

$(W_x) = \frac(((I_x)))(((y_(\max )))) = \frac((10430))((23)) = 454$cm 3 ; $(W_y) = \frac(((I_y)))(((x_(\max )))) = \frac((2210))((12.1)) = 183$cm 3 .

Aksijalni (ili ekvatorijalni) moment inercije presjeka u odnosu na neku osu naziva se preuzeta na cijeloj njenoj površini F dF kvadratima njihovih udaljenosti od ove ose, tj.

Polarni moment inercije presjeka u odnosu na određenu tačku (pol) uzima se na cijeloj njegovoj površini F zbir proizvoda elementarnih površina dF kvadratima njihovih udaljenosti od ove tačke, tj.

Centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na neke dvije međusobno okomite ose uzima se na cijeloj njegovoj površini F zbir proizvoda elementarnih površina dF na njihovim udaljenostima od ovih osa, tj.

Momenti inercije se izražavaju u cm 4, m 4 itd. Aksijalni i polarni momenti inercije su uvijek pozitivni, jer njihovi izrazi pod predznacima integrala uključuju vrijednosti površina dF(uvijek pozitivan) i kvadrate udaljenosti ovih područja od date ose ili pola.

Na slici 2.3 prikazan je presek sa površinom F i prikazane su ose at I x.

Rice. 2.3. Odjeljak sa površinom F.

Aksijalni momenti inercije ovog presjeka u odnosu na ose at I x:

Zbir ovih momenata inercije

dakle,

Zbir aksijalnih momenata inercije presjeka u odnosu na dvije međusobno okomite ose jednak je polarnom momentu inercije ovog presjeka u odnosu na točku presjeka ovih osa.

Centrifugalni momenti inercije mogu biti pozitivni ili jednaki nuli. Centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na osi, od kojih se jedna ili obje poklapaju s njegovim osama simetrije, jednak je nuli. Aksijalni moment inercije složenog presjeka u odnosu na određenu osu jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova u odnosu na istu osu. Slično, centrifugalni moment inercije složenog presjeka u odnosu na bilo koje dvije međusobno okomite ose jednak je zbroju centrifugalnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova u odnosu na iste ose. Također, polarni moment inercije složenog presjeka u odnosu na određenu tačku jednak je zbroju polarnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova u odnosu na istu tačku. Treba imati na umu da se momenti inercije izračunati za različite ose i tačke ne mogu zbrajati.

Za pravougaonik

Za krug

Za prsten

Često prilikom odlučivanja praktični problemi potrebno je odrediti momente inercije presjeka u odnosu na ose različito orijentirane u njegovoj ravni. U ovom slučaju, prikladno je koristiti već poznate vrijednosti momenata inercije cijelog presjeka (ili njegovih pojedinačnih sastavnih dijelova) u odnosu na druge osi, date u tehničkoj literaturi, posebnim referentnim knjigama i tablicama, kao i izračunate koristeći dostupne formule. Stoga je vrlo važno uspostaviti odnose između momenata inercije istog presjeka u odnosu na različite ose.

U najopćenitijem slučaju, prijelaz sa bilo kojeg star to bilo koji novo koordinatni sistem se može posmatrati kao dve uzastopne transformacije starog koordinatnog sistema:

1) od strane paralelni transfer koordinatne osi na novu poziciju;

2) rotirajući ih u odnosu na novo ishodište.

dakle,

Ako os X prolazi kroz težište presjeka, zatim statički moment S x= 0 i

Od svih momenata inercije oko paralelnih osa, aksijalni moment inercije ima najmanju vrijednost oko ose koja prolazi kroz težište presjeka.

Moment inercije oko ose at

U posebnom slučaju kada / osa prolazi kroz težište presjeka,

Centrifugalni moment inercije

U posebnom slučaju kada je ishodište starog koordinatnog sistema y0x nalazi se u centru gravitacije sekcije,

Ako je presjek simetričan i jedna od starih osa (ili obje) poklapa se s osom simetrije, tada

I = ∑r i 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

U principu, i definicija i formula koja to opisuje nisu komplicirani i zapamtiti ih je mnogo lakše nego razumjeti suštinu. Ali ipak, hajde da pokušamo da shvatimo šta je trenutak inercije i odakle dolazi.

Koncept momenta inercije došao je do čvrstoće materijala i strukturne mehanike iz druge grane fizike koja proučava kinematiku kretanja, posebno rotacijskog kretanja. Ali hajde da ipak krenemo izdaleka.

Ne znam sa sigurnošću da li je jabuka pala na glavu Isaka Njutna, da li je pala u blizini, ili uopšte nije pala teorija verovatnoće (osim toga, u ovoj jabuci ima previše; biblijska legenda o drvetu znanja), ali sam siguran da je Njutn bio pronicljiva osoba, sposobna da izvuče zaključke iz svojih zapažanja. Dakle, promatranje i mašta omogućili su Newtonu da formulira osnovni zakon dinamike (Newtonov drugi zakon), prema kojem masa tijela m, pomnoženo sa ubrzanjem a, jednaka je sili koja djeluje Q(u stvari, oznaka F je češća za silu, ali pošto ćemo se dalje baviti površinom, koja se takođe često označava kao F, koristim oznaku Q za vanjsku silu, koja se u teorijskoj mehanici smatra koncentrisanim opterećenjem, u stvari se ne menja):

Q = ma (1.2)

Za mene, Newtonova veličina leži u njegovoj jednostavnosti i jasnoći. ovu definiciju. A takođe, ako uzmemo u obzir da kod ravnomerno ubrzanog kretanja, ubrzanje A jednak omjeru prirasta brzine ΔV na određeni vremenski period Δt, tokom kojeg se brzina promijenila:

a = Δv/Δt = (v - v o)/t (1.3.1)

na V o = 0 a = v/t (1.3.2)

tada možete odrediti osnovne parametre kretanja, kao što su udaljenost, brzina, vrijeme, pa čak i zamah r, karakterizirajući količinu pokreta:

p = mv (1.4)

Na primjer, jabuci koja padne s različitih visina pod utjecajem same gravitacije trebat će različito vrijeme da stigne do zemlje, različita brzina u trenutku sletanja i, shodno tome, drugačiji impuls. Drugim riječima, jabuci koja padne sa veće visine trebaće više vremena da leti i jače će puknuti na čelu nesretnog posmatrača. A Newton je sve to sveo na jednostavnu i razumljivu formulu.

Newton je također formulirao zakon inercije (Newtonov prvi zakon): ako je ubrzanje a = 0, tada je u inercijskom referentnom okviru nemoguće odrediti da li posmatrano tijelo, na koje ne djeluju vanjske sile, miruje ili se kreće pravolinijski konstantnom brzinom. Ovo svojstvo materijalnih tijela da održavaju svoju brzinu, čak i nultu, naziva se inercija. Mjera inercije je inercijska masa tijela. Ponekad se inercijska masa naziva inertnom, ali to ne mijenja suštinu materije. Smatra se da je inercijska masa jednaka gravitacionoj masi i stoga se često ne navodi na koju se masu misli, već se jednostavno spominje masa tijela.

Ništa manje važan i značajan nije treći Newtonov zakon, prema kojem je sila djelovanja jednaka sili reakcije ako su sile usmjerene u jednoj pravoj liniji, ali istovremeno u suprotne strane. Uprkos svojoj prividnoj jednostavnosti, ovaj Njutnov zaključak je briljantan i važnost ovog zakona je teško precijeniti. Jedna od primjena ovog zakona je razmotrena u nastavku.

Međutim, ove odredbe vrijede samo za tijela koja se kreću translatorno, tj. ravnom stazom i u isto vreme sve materijalne tačke takva se tijela kreću istom brzinom ili istim ubrzanjem. Za krivolinijsko kretanje i posebno za rotaciono kretanje, na primjer, kada se tijelo rotira oko svoje ose simetrije, materijalne tačke takvog tijela kreću se u prostoru istom ugaonom brzinom w, ali istovremeno i linearnu brzinu v različite točke će imati različite vrijednosti i ova linearna brzina je direktno proporcionalna udaljenosti r od ose rotacije do ove tačke:

v=wr (1.5)

u ovom slučaju, ugaona brzina je jednaka omjeru prirasta ugla rotacije Δφ na određeni vremenski period Δt, za koji je promijenjen ugao rotacije:

w = Δφ/Δt = (φ - φ o)/t (1.6.1)

pri φ o = 0 w = φ/t (1.7.2)

shodno tome normalno ubrzanje i n tokom rotacionog kretanja jednak je:

a n = v 2 /r = w 2 r (1.8)

I ispada da za rotacijsko kretanje ne možemo direktno koristiti formulu (1.2), jer kod rotacijskog kretanja nije dovoljna samo vrijednost mase tijela; Ispada da što su materijalne tačke tela bliže osi rotacije, to se mora primeniti manja sila da se telo rotira, i obrnuto, što su materijalne tačke tela dalje od ose rotacije, veća sila mora biti primijenjena da bi se tijelo prisililo na rotaciju (u ovom slučaju mi pričamo o tome o primjeni sile na istoj tački). Osim toga, kada rotirate tijelo, prikladnije je uzeti u obzir ne efektivna sila, i obrtni moment, budući da prilikom rotacionog kretanja ima i tačka primjene sile velika vrijednost.

Neverovatna svojstva obrtnog momenta poznata su nam još od vremena Arhimeda, a ako primenimo koncept obrtnog momenta na rotaciono kretanje, onda značenje momenta M biće veća što je udaljenost veća r od ose rotacije do tačke primene sile F(u strukturnoj mehanici spoljna silačesto se pominje kao R ili Q):

M = Qr (1.9)

Iz ove također ne baš komplicirane formule slijedi da ako se sila primjenjuje duž ose rotacije, tada neće biti rotacije, jer je r = 0, a ako se sila primjenjuje na maksimalnoj udaljenosti od ose rotacije, tada vrijednost trenutka će biti maksimalna. A ako u formulu (1.9) zamijenimo vrijednost sile iz formule (1.2) i vrijednost normalno ubrzanje i formule (1.8), dobijamo sljedeću jednačinu:

M = mw 2 r r = mw 2 r 2 (1.10)

U konkretnom slučaju kada je tijelo materijalna tačka sa dimenzijama mnogo manjim od udaljenosti od ove tačke do ose rotacije, jednadžba (1.10) je primenljiva u svom čistom obliku. Međutim, za tijelo koje rotira oko jedne od svojih osi simetrije, udaljenost od svake materijalne tačke koja čini ovo tijelo uvijek je manja od jedne od geometrijskih dimenzija tijela i stoga je raspodjela mase tijela od velike važnosti, u ovom slučaju potrebno je uzeti u obzir ove udaljenosti posebno za svaku tačku:

M = ∑r i 2 w 2 m i (1.11.1)

M s = w 2 ∫r 2 dm

A onda se ispostavlja da će, prema trećem Newtonovom zakonu, kao odgovor na djelovanje obrtnog momenta, nastati takozvani moment inercije I. U tom će slučaju vrijednosti momenta i momenta inercije biti jednake, a sami momenti će biti usmjereni u suprotnim smjerovima. Pri konstantnom ugaona brzina rotacije, na primjer w = 1, glavne veličine koje karakteriziraju moment ili moment inercije bit će masa materijalnih tačaka koje čine tijelo i udaljenosti od tih tačaka do ose rotacije. Kao rezultat toga, formula za moment inercije će poprimiti sljedeći oblik:

[- M] = I = ∑r i 2 m i (1.12.1)

I c = ∫r 2 dm(1.11.2) - kada se tijelo rotira oko ose simetrije

Gdje I- općeprihvaćena oznaka momenta inercije, I c- oznaka aksijalni moment inercija tijela, kg/m2. Za homogeno tijelo iste gustine ρ po celom telu V Formula za aksijalni moment inercije tijela može se napisati na sljedeći način:

I c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Dakle, moment inercije je mjera inercije tijela pri rotacionom kretanju, kao što je masa mjera inercije tijela pri translacijskom pravolinijskom kretanju.

Krug je napravio pun krug. I tu se može postaviti pitanje kakve veze imaju svi ovi zakoni dinamike i kinematike sa proračunom statičkih građevinskih konstrukcija? Ispada da ni jedno ni drugo nije najdirektnija i najneposrednija stvar. Prvo, zato što su sve ove formule izveli fizičari i matematičari u onim dalekim vremenima kada su takve discipline kao " Teorijska mehanika"ili "Teorija čvrstoće materijala" jednostavno nije postojala. I drugo, jer se cjelokupni proračun građevinskih konstrukcija zasniva na naznačenim zakonima i formulacijama i na tvrdnji koju još niko nije pobio o jednakosti gravitacionog i inercijalnog mase Ali samo u teoriji čvrstoće materijala sve je još jednostavnije, ma koliko to paradoksalno zvučalo.

A jednostavnije je jer se pri rješavanju određenih problema ne može uzeti u obzir cijelo tijelo, već samo njegov presjek, a po potrebi i nekoliko presjeka. Ali u ovim dijelovima djeluju iste fizičke sile, iako malo drugačije prirode. Dakle, ako uzmemo u obzir određeno tijelo čija je dužina konstantna, a samo tijelo homogeno, onda ako ne uzmemo u obzir konstantne parametre - dužinu i gustinu ( l = konst, ρ = konst) - dobijamo model poprečnog presjeka. Za takav poprečni presjek, sa matematičke tačke gledišta, vrijedit će sljedeća jednačina:

I r = ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

Gdje Ip- polarni moment inercije poprečnog presjeka, m 4. Kao rezultat toga, dobili smo formulu s kojom smo krenuli (ali da li je postalo jasnije koji je moment inercije dijela, ne znam).

Budući da se u teoriji čvrstoće materijala često razmatraju pravokutni presjeci, a pravokutni koordinatni sistem je pogodniji, pri rješavanju problema obično se uzimaju u obzir dva aksijalna momenta inercije poprečnog presjeka:

I z = ∫y 2 dF (2.2.1)

I y = ∫z 2 dF (2.2.2)

Slika 1. Vrijednosti koordinata pri određivanju aksijalnih momenata inercije.

Ovdje se može postaviti pitanje zašto se koriste sjekire z I at, a ne one poznatije X I at? Desilo se da su određivanje sila u poprečnom presjeku i odabir presjeka koji može izdržati radna naprezanja jednaka primijenjenim silama dva različita zadatka. Prvi zadatak - određivanje sila - rješava strukturna mehanika, drugi zadatak - odabir poprečnih presjeka - rješava teorija čvrstoće materijala. U isto vrijeme, u strukturnoj mehanici, pri rješavanju jednostavnih problema, često se uzima u obzir štap (za pravolinijske konstrukcije) određene dužine l, a visina i širina presjeka se ne uzimaju u obzir, dok se smatra da je os X precizno prolazi kroz težišta svih poprečnih presjeka i tako, pri konstruiranju dijagrama (ponekad prilično složenih), dužina l precizno se taloži duž ose X, i duž ose at Vrijednosti grafikona su iscrtane. Istovremeno, teorija čvrstoće materijala uzima u obzir upravo poprečni presjek za koji su važni širina i visina, a dužina se ne uzima u obzir. Naravno, pri rješavanju problema iz teorije čvrstoće materijala, koji su također ponekad prilično složeni, koriste se iste poznate osi X I at. Ovakvo stanje mi se ne čini sasvim ispravnim, jer i pored razlike, to su ipak povezani zadaci i stoga bi bilo prikladnije koristiti zajedničke ose za konstrukciju koja se proračunava.

Vrijednost polarnog momenta inercije u pravokutnom koordinatnom sistemu bit će:

I r = ∫r 2 dF =∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

Pošto je u pravougaonom koordinatnom sistemu poluprečnik hipotenuza pravougaonog trougla, a kao što znate, kvadrat hipotenuze je jednak zbiru kvadrata kateta. A tu je i koncept centrifugalnog momenta inercije poprečnog presjeka:

I xz = ∫xzdF(2.4)

Među sjekirama pravougaoni sistem koordinate koje prolaze kroz težište poprečnog presjeka, postoje dvije međusobno okomite ose, u odnosu na koje aksijalni momenti inercije poprimaju maksimalnu i minimalnu vrijednost, dok centrifugalni moment inercije presjeka I zy = 0. Takve ose se nazivaju glavne centralne ose poprečnog preseka, a momenti inercije oko takvih osa se nazivaju glavni centralni momenti inercije

Kada govorimo o momentima inercije u teoriji otpornosti materijala, obično mislimo na glavne centralne momente inercije poprečnog presjeka. Za kvadratne, pravokutne, kružne presjeke, glavne osi će se poklapati sa osama simetrije. Momenti inercije poprečnog presjeka nazivaju se i geometrijski momenti inercije ili površinski momenti inercije, ali suština ostaje ista.

U principu, nema velike potrebe za određivanjem vrijednosti glavnih središnjih momenata inercije za poprečne presjeke najčešćih geometrijskih oblika - kvadrata, pravokutnika, kruga, cijevi, trokuta i nekih drugih. Takvi momenti inercije odavno su definirani i nadaleko poznati. A kada se računaju aksijalni momenti inercije za presjeke složenih geometrijskih oblika, vrijedi Huygens-Steinerova teorema:

I = I c + r 2 F (2.5)

Dakle, ako su poznate površine i težišta jednostavnih geometrijskih figura koje čine složeni presjek, tada određivanje vrijednosti aksijalnog momenta inercije cijelog presjeka neće biti teško. A da bi se odredilo težište složenog presjeka, koriste se statički momenti poprečnog presjeka. O statičnim trenucima se detaljnije govori u drugom članku, ali ja ću samo dodati ovdje. Fizičko značenje Statički moment je sljedeći: statički moment tijela je zbir momenata za materijalne tačke koje čine tijelo, u odnosu na neku tačku (polarni statički moment) ili u odnosu na osu (aksijalni statički moment), i budući da je moment proizvod sile na kraku (1.9), onda je i statički moment tijela određen prema tome:

S = ∑M = ∑r i m i= ∫rdm (2.6)

i tada će polarni statički moment poprečnog presjeka biti:

S r = ∫rdF (2.7)

Kao što vidite, definicija statičkog momenta je slična definiciji momenta inercije. Ali postoji fundamentalna razlika. Statički moment se naziva statičkim jer je za tijelo na koje djeluje sila gravitacije, statički moment jednak nuli u odnosu na težište. Drugim riječima, takvo tijelo je u stanju ravnoteže ako je oslonac primijenjen na težište tijela. A prema prvom Newtonovom zakonu, takvo tijelo ili miruje ili se kreće konstantnom brzinom, tj. ubrzanje = 0. A sa čisto matematičke tačke gledišta, statički moment može biti jednak nuli iz jednostavnog razloga što je pri određivanju statičkog momenta potrebno uzeti u obzir smjer djelovanja momenta. Na primjer, u odnosu na koordinatne ose koje prolaze kroz težište pravokutnika, površine gornjeg i donjeg dijela pravokutnika bit će pozitivne jer simboliziraju silu gravitacije koja djeluje u jednom smjeru. U ovom slučaju, rastojanje od ose do centra gravitacije može se smatrati pozitivnim (uslovno: moment sile teže gornjeg dela pravougaonika pokušava da zakrene presek u smeru kazaljke na satu), a do centra gravitacije donji dio - kao negativan (uslovno: moment od sile gravitacije donjeg dijela pravougaonika pokušava zarotirati dio u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). A budući da su takve površine brojčano jednake i jednake udaljenostima od težišta gornjeg dijela pravougaonika i donjeg dijela pravokutnika, onda je zbir glumački momenti i biće željena 0.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

Ova velika nula također omogućava određivanje reakcija potpore građevinskih konstrukcija. Ako uzmemo u obzir građevinsku konstrukciju na koju je, na primjer, u određenoj tački primijenjeno koncentrisano opterećenje Q, onda se takva građevinska konstrukcija može smatrati tijelom s težištem u mjestu primjene sile, a reakcije oslonca u ovom slučaju se smatraju silama koje se primjenjuju na tačkama oslonca. Dakle, znajući vrijednost koncentriranog opterećenja Q i udaljenosti od mjesta primjene opterećenja do nosača građevinske konstrukcije, moguće je odrediti reakcije nosača. Na primjer, za jednostavno oslonjenu gredu na dva nosača, vrijednost reakcija potpore bit će proporcionalna udaljenosti do točke primjene sile, a zbroj reakcija potpore bit će jednak primijenjenom opterećenju. Ali u pravilu, pri određivanju reakcija oslonca, one idu još jednostavnije: jedan od oslonaca uzima se kao težište, a tada je zbroj momenata primijenjenog opterećenja i preostalih reakcija potpore i dalje jednak nuli. U ovom slučaju, trenutak iz reakcije oslonca o kojem se sastavlja jednačina momenta jednak je nuli, jer je krak sile = 0, što znači da u zbiru momenata ostaju samo dvije sile: primijenjeno opterećenje i nepoznata reakcija potpore (za statički određene strukture).

Dakle, temeljna razlika između statičkog momenta i momenta inercije je u tome što statički moment karakterizira presjek, koji sila gravitacije pokušava prepoloviti u odnosu na centar gravitacije ili os simetrije, a moment inercija karakterizira tijelo čije se sve materijalne tačke kreću (ili pokušavaju kretati u jednom smjeru). Možda sljedeće prilično konvencionalne sheme proračuna za pravougaonog presjeka:

Slika 2. Jasna razlika između statičkog momenta i momenta inercije.

Vratimo se sada još jednom na kinematiku kretanja. Ako povučemo analogije između napona koji nastaju u poprečnim presjecima građevinskih konstrukcija i razne vrste kretanja, tada u centralno rastegnutim i centralno sabijenim elementima nastaju naprezanja koja su ujednačena po cijeloj površini poprečnog presjeka. Ova naprezanja se mogu uporediti sa djelovanjem neke sile na tijelo, pri čemu će se tijelo kretati pravolinijski i progresivno. A najzanimljivije je da se poprečni presjeci centralno rastegnutih ili centralno stisnutih elemenata zapravo pomiču, jer djelujući naponi uzrokuju deformacije. I veličina takvih deformacija može se odrediti za bilo koji poprečni presjek konstrukcije. Da biste to učinili, dovoljno je znati vrijednost efektivnih napona, dužinu elementa, površinu poprečnog presjeka i modul elastičnosti materijala od kojeg je konstrukcija napravljena.

Kod savitljivih elemenata poprečni presjeci također ne ostaju na mjestu, već se pomiču, a kretanje poprečnih presjeka savitljivih elemenata slično je rotaciji određenog tijela oko određene ose. Kao što ste vjerovatno već pretpostavili, moment inercije vam omogućava da odredite kut nagiba poprečnog presjeka i pomaka Δ l za krajnje tačke sekcije. Ove ekstremne tačke za pravougaoni presjek nalaze se na udaljenosti jednakoj polovini visine presjeka (zašto je dovoljno detaljno opisano u članku „Osnove čvrstoće materijala. Određivanje progiba“). A to vam, zauzvrat, omogućava da odredite otklon strukture.

A moment inercije vam omogućava da odredite moment otpora presjeka. Da biste to učinili, moment inercije jednostavno treba podijeliti s udaljenosti od težišta presjeka do najudaljenije tačke presjeka, za pravokutni presjek sa h/2. A kako ispitivani presjeci nisu uvijek simetrični, vrijednost momenta otpora može biti različita za različitim dijelovima sekcije.

A sve je počelo banalnom jabukom... mada ne, sve je počelo jednom rečju.

Prilikom određivanja momenata inercije kompozitnog presjeka, potonji se dijeli na jednostavne figure, za koje su poznati položaji centara gravitacije i momenti inercije u odnosu na njihove vlastite centralne ose. Pomoću formula (2.5) nalaze se koordinate težišta cijelog presjeka u sistemu proizvoljno odabranih pomoćnih osa. Centralne ose su povučene paralelno sa ovim osama, u odnosu na koje se pomoću formula (2.6) određuju aksijalni i centrifugalni momenti inercije. Momenti inercije u odnosu na glavne centralne ose određuju se formulom (2.12), a položaj glavnih centralnih osa - formulama (2.11).

Primjer 2.1. Odredimo momente inercije u odnosu na glavne središnje osi poprečnog presjeka I-grede 130, ojačane s dva čelična lima presjeka 200 x 20 mm (slika 2.12).

Osi simetrije Ooh, oh su glavne centralne ose čitave sekcije. Zapišimo iz asortimana (vidi dodatak) vrijednosti površine i momenta inercije presjeka I-grede u odnosu na osi Ooh, ooh:

Odredimo momente inercije presjeka lima u odnosu na njihove vlastite središnje ose koristeći formule (2.14):

Površina cijelog presjeka je jednaka F= 46,5 + 2 20 2 = 126,5 cm 2.

Momenti inercije presjeka u odnosu na glavne središnje ose Ooh, oh određene su formulama (2.6):

Primjer 2.2. Odredimo momente inercije u odnosu na glavne središnje osi poprečnog presjeka rešetkastog nosača iz dva jednakokračna kuta 1_70x70x8, raspoređena poprečno (sl. 2.13). Saradnja uglovi su opremljeni spojnim trakama.

Koordinate težišta kutnog presjeka, vrijednosti površine i momenti inercije u odnosu na vlastite središnje ose Oh^ i Ou 0 dati su u asortimanu (vidi prilog):

Udaljenost od centra gravitacije O cijeli presjek do centra gravitacije ugla je jednak A= (2,02 + 0,4) l/2 = 3,42 cm.

Površina cijelog presjeka je jednaka F= 2 10,7 = 21,4 cm 2.

Momenti inercije oko glavnih centralnih osa, koje su ose simetrije Ooh, oh određene su formulama (2.6):

Primjer 2.3. Odredimo položaj težišta i momente inercije u odnosu na glavne središnje ose poprečnog presjeka grede sastavljene od dva kanala x ] I O x y ( . Zatim, koristeći formule (2.5), dobijamo: