Razmotrimo zakrivljeni trapez omeđen osom Ox, krivulju y=f(x) i dvije prave: x=a i x=b (slika 85). Uzmimo proizvoljnu vrijednost x (samo ne a i ne b). Damo mu prirast h = dx i razmotrimo traku omeđenu pravim linijama AB i CD, osom Ox i lukom BD koji pripada krivoj koja se razmatra. Ovu traku ćemo nazvati elementarnom trakom. Površina elementarne trake razlikuje se od površine pravougaonika ACQB za zakrivljeni trokut BQD, a površina potonjeg je manja od površine pravokutnika BQDM sa stranicama BQ = =h= dx) QD=Ay i površina jednaka hAy = Ay dx. Kako se strana h smanjuje, tako se smanjuje i strana Du i istovremeno sa h teži nuli. Prema tome, površina BQDM je beskonačno mala drugog reda. Površina elementarne trake je prirast površine, a površina pravokutnika ACQB, jednaka AB-AC ==/(x) dx> je diferencijal površine. Posljedično, nalazimo samo područje integracijom njegovog diferencijala. Unutar slike koja se razmatra, nezavisna varijabla l: mijenja se iz a u b, pa će tražena površina 5 biti jednaka 5= \f(x) dx. (I) Primjer 1. Izračunajmo površinu ograničenu parabolom y - 1 -x*, pravim X =--Fj-, x = 1 i osom O* (Sl. 86). na sl. 87. Fig. 86. 1 Ovdje f(x) = 1 - l?, granice integracije su a = - i £ = 1, dakle J [*-t]\- -fl -- G -1-±L_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Primjer 2. Izračunajmo površinu ograničenu sinusoidom y = sinXy, osom Ox i pravom linijom (slika 87). Primjenom formule (I) dobijamo A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Primjer 3. Izračunajte površinu ograničenu lukom sinusoide ^u = sin jc, priloženo između dve susedne presečne tačke sa Ox osom (na primer, između ishodišta i tačke sa apscisom i). Imajte na umu da je iz geometrijskih razmatranja jasno da će ovo područje biti dva puta više površine prethodni primjer. Međutim, hajde da uradimo proračune: I 5= | s\nxdx= [ - cosh)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Zaista, naša pretpostavka se pokazala tačnom. Primjer 4. Izračunajte površinu ograničenu sinusoidom i osom Ox u jednom periodu (slika 88). Preliminarni proračuni sugeriraju da će površina biti četiri puta veća nego u primjeru 2. Međutim, nakon izvođenja proračuna dobijamo “i G,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ovaj rezultat zahtijeva pojašnjenje. Da bismo razjasnili suštinu stvari, izračunavamo i površinu ograničenu istom sinusoidom y = sin l: i osom Ox u rasponu od l do 2i. Primjenom formule (I) dobijamo 2l $2l sin xdx=[ - cosh]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Dakle, vidimo da je ova oblast ispala negativna. Upoređujući ga s površinom izračunatom u vježbi 3, nalazimo da su njihove apsolutne vrijednosti iste, ali su predznaci različiti. Ako primenimo svojstvo V (vidi Poglavlje XI, § 4), dobićemo 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ono što se desilo u ovom primeru nije slučajno. Uvijek se površina koja se nalazi ispod ose Ox, pod uvjetom da se nezavisna varijabla mijenja s lijeva na desno, dobiva kada se izračuna pomoću integrala. U ovom kursu uvijek ćemo razmatrati područja bez znakova. Stoga će odgovor u primjeru o kojem smo upravo razgovarali biti: tražena površina je 2 + |-2| = 4. Primjer 5. Izračunajmo površinu BAB prikazane na sl. 89. Ova oblast je ograničena osom Ox, parabolom y = - xr i pravom linijom y - = -x+\. Područje krivolinijskog trapeza Potrebna površina OAB sastoji se od dva dijela: OAM i MAV. Pošto je tačka A presečna tačka parabole i prave, njene koordinate ćemo naći rešavanjem sistema jednačina 3 2 Y = mx. (treba nam samo pronaći apscisu tačke A). Rješavajući sistem, nalazimo l; = ~. Stoga se površina mora izračunati u dijelovima, prvi kvadrat. OAM, a zatim pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x. Odnosno, ne uzimaju se u obzir linije poput rezanja gljive, čija se stabljika dobro uklapa u ovaj segment, a klobuk je mnogo širi.

Bočni segmenti se mogu degenerisati u tačke . Ako vidite takvu figuru na crtežu, to vas ne bi trebalo zbuniti, jer ova tačka uvijek ima svoju vrijednost na osi “x”. To znači da je sve u redu sa granicama integracije.

Sada možete prijeći na formule i proračune. Dakle, područje s zakrivljeni trapez se može izračunati pomoću formule

Ako f(x) ≤ 0 (grafikon funkcije se nalazi ispod ose Ox), To površina zakrivljenog trapeza može se izračunati pomoću formule

Postoje i slučajevi kada i gornji i donja granica brojke su funkcije, respektivno y = f(x) I y = φ (x) , tada se površina takve figure izračunava po formuli

. (3)

Zajedničko rješavanje problema

Počnimo sa slučajevima kada se površina figure može izračunati pomoću formule (1).

Primjer 1.Ox) i ravno x = 1 , x = 3 .

Rješenje. Jer y = 1/x> 0 na segmentu, tada se površina krivolinijskog trapeza nalazi pomoću formule (1):

.

Primjer 2. Pronađite površinu figure ograničenu grafikom funkcije, linijom x= 1 i x-osa ( Ox ).

Rješenje. Rezultat primjene formule (1):

Ako onda s= 1/2 ; ako onda s= 1/3, itd.

Primjer 3. Nađite površinu figure ograničenu grafikom funkcije, osom apscise ( Ox) i ravno x = 4 .

Rješenje. Slika koja odgovara uslovima problema je krivolinijski trapez u kojem je lijevi segment degeneriran u tačku. Granice integracije su 0 i 4. Pošto, koristeći formulu (1) nalazimo površinu krivolinijskog trapeza:

.

Primjer 4. Pronađite površinu figure, ograničena linijama, , i nalazi se u 1. kvartu.

Rješenje. Da bismo koristili formulu (1), zamislimo površinu figure datu uslovima primjera kao zbir površina trokuta OAB i zakrivljeni trapez ABC. Prilikom izračunavanja površine trokuta OAB granice integracije su apscise tačaka O I A, i za figuru ABC- apscisa tačaka A I C (A je tačka preseka linije O.A. i parabole, i C- tačka preseka parabole sa osom Ox). Rešavajući zajedno (kao sistem) jednačine prave i parabole, dobijamo (apscisa tačke A) i (apscisa druge tačke preseka prave i parabole, koja nije potrebna za rešenje). Slično dobijamo , (apscise tačaka C I D). Sada imamo sve što nam treba da pronađemo površinu figure. nalazimo:

Primjer 5. Pronađite površinu zakrivljenog trapeza ACDB, ako je jednadžba krive CD i apscisa A I B 1 i 2 respektivno.

Rješenje. Izrazimo ovu jednadžbu krivulje kroz igru: Površina krivolinijskog trapeza nalazi se pomoću formule (1):

.

Prijeđimo na slučajeve u kojima se površina figure može izračunati pomoću formule (2).

Primjer 6. Pronađite površinu figure ograničenu parabolom i x-osom ( Ox ).

Rješenje. Ova slika se nalazi ispod x-ose. Stoga ćemo za izračunavanje njegove površine koristiti formulu (2). Granice integracije su apscisa i tačke preseka parabole sa osom Ox. dakle,

Primjer 7. Pronađite površinu zatvorenu između ose apscise ( Ox) i dva susjedna sinusna talasa.

Rješenje. Područje ove figure može se pronaći pomoću formule (2):

.

Nađimo svaki pojam posebno:

.

.

Konačno nalazimo područje:

.

Primjer 8. Pronađite površinu figure zatvorene između parabole i krive.

Rješenje. Izrazimo jednadžbe pravih kroz igru:

Površina prema formuli (2) dobija se kao

,

Gdje a I b- apscisa tačaka A I B. Nađimo ih zajedničkim rješavanjem jednačina:

Konačno nalazimo područje:

I konačno, slučajevi kada se površina figure može izračunati pomoću formule (3).

Primjer 9. Pronađite površinu figure zatvorene između parabola i .

U prethodnom odeljku o raščlanjivanju geometrijsko značenje definitivni integral, dobili smo brojne formule za izračunavanje površine krivolinijskog trapeza:

S (G) = ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nenegativnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nepozitivnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .

Ove formule su primjenjive za rješavanje relativno jednostavnih problema. U stvarnosti, često ćemo morati da radimo sa složenijim figurama. S tim u vezi, ovaj dio ćemo posvetiti analizi algoritama za izračunavanje površine figura koje su ograničene funkcijama u eksplicitnom obliku, tj. kao y = f(x) ili x = g(y).

Teorema

Neka su funkcije y = f 1 (x) i y = f 2 (x) definirane i kontinuirane na intervalu [ a ; b ] , i f 1 (x) ≤ f 2 (x) za bilo koju vrijednost x iz [ a ; b ] . Tada će formula za izračunavanje površine figure G, ograničene linijama x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) izgledati kao S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Slična formula će biti primenljiva za površinu figure ograničenu linijama y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dokaz

Pogledajmo tri slučaja za koja će formula vrijediti.

U prvom slučaju, uzimajući u obzir svojstvo aditivnosti površine, zbir površina originalne figure G i krivolinijskog trapeza G 1 jednak je površini figure G 2. To znači da

Dakle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Posljednju tranziciju možemo izvesti koristeći treće svojstvo određenog integrala.

U drugom slučaju, jednakost je tačna: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafička ilustracija će izgledati ovako:

Ako su obe funkcije nepozitivne, dobijamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafička ilustracija će izgledati ovako:

Idemo dalje na razmatranje opšteg slučaja kada y = f 1 (x) i y = f 2 (x) sijeku osu O x.

Tačke presjeka označavamo sa x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ove tačke dijele segment [a; b ] na n dijelova x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, gdje je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

dakle,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Posljednju tranziciju možemo napraviti koristeći peto svojstvo određenog integrala.

Ilustrujmo opšti slučaj na grafu.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x može se smatrati dokazanom.

Sada prijeđimo na analizu primjera izračunavanja površine figura koje su ograničene linijama y = f (x) i x = g (y).

Započet ćemo naše razmatranje bilo kojeg od primjera konstruiranjem grafa. Slika će nam omogućiti da složene figure predstavimo kao spojeve više jednostavne figure. Ako vam konstruisanje grafova i figura na njima stvara poteškoće, možete proučiti odeljak o osnovama elementarne funkcije, geometrijska transformacija grafova funkcija, kao i konstrukcija grafova tokom proučavanja funkcije.

Primjer 1

Potrebno je odrediti površinu figure koja je ograničena parabolom y = - x 2 + 6 x - 5 i pravim linijama y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Rješenje

Nacrtajmo linije na grafikonu Kartezijanski sistem koordinate

Na segmentu [ 1 ; 4 ] grafik parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nalazi se iznad prave linije y = - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, da bismo dobili odgovor koristimo formulu dobijenu ranije, kao i metodu izračunavanja definitivnog integrala pomoću Newton-Leibnizove formule:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odgovor: S(G) = 13

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 2

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x + 2, y = x, x = 7.

Rješenje

U ovom slučaju imamo samo jednu pravu liniju koja je paralelna sa x-osi. Ovo je x = 7. To od nas zahtijeva da sami pronađemo drugu granicu integracije.

Napravimo graf i nacrtajmo na njemu linije date u iskazu problema.

Imajući graf pred očima, lako možemo odrediti da će donja granica integracije biti apscisa tačke preseka grafika prave linije y = x i poluparabole y = x + 2. Da bismo pronašli apscisu koristimo jednakosti:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ispada da je apscisa presječne tačke x = 2.

Skrećemo vam pažnju da u opšti primjer na crtežu se prave y = x + 2, y = x seku u tački (2; 2), pa se ovakvi detaljni proračuni mogu činiti nepotrebnim. Ovdje smo dali ovako detaljno rješenje samo zato što u više teški slučajevi rješenje možda nije tako očigledno. To znači da je bolje uvijek analitički izračunati koordinate presjeka linija.

Na intervalu [ 2 ; 7] grafik funkcije y = x nalazi se iznad grafika funkcije y = x + 2. Primijenimo formulu za izračunavanje površine:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odgovor: S (G) = 59 6

Primjer 3

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena grafovima funkcija y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.

Rješenje

Nacrtajmo linije na graf.

Hajde da definišemo granice integracije. Da bismo to učinili, odredimo koordinate tačaka presjeka pravih izjednačavanjem izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uslovom da x nije nula, jednakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednačini trećeg stepena - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 sa cjelobrojnim koeficijentima. Da biste osvježili vaše pamćenje algoritma za rješavanje ovakvih jednadžbi, možemo pogledati odjeljak “Rješavanje kubnih jednadžbi”.

Koren ove jednadžbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Podijelimo izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomom x - 1, dobijamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Preostale korijene možemo pronaći iz jednačine x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, u kojem se lik G nalazi iznad plave i ispod crvene linije. Ovo nam pomaže da odredimo površinu figure:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Primjer 4

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena krivuljama y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osom apscisa.

Rješenje

Nacrtajmo sve linije na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 možemo dobiti iz grafika y = log 2 x ako ga postavimo simetrično oko x-ose i pomaknemo za jednu jedinicu gore. Jednačina x-ose je y = 0.

Označimo tačke preseka pravih.

Kao što se vidi sa slike, grafovi funkcija y = x 3 i y = 0 seku se u tački (0; 0). Ovo se dešava zato što je x = 0 jedini pravi koren jednačine x 3 = 0.

x = 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 = 0, pa se grafovi funkcija y = - log 2 x + 1 i y = 0 sijeku u tački (2; 0).

x = 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 = - log 2 x + 1 . U tom smislu, grafovi funkcija y = x 3 i y = - log 2 x + 1 seku se u tački (1; 1). Posljednja izjava možda nije očigledna, ali jednačina x 3 = - log 2 x + 1 ne može imati više od jednog korijena, jer je funkcija y = x 3 striktno rastuća, a funkcija y = - log 2 x + 1 je striktno opadajuće.

Dalje rješenje uključuje nekoliko opcija.

Opcija #1

Možemo zamisliti figuru G kao zbir dva krivolinijska trapeza smještena iznad x-ose, od kojih se prvi nalazi ispod srednja linija na segmentu x ∈ 0; 1, a drugi je ispod crvene linije na segmentu x ∈ 1; 2. To znači da će površina biti jednaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opcija br. 2

Slika G se može predstaviti kao razlika dvije figure, od kojih se prva nalazi iznad x-ose i ispod plave linije na segmentu x ∈ 0; 2, a druga između crvene i plave linije na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogućava da pronađemo područje na sljedeći način:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

U ovom slučaju, da biste pronašli površinu morat ćete koristiti formulu oblika S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. U stvari, linije koje ograničavaju figuru mogu se predstaviti kao funkcije argumenta y.

Riješimo jednadžbe y = x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Dobijamo potrebnu površinu:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Primjer 5

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Rješenje

Na grafikonu ćemo nacrtati liniju crvenom linijom, dato funkcijom y = x. Plavom bojom nacrtamo liniju y = - 1 2 x + 4, a crnom liniju y = 2 3 x - 3.

Označimo tačke ukrštanja.

Nađimo točke presjeka grafova funkcija y = x i y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Provjerite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nije rješenje jednadžbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rješenje jednadžbe ⇒ (4; 2) presječna tačka i y = x i y = - 1 2 x + 4

Nađimo točku presjeka grafova funkcija y = x i y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Provjerite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rješenje jednadžbe ⇒ (9 ; 3) tačka a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Ne postoji rješenje jednačine

Nađimo točku presjeka pravih y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) tačka presjeka y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3

Metoda br. 1

Zamislimo površinu željene figure kao zbir površina pojedinih figura.

Tada je površina figure:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda br. 2

Površina originalne figure može se predstaviti kao zbir dvije druge figure.

Zatim rješavamo jednadžbu linije u odnosu na x, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje površine figure.

y = x ⇒ x = y 2 crvena linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 crna linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Dakle, područje je:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kao što vidite, vrijednosti su iste.

Odgovor: S (G) = 11 3

Rezultati

Da bismo pronašli površinu figure koja je ograničena datim linijama, trebamo konstruirati linije na ravni, pronaći njihove točke presjeka i primijeniti formulu da pronađemo površinu. U ovom dijelu smo ispitali najčešće varijante zadataka.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter