Slajd 3
Pravilni poligoni
Slajd 4
„Tri kvaliteta: opsežno znanje, navika razmišljanja i plemenitost osećanja neophodni su da bi se čovek obrazovao u u svakom smislu reči." N.G. Černiševski
Slajd 5
Slajd 6
Manastir Simonov
Slajd 7
da li znate
Koji geometrijski oblici jesmo li već studirali? Koji su njihovi elementi? Koji oblik se naziva poligon? Koliki je najmanji broj stranica koji poligon može imati? Koji se poligon naziva konveksan? Prikažite konveksne i nekonveksne poligone na slici. Objasnite koji se uglovi nazivaju uglovi konveksnog mnogougla, spoljašnji uglovi. Koja se formula koristi za izračunavanje sume uglova konveksnog mnogougla? Koliki je obim poligona?
Slajd 8
Pitanja ukrštenice: stranice, uglovi i vrhovi mnogougla? Kako se zove mnogokut sa jednakim stranicama i uglovima? 3.Kako se zove figura koja se može podijeliti na konačan broj trouglova? 4. Dio kruga? 5. Granica poligona? 6.Element kruga? 7.Polygon element? 8. Granica kruga? 9.Poligon sa najmanjim brojem strana? 10.Ugao čiji je vrh u centru kružnice? 11.Druga vrsta ugla kruga? 12.Zbir dužina stranica poligona? 13. Poligon koji se nalazi u jednoj poluravni u odnosu na pravu liniju koja sadrži bilo koju od njegovih stranica?
Slajd 9
Slajd 10
Slajd 11
Kolika je vrijednost svakog od uglova pravilnog a) desetougla; b) n-ugao.
Slajd 12
Ugao pravilnog n-ugla
Slajd 13
Slajd 14
Praktičan rad. 1. Kula sa sedam kupola Bijeli grad u planu je to bio pravilan šestougao, čije su sve strane jednake 14 m. Nacrtajte plan ove kule. 2. Izmjerite ugao AOB. Koliki je dio njegove vrijednosti vrijednost ukupnog ugla O? Kako možete izračunati veličinu ovog ugla, znajući broj strana poligona? 3.Izmjeriti ugao CAK - vanjski ugao poligona. Izračunajte zbir vanjskog ugla CAK i unutrašnji ugao CAB. Zašto ovi uglovi uvijek iznose 180°? Koliki je zbir vanjskih uglova pravilnog šestougla, uzetih po jedan u svakom vrhu?
Slajd 15
Slajd 16
Prečnik osnove kule Dulo je 16m. Nacrtajte plan osnove tornja sa 16 strana, koristeći pri konstruisanju ugla pod kojim je strana poligona vidljiva iz centra kruga. Izračunajte unutrašnje i vanjske uglove ovog 16-kuta. Koliki je zbir vanjskih uglova pravilnog 16-ugla, uzetih po jedan na svakom vrhu? regularni n-gon, uzeto po jedan na svakom vrhu? br. 1082, 1083.
Iz istorije Iz istorije Pravilni poligoni su bili poznati još u prošlosti davna vremena. U egipatskim i babilonskim drevnim spomenicima, pravilni četverouglovi, šesterokuti i osmougaonici nalaze se u obliku slika na zidovima i ukrasima isklesanim od kamena. Drevni grčki naučnici počeli su pokazivati veliko interesovanje za pravilne poligone još od Pitagorinog vremena. Doktrina pravilnih poligona je sistematizovana i predstavljena u 4. knjizi Euklidovih elemenata.
PRAVILNI POLIEDAR PLATONOVA tela: Tetraedar – „vatra” Kocka – „zemlja” Oktaedar – „vazduh” Dodekaedar – „ceo svet” Ikosaedar – „voda”
PRAVILNI POLIGONI U PRIRODI PRAVILNI MNOGOUGOVI U PRIRODI Pravilni poligoni se nalaze u prirodi. Jedan primjer je saće, koje je pravougaonik prekriven pravilnim šesterokutima. Na tim šesterokutima pčele uzgajaju ćelije iz voska koje su ravne šesterokutne prizme. Pčele u njih talože med, a zatim ih ponovo prekrivaju čvrstim pravougaonikom od voska.
Izvori informacija: Dječija enciklopedija "Istražujem svijet" Matematika, Moskva, AST, 1998. ru.wikipedia.org/wiki/Istorija matematike A.I.Azevič Dvadeset lekcija harmonije: Kurs humanističkih nauka i matematike - M.: Škola-Press, 1998.
Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona.
Pravilni poliedri
Koliko pravilnih poliedara ima? - Kako se utvrđuju, koja svojstva imaju? -Gdje se nalaze, imaju li praktične primjene?
Konveksni poliedar se naziva regularnim ako su mu sve strane jednake pravilni poligoni i isti broj ivica konvergira na svakom od njegovih vrhova.
"hedra" - lice "tetra" - četiri heksa - šest "okta" - osam "dodeka" - dvanaest "icos" - dvadeset Nazivi ovih poliedara su došli od Ancient Greece i označavaju broj lica.
Naziv pravilnog poliedra Vrsta lica Broj vrhova ivica strana lica koja se konvergiraju u jednom vrhu Tetraedar Pravilan trougao 4 6 4 3 Oktaedar Pravilan trougao 6 12 8 4 Ikosaedar Pravilan trougao 12 30 20 5 Kvadratna kocka 2 Kvadrat 6 3 1 Dodecahedron Regularni pentagon 20 30 12 3 Podaci o pravilnim poliedrima
Pitanje (problem): Koliko ima pravilnih poliedara? Kako podesiti njihov broj?
α n = (180°(n -2)): n Na svakom vrhu poliedra postoje najmanje tri ravna ugla, a njihov zbir mora biti manji od 360°. Oblik lica Broj lica u jednom vrhu Zbir ravnih uglova na vrhu poliedra Zaključak o postojanju poliedra α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 α = 3
L. Carroll
Veliki antički matematičari Arhimed Euklid Pitagora
Drevni grčki naučnik Platon je detaljno opisao svojstva pravilnih poliedara. Zato se pravilni poliedri nazivaju Platonova tijela
tetraedar - vatrena kocka - zemlja oktaedar - vazdušni ikosaedar - vodeni dodekaedar - univerzum
Poliedri u svemirskim i zemaljskim naukama
Johannes Kepler (1571-1630) – njemački astronom i matematičar. Jedan od osnivača moderne astronomije - otkrio zakone kretanja planeta (Keplerove zakone)
Kepler Cup Cosmic
"Ekosaedar - dodekaedarska struktura Zemlje"
Poliedri u umjetnosti i arhitekturi
Albrecht Durer (1471-1528) "Melanholija"
Salvador Dali "Posljednja večera"
Moderna arhitektonske strukture u obliku poliedara
Aleksandrijski svjetionik
Poliedar od cigle švicarskog arhitekte
Moderna zgrada u Engleskoj
Poliedri u prirodi FEODARIA
Pirit (sumporni pirit) Monokristal kalijevog stipse Kristali rude crvenog bakra PRIRODNI KRISTALI
Kuhinjska so se sastoji od kristala u obliku kocke kristalna rešetka u obliku kocke. Molekuli vode imaju oblik tetraedra. Mineralni kuprit formira kristale u obliku oktaedara. Kristali pirita imaju oblik dodekaedra
Dijamant U obliku oktaedra kristaliziraju se dijamant, natrijum hlorid, fluorit, olivin i druge supstance.
Istorijski gledano, prvi rezani oblik koji se pojavio u 14. vijeku bio je oktaedar. Diamond Shah Težina dijamanta 88,7 karata
Zadatak Engleska kraljica je dala instrukcije da se dijamant iseče po rubovima zlatnim koncem. Ali sečenje nije obavljeno, jer zlatar nije mogao da izračuna maksimalna dužina zlatni konac, ali sam dijamant mu nije pokazan. Zlatar je obaviješten o sljedećim podacima: broj vrhova B = 54, broj lica D = 48, dužina najveće ivice L = 4 mm. Pronađite maksimalnu dužinu zlatnog konca.
Pravilni poliedar Broj lica vrhova Ivice Tetraedar 4 4 6 Kocka 6 8 12 Oktaedar 8 6 12 Dodekaedar 12 20 30 Ikosaedar 20 12 30 Istraživački rad"Ojlerova formula"
Ojlerova teorema. Za bilo koji konveksni poliedar B + G - 2 = P gdje je B broj vrhova, G je broj lica, P je broj ivica ovog poliedra.
FIZIČKA MINUTA!
Zadatak Pronađite ugao između dvije ivice pravilnog oktaedra koje imaju zajednički vrh, ali ne pripadaju istoj površini.
Zadatak Pronađite visinu pravilnog tetraedra sa ivicom od 12 cm.
Kristal ima oblik oktaedra koji se sastoji od dva pravilne piramide sa zajedničkom osnovom, ivica osnove piramide je 6 cm Visina oktaedra je 8 cm
Površina Tetrahedron Ikosaedar Dodekaedar Heksaedar Oktaedar
Domaći zadatak: mnogogranniki.ru Koristeći razvojne radove, napravite modele 1. pravilnog poliedra sa stranicom 15 cm, 1. polupravilnog poliedra
Hvala na radu!
Slajd 1
Slajd 2
Definicija pravilnog poligona. Pravilan mnogokut je konveksan mnogokut u kojem su sve strane i svi (unutrašnji) uglovi jednaki.
Slajd 3
Slajd 4
Krug opisan oko pravilnog mnogougla. Teorema: oko bilo kojeg pravilnog poligona možete opisati krug, i to samo jedan. Krug se naziva opisanim oko poligona ako svi njegovi vrhovi leže na tom krugu.
Slajd 5
Krug upisan u pravilan poligon. Kaže se da je kružnica upisana u poligon ako sve strane poligona dodiruju krug. Teorema: Krug se može upisati u bilo koji pravilan poligon, i to samo jedan.
Slajd 6
Neka je A1 A 2 ...A n pravilan poligon, O centar opisane kružnice. Prilikom dokazivanja teoreme 1, saznali smo da je ∆OA1A2 =∆OA2A3= ∆OAnA1, pa su i visine ovih trouglova povučenih iz vrha O jednake. Dakle, kružnica sa centrom O i poluprečnikom OH prolazi kroz tačke H1, H2, Hn i dodiruje stranice poligona u tim tačkama, tj. krug je upisan u dati poligon. Zadato: ABCD…An je pravilan poligon. Dokažite: u bilo koji pravilan poligon možete upisati krug, i to samo jedan.
Slajd 7
Dokažimo da postoji samo jedan upisani krug. Pretpostavimo da postoji još jedan upisani krug sa centrom O i poluprečnikom OA. Tada je njegov centar jednako udaljen od stranica poligona, tj. tačka O1 leži na svakoj od simetrala uglova mnogougla, pa se stoga poklapa sa tačkom O preseka ovih simetrala.
Slajd 8
A D B C O Dato: ABCD…An je pravilan mnogougao. Dokažite: oko bilo kojeg pravilnog poligona možete nacrtati krug, i to samo jedan. Dokaz: Nacrtajmo simetrale BO i SO jednakih uglova ABC i BCD. Oni će se ukrštati, jer su uglovi poligona konveksni i svaki je manji od 180⁰. Neka je tačka njihovog preseka O. Tada, crtanjem segmenata OA i OD, dobijamo ΔBOA, ΔBOC i ΔSOD. ΔBOA = ΔBOS prema prvom znaku jednakosti trouglova (VO - generalno, AB = BC, ugao 2 = ugao 3). Slično ΔBOS=ΔCOD. 1 2 3 4 Jer ugao 2 = ugao 3 kao polovine jednakih uglova, tada je ΔVOC jednakokrak. Ovaj trougao je jednak ΔBOA i ΔCOD => oni su takođe jednakokraki, što znači OA=OB=OC=OD, tj. tačke A, B, C i D jednako su udaljene od tačke O i leže na kružnici (O; OB). Slično, ostali vrhovi poligona leže na istoj kružnici.
Slajd 9
Dokažimo sada da postoji samo jedan opisani krug. Razmotrimo neka tri vrha poligona, na primjer A, B, C. Jer. Kroz ove tačke prolazi samo jedan krug, tada se oko mnogougla ABC može opisati samo jedan krug...An. o A B C D
Slajd 10
Posljedice. Zaključak br. 1 Krug upisan u pravilan poligon dodiruje stranice poligona u njihovim središtima. Korol br. 2 Središte kružnice opisane oko pravilnog poligona poklapa se sa središtem kruga upisanog u isti poligon.
Slajd 11
Formula za izračunavanje površine pravilnog poligona. Neka je S površina pravilnog n-ugla, a1 njegova stranica, P perimetar, a r i R polumjeri upisanog i opisanog kruga. Dokažimo to
Slajd 12
Da biste to učinili, povežite centar ovog poligona s njegovim vrhovima. Tada će se poligon podijeliti na n jednakih trouglova, od kojih je površina svake jednaka Dakle,
Slajd 13
Formula za izračunavanje stranice pravilnog poligona. Hajde da izvedemo formule: Da bismo izveli ove formule, koristićemo sliku. IN pravougaonog trougla A1N1O O A1 A2 A3 An H2 H1 Hn H3 Dakle,
Slajd 14
Stavljajući n = 3, 4 i 6 u formulu, dobijamo izraze za stranice pravilan trougao, kvadratni i pravilni šestougao:
Slajd 15
Zadatak br. 1 Zadat je: krug(O; R) Konstruirajte pravilan n-ugao. Podijelimo krug na n jednakih lukova. Da biste to uradili, nacrtajte poluprečnike OA1, OA2,..., OAn ove kružnice tako da ugao A1OA2= ugao A2OA3 =...= ugao An-1OAn= ugao AnOA1= 360°/n (n=8 na slici ). Ako sada nacrtamo segmente A1A2, A2A3,..., An-1An, AnA1, dobićemo n-ugao A1A2...An. Trouglovi A1OA2, A2OA3,..., AnOA1 su međusobno jednaki, dakle A1A2= A2A3=...= An-1An= AnA1. Iz toga slijedi da je A1A2…An pravilan n-ugao. Konstrukcija pravilnih poligona.
Slajd 16
Zadatak br. 2 Zadat je: A1, A2...An - pravilan n-ugao Konstruirajte pravilan 2n-ugao rješenje. Nacrtajmo krug oko njega. Da bismo to učinili, konstruiraćemo simetrale uglova A1 i A2 i označiti tačku njihovog presjeka slovom O. Zatim crtamo kružnicu sa centrom O poluprečnika OA1. Podijelite lukove A1A2, A2A3..., An A1 na pola Povežite svaku od tačaka podjele B1, B2, ..., Bn segmentima na krajeve odgovarajućeg luka. Za konstruiranje tačaka B1, B2, ..., Bn, možete koristiti simetralu okomice na stranice datog n-ugla. Na slici je pravilan dvanaestougao A1 B1 A2 B2 ... A6 B6 konstruisan na ovaj način.
