Svaki ugao, ovisno o svojoj veličini, ima svoje ime:

Tip kuta	Veličina u stepenima	Primjer
Začinjeno	Manje od 90°
Direktno	Jednako 90°. Na crtežu se pravi ugao obično označava simbolom koji se povlači od jedne do druge strane ugla.
Blunt	Više od 90°, ali manje od 180°
Prošireno	Jednako 180° Pravi ugao jednak je zbiru dva prava ugla, a pravi ugao je polovina pravog ugla.
Konveksna	Više od 180°, ali manje od 360°
Pun	Jednako 360°

Dva ugla se nazivaju susjedni, ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge dvije strane čine pravu liniju:

Uglovi MOP I PON susjedni, budući da greda OP- zajednička strana, i druge dvije strane - OM I ON napravi pravu liniju.

Zajednička strana susjednih uglova naziva se koso do ravno, na kojoj leže druge dvije strane, samo u slučaju kada susjedni uglovi nisu međusobno jednaki. Ako su susjedni uglovi jednaki, onda će njihova zajednička strana biti okomito.

Zbir susjednih uglova je 180°.

Dva ugla se nazivaju vertikalno, ako strane jednog ugla nadopunjuju stranice drugog ugla u prave linije:

Uglovi 1 i 3, kao i uglovi 2 i 4, su vertikalni.

Vertikalni uglovi su jednaki.

Dokažimo da su vertikalni uglovi jednaki:

Zbir ∠1 i ∠2 je pravi ugao. A zbir ∠3 i ∠2 je pravi ugao. Dakle, ova dva iznosa su jednaka:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

U ovoj jednakosti nalazi se identičan član lijevo i desno - ∠2. Jednakost neće biti narušena ako se izostavi ovaj pojam s lijeve i desne strane. Onda to shvatamo.

Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne zrake. Na slici 20 uglovi AOB i BOC su susjedni.

Zbir susjednih uglova je 180°

Teorema 1. Zbir susjednih uglova je 180°.

Dokaz. Greda OB (vidi sliku 1) prolazi između stranica rasklopljenog ugla. Zato ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Iz teoreme 1 slijedi da ako su dva ugla jednaka, onda su im susjedni uglovi jednaki.

Vertikalni uglovi su jednaki

Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su strane jednog ugla komplementarne zrake stranica drugog. Uglovi AOB i COD, BOD i AOC, formirani na preseku dve prave, su vertikalni (slika 2).

Teorema 2. Vertikalni uglovi su jednaki.

Dokaz. Razmotrimo vertikalne uglove AOB i COD (vidi sliku 2). Ugao BOD je susedan svakom od uglova AOB i COD. Prema teoremi 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Iz ovoga zaključujemo da je ∠ AOB = ∠ COD.

Posljedica 1. Ugao pored pravog ugla je pravi ugao.

Razmotrimo dvije prave linije AC i BD koje se seku (slika 3). Formiraju četiri ugla. Ako je jedan od njih ravan (ugao 1 na sl. 3), onda su i preostali uglovi pravi (uglovi 1 i 2, 1 i 4 su susedni, uglovi 1 i 3 su vertikalni). U ovom slučaju kažu da se ove prave sijeku pod pravim kutom i nazivaju se okomiti (ili međusobno okomiti). Okomitost pravih AC i BD označava se na sljedeći način: AC ⊥ BD.

Simetrala okomita na segment je prava okomita na ovaj segment i koja prolazi kroz njegovu sredinu.

AN - okomito na pravu

Razmotrimo pravu a i tačku A koja ne leži na njoj (slika 4). Povežimo tačku A sa segmentom sa tačkom H pravom linijom a. Segment AN se naziva okomom povučenom iz tačke A na pravu a ako su prave AN i a okomite. Tačka H naziva se osnova okomice.

Kvadrat za crtanje

Sljedeća teorema je tačna.

Teorema 3. Iz bilo koje tačke koja ne leži na pravoj, moguće je povući okomitu na ovu pravu, i, osim toga, samo jednu.

Da nacrtate okomicu iz tačke na pravu liniju na crtežu, koristite kvadrat za crtanje (slika 5).

Komentar. Formulacija teoreme se obično sastoji od dva dijela. Jedan dio govori o tome šta je dato. Ovaj dio se naziva uvjetom teoreme. Drugi dio govori o tome šta treba dokazati. Ovaj dio se zove zaključak teoreme. Na primjer, uslov teoreme 2 je da su uglovi vertikalni; zaključak - ovi uglovi su jednaki.

Bilo koja teorema može se detaljno izraziti riječima tako da njen uvjet počinje riječju “ako”, a zaključak riječju “onda”. Na primjer, teorema 2 može se detaljno iznijeti na sljedeći način: „Ako su dva ugla okomita, onda su jednaki.”

Primjer 1. Jedan od susjednih uglova je 44°. Čemu je drugi jednak?

Rješenje. Označimo mjeru stepena drugog ugla sa x, tada prema teoremi 1.
44° + x = 180°.
Rješavajući rezultirajuću jednačinu, nalazimo da je x = 136°. Dakle, drugi ugao je 136°.

Primjer 2. Neka ugao COD na slici 21 bude 45°. Koliki su uglovi AOB i AOC?

Rješenje. Uglovi COD i AOB su vertikalni, pa su prema teoremi 1.2 jednaki, tj. ∠ AOB = 45°. Ugao AOC je susedan uglu COD, što znači prema teoremi 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Primjer 3. Pronađite susjedne uglove ako je jedan od njih 3 puta veći od drugog.

Rješenje. Označimo mjeru stepena manjeg ugla sa x. Tada će mjera stepena većeg ugla biti 3x. Pošto je zbir susjednih uglova jednak 180° (Teorema 1), onda je x + 3x = 180°, odakle je x = 45°.
To znači da su susjedni uglovi 45° i 135°.

Primjer 4. Zbir dva vertikalna ugla je 100°. Pronađite veličinu svakog od četiri ugla.

Rješenje. Neka slika 2 ispunjava uslove zadatka da su vertikalni uglovi COD prema AOB jednaki (teorema 2), što znači da su njihovi mjere stepena. Dakle, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (njihov zbir prema uslovu je 100°). Ugao BOD (također ugao AOC) je susedan uglu COD, i stoga, prema teoremi 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Navedite brojeve tačnih tvrdnji.

1) Bilo koje tri prave imaju najviše jednu zajedničku tačku.

2) Ako je ugao 120°, onda je susjedni 120°.

3) Ako je rastojanje od tačke do prave veće od 3, tada je dužina bilo koje kose linije povučene od date tačke do prave veća od 3.

Ako postoji nekoliko tvrdnji, zapišite njihove brojeve uzlaznim redoslijedom.

Rješenje.

Provjeravamo svaku od tvrdnji.

1) “Bilo koje tri prave imaju najviše jednu zajedničku tačku” - u pravu. Ako prave imaju dvije ili više zajedničkih tačaka, onda se one poklapaju. (Vidi com-men-ta-rii do za-da-che.)

2) "Ako je ugao 120°, onda je susjedni 120°" - pogrešno. Zbir susjednih uglova je 180°.

3) „Ako je rastojanje od tačke do prave linije veće od 3, tada je dužina bilo koje nagnute linije povučene od date tačke do prave linije veća od 3.” u pravu. Zato što je rastojanje najkraća dužina od reza do prave linije, a sve nagnute su duže.

Odgovor: 13.

Odgovor: 13

· Prototip zadatka ·

Gost 19.02.2015 12:42

U školskom udžbeniku Atanasyan L.S.

1) Aksiom planimetrije: kroz bilo koje dvije tačke možete povući pravu liniju i, osim toga, samo jednu.

2) Stav usvojen u školskom kursu: kada kažemo „dve tačke“, „tri tačke“, „dve prave“ itd., pretpostavićemo da su te tačke i prave različite.

Zaključak koji učenik mora naučiti: dvije linije ili imati samo jednu zajednička tačka, ili nemaju zajedničke tačke.

Stoga bi odgovor na pitanje 1 trebao biti “tačan”. Ako se sve tri linije poklapaju, onda je to jedna linija, a ne tri.

Petr Murzin

Bilo bi ispravno da se u uslovu zapiše "bilo koje tri razne prave imaju najviše jednu zajedničku tačku", ali to nije tačno.

Gost 10.04.2015 16:38

Poštovani urednici!

Slažem se sa primedbom Gosta od 19.02.2015. godine o osnovanosti konstatacije stava 1. ovog problema: u pomenutom Udžbeniku „Geometrija 7-9” (tačka 1. stava 1. nap. 1) se kaže: „ u daljem tekstu, govoreći „dve tačke”, „tri tačke”, „dve prave” itd., pretpostavićemo da su ove tačke i prave različite.”

Uzimajući u obzir gore navedeno, obrazloženje dato na sajtu u rešavanju ovog problema (u delu tačke 1) je pogrešno, jer formulacija problema „tri linije” podrazumeva da su ove tri linije različite (tj. da se ne mogu poklapati!) . Tri prave (različite, što je podrazumevano!): ili imaju jednu zajedničku tačku (koja pripada svakoj od ove tri prave) - u slučaju kada se tri prave seku u jednoj tački; ili nemaju zajedničkih tačaka.

Ovaj zaključak potvrđuje i zaključak iz stava 1. stava 1. pomenutog udžbenika: „dvije prave ili imaju samo jednu zajedničku tačku ili nemaju zajedničkih tačaka“. Dokaz kontradikcijom: pretpostavimo da tri prave imaju više od jedne zajedničke tačke; dakle, dvije od ovih pravih imaju barem više od jedne zajedničke tačke (pošto će za ove dvije prave zajedničke tačke biti one koje su zajedničke za sve tri prave); ali to je u suprotnosti sa zaključkom iz udžbenika koji se spominje da dvije prave ili imaju samo jednu zajedničku tačku ili nemaju zajedničke tačke.

Srdačan pozdrav, gost.

Help Desk

1. Susedni uglovi.

Ako produžimo stranu bilo kojeg ugla izvan njegovog vrha, dobićemo dva ugla (slika 72): ∠ABC i ∠CBD, kod kojih je jedna strana BC zajednička, a druge dvije, AB i BD, čine pravu liniju.

Dva ugla kod kojih je jedna strana zajednička, a druge dvije čine pravu liniju nazivaju se susjedni uglovi.

Susedni uglovi se mogu dobiti i na ovaj način: ako povučemo zrak iz neke tačke na pravoj (koja ne leži na datoj pravoj), dobićemo susedne uglove.

Na primjer, ∠ADF i ∠FDB su susjedni uglovi (slika 73).

Susedni uglovi mogu imati širok izbor položaja (Sl. 74).

Susjedni uglovi se zbrajaju u pravi ugao, dakle zbir dva susedna ugla je 180°

Dakle, pravi ugao se može definisati kao ugao jednak njegovom susednom uglu.

Znajući veličinu jednog od susjednih uglova, možemo pronaći veličinu drugog ugla koji je uz njega.

Na primjer, ako je jedan od susjednih uglova 54°, tada će drugi kut biti jednak:

180° - 54° = l26°.

2. Vertikalni uglovi.

Ako produžimo stranice ugla izvan njegovog vrha, dobićemo vertikalne uglove. Na slici 75, uglovi EOF i AOC su vertikalni; uglovi AOE i COF su takođe vertikalni.

Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla nastavak stranica drugog ugla.

Neka je ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (Sl. 76). ∠2 pored njega će biti jednako 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, tj. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Na isti način možete izračunati koliko su ∠3 i ∠4 jednaki.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Sl. 77).

Vidimo da je ∠1 = ∠3 i ∠2 = ∠4.

Možete riješiti još nekoliko istih problema i svaki put ćete dobiti isti rezultat: vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

Međutim, da bismo bili sigurni da su vertikalni uglovi uvijek jednaki jedan drugom, nije dovoljno uzeti u obzir pojedinačne numeričke primjere, jer zaključci izvučeni na osnovu konkretnih primjera ponekad mogu biti pogrešni.

Valjanost svojstava vertikalnih uglova potrebno je provjeriti dokazom.

Dokaz se može izvesti na sledeći način (slika 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(pošto je zbir susjednih uglova 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(pošto je lijeva strana ove jednakosti jednaka 180°, a njena desna je također jednaka 180°).

Ova jednakost uključuje isti ugao With.

Ako od jednakih količina oduzmemo jednake količine, tada će ostati jednaki iznosi. Rezultat će biti: ∠a = ∠b, tj. vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

3. Zbir uglova koji imaju zajednički vrh.

Na crtežu 79, ∠1, ∠2, ∠3 i ∠4 nalaze se na jednoj strani prave i imaju zajednički vrh na ovoj pravoj. Sve u svemu, ovi uglovi čine pravi ugao, tj.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Na slici 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 i ∠5 imaju zajednički vrh. Ovi uglovi sabiraju puni ugao, tj. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Ostali materijali

Kako pronaći susjedni ugao?

Matematika je najstarija egzaktna nauka koja se obavezno izučava u školama, fakultetima, institutima i univerzitetima. Međutim, osnovno znanje se uvijek polaže u školi. Ponekad se od djeteta traži dovoljno teške zadatke, a roditelji ne mogu pomoći, jer su jednostavno zaboravili neke stvari iz matematike. Na primjer, kako pronaći susjedni ugao na osnovu veličine glavnog ugla, itd. Problem je jednostavan, ali može izazvati poteškoće u rješavanju zbog neznanja koji se uglovi nazivaju susjednim i kako ih pronaći.

Pogledajmo pobliže definiciju i svojstva susjednih uglova, kao i kako ih izračunati iz podataka u zadatku.

Definicija i svojstva susjednih uglova

Dvije zrake koje izlaze iz jedne tačke formiraju lik koji se naziva "ravni ugao". U ovom slučaju, ova tačka se naziva vrh ugla, a zrake su njegove stranice. Ako nastavimo jednu od zraka dalje polazna tačka u pravoj liniji, tada se formira drugi ugao, koji se naziva susjednim. Svaki ugao u ovom slučaju ima dva susjedna ugla, jer su stranice ugla ekvivalentne. To jest, uvijek postoji susjedni ugao od 180 stepeni.

Glavna svojstva susjednih uglova uključuju

• Susedni uglovi imaju zajednički vrh i jednu stranu;
• Zbir susjednih uglova je uvijek jednak 180 stepeni ili broju Pi ako se proračun vrši u radijanima;
• Sinusi susjednih uglova su uvijek jednaki;
• Kosinusi i tangente susjednih uglova su jednaki, ali imaju suprotne predznake.

Kako pronaći susjedne uglove

Obično se daju tri varijacije zadataka za pronalaženje veličine susjednih uglova

• Zadata je vrijednost glavnog ugla;
• Dat je omjer glavnog i susjednog ugla;
• Zadata je vrijednost vertikalnog ugla.

Svaka verzija problema ima svoje rješenje. Pogledajmo ih.

Zadata je vrijednost glavnog ugla

Ako problem specificira vrijednost glavnog ugla, pronalaženje susjednog ugla je vrlo jednostavno. Da biste to učinili, samo oduzmete vrijednost glavnog ugla od 180 stepeni i dobićete vrednost susednog ugla. Ova odluka dolazi iz svojstva susednog ugla - zbir susednih uglova je uvek jednak 180 stepeni.

Ako je vrijednost glavnog ugla data u radijanima, a zadatak zahtijeva pronalaženje susjednog ugla u radijanima, tada je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost glavnog ugla, budući da je vrijednost punog rasklopljenog ugla od 180 stepeni jednak je broju Pi.

Dat je omjer glavnog i susjednog ugla

Problem može dati omjer glavnog i susjednih uglova umjesto stupnjeva i radijana glavnog ugla. U ovom slučaju rješenje će izgledati kao jednadžba proporcija:

1. Proporciju glavnog ugla označavamo kao varijablu “Y”.
2. Razlomak koji se odnosi na susjedni ugao označava se kao varijabla “X”.
3. Broj stepeni koji padaju na svaku proporciju će biti označen, na primjer, sa "a".
4. Opća formulaće izgledati ovako - a*X+a*Y=180 ili a*(X+Y)=180.
5. Zajednički faktor jednačine “a” nalazimo koristeći formulu a=180/(X+Y).
6. Zatim množimo rezultujuću vrijednost zajedničkog faktora “a” s dijelom ugla koji treba odrediti.

Na ovaj način možemo pronaći vrijednost susjednog ugla u stepenima. Međutim, ako trebate pronaći vrijednost u radijanima, onda jednostavno trebate pretvoriti stupnjeve u radijane. Da biste to uradili, pomnožite ugao u stepenima sa Pi i sve podelite sa 180 stepeni. Rezultirajuća vrijednost će biti u radijanima.

Zadata je vrijednost vertikalnog ugla

Ako problem ne daje vrijednost glavnog ugla, ali je data vrijednost vertikalnog ugla, onda se susjedni ugao može izračunati po istoj formuli kao u prvom paragrafu, gdje je data vrijednost glavnog ugla.

Vertikalni ugao je ugao koji potiče iz iste tačke kao i glavni, ali je usmeren u potpuno suprotnom smeru. Tako ispada zrcalnu sliku. To znači da je vertikalni ugao jednak po veličini glavnom. Zauzvrat, susjedni kut okomitog ugla jednak je susjednom kutu glavnog ugla. Zahvaljujući tome, može se izračunati susjedni ugao glavnog ugla. Da biste to učinili, jednostavno oduzmite vertikalnu vrijednost od 180 stupnjeva i dobijete vrijednost susjednog ugla glavnog ugla u stepenima.

Ako je vrijednost data u radijanima, tada je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost vertikalnog ugla, jer je vrijednost punog rasklopljenog ugla od 180 stepeni jednaka broju Pi.

Također možete pročitati naše korisne članke i.