1°

1°. Jednačine tangentne ravni i normale za slučaj eksplicitne definicije površine.

Razmotrimo jednu od geometrijskih primjena parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable. Neka funkcija z = f (x ;y) diferencibilan u tački (x 0; y 0) neko područje DÎ R 2. Izrežemo površinu S, predstavlja funkciju z, avioni x = x 0 I y = y 0(Sl. 11).

Avion X = x 0 preseca površinu S duž neke linije z 0 (y ),čija se jednadžba dobija zamjenom u izraz izvorne funkcije z ==f (x ;y) umjesto X brojevi x 0 . Dot M 0 (x 0 ;y 0,f (x 0 ;y 0)) pripada krivulji z 0 (y). Zbog diferencijabilne funkcije z u tački M 0 funkcija z 0 (y) je takođe diferencibilan u tački y =y 0 . Dakle, u ovoj tački u avionu x = x 0 do krivine z 0 (y) može se povući tangenta l 1.

Provođenje sličnog rezoniranja za odjeljak at = y 0, napravimo tangentu l 2 do krivine z 0 (x) u tački X = x 0 - Direktno 1 1 I 1 2 definirati ravan tzv tangentna ravan na površinu S u tački M 0.

Kreirajmo njegovu jednačinu. Pošto ravan prolazi kroz tačku Mo(x 0 ;y 0 ;z 0), onda se njegova jednačina može napisati kao

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

koji se može prepisati ovako:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(dijeleći jednačinu sa -C i označavajući ).

Naći ćemo A 1 i B 1.

Tangentne jednadžbe 1 1 I 1 2 izgledati

respektivno.

Tangenta l 1 leži u ravni a , dakle koordinate svih tačaka l 1 zadovoljavaju jednačinu (1). Ova činjenica se može zapisati u obliku sistema

Rešavajući ovaj sistem u odnosu na B 1, dobijamo to l 3, to je lako ustanoviti.

Zamjena vrijednosti A 1 i B 1 u jednačinu (1), dobijamo željenu jednačinu tangentne ravni:

Prava koja prolazi kroz tačku M 0 a okomita na tangentnu ravan konstruisanu u ovoj tački površine naziva se njena normalno.

Koristeći uslov okomitosti prave i ravni, to je lako dobiti kanonske jednačine normalni:

Komentar. Formule za tangentnu ravan i normalu na površinu dobijaju se za obične, odnosno nespecijalne tačke površine. Dot M 0 površina se zove poseban, ako su u ovom trenutku sve parcijalne derivacije jednake nuli ili barem jedan od njih ne postoji. Ne razmatramo takve tačke.

Primjer. Napišite jednadžbe za tangentnu ravan i normalu na površinu u njenoj tački M(2; -1; 1).

Rješenje. Nađimo parcijalne izvode ove funkcije i njihove vrijednosti u tački M

Odavde, primjenom formula (2) i (3), imat ćemo: z-1=2(x-2)+2(y+1) ili 2h+2u-z-1=0- jednačina tangentne ravni i - normalne jednačine.

2°. Jednačine tangentne ravni i normale za slučaj implicitne definicije površine.

Ako površina S dato jednačinom F (x ; y;z)= 0, onda jednačine (2) i (3), uzimajući u obzir činjenicu da se parcijalni izvod mogu naći kao izvod implicitne funkcije.

Definicija 1 : Tangentna ravan na površinu u datoj tački P (x 0, y 0, z 0) je ravan koja prolazi kroz tačku P i koja sadrži sve tangente konstruisane u tački P na sve moguće krive na ovoj površini koje prolaze kroz tačku P.

Neka je površina s data jednadžbom F (X, at, z) = 0 i tačka P (x 0 , y 0 , z 0) pripada ovoj površini. Odaberimo neku krivulju na površini L, prolazeći kroz tačku R.

Neka X = X(t), at = at(t), z = z(t) - parametarske jednačine linije L.

Pretpostavimo da je: 1) funkcija F(X, at, z) je diferencibilan u tački R i nisu svi njegovi parcijalni derivati ​​u ovoj tački jednaki nuli; 2) funkcije X(t), at(t), z(t) su također diferencirani.

Budući da kriva pripada površini s, koordinate bilo koje tačke na ovoj krivulji, koje su zamijenjene u jednadžbu površine, pretvorit će je u identitet. Dakle, tačna je identična jednakost: F [x(t), at(t), z (t)]= 0.

Razlikovanje ovog identiteta u odnosu na varijablu t, koristeći lančano pravilo, dobijamo novu identičnu jednakost, koja važi u svim tačkama krive, uključujući i tačku P (x 0 , y 0 , z 0):

Neka tačka P odgovara vrijednosti parametra t 0, tj x 0 = x (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Zatim posljednja relacija izračunata u tački R, će poprimiti formu

Ova formula je skalarni proizvod dva vektora. Prvi je konstantni vektor

nezavisno od izbora krivulje na površini.

Drugi vektor je tangentan u tački R do linije L, što znači da zavisi od izbora linije na površini, odnosno da je promenljivi vektor.

Uz uvedene oznake, jednakost je:

hajde da prepišemo kako.

Njegovo značenje je sljedeće: skalarni proizvod je jednak nuli, dakle, vektori su okomiti. Odabir svih mogućih krivulja koje prolaze kroz tačku R na površini s, imaćemo različite tangentne vektore konstruisane u tački R na ove linije; vektor ne zavisi od ovog izbora i bit će okomit na bilo koji od njih, odnosno svi vektori tangente se nalaze u istoj ravni, koja je, po definiciji, tangentna na površinu s, a tačku R u ovom slučaju se zove tačka tangente. Vektor je vektor smjera normalan na površinu.

Definicija 2: Normalna na površinu s u tački P je prava linija koja prolazi kroz tačku P i okomita na tangentnu ravan konstruisanu u ovoj tački.

Dokazali smo postojanje tangentne ravni, a samim tim i normale na površinu. Zapišimo njihove jednačine:

Jednačina tangentne ravni konstruisane u tački P (x0, y0, z0) na površinu s datu jednačinom F(x, y, z) = 0;

Jednačina normale konstruisane u tački R na površinu s.

primjer: Nađite jednadžbu površine nastalu rotacijom parabole:

z 2 = 2p (g +2)

oko y ose, izračunajte pod uslovom da je tačka M(3, 1, - 3) pripada površini. Naći jednačine normalne i tangentne ravni na površinu u tački M.

Rješenje. Koristeći pravilo za pisanje površine rotacije, dobijamo:

z 2 + x 2 = 2p (g +2) .

Zamjenom koordinata tačke M u ovu jednačinu izračunavamo vrijednost parametra p: 9 + 9 = 2r(1 + 2) . Bilježimo konačni prikaz površine okretanja koja prolazi kroz tačku M:

z 2 + x 2 = 6(y +2).

Sada ćemo pronaći jednadžbe normalne i tangentne ravni koristeći formule, za koje prvo izračunamo parcijalne izvode funkcije:

F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (g +2):

Tada jednačina tangentne ravni poprima oblik 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 ili x - y - z - 5 = 0;

Razmotrimo geometrijske primjene derivacije funkcije nekoliko varijabli. Neka funkcija od dvije varijable bude specificirana implicitno: . Ova funkcija u svom domenu definicije je predstavljena određenom površinom (odjeljak 5.1). Uzmimo proizvoljnu tačku na ovoj površini , u kojem sva tri parcijalna izvoda , , postoje i kontinuirani su, a barem jedan od njih nije jednak nuli.

Tačka sa takvim karakteristikama naziva se običan površinska tačka. Ako barem jedan od gore navedenih zahtjeva nije ispunjen, tada se poziva tačka poseban površinska tačka.

Kroz tačku odabranu na površini može se nacrtati mnogo krivulja, od kojih svaka može imati tangentu.

Definicija 5.8.1 . Ravan u kojoj se nalaze sve tangente na prave na površini koje prolaze kroz određenu tačku naziva se tangentna ravan na ovu površinu u tački .

Da potrošim dati avion dovoljno je imati dvije tangente, odnosno dvije krive na površini. To mogu biti krive dobivene kao rezultat sečenja date površine ravninama , (slika 5.8.1).

Zapišimo jednačinu tangente na krivu koja leži na presjeku površine i ravni. Pošto ova kriva leži u koordinatnom sistemu, jednačina tangente na nju u tački, u skladu sa stavom 2.7, ima oblik:

. (5.8.1)

Prema tome, jednadžba tangente na krivulju koja leži na presjeku površine i ravni u koordinatnom sistemu u istoj tački ima oblik:

. (5.8.2)

Koristimo izraz za izvod implicitno specificirane funkcije (odjeljak 5.7). Onda, eh. Zamjenom ovih izvoda u (5.8.1) i (5.8.2) dobijamo, respektivno:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Budući da su rezultirajući izrazi ništa više od jednadžbi pravih linija u kanonski oblik(tačka 15), tada iz (5.8.3) dobijamo vektor pravca , a iz (5.8.4) – . Vector artworkće dati vektor normalan na date tangentne prave, a samim tim i na tangentnu ravan:

Iz toga slijedi da je jednadžba tangentne ravni na površinu u tački ima oblik (tačka 14):

Definicija 5.8.2 . Prava linija povučena kroz tačku površina okomita na tangentnu ravan u ovoj tački naziva se normala na površinu.

Budući da se vektor smjera normale na površinu poklapa s normalom na tangentnu ravninu, normalna jednadžba ima oblik:

.

Skalarno polje

Neka region bude specificiran u prostoru, koji zauzima dio ili cijeli ovaj prostor. Neka svaka tačka ove oblasti, prema nekom zakonu, bude povezana sa određenom skalarnom veličinom (brojem).

Definicija 5.9.1 . Područje u prostoru, čija je svaka tačka povezana, prema dobro poznatom zakonu, s određenom skalarnom veličinom, naziva se skalarno polje.

Ako je neka vrsta koordinatnog sistema povezana s područjem, na primjer, pravougaoni Dekartov sistem, tada svaka tačka dobija svoje koordinate. U ovom slučaju, skalarna veličina postaje funkcija koordinata: na ravni – , u trodimenzionalnom prostoru – . Sama funkcija koja opisuje ovo polje često se naziva skalarno polje. U zavisnosti od dimenzije prostora, skalarno polje može biti ravno, trodimenzionalno itd.

Mora se naglasiti da veličina skalarnog polja zavisi samo od položaja tačke u regionu, ali ne zavisi od izbora koordinatnog sistema.

Definicija 5.9.2 . Skalarno polje koje zavisi samo od položaja tačke u regionu, ali ne zavisi od vremena, naziva se stacionarno.

Nestacionarna skalarna polja, odnosno vremenski zavisna, neće se razmatrati u ovom odeljku.

Primeri skalarnih polja uključuju temperaturno polje, polje pritiska u atmosferi i polje visine iznad nivoa okeana.

Geometrijski, skalarna polja se često predstavljaju pomoću takozvanih linija ili ravnih površina.

Definicija 5.9.3 . Skup svih tačaka u prostoru u kojima je skalarno polje ima isto značenje naziva se ravna površina ili ekvipotencijalna površina. U ravnom slučaju za skalarno polje, ovaj skup se naziva linija nivoa ili ekvipotencijalna linija.

Očigledno, jednačina površine nivoa ima oblik , ravnine – . Davanjem konstante u ovim jednačinama različita značenja, dobijamo porodicu površina ili linija nivoa. na primjer, (sfere ugniježđene jedna unutar druge s različitim polumjerima) ili (familija elipsa).

Primjeri linija nivoa iz fizike uključuju izoterme (linije jednakih temperatura), izobare (linije jednakog pritiska); iz geodezije - linije jednakih visina itd.

Naime, o onome što vidite u naslovu. U suštini, ovo je "prostorni analog" problemi nalaženja tangente I normalni na graf funkcije jedne varijable, te stoga ne bi trebalo nastati poteškoće.

Počnimo sa osnovnim pitanjima: ŠTA JE tangentna ravan i ŠTA JE normala? Mnogi ljudi razumiju ove koncepte na nivou intuicije. Najjednostavniji model koji vam pada na pamet je lopta na kojoj leži tanak ravan komad kartona. Karton se nalazi što bliže sferi i dodiruje je u jednoj tački. Osim toga, na mjestu kontakta osiguran je iglom koja zabode ravno prema gore.

U teoriji, postoji prilično genijalna definicija tangentne ravni. Zamislite besplatno površine i tačka koja joj pripada. Očigledno, mnogo toga prolazi kroz tačku prostorne linije, koji pripadaju ovoj površini. Ko ima kakve asocijacije? =) ...lično sam zamislio hobotnicu. Pretpostavimo da svaka takva linija ima prostorna tangenta u tački .

Definicija 1: tangentna ravan na površinu u jednoj tački - ovo je avion, koji sadrži tangente na sve krive koje pripadaju datoj površini i prolaze kroz tačku.

Definicija 2: normalno na površinu u jednoj tački - ovo je ravno, u prolazu ovu tačku okomito na tangentnu ravan.

Jednostavno i elegantno. Usput, kako ne biste umrli od dosade od jednostavnosti materijala, malo kasnije podijelit ću s vama jednu elegantnu tajnu koja vam omogućava da zaboravite na trpanje raznih definicija JEDNOM ZA SVAKADA.

Upoznajmo se s radnim formulama i algoritmom rješenja na konkretnom primjeru. U velikoj većini problema potrebno je konstruirati i jednadžbu tangentne ravni i normalnu jednačinu:

Primjer 1

Rješenje:ako je površina data jednadžbom (tj. implicitno), tada se jednadžba tangentne ravni na datu površinu u nekoj tački može naći pomoću sljedeće formule:

Posebnu pažnju obraćam na neobične parcijalne derivate - njihove ne treba zbuniti With parcijalni derivati ​​implicitno specificirane funkcije (iako je površina specificirana implicitno). Prilikom pronalaženja ovih derivata morate se voditi pravila za diferenciranje funkcije od tri varijable, to jest, kada se diferencira u odnosu na bilo koju varijablu, druga dva slova se smatraju konstantama:

Bez napuštanja kase nalazimo parcijalni derivat u tački:

Isto tako:

Ovo je bio najneugodniji trenutak odluke, u kojem se greška, ako nije dozvoljena, onda stalno pojavljuje. Međutim, postoji efektivna tehnika provjerite o čemu sam pričao na času Usmjerena derivacija i gradijent.

Svi "sastojci" su pronađeni i sada je stvar pažljive zamjene uz daljnja pojednostavljenja:

– opšta jednačinaželjenu tangentnu ravan.

Toplo preporučujem da provjerite i ovu fazu rješenja. Prvo morate biti sigurni da koordinate tačke tangente zaista zadovoljavaju pronađenu jednadžbu:

- istinska jednakost.

Sada „skidamo“ koeficijente opšta jednačina ravnine i provjerite ih na podudarnost ili proporcionalnost sa odgovarajućim vrijednostima. U ovom slučaju oni su proporcionalni. Kao što se sećate iz kurs analitičke geometrije, - Ovo normalni vektor tangentna ravan, a on je takođe vodeći vektor normalna prava linija. Hajde da komponujemo kanonske jednačine normale po vektoru tačaka i smjera:

U principu, nazivnici se mogu smanjiti za dva, ali za to nema posebne potrebe

Odgovori:

Nije zabranjeno jednadžbe označavati nekim slovima, ali, opet, zašto? Ovde je već krajnje jasno šta je šta.

Sljedeća dva primjera su za nezavisna odluka. Mala "matematička vrtoglavica jezika":

Primjer 2

Naći jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu u tački.

I zadatak zanimljiv sa tehničke tačke gledišta:

Primjer 3

Napišite jednadžbe za tangentnu ravan i normalu na površinu u tački

U tački.

Sva je prilika da se ne samo zbunite, već i naiđete na poteškoće prilikom snimanja kanonske jednadžbe prave. A normalne jednačine, kao što verovatno razumete, obično se pišu u ovom obliku. Iako je, zbog zaborava ili nepoznavanja nekih nijansi, parametarski oblik više nego prihvatljiv.

Približni primjeri konačnog izvođenja rješenja na kraju lekcije.

Postoji li tangentna ravan u bilo kojoj tački površine? Generalno, naravno da ne. Klasičan primjer je konusna površina i tačka - tangente u ovoj tački direktno formiraju konusnu površinu i, naravno, ne leže u istoj ravni. Lako je analitički provjeriti da nešto nije u redu: .

Drugi izvor problema je činjenica nepostojanje bilo koji parcijalni izvod u tački. Međutim, to ne znači da u datoj tački ne postoji jedna tangentna ravan.

Ali to je prije bila popularna naučna nego praktično značajna informacija, i vraćamo se na hitne stvari:

Kako napisati jednadžbe za tangentnu ravan i normalu u tački,
ako je površina specificirana eksplicitnom funkcijom?

Prepišimo to implicitno:

I koristeći iste principe nalazimo parcijalne derivate:

Tako se formula tangentne ravni pretvara u sljedeću jednačinu:

I prema tome, kanonske normalne jednadžbe:

Kao što možete pretpostaviti, - ovo su već "stvarni" parcijalni derivati ​​funkcije dvije varijable u tački, koju smo označavali slovom “z” i pronađeni su 100500 puta.

Imajte na umu da je u ovom članku dovoljno zapamtiti prvu formulu, iz koje je, ako je potrebno, lako izvesti sve ostalo (naravno, sa osnovnim nivoom obuke). Upravo to je pristup koji treba koristiti prilikom proučavanja egzaktnih nauka, tj. iz minimuma informacija moramo težiti da „izvučemo“ maksimum zaključaka i posledica. „Razmatranje“ i postojeće znanje će pomoći! Ovaj princip je također koristan jer će vas najvjerovatnije spasiti u kritičnoj situaciji kada znate vrlo malo.

Razradimo "modificirane" formule s nekoliko primjera:

Primjer 4

Napišite jednadžbe za tangentnu ravan i normalu na površinu u tački .

Ovdje je malo preklapanje sa oznakama - sada slovo označava tačku na ravni, ali šta da se radi - tako popularno slovo...

Rješenje: sastavimo jednačinu željene tangentne ravni koristeći formulu:

Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:

Hajde da izračunamo Parcijalni derivati ​​1. reda u ovom trenutku:

ovako:

pažljivo, ne žuri:

Zapišimo kanonske jednadžbe normale u tački:

Odgovori:

I konačni primjer za vaše vlastito rješenje:

Primjer 5

Zapišite jednadžbe za tangentnu ravan i normalu na površinu u tački.

Konačno - jer sam objasnio bukvalno sve tehničke tačke i nemam šta posebno dodati. Čak su i same funkcije predložene u ovom zadatku dosadne i monotone - u praksi je gotovo sigurno da ćete naići na "polinom", a u tom smislu primjer br. 2 sa eksponentom izgleda kao "crna ovca". Usput, mnogo je vjerovatnije da će naići na površinu dato jednačinom i to je još jedan razlog zašto je funkcija uključena u članak kao broj dva.

I na kraju, obećana tajna: pa kako izbjeći trpanje definicija? (Ne mislim, naravno, na situaciju kada student grozničavo trpa nešto prije ispita)

Definicija svakog pojma/pojave/predmeta, prije svega, daje odgovor na sljedeće pitanje: ŠTA JE TO? (ko/takvi/takvi/su). Svesno Kada odgovarate na ovo pitanje, trebali biste pokušati razmisliti značajan znakovi, definitivno identifikaciju određenog pojma/fenomena/objekta. Da, isprva se ispostavi da je pomalo na jeziku, neprecizan i suvišan (nastavnik će vas ispraviti =)), ali s vremenom se razvija sasvim pristojan naučni govor.

Vježbajte na najapstraktnijim objektima, na primjer, odgovorite na pitanje: ko je Čeburaška? Nije tako jednostavno ;-) Ovo je " lik iz bajke sa velikim ušima, očima i smeđim krznom"? Daleko i veoma daleko od definicije - nikad se ne zna da postoje likovi sa takvim karakteristikama... Ali ovo je mnogo bliže definiciji: „Čeburaška je lik koji je izmislio pisac Eduard Uspenski 1966. godine, koji je ... (popis glavnih karakteristične karakteristike)» . Obratite pažnju kako je dobro počelo

Preuzmite sa Depositfiles

4. TEORIJA POVRŠINA.

4.1 JEDNAČINE POVRŠINE.

Površina u trodimenzionalni prostor može se dati:

1) implicitno: F ( x , y , z ) =0 (4.1)

2) eksplicitno: z = f ( x , y ) (4.2)

3) parametarski: (4.3)

ili:
(4.3’)

gdje su skalarni argumenti
ponekad se nazivaju krivolinijskim koordinatama. Na primjer, sfera
pogodan za postavljanje sferne koordinate:
.

4.2 TANGENTNA RAVNINA I NORMALNA NA POVRŠINU.

Ako pravac leži na površini (4.1), tada koordinate njenih tačaka zadovoljavaju jednadžbu površine:

Razlikovanjem ovog identiteta dobijamo:

(4.4)

ili
(4.4 ’ )

u svakoj tački na krivulji na površini. Dakle, vektor gradijenta u nesingularnim tačkama površine (u kojoj je funkcija (4.5) diferencibilna i
) je okomita na vektore tangente na bilo koje prave na površini, tj. može se koristiti kao normalni vektor za sastavljanje jednadžbe tangentne ravnine u tački M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) površina

(4.6)

i kao vektor smjera u normalnoj jednadžbi:

(4.7)

U slučaju eksplicitne (4.2) specifikacije površine, jednačine tangentne ravni i normale, respektivno, imaju oblik:

(4.8)

I
(4.9)

Sa parametarskim prikazom površine (4.3), vektori
leže u tangentnoj ravni i jednačina tangentne ravni se može napisati kao:

(4.10)

a njihov vektorski proizvod se može uzeti kao vektor normale smjera:

a normalna jednačina se može napisati kao:

(4.11)

Gdje
— vrijednosti parametara koje odgovaraju tački M 0 .

U nastavku ćemo se ograničiti na razmatranje samo onih tačaka površine gdje su vektori

nije jednako nuli i nije paralelno.

Primjer 4.1 Napravite jednadžbe za tangentnu ravan i normalu u tački M 0 (1,1,2) na površinu paraboloida okretanja
.

Rješenje: Pošto je paraboloidna jednadžba data eksplicitno, onda prema (4.8) i (4.9) moramo pronaći
u tački M 0 :

, a u tački M 0
. Tada jednačina tangentne ravni u tački M 0 će izgledati ovako:

2(x -1)+2(y -1)-(z-2)=0 ili 2 x +2 y – z - 2=0, i normalna jednačina
.

Primjer 4.2 Sastaviti jednadžbe za tangentnu ravan i normalu u proizvoljnoj tački helikoida
, .

Rješenje. ovdje,

Jednadžba tangentne ravni:

ili

Normalne jednačine:

.

4.3 PRVI KVADRATNI POVRŠINSKI OBLIK.

Ako je površina data jednadžbom

zatim kriva
može se dati jednačinom
(4.12)

Diferencijal radijus vektora
duž krive, što odgovara pomaku od tačke M 0 do najbliže tačke M, jednako je

(4.13)

Jer
je diferencijal luka krive koji odgovara istom pomaku), tada

(4.14)

Gdje .

Izraz na desnoj strani (4.14) naziva se prvim kvadratnim oblikom površine i igra veliku ulogu u teoriji površina.

Integrišem diferencijalds u rasponu od t 0 (odgovara tački M 0 ) do t (odgovara tački M), dobijamo dužinu odgovarajućeg segmenta krive

(4.15)

Poznavajući prvi kvadratni oblik površine, možete pronaći ne samo dužine, već i uglove između krivih.

Ako du , dv su diferencijali krivolinijskih koordinata koje odgovaraju beskonačno malom pomaku duž jedne krive, i
- s druge strane, tada uzimajući u obzir (4.13):

(4.16)

Korištenje formule

(4.17)

prvi kvadratni oblik omogućava izračunavanje površine regije
površine.

Primjer 4.3 Na helikoidu pronađite dužinu heliksa
između dve tačke.

Rješenje. Jer na spirali
, To . Hajde da nađemo tačku
prvi kvadratni oblik. Odredivši iv = t , dobijamo jednačinu ove spiralne linije u obliku . Kvadratni oblik:

= - prvi kvadratni oblik.

Evo. U formuli (4.15) u ovom slučaju
i dužina luka:

=

4.4 DRUGI KVADRATNI POVRŠINSKI OBLIK.

Označimo
- jedinični vektor normalan na površinu
:

(4.18) . (4.23)

Prava na površini naziva se linija zakrivljenosti ako je njen smjer u svakoj tački glavni smjer.

4.6 POJAM GEODETSKIH LINIJA NA POVRŠINI.

Definicija 4.1 . Krivulja na površini naziva se geodetska ako je njena glavna normala u svakoj tački u kojoj je zakrivljenost različita od nule, ona se poklapa sa normalom na površinu.

Kroz svaku tačku površine u bilo kojem smjeru prolazi, i to samo jedna geodetska. Na sferi, na primjer, veliki krugovi su geodetske.

Parametarizacija površine naziva se polugeodetska ako se jedna porodica koordinatnih linija sastoji od geodezija, a druga je ortogonalna na nju. Na primjer, na sferi postoje meridijani (geodezije) i paralele.

Geodezija na dovoljno malom segmentu je najkraća od svih krivih koje su joj blizu koje spajaju iste tačke.