Prava linija y=3x+2 tangenta je na grafik funkcije y=-12x^2+bx-10.

Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.

Pokaži rješenje

Rješenje

Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf. Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, odnosno y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tačka tangentnosti pripada istovremeno oba grafika funkcija i tangenta, odnosno -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Dobijamo sistem jednačina

\begin(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(slučajevi)

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1.

Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Odgovori Stanje Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) (koji je izlomljena linija sastavljena od tri ravna segmenta). Koristeći sliku, izračunajte F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od

Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.

Pokaži rješenje

antiderivativne funkcije f(x). Prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), jednaka je površini ograničenog krivolinijskog trapeza grafikom funkcije y=f(x), prave linije y=0, x=9 i x=5.

Prema rasporedu utvrđujemo da je naznačeno zakrivljeni trapez

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1.

je trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Njegova površina je jednaka

Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.

Pokaži rješenje

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1.

je trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Na slici je prikazan graf y=f"(x) - derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (-4; 10). Pronađite intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru, naznačiti dužinu najvećeg od njih.

Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.

Pokaži rješenje

Grafikon pokazuje da derivacija f"(x) funkcije f(x) mijenja predznak sa plusa na minus (u takvim tačkama će biti maksimum) u tačno jednoj tački (između -5 i -4) iz intervala [ -6 ] Dakle, postoji tačno jedna maksimalna tačka u intervalu [-6].

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1.

je trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8).

Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.

Pokaži rješenje

Odrediti broj tačaka u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka 0.

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1.

je trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Jednakost derivacije u tački nuli znači da je tangenta na graf funkcije nacrtane u ovoj tački paralelna s osom Ox.

Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.

Pokaži rješenje

Dakle, nalazimo tačke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna sa Ox osom.

Na ovom grafikonu takve tačke su tačke ekstrema (maksimalne ili minimalne tačke). Kao što vidite, postoji 5 ekstremnih tačaka.

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1.

je trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Prava linija y=-3x+4 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7.

Pronađite apscisu tangentne tačke.

Ugaoni koeficijent prave linije na grafiku funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj tački x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, što znači y" (x_0)=-2x_0+5 koeficijent linije y=-3x+4 jednak je -3 -2x_0 +5=-3.

Dobijamo: x_0 = 4.

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x), a na apscisi su označene tačke -6, -1, 1, 4. U kojoj od ovih tačaka je izvod najmanji? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.

VANNASTAVNI PRAKTIČNI RAD 2

Transformacija funkcijskih grafova.

Target

Konstruirajte grafove funkcija koristeći različite transformacije i odgovorite na pitanje problema.

Obavljanje posla Smjernice Rad je dizajniran za 10 opcija, broj opcije se poklapa sa posljednjom znamenkom serijskog broja na listi. Na primjer, 1, 11, 21, 31...izvedite opciju 1, 2,12, 22... - opciju 2, itd. Rad se sastoji od dva dijela: prvi dio zadataka 1 - 5, to su zadaci koji se moraju obaviti da bi dobili kredit ako su ovi zadaci obavljeni sa greškom, potrebno ih je ispraviti i ponovo predati rad na provjeru. Drugi dio sadrži zadatke, ispunjavanjem kojih možete zaraditi dodatnu ocjenu: glavni dio +2 zadatka je „4“, glavni dio +3 zadatka je „5“.

Da biste provjerili da li graf funkcije prolazi kroz određenu tačku, trebate zamijeniti koordinate tačke umjesto x i y, ako dobijete tačnu jednakost, tada prava linija prolazi kroz navedenu tačku, inače ne .

Zadatak 2, 3, 4. Grafikoni naznačenih funkcija dobijaju se iz grafova funkcija , koristeći pomak duž x ili y ose.

, prvo gradimo graf funkcije ili , zatim ga pomaknite za “a” jedinice udesno ili ulijevo (+a – lijevo, -a udesno), zatim ga pomaknite za “b” jedinice gore ili dolje (+b – gore, -b – dolje)

Isto i sa ostalim funkcijama:

Zadatak 5 Za grafički prikaz funkcije: , potrebno je da: 1) izgradite graf funkcije , 2) dio grafika koji se nalazi iznad x-ose ostaje nepromijenjen, 3) dio grafa koji se nalazi ispod x-ose se preslikava.

Problemi za samostalno rješavanje.

Obavezni dio

Zadatak 1. Konstruirajte graf linearne funkcije, odredite da li graf funkcije prolazi kroz navedenu tačku:

Zadatak 2. Napravite graf kvadratna funkcija, navedite skup vrijednosti za ovu funkciju.

Zadatak 3. Konstruirajte graf funkcije, odredite da li se navedena funkcija povećava ili smanjuje.

Zadatak 4. Napravi graf funkcije, odgovori na pitanje zadatka.

Zadatak 5. Konstruirajte graf funkcije koji sadrži znak modula.

Zadaci za dodatno ocjenjivanje.

Zadatak 6. Nacrtajte graf funkcije specificirane po komadima, odredite da li ova funkcija ima tačku prekida:

Zadatak 7. Odredite koliko rješenja ima sistem jednačina, obrazložite svoje odgovore. Izvucite zaključke odgovarajući na pitanja.

Koje ste funkcije zacrtali u ovom radu?

Kako se zove graf linearne funkcije?

Kako se zove graf kvadratne funkcije?

Koje transformacije grafova znate?

Kako se graf nalazi u koordinatnom sistemu ravnomjerna funkcija? Grafikon neparne funkcije?

Derivat funkcije $y = f(x)$ u datoj tački $x_0$ je granica omjera prirasta funkcije i odgovarajućeg prirasta njenog argumenta, pod uvjetom da potonji teži nuli:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Diferencijacija je operacija pronalaženja derivacije.

Tablica izvoda nekih elementarnih funkcija

Funkcija	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$

Osnovna pravila diferencijacije

1. Derivat zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) izvoda

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Pronađite izvod funkcije $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Derivat sume (razlike) jednak je zbiru (razlici) derivata.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivat proizvoda

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Pronađite izvod $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Derivat količnika

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Pronađite izvod $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivat složena funkcija jednak je proizvodu izvoda eksterne funkcije i izvoda unutrašnje funkcije

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Fizičko značenje izvedenice

Ako materijalna tačka kreće se pravolinijski i njegove koordinate se mijenjaju ovisno o vremenu prema zakonu $x(t)$, tada trenutnu brzinu date tačke jednak je izvodu funkcije.

Tačka se kreće duž koordinatne linije prema zakonu $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, gdje je $x(t)$ koordinata u trenutku $t$. U kom trenutku će brzina tačke biti jednaka 12$?

1. Brzina je derivacija od $x(t)$, pa hajde da nađemo derivaciju date funkcije

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Da bismo pronašli u kom trenutku u vremenu $t$ je brzina bila jednaka $12$, kreiramo i rješavamo jednačinu:

Geometrijsko značenje derivacije

Podsjetimo da se jednadžba prave koja nije paralelna s koordinatnim osa može napisati u obliku $y = kx + b$, gdje je $k$ nagib prave. Koeficijent $k$ jednak je tangenti ugla nagiba između prave i pozitivnog smjera osa $Ox$.

Derivat funkcije $f(x)$ u tački $x_0$ jednak je nagibu $k$ tangente na graf u ovoj tački:

Stoga možemo stvoriti opštu jednakost:

$f"(x_0) = k = tanα$

Na slici se povećava tangenta funkcije $f(x)$, pa je koeficijent $k > 0$. Pošto je $k > 0$, onda je $f"(x_0) = tanα > 0$. Ugao $α$ između tangente i pozitivnog pravca $Ox$ je oštar.

Na slici se tangenta na funkciju $f(x)$ smanjuje, stoga koeficijent $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Na slici je tangenta na funkciju $f(x)$ paralelna sa $Ox$ osi, dakle, koeficijent $k = 0$, dakle, $f"(x_0) = tan α = 0$. tačka $x_0$ u kojoj je $f "(x_0) = 0$, pozvan ekstrem.

Na slici je prikazan grafik funkcije $y=f(x)$ i tangenta na ovaj graf nacrtana u tački sa apscisom $x_0$. Pronađite vrijednost derivacije funkcije $f(x)$ u tački $x_0$.

Tangenta na graf se povećava, dakle, $f"(x_0) = tan α > 0$

Da bismo pronašli $f"(x_0)$, nalazimo tangentu ugla nagiba između tangente i pozitivnog smjera $Ox$ ose. Da bismo to učinili, gradimo tangentu na trokut $ABC$.

Nađimo tangentu ugla $BAC$. (Tangencijalno akutni ugao V pravougaonog trougla naziva se odnos suprotne strane prema susednoj strani.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Odgovor: 0,25$

Izvod se također koristi za pronalaženje intervala povećanja i smanjenja funkcije:

Ako je $f"(x) > 0$ na intervalu, tada funkcija $f(x)$ raste na ovom intervalu.

Ako je $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Na slici je prikazan graf funkcije $y = f(x)$. Pronađite među tačkama $h_1,h_2,h_3…h_7$ one tačke u kojima je derivacija funkcije negativna.

Kao odgovor, zapišite broj ovih tačaka.

Sergej Nikiforov

Ako je derivacija funkcije konstantnog predznaka na intervalu, a sama funkcija je kontinuirana na svojim granicama, tada se granične točke dodaju i rastućim i opadajućim intervalima, što u potpunosti odgovara definiciji rastućih i opadajućih funkcija.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Zdravo. Kako (na osnovu čega) možemo reći da u tački gdje je derivacija jednaka nuli, funkcija raste. Navedite razloge. Inače, to je samo nečiji hir. Po kojoj teoremi? I takođe dokaz. Hvala.

Help Desk

Vrijednost derivacije u tački nije direktno povezana s povećanjem funkcije u intervalu. Razmotrite, na primjer, funkcije - sve se povećavaju u intervalu

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Ako je funkcija rastuća na intervalu (a;b) i definirana je i kontinuirana u točkama a i b, tada raste na intervalu . One. tačka x=2 je uključena u ovaj interval.

Iako se u pravilu povećanje i smanjenje ne razmatraju na segmentu, već na intervalu.

Ali u samoj tački x=2, funkcija ima lokalni minimum. I kako objasniti djeci da kada traže rastuće (opadajuće) bodove, onda bodove lokalni ekstrem Ne računamo, ali oni ulaze u intervale povećanja (spadanja).

S obzirom da je prvi dio Jedinstvenog državnog ispita za " srednja grupa vrtić“, onda je možda takvih nijansi previše.

Zasebno, veliko hvala cijelom osoblju za “Rješavanje Jedinstvenog državnog ispita” - odličan vodič.

Sergej Nikiforov

Jednostavno objašnjenje se može dobiti ako krenemo od definicije rastuće/opadajuće funkcije. Da vas podsjetim da to zvuči ovako: funkcija se naziva povećanje/smanjenje na intervalu ako veći argument funkcije odgovara većoj/manjoj vrijednosti funkcije. Ova definicija ni na koji način ne koristi koncept derivacije, tako da se ne mogu postaviti pitanja o tačkama u kojima derivacija nestaje.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Dobar dan. Ovdje u komentarima vidim uvjerenja da granice moraju biti uključene. Recimo da se slažem sa ovim. Ali pogledajte svoje rješenje za problem 7089. Tamo, kada specificirate povećanje intervala, granice nisu uključene. I to utiče na odgovor. One. rješenja zadataka 6429 i 7089 su u suprotnosti. Molimo razjasnite ovu situaciju.

Aleksandar Ivanov

Zadaci 6429 i 7089 imaju potpuno različita pitanja.

Jedan se odnosi na povećanje intervala, a drugi na intervale s pozitivnim izvodom.

Nema kontradikcije.

Ekstremi su uključeni u intervale rasta i opadanja, ali tačke u kojima je izvod jednak nuli nisu uključene u intervale u kojima je izvod pozitivan.

A Z 28.01.2019 19:09

Kolege, postoji koncept povećanja u jednom trenutku

(vidi Fichtenholtz na primjer)

a vaše razumijevanje povećanja pri x=2 je suprotno klasičnoj definiciji.

Povećanje i smanjenje je proces i ja bih se htio pridržavati ovog principa.

U bilo kojem intervalu koji sadrži tačku x=2, funkcija se ne povećava. Stoga inkluzija dati poen x=2 je poseban proces.

Obično, kako bi se izbjegla zabuna, uključivanje krajeva intervala se razmatra zasebno.

Aleksandar Ivanov

Kaže se da funkcija y=f(x) raste u određenom intervalu ako veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

U tački x=2 funkcija je diferencibilna, a na intervalu (2; 6) derivacija je pozitivna, što znači na intervalu )