Neka bude kontinuirano slučajna varijabla X je dat funkcijom distribucije F(X) . Pretpostavimo da sve moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju segmentu [ A, B].
Definicija. Matematičko očekivanje kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju segmentu, naziva se definitivnim integralom
Ako se moguće vrijednosti slučajne varijable razmatraju na cijeloj numeričkoj osi, tada se matematičko očekivanje nalazi po formuli:
U ovom slučaju, naravno, pretpostavlja se da nepravilni integral konvergira.
Definicija. Varijanca kontinuirane slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata njenog odstupanja.
Po analogiji s varijansom diskretne slučajne varijable, za praktično izračunavanje varijanse koristi se formula:
Definicija. Standardna devijacija Called kvadratni korijen od disperzije.
Definicija. Moda M0 diskretne slučajne varijable naziva se njena najvjerovatnija vrijednost. Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mod je vrijednost slučajne varijable na kojoj gustina distribucije ima maksimum.
Ako poligon distribucije za diskretnu slučajnu varijablu ili krivulja distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu ima dva ili više maksimuma, tada se takva raspodjela naziva Bimodal ili Multimodal.
Ako distribucija ima minimum, ali nema maksimum, onda se poziva Antimodal.
Definicija. Medijan MD slučajne varijable X je njena vrijednost u odnosu na koju je jednako vjerovatno da će se dobiti veća ili manja vrijednost slučajne varijable.
Geometrijski gledano, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje ograničeno krivom distribucije podijeljeno na pola.
Imajte na umu da ako je distribucija unimodalna, tada se mod i medijan poklapaju sa matematičkim očekivanjem.
Definicija. Početni trenutak O K Slučajna varijabla X je matematičko očekivanje vrijednosti X K.
Za diskretnu slučajnu varijablu: .
.
Početni trenutak prvog reda jednak je matematičkom očekivanju.
Definicija. Centralni trenutak O K slučajna varijabla X je matematičko očekivanje vrijednosti
Za diskretnu slučajnu varijablu: 
.
Za kontinuiranu slučajnu varijablu: 
.
Centralni moment prvog reda je uvijek nula, a središnji moment drugog reda jednak je disperziji. Centralni momenat trećeg reda karakteriše asimetriju distribucije.
Definicija. Zove se omjer centralnog momenta trećeg reda prema standardnoj devijaciji na treći stepen Koeficijent asimetrije.
Definicija. Za karakterizaciju vršnosti i ravnosti distribucije, veličina tzv Višak.
Pored razmatranih veličina, koriste se i takozvani apsolutni momenti:
Apsolutni početni trenutak: .
Apsolutni centralni momenat: 
.
Apsolutni centralni moment prvog reda naziva se Aritmetička srednja devijacija.
Primjer. Za primjer o kojem se gore govori, odredite matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable X.
Primjer. U urni se nalazi 6 bijelih i 4 crne kuglice. Iz nje se pet puta uzastopno vadi loptica i svaki put se uklonjena loptica vraća nazad i loptice se miješaju. Uzimajući broj izvađenih bijelih kuglica kao slučajnu varijablu X, nacrtajte zakon raspodjele za ovu vrijednost, odredite njeno matematičko očekivanje i disperziju.
Budući da se loptice u svakom eksperimentu vraćaju i miješaju, testovi se mogu smatrati nezavisnim (rezultat prethodnog eksperimenta ne utječe na vjerovatnoću pojave ili nenastupanja događaja u drugom eksperimentu).
Dakle, vjerovatnoća pojave bijele kuglice u svakom eksperimentu je konstantna i jednaka
Dakle, kao rezultat pet uzastopnih pokušaja, bijela lopta se možda neće uopće pojaviti ili se pojaviti jednom, dvaput, tri, četiri ili pet puta.
Da biste sastavili zakon raspodjele, morate pronaći vjerovatnoće svakog od ovih događaja.
1) Bijela lopta se uopće nije pojavila:
2) Bijela lopta se pojavila jednom:
3) Bijela kugla će se pojaviti dva puta: 
.
4) Bijela kugla će se pojaviti tri puta: 
Definicija. Slučajna varijabla je numerička vrijednost čija vrijednost ovisi o tome koji se određeni elementarni ishod dogodio kao rezultat eksperimenta sa slučajnim ishodom. Skup svih vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti naziva se skup mogućih vrijednosti ove slučajne varijable.
Slučajne varijable znače: X, Y 1, Z i; ξ , η 1, μi, a njihove moguće vrijednosti su x 3, y 1k, z ij.
Primjer. U eksperimentu sa jednim bacanjem kockice slučajna varijabla je broj X pali bodovi. Skup mogućih vrijednosti slučajne varijable X izgleda kao
{x 1 =1, x 2 =2, …, x 6 =6}.
Imamo sljedeću korespondenciju između elementarnih ishoda ω i vrijednosti slučajnih varijabli X:
Odnosno, svaki elementarni ishod ωi, i=1, …, 6, odgovara broju i.
Primjer. Novčić se baca sve dok se ne pojavi prvi “grb”. U ovom eksperimentu možete uvesti, na primjer, sljedeće slučajne varijable: X- broj bacanja do prvog pojavljivanja "grba" s mnogo mogućih vrijednosti ( 1, 2, 3, … ) I Y- broj "cifara" nacrtanih prije prvog pojavljivanja "grba", s mnogo mogućih značenja {0, 1, 2, …} (to je jasno X=Y+1). U ovom eksperimentu prostor elementarnih ishoda Ω može se identifikovati sa mnogima
{G, TsG, TsTsG, …, Ts…TsG, …},
i elementarni ishod ( Ts...TsG) odgovara broju m+1 ili m, Gdje m- broj ponavljanja slova “C”.
Definicija. Skalarna funkcija X(ω), definiran na prostoru elementarnih ishoda, naziva se slučajna varijabla ako postoji x∈R (ω:X(ω)< x} je događaj.
Funkcija distribucije slučajne varijable
Da biste proučavali probabilistička svojstva slučajne varijable, morate znati pravilo koje vam omogućava da pronađete vjerovatnoću da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz podskupa njenih vrijednosti. Svako takvo pravilo naziva se zakon distribucije vjerovatnoće ili distribucija slučajne varijable.
Opšti zakon distribucije svojstven svim slučajnim varijablama je funkcija distribucije.
Definicija. Funkcija distribucije (vjerovatnost) slučajne varijable X pozovite funkciju F(x), čija vrijednost u tački x jednaka vjerovatnoći događaja (X< x} , odnosno događaj koji se sastoji od tih i samo tih elementarnih ishoda ω , za koje X(ω)< x :
F(x) = P(X< x} .
Obično se kaže da je vrijednost funkcije distribucije u tački x jednaka je vjerovatnoći da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost manju od x.
Teorema. Funkcija distribucije zadovoljava sljedeća svojstva:
Tipičan oblik funkcije distribucije.
Diskretne slučajne varijable
Definicija. Slučajna varijabla X naziva se diskretnim ako je skup njegovih mogućih vrijednosti konačan ili prebrojiv.
Definicija. Blizu distribucije (vjerovatnosti) diskretne slučajne varijable X je tabela koja se sastoji od dva reda: gornji red navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable, a donji red navodi vjerovatnoće p i =P\(X=x i \) da će slučajna varijabla uzeti ove vrijednosti.
Da biste provjerili ispravnost tabele, preporučuje se sumiranje vjerovatnoća p i. Na osnovu aksioma normalizacije:
Koristeći red distribucije diskretne slučajne varijable, može se konstruirati njena funkcija distribucije F(x). Neka X- , specificirano njegovom serijom distribucije, i x 1< x 2 < … < x n . Onda za sve x ≤ x 1 događaj (X< x} nemoguće je, dakle, po definiciji F(x)=0. Ako x 1< x≤ x 2 , zatim događaj (X< x} sastoji se od onih i samo onih elementarnih ishoda za koje X(ω)=x 1. dakle, F(x)=p 1. Isto tako, kada x 2< x ≤ x 3 događaj (X< x} sastoji se od elementarnih ishoda ω , za koje bilo X(ω)=x 1, ili X(ω)=x 2, odnosno (X< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . dakle, F(x)=p 1 +p 2 itd. At x > x n događaj (X< x} onda svakako F(x)=1.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable također se može specificirati analitički u obliku formule ili grafički. Na primjer, distribucija kockice je opisana formulom
P(X=i) = 1/6, i=1, 2, …, 6.
Neke diskretne slučajne varijable
Binomna distribucija. Diskretna slučajna varijabla X distribuira se prema binomskom zakonu ako uzima vrijednosti 0, 1, 2, ..., n u skladu sa distribucijom datom Bernulijevom formulom:
Ova raspodjela nije ništa drugo do raspodjela broja uspjeha X V n testovi koristeći Bernoullijevu šemu sa vjerovatnoćom uspjeha str i neuspjesi q=1-p.
Poissonova distribucija. Diskretna slučajna varijabla X distribuira se prema Poissonovom zakonu ako poprimi nenegativne cjelobrojne vrijednosti s vjerovatnoćama
Gdje λ > 0 - Parametar Poissonove distribucije.
Poissonova raspodjela se još naziva i zakonom rijetkih događaja, jer se uvijek pojavljuje tamo gdje se javlja. veliki broj testova, u svakom od kojih se „rijetki“ događaji javljaju s malom vjerovatnoćom.
U skladu sa Poissonovim zakonom, na primjer, distribuira se broj poziva primljenih u toku dana na telefonskoj centrali; broj meteorita koji su pali na određeno područje; broj raspadnutih čestica tokom radioaktivnog raspada supstance.
Geometrijska distribucija. Pogledajmo ponovo Bernulijevu šemu. Neka X- broj testova koji se moraju provesti prije nego se pojavi prvi uspjeh. Onda X- diskretna slučajna varijabla koja uzima vrijednosti 0, 1, 2, …, n, ... Odredimo vjerovatnoću događaja (X=n).
- X=0, ako se uspjeh dogodi u prvom testu, dakle, P(X=0)=p.
- X=1, ako dođe do neuspjeha u prvom testu i uspjeha u drugom, onda P(X=1)=qp.
- X=2, ako u prva dva testa postoji neuspjeh, a u trećem - uspjeh, onda P(X=2)=q 2 str.
- Nastavljajući proceduru, dobijamo P(X=i)=q i p, i=0, 1, 2, …
Slučajna varijabla s takvim nizom raspodjele naziva se distribuirana prema geometrijskom zakonu.
Slučajna varijabla kao osnovni koncept teorije verovatnoće velika vrijednost u svojim aplikacijama. Ovaj koncept je apstraktni izraz slučajnog događaja. Štaviše, ponekad je zgodnije raditi sa slučajnim varijablama nego sa slučajnim događajima.
Slučajno je veličina koja kao rezultat eksperimenta može poprimiti jednu ili drugu (ali samo jednu) vrijednost (prije eksperimenta se ne zna koju).
Događaji se obično označavaju velikim slovima latinica, vjerovatnoća po slovu R, na primjer, R(A). Realizacije događaja (slučajne varijable) su označene malim slovima: a 1 , a 2 , …, a n.
Budući da u teoriji vjerovatnoće i matematičke statistike se razmatraju masovne pojave, tada se obično karakteriše slučajna varijabla moguće vrijednosti i njihove vjerovatnoće.
Među slučajnim varijablama koje se susreću u praksi, mogu se razlikovati diskretne i kontinuirane.
Diskretne slučajne varijablenazivaju se oni koji uzimaju samo vrijednosti odvojene jedna od druge i mogu se unaprijed nabrojati. Na primjer, broj automobila na određenom kilometru dionice puta u određenom trenutku; broj neispravnih komponenti auto delova u seriji od n stvari.
Za diskretne slučajne varijable Karakteristično je da prihvataju odvojene, izolovane vrijednosti, koji se mogu unaprijed navesti. Na primjer, broj automobila na datoj dionici puta može imati samo cjelobrojne vrijednosti 0, 1,2, ..., n i zavisi od doba dana i intenziteta saobraćaja.
Postoje i druge vrste slučajnih varijabli koje su češće i imaju veliki praktični značaj.
Kontinuirana slučajna varijablanaziva se ona čije moguće vrijednosti neprekidno ispunjavaju određeni interval(numerički interval osi). Interval brojevne linije može biti konačan ili beskonačan. Primjeri kontinuiranih slučajnih varijabli su vrijeme rada automobila u datim uvjetima na putu, brzina automobila na datom putu i greška mjerenja.
Za razliku od diskretno moguće vrijednosti kontinuiranih slučajnih varijabli ne mogu se unaprijed navesti, jer one kontinuirano popunjavaju određeni jaz.
Slučajne varijable se obično označavaju velikim slovima latinice - X, Y, Z, T, a njihove moguće vrijednosti su odgovarajuće male x i, y i, z i, t i, Gdje i = 1, 2, .... str.
Razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu X sa mogućim vrijednostima x 1 , x 2 , …, xn. Kao rezultat ponovljenih eksperimenata, vrijednost T može uzeti svaku od vrijednosti x i, tj.:
X = x 1 ; X = x 2 ; ...; X = xn.
Označimo vjerovatnoće ovih događaja slovom r sa odgovarajućim indeksima:
P(X = x 1)= p 1 ; P(X = x 2)= p 2 ; ...; P(X = x n)= p n .
Na osnovu činjenice da događaji x i formu puna grupa nekompatibilni događaji, tj. ne mogu se desiti drugi događaji, zbir vjerovatnoća svih mogućih vrijednosti slučajne varijable T jednak je jedan.
Ova ukupna vjerovatnoća je nekako raspoređena između pojedinačnih vrijednosti slučajne varijable
Diskretna slučajna varijabla može se u potpunosti opisati sa vjerovatnoće tačke gledišta ako tačno naznačite vjerovatnoću svakog događaja, tj. specificirate ovu distribuciju. Ovo će uspostaviti zakon raspodjele slučajne varijable.
Zakon raspodjele slučajne varijableje svaka relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća. Znajući to, može se prije eksperimenta prosuditi koje će se vrijednosti slučajne varijable pojavljivati češće, a koje rjeđe. Metode ili oblici predstavljanja zakona distribucije slučajne varijable su različiti.
Najjednostavniji oblik zadatka zakon raspodjele diskretne slučajne varijable T je red raspodjele ili tablicu koja navodi moguće vrijednosti ove količine i njihove odgovarajuće vjerovatnoće.
JEDNIMENZIONALNE SLUČAJNE VARIJABLE
Koncept slučajne varijable. Diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Funkcija raspodjele vjerojatnosti i njena svojstva. Gustina raspodjele vjerovatnoće i njena svojstva. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli: matematičko očekivanje, disperzija i njihova svojstva, standardna devijacija, mod i medijan; početni i centralni momenti, asimetrija i eksces.
1. Koncept slučajne varijable.
Slučajno je veličina koja kao rezultat testiranja poprima jednu ili drugu (ali samo jednu) moguću vrijednost, unaprijed poznatu, koja varira od testa do testa i ovisno o slučajnim okolnostima. Za razliku od slučajnog događaja, koji je kvalitativna karakteristika slučajnog rezultata testa, slučajna varijabla kvantitativno karakterizira rezultat testa. Primjeri slučajne varijable uključuju veličinu radnog komada, grešku u rezultatu mjerenja bilo kojeg parametra proizvoda ili okruženja. Među slučajnim varijablama koje se susreću u praksi, mogu se razlikovati dva glavna tipa: diskretne varijable i kontinuirane.
Diskretno je slučajna varijabla koja poprima konačan ili beskonačan prebrojiv skup vrijednosti. Na primjer, stopa pogodaka sa tri udarca; broj neispravnih proizvoda u seriji komada; broj primljenih poziva na telefonskoj centrali u toku dana; broj kvarova elemenata uređaja u određenom vremenskom periodu prilikom ispitivanja njegove pouzdanosti; broj hitaca do prvog pogotka u metu itd.
Kontinuirano je slučajna varijabla koja može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Očigledno, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan. Na primjer, greška u mjerenju radarskog dometa; vrijeme rada mikrokola; greška u proizvodnji delova; koncentracija soli u morskoj vodi itd.
Slučajne varijable se obično označavaju slovima , itd., i njihove moguće vrijednosti -, i itd. Da biste specificirali slučajnu varijablu, nije dovoljno navesti sve njene moguće vrijednosti. Također je potrebno znati koliko često se određene njegove vrijednosti mogu pojaviti kao rezultat testova pod istim uvjetima, odnosno potrebno je postaviti vjerovatnoće njihovog pojavljivanja. Skup svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća čini distribuciju slučajne varijable.
2. Zakoni raspodjele slučajnih varijabli.
Zakon distribucije Slučajna varijabla je svaka korespondencija između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Kaže se da se slučajna varijabla pokorava datom zakonu distribucije. Pozivaju se dvije slučajne varijable nezavisni, ako zakon raspodjele jednog od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje je druga veličina preuzela. U suprotnom se pozivaju slučajne varijable zavisan. Poziva se nekoliko slučajnih varijabli međusobno nezavisni, ako zakoni raspodjele bilo kojeg broja njih ne ovise o mogućim vrijednostima koje su druge veličine uzele.
Zakon raspodjele slučajne varijable može se specificirati u obliku tabele, u obliku funkcije raspodjele ili u obliku gustine distribucije. Tabela koja sadrži moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće je najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije slučajne varijable:
Tabelarna dodjela zakona raspodjele može se koristiti samo za diskretnu slučajnu varijablu sa konačnim brojem mogućih vrijednosti. Tabelarni oblik specificiranja zakona slučajne varijable naziva se i red distribucije.
Radi jasnoće, serija distribucije je predstavljena grafički. Kada je grafički prikazan u pravougaoni sistem koordinate, sve moguće vrijednosti slučajne varijable su iscrtane duž ose apscise, a odgovarajuće vjerovatnoće su iscrtane duž ordinatne ose. Zatim grade tačke i povezuju ih ravnim segmentima. Rezultirajuća figura se zove distributivni poligon(Sl. 5). Treba imati na umu da se povezivanje vrhova ordinata vrši samo radi jasnoće, jer u intervalima između i, i, itd., slučajna varijabla ne može poprimiti vrijednosti, pa su vjerovatnoće njenog pojavljivanja u tim intervalima jednake nula.
Poligon distribucije, kao i distribucijski niz, jedan je od oblika specificiranja zakona raspodjele diskretne slučajne varijable. Mogu imati vrlo različite oblike, ali svi imaju jedno zajedničko svojstvo: zbir ordinata vrhova poligona distribucije, koji je zbir vjerovatnoća svih mogućih vrijednosti slučajne varijable, uvijek je jednak jedan. Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da sve moguće vrijednosti slučajne varijable čine potpunu grupu nekompatibilnih događaja, čiji je zbroj vjerovatnoća jednak jedan.
Slanje vašeg dobrog rada u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod
Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.
Objavljeno na http://www.allbest.ru/
Diskretne slučajne varijable
Neka se provede neki test čiji je rezultat jedan od nekompatibilnih slučajni događaji(broj događaja je ili konačan ili prebrojiv, odnosno događaji se mogu numerisati). Svaki ishod je povezan sa određenim pravi broj, odnosno, realna funkcija X sa vrijednostima je data na skupu slučajnih događaja. Ova funkcija X se poziva diskretno nasumično veličina(izraz "diskretno" se koristi jer su vrijednosti slučajne varijable pojedinačni brojevi, za razliku od kontinuirane funkcije). Budući da se vrijednosti slučajne varijable mijenjaju ovisno o slučajnim događajima, glavni interes su vjerovatnoće s kojima slučajna varijabla poprima različite numeričke vrijednosti. Zakon distribucije slučajne varijable je svaki odnos koji uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti. Zakon o distribuciji može imati raznih oblika. Za diskretnu slučajnu varijablu, zakon raspodjele je skup parova brojeva (), gdje su moguće vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoće s kojima ona uzima ove vrijednosti: . U isto vreme.
Parovi se mogu smatrati tačkama u nekom koordinatnom sistemu. Povezujući ove tačke sa pravim segmentima, dobijamo grafička slika zakon raspodjele - distribucijski poligon. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable najčešće se zapisuje u obliku tabele u koju se unose parovi.
Primjer. Novčić se baca dva puta. Napravi zakon za raspodjelu broja amblema u ovom testu.
Rješenje. Slučajna varijabla X je koliko puta se „grb“ pojavljuje u datom testu. Očigledno, X može uzeti jednu od tri vrijednosti: 0, 1, 2. Vjerovatnoća da se "grb" pojavi prilikom jednog bacanja novčića je p = 0,5, a vjerovatnoća da će "rep" ispasti je q = 1 - p = 0,5. Pronalazimo vjerovatnoće s kojima slučajna varijabla uzima navedene vrijednosti koristeći Bernoullijevu formulu:
Zapisujemo zakon raspodjele slučajne varijable X u obliku tablice raspodjele
Kontrola:
Neki zakoni raspodjele diskretnih slučajnih varijabli, koji se često susreću u rješavanju različitih problema, dobili su posebne nazive: geometrijska raspodjela, hipergeometrijska raspodjela, binomna raspodjela, Poissonova raspodjela i drugi.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable može se specificirati pomoću funkcije distribucije F(x), koja je jednaka vjerovatnoći da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednosti na intervalu ????x?: F(x) = P(X Funkcija F(x) je definirana na cijeloj realnoj osi i ima sljedeća svojstva: 1) ? ? F(x) ? 1; 2) F(x) - neopadajuća funkcija; 3) F(??) = 0, F(+?) = 1; 4) F(b) - F(a) = P(a ? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69 2 =(2-2.3) 2 =0.09 2 =(5-2.3) 2 =7.29 Napišimo zakon raspodjele kvadratne devijacije: Rješenje: Nađimo matematičko očekivanje M(x): M(x)=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5 Napišimo zakon raspodjele slučajne varijable X 2 Nađimo matematičko očekivanje M(x 2): M(x 2)=4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,5 Tražena varijansa je D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05 Svojstva disperzije 1. Varijanca konstantne vrijednosti C je nula: D(C)=0 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem. D(Cx)=C 2 D(x) 3. Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru varijansi ovih varijabli. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n) 4. Varijanca binomne distribucije jednaka je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće pojave i nenastupanja događaja u jednom pokušaju D(X)=npq. Za procjenu disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti, osim disperzije, koriste se i neke druge karakteristike. To uključuje standardnu devijaciju. DEFINICIJA. Standardna devijacija slučajne varijable X je kvadratni korijen varijanse: Primjer 8. Slučajna varijabla X data je zakonom raspodjele Pronađite standardnu devijaciju y(x) Rješenje: Nađimo matematičko očekivanje od X: M(x)=2*0,1+3*0,4+10*0,5=6,4 Nađimo matematičko očekivanje od X 2: M(x 2)=2 2 *0,1+3 2 *0,4+10 2 *0,5=54 Nađimo varijansu: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04 Potrebna standardna devijacija y(X)=vD(X)=v13.04?3.61 Teorema. Standardna devijacija sume konačnog broja međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata standardnih devijacija ovih varijabli: Slučajne varijable Koncept slučajne varijable je fundamentalan u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama. Slučajne varijable, na primjer, su broj bodova dobijenih tokom jednog bacanja kocke, broj raspadnutih atoma radijuma u datom vremenskom periodu, broj poziva na telefonsku centralu u određenom vremenskom periodu, odstupanje od nominalne vrijednosti određene veličine dijela sa pravilno prilagođenim tehnološkim procesom itd. dakle, nasumično
veličina je promjenjiva veličina koja, kao rezultat eksperimenta, može poprimiti jednu ili drugu numeričku vrijednost. U nastavku ćemo razmotriti dvije vrste slučajnih varijabli - diskretne i kontinuirane. 1. Diskretne slučajne varijable Razmotrite slučajnu varijablu *, čije moguće vrijednosti formiraju konačan ili beskonačan niz brojeva x1
,
x2
,
.
..,
xn,
.
..
.
Neka je funkcija data p(x), čija je vrijednost u svakoj tački x=xi(i=1,2,.
..)
jednaka je vjerovatnoći da će količina poprimiti vrijednost xi.
Takva slučajna varijabla se zove diskretno
(isprekidano). Funkcija p(x) pozvao po zakonu
distribucija
vjerovatnoće
nasumično
količine, ili ukratko, po zakonu
distribucija. Ova funkcija je definirana u točkama sekvence x1
,
x2
,
.
..,
xn,
.
..
.
Pošto u svakom od testova slučajna varijabla uvijek uzima neku vrijednost iz opsega svoje promjene, onda Primjer1.
Slučajna varijabla je broj bodova koji se pojavljuju kada se kocka jednom baci. Moguće vrijednosti su brojevi 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Štaviše, vjerovatnoća da će bilo koja od ovih vrijednosti poprimiti je ista i jednaka je 1/6. Kakav će biti zakon o raspodjeli? ( Rješenje) Primjer2.
Neka je slučajna varijabla broj pojavljivanja događaja A u jednom testu, i P(A)=p. Skup mogućih vrijednosti sastoji se od 2 broja 0 i 1: =0
, ako događaj A nije se desilo i =1
, ako događaj A dogodilo. dakle, Pretpostavimo da je proizveden n nezavisnih testova, kao rezultat svakog od kojih se događaj može, ali i ne mora dogoditi A. Neka se dogodi vjerovatnoća događaja A na svakom testu je jednako str A at n nezavisni testovi. Opseg promjene se sastoji od svih cijelih brojeva iz 0
to n inkluzivno. Zakon raspodjele vjerovatnoće p(m) određuje se Bernulijevom formulom (13"): Često se naziva zakon raspodjele vjerovatnoće prema Bernoullijevoj formuli binom, jer Pn(m) predstavlja m th član binomske ekspanzije. Neka slučajna varijabla ima bilo koju nenegativnu vrijednost cijelog broja, i gdje je neka pozitivna konstanta. U ovom slučaju se kaže da je slučajna varijabla raspoređena zakon
Poisson, Imajte na umu da kada k=0 treba staviti 0!=1
. Kao što znamo, za velike brojeve n verovatnoća nezavisnog testa Pn(m) ofanzivno m puta događaje A zgodnije je pronaći ne po Bernoullijevoj formuli, već po Laplaceovoj formuli [vidi. formula (15)]. Međutim, ovo drugo daje velike greške sa malom vjerovatnoćom r pojava događaja A u jednom testu. U ovom slučaju, za izračunavanje vjerovatnoće Pn(m) Zgodno je koristiti Poissonovu formulu, u koju bismo trebali staviti. Poissonova formula se može dobiti kao granični slučaj Bernoullijeve formule uz neograničeno povećanje broja testova n i kako se vjerovatnoća približava nuli. Primjer3.
U fabriku je stigla serija od 1000 delova. Vjerovatnoća da će dio biti neispravan je 0,001. Kolika je vjerovatnoća da će među pristiglim dijelovima biti 5 neispravnih? ( Rješenje) Poissonova distribucija se često nalazi u drugim problemima. Tako, na primjer, ako telefonski operater prima u prosjeku za jedan sat N poziva, kako se to može prikazati, vjerovatnoća R(k)šta će dobiti za jedan minut k poziva, izražava se Poissonovom formulom, ako stavimo. Ako moguće vrijednosti slučajne varijable formiraju konačan niz x1
,
x2
,
.
..,
xn, onda je zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable specificiran u obliku sljedeće tabele, u kojoj Vrijednosti Vjerovatnoće p(xi) Ova tabela se zove blizu
distribucija slučajna varijabla. Očigledno funkcija p(x) može se prikazati kao grafikon. Da bismo to uradili, uzimamo pravougaoni koordinatni sistem na ravni. Nacrtaćemo moguće vrijednosti slučajne varijable duž horizontalne ose, a vrijednosti funkcije duž vertikalne ose. Grafikon funkcije p(x) prikazano na sl. 2. Ako povežete tačke ovog grafika sa pravim segmentima, dobićete figuru koja se zove poligon
distribucija. Primjer4.
Neka događaj A-- pojavljivanje jedne tačke pri bacanju kocke; R(A)=1/6. Uzmite u obzir slučajnu varijablu - broj pojavljivanja događaja A sa deset bacanja kocke. Vrijednosti funkcije p(x)(zakon distribucije) dati su u sljedećoj tabeli: Vrijednosti Vjerovatnoće p(xi) Vjerovatnoće p(xi)
izračunato korištenjem Bernoullijeve formule pri n=10. Za x>6 oni su praktično jednaki nuli. Grafikon funkcije p(x) prikazan je na sl. 3. Funkcija raspodjele vjerojatnosti slučajne varijable i njena svojstva Razmotrite funkciju F(x), definiran na cijeloj brojevnoj pravoj kako slijedi: za svaku X značenje F(x) jednaka je vjerovatnoći da će diskretna slučajna varijabla uzeti vrijednost manju od X, tj. Ova funkcija se zove funkcija
distribucija
vjerovatnoće, ili ukratko, funkcija
distribucija. Primjer1.
Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable date u primjeru 1, korak 1. ( Rješenje) Primjer2.
Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable date u primjeru 2, korak 1. ( Rješenje) Poznavanje funkcije distribucije F(x), lako je pronaći vjerovatnoću da slučajna varijabla zadovoljava nejednakosti. Uzmite u obzir događaj da će slučajna varijabla poprimiti manju vrijednost. Ovaj događaj se dijeli na zbir dva nekompatibilna događaja: 1) slučajna varijabla uzima manje vrijednosti, tj. ; 2) slučajna varijabla uzima vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakosti. Koristeći aksiom sabiranja, dobijamo Ali po definiciji funkcije distribucije F(x)[cm. formula (18)], imamo dakle, dakle, vjerovatnoća
hits
diskretno
nasumično
količine
V
interval
jednako
prirast
funkcije
distribucija
on
ovo
interval. Hajde da razmotrimoosnovnisvojstvafunkcijedistribucije. 1°. Funkcija
distribucija
je
neopadajući. U stvari, neka< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что 2°. Vrijednosti
funkcije
distribucija
zadovoljiti
nejednakosti . Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da F(x) definisano kao verovatnoća [vidi formula (18)]. Jasno je da * i. 3°. Vjerovatnoća
Togo,
sta
diskretno
nasumično
magnitude
će prihvatiti
jedan
od
moguće
vrijednosti
xi,
jednako
galop
funkcije
distribucija
V
tačka
xi. Zaista, neka xi- vrijednost koju uzima diskretna slučajna varijabla, i. Uz pretpostavku formule (19), dobijamo U granici na, umjesto vjerovatnoće da slučajna varijabla padne u interval, dobijamo vjerovatnoću da će vrijednost uzeti datu vrijednost xi: S druge strane, dobijamo, tj. granica funkcije F(x) na desnoj strani, jer Prema tome, u granici, formula (20) poprima oblik one. značenje p(xi)
jednako funkcijskom skoku** xi. Ovo svojstvo je jasno ilustrovano na Sl. 4 i sl. 5. Kontinuirane slučajne varijable Pored diskretnih slučajnih varijabli, čije moguće vrijednosti formiraju konačan ili beskonačan niz brojeva koji ne ispunjavaju u potpunosti nijedan interval, često postoje slučajne varijable čije moguće vrijednosti čine određeni interval. Primjer takve slučajne varijable je odstupanje od nominalne vrijednosti određene veličine dijela uz pravilno prilagođen tehnološki proces. Ova vrsta slučajnih varijabli ne može se specificirati korištenjem zakona distribucije vjerovatnoće p(x). Međutim, oni se mogu specificirati korištenjem funkcije raspodjele vjerovatnoće F(x). Ova funkcija je definirana na potpuno isti način kao u slučaju diskretne slučajne varijable: Dakle, i ovdje je funkcija F(x) definirana na cijeloj brojevnoj pravoj, i njena vrijednost u tački X jednaka je vjerovatnoći da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od X. Formula (19) i svojstva 1° i 2° vrijede za funkciju distribucije bilo koje slučajne varijable. Dokaz se izvodi slično kao u slučaju diskretne veličine. Poziva se slučajna varijabla kontinuirano, ako za nju postoji nenegativna djelomično kontinuirana funkcija* koja zadovoljava za bilo koje vrijednosti x jednakost Funkcija se poziva gustina
distribucija
vjerovatnoće, ili ukratko, gustina
distribucija. Ako x 1
Na osnovu geometrijskog značenja integrala kao površine, možemo reći da je vjerovatnoća ispunjenja nejednakosti jednaka površini krivolinijskog trapeza sa osnovom
, odozgo omeđen krivom (slika 6). Budući da i na osnovu formule (22) Koristeći formulu (22), nalazimo kao izvod integrala u odnosu na gornju graničnu varijablu, smatrajući da je gustina distribucije kontinuirana**: Imajte na umu da je za kontinuiranu slučajnu varijablu funkcija distribucije F(x) kontinuirano u bilo kojoj tački X, gdje je funkcija kontinuirana. Ovo proizilazi iz činjenice da F(x) je diferencibilan u ovim tačkama. Na osnovu formule (23), uz pretpostavku x 1
=x, imamo Zbog kontinuiteta funkcije F(x) mi to shvatamo Dakle dakle, vjerovatnoća
Togo,
sta
kontinuirano
nasumično
magnitude
Možda
prihvatiti
bilo koji
odvojeno
značenje
X,
jednako
nula. Iz toga slijedi da se događaji sastoje u ispunjavanju svake od nejednakosti Imaju istu vjerovatnoću, tj. U stvari, npr. Komentar. Kao što znamo, ako je događaj nemoguć, onda je vjerovatnoća njegovog nastanka nula. Uz klasičnu definiciju vjerovatnoće, kada je broj ishoda testa konačan, vrijedi i obrnuti prijedlog: ako je vjerovatnoća događaja nula, onda je događaj nemoguć, jer mu u ovom slučaju nijedan od ishoda testa ne ide u prilog. U slučaju kontinuirane slučajne varijable, broj njenih mogućih vrijednosti je beskonačan. Vjerovatnoća da će ova količina poprimiti određenu vrijednost x 1
kao što smo videli, jednaka je nuli. Međutim, iz ovoga ne slijedi da je ovaj događaj nemoguć, jer kao rezultat testa slučajna varijabla može, posebno, uzeti vrijednost x 1
. Stoga, u slučaju kontinuirane slučajne varijable, ima smisla govoriti o vjerovatnoći da slučajna varijabla padne u interval, a ne o vjerovatnoći da će poprimiti određenu vrijednost. Tako, na primjer, kada pravimo valjak, ne zanima nas vjerovatnoća da će njegov prečnik biti jednak nominalnoj vrijednosti. Ono što nam je bitno je vjerovatnoća da je prečnik valjka u granicama tolerancije. Primjer. Gustina distribucije kontinuirane slučajne varijable je data na sljedeći način: Grafikon funkcije je prikazan na sl. 7. Odrediti vjerovatnoću da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja zadovoljava nejednakosti. Pronađite funkciju distribucije date slučajne varijable. ( Rješenje) Naredna dva paragrafa posvećena su distribucijama kontinuiranih slučajnih varijabli koje se često susreću u praksi – uniformne i normalne distribucije. * Funkcija se naziva komadno kontinuiranom na cijeloj brojevnoj pravoj ako je ili kontinuirana na bilo kojem segmentu ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste. ** Pravilo za diferenciranje integrala s promjenjivom gornjom granicom, izvedeno u slučaju konačne donje granice, ostaje važeće za integrale s beskonačnom donjom granicom. u stvari, Pošto je integral postoji konstantna vrijednost. Slučajne varijable Slučajne varijable znače numeričke karakteristike slučajnih događaja. Drugim riječima, slučajne varijable su numerički rezultati eksperimenata čije vrijednosti se ne mogu (u datom trenutku) unaprijed predvidjeti. Na primjer, sljedeće vrijednosti se mogu smatrati slučajnim: 2. Procenat dječaka među djecom rođenom u određenom porodilištu određenog dana. 3. Broj i površina sunčevih pjega vidljivih na određenoj opservatoriji tokom određenog dana. 4. Broj studenata koji su zakasnili na ovo predavanje. 5. Kurs dolara na berzi (recimo, na MICEX), iako možda nije tako „slučajan“ kao što se čini običnim ljudima. 6. Broj kvarova opreme u određenom danu u određenom preduzeću. Slučajne varijable se dijele na diskretne i kontinuirane, ovisno o tome da li je skup svih mogućih vrijednosti odgovarajuće karakteristike diskretan ili kontinuiran. Ova podjela je prilično proizvoljna, ali korisna pri odabiru adekvatnih metoda istraživanja. Ako je broj mogućih vrijednosti slučajne varijable konačan ili uporediv sa skupom svih prirodnih brojeva (tj. može se prenumerisati), onda je slučajna varijabla PDF kreirana uz probnu verziju FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com naziva se diskretnim. Inače se naziva kontinuiranim, iako se u stvari implicitno pretpostavlja da zapravo kontinuirane slučajne varijable uzimaju svoju vrijednost u nekom jednostavnom numeričkom intervalu (segmentu, intervalu). Na primjer, slučajne varijable navedene iznad pod brojevima 4 i 6 će biti diskretne, a kontinuirane – pod brojevima 1 i 3 (područja tačaka). Ponekad slučajna varijabla ima mješoviti karakter. Takav je, na primjer, tečaj dolara (ili neke druge valute), koji zapravo uzima samo diskretni skup vrijednosti, ali se u isto vrijeme ispostavlja da je zgodno smatrati da skup njegovih vrijednosti je „kontinuirano“. Slučajne varijable se mogu specificirati na različite načine. Diskretne slučajne varijable se obično određuju njihovim zakonom raspodjele. Ovdje je svaka moguća vrijednost x1, x2,... slučajne varijable X povezana sa vjerovatnoćom p1,p2,... ove vrijednosti. Rezultat je tabela koja se sastoji od dva reda: Ovo je zakon raspodjele slučajne varijable. Kontinuirane slučajne varijable ne mogu se specificirati zakonom distribucije, jer se po samoj definiciji njihove vrijednosti ne mogu prenumerisati i stoga je njihovo postavljanje u obliku tabele ovdje isključeno. Međutim, za kontinuirane slučajne varijable postoji još jedan način specificiranja (primjenjiv, inače, i za diskretne varijable) - ovo je funkcija distribucije: jednaka vjerovatnoći događaja, a to je da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost manju od datog broja x. Često je umjesto funkcije distribucije zgodno koristiti drugu funkciju - gustinu f(x) distribucije slučajne varijable X. Ponekad se naziva i diferencijalna funkcija distribucije, a F(x) u ovoj terminologiji je nazvana kumulativna funkcija distribucije. Ove dvije funkcije međusobno određuju jedna drugu koristeći sljedeće formule: Ako je slučajna varijabla diskretna, onda za nju koncept funkcije distribucije također ima smisla, u ovom slučaju graf funkcije distribucije se sastoji od horizontalnih dijelova, od kojih se svaki nalazi iznad prethodnog za iznos jednak pi; . Važni primjeri diskretnih količina su, na primjer, binomno raspoređene količine (Bernoullijeva distribucija), za koje je PDF kreiran uz probnu verziju FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com n pk(1-p)n-k= !()! gdje je p vjerovatnoća pojedinačnog događaja (ponekad se konvencionalno naziva “vjerovatnoća uspjeha”). Ovako se raspoređuju rezultati serije uzastopnih homogenih testova (Bernoullijeva šema). Granični slučaj binomske distribucije (kako se broj pokušaja povećava) je Poissonova raspodjela, za koju pk=?k/k!exp(-?), gdje?>0 je neki pozitivan parametar. Najjednostavniji primjer kontinuirane distribucije je uniformna distribucija. Ima konstantnu gustinu distribucije na segmentu jednaku 1/(b-a), a izvan ovog segmenta gustina je 0. Izuzetno važan primjer kontinuirane distribucije je normalna distribucija. Određuje ga dva parametra m i? (matematičko očekivanje i standardna devijacija - vidi dolje), njegova gustina distribucije ima oblik: 1 exp(-(x-m)2/2?2) Fundamentalna uloga normalne distribucije u teoriji vjerovatnoće objašnjava se činjenicom da je, zbog Centralne granične teoreme (CLT), zbir velikog broja slučajnih varijabli koje su po parovima neovisne (pogledajte dolje za koncept nezavisnosti slučajnog varijable) ili slabo zavisne ispada da je približno distribuiran prema normalnom zakonu. Iz toga slijedi da se slučajna varijabla, čija je slučajnost uzrokovana nametanjem velikog broja slabo zavisnih slučajnih faktora, može smatrati približno normalno raspoređenom (bez obzira na to kako su bili raspoređeni faktori koji je čine). Drugim riječima, zakon normalne distribucije je vrlo univerzalan. Postoji nekoliko numeričkih karakteristika koje su pogodne za korištenje prilikom proučavanja slučajnih varijabli. Među njima izdvajamo matematičko očekivanje jednaka prosječnoj vrijednosti slučajne varijable, varijanse D(X)=M(X-M(X))2, jednako matematičkom očekivanju kvadrata odstupanja slučajne varijable od prosječne vrijednosti i još jedne, u praksi zgodne, dodatne vrijednosti (iste dimenzije kao originalna slučajna varijabla): naziva se standardna devijacija. Pretpostavićemo (bez daljeg preciziranja) da svi pisani integrali postoje (tj. konvergiraju na čitavoj numeričkoj osi). Kao što je poznato, disperzija i standardna devijacija karakterišu stepen rasipanja slučajne varijable oko njene srednje vrednosti. Što je manja varijansa PDF kreirana probnom verzijom FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com, to su vrijednosti slučajne varijable bliže grupisane oko njene prosječne vrijednosti. Na primjer, očekivana vrijednost za Poissonovu distribuciju je ?, za uniformnu distribuciju jednaka je (a+b)/2, a za normalnu distribuciju jednaka je m. Varijanca za Poissonovu raspodjelu je jednaka ?, za uniformnu raspodjelu (b-a)2/12, a za normalnu distribuciju jednaka je?2. U nastavku će se koristiti sljedeća svojstva matematičkog očekivanja i disperzije: 1. M(X+Y)= M(X)+M(Y). 3. D(cX)=c2D(X), gdje je c proizvoljan konstantni broj. 4. D(X+A)=D(A) za proizvoljnu konstantnu (neslučajnu) vrijednost A. Slučajna varijabla?=U-MU se naziva centrirana. Iz svojstva 1 proizilazi da je M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, odnosno njegova prosječna vrijednost je 0 (za to je povezan njegov naziv). Štaviše, na osnovu svojstva 4 imamo D(?)=D(U). Postoji i korisna relacija koja je pogodna za korištenje u praksi za izračunavanje varijanse i povezanih veličina: 5. D(X)=M(X2)-M(X)2 Slučajne varijable X i Y nazivaju se nezavisnim ako su za svoje proizvoljne vrijednosti x i y, respektivno, događaji i nezavisni. Na primjer, rezultati mjerenja napona u električnoj mreži i rast glavnog energetičara preduzeća će biti nezavisni (izgleda...). Ali snaga ove električne mreže i plata glavnog inženjera energetike u preduzećima više se ne mogu smatrati nezavisnim. Ako su slučajne varijable X i Y nezavisne, tada vrijede i sljedeća svojstva (što možda neće vrijediti za proizvoljne slučajne varijable): 5. M(XY)=M(X)M(Y). 6. D(X+Y)=D(X)+D(Y). Pored pojedinačnih slučajnih varijabli X,Y,..., proučavaju se i sistemi slučajnih varijabli. Na primjer, par (X,Y) slučajnih varijabli može se tretirati kao nova slučajna varijabla čije su vrijednosti dvodimenzionalni vektori. Sistemi većeg broja slučajnih varijabli, koji se nazivaju višedimenzionalne slučajne varijable, mogu se razmatrati na sličan način. Sistemi veličina ove vrste su također specificirani njihovom funkcijom raspodjele. Na primjer, za sistem od dvije slučajne varijable ova funkcija ima oblik F(x,y)=P, to jest, jednaka je vjerovatnoći događaja da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost manju od datog broja x, a slučajna varijabla Y uzeti vrijednost manju od datog broja y. Ova funkcija se također naziva zajednička funkcija raspodjele slučajnih varijabli X i Y. Možete uzeti u obzir i srednji vektor - prirodni analog matematičkog očekivanja, ali umjesto disperzije morate proučavati nekoliko numeričkih karakteristika koje se nazivaju momenti drugog reda. To su, prvo, dvije parcijalne varijanse DX i DY PDF kreirane sa FinePrint pdfFactory probnom verzijom http://www.fineprint.com slučajnih varijabli X i Y, koje se razmatraju odvojeno, i, drugo, moment kovarijanse, detaljnije razmotren u nastavku . Ako su slučajne varijable X i Y nezavisne, onda F(x,y)=FX(x)FY(y) Proizvod funkcija distribucije slučajnih varijabli X i Y i stoga se proučavanje para nezavisnih slučajnih varijabli u velikoj mjeri svodi na jednostavno proučavanje X i Y odvojeno. Slučajne varijable Gore smo razmatrali eksperimente čiji su rezultati slučajni događaji. Međutim, često postoji potreba da se rezultati eksperimenta kvantitativno predstave u obliku određene veličine, koja se naziva slučajna varijabla. Slučajna varijabla je drugi (nakon slučajnog događaja) glavni predmet proučavanja u teoriji vjerovatnoće i pruža opštiji način opisivanja iskustva sa slučajnim ishodom od skupa slučajnih događaja. Kada smo razmatrali eksperimente sa slučajnim ishodima, već smo se bavili slučajnim varijablama. Dakle, broj uspjeha u nizu pokušaja je primjer slučajne varijable. Drugi primjeri slučajnih varijabli su: broj poziva na telefonskoj centrali po jedinici vremena; vrijeme čekanja na sljedeći poziv; broj čestica sa datom energijom u sistemima čestica koje se razmatraju u statističkoj fizici; prosječna dnevna temperatura na određenom području itd. Slučajnu varijablu karakterizira činjenica da je nemoguće točno predvidjeti vrijednost koju će uzeti, ali s druge strane, skup njenih mogućih vrijednosti je obično poznat. Dakle, za broj uspjeha u nizu pokušaja, ovaj skup je konačan, jer broj uspjeha može poprimiti vrijednosti. Skup vrijednosti slučajne varijable može se podudarati sa realnom poluosom, kao u slučaju vremena čekanja itd. Razmotrimo primjere eksperimenata sa slučajnim ishodom, za opis kojih se obično koriste slučajni događaji, i uvedemo ekvivalentan opis specificiranjem slučajne varijable. 1). Neka rezultat iskustva bude događaj ili događaj. Tada se ovaj eksperiment može povezati sa slučajnom promjenljivom koja uzima dvije vrijednosti, na primjer, i sa vjerovatnoćama i, i jednakosti se odvijaju: i. Dakle, iskustvo karakteriziraju dva ishoda s vjerovatnoćom i, ili isto iskustvo karakterizira slučajna varijabla koja uzima dvije vrijednosti i sa vjerovatnoćama i. 2). Razmislite o eksperimentu bacanja kockice. Ovdje ishod eksperimenta može biti jedan od događaja, gdje - pojava strane sa brojem. Vjerovatnoće. Hajde da uvedemo ekvivalentan opis ovog eksperimenta koristeći slučajnu varijablu koja može uzeti vrijednosti s vjerovatnoćom. 3). Niz nezavisnih ispitivanja karakteriše kompletna grupa nespojivih događaja, gde je događaj koji se sastoji od pojave uspeha u nizu pokušaja; a vjerovatnoća događaja je određena Bernoullijevom formulom, tj. Ovdje možete unijeti slučajnu varijablu - broj uspjeha, koja uzima vrijednosti s vjerovatnoćama. Dakle, niz nezavisnih ispitivanja karakteriziraju slučajni događaji sa njihovim vjerovatnoćama ili slučajna varijabla sa vjerovatnoćama onoga što uzima vrijednosti. 4). Međutim, ne postoji tako jednostavna korespondencija između slučajne varijable i skupa slučajnih događaja za svaki eksperiment sa slučajnim ishodom. Na primjer, razmotrite eksperiment u kojem se tačka nasumično baca na segment. Ovdje je prirodno uvesti slučajnu varijablu - koordinatu na segmentu gdje tačka pada. Dakle, možemo govoriti o slučajnom događaju, gdje je broj. Međutim, vjerovatnoća ovog događaja. Možete to učiniti drugačije - podijelite segment na konačan broj nepovezanih segmenata i razmotrite slučajne događaje koji se sastoje u činjenici da slučajna varijabla uzima vrijednosti iz intervala. Tada su vjerovatnoće konačne veličine. Međutim, ova metoda ima i značajan nedostatak, jer se segmenti biraju proizvoljno. Da biste eliminisali ovaj nedostatak, razmotrite segmente forme gde je varijabla. Tada je odgovarajuća vjerovatnoća funkcija argumenta. Ovo komplikuje matematički opis slučajne varijable, ali istovremeno opis (29.1) postaje jedinstven, a nejasnoća u izboru segmenata je eliminisana. Za svaki od razmatranih primjera lako je definirati prostor vjerovatnoće, gdje je prostor elementarnih događaja, algebra događaja (podskupova), i vjerovatnoća definirana za bilo koji. Na primjer, u posljednjem primjeru, - je algebra svih segmenata sadržanih u. Razmatrani primjeri vode do sljedeće definicije slučajne varijable. Neka je prostor vjerovatnoće. Slučajna varijabla je jednoznačna realna funkcija, definirana na, za koju je skup elementarnih događaja oblika događaj (tj. pripada) za svaki realan broj. Dakle, definicija zahtijeva da za svaki realan skup, a ovaj uvjet osigurava da se za svaki definira vjerovatnoća događaja. Ovaj događaj se obično označava kraćim unosom. Funkcija raspodjele vjerojatnosti Funkcija se zove funkcija raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable. Funkcija se ponekad ukratko naziva - funkcija distribucije, a takođe i - integralni zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable. Funkcija je potpuna karakteristika slučajne varijable, to jest, to je matematički opis svih svojstava slučajne varijable i ne postoji detaljniji način za opis tih svojstava. Zapazimo sljedeću važnu osobinu definicije (30.1). Često je funkcija drugačije definirana: Prema (30.1), funkcija je desno kontinuirana. Ovo pitanje će biti detaljnije razmotreno u nastavku. Ako koristimo definiciju (30.2), onda je - kontinuirano na lijevoj strani, što je posljedica primjene stroge nejednakosti u odnosu (30.2). Funkcije (30.1) i (30.2) su ekvivalentni opisi slučajne varijable, jer nije bitno koja se definicija koristi i pri proučavanju teorijskih pitanja i pri rješavanju problema. Radi određenosti, u nastavku ćemo koristiti samo definiciju (30.1). Razmotrimo primjer konstruiranja grafa funkcije. Neka slučajna varijabla ima vrijednosti, sa vjerovatnoćama, i. Dakle, ova slučajna varijabla uzima druge vrijednosti osim onih naznačenih sa nultom vjerovatnoćom:, za bilo,. Ili kako kažu, slučajna varijabla ne može uzeti druge vrijednosti osim. Neka bude za sigurno. Nađimo vrijednosti funkcije za intervale: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). Na prvom intervalu, dakle funkcija distribucije. 2). Ako, onda. Očigledno slučajni događaji i nekompatibilni, dakle, prema formuli za sabiranje vjerovatnoća. Prema uslovu, događaj je nemoguć i, a. Zato. 3). Neka bude onda. Ovdje je prvi termin, a drugi, pošto je događaj nemoguć. Dakle, za svakoga ko ispunjava uslov. 4). Neka bude onda. 5). Ako, onda. 6) Kada imamo. 7) Ako, onda. Rezultati proračuna su prikazani na sl. 30.1 graf funkcije. U tačkama prekida, kontinuitet funkcije na desnoj strani je naznačen. Osnovna svojstva funkcije raspodjele vjerovatnoće Razmotrimo glavna svojstva funkcije distribucije, koja slijede direktno iz definicije: 1. Uvedemo notaciju:. Tada to slijedi iz definicije. Ovdje se izraz smatra nemogućim događajem sa nultom vjerovatnoćom. 2. Pusti to. Tada to slijedi iz definicije funkcije. Slučajni događaj je pouzdan i njegova vjerovatnoća jednaka je jedan. 3. Vjerovatnoća slučajnog događaja koji se sastoji u činjenici da slučajna varijabla uzima vrijednost iz intervala u određena je kroz funkciju sljedećom jednakošću Da biste dokazali ovu jednakost, razmotrite relaciju. Događaji i su nekompatibilni, dakle, prema formuli za sabiranje vjerovatnoća iz (31.3) slijedi da i poklapa se sa formulom (31.2), budući da i. 4. Funkcija nije opadajuća. Za dokaz, pogledajmo. U ovom slučaju vrijedi jednakost (31.2). Njegova lijeva strana je zato što vjerovatnoća uzima vrijednosti iz intervala. Dakle, desna strana jednakosti (31.2) nije negativna:, ili. Ova jednakost se dobija pod uslovom, dakle, nije opadajuća funkcija. 5. Funkcija je desno kontinuirana u svakoj tački, tj. gdje je bilo koji niz koji teži udesno, tj. I. Da bismo to dokazali, predstavimo funkciju kao: Sada, na osnovu aksioma prebrojive aditivnosti vjerovatnoće, izraz u vitičastim zagradama je jednak, čime se dokazuje ispravan kontinuitet funkcije. Dakle, svaka funkcija raspodjele vjerovatnoće ima svojstva 1-5. Obrnuta izjava je također tačna: ako zadovoljava uslove 1-5, onda se može smatrati funkcijom distribucije neke slučajne varijable. Funkcija raspodjele vjerojatnosti diskretne slučajne varijable Slučajna varijabla se naziva diskretna ako je skup njenih vrijednosti konačan ili prebrojiv. Za potpuni probabilistički opis diskretne slučajne varijable koja uzima vrijednosti, dovoljno je navesti vjerovatnoće da slučajna varijabla uzima vrijednost. Ako su i dati, onda se funkcija raspodjele vjerovatnoće diskretne slučajne varijable može predstaviti kao: Ovdje se sumiranje vrši po svim indeksima koji zadovoljavaju uvjet. Funkcija raspodjele vjerovatnoće diskretne slučajne varijable ponekad se predstavlja kroz takozvanu jediničnu funkciju skoka. U ovom slučaju, ima oblik ako slučajna varijabla uzima konačan skup vrijednosti, a gornja granica sumiranja u (32.4) je postavljena na jednaku ako slučajna varijabla uzima prebrojiv skup vrijednosti. Primjer konstruiranja grafa funkcija raspodjele vjerovatnoće diskretne slučajne varijable razmatran je u paragrafu 30. Gustoća raspodjele vjerovatnoće Neka slučajna varijabla ima diferencijabilnu funkciju raspodjele vjerovatnoće, tada se funkcija naziva gustinom raspodjele vjerovatnoće (ili gustinom vjerovatnoće) slučajne varijable, a slučajna varijabla se naziva kontinuirana slučajna varijabla. Razmotrimo osnovna svojstva gustine vjerovatnoće. Iz definicije derivacije slijedi jednakost: Prema svojstvima funkcije vrijedi jednakost. Stoga (33.2) poprima oblik: Ovaj odnos objašnjava naziv funkcije. Zaista, prema (33.3), funkcija je vjerovatnoća po jedinici intervala u tački, jer. Dakle, gustoća vjerovatnoće definisana relacijom (33.3) je slična definicijama gustina drugih veličina poznatih u fizici, kao što su gustina struje, gustina materije, gustina naelektrisanja itd. 2. Pošto je funkcija koja nije opadajuća, njen izvod je nenegativna funkcija: 3. Iz (33.1) proizlazi, pošto. Dakle, jednakost je tačna 4. Budući da iz relacije (33.5) slijedi Jednakost koja se zove normalizacijski uvjet. Njegova lijeva strana je vjerovatnoća određenog događaja. 5. Neka onda slijedi iz (33.1) Ovaj odnos je važan za aplikacije jer omogućava izračunavanje vjerovatnoće kroz funkciju gustine vjerovatnoće ili kroz funkciju distribucije vjerovatnoće. Ako to postavimo, onda relacija (33.6) slijedi iz (33.7). Na sl. Slika 33.1 prikazuje primjere funkcije distribucije i grafika gustine vjerovatnoće. Imajte na umu da gustina raspodjele vjerovatnoće može imati nekoliko maksimuma. Vrijednost argumenta pri kojoj gustina ima maksimum naziva se način raspodjele slučajne varijable. Ako gustina ima više od jednog moda, naziva se multimodalna. Gustoća vjerovatnoće diskretne slučajne varijable distribucija diskretne gustine vjerovatnoće Neka slučajna varijabla uzima vrijednosti s vjerovatnoćom. Tada je njegova funkcija distribucije vjerovatnoće gdje je funkcija jediničnog skoka. Gustoća vjerovatnoće slučajne varijable može se odrediti iz njene funkcije raspodjele, uzimajući u obzir jednakost. Međutim, matematičke poteškoće u ovom slučaju nastaju zbog činjenice da funkcija jediničnog skoka uključena u (34.1) ima diskontinuitet prve vrste pri. Dakle, ne postoji izvod funkcije u tački. Da bi se prevazišla ova složenost, uvodi se funkcija -. Funkcija skoka jedinice može se predstaviti kroz -funkciju sljedećom jednakošću: Tada se formalno, derivacija i gustina vjerovatnoće diskretne slučajne varijable određuju iz relacije (34.1) kao izvod funkcije: Funkcija (34.4) ima sva svojstva gustine vjerovatnoće. Pogledajmo primjer. Neka diskretna slučajna varijabla uzima vrijednosti sa vjerovatnoćama, i neka,. Tada se vjerovatnoća da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz segmenta može izračunati na osnovu općih svojstava gustine koristeći formulu: Ovdje, pošto se singularna tačka funkcije određena uslovom nalazi unutar domene integracije u, a u singularnoj tački se nalazi izvan domene integracije. Dakle. Za funkciju (34.4) uvjet normalizacije je također zadovoljen: Imajte na umu da se u matematici zapis oblika (34.4) smatra netačnim (netačnim), a zapis (34.2) se smatra ispravnim. To je zbog činjenice da je - funkcija sa nultim argumentom i za koju se kaže da ne postoji. S druge strane, u (34.2) funkcija je sadržana pod integralom. Štaviše, desna strana (34.2) je konačna vrijednost za bilo koju, tj. integral funkcije - postoji. Uprkos tome, u fizici, tehnologiji i drugim primenama teorije verovatnoće, često se koristi reprezentacija gustine u obliku (34.4), što, prvo, omogućava da se dobiju tačni rezultati korišćenjem svojstava - funkcija, a drugo, ima očigledan fizički interpretacija. Primjeri funkcija distribucije gustoće i vjerovatnoće 35.1.
Za slučajnu varijablu se kaže da je ravnomjerno raspoređena na intervalu ako je njena gustina raspodjele vjerovatnoće gdje je broj određen iz uslova normalizacije: Zamjena (35.1) u (35.2) dovodi do jednakosti, čije rješenje ima oblik:. Funkcija raspodjele vjerovatnoće ravnomjerno raspoređene slučajne varijable može se naći pomoću formule (33.5), koja određuje kroz gustinu: Na sl. Na slici 35.1 prikazani su grafovi funkcija i jednoliko raspoređena slučajna varijabla. 35.2.
Slučajna varijabla se naziva normalna (ili Gausova) ako je njena gustina raspodjele vjerovatnoće: gdje su brojevi koji se nazivaju parametri funkcije. Kada funkcija uzme svoju maksimalnu vrijednost:. Parametar ima značenje efektivne širine. Pored ove geometrijske interpretacije, parametri imaju i probabilističko tumačenje, o čemu će biti reči kasnije. Iz (35.4) slijedi izraz za funkciju raspodjele vjerovatnoće gdje je Laplaceova funkcija. Na sl. 35.2 prikazuje grafikone funkcija i normalne slučajne varijable. Oznaka se često koristi da označi da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju s parametrima. 35.3.
Slučajna varijabla ima Cauchyjevu funkciju gustoće vjerovatnoće ako Ova gustina odgovara funkciji distribucije 35.4.
Za slučajnu varijablu se kaže da je raspoređena prema eksponencijalnom zakonu ako njena gustina raspodjele vjerovatnoće ima oblik: Odredimo njegovu funkciju raspodjele vjerovatnoće. Kada to slijedi iz (35.8). Ako, onda 35.5.
Rayleighova distribucija vjerovatnoće slučajne varijable određena je gustinom oblika Ova gustina odgovara funkciji raspodjele vjerovatnoće at i jednakoj at. 35.6.
Razmotrimo primjere konstruiranja funkcije distribucije i gustine diskretne slučajne varijable. Neka je slučajna varijabla broj uspjeha u nizu nezavisnih pokušaja. Tada slučajna varijabla uzima vrijednosti s vjerovatnoćom određenom Bernoullijevom formulom: gdje su vjerovatnoće uspjeha i neuspjeha u jednom eksperimentu. Dakle, funkcija raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable ima oblik gdje je funkcija skoka jedinice. Otuda i gustina distribucije: gdje je delta funkcija. Singularne slučajne varijable Pored diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, postoje i takozvane singularne slučajne varijable. Ove slučajne varijable karakteriše činjenica da je njihova funkcija raspodjele vjerovatnoće kontinuirana, ali tačke rasta čine skup nulte mjere. Tačka rasta funkcije je vrijednost njenog argumenta takva da je izvod. Dakle, skoro svuda u domenu definicije funkcije. Funkcija koja zadovoljava ovaj uslov naziva se i singularna. Primjer singularne funkcije raspodjele je Cantorova kriva (slika 36.1), koja je konstruirana na sljedeći način. Oslanja se na i na. Zatim se interval dijeli na tri jednaka dijela (segmenta) i vrijednost se određuje za unutrašnji segment - kao poluzbir već utvrđenih vrijednosti u najbližim segmentima desno i lijevo. U ovom trenutku, funkcija je definirana za, njena vrijednost i for sa vrijednošću. Poluzbroj ovih vrijednosti jednak je i određuje vrijednost na unutrašnjem segmentu. Zatim se razmatraju segmenti i svaki od njih se dijeli na tri jednaka segmenta i funkcija se određuje na unutrašnjim segmentima kao polovični zbroj vrijednosti date funkcije najbliže desno i lijevo. Dakle, kada je funkcija poput poluzbira brojeva i. Slično na intervalnoj funkciji. Funkcija se tada definira na intervalu na kojem itd. Slučajne varijable. Gustoća raspodjele funkcije i vjerovatnoće diskretne slučajne varijable. Singularne slučajne varijable. Matematičko očekivanje slučajne varijable. Čebiševljeva nejednakost. Momenti, kumulanti i karakteristična funkcija. sažetak, dodan 12.03.2007 Koncepti teorije vjerovatnoće i matematičke statistike, njihova primjena u praksi. Definicija slučajne varijable. Vrste i primjeri slučajnih varijabli. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Zakoni raspodjele kontinuirane slučajne varijable. sažetak, dodan 25.10.2015 Vjerovatnoća da slučajna varijabla X padne u dati interval. Iscrtavanje funkcije distribucije slučajne varijable. Određivanje vjerovatnoće da nasumično uzet proizvod ispunjava standard. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. test, dodano 24.01.2013 Diskretne slučajne varijable i njihove distribucije. Formula ukupne vjerovatnoće i Bayesova formula. Opća svojstva matematičkog očekivanja. Varijanca slučajne varijable. Funkcija distribucije slučajne varijable. Klasična definicija vjerovatnoće. test, dodano 13.12.2010 Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable, gustina distribucije vjerovatnoće sistema. Kovarijansa. Koeficijent korelacije. laboratorijski rad, dodano 19.08.2002 Karakteristike funkcije distribucije kao najuniverzalnije karakteristike slučajne varijable. Opis njegovih svojstava, njihovo predstavljanje pomoću geometrijske interpretacije. Pravilnosti izračunavanja vjerovatnoće distribucije diskretne slučajne varijable. prezentacija, dodano 01.11.2013 Određivanje vjerovatnoća različitih događaja korištenjem Bernoullijeve formule. Izrada zakona raspodjele diskretne slučajne varijable, izračunavanje matematičkog očekivanja, disperzije i standardne devijacije slučajne varijable, gustoće vjerovatnoće. test, dodano 31.10.2013 Korištenje Bernoullijeve formule za pronalaženje vjerovatnoće da će se događaj dogoditi. Iscrtavanje grafa diskretne slučajne varijable. Matematičko očekivanje i svojstva integralne funkcije distribucije. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable. test, dodano 29.01.2014 Teorija vjerovatnoće i obrasci masovnih slučajnih pojava. Nejednakost i Čebiševljev teorem. Numeričke karakteristike slučajne varijable. Gustoća distribucije i Fourierova transformacija. Karakteristična funkcija Gausove slučajne varijable. sažetak, dodan 24.01.2011 Izračunavanje matematičkog očekivanja, varijanse, funkcije distribucije i standardne devijacije slučajne varijable. Zakon raspodjele slučajne varijable. Klasična definicija vjerovatnoće događaja. Pronalaženje gustine distribucije.
Slični dokumenti
