Video lekcija „Koordinatna ravan. Konstruisanje prave linije koristeći njenu jednačinu Kako konstruisati pravu liniju na koordinatnoj ravni

§ 1 Koordinatni sistem: definicija i način izgradnje

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmovima „koordinatni sistem“, „koordinatna ravan“, „koordinatne ose“ i naučiti kako da konstruišemo tačke na ravni koristeći koordinate.

Uzmimo koordinatnu liniju x sa početnom tačkom O, pozitivnim smjerom i jediničnim segmentom.

Kroz ishodište koordinata, tačku O koordinatne linije x, povlačimo drugu koordinatnu liniju y, okomitu na x, postavljamo pozitivni smjer prema gore, jedinični segment je isti. Tako smo izgradili koordinatni sistem.

Hajde da damo definiciju:

Dve međusobno okomite koordinatne prave koje se seku u tački, koja je ishodište koordinata svake od njih, formiraju koordinatni sistem.

§ 2 Koordinatna osa i koordinatna ravan

Prave koje čine koordinatni sistem nazivaju se koordinatne ose, od kojih svaka ima svoje ime: koordinatna linija x je osa apscise, koordinatna linija y je osa ordinata.

Ravan na kojoj je odabran koordinatni sistem naziva se koordinatna ravan.

Opisani koordinatni sistem naziva se pravougaoni. Često se naziva Kartezijanski koordinatni sistem u čast francuskog filozofa i matematičara Rene Descartesa.

Svaka tačka na koordinatnoj ravni ima dve koordinate, koje se mogu odrediti spuštanjem okomita iz tačke na koordinatnoj osi. Koordinate tačke na ravni su par brojeva, od kojih je prvi broj apscisa, drugi broj je ordinata. Apscisa je okomita na x-osu, ordinata je okomita na y-osu.

Označimo tačku A na koordinatnoj ravni i iz nje povučemo okomite na ose koordinatnog sistema.

Duž okomice na osu apscisa (x-osa), određujemo apscisu tačke A, ona je jednaka 4, ordinata tačke A - duž okomice na osu ordinata (y-osa) je 3. Koordinate naše tačke su 4 i 3. A (4;3). Dakle, koordinate se mogu pronaći za bilo koju tačku na koordinatnoj ravni.

§ 3 Konstrukcija tačke na ravni

Kako konstruisati tačku na ravni sa datim koordinatama, tj. Koristeći koordinate tačke na ravni, odrediti njen položaj? U ovom slučaju, korake izvodimo obrnutim redoslijedom. Na koordinatnim osama nalazimo tačke koje odgovaraju zadatim koordinatama, kroz koje povlačimo prave linije okomite na x i y ose. Tačka presjeka okomita bit će željena, tj. tačka sa datim koordinatama.

Završimo zadatak: konstruirajmo tačku M (2;-3) na koordinatnoj ravni.

Da biste to učinili, pronađite tačku s koordinatom 2 na x-osi i kroz ovu tačku povucite pravu liniju okomitu na x-osu. Na ordinatnoj osi nalazimo tačku sa koordinatom -3, kroz nju povlačimo pravu liniju okomitu na os y. Tačka preseka okomitih linija biće data tačka M.

Pogledajmo sada nekoliko posebnih slučajeva.

Označimo tačke A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) na koordinatnoj ravni.

Apscise ovih tačaka su jednake 0. Slika pokazuje da su sve tačke na ordinatnoj osi.

Prema tome, tačke čije su apscise jednake nuli leže na osi ordinata.

Zamenimo koordinate ovih tačaka.

Rezultat će biti A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). U ovom slučaju, sve ordinate su jednake 0, a tačke su na x-osi.

To znači da tačke čije su ordinate jednake nuli leže na osi apscise.

Pogledajmo još dva slučaja.

Na koordinatnoj ravni označite tačke M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Lako je uočiti da su sve apscise tačaka iste. Ako su ove tačke povezane, dobijate pravu liniju paralelnu sa ordinatnom osom i okomitu na osu apscise.

Zaključak se nameće sam od sebe: tačke koje imaju istu apscisu leže na istoj pravoj liniji, koja je paralelna sa ordinatnom osom i okomita na osu apscise.

Ako zamijenite koordinate tačaka M, N, P, dobijate M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Ordinate tačaka će biti iste. U ovom slučaju, ako spojite ove točke, dobit ćete ravnu liniju paralelnu s osi apscise i okomitu na os ordinate.

Dakle, tačke koje imaju istu ordinatu leže na istoj pravoj liniji koja je paralelna sa osom apscisa i okomita na osu ordinate.

U ovoj lekciji ste se upoznali sa pojmovima „koordinatni sistem“, „koordinatna ravan“, „koordinatne osi - apscisa i ordinatna osa“. Naučili smo kako pronaći koordinate tačke na koordinatnoj ravni i naučili kako da konstruišemo tačke na ravni koristeći njene koordinate.

Spisak korišćene literature:

Matematika. 6. razred: planovi časova za udžbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-sastavljač L.A. Topilina. – Mnemosyne, 2009.
Matematika. 6. razred: udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
Matematika. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove/G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov i drugi/priredio G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Ruska akademija nauka, Ruska akademija obrazovanja. - M.: "Prosvjeta", 2010
Priručnik iz matematike - http://lyudmilanik.com.ua
Priručnik za učenike srednjih škola http://shkolo.ru

Prava linija je potpuno definirana ako su poznate dvije tačke koje joj pripadaju. Da bismo konstruisali pravu liniju koristeći njenu jednačinu, potrebno je, koristeći ovu jednačinu, pronaći koordinate njene dve tačke. Treba imati na umu da ako tačka pripada pravoj, onda koordinate ove tačke zadovoljavaju jednadžbu prave.

Kada se u praksi konstruiše prava pomoću njene jednačine, najprecizniji graf će se dobiti kada su koordinate dviju tačaka koje su uzete da se konstruiše cijeli brojevi.

1. Ako je prava definisana opštom jednačinom Ax + By + C= 0 i , tada je najlakši način da se konstruiše da se odrede tačke preseka prave sa koordinatnim osa.

Naznačimo kako odrediti koordinate tačaka presjeka prave linije sa koordinatnim osa. Koordinate tačke preseka linije sa osom Ox nalaze se iz sljedećih razmatranja: ordinate svih tačaka koje se nalaze na osi Ox, jednaki su nuli. U jednačini prave se pretpostavlja da y jednako nuli, a iz rezultirajuće jednačine se nalazi x. Pronađena vrijednost x i je apscisa tačke preseka prave sa osom Ox. Ako se to ispostavi x = a, zatim koordinate tačke preseka prave sa osom Ox bit će ( a, 0).

Odrediti koordinate tačke preseka prave sa osom Oy, oni razmišljaju ovako: apscise svih tačaka koje se nalaze na osi Oy, jednaki su nuli. Uzimanje prave linije u jednadžbi x jednak nuli, iz rezultirajuće jednačine određujemo y. Pronađena vrijednost y i bit će ordinata presjeka prave sa osom Oy. Ako se ispostavi, na primjer, da y = b, zatim tačka preseka prave linije sa osom Oy ima koordinate (0, b).

Primjer. Direktno 2 x + y- 6 = 0 prelazi os Ox u tački (3, 0). Zaista, uzimajući ovu jednačinu y= 0, moramo odrediti x jednačina 2 x- 6 = 0, odakle x = 3.

Odrediti tačku presjeka ove linije sa osom Oy, staviti u jednadžbu prave linije x= 0. Dobijamo jednačinu y- 6 = 0, iz čega sledi da y= 6. Dakle, prava linija seče koordinatne ose u tačkama (3, 0) i (0, 6).

Ako u opštoj jednačini prave C= 0, tada prava linija definisana ovom jednačinom prolazi kroz ishodište. Dakle, jedna od njegovih tačaka je već poznata, a da bi se konstruisala prava linija, ostaje samo da se pronađe još jedna njena tačka. Abscisa x ova tačka je postavljena proizvoljno, a ordinata y nalazi se iz jednačine prave linije.

Primjer. Direktno 2 x - 4y= 0 prolazi kroz ishodište. Određujemo drugu tačku prave uzimajući npr. x= 2. Zatim odrediti y dobijamo jednačinu 2*2 - 4 y = 0; 4y = 4; y= 1. Dakle, red 2 x - 4y= 0 prolazi kroz tačke (0, 0) i (2, 1).

Ako je prava data jednadžbom y = kx + b sa ugaonim koeficijentom, tada je vrijednost segmenta već poznata iz ove jednačine b, odsječen pravom linijom na osi ordinata, a za konstruiranje prave ostaje odrediti koordinate još samo jedne tačke koja pripada ovoj pravoj liniji. Ako u jednadžbi y = kx + b, tada je najlakše odrediti koordinate tačke preseka prave sa osom Ox. Gore je naznačeno kako se to radi.

Ako je u jednadžbi y = kx + b b= 0, tada prava prolazi kroz ishodište koordinata, pa je jedna tačka koja joj pripada već poznata. Da biste pronašli drugu tačku, trebali biste dati x bilo koju vrijednost i odredite direktnu vrijednost iz jednačine y, što odgovara ovoj vrijednosti x.

Primjer. Prava prolazi kroz ishodište i tačku (2, 1), od kada x= 2 iz njene jednačine.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva centar snopa.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2), napisano ovako:

Ugaoni koeficijent prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A I B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije prave date jednadžbama sa nagibom

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tada je ugao između njih određen formulom

Treba napomenuti da se u brojiocu razlomka nagib prve linije oduzima od nagiba druge linije.

Ako su jednačine prave date u opštem obliku

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ugao između njih određen je formulom

4. Uslovi za paralelizam dve prave:

a) Ako su prave date jednadžbama (4) sa ugaonim koeficijentom, tada je neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam jednakost njihovih ugaonih koeficijenata:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za slučaj kada su prave date jednačinama u opštem obliku (6), neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam je da su koeficijenti za odgovarajuće strujne koordinate u njihovim jednačinama proporcionalni, tj.

5. Uslovi za okomitost dvije prave:

a) U slučaju kada su linije date jednačinama (4) sa ugaonim koeficijentom, neophodan i dovoljan uslov za njihovu okomitost je da su njihovi ugaoni koeficijenti inverzni po veličini i suprotni po predznaku, tj.

Dve međusobno okomite koordinatne linije koje se seku u tački O - ishodište reference, oblik pravougaoni koordinatni sistem, koji se naziva i Kartezijanski koordinatni sistem.
Poziva se ravan na kojoj se bira koordinatni sistem koordinatna ravan. Koordinatne linije se nazivaju koordinatne ose. Horizontalna osa je osa apscisa (Ox), vertikalna osa je osa ordinata (Oy).
Koordinatne ose dele koordinatnu ravan na četiri dela - četvrtine. Serijski brojevi četvrtina se obično broje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Bilo koja tačka u koordinatnoj ravni određena je svojim koordinatama - apscisa i ordinata. na primjer, A(3; 4). Čitaj: tačka A sa koordinatama 3 i 4. Ovdje 3 je apscisa, 4 je ordinata.

I. Konstrukcija tačke A(3; 4).

Abscisa 3 pokazuje da od početka odbrojavanja - tačke O treba pomeriti udesno 3 jedinični segment, a zatim ga postavite 4 jedinični segment i stavite tačku.

Ovo je poenta A(3; 4).

Konstrukcija tačke B(-2; 5).

Od nule se krećemo lijevo 2 jedan segment, a zatim gore 5 pojedinačni segmenti.

Hajde da stavimo tačku na to IN.

Obično se uzima jedinični segment 1 ćelija.

II. Konstruirajte tačke u koordinatnoj ravni xOy:

A (-3; 1);B(-1;-2);

C(-2:4);D (2; 3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Odredite koordinate konstruisanih tačaka: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);B(-2; 0);

C(3; 4);D (6; 5);

Ž (0; -3);K (5; -2).

Hajde da pokažemo kako se prave transformišu ako se u jednačinu za specifikaciju prave uvede znak modula.

Neka nam je jednačina F(x;y)=0(*)

· Jednačina F(|x|;y)=0 određuje liniju simetričnu u odnosu na ordinatu. Ako je ova prava, data jednadžbom (*), već konstruirana, tada ostavljamo dio prave desno od ordinatne ose, a zatim ga simetrično dopunjavamo lijevo.

· Jednačina F(x;|y|)=0 specificira liniju simetričnu u odnosu na osu apscise. Ako je ova linija, data jednadžbom (*), već konstruisana, onda ostavljamo dio prave iznad x-ose, a zatim ga simetrično dopunjavamo odozdo.

· Jednačina F(|x|;|y|)=0 određuje liniju simetričnu u odnosu na koordinatne ose. Ako je prava koja je određena jednadžbom (*) već konstruisana, onda dio prave ostavljamo u prvoj četvrtini, a zatim je kompletiramo na simetričan način.

Razmotrite sljedeće primjere

Primjer 1.

Neka nam je ravna linija data jednadžbom:

(1), gdje je a>0, b>0.

Konstruisati linije date jednadžbama:

Rješenje:

Prvo ćemo izgraditi originalnu liniju, a zatim ćemo, koristeći preporuke, izgraditi preostale linije.

(1)

(2)

-a

(3)

-b

-a

(5)

-b

Primjer 5

Nacrtajte na koordinatnu ravan površinu definisanu nejednakošću:

Rješenje:

Prvo konstruišemo granicu regiona, datu jednadžbom:

| (5)

U prethodnom primjeru dobili smo dvije paralelne prave koje dijele koordinatnu ravan na dvije oblasti:

Područje između linija

Područje izvan linija.

Da bismo odabrali našu oblast, uzmimo kontrolnu tačku, na primjer, (0;0) i zamijenimo je u ovu nejednakost: 0≤1 (ispravno)®područje između linija, uključujući granicu.

Imajte na umu da ako je nejednakost stroga, onda granica nije uključena u regiju.

Sačuvajmo ovaj krug i konstruirajmo onaj koji je simetričan u odnosu na ordinatnu osu. Sačuvajmo ovaj krug i konstruirajmo onaj koji je simetričan u odnosu na osu apscise. Sačuvajmo ovaj krug i konstruirajmo onaj koji je simetričan u odnosu na osu apscise. i ordinatne ose. Kao rezultat, dobijamo 4 kruga. Imajte na umu da je centar kružnice u prvoj četvrtini (3;3), a poluprečnik je R=3.

-3