Nakon što ste dobili opću ideju o jednakosti i upoznali se s jednom od njihovih vrsta - numeričkim jednakostima, možete početi govoriti o drugoj vrsti jednakosti koja je vrlo važna s praktične točke gledišta - jednadžbi. U ovom članku ćemo pogledati šta je jednačina, i ono što se naziva korijenom jednačine. Ovdje ćemo dati odgovarajuće definicije, kao i dati različite primjere jednačina i njihovih korijena.

Navigacija po stranici.

Šta je jednačina?

Ciljano upoznavanje jednačina obično počinje na časovima matematike u 2. razredu. U ovom trenutku dato je sljedeće definicija jednačine:

Definicija.

Jednačina je jednakost koja sadrži nepoznati broj koji treba pronaći.

Nepoznati brojevi u jednadžbama obično se označavaju malim latiničnim slovima, na primjer, p, t, u, itd., ali se najčešće koriste slova x, y i z.

Dakle, jednačina je određena sa stanovišta oblika pisanja. Drugim riječima, jednakost je jednačina kada poštuje navedena pravila pisanja – sadrži slovo čiju vrijednost treba pronaći.

Navedimo primjere prvih i najčešćih jednostavne jednačine. Počnimo sa jednadžbama oblika x=8, y=3, itd. Jednačine koje sadrže aritmetičke znakove zajedno sa brojevima i slovima izgledaju malo komplikovanije, na primjer, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Raznolikost jednačina raste nakon upoznavanja - počinju da se pojavljuju jednačine sa zagradama, na primjer, 2·(x−1)=18 i x+3·(x+2·(x−2))=3. Nepoznato slovo u jednačini može se pojaviti nekoliko puta, na primjer, x+3+3·x−2−x=9, također slova mogu biti na lijevoj strani jednačine, na njenoj desnoj strani ili na obje strane jednačine jednačina, na primjer, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 ili 3·x−4=2·(x+12) .

Dalje nakon studiranja prirodni brojevi dolazi do upoznavanja s cijelim, racionalnim, realnim brojevima, proučavaju se novi matematički objekti: stepeni, korijeni, logaritmi itd., a pojavljuje se sve više novih vrsta jednačina koje sadrže ove stvari. Njihove primjere možete vidjeti u članku osnovne vrste jednačina studiranje u školi.

U 7. razredu, uz slova, koja označavaju neke specifične brojeve, počinju da razmatraju slova koja mogu poprimiti različite vrijednosti, nazivaju se promjenljivim (vidi članak). Istovremeno se u definiciju jednačine uvodi riječ "varijabla" i ona postaje ovako:

Definicija.

Jednačina pozvati jednakost koja sadrži varijablu čiju vrijednost treba pronaći.

Na primjer, jednačina x+3=6·x+7 je jednačina sa varijablom x, a 3·z−1+z=0 je jednačina sa varijablom z.

Na časovima algebre u istom 7. razredu nailazimo na jednačine koje sadrže ne jednu, već dvije različite nepoznate varijable. Zovu se jednadžbe u dvije varijable. U budućnosti je dozvoljeno prisustvo tri ili više varijabli u jednačinama.

Definicija.

Jednačine sa jedan, dva, tri itd. varijable– to su jednačine koje u svom pisanju sadrže jednu, dvije, tri, ... nepoznate varijable, respektivno.

Na primjer, jednačina 3.2 x+0.5=1 je jednačina sa jednom promjenljivom x, zauzvrat, jednačina oblika x−y=3 je jednačina sa dvije varijable x i y. I još jedan primjer: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Jasno je da je takva jednačina jednačina sa tri nepoznate varijable x, y i z.

Šta je korijen jednačine?

Definicija jednačine je direktno povezana sa definicijom korijena ove jednačine. Hajde da sprovedemo neko rezonovanje koje će nam pomoći da razumemo šta je koren jednačine.

Recimo da imamo jednačinu sa jednim slovom (varijabilnom). Ako se umjesto slova uključenog u unos ove jednačine zamijeni određeni broj, tada se jednačina pretvara u brojčanu jednakost. Štaviše, rezultirajuća jednakost može biti istinita ili netačna. Na primjer, ako zamijenite broj 2 umjesto slova a u jednačini a+1=5, dobit ćete netačnu brojčanu jednakost 2+1=5. Ako u ovoj jednačini zamijenimo broj 4 umjesto a, dobićemo tačnu jednakost 4+1=5.

U praksi, u velikoj većini slučajeva, interes su one vrijednosti varijable čija zamjena u jednadžbi daje tačnu jednakost, nazivaju se korijeni ili rješenja ove jednadžbe.

Definicija.

Korijen jednadžbe- to je vrijednost slova (varijable), čijom zamjenom se jednačina pretvara u tačnu brojčanu jednakost.

Imajte na umu da se korijen jednadžbe u jednoj varijabli naziva i rješenje jednačine. Drugim riječima, rješenje jednačine i korijen jednačine su ista stvar.

Objasnimo ovu definiciju na primjeru. Da bismo to uradili, vratimo se na jednačinu napisanu iznad a+1=5. Prema navedenoj definiciji korijena jednačine, broj 4 je korijen ove jednačine, jer zamjenom ovog broja umjesto slova a dobijamo tačnu jednakost 4+1=5, a broj 2 nije njen korijen, jer odgovara netačnoj jednakosti oblika 2+1= 5.

U ovom trenutku postavljaju se brojna prirodna pitanja: „Da li bilo koja jednadžba ima korijen i koliko korijena ima?“ zadata jednačina"? Mi ćemo im odgovoriti.

Postoje i jednadžbe koje imaju korijen i jednačine koje nemaju korijen. Na primjer, jednačina x+1=5 ima korijen 4, ali jednačina 0 x=5 nema korijena, jer bez obzira koji broj zamijenimo u ovoj jednačini umjesto varijable x, dobićemo netačnu jednakost 0=5 .

Što se tiče broja korijena jednadžbe, postoje i jednadžbe koje imaju određeni konačan broj korijena (jedan, dva, tri, itd.) i jednačine koje imaju beskonačan broj korijena. Na primjer, jednačina x−2=4 ima jedan korijen 6, korijeni jednačine x 2 =9 su dva broja −3 i 3, jednačina x·(x−1)·(x−2)=0 ima tri korijena 0, 1 i 2, a rješenje jednačine x=x je bilo koji broj, odnosno ima beskonačan broj korijena.

Treba reći nekoliko riječi o prihvaćenom zapisu za korijene jednačine. Ako jednačina nema korijena, obično pišu „jednačina nema korijena“ ili koriste znak praznog skupa ∅. Ako jednadžba ima korijene, onda se oni pišu odvojeni zarezima ili pišu kao elemenata skupa u vitičastim zagradama. Na primjer, ako su korijeni jednadžbe brojevi −1, 2 i 4, onda napišite −1, 2, 4 ili (−1, 2, 4). Također je dozvoljeno zapisati korijene jednačine u obliku jednostavnih jednakosti. Na primjer, ako jednadžba uključuje slovo x, a korijeni ove jednadžbe su brojevi 3 i 5, tada možete napisati x=3, x=5, a indeksi x 1 =3, x 2 =5 se često dodaju na varijablu, kao da ukazuje na korijene brojeva jednadžbe. Beskonačan skup korijena jednadžbe obično se piše u obliku, ako je moguće, oznaka za skupove prirodnih brojeva N, cijelih brojeva Z, realni brojevi R. Na primjer, ako je korijen jednadžbe s promjenljivom x bilo koji cijeli broj, onda napišite , a ako su korijeni jednadžbe s varijablom y bilo koji realni broj od 1 do 9 uključujući, onda napišite .

Za jednačine sa dva, tri i veliki broj varijable se po pravilu ne koristi termin „koren jednačine“ u ovim slučajevima se kaže „rešenje jednačine“. Šta se zove rješavanje jednadžbi s više varijabli? Dajemo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Rješavanje jednačine sa dva, tri itd. varijable zove se par, trojka, itd. vrijednosti varijabli, pretvarajući ovu jednačinu u ispravnu numeričku jednakost.

Hajde da pokažemo primere za objašnjenje. Razmotrimo jednačinu sa dvije varijable x+y=7. Zamijenimo broj 1 umjesto x, i broj 2 umjesto y, i imamo jednakost 1+2=7. Očigledno je netačno, dakle, par vrijednosti x=1, y=2 nije rješenje napisane jednačine. Ako uzmemo par vrijednosti x=4, y=3, tada ćemo nakon zamjene u jednadžbu doći do tačne jednakosti 4+3=7, dakle, ovaj par vrijednosti varijabli, po definiciji, predstavlja rješenje na jednačinu x+y=7.

Jednačine s više varijabli, poput jednadžbi s jednom promjenljivom, mogu imati bez korijena, mogu imati konačan broj korijena ili mogu imati beskonačan broj korijena.

Parovi, trojke, četvorke itd. Vrijednosti varijabli se često pišu ukratko, navodeći njihove vrijednosti odvojene zarezima u zagradama. U ovom slučaju, brojevi upisani u zagradama odgovaraju varijablama u abecednim redom. Razjasnimo ovu tačku vraćanjem na prethodnu jednačinu x+y=7. Rješenje ove jednačine x=4, y=3 može se ukratko zapisati kao (4, 3).

Najveća pažnja u školskom kursu matematike, algebre i počecima analize posvećena je pronalaženju korena jednačina sa jednom promenljivom. U članku ćemo detaljno razmotriti pravila ovog procesa. rješavanje jednačina.

Reference.

• Matematika. 2 klase Udžbenik za opšte obrazovanje institucije sa pril. po elektronu nosilac. U 14 sati 1. dio / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, itd.] - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2012. - 96 str.: ilustr. - (Ruska škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• algebra: udžbenik za 7. razred opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra: 9. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Nakon što smo proučili pojam jednakosti, odnosno jedan od njihovih tipova - numeričke jednakosti, možemo prijeći na drugu važnu vrstu - jednačine. U okviru ovog materijala objasnićemo šta je jednačina i njen koren, formulisati osnovne definicije i dati razni primjeri jednadžbe i pronalaženje njihovih korijena.

Koncept jednačine

Obično se koncept jednačine proučava na samom početku školski kurs algebra. Tada se definiše ovako:

Definicija 1

Jednačina zove se jednakost sa nepoznati broj, koje treba pronaći.

Uobičajeno je da se nepoznanice označavaju kao male latiničnim slovima, na primjer, t, r, m itd., ali najčešće se koriste x, y, z. Drugim riječima, jednačina je određena oblikom njenog zapisa, odnosno jednakost će biti jednačina tek kada se svede na određeni oblik – mora sadržavati slovo, vrijednost koja se mora pronaći.

Navedimo nekoliko primjera najjednostavnijih jednadžbi. To mogu biti jednakosti oblika x = 5, y = 6, itd., kao i one koje uključuju aritmetičke operacije, na primjer, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Nakon što se prouči pojam zagrada, pojavljuje se koncept jednačina sa zagradama. To uključuje 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, itd. Slovo koje treba pronaći može se pojaviti više puta, ali nekoliko puta, npr. , na primjer, u jednadžbi x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Također, nepoznate se mogu nalaziti ne samo na lijevoj, već i na desnoj ili na oba dijela istovremeno, na primjer, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 ili 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Nadalje, nakon što se učenici upoznaju s pojmovima cijelih, realnih, racionalnih, prirodnih brojeva, kao i logaritma, korijena i potencija, pojavljuju se nove jednadžbe koje uključuju sve ove objekte. Primjerima takvih izraza posvetili smo poseban članak.

U nastavnom planu i programu 7. razreda prvi put se pojavljuje koncept varijabli. Ovo su pisma koja mogu uzeti različita značenja(Za više informacija pogledajte članak o numeričkim, literalnim i varijabilnim izrazima). Na osnovu ovog koncepta, možemo redefinirati jednačinu:

Definicija 2

Jednačina je jednakost koja uključuje varijablu čiju vrijednost treba izračunati.

To jest, na primjer, izraz x + 3 = 6 x + 7 je jednačina sa varijablom x, a 3 y − 1 + y = 0 je jednačina sa varijablom y.

Jedna jednačina može imati više od jedne varijable, ali dvije ili više. One se nazivaju jednadžbe sa dvije, tri varijable, itd. Zapišimo definiciju:

Definicija 3

Jednačine sa dvije (tri, četiri ili više) varijable su jednačine koje uključuju odgovarajući broj nepoznatih.

Na primjer, jednakost oblika 3, 7 x + 0, 6 = 1 je jednačina sa jednom varijablom x, a x − z = 5 je jednačina sa dvije varijable x i z. Primjer jednačine sa tri varijable bi bio x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Korijen jednadžbe

Kada govorimo o jednadžbi, odmah se javlja potreba da se definiše pojam njenog korena. Hajde da pokušamo da objasnimo šta to znači.

Primjer 1

Dobili smo određenu jednačinu koja uključuje jednu varijablu. Ako nepoznato slovo zamijenimo brojem, jednačina postaje numerička jednakost – tačna ili netačna. Dakle, ako u jednadžbi a + 1 = 5 zamijenimo slovo brojem 2, tada će jednakost postati netačna, a ako je 4, tada će tačna jednakost biti 4 + 1 = 5.

Više nas zanimaju upravo one vrijednosti s kojima će se varijabla pretvoriti u pravu jednakost. Zovu se korijeni ili rješenja. Hajde da zapišemo definiciju.

Definicija 4

Korijen jednadžbe Oni nazivaju vrijednost varijable koja pretvara datu jednačinu u pravu jednakost.

Korijen se također može nazvati rješenjem, ili obrnuto - oba ova koncepta znače istu stvar.

Primjer 2

Uzmimo primjer da razjasnimo ovu definiciju. Gore smo dali jednačinu a + 1 = 5. Prema definiciji, korijen će u ovom slučaju biti 4, jer kada se zamijeni umjesto slova daje tačnu brojčanu jednakost, a dva neće biti rješenje, jer odgovara netačnoj jednakosti 2 + 1 = 5.

Koliko korijena može imati jedna jednačina? Da li svaka jednadžba ima korijen? Hajde da odgovorimo na ova pitanja.

Jednačine koje nemaju jedan korijen također postoje. Primjer bi bio 0 x = 5. U njega možemo zamijeniti beskonačan broj različitih brojeva, ali nijedan od njih ga neće pretvoriti u pravu jednakost, jer množenje sa 0 uvijek daje 0.

Postoje i jednadžbe koje imaju nekoliko korijena. Mogu imati ili konačan ili beskonačan broj korijena.

Primjer 3

Dakle, u jednačini x − 2 = 4 postoji samo jedan korijen - šest, u x 2 = 9 dva korijena - tri i minus tri, u x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tri korijena - nula, jedan i dva, postoji beskonačno mnogo korijena u jednačini x=x.

Sada ćemo objasniti kako ispravno napisati korijene jednadžbe. Ako ih nema, onda pišemo: "jednačina nema korijena." U ovom slučaju možete naznačiti i predznak praznog skupa ∅. Ako postoje korijeni, onda ih pišemo odvojene zarezima ili ih označavamo kao elemente skupa, zatvarajući ih u vitičaste zagrade. Dakle, ako bilo koja jednačina ima tri korijena - 2, 1 i 5, onda pišemo - 2, 1, 5 ili (- 2, 1, 5).

Dozvoljeno je pisati korijene u obliku jednostavnih jednakosti. Dakle, ako je nepoznata u jednadžbi označena slovom y, a korijeni su 2 i 7, onda pišemo y = 2 i y = 7. Ponekad se slovima dodaju indeksi, na primjer, x 1 = 3, x 2 = 5. Na taj način ukazujemo na brojeve korijena. Ako jednadžba ima beskonačan broj rješenja, onda odgovor pišemo kao numerički interval ili koristimo općeprihvaćenu notaciju: skup prirodnih brojeva označava se N, cijeli brojevi - Z, realni brojevi - R. Recimo, ako treba da zapišemo da će rješenje jednadžbe biti bilo koji cijeli broj, onda pišemo da je x ∈ Z, a ako je bilo koji realan broj od jedan do devet, onda je y ∈ 1, 9.

Kada jednačina ima dva, tri korijena ili više, tada se po pravilu ne govori o korijenima, već o rješenjima jednačine. Formulirajmo definiciju rješenja jednadžbe s nekoliko varijabli.

Definicija 5

Rješenje jednadžbe s dvije, tri ili više varijabli su dvije, tri ili više vrijednosti varijabli koje datu jednadžbu pretvaraju u ispravnu numeričku jednakost.

Objasnimo definiciju na primjerima.

Primjer 4

Recimo da imamo izraz x + y = 7, koji je jednadžba sa dvije varijable. Zamijenimo jedan umjesto prvog, a dva umjesto drugog. Dobićemo netačnu jednakost, što znači da ovaj par vrijednosti neće biti rješenje ove jednačine. Ako uzmemo par 3 i 4, onda jednakost postaje istinita, što znači da smo pronašli rješenje.

Takve jednadžbe također mogu imati bez korijena ili ih ima beskonačan broj. Ako treba da zapišemo dve, tri, četiri ili više vrednosti, onda ih pišemo odvojene zarezima u zagradama. Odnosno, u gornjem primjeru, odgovor će izgledati kao (3, 4).

U praksi se najčešće morate baviti jednadžbama koje sadrže jednu varijablu. Algoritam za njihovo rješavanje detaljno ćemo razmotriti u članku posvećenom rješavanju jednadžbi.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Rješavanje jednačina u matematici zauzima posebno mjesto. Ovom procesu prethodi mnogo sati izučavanja teorije, tokom kojih student uči kako rješavati jednačine, određivati ​​njihov tip i dovoditi vještinu do potpune automatizacije. Međutim, potraga za korijenima nema uvijek smisla, jer oni možda jednostavno ne postoje. Postoje posebne tehnike za pronalaženje korijena. U ovom članku ćemo analizirati glavne funkcije, njihove domene definicije, kao i slučajeve kada nedostaju njihovi korijeni.

Koja jednačina nema korijen?

Jednačina nema korijena ako nema pravih argumenata x za koje je jednačina identično istinita. Za nespecijaliste, ova formulacija, kao i većina matematičkih teorema i formula, izgleda vrlo nejasno i apstraktno, ali to je u teoriji. U praksi sve postaje krajnje jednostavno. Na primjer: jednadžba 0 * x = -53 nema rješenja, jer ne postoji broj x čiji bi proizvod sa nulom dao nešto drugo osim nule.

Sada ćemo pogledati najviše osnovne vrste jednačine.

1. Linearna jednačina

Jednačina se naziva linearnom ako su njena desna i lijeva strana predstavljene u obliku linearne funkcije: ax + b = cx + d ili u generaliziranom obliku kx + b = 0. Gdje su a, b, c, d poznati brojevi, a x je nepoznata veličina. Koja jednačina nema korijen? Primjeri linearnih jednadžbi prikazani su na donjoj ilustraciji.

U osnovi, linearne jednadžbe se rješavaju jednostavnim prenošenjem broja u jedan dio, a sadržaja x u drugi. Rezultat je jednačina oblika mx = n, gdje su m i n brojevi, a x je nepoznanica. Da biste pronašli x, samo podijelite obje strane sa m. Tada je x = n/m. Većina linearnih jednadžbi ima samo jedan korijen, ali postoje slučajevi kada postoji ili beskonačno mnogo korijena ili uopće nema korijena. Kada je m = 0 i n = 0, jednačina ima oblik 0 * x = 0. Rješenje takve jednačine će biti apsolutno bilo koji broj.

Međutim, koja jednačina nema korijen?

Za m = 0 i n = 0, jednadžba nema korijen u skupu realnih brojeva. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - ove jednačine nemaju korijena.

2. Kvadratna jednadžba

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0 za a = 0. Najčešće rješenje je preko diskriminanta. Formula za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednačine je: D = b 2 - 4 * a * c. Dalje su dva korijena x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Za D > 0 jednačina ima dva korijena, za D = 0 ima jedan korijen. Ali koja kvadratna jednadžba nema korijen? Najlakši način za promatranje broja korijena kvadratne jednadžbe je grafički prikaz funkcije, koja je parabola. Za a > 0 grane su usmjerene prema gore, za a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Također možete vizualno odrediti broj korijena bez izračunavanja diskriminanta. Da biste to učinili, morate pronaći vrh parabole i odrediti u kojem smjeru su grane usmjerene. Koordinata x vrha se može odrediti pomoću formule: x 0 = -b / 2a. U ovom slučaju, koordinata y vrha se nalazi jednostavnom zamjenom vrijednosti x 0 u originalnu jednačinu.

Kvadratna jednačina x 2 - 8x + 72 = 0 nema korijena, jer ima negativan diskriminant D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. To znači da parabola ne dodiruje x-osu i funkcija nikada ne uzima vrijednost 0, stoga jednadžba nema pravi korijen.

3. Trigonometrijske jednadžbe

Trigonometrijske funkcije se razmatraju na trigonometrijskom krugu, ali se također mogu predstaviti u Kartezijanski sistem koordinate U ovom članku ćemo pogledati dva glavna trigonometrijske funkcije i njihove jednadžbe: sinx i cosx. Pošto ove funkcije formiraju trigonometrijski krug poluprečnika 1, |sinx| i |cosx| ne može biti veći od 1. Dakle, koja sinx jednačina nema korijen? Pogledajmo graf sinx funkcije, prikazano na slici ispod.

Vidimo da je funkcija simetrična i da ima period ponavljanja od 2pi. Na osnovu ovoga možemo reći da maksimalna vrijednost ove funkcije može biti 1, a minimalna -1. Na primjer, izraz cosx = 5 neće imati korijen, jer je njegova apsolutna vrijednost veća od jedan.

Ovo je najjednostavniji primjer trigonometrijskih jednadžbi. Zapravo, njihovo rješavanje može potrajati mnogo stranica, na kraju kojih shvatite da ste koristili pogrešnu formulu i morate početi ispočetka. Ponekad čak i sa ispravna lokacija roots, možda ćete zaboraviti uzeti u obzir ograničenja za ODZ, zbog čega se u odgovoru pojavljuje dodatni korijen ili interval, a cijeli odgovor postaje pogrešan. Stoga se striktno pridržavajte svih ograničenja, jer se svi korijeni ne uklapaju u opseg zadatka.

4. Sistemi jednačina

Sistem jednačina je skup jednačina spojenih kovrčavim ili uglastim zagradama. Vitičaste zagrade označavaju da se sve jednačine rade zajedno. To jest, ako barem jedna od jednačina nema korijen ili je u suprotnosti s drugom, cijeli sistem nema rješenje. Uglaste zagrade označavaju riječ "ili". To znači da ako barem jedna od jednačina sistema ima rješenje, onda cijeli sistem ima rješenje.

Odgovor sistema c je skup svih korijena pojedinačnih jednačina. A sistemi sa vitičastim zagradama imaju samo zajedničke korijene. Sistemi jednačina mogu uključivati ​​potpuno različite funkcije, pa nam takva složenost ne dozvoljava da odmah kažemo koja jednačina nema korijen.

U knjigama zadataka i udžbenicima postoje različite vrste jednačina: one koje imaju korijen i one koje nemaju. Prije svega, ako ne možete pronaći korijene, nemojte misliti da ih uopće nema. Možda ste negdje pogriješili, onda samo trebate pažljivo provjeriti svoju odluku.

Pogledali smo najosnovnije jednadžbe i njihove vrste. Sada možete reći koja jednačina nema korijen. U većini slučajeva to nije teško učiniti. Postizanje uspjeha u rješavanju jednačina zahtijeva samo pažnju i koncentraciju. Vježbajte više, to će vam pomoći da se lakše i brže snalazite u gradivu.

Dakle, jednadžba nema korijen ako:

• V linearna jednačina mx = n vrijednost m = 0 i n = 0;
• V kvadratna jednačina, ako je diskriminant manji od nule;
• V trigonometrijska jednačina oblika cosx = m / sinx = n, ako je |m| > 0, |n| > 0;
• u sistemu jednadžbi sa vitičastim zagradama ako barem jedna jednačina nema korijena, i sa uglastim zagradama ako sve jednačine nemaju korijena.