Rotacija krutog tijela oko fiksne ose je takvo kretanje u kojem dvije tačke tijela ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja. U tom slučaju, sve tačke tijela koje se nalaze na pravoj liniji koja prolazi kroz njegove fiksne tačke također ostaju nepomične. Ova linija se zove osa rotacije tela .
Neka su tačke A i B stacionarne. Usmjerimo os duž ose rotacije. Kroz os rotacije povlačimo stacionarnu i pokretnu ravan, pričvršćenu za rotirajuće tijelo (na ).
Položaj ravni i samog tijela određen je diedralnim uglom između ravnina i. Označimo ga. Ugao se zove ugao rotacije tela .
Položaj tijela u odnosu na odabrani referentni sistem je jednoznačno određen u svakom trenutku ako je data jednačina, gdje je bilo koja dvostruko diferencibilna funkcija vremena. Ova jednačina se zove jednadžba rotacije krutog tijela oko fiksne ose .
Tijelo koje se rotira oko fiksne ose ima jedan stupanj slobode, jer se njegov položaj određuje specificiranjem samo jednog parametra - kuta.
Ugao se smatra pozitivnim ako je položen u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim u suprotnom smjeru. Putanja tačaka tijela za vrijeme njegove rotacije oko fiksne ose su kružnice koje se nalaze u ravninama okomitim na os rotacije.
Za karakterizaciju rotacijskog kretanja solidan oko fiksne ose uvodimo koncepte ugaona brzina i ugaono ubrzanje.
Algebarska ugaona brzina tijela u bilo kojem trenutku naziva se prvim izvodom u odnosu na vrijeme ugla rotacije u ovom trenutku, tj.
Ugaona brzina je pozitivna kada se tijelo rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, jer se ugao rotacije povećava s vremenom, a negativna kada tijelo rotira u smjeru kazaljke na satu, jer se kut rotacije smanjuje.
Dimenzija ugaone brzine po definiciji:
U tehnici, kutna brzina je brzina rotacije izražena u okretajima u minuti. Za jednu minutu tijelo će se rotirati za ugao , gdje je n broj okretaja u minuti. Podijelimo ovaj ugao sa brojem sekundi u minuti, dobivamo
Algebarsko ugaono ubrzanje tijela naziva se prvi izvod u odnosu na vrijeme ugaone brzine, odnosno drugi izvod ugla rotacije, tj.
Dimenzija ugaonog ubrzanja po definiciji:
Hajde da uvedemo pojmove vektora ugaone brzine i ugaonog ubrzanja tela.
I , gdje je jedinični vektor osi rotacije. Vektori i mogu se prikazati u bilo kojoj tački na osi rotacije, oni su klizni vektori.
Algebarska ugaona brzina je projekcija vektora ugaone brzine na os rotacije. Algebarsko ugaono ubrzanje je projekcija vektora ugaonog ubrzanja brzine na os rotacije.
Ako je na , tada se algebarska ugaona brzina povećava s vremenom i, stoga, tijelo rotira ubrzano u razmatranom trenutku vremena u pozitivnu stranu. Smjerovi vektora i se poklapaju, oba su usmjerena u pozitivnom smjeru osi rotacije.
Kada i tijelo se brzo rotira u negativnom smjeru. Smjerovi vektora i se poklapaju, oba su usmjerena prema negativnoj strani ose rotacije.
Gibanje krutog tijela naziva se rotacijskim ako za vrijeme gibanja sve tačke tijela koje se nalaze na određenoj pravoj liniji, koja se naziva osom rotacije, ostanu nepomične(Sl. 2.15).
Obično se određuje položaj tijela tokom rotacijskog kretanja ugao rotacije tijelo , koji se mjeri kao diedarski ugao između nepokretne i pokretne ravnine koja prolazi kroz os rotacije. Štaviše, pokretna ravan je povezana sa rotirajućim tijelom.
Uvedemo u razmatranje pokretne i fiksne koordinatne sisteme čiji će početak biti postavljen u proizvoljnoj tački O na osi rotacije. Osa Oz, zajednička za pokretni i fiksni koordinatni sistem, bit će usmjerena duž ose rotacije, ose Oh fiksnog koordinatnog sistema, usmjeravamo ga okomito na osu Oz tako da leži u fiksnoj ravni, osi Oh 1 Usmjerimo pokretni koordinatni sistem okomito na osu Oz tako da leži u ravnini koja se kreće (slika 2.15).
Ako posmatramo presjek tijela ravninom okomitom na os rotacije, tada je kut rotacije φ može se definirati kao ugao između fiksne ose Oh i pokretna osovina Oh 1, uvek povezan sa rotirajućim telom (slika 2.16).
Prihvaćen je referentni smjer za ugao rotacije tijela φ suprotno od kazaljke na satu smatra se pozitivnim kada se gleda iz pozitivnog smjera ose Oz.
Jednakost φ = φ(t), opisujući promjenu ugla φ u vremenu se naziva zakon ili jednačina rotacionog kretanja krutog tijela.
Brzina i smjer promjene ugla rotacije krutog tijela karakteriziraju ugaona brzina. Apsolutna vrijednost ugaone brzine obično se označava slovom grčka abeceda ω (omega). Algebarska vrijednost ugaone brzine obično se označava sa . Algebarska vrijednost ugaone brzine jednaka je prvom izvodu s obzirom na vrijeme ugla rotacije:
. (2.33)
Jedinice ugaone brzine jednake su jedinicama ugla podeljenim jedinicom vremena, na primer, deg/min, rad/h. U SI sistemu, jedinica mjere za ugaonu brzinu je rad/s, ali češće se naziv ove mjerne jedinice piše kao 1/s.
Ako je > 0, tada se tijelo rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kada se gleda sa kraja koordinatne ose poravnate s osom rotacije.
Ako< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.
Brzina i smjer promjene ugaone brzine karakteriziraju ugaono ubrzanje. Apsolutna vrijednost ugaonog ubrzanja obično se označava slovom grčke abecede e (epsilon). Algebarska vrijednost kutnog ubrzanja obično se označava sa . Algebarska vrijednost ugaonog ubrzanja jednaka je prvom izvodu s obzirom na vrijeme algebarske vrijednosti ugaone brzine ili drugom izvodu ugla rotacije:
Jedinice ugaonog ubrzanja jednake su jedinicama ugla podijeljenim jedinicom vremena na kvadrat. Na primjer, deg/s 2, rad/h 2. U SI sistemu, jedinica mjere za ugaono ubrzanje je rad/s 2, ali se češće naziv ove mjerne jedinice piše kao 1/s 2.
Ako algebarske vrijednosti kutne brzine i kutne akceleracije imaju isti predznak, tada se kutna brzina vremenom povećava po veličini, a ako je različita, opada.
Ako je ugaona brzina konstantna ( ω = const), tada je uobičajeno reći da je rotacija tijela ravnomjerna. u ovom slučaju:
φ = t + φ 0, (2.35)
Gdje φ 0 - početni ugao rotacije.
Ako je kutno ubrzanje konstantno (e = const), tada je uobičajeno reći da je rotacija tijela jednoliko ubrzana (jednoliko spora). u ovom slučaju:
Gdje 0 - početna ugaona brzina.
U drugim slučajevima, za utvrđivanje zavisnosti φ od I potrebno je integrisati izraze (2.33), (2.34) pod datim početnim uslovima.
Na crtežima je smjer rotacije tijela ponekad prikazan zakrivljenom strelicom (slika 2.17).
Često se u mehanici ugaona brzina i ugaona ubrzanja smatraju vektorskim veličinama
I .
Oba ova vektora su usmjerena duž ose rotacije tijela. Štaviše, vektor
usmjeren u jednom smjeru s jediničnim vektorom, koji određuje smjer koordinatne ose koja se poklapa sa osom rotacije, ako >0,
i obrnuto ako
Smjer vektora se bira na isti način (slika 2.18).
Za vrijeme rotacionog kretanja tijela, svaka njegova točka (osim tačaka koje se nalaze na osi rotacije) kreće se duž putanje, koja je kružnica poluprečnika jednakog najkraćoj udaljenosti od tačke do osi rotacije (sl. 2.19).
Pošto tangenta kružnice u bilo kojoj tački čini ugao od 90° sa poluprečnikom, vektor brzine tačke tela koje vrši rotaciono kretanje biće usmeren okomito na poluprečnik i ležati u ravni kružnice, što je putanja kretanja tačke. Tangencijalna komponenta ubrzanja će ležati na istoj liniji kao i brzina, a normalna komponenta će biti usmjerena radijalno prema centru kružnice. Stoga se ponekad nazivaju tangencijalna i normalna komponenta ubrzanja tokom rotacionog kretanja rotacijski i centripetalni (aksijalni) komponente (sl. 2.19)
Algebarska vrijednost brzine tačke određena je izrazom:
, (2.37)
gdje je R = OM najkraća udaljenost od tačke do ose rotacije.
Algebarska vrijednost tangencijalne komponente ubrzanja određena je izrazom:
. (2.38)
Modul normalne komponente ubrzanja određen je izrazom:
. (2.39)
Vektor ubrzanja tačke tokom rotacionog kretanja određen je pravilom paralelograma kao geometrijski zbir komponenti tangente i normale. Prema tome, modul ubrzanja se može odrediti pomoću Pitagorine teoreme:
Ako su ugaona brzina i kutno ubrzanje definirane kao vektorske veličine , , tada se vektori brzine, tangencijalne i normalne komponente ubrzanja mogu odrediti formulama:
gdje je radijus vektor povučen u tačku M iz proizvoljne tačke na osi rotacije (slika 2.20).
Rješavanje zadataka koji uključuju rotacijsko kretanje jednog tijela obično ne izaziva nikakve poteškoće. Koristeći formule (2.33)-(2.40), možete lako odrediti bilo koji nepoznati parametar.
Određene poteškoće nastaju prilikom rješavanja problema povezanih s proučavanjem mehanizama koji se sastoje od nekoliko međusobno povezanih tijela koja vrše i rotaciju i kretanje naprijed.
Opšti pristup rješavanju ovakvih problema je da se kretanje s jednog tijela na drugo prenosi kroz jednu tačku - dodirnu tačku. Štaviše, tijela u dodiru imaju jednake brzine i tangencijalne komponente ubrzanja u tački kontakta. Normalne komponente ubrzanja za tijela u kontaktu u tački dodira su različite;
Prilikom rješavanja problema ove vrste, zgodno je, ovisno o konkretnim okolnostima, koristiti i formule date u odjeljku 2.3 i formule za određivanje brzine i ubrzanja tačke kada se odredi njeno kretanje kao prirodno (2.7), (2.14 ) (2.16) ili koordinatne (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) metode. Štaviše, ako je kretanje tijela kojem tačka pripada rotaciono, putanja tačke će biti kružnica. Ako je kretanje tijela pravolinijsko translatorno, onda će putanja točke biti prava linija.
Primjer 2.4. Tijelo se rotira oko fiksne ose. Ugao rotacije tijela mijenja se po zakonu φ = π t 3 drago. Za tačku koja se nalazi na udaljenosti OM = R = 0,5 m od ose rotacije, odredite brzinu, tangentu, normalne komponente ubrzanja i ubrzanja u trenutku t 1= 0,5 s. Pokažite smjer ovih vektora na crtežu.
Razmotrimo presjek tijela ravninom koja prolazi kroz tačku O okomito na osu rotacije (slika 2.21). Na ovoj slici, tačka O je tačka preseka ose rotacije i ravni sečenja, tačka M o I M 1- odnosno početni i trenutnoj situaciji tačke M. Kroz tačke O i M o nacrtati fiksnu osu Oh, i kroz tačke O i M 1 - pokretna osovina Oh 1. Ugao između ovih osa će biti jednak
Zakon promjene ugaone brzine tijela nalazimo razlikovanjem zakona promjene ugla rotacije:
Trenutno t 1 ugaona brzina će biti jednaka
Pronalazimo zakon promjene ugaonog ubrzanja tijela razlikovanjem zakona promjene ugaone brzine:
Trenutno t 1 kutno ubrzanje će biti jednako:
1/s 2,
Algebarske vrijednosti vektora brzine, tangencijalne komponente ubrzanja, modula normalne komponente ubrzanja i modula ubrzanja pronalazimo pomoću formula (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):
M/s 2 ;
m/s 2 .
Od ugla φ 1>0, onda ćemo ga pomjeriti sa ose Ox u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. I od tada > 0, zatim vektori će biti usmjeren okomito na polumjer OM 1 tako da ih vidimo kako rotiraju suprotno od kazaljke na satu. Vector će biti usmjerena duž radijusa OM 1 na os rotacije. Vector Gradimo prema pravilu paralelograma na vektorima τ I .
Primjer 2.5. By zadata jednačina pravolinijsko translatorno kretanje tereta 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) određuju brzinu, kao i tangencijalnu, normalnu komponentu ubrzanja i ubrzanje tačke M mehanizma u trenutku vremena t 1, kada je put koji pređe teret 1 s = 0,2 m Prilikom rješavanja zadatka pretpostavit ćemo da nema klizanja na mjestu dodira tijela 2 i 3. R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (sl. 2.22).
Zakon pravolinijskog translatornog kretanja tereta 1 dat je u koordinatnom obliku. Odredimo trenutak u vremenu t 1, za koji će put prijeđen teretom 1 biti jednak s
s = x(t l)-x(0),
odakle dobijamo:
0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.
dakle,
Nakon što smo diferencirali jednadžbu kretanja s obzirom na vrijeme, nalazimo projekcije brzine i ubrzanja tereta 1 na os Ox:
m/s 2 ;
U trenutku t = t 1 projekcija brzine tereta 1 će biti jednaka:
to jest, biće veće od nule, kao i projekcija ubrzanja tereta 1. Dakle, opterećenje 1 će biti u trenutku t 1 kretati se ravnomjerno ubrzano prema dolje, odnosno tijelo 2 će rotirati jednoliko ubrzano u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a tijelo 3 u smjeru kazaljke na satu.
Tijelo 2 se pokreće u rotaciju pomoću tijela 1 kroz navoj namotan na mali bubanj. Dakle, moduli brzina tačaka tela 1, konca i površine bubnja tela 2 su jednaki, a moduli ubrzanja tačaka tela 1, navoja i tangencijalne komponente ubrzanja od tačaka površine malog bubnja tela 2 takođe će biti jednaki
Modul ugaonog ubrzanja tijela 2 bit će jednak:
1/s 2 .
Odredimo module brzine i tangencijalne komponente ubrzanja za tačku K tijela 2 - dodirnu tačku tijela 2 i 3:
m/s, m/s 2
Budući da se tijela 2 i 3 rotiraju bez međusobnog klizanja, veličine brzine i tangencijalne komponente ubrzanja tačke K - dodirne tačke za ova tijela će biti jednake.
usmjerimo ga okomito na polumjer u smjeru rotacije tijela, jer tijelo 3 rotira jednoliko ubrzanoI Saveljeva.
Za vreme kretanja tela unapred (§ 60 u udžbeniku E. M. Nikitina), sve njegove tačke se kreću po identičnim putanjama i u svakom datom trenutku imaju jednake brzine i jednaka ubrzanja.
Stoga je translacijsko kretanje tijela određeno kretanjem bilo koje tačke, obično kretanjem centra gravitacije.
Kada razmatramo kretanje automobila (zadatak 147) ili dizel lokomotive (problem 141) u bilo kojem zadatku, zapravo razmatramo kretanje njihovih centara gravitacije.
Rotaciono kretanje tela (E.M. Nikitin, § 61) ne može se poistovetiti sa kretanjem bilo koje njegove tačke. Osa bilo kog rotirajućeg tela (dizel zamašnjak, rotor elektromotora, vreteno mašine, lopatice ventilatora, itd.) tokom kretanja zauzima prostor u odnosu na okolno stacionarna tijela isto mjesto.
Kretanje materijalne tačke ili kretanje naprijed tijela se karakteriziraju ovisno o vremenu linearne veličine s (put, udaljenost), v (brzina) i a (ubrzanje) sa komponentama a t i a n.
Rotacijski pokret tijela u zavisnosti od vremena t karakteriziraju ugaone vrednosti: φ (ugao rotacije u radijanima), ω (ugaona brzina u rad/sec) i ε (ugaono ubrzanje u rad/sec 2).
Zakon rotacionog kretanja tijela izražava se jednačinom
φ = f(t).
Ugaona brzina- veličina koja karakterizira brzinu rotacije tijela definirana je u opštem slučaju kao derivacija ugla rotacije u odnosu na vrijeme
ω = dφ/dt = f" (t).
Kutno ubrzanje- veličina koja karakteriše brzinu promene ugaone brzine je definisana kao derivacija ugaone brzine
ε = dω/dt = f"" (t).
Kada počinjemo rješavati zadatke o rotacionom kretanju tijela, potrebno je imati na umu da se u tehničkim proračunima i problemima ugaoni pomak u pravilu ne izražava u radijanima φ, već u okretajima φ oko.
Stoga je potrebno moći prijeći sa broja okretaja na radijansko mjerenje kutnog pomaka i obrnuto.
Od jednog puni okret onda odgovara 2π rad
φ = 2πφ oko i φ oko = φ/(2π).
Ugaona brzina se u tehničkim proračunima vrlo često mjeri u obrtajima proizvedenim u minuti (rpm), pa je potrebno jasno razumjeti da ω rad/sec i n rpm izražavaju isti koncept - brzinu rotacije tijela (kutnu brzinu), ali u različitim jedinicama - u rad/sec ili u rpm.
Prijelaz iz jedne jedinice kutne brzine u drugu vrši se prema formulama
ω = πn/30 i n = 30ω/π.
Prilikom rotacionog kretanja tijela, sve njegove točke se kreću u krugovima, čiji su centri smješteni na jednoj fiksnoj pravoj liniji (osi rotacionog tijela). Prilikom rješavanja zadataka datih u ovom poglavlju vrlo je važno jasno razumjeti odnos između ugaonih veličina φ, ω i ε, koje karakteriziraju rotacijsko kretanje tijela, i linearnih veličina s, v, a t i an, koje karakteriziraju kretanje raznih tačaka ovog tela (Sl. 205).
Ako je R rastojanje od geometrijske ose rotirajućeg tela do bilo koje tačke A (na slici 205 R=OA), onda je odnos između φ - ugla rotacije tela i s - udaljenosti koju pređe tačka od tijelo se u isto vrijeme izražava na sljedeći način:
s = φR.
Odnos između ugaone brzine tela i brzine tačke u svakom datom trenutku izražava se jednakošću
v = ωR.
Tangencijalno ubrzanje tačke zavisi od ugaonog ubrzanja i određuje se formulom
a t = εR.
Normalno ubrzanje tačke zavisi od ugaone brzine tela i određeno je odnosom
a n = ω 2 R.
Prilikom rješavanja problema datog u ovom poglavlju, potrebno je jasno razumjeti da je rotacija kretanje krutog tijela, a ne tačke. Pojedinačna materijalna tačka se ne rotira, već se kreće u krug - ona pravi krivolinijsko kretanje.
§ 33. Ravnomerno rotaciono kretanje
Ako je ugaona brzina ω=const, tada se rotacijsko kretanje naziva ravnomjerno.
Jednačina uniformne rotacije ima oblik
φ = φ 0 + ωt.
U konkretnom slučaju kada je početni ugao rotacije φ 0 =0,
φ = ωt.
Ugaona brzina ravnomjerno rotirajućeg tijela
ω = φ/t
može se izraziti ovako:
ω = 2π/T,
gdje je T period rotacije tijela; φ=2π - ugao rotacije za jedan period.
§ 34. Ravnomerno rotaciono kretanje
Rotaciono kretanje sa promenljivom ugaonom brzinom naziva se neravnomerno (videti dole § 35). Ako je kutno ubrzanje ε=const, tada se naziva rotacijsko kretanje podjednako varijabilna. Dakle, ravnomjerna rotacija tijela je poseban slučaj neravnomerno rotaciono kretanje.
Jednačina jednolične rotacije
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
i jednadžba koja izražava ugaonu brzinu tijela u bilo kojem trenutku,
(2) ω = ω 0 + εt
predstavljaju skup osnovnih formula za rotaciono ravnomerno kretanje tela.
Ove formule uključuju samo šest veličina: tri konstante za dati problem φ 0, ω 0 i ε i tri varijable φ, ω i t. Prema tome, uslov svakog problema za jednoličnu rotaciju mora sadržavati najmanje četiri specificirane veličine.
Radi lakšeg rješavanja nekih problema, iz jednačina (1) i (2) se mogu dobiti još dvije pomoćne formule.
Isključimo ugaono ubrzanje ε iz (1) i (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.
Isključimo vrijeme t iz (1) i (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).
U konkretnom slučaju ravnomjerno ubrzane rotacije polazeći iz stanja mirovanja, φ 0 =0 i ω 0 =0. Stoga, gornje osnovne i pomoćne formule imaju sljedeći oblik:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).
§ 35. Neravnomjerno rotaciono kretanje
Razmotrimo primjer rješavanja problema u kojem je specificirano neujednačeno rotacijsko kretanje tijela.
Rotacijski nazivaju takvo kretanje u kojem dvije tačke povezane s tijelom, dakle, prava linija koja prolazi kroz ove tačke, ostaju nepomične tokom kretanja (slika 2.16). Fiksna ravna linija A B pozvao osa rotacije.
Rice. 2.1V. Ka definiciji rotacionog kretanja tijela
Položaj tijela pri rotacionom kretanju određuje ugao rotacije φ, rad (vidi sliku 2.16). Prilikom kretanja, ugao rotacije se mijenja tokom vremena, tj. zakon rotacionog kretanja tijela definiran je kao zakon promjene u vremenu vrijednosti diedarskog ugla F = F(/) između fiksne poluravni TO () , prolazeći kroz os rotacije i pokretni n 1 poluravninu spojenu na tijelo i koja također prolazi kroz os rotacije.
Putanja svih tačaka tijela tokom rotacionog kretanja su koncentrični krugovi smješteni u paralelne ravni sa centrima na osi rotacije.
Kinematske karakteristike rotacionog kretanja tijela. Na isti način na koji su uvedene kinematičke karakteristike za tačku, uvodi se kinematička koncepcija koja karakteriše brzinu promjene funkcije φ(c), koja određuje položaj tijela pri rotacionom kretanju, tj. ugaona brzina co = f = s/f/s//, dimenzija ugaone brzine [co] = rad /Sa.
U tehničkim proračunima često se koristi izraz ugaone brzine sa različitim dimenzijama - u smislu broja obrtaja u minuti: [i] = rpm, i odnosa između n i co se može predstaviti kao: co = 27w/60 = 7w/30.
Općenito, ugaona brzina varira s vremenom. Mjera brzine promjene ugaone brzine je ugaono ubrzanje e = c/co/c//= co = f, dimenzija ugaonog ubrzanja [e] = rad/s 2 .
Uvedene ugaone kinematičke karakteristike u potpunosti su određene specificiranjem jedne funkcije - ugla rotacije u odnosu na vrijeme.
Kinematske karakteristike tačaka tela tokom rotacionog kretanja. Razmotrite poentu M tijelo koje se nalazi na udaljenosti p od ose rotacije. Ova tačka se kreće duž kružnice poluprečnika p (slika 2.17).
Rice. 2.17.
tačke tela tokom njegove rotacije
Dužina luka M Q M krug poluprečnika p je definisan kao s= ptp, gdje je f ugao rotacije, rad. Ako je zakon gibanja tijela dat kao φ = φ(g), onda je zakon gibanja tačke M duž putanje je određena formulom S= rf(7).
Koristeći izraze kinematičkih karakteristika prirodnom metodom zadavanja kretanja tačke, dobijamo kinematičke karakteristike za tačke rotirajućeg tela: brzina prema formuli (2.6)
V= 5 = rf = rso; (2.22)
tangencijalno ubrzanje prema izrazu (2.12)
i t = K = sor = er; (2.23)
normalno ubrzanje prema formuli (2.13)
a„ = I 2 /r = s 2 r 2 /r = ogr; (2.24)
ukupno ubrzanje pomoću izraza (2.15)
A = -]A + a] = px/e 2 + co 4. (2.25)
Za karakteristiku smjera ukupnog ubrzanja uzima se p - ugao odstupanja vektora ukupnog ubrzanja od polumjera kružnice opisane tačkom (slika 2.18).
Od sl. 2.18 dobijamo
tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)
Rice. 2.18.
Imajte na umu da su sve kinematičke karakteristike tačaka rotirajućeg tijela proporcionalne udaljenostima do ose rotacije. ve-
Njihovi identiteti određuju se kroz derivacije iste funkcije - ugla rotacije.
Vektorski izrazi za ugaone i linearne kinematičke karakteristike. Za analitički opis ugaonih kinematičkih karakteristika rotirajućeg tela, zajedno sa osom rotacije, koncept vektor ugla rotacije(Sl. 2.19): φ = φ(/)A:, gdje To- jedi
vektor osi rotacije
1; To=sop51 .
Vektor f je usmjeren duž ove ose tako da se može vidjeti sa “kraja”
rotacija koja se odvija suprotno od kazaljke na satu.
Rice. 2.19.
karakteristike u vektorskom obliku
Ako je vektor φ(/) poznat, onda se sve ostale ugaone karakteristike rotacionog kretanja mogu predstaviti u vektorskom obliku:
- vektor ugaone brzine co = f = f To. Smjer vektora ugaone brzine određuje predznak derivacije ugla rotacije;
- vektor ugaonog ubrzanja ê = so = F To. Smjer ovog vektora određuje predznak derivacije ugaone brzine.
Uvedeni vektori s i ê nam omogućavaju da dobijemo vektorske izraze za kinematičke karakteristike tačaka (vidi sliku 2.19).
Imajte na umu da se modul vektora brzine tačke poklapa sa modulom vektorski proizvod vektor ugaone brzine i vektor radijusa: |sokh G= sogvípa = smeće. Uzimajući u obzir smjerove vektora s i r i pravilo za smjer vektorskog proizvoda, možemo napisati izraz za vektor brzine:
V= co xg.
Slično, to je lako pokazati
- ? X
- - egBípa= ê = a t I
Sosor = co p = i.
(Pored toga, vektori ovih kinematičkih karakteristika poklapaju se u smjeru s odgovarajućim vektorskim produktima.
Dakle, tangentni vektori i normalno ubrzanje mogu se predstaviti kao vektorski proizvodi:
- (2.28)
- (2.29)
a x = g X G
A= co x V.
Ovaj članak opisuje važan dio fizike - "Kinematika i dinamika rotacijskog kretanja".
Osnovni pojmovi kinematike rotacionog kretanja
Rotacijsko kretanje materijalne točke oko fiksne ose je takvo kretanje, čija je putanja kružnica koja se nalazi u ravni okomitoj na os, a centar joj leži na osi rotacije.
Rotaciono kretanje krutog tela je kretanje u kome se sve tačke tela kreću po koncentričnim (čiji centri leže na istoj osi) kružnicama u skladu sa pravilom rotacionog kretanja materijalne tačke.
Neka proizvoljno kruto tijelo T rotira oko ose O, koja je okomita na ravan crteža. Odaberimo tačku M na ovom tijelu. Kada se okrene, ova tačka će opisati kružnicu s polumjerom oko ose r.
Nakon nekog vremena, radijus će se rotirati u odnosu na svoju prvobitnu poziciju za ugao Δφ.
Smjer desnog zavrtnja (kazaljke na satu) uzima se kao pozitivan smjer rotacije. Promjena ugla rotacije tokom vremena naziva se jednačina rotacionog kretanja krutog tijela:
φ = φ(t).
Ako se φ mjeri u radijanima (1 rad je ugao koji odgovara luku dužine jednak njegovom poluprečniku), tada je dužina kružnog luka ΔS, kojim će materijalna tačka M proći u vremenu Δt, jednaka:
ΔS = Δφr.
Osnovni elementi kinematike ravnomernog rotacionog kretanja
Mjera kretanja materijalne tačke u kratkom vremenskom periodu dt služi kao elementarni vektor rotacije dφ.
Ugaona brzina materijalne tačke ili tijela je fizička količina, koji je određen omjerom vektora elementarne rotacije i trajanja ove rotacije. Smjer vektora može se odrediti pravilom desnog zavrtnja duž ose O u skalarnom obliku:
ω = dφ/dt.
Ako ω = dφ/dt = const, onda se takvo kretanje naziva jednoliko rotaciono kretanje. Uz to, kutna brzina je određena formulom
ω = φ/t.
Prema preliminarnoj formuli, dimenzija ugaone brzine
[ω] = 1 rad/s.
Ujednačeno rotacijsko kretanje tijela može se opisati periodom rotacije. Period rotacije T je fizička veličina koja određuje vrijeme tokom kojeg tijelo oko ose rotacije napravi jedan puni okret ([T] = 1 s). Ako u formuli za ugaonu brzinu uzmemo t = T, φ = 2 π (jedan puni okret polumjera r), tada
ω = 2π/T,
Stoga definiramo period rotacije na sljedeći način:
T = 2π/ω.
Broj okretaja koje tijelo napravi u jedinici vremena naziva se frekvencija rotacije ν, koja je jednaka:
ν = 1/T.
Jedinice frekvencije: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.
Upoređujući formule za ugaonu brzinu i frekvenciju rotacije, dobijamo izraz koji povezuje ove veličine:
ω = 2πν.
Osnovni elementi kinematike neravnomjernog rotacionog kretanja
Neravnomjerno rotacijsko kretanje krutog tijela ili materijalne točke oko fiksne ose karakterizira njegova kutna brzina koja se mijenja s vremenom.
Vector ε , koji karakterizira brzinu promjene ugaone brzine, naziva se vektor ugaonog ubrzanja:
ε = dω/dt.
Ako se tijelo rotira, ubrzavajući, tj dω/dt > 0, vektor ima smjer duž ose u istom smjeru kao i ω.
Ako je rotacijski pokret spor - dω/dt< 0 , tada su vektori ε i ω suprotno usmjereni.
Komentar. Kada dođe do neravnomjernog rotacijskog kretanja, vektor ω se može promijeniti ne samo po veličini, već iu smjeru (kada se os rotacije rotira).
Odnos između veličina koje karakteriziraju translacijsko i rotacijsko kretanje
Poznato je da su dužina luka sa uglom rotacije poluprečnika i njegova vrednost povezani relacijom
ΔS = Δφ r.
Zatim linearna brzina materijalne tačke koja vrši rotaciono kretanje
υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.
Normalno ubrzanje materijalne tačke koja vrši rotacijsko translacijsko kretanje određuje se na sljedeći način:
a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.
Dakle, u skalarnom obliku
a = ω 2 r.
Tangencijalna ubrzana materijalna tačka koja vrši rotaciono kretanje
a = ε r.
Zamah materijalne tačke
Vektorski proizvod radijus vektora putanje materijalne tačke mase m i i njenog momenta se naziva ugaoni moment ove tačke oko ose rotacije. Smjer vektora se može odrediti pomoću pravila desnog zavrtnja.
Zamah materijalne tačke ( L i) je usmjeren okomito na ravan povučenu kroz r i i υ i, i sa njima tvori desnu trojku vektora (tj. kada se kreće od kraja vektora r i To υ i desni vijak će pokazati smjer vektora L i).
U skalarnom obliku
L = m i υ i r i sin(υ i , r i).
Uzimajući u obzir da se pri kretanju u krugu radijus vektor i vektor linearne brzine za i-ti materijal međusobno okomite tačke,
sin(υ i , r i) = 1.
Tako će ugaoni moment materijalne tačke za rotaciono kretanje poprimiti oblik
L = m i υ i r i .
Moment sile koji djeluje na i-tu materijalnu tačku
Vektorski proizvod radijus vektora, koji je povučen u tačku primjene sile, a ta sila se naziva momentom sile koja djeluje na i-ti materijal tačku u odnosu na os rotacije.
U skalarnom obliku
M i = r i F i sin(r i , F i).
S obzirom na to r i sinα = l i ,M i = l i F i .
Magnituda l i, jednaka dužini okomice spuštene od točke rotacije do smjera djelovanja sile, naziva se krak sile F i.
Dinamika rotacionog kretanja
Jednačina za dinamiku rotacijskog kretanja je zapisana na sljedeći način:
M = dL/dt.
Formulacija zakona je sljedeća: brzina promjene ugaonog momenta tijela koje rotira oko fiksne ose jednaka je rezultirajućem momentu u odnosu na ovu os svih spoljne sile, pričvršćen za tijelo.
Moment impulsa i moment inercije
Poznato je da je za i-tu materijalnu tačku ugaoni moment u skalarnom obliku dan formulom
L i = m i υ i r i .
Ako umjesto linearne brzine zamijenimo njen izraz kutnom brzinom:
υ i = ωr i ,
tada će izraz za ugaoni moment poprimiti oblik
L i = m i r i 2 ω.
Magnituda I i = m i r i 2 nazvan momentom inercije oko osa i materijalna tačka apsolutno krutog tijela koja prolazi kroz njegovo središte mase. Zatim zapisujemo ugaoni moment materijalne tačke:
L i = I i ω.
Zapisujemo ugaoni moment apsolutno krutog tijela kao zbir ugaonog momenta materijalne tačke sastavljajući ovo tijelo:
L = Iω.
Moment sile i moment inercije
Zakon rotacionog kretanja glasi:
M = dL/dt.
Poznato je da se ugaoni moment tijela može predstaviti kroz moment inercije:
L = Iω.
M = Idω/dt.
S obzirom da je kutno ubrzanje određeno izrazom
ε = dω/dt,
dobijamo formulu za moment sile, predstavljen kroz moment inercije:
M = Iε.
Komentar. Moment sile smatra se pozitivnim ako je kutno ubrzanje koje ga uzrokuje veće od nule, i obrnuto.
Steinerova teorema. Zakon sabiranja momenata inercije
Ako os rotacije tijela ne prolazi kroz njegovo središte mase, tada se u odnosu na ovu osu može pronaći njegov moment inercije koristeći Steinerov teorem:
I = I 0 + ma 2,
Gdje I 0- početni moment inercije tijela; m- tjelesna težina; a- rastojanje između osovina.
Ako se sistem koji rotira oko fiksne ose sastoji od n tijela, tada će ukupan moment inercije ovog tipa sistema biti jednak zbiru momenata njegovih komponenti (zakon sabiranja momenata inercije).
