Rice. 2. Energetski pojasevi na granici dva poluprovodnika - heterostruktura. E c I E u- granice provodnog i valentnog pojasa, Npr- širina pojasa. Elektron sa manje energije E c 2 (nivo prikazan crvenom bojom) može biti samo desno od granice

Za elektrone koji se kreću u poluprovodniku s uskim razmakom i imaju manju energiju E c 2, granica će igrati ulogu potencijalne barijere. Dvije heterospojnice ograničavaju kretanje elektrona s obje strane i, takoreći, formiraju potencijalni bunar.

Ovako se stvaraju kvantne bušotine postavljanjem tankog sloja poluprovodnika sa uskim pojasom između dva sloja materijala sa širim pojasom. Kao rezultat, elektron postaje zaključan u jednom smjeru, što dovodi do kvantizacije energije poprečnog kretanja.

Istovremeno, u druga dva smjera kretanje elektrona će biti slobodno, pa možemo reći da elektronski plin u kvantnoj bušotini postaje dvodimenzionalan.

Na isti način, struktura koja sadrži kvantnu barijeru može se pripremiti postavljanjem tankog sloja širokopojasnog poluvodiča između dva uskopojasni poluvodiča.

Međutim, razvijeno je nekoliko naprednih tehnoloških procesa za proizvodnju takvih konstrukcija najbolji rezultati u pripremi kvantnih struktura postižu se metodom epitaksija molekularnim snopom.

Da biste uzgajali tanak sloj poluvodiča ovom metodom, trebate usmjeriti mlaz atoma ili molekula na pažljivo očišćenu podlogu. Nekoliko tokova atoma, koji se dobivaju isparavanjem tvari iz odvojenih izvora grijanja, istovremeno lete na podlogu.

Kako bi se izbjegla kontaminacija, struktura se uzgaja u visokom vakuumu. Ceo proces je kompjuterski kontrolisan, hemijski sastav i kristalna struktura izraslog sloja se kontrolišu tokom procesa rasta.

Metoda epitaksije molekularnim snopom omogućava uzgoj savršenih monokristalnih slojeva debljine od samo nekoliko perioda rešetke (jedan period rešetke je oko 2).

Izuzetno je važno da periodi rešetke dva susedna sloja, koji imaju različit hemijski sastav, budu skoro isti. Tada će se slojevi precizno pratiti jedan za drugim i kristalna rešetka izrasle strukture neće sadržavati defekte.

Koristeći metodu epitaksije molekularnog zraka, moguće je dobiti vrlo oštru (preciznu do monosloja) granicu između dva susjedna sloja, a površina je glatka na atomskom nivou.

Kvantne strukture mogu se uzgajati iz različitih materijala, ali najuspješniji par za uzgoj kvantnih bunara je poluvodič GaAs - galijev arsenid i čvrsta otopina Al x Ga 1-x As, u kojoj su neki od atoma galija zamijenjeni atomima aluminija. Magnituda x je udio atoma galija zamijenjenih atomima aluminija; obično varira od 0,15 do 0,35. Pojasni razmak u galijevom arsenidu je 1,5 eV, au čvrstom rastvoru Al x Ga 1-x As raste sa povećanjem x. Da, kada x= 1, odnosno u AlAs spoju, pojas je 2,2 eV.

Za uzgoj kvantne bušotine potrebno je promijeniti hemijski sastav atoma koji lete na rastući sloj tokom rasta.

Prvo morate uzgajati sloj poluprovodnika sa širokim razmakom, to jest Al x Ga 1-x As, zatim sloj GaAs materijala uskog razmaka i na kraju opet sloj Al x Ga 1-x As.

Energetski dijagram kvantne bušotine pripremljen na ovaj način prikazan je na Sl. 3. Bunar ima konačnu dubinu (nekoliko desetina elektron-volta). Sadrži samo dva diskretna nivoa, a valne funkcije na granici bunara ne nestaju. To znači da se elektron može detektovati i izvan bušotine, u području gdje je ukupna energija manja od potencijalne. Naravno, to se ne može dogoditi u klasičnoj fizici, već u kvantna fizika moguće je.

Rice. 3. Kvantna bušotina formirana u sloju poluprovodnika s uskim razmakom u sendviču između dva poluprovodnika koji imaju širi pojas

Tehnolozi su razvili nekoliko načina za proizvodnju kvantnih tačaka i niti. Ove strukture se mogu formirati, na primjer, na granici između dva poluvodiča gdje se nalazi dvodimenzionalni elektronski plin.

To se može postići dodavanjem dodatnih barijera koje ograničavaju kretanje elektrona u još jednom ili dva smjera.

Kvantne žice se formiraju na dnu utora u obliku slova V formiranog na poluvodičkoj podlozi. Ako se poluvodič s manjim razmakom u pojasu odloži na osnovu ovog žlijeba, tada će elektroni ovog poluvodiča biti zaključani u dva smjera.

Na sl. Slika 4 prikazuje kvantne tačke stvorene na granici između galijum arsenida i aluminijum galijum arsenida. Tokom procesa rasta, dodatni atomi nečistoće su uvedeni u AlGaAs poluvodič. Elektroni iz ovih atoma idu u GaAs poluvodič, odnosno u područje sa nižom energijom. Ali ne mogu ići predaleko, jer ih privlače atomi nečistoće koje su ostavili, a koji su dobili pozitivan naboj. Gotovo svi elektroni su koncentrisani na samom heterointerface na GaAs strani i formiraju dvodimenzionalni plin. Proces formiranja kvantnih tačaka počinje postavljanjem serije maski na površinu AlGaAs, od kojih je svaka u obliku kruga. Nakon toga se vrši duboko jetkanje, pri čemu se uklanja cijeli sloj AlGaAs i djelimično sloj GaAs (na slici 4).

Rice. 4. Kvantne tačke formirane u dvodimenzionalnom elektronskom gasu na interfejsu dva poluprovodnika

Kao rezultat toga, elektroni se nalaze zaključani u rezultirajućim cilindrima (na slici 4, područje u kojem se nalaze elektroni obojeno je crveno). Prečnici cilindara su reda veličine 500 nm.

U kvantnoj tački kretanje je ograničeno u tri smjera, a energetski spektar je potpuno diskretan, baš kao u atomu. Stoga se kvantne tačke nazivaju i umjetnim atomima, iako se svaka takva tačka sastoji od hiljada ili čak stotina hiljada stvarnih atoma.

Dimenzije kvantnih tačaka (možemo govoriti i o kvantnim kutijama) su reda veličine nekoliko nanometara. Kao pravi atom, kvantna tačka može sadržavati jedan ili više slobodnih elektrona. Ako postoji jedan elektron, onda je to kao vještački atom vodika, ako su dva, to je atom helija, itd.

Kvantna tačka- fragment provodnika ili poluprovodnika, ograničen u sve tri prostorne dimenzije i koji sadrži elektrone provodljivosti. Tačka mora biti toliko mala da su kvantni efekti značajni. To se postiže ako kinetička energija elektrona , zbog nesigurnosti svog impulsa, bit će primjetno veći od svih ostalih energetskih skala: prije svega, veći od temperature izražene u energetskim jedinicama ( d- karakteristična veličina tačke, m- efektivna masa elektrona u tački).

Kvantna tačka Svaki dovoljno mali komad metala ili poluprovodnika može poslužiti. Istorijski gledano, prve kvantne tačke su vjerovatno bile mikrokristali kadmijum selenida CdSe. Elektron u takvom mikrokristalu se osjeća kao elektron u trodimenzionalnoj potencijalnoj bušotini, ima mnogo stacionarnih energetskih nivoa sa karakterističnim rastojanjem između njih (tačan izraz za nivoe energije zavisi od oblika tačke). Slično prelazu između energetskih nivoa atoma, kada kvantna tačka prelazi između energetskih nivoa, foton se može emitovati. Također je moguće baciti elektron na visoki energetski nivo i primiti zračenje od prijelaza između niže ležećih nivoa (luminiscencija). Štaviše, za razliku od stvarnih atoma, prelazne frekvencije se mogu lako kontrolisati promjenom dimenzija kristala. Zapravo, posmatranje luminescencije kristala kadmijum selenida sa frekvencijom luminescencije određenom veličinom kristala poslužilo je kao prvo posmatranje kvantnih tačaka.

Trenutno su mnogi eksperimenti posvećeni kvantnim tačkama formiranim u dvodimenzionalnom elektronskom gasu. U dvodimenzionalnom elektronskom gasu, kretanje elektrona okomito na ravan je već ograničeno, a oblast na ravni može se izolovati korišćenjem metalnih elektroda kapije postavljenih na vrhu heterostrukture. Kvantne tačke u dvodimenzionalnom elektronskom gasu mogu se povezati tunelskim kontaktima sa drugim regionima dvodimenzionalnog gasa i može se proučavati provodljivost kroz kvantnu tačku. U takvom sistemu se uočava fenomen Kulonove blokade.

Kvantne tačke PbSe na PbTe sloju

Rice. 1a germanijumska kvantna tačka Si 001 na bazi silicijuma (fotografija snimljena elektronskim skenirajućim mikroskopom) (crtež iz HP istraživačke grupe)

Rice. 1b Poluprovodnički konusni fotonski kanal kao kvantna tačka

Elektroni zarobljeni kvantnim točkama ponašaju se isto kao da su u normalnom atomu, čak i ako "vještački atom" nema jezgro Koji atom predstavlja takav skup elektrona ovisi o broju elektrona u kvantnoj tački.

Rice. Dimenzije nanokristalne kvantne tačke

Osim jednostavnog crtanja uzorka na površini poluvodiča i graviranja, za stvaranje kvantnih tačaka, možete koristiti prirodna svojstva materijala za formiranje malih otoka tokom procesa rasta. Takva ostrva mogu se, na primjer, spontano formirati na površini rastućeg kristalnog sloja. Postoje i druge tehnologije za pripremu kvantnih bunara, niti i tačaka, koje na prvi pogled izgledaju vrlo jednostavne.

Energetski spektar elektrona u čvrstom stanju značajno se razlikuje od energetskog spektra slobodnih elektrona (koji je kontinuiran) ili spektra elektrona koji pripadaju pojedinačnim izolovanim atomima (diskretno sa određenim skupom dostupnih nivoa) - sastoji se od pojedinačnih dozvoljenih energetskih opsega odvojene zabranjenim energetskim pojasevima.

Prema Bohrovim kvantnim mehaničkim postulatima, u izoliranom atomu energija elektrona može poprimiti striktno diskretne vrijednosti (elektron se nalazi u jednoj od orbitala). U slučaju sistema od više atoma spojenih hemijskom vezom, orbitale elektrona se cijepaju u količini proporcionalnoj broju atoma, formirajući tzv. molekularne orbitale. Daljnjim povećanjem sistema na makroskopski nivo, broj orbitala postaje veoma velik, a razlika u energijama elektrona lociranih u susednim orbitalama je shodno tome vrlo mala – nivoi energije se dele na dva gotovo kontinuirana diskretna skupa – energija zone.

Najviši od dozvoljenih energetskih pojasa u poluvodičima i dielektricima, u kojima su na temperaturi od 0 K sva energetska stanja zauzeta elektronima, naziva se valentni pojas, sljedeći je pojas provodljivosti. Kod provodnika, provodni pojas je najviši dozvoljeni pojas u kojem se nalaze elektroni na temperaturi od 0 K. To je po principu relativnu poziciju Sve ove zone su čvrste tvari i podijeljene su u tri velike grupe (vidi sliku):

• provodnici - materijali u kojima se pojas vodljivosti i valentni pojas preklapaju (nema energetskog jaza), tvoreći jednu zonu koja se zove provodni pojas (dakle, elektron se može slobodno kretati između njih, primajući bilo koju dopušteno nisku energiju);
• dielektrici - materijali u kojima se zone ne preklapaju i udaljenost između njih je veća od 3 eV (za prijenos elektrona iz valentnog pojasa u provodni pojas potrebna je značajna energija, tako da dielektrici praktički ne provode struju);
• poluprovodnici - materijali u kojima se pojasevi ne preklapaju i razmak između njih (pojasni razmak) leži u rasponu od 0,1–3 eV (da bi se elektron prenio iz valentnog pojasa u pojas vodljivosti, potrebno je manje energije nego za dielektrik, pa su čisti poluprovodnici slabo vodljivi).

Teorija bendova je osnova moderna teorija čvrste materije. Omogućio je razumijevanje prirode i objašnjenja najvažnijih svojstava metala, poluvodiča i dielektrika. Pojasni jaz (energetski jaz između valentnog i vodljivog pojasa) je ključna veličina u teoriji pojasa i određuje optička i električna svojstva materijala. Na primjer, u poluvodičima, provodljivost se može povećati stvaranjem dozvoljenog nivoa energije u pojasnom pojasu dopingom – dodavanjem nečistoća u sastav originalnog osnovnog materijala kako bi se promijenio njegov fizički i hemijska svojstva. U ovom slučaju se kaže da je poluvodič nečistoća. Ovako sve nastaje poluprovodnički uređaji: solarne ćelije, diode, čvrsto stanje itd. Prijelaz elektrona iz valentnog u pojas provodljivosti naziva se proces stvaranja nosioca naboja (negativnog - elektrona i pozitivnog - rupa), a obrnuti prijelaz je proces rekombinacije.

Teorija pojasa ima granice primenljivosti koje se zasnivaju na tri glavne pretpostavke: a) potencijal kristalne rešetke je striktno periodičan; b) interakcija između slobodnih elektrona može se svesti na samokonzistentni potencijal sa jednim elektronom (a preostali dio se razmatra metodom teorije perturbacije); c) interakcija sa fononima je slaba (i može se razmotriti korištenjem teorije perturbacije).

Ilustracije

Autor

• Razumovski Aleksej Sergeevich

Izmjene su napravljene

• Naimushina Daria Anatolyevna

Izvori

1. Fizički enciklopedijski rečnik. T. 2. - M.: Velika ruska enciklopedija, 1995. - 89 str.
2. Gurov V. A. Solid-state elektronika. - M.: Tehnosfera, 2008. - 19 str.

Godine 1928-1931 Teorija bendova je osnova moderne ideje o mehanizmima raznih fizičkih pojava koje se javljaju u čvrstim tijelima kristalna supstanca kada je izložen elektromagnetno polje. Ovo je teorija kretanja elektrona u periodičnom potencijalnom polju kristalne rešetke.

U izolovanom atomu, energetski spektar elektrona je diskretne prirode, to jest, elektroni mogu zauzimati samo vrlo specifične energetske nivoe. Neki od ovih nivoa su ispunjeni u normalnom, nepobuđenom stanju atoma, elektroni se mogu naći na drugim nivoima samo kada je atom podvrgnut spoljašnjem energetskom uticaju, tj. Težeći stabilnom stanju, atom emituje višak energije u trenutku prelaska elektrona iz pobuđenih stanja u nivoe na kojima je njegova energija minimalna. Prijelazi s jednog energetskog nivoa na drugi uvijek su povezani sa apsorpcijom ili oslobađanjem energije.

U izoliranom atomu postoji sila privlačenja od strane jezgra atoma za sve njegove elektrone i sila odbijanja između elektrona. Ako postoji sistem od N identičnih atoma, dovoljno udaljenih jedan od drugog (na primjer, plinovita tvar), tada praktično nema interakcije između atoma, a energetski nivoi elektrona ostaju nepromijenjeni. Tokom kondenzacije gasovita materija u tečnost, a zatim, tokom formiranja kristalne rešetke čvrste supstance, svi elektronski nivoi prisutni u atomima ovog tipa (i ispunjeni elektronima i nepopunjeni) se blago pomeraju usled delovanja susednih atoma jedan na drugi. U kristalu zbog blizina između atoma postoje sile interakcije između elektrona kojima pripadaju različitih atoma, i između svih jezgara i svih elektrona. Pod uticajem ovih dodatnih sila, energetski nivoi elektrona u svakom od atoma kristala se menjaju: energija nekih nivoa se smanjuje, dok se drugi povećavaju. U ovom slučaju, vanjske elektronske ljuske atoma ne samo da mogu doći u kontakt jedna s drugom, već se i preklapati. Konkretno, privlačenje elektrona jednog atoma jezgrom susjednog smanjuje visinu potencijalne barijere koja razdvaja elektrone usamljenih atoma. Odnosno, kada se atomi zbliže, elektronske ljuske se preklapaju, a to, zauzvrat, značajno mijenja prirodu kretanja elektrona. Kao rezultat toga, elektron s jednog nivoa u bilo kojem atomu može preći na nivo u susjednom atomu bez trošenja energije, i tako se slobodno kretati od jednog atoma do drugog. Ovaj proces se naziva dijeljenje elektrona - svaki elektron pripada svim atomima kristalne rešetke. Potpuna socijalizacija se događa s elektronima vanjskih elektronskih ljuski. Zahvaljujući preklapanju ljuski, elektroni se mogu kretati od jednog atoma do drugog bez promjene energije razmjenom, odnosno kretati se kroz kristal. Interakcija razmene je čisto kvantne prirode i posledica je nerazlučivosti elektrona.

Kao rezultat konvergencije atoma na energetskoj skali, umjesto pojedinačnih nivoa pojavljuju se energetske zone, odnosno regije takvih energetskih vrijednosti koje elektron može posjedovati dok se nalazi unutar čvrstog tijela. Širina pojasa treba da zavisi od stepena veze između elektrona i jezgra. Što je ova veza veća, to je manja podjela nivoa, zona je uža. U izolovanom atomu postoje zabranjene vrijednosti energije koje elektron ne može posjedovati, u čvrstom stanju mogu postojati zabranjene zone. Energetski spektar elektrona u kristalu ima trakastu strukturu. Dozvoljene energetske zone su odvojene zabranjenim energetskim intervalima. Širina dozvoljenih energetskih pojaseva ne zavisi od veličine kristala, već je određena samo prirodom atoma koji formiraju čvrstu materiju i simetrijom kristalne rešetke. Ako je EA energija razmjene između dva susjedna atoma, tada će za kristale sa jednostavnom kubičnom rešetkom, gdje svaki atom ima 6 najbližih susjeda (koordinacijski broj = 6), podjela nivoa na zone biti 12 EA, za lice -centriranoj rešetki (CN = 12 ) širina energetsko dozvoljene zone biće 24 EA, au tijelo centriranoj (CN = 8) - 16 EA.

Pošto energija razmene EA zavisi od stepena preklapanja elektronskih ljuski, energetski nivoi unutrašnjih školjki, koje su jače lokalizovane u blizini jezgra, manje su podeljene od nivoa valentnih elektrona. Ne samo normalni (stacionarni) već i pobuđeni nivoi energije podložni su cijepanju u zonu. Širina dozvoljenih zona se povećava kako se krećete gore na energetskoj skali, a veličina zabranjenih energetskih praznina se u skladu s tim smanjuje.

Svaka zona se sastoji od mnogo energetskih nivoa. Njihov broj je određen brojem atoma koji čine čvrstu materiju, tj. u kristalu konačne veličine, udaljenost između nivoa je obrnuto proporcionalna broju atoma. Prema Paulijevom principu, svaki energetski nivo ne može sadržavati više od dva elektrona, sa suprotnim spinovima. Stoga se ispostavlja da je broj elektronskih stanja u opsegu konačan i jednak broju odgovarajućih atomskih stanja. Ispostavlja se da je i broj elektrona koji ispunjavaju dati energetski pojas konačan. Kada se N atoma zbliže, u svakoj zoni se pojavljuje N podnivoa. Kristal zapremine 1 cm 3 sadrži 10 22 -10 23 atoma. Eksperimentalni podaci pokazuju da opseg energije valentnog elektronskog pojasa ne prelazi nekoliko elektronvolti. Iz toga proizilazi da su nivoi u zoni energetski razdvojeni za 10 -22 - 10 -23 eV, odnosno nivoi su locirani toliko blizu da se i pri niskim temperaturama ova zona može smatrati zonom kontinuiranih dozvoljenih energija, tj. karakterizira kvazi-kontinuirani spektar. Zanemarljivo mali energetski udar je dovoljan da izazove prijelaz elektrona s jednog nivoa na drugi, ako tamo postoje slobodna stanja. Odnosno, zbog male razlike u energiji dva susjedna podnivoa, orbitale valentnih elektrona u kristalu se percipiraju kao kontinuirana zona, a ne kao skup diskretnih energetskih nivoa.

Još strožije, možemo govoriti samo o vjerovatnoći da se elektron nalazi u određenoj tački u prostoru. Ova vjerovatnoća je opisana pomoću valnih funkcija x, koje se dobijaju rješavanjem Schrödingerove valne jednačine. Kada atomi interaguju i izgled hemijske veze Valne funkcije valentnih elektrona također se mijenjaju.

Izvođenje energetskog spektra elektrona u kristalu iz energetskih nivoa u izolovanim atomima naziva se aproksimacija čvrstog vezivanja. To više vrijedi za elektrone koji se nalaze na dubokim nivoima i manje su podložni vanjskim utjecajima. U složenim atomima, energija elektrona je određena glavnom kvantni broj n i orbitalni kvantni broj l. Uzimajući u obzir interakcije u kristalu (aproksimacija slaba veza) pokazuje da se tokom formiranja kristala atomski nivoi dijele na N(2l+1) podnivoa, na kojima se može smjestiti 2N(2l+1) elektrona.

Poput nivoa energije u izolovanim atomima, energetski pojasevi mogu biti potpuno popunjeni, djelimično ispunjeni ili prazni. Unutrašnje ljuske u izolovanim atomima su popunjene, pa se ispostavljaju da su popunjene i odgovarajuće zone. Najgornja od popunjenih traka naziva se valentni pojas. Ova zona odgovara energetskim nivoima elektrona vanjske ljuske u izolovanim atomima. Slobodna, nepopunjena zona koja joj je najbliža naziva se provodni pojas. Između njih je zabranjena zona. Punjenje provodnog pojasa počinje kada elektroni u valentnom pojasu dobiju dodatnu energiju dovoljnu da savladaju energetsku barijeru jednaku pojasu pojasa.

Odsustvo bilo kakvog nivoa energije u pojasu pojasa karakteristično je samo za savršene kristale. Svako narušavanje idealnosti periodičnog polja u kristalu povlači narušavanje idealnosti trakaste strukture. U pravom kristalu uvijek postoje defekti u kristalnoj rešetki. Ako je broj defekata u kristalu mali, oni će biti locirani na značajnim udaljenostima jedan od drugog i lokalizirani. Stoga će se promijeniti energetsko stanje samo onih elektrona koji se nalaze u području defekta, što će dovesti do formiranja lokalnih energetskih stanja superponiranih na idealnu trakastu strukturu. Broj takvih stanja je ili jednak broju nedostataka ili ga premašuje ako je nekoliko takvih stanja povezano s defektom. Lokacija lokalnih država ograničena je na region u blizini defekta. Elektroni koji se nalaze na ovim energetskim nivoima povezani su sa defektima i stoga ne mogu učestvovati u električnoj provodljivosti. Odnosno, nivoi defekata na kojima se nalaze nalaze se u pojasu pojasa kristala.

Sa povećanjem temperature povećava se amplituda termičkih vibracija atoma, povećava se stepen njihove interakcije i stepen cijepanja energetskih nivoa. Dakle, dozvoljene zone postaju šire, a zabranjene, shodno tome, uže. Kada se međuatomske udaljenosti mijenjaju, ovisno o prirodi cijepanja nivoa, jaz u pojasu se može povećati ili smanjiti. To se događa, na primjer, pod utjecajem pritiska na kristal.

Teorija pojaseva omogućava formulisanje kriterija koji omogućava podjelu čvrstih tijela u dvije klase - metale i poluvodiče (dielektrike). Teorija traka je prvobitno razvijena za kristalne čvrste materije, ali je in poslednjih godina njene ideje su se počele širiti na amorfne supstance.

proporcionalno T: n ~T. Shodno tome, koeficijent toplotne provodljivosti treba da bude obrnuto proporcionalan temperaturi, što je u kvalitativnom skladu sa eksperimentom. Na temperaturama ispod Debajeve temperature, l je praktično nezavisan od T, a toplotna provodljivost je u potpunosti određena zavisnošću toplotnog kapaciteta kristala od T, C V ~ T 3. Stoga, na niskim temperaturama λ ~T 3. Karakteristična zavisnost toplotne provodljivosti od temperature prikazana je na slici 9.

Kod metala, pored rešetkaste toplotne provodljivosti, potrebno je uzeti u obzir i toplotnu provodljivost zbog prenosa toplote slobodnim elektronima. Ovo objašnjava visoku toplotnu provodljivost metala u poređenju sa nemetalima.

3. Elektronska struktura kristali.

3.1.Kretanje elektrona u periodičnom polju. Pojasna struktura energetskog spektra elektrona u kristalu. Blochove funkcije. Disperzione krive. Efektivna masa.

U čvrstom tijelu, udaljenosti između atoma su uporedive s njihovim veličinama. Stoga se elektronske ljuske susjednih atoma djelomično preklapaju i barem se valentni elektroni svakog atoma nalaze u prilično jakom polju susjednih atoma. Tačan opis kretanje svih elektrona uzimajući u obzir Kulonovsku interakciju elektrona međusobno i sa atomska jezgra je izuzetno težak zadatakčak i za jedan atom. Stoga se obično koristi metoda samokonzistentnog polja u kojoj se problem svodi na opisivanje kretanja svakog pojedinačnog elektrona u efektivnom potencijalnom polju koje stvaraju atomska jezgra i usrednjeno polje preostalih elektrona.

Razmotrimo prvo strukturu energetskih nivoa kristala, zasnovanu na aproksimaciji jakog vezivanja, u kojoj se pretpostavlja da energija veze elektrona sa njegovim atomom znatno premašuje kinetička energija njegovo kretanje od atoma do atoma. Na velikim udaljenostima između atoma, svaki od njih ima sistem uskih energetskih nivoa koji odgovaraju vezanim stanjima elektrona i jona. Kako se atomi približavaju, širina i visina potencijalnih barijera između njih se smanjuju, a zahvaljujući efektu tuneliranja, elektroni se mogu kretati od

jedan atom u drugi, što je praćeno širenjem energetskih nivoa i njihovom transformacijom u energetske zone.(Sl. 10). Ovo posebno vrijedi za slabo vezane valentne elektrone, koji se mogu lako kretati kroz kristal od atoma do atoma, i u određenoj mjeri postati slični slobodnim elektronima. Elektroni dubljih energetskih nivoa su svaki mnogo jače vezani za svoj atom. Oni formiraju uske energetske pojaseve sa širokim rasponom zabranjenih energija. Na sl. Slika 10 konvencionalno prikazuje potencijalne krive i nivoe energije za kristal Na. Opšti karakter Energetski spektar elektrona u zavisnosti od međunuklearne udaljenosti, d, prikazan je na slici 11. U nekim slučajevima, gornji nivoi se toliko šire da se susjedni energetski pojasevi međusobno preklapaju. Na sl. 11 ovo se dešava kada je d = d1.

Na osnovu Heisenberg-Bohrovog odnosa nesigurnosti, širina energetskog pojasa, ∆ε, povezana je sa vremenom zadržavanja τ elektrona na određenom mjestu rešetke relacijom: ∆ε τ > h. Zbog efekta tuneliranja, elektron može procuriti kroz potencijalnu barijeru. Prema procjeni, na međuatomskoj udaljenosti d ~ 1Aτ ~ 10 -15 s, pa prema tome ∆ε ~ h/τ ~ 10 -19 J ~ 1 eV, tj. Pojasni razmak je reda veličine jednog ili nekoliko eV. Ako se kristal sastoji od N atoma, onda se svaki energetski pojas sastoji od N podnivoa. Kristal veličine 1 cm3 sadrži N~ 1022 atoma. Posljedično, sa širinom pojasa od ~ 1 eV, razmak između podnivoa je ~ 10 -22 eV, što je znatno manje od energije termičko kretanje V normalnim uslovima. Ova udaljenost je toliko neznatna da se u većini slučajeva zone mogu smatrati praktično neprekidnim.

IN savršen kristal jezgra atoma nalaze se na mjestima kristalne rešetke, formirajući striktno periodičnu strukturu. U skladu s tim, potencijalna energija elektrona, V(r), također periodično ovisi o prostornim koordinatama, tj. ima translaciona simetrija:

rešetke, a i (i = 1,2,3,...) – vektori glavnih translacija.

Talasne funkcije i nivoi energije u periodičnom polju (1) određuju se rješavanjem Schrödingerove jednadžbe

predstavlja proizvod jednačine ravnog putujućeg talasa, ei kr, periodičnim faktorom, u k (r) = u k (r + a n), sa periodom rešetke. Funkcije (3) se nazivaju Blochove funkcije.

Kod V(r) = 0, jednadžba (2) ima rješenje u obliku ravnog vala:

gdje je m masa čestice. Prikazana je zavisnost energije E od talasnog broja krivulja disperzije. Prema (5), u slučaju slobodnog elektrona, ovo je parabola. Po analogiji sa slobodnim kretanjem, vektor k u jednačini (3) naziva se talasni vektor, ap = h k – kvazi-moment.

U aproksimaciji slabe sprege razmatra se kretanje gotovo slobodnih elektrona na koje utiče perturbirajuće polje periodičnog potencijala jonskih jezgara. Za razliku od slobodnog kretanja, u periodičnom polju V(r) jednadžba (2) nema rješenja za sve vrijednosti E. Područja dozvoljenih energija se izmjenjuju sa područjima zabranjenih energija. U modelu slabe sprege, ovo se objašnjava Braggovom refleksijom elektronskih talasa u kristalu.

Razmotrimo ovo pitanje detaljnije. Uslov za maksimalnu refleksiju elektronskih talasa u kristalu (Wulff–Braggov uslov) određen je formulom (17) deo I. Uzimajući u obzir da je G = n g, dobijamo:

Razmotrimo sistem konačnih intervala koji ne sadrže vrijednosti k koje zadovoljavaju relaciju (7):

( - n g /2

Područje promjene k u trodimenzionalnom k ​​- prostoru, dato formulom

(8) za sve moguće pravce određuje granice n-te Brillouin zone. Unutar svake Brillouin zone (n= 1,2,3,...) energija elektrona je kontinuirana funkcija od k, a na granicama zona trpi diskontinuitet. Zaista, ako je ispunjen uslov (7) za amplitudu incidenta,

ψ k (r) = uk (r) ei kr

i reflektovano

ψ -k (r) = u - k (r) e -i kr

talasi će biti isti, u k (r) = u -k (r). Ovi valovi daju dva rješenja Schrödingerove jednačine:

Ova funkcija opisuje akumulaciju negativnog naboja na pozitivnim ionima, gdje je potencijalna energija najniža. Slično, iz formule (9b) dobijamo:

ρ 2 (r) = |ψ 2 (r)|2 =4 u g/2 2 (r)sin 2 (gr/2)

Ova funkcija opisuje raspodjelu elektrona u kojoj se oni nalaze pretežno u područjima koja odgovaraju sredini udaljenosti između jona. U tom slučaju potencijalna energija će biti veća. Funkcija ψ 2 će odgovarati energiji E2 > E1.

praznine širine Npr. Energija E`1 određuje gornju granicu prve zone, a energija E2 donju granicu druge zone. To znači da kada se elektronski talasi šire u kristalima, nastaju energetski rasponi za koje ne postoje rješenja Schrödingerove jednadžbe koja imaju talasnu prirodu.

Budući da priroda zavisnosti energije od valnog vektora značajno utječe na dinamiku elektrona u kristalu, zanimljivo je razmotriti, kao primjer, najjednostavniji slučaj linearnog lanca atoma koji se nalazi na udaljenosti a jedan od drugog duž x ose. U ovom slučaju g = 2π /a. Slika 12 prikazuje krivulje disperzije za prve tri jednodimenzionalne Brillouin zone: (-

π/a< k <π /a), (-2π /a < k < -π /a; π/ a < k < 2π /a), (-3π/ a < k < -2π /a; 2π /a < k < 3π /a). К запрещенным зонам относятся области энергии Е`1 < E < E2 , E`2 <

E< E3 и т.д.

Na sl. 12 predstavljeno krug proširene zone, u kojoj se različite energetske zone nalaze u VC prostoru u različitim Brillouin zonama. Međutim, uvijek je moguće, a često i zgodno, odabrati valni vektor tako da njegov kraj leži unutar prve Brillouinove zone. Zapišimo Blochovu funkciju kao:

leže u prvoj Brillouin zoni. Zamjenom k ​​u formulu (11) dobijamo:

ima oblik Blochove funkcije sa Blochovim množiteljem (13). Indeks n sada označava broj energetske zone kojoj data funkcija pripada. Zove se postupak za dovođenje proizvoljnog valnog vektora u prvu Brillouinovu zonu dijagrame datih zona. U ovoj šemi, vectork uzima vrijednosti -g/2< k < g/2 , но одному и тому же значениюк будут отвечать различные значения энергии, каждое из которых будет соответствовать одной из зон. На рисунке 13 представлена схема приведенных зон для одномерной решетки, соответствующая расширенной зонной схеме на рисунке 12.

Dakle, postojanje energetskih praznina je posljedica Braggove refleksije de Broglieovih elektronskih valova od kristalnih ravnina. Prelomne tačke određene su uslovima maksimalne refleksije talasa.

Prema zakonima kvantne mehanike, translaciono kretanje elektrona se smatra kretanjem talasnog paketa sa talasnim vektorima blizu vektora k. Grupna brzina talasnog paketa, v, je data sa

Jedan od glavnih problema teorije čvrstog stanja je određivanje energetskog spektra i stacionarnih stanja elektrona u kristalu. Kvalitativna ideja o ovom spektru može se dobiti uz pomoć približnih metoda i pojednostavljenja. Prvo, smatra se da podsistem jezgara praktično miruje (u odnosu na brzo kretanje elektrona) - adijabatska aproksimacija. Drugo, pretpostavlja se da se svaki elektron kreće u polju koje stvaraju drugi elektroni i nezavisno od trenutnog položaja datog elektrona, što omogućava da se kretanje svakog elektrona posmatra nezavisno od svih ostalih i da ga opiše Schrödinger sa jednim elektronom. jednačina.

Ova aproksimacija se zove jednoelektronski.

Aproksimacija čvrsto vezanih elektrona. U izolovanom atomu, elektroni su u stanju da zauzimaju samo diskretne energetske nivoe, koji su razdvojeni intervalima zabranjenih energija. U ovom slučaju, elektroni imaju tendenciju da zauzmu najniže nivoe, ali pod uslovom da na svakom nivou nema više od dva elektrona (Paulijev princip).

Prilikom formiranja kristala, zbog spajanja N identičnih atoma, između njih nastaju sile interakcije: sile odbijanja između jezgara i između elektrona susjednih atoma i sile zatezanja između svih jezgara i svih elektrona.

Aproksimacija jako vezanih elektrona temelji se na ideji da generalizirani elektroni održavaju dovoljno jaku vezu s atomima, a njihova potencijalna energija se može predstaviti u sljedećem obliku.

, (4.20)

Gdje Ua– potencijalna energija elektrona u izolovanom atomu. Za kristal, to je periodična funkcija s periodom jednakim parametru rešetke, budući da se energija elektrona ponavlja kada prelazi s jednog atoma na drugi;
je pojam korekcije koji uzima u obzir utjecaj susjednih atoma na ovu energiju.

Ako u (4.20) zanemarimo popravni član
, one. razmotriti tzv nulta aproksimacija, tada kao valnu funkciju i energiju elektrona u kristalu treba uzeti valnu funkciju i energija E a elektrona u izolovanom atomu:
,
.

Razlika između kristala i pojedinačnog atoma u ovom slučaju je sljedeća. Dok je u izolovanom atomu ovaj energetski nivo E a jedinstven, u kristalu koji se sastoji od N atoma ponavlja se N puta. Drugim riječima, svaki nivo izolovanog atoma u kristalu ispada N-umnožiti degenerisati.

Uzmimo sada u obzir termin korekcije
u potencijalnoj energiji (4.20). Kako se izolirani atomi približavaju i formiraju rešetku, svaki atom se nalazi u sve većem polju svojih susjeda s kojima je u interakciji.

U polju ovih sila otklanja se degeneracija atomskih nivoa. Zato svaki energetski nivo, nije degenerisan u izolovanom atomu, razdvaja se u N blisko podnivoa koji se nalaze jedan od drugog, formirajući energetsku zonu. Ova zona se sastoji od veoma blisko raspoređenih energetskih nivoa, čija se gustina povećava sa rastojanjem od ivica zone prema paraboličkom zakonu, dostižući maksimum u sredini zone. Kako se atomi približavaju, najprije se dijele najviši energetski nivoi, a zatim niži kako se atomi približavaju.

Mehanizam formiranja energetskih zona prikazan je na slici 4.3.

Rice. 4.3. Šema formiranja energetskih pojaseva u kristalu

Kada bi nivo energije imao u atomu (2 l+1) –višestruka degeneracija, tada će se odgovarajući energetski pojas sastojati od N(2 l+1) podnivoa. Dakle, nivo s daje zonu s, koji se sastoji od N podnivoa i sposoban za smještaj 2 N elektrona: nivo p daje pojas p koji se sastoji od 3 N podnivoa i sposobni da drže 6N elektrona, itd.

Budući da kristal zapremine 1 m 3 sadrži približno 10 28 atoma, a širina energetskog pojasa je oko 1 eV, razmak između energetskih nivoa u pojasu je oko 10-28 eV. Stoga je zanemarljivo mali energetski uticaj dovoljan da izazove prelaz elektrona sa jednog nivoa na drugi unutar pojasa; možemo pretpostaviti da su energetski pojasevi kvazi-kontinuirani.

Uticaj polja rešetke na različite nivoe atoma nije isti. Nivoi unutrašnjih elektrona, koji snažno stupaju u interakciju s jezgrom, doživljavaju tako slabo cijepanje da se može zanemariti: kako se krećemo ka sve više vanjskih elektrona, energija njihove interakcije s jezgrom opada, a utjecaj vanjskog polja povećava. Najjaču promenu pod uticajem polja doživljavaju nivoi spoljašnjih valentnih elektrona, koji su relativno slabo povezani sa jezgrom, a energetske zone, formiran od energetskih nivoa ovih elektrona, ispostavilo se da je najširi. O tome svjedoči priroda elektronskih oblaka valentnih elektrona: oni se toliko preklapaju da stvaraju rezultirajući oblak gotovo ujednačene gustine. To odgovara stanju njihove potpune socijalizacije u rešetki. Takvi socijalizirani elektroni se obično nazivaju besplatno, i njihova ukupnost – elektronski gas.

Unutrašnji elektroni, snažno vezani za jezgro, doživljavaju samo blage perturbacije od susjednih atoma, zbog čega njihovi energetski nivoi u kristalu ostaju gotovo jednako uski kao u izoliranim atomima.

Dakle, svaki energetski nivo izolovanog atoma u kristalu odgovara dozvoljena energetska zona: nivo 1 s – zona 1 s, nivo 2 r– zona 2 r itd. Zone dozvoljenih energija su odvojene zonama zabranjenih energija – zabranjene zone E g. Kako se energija elektrona u atomu povećava, širina dozvoljenih traka raste, dok se širina zabranjenih smanjuje.

U mnogim slučajevima može doći do preklapanja između dozvoljenih područja. Kao i energetski nivoi u izolovanim atomima, energetski pojasevi mogu biti potpuno ispunjeni elektronima, delimično ispunjeni ili prazni. Sve zavisi od strukture elektronskih ljuski izolovanih atoma i međuatomskih udaljenosti u kristalu. Najgornja zona, djelomično ili potpuno ispunjena elektronima, naziva se valentni pojas, a najbliža joj je nepopunjena zona provodna zona.

Aproksimacija slobodnih elektrona. Razmotrimo slučaj kretanja potpuno slobodnog elektrona duž X ose, opisan na sljedeći način Schrödengerova jednadžba:

, (4.21)

, (4.22)

pošto slobodni elektron ima kinetičku energiju.

Formula (4.22) predstavlja disperzioni odnos za slobodne elektrone, izražavajući zavisnost E(p). Može se pretvoriti na sljedeći način. Prema formuli Louisa de Brogliea,

, (4.23)

gdje je λ talasna dužina elektrona, i

. (4.24)

Vektor k, u smjeru koji se poklapa sa smjerom prostiranja elektronskog talasa, i veličine jednake 2π/λ, naziva se talasni vektor elektrona. Zamjenom p iz (4.23) u (4.22) dobijamo

. (4.25)

Iz (4.22) i (4.24) je jasno da je za slobodne elektrone zakon disperzije kvadratne prirode, a za jednodimenzionalno kretanje elektrona izraženo je kvadratnom parabolom prikazanom na slici 4.4.

Rješenje jednačine (4.21) je ravan putujući val:

, (4.26)

Gdje A– amplituda talasa.

Sl.4.4. Zakon disperzije za slobodni elektron

Kvadrat modula valne funkcije proporcionalan je, kao što je poznato, vjerovatnoći detekcije elektrona u određenom području prostora. Kao što se može vidjeti iz (4.26), za slobodni elektron ova vjerovatnoća ne zavisi od elektronske koordinate, jer

To znači da su za slobodni elektron sve tačke u prostoru ekvivalentne i da je verovatnoća da se on nađe u bilo kojoj od njih ista.

Aproksimacija slabo vezanih elektrona. Okrenimo se slučaju kretanja elektrona u periodičnom polju kristala formiranog od pravilno lociranih iona rešetke (slika 4.5).

Slika 4.5 Vjerovatnoća detekcije elektrona pri kretanju u polju ispravno lociranih jona

U ovoj aproksimaciji, potencijalna energija elektrona je predstavljena kao

;
, (4.28)

Gdje U 0 (x) – potencijalna energija elektrona u polju pozitivnih jona, pod pretpostavkom da je ovo polje kompenzovano poljem svih ostalih elektrona;

U 0 (x) - periodična funkcija sa periodom jednakim konstanti rešetke;

- uzima u obzir nepotpunu lokalnu kompenzaciju jonskog polja elektronima. Vjerojatnost pronalaženja elektrona na datoj lokaciji u kristalu mora biti periodična funkcija koordinate x, budući da se pozicije razlikuju jedna od druge za iznos koji je višekratnik konstante rešetke A(na primjer, odredbe A, A' I IN na slici 4.5) za elektron su podjednako verovatne. Samo će pozicije u istom periodu biti različite A(na primjer, unutar ACA perioda). To znači da amplituda valne funkcije
elektron koji se kreće u periodičnom polju ne ostaje konstantan, kao slobodni elektron, već se periodično mijenja ili, kako kažu, modulira s periodom jednakim periodu rešetke a. Označimo ovu amplitudu sa u(x). Zatim valna funkcija za elektron koji se kreće u periodičnom polju kristal u pravcu x-ose može se predstaviti u sledećem obliku:

, (4.29)

u ovom slučaju u(x+na)=u(x), gdje je n bilo koji cijeli broj. Relacija (4.29) se zove Blochova funkcija. Specifičan oblik ove funkcije određen je tipom potencijalne energije U(x) uključene u Schrödingerovu jednačinu (4.9).

Shodno tome, disperzioni odnos elektrona koji se kreću u periodičnom polju kristala bi takođe trebalo da se promeni u poređenju sa slobodnim elektronima. Prvo, energetski spektar takvih elektrona dobija trakasti karakter. Unutar svake zone ispostavlja se da je energija elektrona periodična funkcija valnog vektora k i za jednodimenzionalni kristal (atomski lanac) sa parametrom A može se izraziti sljedećom relacijom:

Gdje E A– energija atomskog nivoa od kojeg je zona nastala; WITH– pomeranje ovog nivoa pod uticajem polja susednih atoma; A- tzv integral razmene, uzimajući u obzir mogućnost prijelaza s atoma na atom koja se pojavila za elektrone kristala zbog preklapanja njihovih valnih funkcija. Što je veće preklapanje između valnih funkcija, tj. što je veća frekvencija kojom susjedni atomi mogu razmjenjivati ​​svoje elektrone. Za s-stanja A s <0 , za p-stanja A str >0 , stoga je preporučljivo napisati relaciju (4.30) odvojeno za s- i p-zonu:

za r-zone

Gdje
;
;,- apsolutna vrijednost razmjenskih integrala za ova stanja.

Na sl. 4.6. prikazane su krive disperzije E(k) za s- i p-zonu konstrukciju pomoću jednadžbi (4.31) i (4.32).

Za s-stanja E s at k=0 uzima minimalnu vrijednost
. Kako se k povećava, ono se smanjuje coska I
raste, dostižući svoju maksimalnu vrijednost
at
.

Sl.4.6. Ovisnost E(k) u predstavljanju datih zona

Promjene na isti način E s (k) prilikom mijenjanja k od 0 do – π/a. Širina dozvoljene s-zone koja se proteže od E s min to E s Max, je jednako

Za p-stanja
se nalazi u
, A
na k=0. Širina P-zone

je još uvijek određena vrijednošću razmjenskog integrala A r. Po pravilu, što je viši atomski nivo, to se više talasne funkcije elektrona ovog nivoa u kristalu preklapaju, veći je integral razmene i širi energetski pojas formiran od ovog nivoa. Zbog toga se od visokih atomskih nivoa formiraju široki energetski pojasevi, odvojeni uskim prazninama (vidi sliku 4.3).

Opsezi talasnih vektora k, u okviru koje je energija E(k) elektron, kao periodična funkcija k, doživljava puni ciklus svoje promjene, tzv Brillouin zone. Za jednodimenzionalni kristal (atomski lanac), prva Brillouinova zona se proteže od
to
i ima dužinu
(Sl. 4.6), dva segmenta od
to
i od
to
predstavljaju drugu Brillouin zonu itd. Sa vrijednostima
, Gdje
energija se lomi, što dovodi do stvaranja praznina širine E g .

Sve moguće energetske vrijednosti u svakoj energetskoj zoni mogu se dobiti promjenom k unutar prve Brillouinove zone, dakle zavisnost E(k) često izgrađen samo za prvu zonu. Sve ostale vrijednosti E mogu biti dovedeni u ovu zonu. Ovakav način prikazivanja E(k) pozvao dijagram datih zona(Sl. 4.6). Moguća je i druga metoda, nazvana shema proširene zone (slika 4.7).

Ovdje se nalaze različite energetske zone k-prostor u različitim Brillouin zonama.

Sl.4.7. Predstavljanje energetskih opsega u proširenom dijagramu pojasa

Na sl. 4.7 takođe pokazuje paraboličnu zavisnost E(k) za slobodni elektron. Blizu ekstrema krivulje disperzije, tj. bliske tačke k=0 I
(sredina i granica prve Brillouin zone),
mogu se poredati u nizu prema ka (k brojite od 0 ako je ekstremum u sredini Brillouin zone, i od
, ako je ekstremum na granici Brillouin zone) i ograničimo se na prva dva člana ekspanzije:

Zamijenivši ovo u (4.31) i (4.32) dobijamo:

Minimum krivulje disperzije E(k) se naziva dnu energetske zone, maksimalno – top ili plafon zone. Stoga se dobijene relacije mogu prepisati u sljedećem općenitijem obliku:

Za dno zone;

Za područje stropa.

Dakle, na dnu i na vrhu energetskog pojasa, energija elektrona je proporcionalna kvadratu valnog vektora, izračunatom na gore navedeni način, i razmjenskom integralu, koji određuje širinu pojasa. Na slici 4.6, parabole koje odgovaraju jednadžbi 4.35 i 4.36 prikazane su isprekidanom linijom.

Razmotrimo fizičku prirodu diskontinuiteta u energetskom spektru elektrona na granicama Brillouinovih zona. Hajde da se izrazimo k kroz talasnu dužinu elektrona λ i napiši uslov za diskontinuitet funkcije E(k):

ili
. (4.37)

Ovo je dobro poznati Wulff-Braggov uslov za upad elektronskog talasa na rešetku okomitu na atomske ravni. Posljedično, diskontinuiteti u energetskom spektru elektrona u kristalu nastaju kada je zadovoljen uslov Braggove refleksije (4.37). Elektroni sa ovom talasnom dužinom prolaze kroz refleksiju i ne mogu se širiti u kristalu.

Za realne kristale, zavisnost E(k) je po pravilu mnogo složenija od one opisane formulom (4.30).

Na sl. 4.8. Kao primjer, prikazane su krivulje disperzije koje ograničavaju pojas provodljivosti (kriva 1) i valentni pojas (kriva 2) silicija.

Rice. 4.8. Disperzione krive i pojasni dijagram silicija