Dok je sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva pogodnije za obavljanje u algebarskom obliku, množenje i dijeljenje je lakše izvesti pomoću trigonometrijskog oblika kompleksnih brojeva.
Uzmimo dva proizvoljna kompleksna broja data u trigonometrijskom obliku:
Množenjem ovih brojeva dobijamo:
Ali prema trigonometrijskim formulama
Dakle, kada se množe kompleksni brojevi, množe se njihovi moduli i argumenti
preklopiti. Budući da se u ovom slučaju moduli konvertuju odvojeno, a argumenti - odvojeno, izvođenje množenja u trigonometrijskom obliku je lakše nego u algebarskom obliku.
Iz jednakosti (1) slijede sljedeće relacije:
Pošto je dijeljenje inverzno djelovanje množenja, to dobivamo
Drugim riječima, modul količnika je jednak omjeru modula dividende i djelitelja, a argument kvocijenta je razlika između argumenata dividende i djelitelja.
Hajde da se sada zadržimo na tome geometrijskog smisla množenje kompleksnih brojeva. Formule (1) - (3) pokazuju da da biste pronašli proizvod, morate prvo povećati modul broj puta bez promjene njegovog argumenta, a zatim povećati argument rezultirajućeg broja bez promjene njegovog modula. Prva od ovih operacija geometrijski znači homotetiju u odnosu na tačku O sa koeficijentom, a druga znači rotaciju u odnosu na tačku O pod uglom jednakim Uzimajući u obzir ovde jedan faktor konstantan, a drugi promenljiv, možemo formulisati rezultat kako slijedi: formula
Dok je sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva pogodnije za obavljanje u algebarskom obliku, množenje i dijeljenje je lakše izvesti pomoću trigonometrijskog oblika kompleksnih brojeva.
Uzmimo dva proizvoljna kompleksna broja data u trigonometrijskom obliku:
Množenjem ovih brojeva dobijamo:
Ali prema trigonometrijskim formulama
Dakle, kada se množe kompleksni brojevi, množe se njihovi moduli i argumenti
preklopiti. Budući da se u ovom slučaju moduli konvertuju odvojeno, a argumenti - odvojeno, izvođenje množenja u trigonometrijskom obliku je lakše nego u algebarskom obliku.
Iz jednakosti (1) slijede sljedeće relacije:
Pošto je dijeljenje inverzno djelovanje množenja, to dobivamo
Drugim riječima, modul količnika je jednak omjeru modula dividende i djelitelja, a argument kvocijenta je razlika između argumenata dividende i djelitelja.
Zaustavimo se sada na geometrijskom značenju množenja kompleksnih brojeva. Formule (1) - (3) pokazuju da da biste pronašli proizvod, morate prvo povećati modul broj puta bez promjene njegovog argumenta, a zatim povećati argument rezultirajućeg broja bez promjene njegovog modula. Prva od ovih operacija geometrijski znači homotetiju u odnosu na tačku O sa koeficijentom, a druga znači rotaciju u odnosu na tačku O pod uglom jednakim Uzimajući u obzir ovde jedan faktor konstantan, a drugi promenljiv, možemo formulisati rezultat kako slijedi: formula
Kompleksni broj je broj oblika , gdje su i realni brojevi, tzv imaginarna jedinica. Broj je pozvan pravi dio() kompleksni broj, broj se zove imaginarni deo () kompleksni broj.
Kompleksni brojevi su predstavljeni sa kompleksna ravan:
Kao što je gore spomenuto, slovo obično označava skup realnih brojeva. Mnogi isto kompleksni brojevi obično se označava "podebljanim" ili zadebljanim slovom. Stoga slovo treba staviti na crtež, što ukazuje na činjenicu da imamo složenu ravan.
Algebarski oblik kompleksnog broja. Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva
Sabiranje kompleksnih brojeva
Da biste sabrali dva kompleksna broja, potrebno je sabrati njihove stvarne i imaginarne dijelove:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).
Za kompleksne brojeve važi pravilo prve klase: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – zbir se ne menja preuređivanjem članova.
Oduzimanje kompleksnih brojeva
Radnja je slična sabiranju, jedina je posebnost u tome što je oduzeti dio potrebno staviti u zagrade, a zatim se zagrade moraju otvoriti na standardni način sa promjenom predznaka:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
Množenje kompleksnih brojeva
Osnovna jednakost kompleksnih brojeva:
Proizvod kompleksnih brojeva:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Kao i zbir, proizvod kompleksnih brojeva je promjenjiv, odnosno jednakost je tačna: .
Podjela kompleksnih brojeva
Izvodi se podjela brojeva množenjem nazivnika i brojioca konjugiranim izrazom nazivnika.
2 Pitanje. Kompleksna ravan. Modul i argumenti kompleksnih brojeva
Svaki kompleksni broj z = a + i*b može biti pridružen tački sa koordinatama (a;b), i obrnuto, svaka tačka sa koordinatama (c;d) može biti povezana sa kompleksnim brojem w = c + i* d. Tako se uspostavlja korespondencija jedan prema jedan između tačaka ravni i skupa kompleksnih brojeva. Stoga se kompleksni brojevi mogu predstaviti kao tačke na ravni. Obično se naziva ravan na kojoj su prikazani kompleksni brojevi složena ravan.
Međutim, češće se kompleksni brojevi prikazuju kao vektor sa početkom u tački O, naime kompleksni broj z = a + i*b se prikazuje kao radijus vektor tačke sa koordinatama (a;b). U ovom slučaju, slika kompleksnih brojeva iz prethodnog primjera će biti ovakva: 
Slika zbira dva kompleksna broja je vektor jednak zbiru vektora koji predstavljaju brojeve i . Drugim riječima, kada se saberu kompleksni brojevi, dodaju se i vektori koji ih predstavljaju.
Neka kompleksni broj z = a + i*b bude predstavljen radijus vektorom. Tada se naziva dužina ovog vektora modul broj z i označen je sa |z| .
|
|
Ugao koji formira radijus vektor broja sa osom naziva se argument brojeva i označava se sa arg z. Argument broja nije određen jednoznačno, već na višestruki od . Međutim, obično se argument navodi u rasponu od 0 ili u rasponu od -do. Osim toga, broj ima nedefinirani argument.
Koristeći ovaj odnos, možete pronaći argument kompleksnog broja:
Štaviše, prva formula vrijedi ako je slika broja u prvoj ili četvrtoj četvrtini, a druga ako je u drugoj ili trećoj. Ako je , tada je kompleksni broj predstavljen vektorom na Oy osi i njegov argument je jednak /2 ili 3*/2.
Hajde da dobijemo još jednu korisnu formulu. Neka je z = a + i*b. onda ,
Proizvod dva kompleksna broja definiramo slično kao proizvod realnih brojeva, naime: proizvod se smatra brojem sastavljenim od množenika, kao što je faktor sastavljen od jedinice.
Vektor koji odgovara kompleksnom broju sa modulom i argumentom može se dobiti iz jediničnog vektora čija je dužina jednaka jedan i čiji se smjer poklapa s pozitivnim smjerom ose OX, produžavanjem za faktor i rotiranjem to je faktor pozitivnog smjera pod uglom
Umnožak određenog vektora vektorom je vektor koji će se dobiti ako se na vektor primijeni gore spomenuto produženje i rotacija, uz pomoć kojih se vektor dobije iz jediničnog vektora, a ovaj očito odgovara prava jedinica.
Ako su moduli i argumenti kompleksni brojevi koji odgovaraju vektorima, onda će proizvod ovih vektora očito odgovarati kompleksnom broju s modulom i argumentom . Tako dolazimo do sljedeće definicije proizvoda kompleksnih brojeva:
Proizvod dva kompleksna broja je kompleksan broj čiji je modul jednak proizvodu modula faktora i čiji je argument jednak zbiru argumenata faktora.
Dakle, u slučaju kada su kompleksni brojevi zapisani u trigonometrijskom obliku, imaćemo
Izvedemo sada pravilo za sastavljanje proizvoda za slučaj kada kompleksni brojevi nisu dati u trigonometrijskom obliku:
Koristeći gornju notaciju za module i argumente faktora, možemo pisati
prema definiciji množenja (6):
i konačno dobijamo
U slučaju da su faktori realni brojevi i proizvod se svodi na proizvod aag ovih brojeva. U slučaju jednakosti (7) daje
tj. kvadrat imaginarne jedinice je jednak
Računajući sekvencijalno pozitivne cjelobrojne potencije, dobijamo
i općenito, sa bilo kojom ukupnom pozitivom
Pravilo množenja izraženo jednakošću (7) može se formulirati na sljedeći način: kompleksni brojevi moraju se množiti kao polinomi slova, računajući
Ako je a kompleksan broj, onda se za kompleksni broj kaže da je konjugiran sa a i označava se sa a. Prema formulama (3) iz jednakosti (7) slijedi
i stoga
odnosno proizvod konjugiranih kompleksnih brojeva jednak je kvadratu modula svakog od njih.
Zapazimo i očigledne formule
Iz formula (4) i (7) odmah slijedi da se sabiranje i množenje kompleksnih brojeva povinuju komutativnom zakonu, odnosno da zbir ne ovisi o redoslijedu članova, a proizvod ne ovisi o redu faktori. Nije teško provjeriti valjanost kombinacijskih i distributivnih zakona, izraženih sljedećim identitetima:
Ostavljamo čitaocu da to uradi.
Napominjemo, konačno, da će proizvod nekoliko faktora imati modul jednak proizvodu modula faktora, a argument jednak zbiru argumenata faktora. Dakle, proizvod kompleksnih brojeva će biti jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli.
Proizvod dva kompleksna broja sličan je proizvodu dva realna broja, naime: proizvod se smatra brojem sastavljenim od množenika, kao što je faktor sastavljen od jedinice. Vektor koji odgovara kompleksnom broju sa modulom r i argumentom j može se dobiti iz jediničnog vektora čija je dužina jednaka jedan i čiji se smjer poklapa s pozitivnim smjerom ose OX, produžavanjem za r puta i rotiranjem u pozitivan smjer za ugao j. Umnožak određenog vektora a 1 vektorom a 2 je vektor koji se dobije ako se na vektor a 1 primijeni produženje i rotacija, uz pomoć kojeg se iz jediničnog vektora dobije vektor a 2, a potonji očigledno odgovara stvarnoj jedinici. Ako su (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) moduli i argumenti kompleksnih brojeva koji odgovaraju vektorima a 1 i a 2, onda će proizvod ovih vektora očito odgovarati kompleksnom broju s modulom r 1 r 2 i argument (j 1 + j 2). Dakle, proizvod dva kompleksna broja je kompleksan broj čiji je modul jednak proizvodu modula faktora i čiji je argument jednak zbiru argumenata faktora.
U slučaju kada su kompleksni brojevi zapisani u trigonometrijskom obliku, imamo
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.
U slučaju (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, koristeći notaciju modula i argumenata faktora, možemo napisati:
a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 sin? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2 ; b 2 = r 2 sin? 2 ;
prema definiciji množenja:
x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 grijeh? 1 r 2 grijeh? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 grijeh? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2 ,
i konačno dobijamo:
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.
U slučaju b 1 = b 2 = 0, faktori su realni brojevi a 1 i a 2 i proizvod se svodi na proizvod a 1 a 2 ovih brojeva. U slučaju
a 1 = a 2 = 0 i b 1 = b 2 = 1,
jednakost (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I daje: i???i = i 2 = -1, tj. kvadrat imaginarne jedinice je -1. Računajući sekvencijalno pozitivne cjelobrojne potencije i, dobivamo:
i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...
i, općenito, za bilo koji pozitivan k:
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Pravilo množenja izraženo jednakošću (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) I može biti formulisan na sledeći način: kompleksni brojevi moraju se množiti kao abecedni polinomi, računajući i 2 = -1.
Iz gornjih formula odmah slijedi da se sabiranje i množenje kompleksnih brojeva povinuju komutativnom zakonu, tj. zbir ne zavisi od redosleda pojmova, a proizvod ne zavisi od redosleda faktora. Nije teško provjeriti valjanost kombinacijskih i distributivnih zakona, izraženih sljedećim identitetima:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Proizvod nekoliko faktora će imati modul jednak proizvodu modula faktora i argument jednak zbiru argumenata faktora. Dakle, proizvod kompleksnih brojeva će biti jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli.
Primjer: dati kompleksni brojevi z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Nađi:
a) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; c) z 1 z 2 .
a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (ovdje se uzima u obzir da je i 2 = - 1).
Primjer: slijedite ove korake:
a) (2 + 3i) 2 ; b) (3 - 5i) 2 ; c) (5 + 3i) 3 .
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2H2Č3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 = 9 - 2H3Č5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 = 125 + 3H25Č3i + 3Č5Č9i 2 + 27i 3 ; pošto je i 2 = - 1, i i 3 = - i, dobijamo (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.
Primjer: izvršiti radnje
a) (5 + 3i)(5 - 3i); b) (2 + 5i)(2 - 5i); c) (1 + i)(1 - i).
a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.
