Definicija složenog (kompozitnog) kretanja tačke. Određivanje apsolutnog, relativnog i prenosivog kretanja, brzine i ubrzanja. Dokaz teoreme o sabiranju brzina i Coriolisove teoreme o sabiranju ubrzanja. Coriolisovo (rotaciono) ubrzanje.

Sadržaj

Ovdje ćemo pokazati da u složenom kretanju, apsolutna tačka brzine jednako vektorska suma relativne i prenosive brzine:
.
Apsolutno ubrzanje tačke jednak vektorskom zbroju relativnog, transportnog i Coriolisovog (rotacionog) ubrzanja:
,
gdje je Coriolisovo ubrzanje.

Primjer primjene dolje navedene teorije dat je na stranici „Kompleksno kretanje točke. Primjer rješavanja problema.”

Složeno (kompozitno) kretanje tačke

Često postoje slučajevi kada tačka napravi određeni pokret u odnosu na neku solidan. A ovo tijelo se zauzvrat kreće u odnosu na fiksni koordinatni sistem. Štaviše, kretanje tačke u odnosu na telo i zakon kretanja tela u odnosu na fiksni koordinatni sistem su poznati ili specificirani. Potrebno je pronaći kinematičke veličine (brzinu i ubrzanje) tačke u odnosu na fiksni koordinatni sistem.

Ovo kretanje tačke se zove složeno ili složeno.

Složeno ili složeno kretanje tačke je kretanje u pokretnom koordinatnom sistemu. Odnosno, kretanje tačke je opisano u koordinatnom sistemu, koji se sam pomera u odnosu na fiksni koordinatni sistem.

Dalje, radi jasnoće prezentacije, pretpostavićemo da je pokretni koordinatni sistem kruto povezan sa nekim krutim tijelom. Razmotrićemo kretanje tačke u odnosu na telo ( relativno kretanje) i kretanje tijela u odnosu na fiksni koordinatni sistem (transportno kretanje).

Relativno kretanje tačke tokom složenog kretanja je kretanje tačke u odnosu na telo (pokretni koordinatni sistem), pod pretpostavkom da telo miruje.

Prenosivo pomeranje tačke tokom složenog kretanja je kretanje tačke čvrsto povezane telom, izazvano kretanjem tela.

Apsolutno kretanje tačke tokom složenog kretanja je pomeranje tačke u odnosu na fiksni koordinatni sistem, uzrokovano kretanjem tela i kretanjem tačke u odnosu na telo.

Otežano kretanje. Tačka M se pomiče u odnosu na tijelo koje se kreće.

Neka je Oxyz fiksni koordinatni sistem, O n x o y o z o pokretni koordinatni sistem kruto povezan sa tijelom. Neka su jedinični vektori (orti) usmjereni duž x o , y o , z o osa pokretnog koordinatnog sistema. Tada je vektor radijusa tačke M u fiksnom sistemu određen formulom:
(1) ,
gdje je radijus vektor tačke O n - ishodište pokretnog koordinatnog sistema povezanog sa tijelom.

Relativna brzina i ubrzanje

At relativno kretanje mijenjaju se koordinate x o , y o , z o tačke u odnosu na tijelo. A vektori su konstantni, neovisni o vremenu. Diferenciranje (1) u vremenu, uz pretpostavku konstante, dobijamo formule za relativnu brzinu i ubrzanje:
(2) ;
(3) .

Relativna brzina tačke tokom složenog kretanja je brzina tačke u stacionarnom položaju tela (pokretni koordinatni sistem), uzrokovana pomeranjem tačke u odnosu na telo.

Relativno ubrzanje tačke tokom složenog kretanja je ubrzanje tačke kada telo miruje, uzrokovano pomeranjem tačke u odnosu na telo.

Brzina i ubrzanje prijenosa

At prenosivi pokret mijenjaju se vektori koji određuju položaj tijela. Relativne koordinate tačke x o , y o , z o su konstantne. Diferenciranje (1) u vremenu, uzimajući u obzir x o , y o , z o konstantu, dobijamo formule za prijenosnu brzinu i ubrzanje:
(4) ;
(5) .

Prenosiva brzina tačke pri složenom kretanju je brzina tačke kruto povezane s tijelom, uzrokovana kretanjem tijela.

Prenosno ubrzanje tačke tokom složenog kretanja je ubrzanje tačke kruto povezane sa telom, uzrokovano kretanjem tela.

Vremenski derivati ​​od su brzina i ubrzanje početka pokretnog koordinatnog sistema O n: ; .

Nađimo formule za vremenske derivate vektora. Da biste to učinili, uzmite dvije proizvoljne tačke krutog tijela A i B.

Njihove brzine su povezane relacijom:
.
(vidi stranicu “Brzina i ubrzanje tačaka krutog tijela”). Razmotrimo vektor povučen od tačke A do tačke B.
.
Onda
.
Razlikujemo po vremenu i primjenjujemo prethodnu formulu:
(6) , , .

Dakle, pronašli smo formulu za vremenski izvod vektora koji povezuje dvije tačke tijela: (4) :

.
Budući da su vektori čvrsto povezani s tijelom, njihove vremenske derivacije određuju se ovom formulom: (4) Zamjena u

Dakle, izraz (5) dovodi do formule za brzinu tačaka krutog tijela.
,
Izvođenje sličnih transformacija na formuli

, dobijamo formulu za ubrzanje tačaka krutog tijela:

At gdje je ugaono ubrzanje tijela. mijenjaju se i vektori koji određuju položaj tijela i relativne koordinate tačke x o , y o , z o.

Apsolutna brzina tačke tokom složenog kretanja je brzina tačke u fiksnom koordinatnom sistemu.

Apsolutno ubrzanje tačke tokom složenog kretanja je ubrzanje tačke u fiksnom koordinatnom sistemu.

Teorem adicije brzine

Kod složenog kretanja, apsolutna brzina tačke jednaka je vektorskom zbroju relativne i translacijske brzine:
.

Dokaz

Hajde da razlikujemo (1) (2) I (4) .
(1) ;
(7)
.

Coriolisov teorem o sabiranju ubrzanja

U složenom kretanju, apsolutno ubrzanje tačke je jednako vektorskom zbroju relativnog, translacionog i Koriolisovog (rotacionog) ubrzanja:
,
Gdje
- Coriolisovo ubrzanje.

Dokaz

Hajde da razlikujemo (7) u vremenu, primjenjujući pravila diferencijacije zbira i proizvoda. Zatim vršimo zamjenu (3) I (5) .
(7) .


.

U prošlom terminu se prijavljujemo (6) I (2) .

.
Onda
.

On se kreće u odnosu na neki referentni sistem, a on se, zauzvrat, kreće u odnosu na drugi referentni sistem. U ovom slučaju postavlja se pitanje povezanosti kretanja tačke u ove dvije referentne tačke.

Obično se jedna od referentnih tačaka bira kao osnovna („apsolutna“), druga se naziva „pokretna“ i uvode se sljedeći pojmovi:

• apsolutno kretanje- ovo je kretanje tačke/tijela u bazi SO.
• relativno kretanje- ovo je kretanje tačke/tijela u odnosu na pokretni referentni sistem.
• prenosivi pokret- ovo je kretanje drugog CO u odnosu na prvi.

Uvode se i koncepti odgovarajućih brzina i ubrzanja. Na primjer, prijenosna brzina je brzina točke zbog pomicanja pokretnog referentnog okvira u odnosu na apsolutni. Drugim rečima, ovo je brzina tačke u pokretnom referentnom sistemu koja se u datom trenutku poklapa sa materijalnom tačkom.

Ispostavilo se da kada se dobije veza između ubrzanja u različitim referentnim sistemima, postaje neophodno uvesti još jedno ubrzanje zbog rotacije pokretnog referentnog sistema:

U daljem razmatranju, pretpostavlja se da je baza FR inercijalna, a pokretnoj se ne nameću ograničenja.

Klasična mehanika

Kinematika kretanja složenih tačaka

Brzina

.

Glavni zadaci kinematike složenog kretanja su uspostavljanje zavisnosti između kinematičkih karakteristika apsolutnih i relativnih kretanja tačke (ili tela) i karakteristika kretanja pokretnog referentnog sistema, odnosno prenosivog kretanja. Za tačku, ove zavisnosti su sledeće: apsolutna brzina tačke je jednaka geometrijski zbir relativne i prenosive brzine, tj

.

Ubrzanje

Veza između ubrzanja može se naći razlikovanjem veze za brzine, ne zaboravljajući da koordinatni vektori pokretnog koordinatnog sistema također mogu ovisiti o vremenu.

Apsolutno ubrzanje tačke jednako je geometrijskom zbiru tri ubrzanja - relativnog, prenosivog i Coriolisovog, tj.

.

Kinematika složenog kretanja tijela

Za kruto tijelo, kada su sva kompozitna (tj. relativna i translacijska) kretanja translacijska, apsolutno kretanje je također translacijsko sa brzinom jednakom geometrijskom zbiru brzina kompozitnih kretanja. Ako su komponentna kretanja tijela rotirajuća oko osi koje se sijeku u jednoj tački (kao, na primjer, u žiroskopu), tada je rezultirajuće gibanje također rotaciono oko ove tačke sa trenutnom kutnom brzinom jednakom geometrijskom zbroju ugla brzine kretanja komponenti. Ako su pokreti komponenti tijela i translatorni i rotacijski, tada će rezultirajuće kretanje u općenitom slučaju biti sastavljeno od serije trenutnih pokreta puža.

Možete izračunati odnos između brzina različitih tačaka krutog tijela u različitim referentnim sistemima kombiniranjem formule za sabiranje brzina i Eulerove formule za povezivanje brzina tačaka krutog tijela. Veza između ubrzanja nalazi se jednostavnim diferenciranjem rezultirajuće vektorske jednakosti s obzirom na vrijeme.

Dinamika kretanja složenih tačaka

Kada se razmatra kretanje u neinercijskom referentnom okviru, krše se prva 2 Newtonova zakona. Da bi se osigurala njihova formalna implementacija, obično se uvode dodatne, fiktivne (koje zapravo ne postoje) inercijalne sile: centrifugalna sila i Coriolisova sila. Izrazi za ove sile se dobivaju iz veze između ubrzanja (prethodni dio).

Relativistička mehanika

Brzina

Pri brzinama bliskim brzini svjetlosti, Galilejeve transformacije nisu baš invarijantne i klasična formula za dodavanje brzina prestaje da važi. Umjesto toga, Lorentzove transformacije su invarijantne, a odnos između brzina u dva inercijska referentna okvira je sljedeći:

pod pretpostavkom da je brzina usmjerena duž x-ose sistema S. Lako je vidjeti da se u granici nerelativističkih brzina Lorentzove transformacije svode na Galilejeve transformacije.

Književnost

• N. G. Četajev. " Teorijska mehanika" M.: Nauka. 1987. 368 str.

Opšta formulacija problema relativnog kretanja je sledeća: kretanje tačke određuju posmatrači povezani sa dva različita koordinatna sistema (referentni sistemi), a ti sistemi se kreću na zadati način relativno jedan prema drugom. Svaki posmatrač određuje kinematičke elemente kretanja: putanju, brzinu i ubrzanje u svom referentnom sistemu. Postavlja se zadatak: znajući kretanje jednog referentnog sistema u odnosu na drugi, pronaći vezu između kinematičkih elemenata kretanja tačke u odnosu na svaki sistem posebno. Pretpostavimo da je kretanje tačke M u prostoru se razmatra u dva koordinatna sistema koji se kreću jedan u odnosu na drugi: Oxyz, And (Sl. 41). U zavisnosti od sadržaja zadatka koji se nalazi pred nama, jedan od ovih sistema Oxyz Uzmimo ga kao glavnog i nazovimo ga apsolutnim sistemom i sve njegove kinematičke elemente apsolutnim. Drugi sistem Nazovimo ga relativnim i, shodno tome, kretanje u odnosu na ovaj sistem, kao i njegove kinematičke elemente, relativnim. Termini „apsolutni“ i „relativni“ ovde imaju konvencionalno značenje; kada se razmatraju pokreti, možda bi bilo preporučljivo uzeti prvo jedan ili drugi sistem kao apsolutan. Elementi apsolutnog kretanja će biti označeni indeksom " A ", a relativno - sa indeksom " r ».

Hajde da uvedemo koncept prenosivog kretanja, čiji će elementi biti označeni indeksom " e " Prenosivo kretanje tačke nazvaćemo kretanjem (u odnosu na apsolutni sistem) ta tačka relativnog sistema kroz koju pokretna tačka prolazi u trenutku razmatranja. Koncept prijenosnog pokreta treba pojasniti. Neophodno je jasno razlikovati tačku, čije se apsolutno i relativno kretanje razmatra, od tačke koja je uvek povezana sa relativnim sistemom kroz koji pokretna tačka trenutno prolazi. Obično su obje točke označene istim slovom M, budući da crtež ne prenosi kretanje; to su zapravo dvije različite tačke koje se kreću jedna u odnosu na drugu.

Zaustavimo se na dvije ilustracije koncepta prijenosnog kretanja. Ako osoba hoda po pokretnoj platformi, onda možemo uzeti u obzir, prvo, "apsolutno" kretanje osobe u odnosu na tlo, i drugo, njegovo "relativno" kretanje duž platforme. U ovom slučaju, prijenosno kretanje će biti kretanje u odnosu na tlo mjesta platforme uz koju osoba trenutno prolazi.

SLOŽENI KRETANJA TAČKE

§ 1. Apsolutno, relativno i prenosivo kretanje tačke

U velikom broju slučajeva potrebno je razmotriti kretanje tačke u odnosu na koordinatni sistem O 1 ξηζ, koji se, pak, kreće u odnosu na drugi koordinatni sistem Oxy, koji se konvencionalno prihvata kao stacionaran. U mehanici je svaki od ovih koordinatnih sistema povezan sa određenim tijelom. Na primjer, razmislite o kotrljanju bez klizanja kotača automobila po šini. Spojićemo fiksni koordinatni sistem Ax sa šinom, a pokretni sistem Oξη ćemo povezati sa centrom točka i pretpostaviti da se kreće translaciono. Kretanje tačke na obodu točka je složeno ili složeno.

Hajde da uvedemo sljedeće definicije:

1. Kretanje tačke u odnosu na koordinatni sistem Oxyz (slika 53) naziva se apsolutno.

2. Kretanje tačke u odnosu na pokretni koordinatni sistem O 1 ξηζ naziva se naseljenim.

3. Translatorno kretanje tačke je kretanje te tačke tela povezanog sa pokretnim koordinatnim sistemom O 1 ξηζ, u odnosu na fiksni koordinatni sistem sa kojim se dotična pokretna tačka trenutno poklapa.

Dakle, prenosivo kretanje je uzrokovano kretanjem pokretnog koordinatnog sistema u odnosu na fiksni. U datom primjeru s kotačem, prijenosno pomicanje točke na obodu kotača je posljedica translacijskog kretanja koordinatnog sistema O 1 ξηζ u odnosu na fiksni koordinatni sistem Axy.

Jednačine apsolutnog kretanja tačke dobijamo izražavanjem koordinata tačke x, y, z kao funkcije vremena:

x=x(t), y = y(t), z = z(t).

Jednačine relativnog kretanja tačke imaju oblik

ξ = ξ (t), η = η (t), ζ = ζ (t).

IN parametarski oblik jednačine (11.76) izražavaju jednačine apsolutne putanje, a jednačine (11.77) - jednačine relativne putanje.

Postoje i apsolutne, prenosive i relativne brzine i, shodno tome, apsolutna, prenosiva i relativna ubrzanja tačke. Apsolutna brzina se označava sa υ a, rodbina - υ r, prenosivi - υ e Prema tome, ubrzanja se označavaju sa: ω a, ω r I ω e.

Glavni zadatak kinematike složenog kretanja tačke je da uspostavi odnos između brzina i ubrzanja tačke u dva koordinatna sistema: nepokretnom i pokretnom.

Da bismo dokazali teoreme o sabiranju brzina i ubrzanja u složenom kretanju točke, uvodimo pojam lokalne ili relativne derivacije.

Teorem adicije brzine

Teorema . Sa složenim (kompozitnim) kretanjem tačke, njena apsolutna brzina υ a jednak vektorskom zbroju relativnog υ r i prenosiv υ e brzine

Neka tačka M vrši istovremene pokrete u odnosu na fiksni i pokretni koordinatni sistem (Sl. 56). Označimo ugaona brzina rotacija koordinatnog sistema Oξηζ kroz ω . Položaj tačke M je određen radijus vektorom r.

Uspostavimo odnos između brzina tačke M u odnosu na dva koordinatna sistema - stacionarni i pokretni. Na osnovu teoreme dokazane u prethodnom paragrafu

Iz kinematike tačke poznato je da prva derivacija radijus vektora tačke koja se kreće u odnosu na vreme izražava brzinu ove tačke. Stoga = r = υ a- apsolutna brzina, = υ r- relativna brzina,

A ω x r = υ e- prenosiva brzina tačke M. Dakle,

υ a= υ r+υ e

Formula (11.79) izražava pravilo paralelograma brzine. Apsolutni modul brzine nalazimo koristeći kosinusni teorem:

U nekim kinematičkim problemima potrebno je odrediti relativnu brzinu υ r. Iz (11.79) slijedi

υ r= υ a +(- υ e).

Dakle, da biste konstruirali vektor relativne brzine, trebate geometrijski sabrati apsolutnu brzinu sa vektorom jednakim po apsolutnoj vrijednosti, ali suprotnom smjeru od brzine prijenosa.

Do sada smo proučavali kretanje tačke ili tijela u odnosu na jednu datom sistemu odbrojavanje. Međutim, u velikom broju slučajeva, prilikom rješavanja problema mehanike, ispostavlja se da je preporučljivo (a ponekad i neophodno) razmotriti kretanje tačke (ili tijela) istovremeno u odnosu na dva referentna sistema, od kojih se jedan smatra glavni ili uslovno stacionarni, a drugi se kreće na određeni način u odnosu na prvi.

Kretanje koje vrši tačka (ili tijelo) naziva se složeno ili složeno. Na primjer, može se smatrati da lopta koja se kotrlja duž palube parobroda u pokretu izvodi složeno kretanje u odnosu na obalu, koje se sastoji od kotrljanja u odnosu na palubu (pokretni referentni okvir) i kretanja zajedno s palubom parobroda u odnosu na obalu (fiksni referentni okvir). Na taj način se složeno kretanje lopte razlaže na dva jednostavnija i lakše proučavana. Sposobnost razlaganja, uvođenjem dodatnog (pokretnog) referentnog sistema, složenijeg gibanja tačke ili tijela na jednostavnija se široko koristi u kinematičkim proračunima i određuje praktičnu vrijednost teorije složenog kretanja o kojoj se govori u ovom i sljedećem. poglavlja. Osim toga, rezultati ove teorije se koriste u dinamici za proučavanje relativne ravnoteže i relativnog kretanja tijela pod djelovanjem sila.

Razmotrimo tačku M koja se kreće u odnosu na pokretni referentni sistem, a koja se zauzvrat nekako kreće u odnosu na drugi referentni sistem koji nazivamo glavnim ili konvencionalno stacionarnim (slika 182). Svaki od ovih referentnih sistema povezan je, naravno, sa određeno telo, nije prikazano na crtežu. Hajde da uvedemo sledeće definicije.

1. Kretanje koje vrši tačka M u odnosu na pokretni referentni sistem (prema osovinama) naziva se relativno kretanje (takvo kretanje će vidjeti posmatrač koji je povezan sa ovim osama i koji se kreće sa njima).

Putanja AB opisana tačkom u relativnom kretanju naziva se relativna putanja. Brzina tačke M u odnosu na ose Oxyz naziva se relativna brzina (označeno), a ubrzanje se naziva relativno ubrzanje (označeno). Iz definicije proizilazi da se prilikom izračunavanja kretanje osi može zanemariti (smatrati kao stacionarno).

2. Kretanje koje vrši pokretni referentni sistem Oxyz (i sve tačke prostora koje su mu nepromenljivo povezane) u odnosu na stacionarni sistem je prenosivo kretanje za tačku M.

Brzina te tačke koja je uvek povezana sa pokretnim osama Oxyz, sa kojom se pokretna tačka M poklapa u datom trenutku, naziva se prenosiva brzina tačke M u ovom trenutku (označena sa iper), a ubrzanje ove tačke je prenosivo ubrzanje tačke M (označeno sa aper). dakle,

Ako zamislimo da se relativno kretanje točke događa na površini (ili unutar) čvrstog tijela, s kojim su pokretne ose Oxy kruto povezane, tada prenosiva brzina (ili ubrzanje) tačke M u datom trenutku će biti brzina (ili ubrzanje) te tačke tijela, sa kojom se tačka M u ovom trenutku poklapa.

3. Kretanje koje vrši tačka u odnosu na fiksni referentni okvir naziva se apsolutno ili kompleksno. CD putanja ovog kretanja naziva se apsolutna putanja, brzina je apsolutna brzina (označena sa ), a ubrzanje se naziva apsolutno ubrzanje (označeno sa ).

U gornjem primjeru, kretanje lopte u odnosu na palubu parobroda će biti relativno, a brzina će biti relativna brzina lopte; kretanje parobroda u odnosu na obalu bit će prijenosno kretanje lopte, a brzina te tačke na palubi koju lopta dodiruje u datom trenutku bit će njegova prijenosna brzina u tom trenutku; konačno, kretanje lopte u odnosu na obalu će biti njeno apsolutno kretanje, a brzina će biti apsolutna brzina lopte.

Za rješavanje odgovarajućih problema kinematike potrebno je uspostaviti odnose između relativnih, prenosivih i apsolutnih brzina i ubrzanja tačke, na koje ćemo prijeći.