Zapamtite one narandžaste plastične ka-ta-fo-you - svjetlo-od-ra-zha-te-li, pričvršćeno-la-yu-schi-e-sya na žbice ve-lo-si-ped-no- idi ko-le-sa? Pričvrstite ka-ta-fot na sam rub ko-le-sa i pratite njegov tra-ek-to-ri-ey. Dobijene krive su na vrhu porodice cikloida.

U isto vrijeme, co-le-so se naziva pro-iz-kruga (ili kruga) ciklusa.

No, vratimo se u naše stoljeće i prijeđimo na moderniju tehnologiju. Na putu je pao ka-mu-shek, koji se zaglavio u toku ko-le-sa. Okrenuvši nekoliko krugova točkom, gdje ide kamen kada iskočite iz toka? Protiv desnog kretanja motocikla ili uz desnu stranu?

Kao što znate, slobodno kretanje tijela je na putu do te putanje po kojoj se tada kretalo. Ka-sa-tel-naya do cycl-o-i-de je uvijek desno duž pravca kretanja i prolazi kroz gornju tačku ku oko okoline. Prema desnom smjeru kretanja, kreće se i naš ka-mu-shek.

Sjećate li se kako ste se u djetinjstvu vozili kroz lokve na biciklu bez zadnjeg krila? Mokri trag na leđima je potvrda životnog očekivanja da je upravo dobio re-zul -ta-ta.

17. vijek je vijek ciklusa. Najbolji naučnici su proučavali njegova neverovatna svojstva.

Neka vrsta tra-ec-to-ria će dovesti telo, koje se kreće pod dejstvom sile gravitacije, iz jedne tačke u drugu za kratko vreme? Ovo je bio jedan od prvih zadataka tog na-u-kija, koji sada ima naziv va-ri-a-tsi-on-noe-use-broj.

Mi-ni-mi-zi-ro-vat (ili max-si-mi-zi-ro-vat) možete imati različite stvari - dužinu puta, brzinu, vrijeme. U za-da-che o bra-hi-sto-khron mi-ni-mi-zi-ru-et-sya, vrijeme je (šta dovraga-ki-va-et-sya sa-mime na -name: grčki βράχιστος - najmanje, χρόνος - vrijeme).

Prva stvar koja pada na pamet je pravolinijski tra-ek-to-ria. Da, pogledat ćemo i ciklus povratka s povratnom točkom na vrhu datih tačaka. I, prateći Ga-li-leo Ga-li-le-em, - četvrt-vertikalni krug koji povezuje naše tačke.

Zašto je Ga-li-leo Ga-li-lei pogledao četvrt-vertikalni krug i pomislio da je to najbolje u smislu spuštanja le time-me-ni tra-ek-to-ria? On je u njega upisao pokvarene i primijetio da se kako se broj linkova povećavao, vrijeme kasnije smanjivalo. Odavde je Ga-li-ley prirodno krenuo u krug, ali je napravio pogrešan zaključak da je ova tra-ek -ria najbolja među svim mogućim. Kao što vidimo, najbolji tra-ek-to-ri-ey je cycl-o-i-da.

Kroz dvije zadate tačke moguće je kreirati jedan ciklus uz uslov da se u gornjoj tački nalazi tačka povratka ciklusa. Čak i kada cikličar dođe pod jebenu mater da prođe kroz drugu tačku, i dalje će zavijati najbržim silaskom!

Još jedna lijepa za-da-cha, povezana sa cycl-lo-i-da, - za-da-cha o ta-u-to-chron. Prevedeno s grčkog, ταύτίς znači „isti“, χρόνος, kao što već znamo, „vrijeme“.

Napravićemo tri brda jedan na jedan sa profi-lemom u obliku ciklusa, tako da se krajevi brda poravnaju i smjeste na vrhu ciklusa. Postavili smo tri bo-bah za različite ti-tako-vas i idemo dalje. Iznenađujuća je činjenica da će svi jednog dana sići!

Zimi možete napraviti tobogan od leda u svom dvorištu i uživo provjeriti ovu nekretninu.

Za-da-ča-o-ta-hrono-to-je-u-pogledu-takve-krivulje koja, počevši od bilo kojeg-bo-go-početka- Ali na kraju krajeva, vrijeme spust do date tačke će biti isti.

Christian Huy-gens zna da je jedina stvar koja je hronična ciklo-o-i-da.

Naravno, Guy-gen-sa ne in-t-re-so-val spust niz ledene planine. U to vrijeme naučnici nisu imali tako veliku stvar iz ljubavi prema umjetnosti. Za-da-što-smo-smo-proučavali,-je-ho-di-iz života i za-pro-s tih vremena. U 17. veku već su završena daleka pomorska putovanja. Ši-ro-tu mora su već bila u stanju da odrede do stotinu precizno, ali je iznenađujuće da dugo vremena nisu mogla da odrede - sa svime. I jedna od pre-la-gav-shih metoda iz shi-ro-youa bila je zasnovana na prisutnosti preciznog chro-no-meth jarka

Prva osoba koja je pomislila da napravi ma-yat-no-nove satove koji bi bili tačni bio je Ga-li-leo Ga-li-ley. Međutim, u trenutku kada počne da ih iznova stvara, on je već star, slep je, a u preostaloj godini naučnik nema vremena da dovrši svoj život. On to govori svom sinu, ali on okleva i počinje da jebe-----------------------------------------e, a nema vremena da sjedi dole. Sljedeća poznata ličnost bio je Christian Huygens.

Primijetio je da period ko-le-ba-nija obično ma-yat-ni-ka, ras-smat-ri-vav-she-go-sya Ga-li-le-em, za-vis-sit od početak po-lo-zhe-niya, tj. od am-pl-tu-dy. Razmišljajući o tome kakva treba da bude putanja kretanja tereta da vrijeme ne zavisi od toga -se-lo od am-pl-tu-dy, odlučuje se za-da-chu o tome-u-to-hron. Ali kako možete natjerati teret da se kreće na cikličan način? Prevod teo-re-ti-če-re-studija u praktično-ti-če-plan, Guy-gens de-la-et "obrazi", na kojima se on-ma-you-va-et-sya ve- rev-ka ma-yat-no-ka, i odlučuje o još nekoliko ma-te-ma-ti-che -skih zadataka. On tvrdi da bi "obrazi" trebali imati profil istog ciklusa, sugerirajući da je evo-lyu-taj ciklus-lo-i-dy ciklus-lo-i-da sa istim pa-ra-met-ra -mi.

Osim toga, predložena Guy-gen-som konstrukcija cycl-lo-and-distance-but-no-go pos-vo-la-et on-count the length of cycles. Ako postoji plava tačka, čija je dužina jednaka onome o čemu govorite iz kruga, savijte nit što je više moguće, tada će njen kraj biti na mjestu gdje su "obrazi" i ciklično-i-di -tra-cross ek-to-rii, tj. na vrhu ciklusa-i-dy-„obraza“. Pošto je ovo polovina dužine ar-ki cycl-o-i-dy, onda je puna dužina jednaka krugu od osam ra-di-u-sam pro-iz-vodyada.

Christ-an Huy-gens napravio je ciklični-i-daleki ma-yat-nik, a sati s njim pro-ho-di-li-is-py-ta-niya u moru Pu-te-she-stvi- da, ali nisam se navikao na to. Međutim, isto kao i sat s uobičajenim ma-yat-nikom za ove svrhe.

Zašto, jedan na jedan, između nas i običnog ma-jat-nikog-nikog još uvijek postoje sati krzna-niskosti? Ako pogledate, onda kod malih nedostataka, poput crvenog, "obrazi" ciklični i-daleko-ali-go ma-jat-n-skoro nemaju utjecaja. Shodno tome, kretanje na cikličan i kružni način sa malim odstupanjima je gotovo identično da, da.

5. Parametrijska jednačina cikloide i jednačina u Kartezijanske koordinate

Pretpostavimo da nam je data cikloida formirana od kružnice polumjera a sa centrom u tački A.

Ako za parametar koji određuje položaj tačke odaberemo ugao t=∟NDM kroz koji je poluprečnik, koji je imao vertikalni položaj AO na početku kotrljanja, uspeo da zarotira, tada će koordinate x i y tačke M izraziti na sljedeći način:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Dakle parametarske jednačine cikloidi imaju oblik:

Kada se t promijeni sa -∞ na +∞, dobiće se kriva koja se sastoji od beskonačnog broja grana poput onih prikazanih na ovoj slici.

Takođe, pored parametarske jednačine cikloide, postoji i njena jednačina u kartezijanskim koordinatama:

Gdje je r polumjer kružnice koja formira cikloidu.

6. Zadaci na pronalaženje dijelova cikloide i figura koje formira cikloida

Zadatak br. 1. Pronađite površinu figure ograničene jednim lukom cikloide čija je jednadžba data parametarski

i osa Ox.

Rješenje. Za rješavanje ovog problema koristit ćemo činjenice koje poznajemo iz teorije integrala, i to:

Područje zakrivljenog sektora.

Razmotrimo neku funkciju r = r(ϕ) definiranu na [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] odgovara r 0 = r(ϕ 0) i, prema tome, tački M 0 (ϕ 0 , r 0), gdje je ϕ 0,

r 0 - polarne koordinate tačke. Ako se ϕ promijeni, "prolazeći" kroz cijeli [α, β], onda varijabilna tačka M će opisati neku datu krivu AB

jednačina r = r(ϕ).

Definicija 7.4. Krivolinijski sektor je lik omeđen dvjema zrakama ϕ = α, ϕ = β i krivom AB definiranom u polarnom

koordinate po jednačini r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Istina je sljedeće

Teorema. Ako je funkcija r(ϕ) > 0 i neprekidna je na [α, β], tada je površina

krivolinijski sektor se izračunava po formuli:

Ova teorema je dokazana ranije u ovoj temi definitivni integral.

Na osnovu gornje teoreme, naš problem pronalaženja površine figure ograničene jednim lukom cikloide, čija je jednadžba data parametarskim parametrima x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t), a osa Ox, svodi se na sljedeće rješenje.

Rješenje. Iz jednačine krivulje dx = a(1−cos t) dt. Prvi luk cikloide odgovara promjeni parametra t od 0 do 2π. dakle,

Zadatak br. 2. Odredite dužinu jednog luka cikloide

Sljedeća teorema i njena posljedica su također proučavani u integralnom računu.

Teorema. Ako je kriva AB data jednadžbom y = f(x), gdje su f(x) i f’ (x) kontinuirani na , tada je AB ispraviv i

Posljedica. Neka je AB zadan parametarski

L AB = (1)

Neka su funkcije x(t), y(t) kontinuirano diferencibilne na [α, β]. Onda

formula (1) se može napisati na sljedeći način

Napravimo promjenu varijabli u ovom integralu x = x(t), tada y’(x)= ;

dx= x’(t)dt i stoga:

Vratimo se sada rješavanju našeg problema.

Rješenje. Imamo, i stoga

Zadatak br. 3. Moramo pronaći površinu S koja je nastala rotacijom jednog luka cikloide

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – trošak), 0≤ t ≤ 2π)

U integralnom računu postoji sljedeća formula za pronalaženje površine tijela okretanja oko x-ose krive parametarski definirane na segmentu: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Primjenom ove formule na našu cikloidnu jednačinu dobijamo:

Zadatak br. 4. Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom cikloidnog luka

Duž ose Ox.

U integralnom računu, pri proučavanju volumena, postoji sljedeća napomena:

Ako je granična kriva zakrivljeni trapez je zadan parametarskim jednadžbama i funkcije u ovim jednačinama zadovoljavaju uvjete teoreme o promjeni varijable u određenom integralu, tada će se volumen tijela rotacije trapeza oko ose Ox izračunati po formuli

Koristimo ovu formulu da pronađemo volumen koji nam je potreban.

Problem je riješen.

Zaključak

Dakle, u toku ovog rada razjašnjena su osnovna svojstva cikloide. Naučili smo i kako da napravimo cikloidu, saznao sam geometrijsko značenje cikloidi. Kako se pokazalo, cikloida ima ogromnu praktičnu primjenu ne samo u matematici, već iu tehnološkim proračunima i fizici. Ali cikloid ima i druge prednosti. Koristili su ga naučnici 17. vijeka kada su razvijali tehnike proučavanja zakrivljenih linija - onih tehnika koje su na kraju dovele do pronalaska diferencijalnog i integralnog računa. Bio je to i jedan od "probnih kamena" na kojem su Newton, Leibniz i njihovi prvi istraživači testirali snagu novih moćnih matematičke metode. Konačno, problem brahistohrone doveo je do izuma varijacionog računa, koji je tako neophodan današnjim fizičarima. Tako se pokazalo da je cikloida neraskidivo povezana sa jednim od najzanimljivijih perioda u istoriji matematike.

Književnost

1. Berman G.N. Cycloid. – M., 1980

2. Verov S.G. Brahistohron, ili još jedna tajna cikloida // Quantum. – 1975. - br. 5

3. Verov S.G. Tajne cikloida // Quantum. – 1975. - br. 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Primjena određenog integrala. Smjernice I individualni zadaci za studente 1. godine Fakultet fizike. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Starost zvijezda cikloida // Quantum. – 1985. - br. 6.

6. Fikhtengolts G.M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa. T.1. – M., 1969

Ova linija se zove “koverta”. Svaka kriva linija je omotač svojih tangenta.

Materija i kretanje, i metoda koju oni čine, omogućavaju svakome da ostvari svoj potencijal u spoznaji istine. Razvijanje metodologije za razvoj dijalektičko-materijalističkog oblika mišljenja i ovladavanje sličnim metodom spoznaje drugi je korak ka rješavanju problema razvoja i realizacije ljudskih sposobnosti. Fragment XX Mogućnosti...

U ovoj situaciji ljudi mogu razviti neurasteniju - neurozu, čija je osnova kliničke slike astenično stanje. I u slučaju neurastenije i u slučaju dekompenzacije neurastenične psihopatije, suština mentalne (psihološke) odbrane ogleda se u povlačenju iz teškoća u razdražljivu slabost sa vegetativnim disfunkcijama: ili se osoba nesvjesno više „odbija“ od napada. ..

Razne vrste aktivnosti; razvoj prostorna imaginacija i prostorne reprezentacije, figurativne, prostorne, logičke, apstraktno razmišljanješkolarci; razvijanje sposobnosti primjene geometrijskih i grafičkih znanja i vještina za rješavanje različitih primijenjenih problema; upoznavanje sa sadržajem i redoslijedom faza projektne aktivnosti u oblasti tehničkih i...

Arcs. Spirale su također evolvente zatvorenih krivulja, na primjer evolventa kruga. Nazivi nekih spirala su dati po sličnosti njihovih polarnih jednačina sa jednadžbama krivulja u kartezijanskim koordinatama, na primjer: · parabolična spirala (a - r)2 = bj, · hiperbolična spirala: r = a/j. · Štap: r2 = a/j · si-ci-spirala, čije parametarske jednadžbe imaju oblik: , )