Gotovo svaka kvadratna jednadžba \može se pretvoriti u oblik \ Međutim, ovo je moguće ako u početku podijelite svaki član koeficijentom \prije \ Osim toga, možete uvesti novu notaciju:

\[(\frac (b)(a))= p\] i \[(\frac (c)(a)) = q\]

Zbog toga ćemo imati jednačinu \ koja se u matematici naziva redukovana kvadratna jednačina. Korijeni ove jednadžbe i koeficijenti su međusobno povezani, što potvrđuje Vietin teorem.

Vietin teorem: Zbir korijena datog kvadratna jednačina\ jednak je drugom koeficijentu \ uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena je slobodni član \

Radi jasnoće, riješimo sljedeću jednačinu:

Rešimo ovu kvadratnu jednačinu koristeći napisana pravila. Analizirajući početne podatke, možemo zaključiti da će jednadžba imati dva različita korijena, jer:

Sada od svih faktora broja 15 (1 i 15, 3 i 5) biramo one čija je razlika 2. Brojevi 3 i 5 potpadaju pod ovaj uslov. Ispred manjeg broja stavljamo znak minus. Tako dobijamo korijene jednadžbe \

Odgovor: \[ x_1= -3 i x_2 = 5\]

Gdje mogu riješiti jednačinu koristeći Vietin teorem na mreži?

Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek smo sretni da vam pomognemo.

Postoji niz odnosa u kvadratnim jednačinama. Glavni su odnosi između korijena i koeficijenata. Također u kvadratnim jednačinama postoji niz odnosa koji su dati Vietinom teoremom.

U ovoj temi ćemo predstaviti samu Vietinu teoremu i njen dokaz za kvadratnu jednadžbu, teorem inverznu Vietinom teoremu, te analizirati niz primjera rješavanja problema. U materijalu ćemo posebnu pažnju posvetiti razmatranju Vietinih formula, koje definiraju odnos između stvarnih korijena algebarska jednačina stepeni n i njegove koeficijente.

Formulacija i dokaz Vietine teoreme

Formula za korijene kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0 oblika x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, gdje je D = b 2 − 4 a c, uspostavlja odnose x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Ovo potvrđuje Vietina teorema.

Teorema 1

U kvadratnoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0, Gdje x 1 I x 2– korijeni, zbir korijena će biti jednak omjeru koeficijenata b I a, koji je uzet sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena će biti jednak omjeru koeficijenata c I a, tj. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Dokazi 1

Nudimo vam sljedeću shemu za izvođenje dokaza: uzmite formulu korijena, sastavite zbir i proizvod korijena kvadratne jednadžbe, a zatim transformirajte rezultirajuće izraze kako biste bili sigurni da su jednaki -b a I c a respektivno.

Napravimo zbir korijena x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Smanjimo razlomke na zajednički imenilac- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . Otvorimo zagrade u brojiocu dobijenog razlomka i predstavimo slične pojmove: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Smanjimo razlomak za: 2 - b a = - b a.

Tako smo dokazali prvu relaciju Vietine teoreme, koja se odnosi na zbir korijena kvadratne jednadžbe.

Pređimo sada na drugu vezu.

Da bismo to učinili, trebamo sastaviti proizvod korijena kvadratne jednačine: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Prisjetimo se pravila za množenje razlomaka i napišimo posljednji proizvod na sljedeći način: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Pomnožimo zagradu sa zagradom u brojiocu razlomka ili upotrebimo formulu razlike kvadrata da brže transformišemo ovaj proizvod: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Koristimo definiciju kvadratni korijen kako bi se napravio sljedeći prijelaz: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. Formula D = b 2 − 4 a c odgovara diskriminantu kvadratne jednadžbe, dakle, u razlomak umjesto na D može biti zamijenjen b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Otvorimo zagrade, dodamo slične pojmove i dobijemo: 4 · a · c 4 · a 2 . Ako ga skratimo na 4 a, onda ono što ostaje je c a . Tako smo dokazali drugu relaciju Vietine teoreme za proizvod korijena.

Dokaz Vietine teoreme može se napisati u vrlo lakoničnom obliku ako izostavimo objašnjenja:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Kada je diskriminant kvadratne jednadžbe jednak nuli, jednačina će imati samo jedan korijen. Da bismo mogli primijeniti Vietin teorem na takvu jednačinu, možemo pretpostaviti da jednačina, s diskriminantom jednakim nuli, ima dva identična korijena. Zaista, kada D=0 korijen kvadratne jednadžbe je: - b 2 · a, zatim x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a i x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , a pošto je D = 0, tj. 2 - 4 · a · c = 0, odakle je b 2 = 4 · a · c, zatim b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Najčešće se u praksi Vietina teorema primjenjuje na redukovanu kvadratnu jednačinu oblika x 2 + p x + q = 0, gdje je vodeći koeficijent a jednak 1. U tom smislu, Vietin teorem je formuliran posebno za jednadžbe ovog tipa. Ovo ne ograničava općenitost zbog činjenice da se svaka kvadratna jednačina može zamijeniti ekvivalentnom jednačinom. Da biste to učinili, morate podijeliti oba njegova dijela brojem različitom od nule.

Dajemo još jednu formulaciju Vietine teoreme.

Teorema 2

Zbir korijena u datoj kvadratnoj jednadžbi x 2 + p x + q = 0će biti jednak koeficijentu x, koji se uzima sa suprotnim predznakom, proizvod korijena će biti jednak slobodnom članu, tj. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Teorema suprotna Vietinoj teoremi

Ako pažljivo pogledate drugu formulaciju Vietine teoreme, to možete vidjeti za korijene x 1 I x 2 redukovana kvadratna jednačina x 2 + p x + q = 0 vrijedit će sljedeće relacije: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Iz ovih relacija x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q slijedi da x 1 I x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0. Tako dolazimo do tvrdnje koja je suprotna Vietinoj teoremi.

Sada predlažemo da ovu izjavu formaliziramo kao teoremu i izvršimo njen dokaz.

Teorema 3

Ako su brojevi x 1 I x 2 su takvi da x 1 + x 2 = − p I x 1 x 2 = q, To x 1 I x 2 su korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0.

Dokazi 2

Zamjena kvota str I q do njihovog izražavanja kroz x 1 I x 2 omogućava transformaciju jednačine x 2 + p x + q = 0 u ekvivalent .

Ako zamijenimo broj u rezultirajuću jednačinu x 1 umjesto x, tada dobijamo jednakost x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ovo je jednakost za sve x 1 I x 2 pretvara u pravu brojčanu jednakost 0 = 0 , jer x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. To znači da x 1– korijen jednačine x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Pa šta x 1 je također korijen ekvivalentne jednačine x 2 + p x + q = 0.

Zamjena u jednadžbi x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 brojevi x 2 umjesto x omogućava nam da dobijemo jednakost x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Ova jednakost se može smatrati istinitom, jer x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Ispostavilo se da x 2 je korijen jednadžbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, a time i jednačine x 2 + p x + q = 0.

Dokazano je obrnuto od Vietine teoreme.

Primjeri korištenja Vietine teoreme

Hajdemo sada da analiziramo najviše tipični primjeri na temu. Počnimo s analizom problema koji zahtijevaju primjenu teoreme inverzne Vietinoj teoremi. Može se koristiti za provjeru brojeva proizvedenih proračunima da se vidi da li su korijeni date kvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, morate izračunati njihov zbir i razliku, a zatim provjeriti valjanost odnosa x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Ispunjenje oba odnosa pokazuje da su brojevi dobijeni tokom proračuna korijeni jednačine. Ako vidimo da barem jedan od uslova nije ispunjen, onda ovi brojevi ne mogu biti korijeni kvadratne jednadžbe date u iskazu problema.

Primjer 1

Koji od parova brojeva 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, ili 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ili 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 je par korijena kvadratne jednadžbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Rješenje

Nađimo koeficijente kvadratne jednačine 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Ovo je a = 4, b = − 16, c = 9. Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena kvadratne jednadžbe mora biti jednak -b a, odnosno 16 4 = 4 , a proizvod korijena mora biti jednak c a, odnosno 9 4 .

Provjerimo dobijene brojeve tako što ćemo izračunati zbir i proizvod brojeva iz tri zadana para i uporediti ih sa dobijenim vrijednostima.

U prvom slučaju x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Ova vrijednost se razlikuje od 4, stoga provjeru nije potrebno nastaviti. Prema teoremi suprotnoj Vietinoj teoremi, možemo odmah zaključiti da prvi par brojeva nije korijen ove kvadratne jednadžbe.

U drugom slučaju, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vidimo da je prvi uslov ispunjen. Ali drugi uslov nije: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Vrijednost koju smo dobili je drugačija od 9 4 . To znači da drugi par brojeva nisu korijeni kvadratne jednadžbe.

Idemo dalje na razmatranje trećeg para. Ovdje x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 i x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Oba uslova su ispunjena, što znači da x 1 I x 2 su korijeni date kvadratne jednadžbe.

odgovor: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

Također možemo koristiti obrnutu Vietinu teoremu da pronađemo korijene kvadratne jednadžbe. Najjednostavniji način je odabir cjelobrojnih korijena date kvadratne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima. Mogu se razmotriti i druge opcije. Ali to može značajno zakomplicirati proračune.

Za odabir korijena koristimo činjenicu da ako je zbroj dva broja jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a umnožak ovih brojeva jednak je slobodnom članu, onda su ti brojevi jednaki korijene ove kvadratne jednadžbe.

Primjer 2

Kao primjer koristimo kvadratnu jednačinu x 2 − 5 x + 6 = 0. Brojevi x 1 I x 2 može biti korijen ove jednačine ako su dvije jednakosti zadovoljene x 1 + x 2 = 5 I x 1 x 2 = 6. Odaberimo ove brojeve. To su brojevi 2 i 3, pošto 2 + 3 = 5 I 2 3 = 6. Ispada da su 2 i 3 korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Obrat Vietinog teorema može se koristiti za pronalaženje drugog korijena kada je prvi poznat ili očigledan. Da bismo to učinili, možemo koristiti relacije x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Primjer 3

Razmotrimo kvadratnu jednačinu 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Potrebno je pronaći korijene ove jednačine.

Rješenje

Prvi korijen jednadžbe je 1, pošto je zbir koeficijenata ove kvadratne jednadžbe nula. Ispostavilo se da x 1 = 1.

Sada pronađimo drugi korijen. Za ovo možete koristiti relaciju x 1 x 2 = c a. Ispostavilo se da 1 x 2 = − 3,512, gdje x 2 = - 3,512.

odgovor: korijene kvadratne jednadžbe navedene u iskazu problema 1 I - 3 512 .

Moguće je odabrati korijene koristeći teoremu inverznu Vietinoj teoremi samo u jednostavnim slučajevima. U drugim slučajevima, bolje je tražiti korištenjem formule za korijene kvadratne jednadžbe kroz diskriminant.

Zahvaljujući obrnutom Vietinom teoremu, možemo konstruirati i kvadratne jednadžbe koristeći postojeće korijene x 1 I x 2. Da bismo to učinili, moramo izračunati zbir korijena koji daje koeficijent za x sa suprotnim predznakom date kvadratne jednadžbe, i proizvodom korijena, koji daje slobodni član.

Primjer 4

Napišite kvadratnu jednačinu čiji su korijeni brojevi − 11 I 23 .

Rješenje

Pretpostavimo to x 1 = − 11 I x 2 = 23. Zbir i proizvod ovih brojeva bit će jednaki: x 1 + x 2 = 12 I x 1 x 2 = − 253. To znači da je drugi koeficijent 12, slobodni termin − 253.

Napravimo jednačinu: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Odgovori: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Možemo koristiti Vietin teorem za rješavanje problema koji uključuju predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Veza između Vietine teoreme povezana je sa predznacima korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0 kako slijedi:

• ako kvadratna jednadžba ima realne korijene i ako je član presjeka q je pozitivan broj, tada će ovi korijeni imati isti znak “+” ili “-”;
• ako kvadratna jednadžba ima korijene i ako je član presjeka q je negativan broj, tada će jedan korijen biti “+”, a drugi “-”.

Obje ove izjave su posljedica formule x 1 x 2 = q i pravila za množenje pozitivnih i negativni brojevi, kao i brojevi sa različitim predznacima.

Primjer 5

Da li su korijeni kvadratne jednadžbe x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitivno?

Rješenje

Prema Vietinoj teoremi, korijeni ove jednadžbe ne mogu biti pozitivni, jer moraju zadovoljiti jednakost x 1 x 2 = − 21. Ovo je nemoguće sa pozitivom x 1 I x 2.

odgovor: br

Primjer 6

Na kojim vrijednostima parametara r kvadratna jednačina x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 imaće dva prava korena sa različitim predznacima.

Rješenje

Počnimo s pronalaženjem vrijednosti kojih r, za koji će jednadžba imati dva korijena. Hajde da nađemo diskriminanta i vidimo šta r poprimiće pozitivne vrijednosti. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vrijednost izraza r 2 + 8 pozitivno za svaku stvarnu r, dakle, diskriminant će biti veći od nule za bilo koju realnu r. To znači da će originalna kvadratna jednadžba imati dva korijena za bilo koju realnu vrijednost parametra r.

Sada da vidimo kada će korijeni pustiti korijenje različiti znakovi. To je moguće ako je njihov proizvod negativan. Prema Vietinoj teoremi, proizvod korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. znači, ispravna odluka postojaće te vrednosti r, za koji je slobodni član r − 1 negativan. Hajde da odlučimo linearne nejednakosti r − 1< 0 , получаем r < 1 .

odgovor: na r< 1 .

Vieta formule

Postoji niz formula koje su primjenjive za izvođenje operacija s korijenima i koeficijentima ne samo kvadratnih, već i kubnih i drugih vrsta jednadžbi. Zovu se Vietine formule.

Za algebarsku jednačinu stepena n oblika a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 smatra se da jednačina ima n pravim korenima x 1 , x 2 , … , x n, među kojima mogu biti isti:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Definicija 1

Vietine formule nam pomažu da dobijemo:

• teorema o dekompoziciji polinoma na linearne faktore;
• određivanje jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata.

Dakle, polinom a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n i njegovo širenje u linearne faktore oblika a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) su jednaki.

Ako proširimo zagrade u poslednji rad i izjednačimo odgovarajuće koeficijente, dobijamo Vietine formule. Uzimajući n = 2, možemo dobiti Vietinu formulu za kvadratnu jednačinu: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Definicija 2

Vieta formula za kubna jednačina:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Lijeva strana Vietine formule sadrži takozvane elementarne simetrične polinome.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U matematici postoje posebne tehnike kojima se mnoge kvadratne jednadžbe mogu riješiti vrlo brzo i bez ikakvih diskriminanata. Štoviše, uz odgovarajuću obuku, mnogi počinju rješavati kvadratne jednadžbe usmeno, doslovno "na prvi pogled".

Nažalost, in savremeni kurs U školskoj matematici takve tehnologije se gotovo nikada ne proučavaju. Ali morate znati! A danas ćemo pogledati jednu od ovih tehnika - Vietin teorem. Prvo, uvedemo novu definiciju.

Kvadratna jednačina oblika x 2 + bx + c = 0 naziva se redukovana. Imajte na umu da je koeficijent za x 2 1. Nema drugih ograničenja za koeficijente.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 je redukovana kvadratna jednačina;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - takođe smanjen;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ali to uopšte nije dato, pošto je koeficijent od x 2 jednak 2.

Naravno, svaka kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0 može se reducirati - samo podijelite sve koeficijente brojem a. To uvijek možemo učiniti, jer definicija kvadratne jednačine podrazumijeva da je a ≠ 0.

Istina, ove transformacije neće uvijek biti korisne za pronalaženje korijena. U nastavku ćemo se uvjeriti da to treba učiniti samo kada su u konačnoj jednadžbi datoj kvadratom svi koeficijenti cijeli brojevi. Za sada, pogledajmo najjednostavnije primjere:

Zadatak. Pretvorite kvadratnu jednačinu u redukovanu jednačinu:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Podijelimo svaku jednačinu koeficijentom varijable x 2. dobijamo:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - podijeliti sve sa 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - podijeljeno sa −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - podijeljeno sa 1,5, svi koeficijenti su postali cijeli brojevi;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - podijeljeno sa 2. U ovom slučaju su se pojavili razlomci.

Kao što vidite, gornje kvadratne jednadžbe mogu imati cjelobrojne koeficijente čak i ako je originalna jednadžba sadržavala razlomke.

Sada formulirajmo glavnu teoremu, za koju je, zapravo, uveden koncept reducirane kvadratne jednadžbe:

Vietin teorem. Razmotrimo redukovanu kvadratnu jednačinu oblika x 2 + bx + c = 0. Pretpostavimo da ova jednačina ima realne korijene x 1 i x 2. U ovom slučaju tačne su sljedeće tvrdnje:

1. x 1 + x 2 = −b. Drugim riječima, zbir korijena date kvadratne jednačine jednak je koeficijentu varijable x, uzetoj sa suprotnim predznakom;
2. x 1 x 2 = c. Proizvod korijena kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom koeficijentu.

Primjeri. Radi jednostavnosti, razmotrit ćemo samo gornje kvadratne jednadžbe koje ne zahtijevaju dodatne transformacije:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korijeni: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; korijeni: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korijeni: x 1 = −1; x 2 = −4.

Vietin teorem nam daje dodatne informacije o korijenima kvadratne jednadžbe. Na prvi pogled ovo može izgledati teško, ali čak i uz minimalnu obuku naučit ćete "vidjeti" korijene i doslovno ih pogoditi za nekoliko sekundi.

Zadatak. Riješite kvadratnu jednačinu:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Pokušajmo ispisati koeficijente koristeći Vietin teorem i "pogoditi" korijene:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 je redukovana kvadratna jednačina.
   Prema Vietinoj teoremi imamo: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Lako je vidjeti da su korijeni brojevi 2 i 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - takođe smanjeno.
   Po Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Otuda korijeni: 3 i 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - ova jednačina nije redukovana. Ali ovo ćemo sada ispraviti tako što ćemo obje strane jednačine podijeliti sa koeficijentom a = 3. Dobijamo: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Rješavamo korištenjem Vietine teoreme: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korijena: −10 i −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - opet koeficijent za x 2 nije jednak 1, tj. jednačina nije data. Sve dijelimo brojem a = −7. Dobijamo: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Po Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Iz ovih jednačina lako je pogoditi korijene: 5 i 6.

Iz gornjeg obrazloženja jasno je kako Vietin teorem pojednostavljuje rješenje kvadratnih jednadžbi. Bez komplikovanih proračuna, bez aritmetičkih korijena i razlomaka. A nije nam ni trebao diskriminant (pogledajte lekciju “Rješavanje kvadratnih jednačina”).

Naravno, u svim našim razmišljanjima polazili smo od dvije važne pretpostavke, koje se, općenito govoreći, ne ispunjavaju uvijek u stvarnim problemima:

1. Kvadratna jednačina se reducira, tj. koeficijent za x 2 je 1;
2. Jednačina ima dva različita korijena. Sa algebarske tačke gledišta, u ovom slučaju diskriminanta je D > 0 - u stvari, u početku pretpostavljamo da je ova nejednakost tačna.

Međutim, u tipičnom matematički problemi ah ovi uslovi su ispunjeni. Ako izračun rezultira "lošom" kvadratnom jednadžbom (koeficijent x 2 je drugačiji od 1), to se lako može ispraviti - pogledajte primjere na samom početku lekcije. O korijenima uglavnom šutim: kakav je to problem na koji nema odgovora? Naravno da će biti korijena.

dakle, opšta šema rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme izgleda ovako:

1. Kvadratnu jednačinu svesti na datu, ako to već nije učinjeno u iskazu problema;
2. Ako su koeficijenti u gornjoj kvadratnoj jednadžbi razlomački, rješavamo pomoću diskriminanta. Možete se čak vratiti na originalnu jednačinu da biste radili sa više "zgodnijih" brojeva;
3. U slučaju cjelobrojnih koeficijenata, rješavamo jednačinu koristeći Vietin teorem;
4. Ako ne možete pogoditi korijene u roku od nekoliko sekundi, zaboravite na Vietin teorem i riješite pomoću diskriminanta.

Zadatak. Riješite jednačinu: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Dakle, pred nama je jednačina koja nije redukovana, jer koeficijent a = 5. Podijelimo sve sa 5, dobićemo: x 2 − 7x + 10 = 0.

Svi koeficijenti kvadratne jednadžbe su cijeli brojevi - pokušajmo to riješiti korištenjem Vietine teoreme. Imamo: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. U ovom slučaju, korijene je lako pogoditi - oni su 2 i 5. Nema potrebe za brojanjem pomoću diskriminanta.

Zadatak. Riješite jednačinu: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Pogledajmo: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - ova jednačina nije redukovana, podijelimo obje strane koeficijentom a = −5. Dobijamo: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - jednačinu sa razlomcima koeficijenata.

Bolje je vratiti se na prvobitnu jednačinu i brojati kroz diskriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Zadatak. Riješite jednačinu: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Prvo, podijelimo sve sa koeficijentom a = 2. Dobijamo jednačinu x 2 + 5x − 300 = 0.

Ovo je redukovana jednačina, prema Vietinoj teoremi imamo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Teško je pogoditi korijene kvadratne jednačine u ovom slučaju - lično sam ozbiljno zapeo prilikom rješavanja ovog problema.

Morat ćete tražiti korijene kroz diskriminantu: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Ako se ne sjećate korijena diskriminanta, samo ću napomenuti da je 1225: 25 = 49. Dakle, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Sada kada je korijen diskriminanta poznat, rješavanje jednačine nije teško. Dobijamo: x 1 = 15; x 2 = −20.

Vietin teorem se često koristi za provjeru korijena koji su već pronađeni. Ako ste pronašli korijene, možete koristiti formule \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) da izračunate vrijednosti \(p \) i \(q\ ). A ako se pokaže da su isti kao u izvornoj jednadžbi, tada se korijeni nalaze ispravno.

Na primjer, uz pomoć , riješimo jednačinu \(x^2+x-56=0\) i dobijemo korijene: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Provjerimo da li smo pogriješili u procesu rješavanja. U našem slučaju, \(p=1\), i \(q=-56\). Po Vietinoj teoremi imamo:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(slučajevi)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Obje tvrdnje su konvergirale, što znači da smo ispravno riješili jednačinu.

Ova provjera se može obaviti usmeno. Trajat će 5 sekundi i spasit će vas od glupih grešaka.

Vietina obrnuta teorema

Ako je \(\begin(slučajevi)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(slučajevi)\), tada su \(x_1\) i \(x_2\) korijeni kvadratne jednadžbe \ (x^ 2+px+q=0\).

Ili na jednostavan način: ako imate jednačinu oblika \(x^2+px+q=0\), onda rješavanje sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) naći ćete njegove korijene.

Zahvaljujući ovoj teoremi, možete brzo pronaći korijene kvadratne jednadžbe, posebno ako su ti korijeni . Ova vještina je važna jer štedi puno vremena.

Primjer . Riješite jednačinu \(x^2-5x+6=0\).

Rješenje : Koristeći Vietinu inverznu teoremu, nalazimo da korijeni zadovoljavaju uvjete: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Pogledajte drugu jednačinu sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Na koja dva se broj \(6\) može razložiti? Na \(2\) i \(3\), \(6\) i \(1\) ili \(-2\) i \(-3\), i \(-6\) i \(- 1\). Prva jednačina sistema će vam reći koji par da odaberete: \(x_1+x_2=5\). \(2\) i \(3\) su slični, jer \(2+3=5\).
Odgovori : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Primjeri . Koristeći obrnuto od Vietine teoreme, pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Rješenje :
a) \(x^2-15x+14=0\) – na koje faktore se \(14\) razlaže? \(2\) i \(7\), \(-2\) i \(-7\), \(-1\) i \(-14\), \(1\) i \(14\ ). Koji parovi brojeva daju \(15\)? Odgovor: \(1\) i \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – na koje faktore se \(-4\) razlaže? \(-2\) i \(2\), \(4\) i \(-1\), \(1\) i \(-4\). Koje parove brojeva daje \(-3\)? Odgovor: \(1\) i \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – na koje faktore se \(20\) razlaže? \(4\) i \(5\), \(-4\) i \(-5\), \(2\) i \(10\), \(-2\) i \(-10\ ), \(-20\) i \(-1\), \(20\) i \(1\). Koje parove brojeva daje \(-9\)? Odgovor: \(-4\) i \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – na koje faktore se \(780\) razlaže? \(390\) i \(2\). Hoće li oni zbrojiti \(88\)? br. Koje druge množitelje ima \(780\)? \(78\) i \(10\). Hoće li oni zbrojiti \(88\)? Da. Odgovor: \(78\) i \(10\).

Nije potrebno proširivati ​​posljednji pojam na sve moguće faktore (kao u posljednjem primjeru). Možete odmah provjeriti da li njihov zbir daje \(-p\).

Važno! Vietin teorem i obrnuta teorema oni rade samo sa , odnosno onim čiji je koeficijent ispred \(x^2\) jednak jedan. Ako nam je u početku data neredukovana jednačina, onda je možemo smanjiti jednostavnim dijeljenjem koeficijentom ispred \(x^2\).

Na primjer, neka je data jednadžba \(2x^2-4x-6=0\) i želimo koristiti jednu od Vietinih teorema. Ali ne možemo, pošto je koeficijent od \(x^2\) jednak \(2\). Riješimo ga se tako što cijelu jednačinu podijelimo sa \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Spreman. Sada možete koristiti obje teoreme.

Odgovori na često postavljana pitanja

pitanje: Koristeći Vietinu teoremu, možete riješiti bilo koji ?
odgovor: Nažalost ne. Ako jednadžba ne sadrži cijele brojeve ili jednadžba uopće nema korijen, tada Vietin teorem neće pomoći. U ovom slučaju morate koristiti diskriminatorno . Srećom, 80% jednačina u školski kurs matematika ima cjelovita rješenja.

Prilikom proučavanja metoda za rješavanje jednačina drugog reda u školskom kursu algebre razmatraju se svojstva rezultujućih korijena. Oni su trenutno poznati kao Vietina teorema. Primjeri njegove upotrebe dati su u ovom članku.

Kvadratna jednadžba

Jednačina drugog reda je jednakost prikazana na slici ispod.

Ovdje su simboli a, b, c neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti jednačine koja se razmatra. Da biste riješili jednakost, morate pronaći vrijednosti x koje je čine istinitom.

Imajte na umu da je maksimalna snaga na koju se x može podići dva, tada je broj korijena u općem slučaju također dva.

Postoji nekoliko načina za rješavanje ove vrste jednakosti. U ovom članku ćemo razmotriti jedan od njih, koji uključuje korištenje takozvane Vietine teoreme.

Formulacija Vietine teoreme

Krajem 16. stoljeća, poznati matematičar Francois Viète (Francuz) primijetio je, analizirajući svojstva korijena različitih kvadratnih jednačina, da određene njihove kombinacije zadovoljavaju specifične odnose. Konkretno, ove kombinacije su njihov proizvod i zbir.

Vietin teorem utvrđuje sljedeće: korijeni kvadratne jednadžbe, kada se zbroje, daju omjer linearnih i kvadratnih koeficijenata uzetih sa suprotnim predznakom, a kada se pomnože, dovode do omjera slobodnog člana i kvadratnog koeficijenta .

Ako opšti pogled jednadžba je napisana kao što je prikazano na fotografiji u prethodnom dijelu članka, onda se matematički ova teorema može napisati u obliku dvije jednakosti:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Gdje je r 1, r 2 vrijednost korijena dotične jednačine.

Gornje dvije jednakosti mogu se koristiti za rješavanje niza različitih matematičkih problema. Upotreba Vietine teoreme u primjerima s rješenjima data je u sljedećim odjeljcima članka.