Definicija 1

Ako je za svaki par $(x,y)$ vrijednosti dvije nezavisne varijable iz neke domene pridružena određena vrijednost $z$, onda se kaže da je $z$ funkcija dvije varijable $(x,y) $. Notacija: $z=f(x,y)$.

U odnosu na funkciju $z=f(x,y)$, razmotrimo koncepte generalnog (ukupnog) i parcijalnog priraštaja funkcije.

Neka je funkcija $z=f(x,y)$ data od dvije nezavisne varijable $(x,y)$.

Napomena 1

Budući da su varijable $(x,y)$ nezavisne, jedna od njih se može mijenjati, dok druga ostaje konstantna.

Hajde da damo promenljivoj $x$ inkrement od $\Delta x$, a da vrednost varijable $y$ ostane nepromenjena.

Tada će funkcija $z=f(x,y)$ dobiti inkrement, koji će se zvati parcijalni prirast funkcije $z=f(x,y)$ u odnosu na varijablu $x$. Oznaka:

Slično, daćemo promenljivoj $y$ inkrement od $\Delta y$, dok vrednost varijable $x$ ostaje nepromenjena.

Tada će funkcija $z=f(x,y)$ dobiti inkrement, koji će se zvati parcijalni prirast funkcije $z=f(x,y)$ u odnosu na varijablu $y$. Oznaka:

Ako je argumentu $x$ dat prirast $\Delta x$, a argumentu $y$ inkrement $\Delta y$, onda dobijamo puni prirast datu funkciju$z=f(x,y)$. Oznaka:

Tako imamo:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - djelomično povećanje funkcije $z=f(x,y)$ za $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - djelomično povećanje funkcije $z=f(x,y)$ za $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - ukupan prirast funkcije $z=f(x,y)$.

Primjer 1

Rješenje:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - parcijalni prirast funkcije $z=f(x,y)$ preko $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - parcijalni prirast funkcije $z=f(x,y)$ u odnosu na $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - ukupan prirast funkcije $z=f(x,y)$.

Primjer 2

Izračunajte parcijalni i ukupni prirast funkcije $z=xy$ u tački $(1;2)$ za $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Rješenje:

Po definiciji parcijalnog priraštaja nalazimo:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - djelomično povećanje funkcije $z=f(x,y)$ preko $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - djelomično povećanje funkcije $z=f(x,y)$ za $y$;

Po definiciji ukupnog prirasta nalazimo:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - ukupan prirast funkcije $z=f(x,y)$.

dakle,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Napomena 2

Ukupni prirast date funkcije $z=f(x,y)$ nije jednak zbiru njenih parcijalnih prirasta $\Delta _(x) z$ i $\Delta _(y) z$. Matematička notacija: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Primjer 3

Provjerite funkciju napomena za tvrdnju

Rješenje:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (dobijeno u primjeru 1)

Nađimo zbir parcijalnih priraštaja date funkcije $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Definicija 2

Ako je za svaku trostruku $(x,y,z)$ vrijednosti tri nezavisne varijable iz neke domene pridružena određena vrijednost $w$, onda se kaže da je $w$ funkcija tri varijable $(x, y,z)$ u ovoj oblasti.

Notacija: $w=f(x,y,z)$.

Definicija 3

Ako je za svaki skup $(x,y,z,...,t)$ vrijednosti nezavisnih varijabli iz neke domene pridružena određena vrijednost $w$, onda se kaže da je $w$ funkcija varijable $(x,y, z,...,t)$ u ovoj oblasti.

Zapis: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Za funkciju od tri ili više varijabli, na isti način kao i za funkciju od dvije varijable, određuju se djelomični priraštaji za svaku od varijabli:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - djelomično povećanje funkcije $w=f(x,y,z,... ,t )$ po $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - djelomično povećanje funkcije $w =f (x,y,z,...,t)$ po $t$.

Primjer 4

Napišite funkcije djelomičnog i ukupnog prirasta

Rješenje:

Po definiciji parcijalnog priraštaja nalazimo:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - djelomično povećanje funkcije $w=f(x,y,z)$ preko $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - parcijalni prirast funkcije $w=f(x,y,z)$ preko $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - parcijalni prirast funkcije $w=f(x,y,z)$ preko $z$;

Po definiciji ukupnog prirasta nalazimo:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - ukupan prirast funkcije $w=f(x,y,z)$.

Primjer 5

Izračunajte parcijalni i ukupni prirast funkcije $w=xyz$ u tački $(1;2;1)$ za $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Rješenje:

Po definiciji parcijalnog priraštaja nalazimo:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - djelomično povećanje funkcije $w=f(x,y,z)$ preko $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - djelomično povećanje funkcije $w=f(x,y,z)$ za $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - parcijalni prirast funkcije $w=f(x,y,z)$ preko $z$;

Po definiciji ukupnog prirasta nalazimo:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - ukupan prirast funkcije $w=f(x,y,z)$.

dakle,

\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

WITH geometrijska tačka U smislu pogleda, ukupni prirast funkcije $z=f(x,y)$ (po definiciji $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) jednak je prirastu primjene grafa funkcije $z =f(x,y)$ pri pomicanju od tačke $M(x,y)$ do tačke $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (slika 1).

Slika 1.

U životu nas ne zanimaju uvijek tačne vrijednosti bilo koje količine. Ponekad je zanimljivo znati promjenu ove količine, npr. prosječna brzina autobus, odnos količine kretanja prema vremenskom periodu itd. Za usporedbu vrijednosti funkcije u određenoj tački sa vrijednostima iste funkcije u drugim točkama, zgodno je koristiti koncepte kao što su "inkrement funkcije" i "inkrement argumenta".

Koncepti "inkrementa funkcije" i "inkrementa argumenta"

Recimo da je x neka proizvoljna tačka koja leži u nekom okruženju tačke x0. Povećanje argumenta u tački x0 je razlika x-x0. Prirast se označava kako slijedi: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Ponekad se ova vrijednost naziva i prirastom nezavisne varijable u tački x0. Iz formule slijedi: x = x0+∆x. U takvim slučajevima kažu da je početna vrijednost nezavisne varijable x0 dobila prirast ∆x.

Ako promijenimo argument, tada će se promijeniti i vrijednost funkcije.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x0).

Povećanje funkcije f u tački x0, odgovarajući prirast ∆h je razlika f(x0 + ∆h) - f(x0). Prirast funkcije se označava na sljedeći način: ∆f. Tako dobijamo, po definiciji:

• ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).

Ponekad se ∆f naziva i prirastom zavisne varijable, a ∆u se koristi za ovu oznaku ako je funkcija bila, na primjer, y=f(x).

Geometrijsko značenje prirasta

Pogledajte sljedeću sliku.

Kao što vidite, inkrement pokazuje promjenu ordinate i apscise tačke. A omjer prirasta funkcije i inkrementa argumenta određuje ugao nagiba sekanse koja prolazi kroz početnu i konačnu poziciju tačke.

Pogledajmo primjere povećanja funkcije i argumenta

Primjer 1. Pronađite prirast argumenta ∆x i prirast funkcije ∆f u tački x0, ako je f(x) = x 2, x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1

Koristimo formule date gore:

a) ∆h=h-h0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Primjer 2. Izračunajte prirast ∆f za funkciju f(x) = 1/x u tački x0 ako je prirast argumenta jednak ∆x.

Opet ćemo koristiti formule koje smo dobili gore.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

u medicinskoj i biološkoj fizici

PREDAVANJE br. 1

DERIVATNE I DIFERENCIJALNE FUNKCIJE.

PARCIJALNI DERIVATI.

1. Pojam derivata, njegovo mehaničko i geometrijsko značenje.

A ) Povećanje argumenta i funkcije.

Neka je data funkcija y=f(x), gdje je x vrijednost argumenta iz domene definicije funkcije. Ako odaberete dvije vrijednosti argumenta x o i x iz određenog intervala domene definicije funkcije, tada se razlika između dvije vrijednosti argumenta naziva povećanjem argumenta: x - x o = ∆x.

Vrijednost argumenta x može se odrediti kroz x 0 i njegov prirast: x = x o + ∆x.

Razlika između dvije vrijednosti funkcije naziva se prirast funkcije: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).

Povećanje argumenta i funkcije može se prikazati grafički (slika 1). Povećanje argumenta i povećanje funkcije može biti pozitivno ili negativno. Kao što slijedi sa slike 1, geometrijski, prirast argumenta ∆h je predstavljen prirastom apscise, a prirast funkcije ∆u prirastom ordinate. Prirast funkcije treba izračunati sljedećim redoslijedom:

dajemo argumentu prirast ∆x i dobijamo vrijednost – x+Δx;

2) naći vrijednost funkcije za vrijednost argumenta (x+∆x) – f(x+∆x);

3) naći prirast funkcije ∆f=f(x + ∆x) - f(x).

primjer: Odredite prirast funkcije y=x 2 ako se argument promijenio sa x o =1 na x=3. Za tačku x o vrijednost funkcije f(x o) = x² o; za tačku (x o +∆x) vrijednost funkcije f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, odakle je ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ;

∆h = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.b)

Problemi koji vode do koncepta derivata. Definicija derivata, njegovo fizičko značenje.

Koncept prirasta argumenta i funkcije neophodan je za uvođenje koncepta derivacije, koji je istorijski nastao na osnovu potrebe za određivanjem brzine određenih procesa.

Za naizmjenično kretanje, vrijednost ∆Ẑ/∆t određuje vrijednost  avg. , tj. prosj. =∆S/∆t Ali prosječna brzina ne omogućava da se odraze karakteristike kretanja tijela i da se dobije predodžbu o pravoj brzini u trenutku t. Kada se vremenski period smanji, tj. pri ∆t→0 prosječna brzina teži svojoj granici – trenutnu brzinu:

 instant =
 avg. =
∆S/∆t.

Trenutna brzina hemijske reakcije određuje se na isti način:

 instant =
 avg. =
∆h/∆t,

gdje je x količina supstance nastala tokom hemijske reakcije tokom vremena t. Slični problemi određivanja brzine različitih procesa doveli su do uvođenja u matematiku pojma derivacijske funkcije.

Neka se da kontinuirana funkcija f(x), definisan na intervalu ]a, u[tj. njegovom prirastu ∆f=f(x+∆x)–f(x).Relacija
je funkcija ∆x i izražava prosječnu brzinu promjene funkcije.

Granica omjera , kada je ∆h→0, pod uvjetom da ova granica postoji, naziva se derivacija funkcije :

y" x =

.

Derivat se označava:
– (Yigree stroke by X); " (x) – (eff prime na x) ; y" – (grčki potez); dy/dh – (de igrek od de x); - (grčki sa tačkom).

Na osnovu definicije derivacije, možemo reći da je trenutna brzina pravolinijskog kretanja vremenski izvod puta:

 instant = S" t = f " (t).

Dakle, možemo zaključiti da je derivacija funkcije u odnosu na argument x trenutna brzina promjene funkcije f(x):

y" x =f " (x)= instant.

Ovo je fizičko značenje izvedenice. Proces pronalaženja izvoda naziva se diferencijacija, tako da je izraz “diferencirati funkciju” ekvivalentan izrazu “pronaći izvod funkcije”.

V)Geometrijsko značenje derivacije.

P
derivacija funkcije y = f(x) ima jednostavno geometrijsko značenje povezano s konceptom tangente na krivu liniju u nekoj tački M. Istovremeno, tangenta, tj. prava linija se analitički izražava kao y = kx = tan· x, gdje je  – ugao nagiba tangente (prave) na os X Zamislimo kontinuiranu krivu kao funkciju y = f(x), uzmimo tačku M1 na krivulji i tačku M1 blizu nje i nacrtamo sekansu. preko njih. Njegov nagib prema sec =tg β = .Ako tačku M 1 približimo M, onda je prirast u argumentu ∆x će težiti nuli, a sekans na β=α će zauzeti poziciju tangente. Iz slike 2 slijedi: tgα =
tgβ =
=y" x. Ali tgα je jednako nagibu tangente na graf funkcije:

k = tgα =
=y" x = f " (X). Dakle, kutni koeficijent tangente na graf funkcije u datoj tački jednak je vrijednosti njene derivacije u tački tangente. Ovo je geometrijsko značenje izvedenice.

G)Opće pravilo za pronalaženje izvoda.

Na osnovu definicije derivacije, proces diferenciranja funkcije može se predstaviti na sljedeći način:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

naći prirast funkcije: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

formira omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta:

;

primjer: f(x)=x 2 ; " f

(x)=?. Međutim, kao što se i iz ovoga može vidjeti jednostavan primjer , primjena navedenog niza pri uzimanju derivata je radno intenzivan i složen proces. Stoga za razne funkcije uvodimo opšte formule

diferencijacije, koje su predstavljene u obliku tabele „Osnovne formule za diferencijaciju funkcija“.

Vrlo lako za pamćenje. Pa, da ne idemo daleko, pogledajmo to odmah inverzna funkcija . Koja je funkcija inverzna eksponencijalna funkcija

? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno.

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

1. primjeri:
2. Pronađite izvod funkcije.

Što je derivacija funkcije? odgovori: Izlagač i prirodni logaritam

- funkcije su jedinstveno jednostavne u smislu izvoda. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!... Diferencijacija

je proces pronalaženja derivata.

To je sve. Kako drugačije možete nazvati ovaj proces jednom riječju? Nije derivacija... Diferencijal matematičara je isti prirast funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

1. Pronađite derivate funkcija:
2. Pronađite derivate funkcija:
3. Pronađite derivate funkcija:
4. u jednom trenutku;

u tački.

1. rješenja: (izvod je isti u svim tačkama, budući da je ovo linearna funkcija

, sjećaš se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

1. Derivat:
2. Naći izvode funkcija i;

u tački.

Pronađite izvod funkcije u tački.

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Je li uspjelo?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:
Pronađite derivate funkcija:

Što je derivacija funkcije?

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se više zapisati u jednostavnom obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dvije funkcije, tako da primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:

Derivat logaritamske funkcije

Slično je i ovdje: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

šta se desilo" složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i bit će vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni objekt: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). sta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer, .

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

Što je derivacija funkcije? Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

u tački.

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se radi o složenoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

Neka X– argument (nezavisna varijabla); y=y(x)– funkcija.

Uzmimo fiksnu vrijednost argumenta x=x 0 i izračunaj vrijednost funkcije y 0 =y(x 0 ) . Sada proizvoljno postavimo prirast (promjena) argumenta i označite ga  X ( X može biti bilo kojeg predznaka).

Argument povećanja je tačka X 0 +  X. Recimo da sadrži i vrijednost funkcije y=y(x 0 +  X)(vidi sliku).

Tako se proizvoljnom promjenom vrijednosti argumenta dobija promjena funkcije koja se poziva prirast vrijednosti funkcije:

i nije proizvoljan, već ovisi o vrsti funkcije i vrijednosti
.

Povećanja argumenta i funkcije mogu biti final, tj. izraženi kao konstantni brojevi, u kom slučaju se ponekad nazivaju konačnim razlikama.

U ekonomiji se prilično često razmatraju konačni priraštaji. Na primjer, tabela prikazuje podatke o dužini željezničke mreže određene države. Očigledno, povećanje dužine mreže se izračunava oduzimanjem prethodne vrijednosti od sljedeće.

Dužinu željezničke mreže ćemo razmatrati kao funkciju, čiji će argument biti vrijeme (godine).

	Dužina pruge sa stanjem na 31. decembar, hiljada km.	Povećanje	Prosječan godišnji rast

Samo po sebi, povećanje funkcije (u ovom slučaju dužine željezničke mreže) ne karakterizira dobro promjenu funkcije. U našem primjeru, iz činjenice da 2,5>0,9 ne može se zaključiti da je mreža brže rasla 2000-2003 godine nego u 2004 npr. jer prirast 2,5 odnosi se na trogodišnji period, i 0,9 - za samo godinu dana. Stoga je sasvim prirodno da povećanje funkcije dovodi do promjene jedinice u argumentu. Povećanje argumenta ovdje su tačke: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Dobijamo ono što se u ekonomskoj literaturi zove prosječan godišnji rast.

Možete izbjeći operaciju smanjenja prirasta na jedinicu promjene argumenta ako uzmete vrijednosti funkcije za vrijednosti argumenata koje se razlikuju za jedan, što nije uvijek moguće.

U matematičkoj analizi, posebno u diferencijalnom računu, uzimaju se u obzir infinitezimalni (IM) inkrementi argumenta i funkcije.

Diferencijacija funkcije jedne varijable (derivacije i diferencijala) Derivat funkcije

Povećanje argumenta i funkcije u tački X 0 mogu se smatrati uporedivim infinitezimalnim veličinama (vidi temu 4, poređenje BM), tj. BM istog reda.

Tada će njihov omjer imati konačnu granicu, koja je definirana kao derivacija funkcije u t X 0 .

Granica omjera prirasta funkcije i BM prirasta argumenta u tački x=x 0 pozvao derivat funkcije u datoj tački.

Simboličko označavanje izvedenice crtom (tačnije, rimskim brojem I) uveo je Newton. Također možete koristiti indeks, koji pokazuje s kojom varijablom se izračunava derivat, na primjer, . Još jedna notacija koju je predložio osnivač računa derivacija, njemački matematičar Leibniz, također se široko koristi:
. Više o porijeklu ove oznake saznat ćete u odjeljku Diferencijal funkcija i diferencijal argumenata.

Ovaj broj procjenjuje brzina promjene u funkciji koja prolazi kroz tačku
.

Hajde da instaliramo geometrijsko značenje izvod funkcije u tački. U tu svrhu ćemo iscrtati funkciju y=y(x) i označite na njemu tačke koje određuju promjenu y(x) između

Tangenta na graf funkcije u tački M 0
razmotrićemo granični položaj sekansa M 0 M s obzirom na to
(tačka M klizi duž grafa funkcije do tačke M 0 ).

Hajde da razmotrimo
. Očigledno,
.

Ako je poenta M usmjeriti duž grafa funkcije prema tački M 0 , zatim vrijednost
težit će određenoj granici, koju označavamo
. U isto vreme.

Granični ugao  poklapa se sa uglom nagiba tangente povučene na graf funkcije uklj. M 0 , dakle derivat
brojčano jednaka tangentni nagib na navedenoj tački.

-

geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački.

Dakle, možemo napisati tangentnu i normalnu jednadžbinu ( normalno - ovo je prava linija okomita na tangentu) na graf funkcije u nekoj tački X 0 :

Tangenta - .

normalno -
.

Zanimljivi su slučajevi kada se ove linije nalaze horizontalno ili vertikalno (vidi temu 3, posebni slučajevi položaja prave na ravni). onda,

Ako
;

Ako
.

Definicija derivata se zove diferencijaciju funkcije.

 Ako je funkcija u tački X 0 ima konačan izvod, onda se zove diferencibilan u ovom trenutku. Funkcija koja je diferencibilna u svim točkama određenog intervala naziva se diferencijabilna na tom intervalu.

 Teorema . Ako je funkcija y=y(x) diferencibilan uklj. X 0 , onda je u ovoj tački kontinuirano.

dakle, kontinuitet– nužan (ali ne i dovoljan) uslov za diferencijabilnost funkcije.