Udaljenost od tačke do ravni je dokaz. Udaljenost od tačke do ravni

Razmotrimo određenu ravan π i proizvoljnu tačku M 0 u prostoru. Odaberimo za avion jedinični normalni vektor n sa početak u nekoj tački M 1 ∈ π, i neka je p(M 0 ,π) rastojanje od tačke M 0 do ravni π. Zatim (slika 5.5)

r(M 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

od |n| = 1.

Ako je π ravan data u pravougaoni koordinatni sistem sa njegovom opštom jednačinom Ax + By + Cz + D = 0, tada je njegov vektor normale vektor sa koordinatama (A; B; C) i možemo izabrati

Neka su (x 0 ; y 0 ; z 0) i (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinate tačaka M 0 i M 1 . Tada vrijedi jednakost Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, pošto tačka M 1 pripada ravni, a koordinate vektora M 1 M 0 se mogu naći: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 -y 1 ; Snimanje tačkasti proizvod nM 1 M 0 u koordinatnom obliku i transformišući (5.8), dobijamo

budući da je Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Dakle, da biste izračunali udaljenost od tačke do ravni, morate zamijeniti koordinate tačke u opšta jednačina ravan, a zatim podijeliti apsolutnu vrijednost rezultata sa faktorom normalizacije, jednaka dužini odgovarajući vektor normale.

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od tačke do ravni. Analizirajmo metodu koordinata, koja će nam omogućiti da pronađemo udaljenost od dati poen trodimenzionalni prostor. Da bismo to potvrdili, pogledajmo primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od tačke do ravni nalazi se pomoću poznate udaljenosti od tačke do tačke, pri čemu je jedna od njih data, a druga je projekcija na datu ravan.

Kada je tačka M 1 sa ravninom χ specificirana u prostoru, onda kroz tačku možete povući okomito na ravan direktno. H 1 je zajednička tačka njihova ukrštanja. Odavde dobijamo da je odsječak M 1 H 1 okomica povučena iz tačke M 1 na ravan χ, gdje je tačka H 1 osnova okomice.

Definicija 1

Nazovite udaljenost od date tačke do osnove okomice povučene iz date tačke do dati avion.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do ravni je dužina okomice povučene iz date tačke u datu ravan.

Udaljenost od tačke M 1 do χ ravni određuje se na sljedeći način: udaljenost od tačke M 1 do χ ravni će biti najmanja od date tačke do bilo koje tačke na ravni. Ako se tačka H 2 nalazi u χ ravni i nije jednaka tački H 2, onda dobijamo pravokutni trokut oblika M 2 H 1 H 2 , koji je pravougaoni, gde se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 – hipotenuza. To znači da slijedi da je M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se nagnutom, koja je povučena iz tačke M 1 u ravan χ. Imamo da je okomica povučena iz date tačke na ravan manja od nagnute povučene iz tačke u datu ravan. Pogledajmo ovaj slučaj na slici ispod.

Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja

Postoji niz geometrijskih problema čija rješenja moraju sadržavati udaljenost od tačke do ravni. Mogu postojati različiti načini da se ovo identificira. Za rješavanje koristite Pitagorinu teoremu ili sličnost trokuta. Kada je, prema uslovu, potrebno izračunati rastojanje od tačke do ravni, datog u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, to se rešava koordinatnom metodom. Ovaj paragraf govori o ovoj metodi.

Prema uslovima zadatka, imamo da je data tačka u trodimenzionalnom prostoru sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) sa ravninom χ potrebno je odrediti rastojanje od M 1 do ravan χ. Za rješavanje se koristi nekoliko metoda rješenja.

Prvi način

Ova metoda se zasniva na pronalaženju udaljenosti od tačke do ravni pomoću koordinata tačke H 1, koje su osnova okomice iz tačke M 1 na ravan χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Da biste riješili problem na drugi način, koristite normalna jednačina dati avion.

Drugi način

Po uslovu imamo da je H 1 osnova okomice, koja je spuštena iz tačke M 1 u ravan χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1. Tražena udaljenost od M 1 do χ ravni nalazi se po formuli M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1, z 1) i H 1 (x 2, y 2, z 2). Da biste to riješili, morate znati koordinate tačke H 1.

Imamo da je H 1 tačka preseka χ ravni sa pravom a, koja prolazi kroz tačku M 1 koja se nalazi okomito na ravan χ. Iz toga slijedi da je potrebno sastaviti jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu ravan. Tada ćemo moći odrediti koordinate tačke H 1. Potrebno je izračunati koordinate tačke preseka prave i ravni.

Algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do χ ravni:

Definicija 3

nacrtati jednačinu prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i istovremeno
okomito na ravan χ;
pronađite i izračunajte koordinate (x 2 , y 2 , z 2) tačke H 1, koje su tačke
presek prave a sa ravninom χ ;
izračunajte udaljenost od M 1 do χ koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z postoji ravan χ, tada dobijamo normalnu jednačinu ravni oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Odavde dobijamo da je rastojanje M 1 H 1 sa tačkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučeno u ravan χ, izračunato po formuli M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ova formula je važeća, jer je ustanovljena zahvaljujući teoremi.

Teorema

Ako je data tačka M 1 (x 1 , y 1 , z 1). trodimenzionalni prostor, imajući normalnu jednačinu ravni χ oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, tada se udaljenost od tačke do ravnine M 1 H 1 izračunava iz formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, pošto je x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Dokaz

Dokaz teoreme se svodi na pronalaženje udaljenosti od tačke do prave. Odavde dobijamo da je rastojanje od M 1 do χ ravni modul razlike između numeričke projekcije radijus vektora M 1 sa rastojanjem od početka do χ ravni. Tada dobijamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Vektor normale ravni χ ima oblik n → = cos α, cos β, cos γ, a njegova dužina je jednaka jedan, n p n → O M → je numerička projekcija vektora O M → = (x 1, y 1 , z 1) u pravcu određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu izračuna skalarni vektori. Tada dobijamo izraz za pronalaženje vektora oblika n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ · z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik pisanja imat će oblik n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , zatim M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema je dokazana.

Odavde dobijamo da se udaljenost od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravni χ izračunava zamjenom cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 u lijeva strana normalne jednadžbe ravni umjesto x, y, z koordinata x 1 , y 1 i z 1, koji se odnosi na tačku M 1, uzimajući apsolutnu vrijednost dobijene vrijednosti.

Pogledajmo primjere pronalaženja udaljenosti od tačke sa koordinatama do date ravni.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10) do ravni 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Rješenje

Rešimo problem na dva načina.

Prva metoda počinje s izračunavanjem vektora smjera prave a. Po uslovu imamo da je data jednadžba 2 x - y + 5 z - 3 = 0 jednačina ravnine opšti pogled, a n → = (2, - 1, 5) je vektor normale date ravni. Koristi se kao vektor pravca prave a, koja je okomita na datu ravan. Trebalo bi biti zapisano kanonska jednačina prava linija u prostoru koja prolazi kroz M 1 (5, - 3, 10) sa vektorom pravca sa koordinatama 2, - 1, 5.

Jednačina će postati x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Tačke raskrsnice moraju biti određene. Da biste to učinili, lagano kombinirajte jednadžbe u sistem da biste prešli sa kanonske na jednačine dvije linije koje se seku. Ova tačka uzmimo H 1. Shvatili smo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Nakon toga morate omogućiti sistem

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Okrenimo se pravilu rješenja rješenja Gausovog sistema:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Dobijamo da je H 1 (1, - 1, 0).

Izračunavamo udaljenost od date tačke do ravni. Uzimamo tačke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobijamo

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Drugo rješenje je da se zadata jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 dovede u normalni oblik. Određujemo faktor normalizacije i dobijamo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Odavde izvodimo jednačinu ravni 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Lijeva strana jednačine se izračunava zamjenom x = 5, y = - 3, z = 10, a potrebno je uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 po modulu. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Odgovor: 2 30.

Kada je χ ravan specificirana nekom od metoda u odjeljku o metodama za određivanje ravnine, tada prvo trebate dobiti jednadžbu ravnine χ i izračunati potrebnu udaljenost bilo kojom metodom.

Primjer 2

U trodimenzionalnom prostoru određene su tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Izračunajte udaljenost od M 1 do ravni A B C.

Rješenje

Prvo treba da zapišete jednadžbu ravnine koja prolazi kroz date tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Iz toga slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. To znači da udaljenost od tačke M 1 do ravni A B C ima vrijednost 2 30.

Odgovor: 2 30.

Pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni ili do ravni sa kojom su paralelne je pogodnije primenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Iz ovoga dobijamo da se normalne jednačine ravni dobijaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Pronađite udaljenost od date tačke sa koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do koordinatna ravan Oko x y z i ravni definisane jednadžbom 2 y - 5 = 0.

Rješenje

Koordinatna ravan O y z odgovara jednačini oblika x = 0. Za ravan O y z to je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x = - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravni. Dobijamo vrijednost jednaku - 3 = 3.

Nakon transformacije, normalna jednadžba ravni 2 y - 5 = 0 će poprimiti oblik y - 5 2 = 0. Tada možete pronaći potrebnu udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravni 2 y - 5 = 0. Zamjenom i računanjem dobijamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

odgovor: Tražena udaljenost od M 1 (- 3, 2, - 7) do O y z ima vrijednost 3, a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

ZADACI C2 JEDINSTVENOG DRŽAVNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA NALAZANJE UDALJENOSTI OD TAČKE DO RAVNINE

Kulikova Anastasia Yurievna

Student 5. godine, Odsjek za matematiku. analiza, algebra i geometrija EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

naučni mentor, dr. ped. nauka, vanredni profesor EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

IN Zadaci objedinjenog državnog ispita u matematici u poslednjih godina pojavljuju se problemi u izračunavanju udaljenosti od tačke do ravni. U ovom članku, koristeći primjer jednog problema, razmatramo razne metode pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni. Najprikladnija metoda može se koristiti za rješavanje različitih problema. Nakon što ste riješili problem jednom metodom, možete provjeriti ispravnost rezultata drugom metodom.

Definicija. Udaljenost od tačke do ravni koja ne sadrži ovu tačku je dužina okomitog segmenta povučenog iz ove tačke u datu ravan.

Zadatak. Dan kuboid ABWITHD.A. 1 B 1 C 1 D 1 sa stranama AB=2, B.C.=4, A.A. 1 =6. Pronađite udaljenost od tačke D u avion ACD 1 .

1 način. Koristeći definicija. Pronađite udaljenost r( D, ACD 1) od tačke D u avion ACD 1 (sl. 1).

Slika 1. Prva metoda

Hajde da izvedemo D.H.⊥AC, dakle, teoremom o tri okomice D 1 H⊥AC I (DD 1 H)⊥AC. Hajde da izvedemo direktno D.T. okomito D 1 H. Pravo D.T. leži u avionu DD 1 H, dakle D.T.⊥A.C.. dakle, D.T.⊥ACD 1.

ADC hajde da nađemo hipotenuzu AC i visina D.H.

Iz pravouglog trougla D 1 D.H. hajde da nađemo hipotenuzu D 1 H i visina D.T.

Odgovor: .

Metoda 2.Volume method (korištenje pomoćne piramide). Problem ovog tipa može se svesti na problem izračunavanja visine piramide, gdje je visina piramide potrebna udaljenost od tačke do ravni. Dokažite da je ova visina tražena udaljenost; pronađite zapreminu ove piramide na dva načina i izrazite ovu visinu.

Imajte na umu da ovom metodom nema potrebe za konstruisanjem okomice iz date tačke na datu ravan.

Kuboid je paralelepiped čija su sva lica pravougaonici.

AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.

Potrebna udaljenost bit će visina h piramide ACD 1 D, spušten sa vrha D na bazi ACD 1 (sl. 2).

Izračunajmo zapreminu piramide ACD 1 D na dva načina.

Prilikom izračunavanja, na prvi način uzimamo ∆ kao bazu ACD 1 onda

Kod računanja na drugi način uzimamo ∆ kao bazu ACD, Onda

Izjednačimo desne strane posljednje dvije jednakosti i dobijemo

Slika 2. Druga metoda

Od pravokutnih trouglova ACD, ADD 1 , CDD 1 pronađite hipotenuzu koristeći Pitagorinu teoremu

ACD

Izračunajte površinu trokuta ACD 1 koristeći Heronovu formulu

Odgovor: .

3 way. Metoda koordinata.

Neka se da poen M(x 0 ,y 0 ,z 0) i avion α , dato jednačinom ax+by+cz+d=0 u pravougaoniku Kartezijanski sistem koordinate Udaljenost od tačke M na ravan α može se izračunati pomoću formule:

Hajde da uvedemo koordinatni sistem (slika 3). Porijeklo koordinata u tački IN;

Pravo AB- osovina X, ravno Ned- osovina y, ravno BB 1 - os z.

Slika 3. Treći metod

B(0,0,0), A(2,0,0), WITH(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Neka ax+by+ cz+ d=0 – jednačina u ravni ACD 1. Zamjena koordinata tačaka u njega A, C, D 1 dobijamo:

Jednačina ravnine ACD 1 će preuzeti formu

Odgovor: .

4 way. Vektorska metoda.

Uvedemo osnovu (slika 4) , .

Slika 4. Četvrta metoda

, Takmičenje "Prezentacija za čas"

klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Nazad Naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
razvijanje sposobnosti analiziranja, poređenja, donošenja zaključaka.

Oprema:

multimedijalni projektor;
kompjuter;
listovi sa problemskim tekstovima

NAPREDAK ČASA

I. Organizacioni momenat

II. Faza ažuriranja znanja(slajd 2)

Ponavljamo kako se određuje udaljenost od tačke do ravni

III. Predavanje(slajdovi 3-15)

Na času ćemo pogledati razne načine pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni.

Prva metoda: izračunavanje korak po korak

Udaljenost od tačke M do ravni α:
– jednako udaljenosti do ravni α od proizvoljne tačke P koja leži na pravoj a, koja prolazi kroz tačku M i paralelna je sa ravninom α;
– jednaka je udaljenosti do ravni α od proizvoljne tačke P koja leži na ravni β, koja prolazi kroz tačku M i paralelna je sa ravninom α.

Riješit ćemo sljedeće probleme:

№1. U kocki A...D 1 pronađite rastojanje od tačke C 1 do ravni AB 1 C.

Ostaje izračunati vrijednost dužine segmenta O 1 N.

№2. U pravilnoj heksagonalnoj prizmi A...F 1, čije su sve ivice jednake 1, pronađite rastojanje od tačke A do ravni DEA 1.

Sljedeća metoda: Volumenska metoda.

Ako je zapremina piramide ABCM jednaka V, tada se udaljenost od tačke M do ravni α koja sadrži ∆ABC izračunava po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Prilikom rješavanja zadataka koristimo jednakost volumena jedne figure, izraženu na dva različita načina.

Hajde da rešimo sledeći problem:

№3. Ivica AD piramide DABC je okomita na osnovnu ravan ABC. Odrediti rastojanje od A do ravni koja prolazi središtem ivica AB, AC i AD, ako.

Prilikom rješavanja problema koordinatni metod udaljenost od tačke M do ravni α može se izračunati pomoću formule ρ(M; α) = , gdje je M(x 0; y 0; z 0), a ravan je data jednadžbom ax + by + cz + d = 0

Hajde da rešimo sledeći problem:

№4. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od tačke A 1 do ravni BDC 1.

Hajde da uvedemo koordinatni sistem sa ishodištem u tački A, y-osa će proći duž ivice AB, x-osa duž ivice AD, z-osa duž ivice AA 1. Tada koordinate tačaka B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Napravimo jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke B, D, C 1.

Tada je – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Dakle, ρ =

Sljedeća metoda koja se može koristiti za rješavanje problema ove vrste je metodu problema podrške.

Aplikacija ovu metodu sastoji se u primjeni poznatih problema podrške, koji su formulisani kao teoreme.

Hajde da rešimo sledeći problem:

№5. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite rastojanje od tačke D 1 do ravni AB 1 C.

Hajde da razmotrimo aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od tačke A 1 do ravni BDC 1.

Dakle, pogledali smo različite metode koje se mogu koristiti za rješavanje ove vrste problema. Izbor jedne ili druge metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Grupni rad

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Ivica kocke A...D 1 je jednaka . Pronađite rastojanje od vrha C do ravni BDC 1.

№2. U pravilnom tetraedru ABCD sa ivicom pronađite rastojanje od tačke A do ravni BDC

№3. U pravilnoj trouglastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 čije su sve ivice jednake 1, pronađite udaljenost od A do ravni BCA 1.

№4. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD, čije su sve ivice jednake 1, pronađite rastojanje od A do ravni SCD.

V. Sažetak lekcije, domaći zadatak, refleksija

, Takmičenje "Prezentacija za čas"

klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Nazad Naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
razvijanje sposobnosti analiziranja, poređenja, donošenja zaključaka.

Oprema:

multimedijalni projektor;
kompjuter;
listovi sa problemskim tekstovima

NAPREDAK ČASA

I. Organizacioni momenat

II. Faza ažuriranja znanja(slajd 2)

Ponavljamo kako se određuje udaljenost od tačke do ravni

III. Predavanje(slajdovi 3-15)

U ovoj lekciji ćemo pogledati različite načine za pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni.

Prva metoda: izračunavanje korak po korak

Riješit ćemo sljedeće probleme:

№1. U kocki A...D 1 pronađite rastojanje od tačke C 1 do ravni AB 1 C.

Ostaje izračunati vrijednost dužine segmenta O 1 N.

№2. U pravilnoj heksagonalnoj prizmi A...F 1, čije su sve ivice jednake 1, pronađite rastojanje od tačke A do ravni DEA 1.

Sljedeća metoda: Volumenska metoda.

Hajde da rešimo sledeći problem:

№3. Ivica AD piramide DABC je okomita na osnovnu ravan ABC. Odrediti rastojanje od A do ravni koja prolazi središtem ivica AB, AC i AD, ako.

Hajde da rešimo sledeći problem:

№4. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od tačke A 1 do ravni BDC 1.

Tada je – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Dakle, ρ =

Sljedeća metoda koja se može koristiti za rješavanje problema ove vrste je metodu problema podrške.

Primjena ove metode sastoji se u korištenju poznatih referentnih problema, koji su formulirani kao teoreme.

Hajde da rešimo sledeći problem:

№5. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite rastojanje od tačke D 1 do ravni AB 1 C.

Hajde da razmotrimo aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od tačke A 1 do ravni BDC 1.

Dakle, pogledali smo različite metode koje se mogu koristiti za rješavanje ove vrste problema. Izbor jedne ili druge metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Grupni rad

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Ivica kocke A...D 1 je jednaka . Pronađite rastojanje od vrha C do ravni BDC 1.

№2. U pravilnom tetraedru ABCD sa ivicom pronađite rastojanje od tačke A do ravni BDC

№3. U pravilnoj trouglastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 čije su sve ivice jednake 1, pronađite udaljenost od A do ravni BCA 1.

№4. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD, čije su sve ivice jednake 1, pronađite rastojanje od A do ravni SCD.

V. Sažetak lekcije, domaći, razmišljanje