A függvénygráf egy funkció viselkedésének vizuális ábrázolása koordinátasík. A grafikonok segítenek megérteni egy függvény különböző aspektusait, amelyek nem határozhatók meg magából a függvényből. Számos függvény grafikonját összeállíthatja, és mindegyik kap egy adott képletet. Bármely függvény grafikonja egy adott algoritmus segítségével épül fel (ha elfelejtette egy adott függvény grafikus ábrázolásának pontos folyamatát).

Lépések

Lineáris függvény ábrázolása

Határozza meg, hogy a függvény lineáris-e. A lineáris függvényt a forma képlete adja meg F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) vagy y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(például ), grafikonja pedig egy egyenes. Így a képlet egy változót és egy állandót (konstanst) tartalmaz kitevők, gyökjelek vagy hasonlók nélkül. Ha egy hasonló típusú függvényt adunk meg, akkor nagyon egyszerű egy ilyen függvény grafikonját ábrázolni. Íme további példák a lineáris függvényekre:

Használjon konstanst egy pont megjelölésére az Y tengelyen. A (b) konstans annak a pontnak az „y” koordinátája, ahol a gráf metszi az Y tengelyt, vagyis ez egy olyan pont, amelynek „x” koordinátája 0. Így ha x = 0 behelyettesítjük a képletbe. , akkor y = b (konstans). Példánkban y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) az állandó egyenlő 5-tel, vagyis az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5). Ábrázolja ezt a pontot a koordinátasíkon.

Keresse meg a vonal meredekségét. Ez egyenlő a változó szorzójával. Példánkban y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) az „x” változóval 2-es tényező; így a lejtési együttható egyenlő 2-vel. A lejtéstényező határozza meg az egyenes dőlésszögét az X tengelyhez képest, vagyis minél nagyobb a meredekségtényező, annál gyorsabban nő vagy csökken a függvény.

Írja fel a lejtőt törtként! A szögegyüttható megegyezik a dőlésszög érintőjével, vagyis a függőleges távolság (egy egyenes két pontja között) és a vízszintes távolság (ugyanazon pontok közötti) arányával. Példánkban a meredekség 2, így kijelenthetjük, hogy a függőleges távolság 2 és a vízszintes távolság 1. Írja ezt törtként: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ha a meredekség negatív, a függvény csökken.

1. Attól a ponttól kezdve, ahol az egyenes metszi az Y tengelyt, ábrázoljon egy második pontot függőleges és vízszintes távolságok használatával. Menetrend két pontból építhető fel. Példánkban az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5); Ettől a ponttól lépj 2 szóközzel feljebb, majd 1 szóközzel jobbra. Jelöljön meg egy pontot; koordinátái lesznek (1,7). Most egyenes vonalat húzhat.

   Vonalzó segítségével húzzon egyenes vonalat két ponton. A hibák elkerülése érdekében keresse meg a harmadik pontot, de a legtöbb esetben a grafikon két pont segítségével is ábrázolható. Így egy lineáris függvényt ábrázolt.

   Pontok ábrázolása a koordinátasíkon

   1. Határozzon meg egy függvényt. A függvény jelölése f(x). Minden lehetséges értékek az "y" változót a függvény tartományának, az "x" változó összes lehetséges értékét pedig a függvény tartományának nevezzük. Például vegyük az y = x+2 függvényt, nevezetesen f(x) = x+2.

      Rajzolj két egymást metsző merőleges vonalat. A vízszintes vonal az X tengely A függőleges vonal az Y tengely.

      Jelölje fel a koordinátatengelyeket. Oszd fel az egyes tengelyeket egyenlő szegmensekre, és számozd meg őket. A tengelyek metszéspontja 0. Az X tengelyre: jobbra (0-tól) vannak ábrázolva pozitív számok, a bal oldalon pedig negatív. Az Y tengelyre: a pozitív számok felül (0-tól), a negatív számok pedig alul vannak ábrázolva.

      Keresse meg az "y" értékeit az "x" értékei közül. Példánkban f(x) = x+2. Helyettesítsen be adott x értékeket ebbe a képletbe a megfelelő y értékek kiszámításához. Ha összetett függvényt adunk, egyszerűsítsük úgy, hogy az egyenlet egyik oldalán elválasztjuk az „y”-t.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Ábrázoljuk a pontokat a koordinátasíkon. Minden koordinátapárnál tegye a következőket: keresse meg a megfelelő értéket az X tengelyen, és rajzoljon egy függőleges vonalat (pontozott); keresse meg a megfelelő értéket az Y tengelyen, és rajzoljon egy vízszintes vonalat (szaggatott vonal). Jelölje meg a két szaggatott vonal metszéspontját; így egy pontot ábrázolt a grafikonon.

      Törölje a szaggatott vonalakat. Ezt azután végezze el, hogy a grafikon összes pontját a koordinátasíkon ábrázolta. Megjegyzés: az f(x) = x függvény grafikonja a koordináták középpontján átmenő egyenes [pont koordinátákkal (0,0)]; az f(x) = x + 2 gráf az f(x) = x egyenessel párhuzamos, de két egységgel felfelé eltolt egyenes, ezért átmegy a (0,2) koordinátájú ponton (mivel az állandó 2) .

   Összetett függvény ábrázolása

   Keresse meg a függvény nulláit! A függvény nullái az x változó értékei, ahol y = 0, vagyis ezek azok a pontok, ahol a grafikon metszi az X-tengelyt lépése bármely függvény grafikus ábrázolásának folyamatában. Egy függvény nulláinak megtalálásához egyenlővé tegyük azt nullával. Például:

   Keresse meg és jelölje meg a vízszintes aszimptotákat. Az aszimptota egy olyan egyenes, amelyet egy függvény grafikonja megközelít, de soha nem metszi egymást (azaz ebben a tartományban a függvény nincs definiálva, pl. 0-val osztva). Jelölje meg az aszimptotát szaggatott vonallal. Ha az "x" változó egy tört nevezőjében van (pl. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), állítsa a nevezőt nullára, és keresse meg az „x”-et. Az „x” változó kapott értékeiben a függvény nincs definiálva (példánkban szaggatott vonalakat húzz x = 2 és x = -2 között), mert nem oszthatsz 0-val. De aszimptoták nem csak azokban az esetekben léteznek, amikor a függvény tartalmazza tört kifejezés. Ezért ajánlott a józan ész használata:

Építési funkció

Figyelmébe ajánljuk a függvénygrafikonok online összeállítására szolgáló szolgáltatást, amelynek minden joga a céget illeti Desmos. A bal oldali oszlop segítségével adja meg a függvényeket. Beírhat kézzel vagy az ablak alján található virtuális billentyűzet segítségével. Az ablak grafikonnal való nagyításához elrejtheti a bal oldali oszlopot és a virtuális billentyűzetet is.

Az online térképezés előnyei

• A bevitt funkciók vizuális megjelenítése
• Nagyon összetett grafikonok készítése
• Implicit módon megadott gráfok felépítése (például ellipszis x^2/9+y^2/16=1)
• Lehetőség a diagramok mentésére és a rájuk mutató hivatkozás fogadására, amely mindenki számára elérhetővé válik az interneten
• Skála, vonalszín szabályozása
• Grafikonok pontonkénti ábrázolásának lehetősége, állandók használatával
• Több függvénygrafikon egyidejű ábrázolása
• Polárkoordináták ábrázolása (használjon r és θ(\theta))

Nálunk könnyű különféle bonyolultságú grafikonokat készíteni online. Az építkezés azonnal megtörténik. Igény van a szolgáltatásra a függvények metszéspontjainak megtalálására, a feladatok megoldása során a Word dokumentumba történő további áthelyezésére szolgáló gráfok ábrázolására, valamint a függvénygráfok viselkedési sajátosságainak elemzésére. Az ezen a weboldalon található grafikonok használatához az optimális böngésző a Google Chrome. Más böngészők használata esetén a megfelelő működés nem garantált.

Először próbálja meg megtalálni a függvény tartományát:

Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszokat:

Minden rendben van? Gratulálok!

Most próbáljuk meg megtalálni a függvény értéktartományát:

Megtalálta? Hasonlítsuk össze:

Megvan? Gratulálok!

Dolgozzunk újra a grafikonokkal, csak most egy kicsit bonyolultabb lesz - keresse meg a függvény definíciós tartományát és a függvény értéktartományát.

Egy függvény tartományának és tartományának megkeresése (speciális)

Íme, mi történt:

Szerintem kitaláltad a grafikonokat. Most próbáljuk meg megtalálni egy függvény definíciós tartományát a képletekkel összhangban (ha nem tudja, hogyan kell ezt megtenni, olvassa el a következő részt):

Sikerült? Ellenőrizzük válaszol:

1. , mivel a gyökkifejezésnek nullánál nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie.
2. , mivel nem lehet nullával osztani, és a gyök kifejezés nem lehet negatív.
3. , hiszen, illetve mindenre.
4. , mivel nem lehet nullával osztani.

Van azonban még egy megválaszolatlan kérdésünk...

Még egyszer megismétlem a meghatározást, és hangsúlyozom:

Észrevetted? A "csak" szó nagyon-nagyon fontos eleme meghatározásunk. Megpróbálom az ujjaimmal elmagyarázni neked.

Tegyük fel, hogy van egy egyenes által meghatározott függvényünk. . Ezt az értéket behelyettesítjük a „szabályunkba”, és azt kapjuk. Egy érték egy értéknek felel meg. Akár táblázatot is készíthetünk a különböző értékekről, és grafikonon ábrázolhatjuk ezt a függvényt, hogy saját szemünkkel lássuk.

"Nézze! - azt mondod: „kétszer fordul elő!” Tehát lehet, hogy a parabola nem függvény? Nem, az!

Az a tény, hogy a „ ” kétszer jelenik meg, nem ok arra, hogy a parabolát kétértelműséggel vádoljuk!

A helyzet az, hogy a számítás során egy meccset kaptunk. A -val számolva pedig egy játékot kaptunk. Tehát ez így van, a parabola egy függvény. Nézd meg a grafikont:

Megvan? Ha nem, tessék életpélda nagyon messze van a matematikától!

Tegyük fel, hogy van egy csoport pályázónk, akik találkoztak a dokumentumok benyújtása közben, és mindegyikük egy beszélgetés során elmondta, hol él:

Egyetértek, lehetséges, hogy több srác él egy városban, de lehetetlen, hogy egy ember egyszerre több városban éljen. Ez olyan, mint a mi „parabolánk” logikus ábrázolása – Ugyanahhoz a játékhoz több különböző X is tartozik.

Most jöjjön egy példa, ahol a függőség nem függvény. Tegyük fel, hogy ugyanezek a srácok elmondták, milyen szakokra jelentkeztek:

Nálunk teljesen más a helyzet: egy ember könnyedén benyújthat egy vagy több irányra vonatkozó dokumentumokat. Azaz egy elemet készletek levelezésbe kerülnek több elemet sokaság. Illetőleg, ez nem funkció.

Teszteljük tudásunkat a gyakorlatban.

Határozza meg a képek alapján, hogy mi a függvény és mi nem:

Megvan? És itt van válaszol:

• A függvény - B, E.
• A függvény nem - A, B, D, D.

Kérded miért? Igen, ezért:

Az összes képen, kivéve IN)És E) Több is van egyért!

Biztos vagyok benne, hogy most könnyen megkülönböztetheti a függvényt a nem függvénytől, megmondhatja, mi az argumentum és mi a függő változó, valamint meghatározhatja egy argumentum megengedett értékeinek tartományát és egy függvény definíciójának tartományát. . Térjünk át a következő részre – hogyan állítsunk be egy függvényt?

Funkció megadásának módszerei

Szerinted mit jelentenek a szavak? "beállítás funkció"? Így van, ez azt jelenti, hogy mindenkinek el kell magyarázni, hogy ebben az esetben mi a funkció. arról beszélünk. És magyarázd el úgy, hogy mindenki jól értse, és az emberek által a magyarázatod alapján rajzolt függvénygrafikonok ugyanazok legyenek.

Hogyan lehet ezt megtenni? Hogyan kell beállítani egy funkciót? A legegyszerűbb módszer, amelyet ebben a cikkben már többször használtak, az képlet segítségével.Írunk egy képletet, és egy értéket behelyettesítve kiszámoljuk az értéket. És amint emlékszel, a képlet egy törvény, egy szabály, amely alapján világossá válik számunkra és egy másik személy számára, hogyan válik X-ből Y.

Általában pontosan ezt csinálják - a feladatokban képletek által meghatározott kész függvényeket látunk, azonban vannak más módok is egy függvény beállítására, amelyről mindenki megfeledkezik, és ezért felvetődik a „hogyan lehet másképpen beállítani egy függvényt?” félreérti. Értsünk meg mindent sorban, és kezdjük az elemzési módszerrel.

Egy függvény megadásának analitikai módszere

Az elemzési módszer egy függvény megadása képlet segítségével. Ez a leguniverzálisabb, legátfogóbb és legegyértelműbb módszer. Ha van képlete, akkor abszolút mindent tud egy függvényről - készíthet belőle értéktáblázatot, készíthet grafikont, meghatározhatja, hol nő és hol csökken a függvény, általában tanulmányozhatja. teljesen.

Nézzük a függvényt. mi a különbség?

– Mit jelent? - kérdezed. most elmagyarázom.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a jelölésben a zárójelben lévő kifejezést argumentumnak nevezzük. És ez az érv bármilyen kifejezés lehet, nem feltétlenül egyszerű. Ennek megfelelően, bármilyen legyen is az argumentum (a zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe.

Példánkban ez így fog kinézni:

Tekintsünk egy másik, a függvény megadásának analitikai módszerével kapcsolatos feladatot, amely a vizsgán lesz.

Keresse meg a kifejezés értékét:

Biztos vagyok benne, hogy először megijedt, amikor meglátott egy ilyen kifejezést, de semmi ijesztő nincs benne!

Minden ugyanaz, mint az előző példában: bármi legyen is az argumentum (a zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe. Például egy funkcióhoz.

Mit kell tenni a példánkban? Ehelyett írnod ​​kell, és helyette -:

rövidítse le a kapott kifejezést:

Ennyi!

Önálló munkavégzés

Most próbálja meg saját maga megtalálni a következő kifejezések jelentését:

1. , Ha
2. , Ha

Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszainkat: Megszoktuk, hogy a függvénynek van formája

Példánkban is pontosan így definiáljuk a függvényt, de analitikusan lehetséges például a függvény definiálása implicit formában is.

Próbálja meg saját maga megépíteni ezt a funkciót.

Sikerült?

Így építettem fel.

Milyen egyenletet vezettünk le végül?

Jobbra! Lineáris, ami azt jelenti, hogy a grafikon egy egyenes lesz. Készítsünk egy táblázatot annak meghatározására, hogy mely pontok tartoznak a vonalunkhoz:

Pontosan erről beszéltünk... Egy többnek felel meg.

Próbáljuk meg lerajzolni, mi történt:

Funkciója van annak, amit kaptunk?

Így van, nem! Miért? Próbáljon meg rajz segítségével válaszolni erre a kérdésre. mit kaptál?

"Mert egy érték több értéknek felel meg!"

Milyen következtetést vonhatunk le ebből?

Így van, egy függvényt nem mindig lehet kifejezetten kifejezni, és ami függvénynek van „álcázva”, az nem mindig függvény!

Függvény megadásának táblázatos módszere

Ahogy a neve is sugallja, ez a módszer egy egyszerű jel. Igen, igen. Mint amit te és én már elkészítettünk. Például:

Itt azonnal észrevett egy mintát - az Y háromszor nagyobb, mint az X. És most az a feladat, hogy „gondolkozz nagyon alaposan”: szerinted egy táblázat formájában megadott függvény egyenértékű a függvénnyel?

Ne beszéljünk sokáig, hanem rajzoljunk!

Így. A háttérkép által megadott függvényt a következő módokon rajzoljuk meg:

Látod a különbséget? Nem minden a megjelölt pontokon múlik! Nézze meg közelebbről:

most láttad? Amikor egy függvényt definiálunk táblázatos módszer, csak azokat a pontokat tükrözzük a grafikonon, amelyek a táblázatban szerepelnek, és az egyenes (mint esetünkben) csak rajtuk halad át. Amikor analitikusan definiálunk egy függvényt, tetszőleges pontot vehetünk, és a funkciónk nem korlátozódik ezekre. Ez a sajátosság. Emlékezz!

Függvénykészítés grafikus módszere

A függvények grafikus módszere sem kevésbé kényelmes. Megrajzoljuk a függvényünket, és egy másik érdeklődő megtalálja, hogy y mi egyenlő egy bizonyos x-nél, és így tovább. A grafikus és analitikai módszerek a legelterjedtebbek.

Itt azonban emlékeznie kell arra, amiről a legelején beszéltünk - nem minden koordináta-rendszerben rajzolt „pörgés” függvény! Emlékszel? Minden esetre idemásolom a függvény meghatározását:

Általában az emberek általában pontosan megnevezik a függvény megadásának három általunk tárgyalt módját - analitikus (képlet segítségével), táblázatos és grafikus, teljesen megfeledkezve arról, hogy egy függvény leírható szóban is. Hogy van ez? Igen, nagyon egyszerű!

A funkció szóbeli leírása

Hogyan írjunk le egy függvényt szóban? Vegyük a legutóbbi példánkat - . Ezt a függvényt úgy írhatjuk le, hogy „x minden valós értéke a hármas értékének felel meg”. Ez minden. Semmi bonyolult. Természetesen tiltakozni fog – „vannak ilyenek összetett funkciók, amit egyszerűen lehetetlen szóban megkérdezni!” Igen, vannak ilyenek, de vannak olyan függvények, amelyeket egyszerűbb verbálisan leírni, mint képlettel definiálni. Például: "x minden természetes értéke megfelel a benne lévő számjegyek közötti különbségnek, míg a minuend a szám jelölésében szereplő legnagyobb számjegy." Most nézzük meg, hogyan valósul meg a gyakorlatban a funkció szóbeli leírása:

A legmagasabb szám itt adott szám- , illetve egy minuend, akkor:

A funkciók fő típusai

Most térjünk át a legérdekesebb részre - nézzük meg azokat a főbb függvénytípusokat, amelyekkel dolgozott/dolgozik és fog működni az iskolai és főiskolai matematika során, vagyis ismerjük meg őket úgymond , és adja át nekik rövid leírás. Olvasson többet az egyes funkciókról a megfelelő részben.

Lineáris függvény

Az űrlap függvénye, ahol, - valós számok.

Ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenes, így a lineáris függvény megalkotása két pont koordinátájának megkereséséhez vezet.

Az egyenes helyzete a koordinátasíkon a szögegyütthatótól függ.

Egy függvény hatóköre (más néven érvényes argumentumértékek hatóköre) .

Értéktartomány - .

Kvadratikus függvény

Az űrlap függvénye, hol

A függvény grafikonja parabola, amikor a parabola ágai lefelé, ha az ágak felfelé irányulnak.

Sok ingatlan másodfokú függvény a diszkrimináns értékétől függ. A diszkriminánst a képlet segítségével számítjuk ki

A parabola helyzete a koordinátasíkon az értékhez és az együtthatóhoz képest az ábrán látható:

A meghatározás tartománya

Az értéktartomány az adott függvény szélsőértékétől (a parabola csúcspontjától) és az együtthatótól (a parabola ágainak irányától) függ.

Fordított arányosság

A képlet által adott függvény, ahol

A számot fordított arányossági együtthatónak nevezzük. Az értéktől függően a hiperbola ágai különböző négyzetekben helyezkednek el:

A meghatározás hatálya - .

Értéktartomány - .

ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

1. A függvény egy olyan szabály, amely szerint egy halmaz minden eleme a halmaz egyetlen eleméhez kapcsolódik.

• - ez egy függvényt jelölő képlet, vagyis az egyik változó függőségét a másiktól;
• - változó érték, vagy argumentum;
• - függő mennyiség - megváltozik, ha az argumentum megváltozik, vagyis egyesek szerint egy bizonyos képlet, amely egy mennyiségnek a másiktól való függését tükrözi.

2. Érvényes argumentumértékek, vagy egy függvény tartománya az, ami azokhoz a lehetőségekhez kapcsolódik, amelyekben a függvénynek értelme van.

3. Funkció tartomány- ez milyen értékeket igényel, elfogadható értékek mellett.

4. Egy funkció beállításának négy módja van:

• elemző (képletekkel);
• táblázatos;
• grafikus
• szóbeli leírás.

5. A függvények fő típusai:

• : , ahol valós számok;
• : , Hol;
• : , Hol.