Kezdjük kedvenc térünkkel.
9. példa
Komplex szám négyzetre
Itt kétféleképpen lehet menni, az első mód az, hogy átírjuk a fokot faktorok szorzataként, és a számokat a polinomok szorzási szabálya szerint megszorozzuk.
A második módszer a jól ismert iskolai képlet használata a rövidített szorzáshoz:
Egy komplex számhoz könnyen levezethető a saját rövidített szorzóképlet:
Hasonló képlet származtatható a különbség négyzetére, valamint a különbség összegének kockájára és kockájára. De ezek a képletek relevánsabbak összetett elemzési problémák esetén. Mi van, ha egy komplex számot kell emelnie, mondjuk az 5., 10. vagy 100. hatványra? Nyilvánvaló, hogy szinte lehetetlen végrehajtani egy ilyen trükköt algebrai formában, gondoljon arra, hogyan fog megoldani egy példát, mint?
És itt jön segítségül egy komplex szám trigonometrikus alakja és az ún Moivre képlete: Ha egy komplex szám trigonometrikus formában van ábrázolva, akkor természetes hatványra emelve a következő képlet érvényes:
Egyszerűen felháborító.
10. példa
Adott egy komplex szám, keresse meg.
Mit kell tenni? Először ezt a számot kell ábrázolnia trigonometrikus formában. A figyelmes olvasók észreveszik, hogy a 8. példában már megtettük ezt:
Ezután Moivre képlete szerint:
Isten ments, nem kell számológéppel számolni, de a legtöbb esetben le kell egyszerűsíteni a szöget. Hogyan lehet egyszerűsíteni? Képletesen szólva, meg kell szabadulni a felesleges fordulatoktól. Egy fordulat egy radián vagy 360 fok. Nézzük meg, hány fordulat van a vitában. A kényelem kedvéért helyesbítjük a törtet:, ami után jól láthatóvá válik, hogy egy fordulatot csökkenthet:. Remélem mindenki megérti, hogy ez ugyanaz a szög.
Így a végső válasz így lesz írva:
A hatványozási probléma külön változata a tisztán képzeletbeli számok hatványozása.
12. példa
Emelje a komplex számokat hatványokra
Itt is minden egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzünk a híres egyenlőségre.
Ha a képzeletbeli egységet egyenletes hatványra emeljük, akkor a megoldási technika a következő:
Ha a képzeletbeli egységet páratlan hatványra emeljük, akkor „lecsípünk” egy „és”, így páros hatványt kapunk:
Ha van mínusz (vagy bármilyen valós együttható), akkor először el kell választani:
Gyökök kinyerése komplex számokból. Másodfokú egyenlet összetett gyökökkel
Nézzünk egy példát:
Nem tudod kibontani a gyökeret? Ha arról beszélünk valós számokról, akkor ez tényleg lehetetlen. Lehetséges a gyökér kinyerése komplex számokból! Pontosabban, két gyökér:
A talált gyökerek valóban megoldást jelentenek az egyenletre? Ellenőrizzük:
Amit ellenőrizni kellett.
Gyakran használnak rövidített jelölést, mindkét gyöket egy sorba írják az „ugyanazon fésű” alatt: .
Ezeket a gyökereket is nevezik konjugált komplex gyökereket.
Hogyan lehet kivonni négyzetgyökök A negatív számokból szerintem mindenki érti: ,,, stb. Minden esetben kiderül két konjugált komplex gyökereket.
13. példa
Másodfokú egyenlet megoldása
Számítsuk ki a diszkriminánst:
A diszkrimináns negatív, és az egyenletnek nincs megoldása valós számokban. De a gyökér komplex számokból kinyerhető!
A jól ismert iskolai képletekkel két gyökeret kapunk: – összetett gyökök konjugált
Így az egyenletnek két konjugált komplex gyöke van:
Most bármilyen másodfokú egyenletet megoldhat!
Általában minden „n-edik” fokú polinomot tartalmazó egyenletnek egyenlő gyöke van, amelyek közül néhány összetett is lehet.
Egy egyszerű példa önálló megoldásra:
14. példa
Keresse meg az egyenlet gyökereit, és faktorozza a másodfokú binomiálist!
A faktorizálást ismét a szokásos iskolai képlet szerint hajtják végre.
Kezdjük kedvenc térünkkel.
9. példa
Komplex szám négyzetre
Itt kétféleképpen lehet menni, az első mód az, hogy átírjuk a fokot faktorok szorzataként, és a számokat a polinomok szorzási szabálya szerint megszorozzuk.
A második módszer a jól ismert iskolai képlet használata a rövidített szorzáshoz:
Egy komplex számhoz könnyen levezethető a saját rövidített szorzóképlet:
Hasonló képlet származtatható a különbség négyzetére, valamint a különbség összegének kockájára és kockájára. De ezek a képletek relevánsabbak összetett elemzési problémák esetén. Mi van, ha egy komplex számot kell emelnie, mondjuk az 5., 10. vagy 100. hatványra? Nyilvánvaló, hogy szinte lehetetlen végrehajtani egy ilyen trükköt algebrai formában, gondoljon arra, hogyan fog megoldani egy példát, mint?
És itt jön segítségül egy komplex szám trigonometrikus alakja és az ún Moivre képlete: Ha egy komplex szám trigonometrikus formában van ábrázolva, akkor természetes hatványra emelve a következő képlet érvényes:
Egyszerűen felháborító.
10. példa
Adott egy komplex szám, keresse meg.
Mit kell tenni? Először ezt a számot kell ábrázolnia trigonometrikus formában. A figyelmes olvasók észreveszik, hogy a 8. példában már megtettük ezt:
Ezután Moivre képlete szerint:
Isten ments, nem kell számológéppel számolni, de a legtöbb esetben le kell egyszerűsíteni a szöget. Hogyan lehet egyszerűsíteni? Képletesen szólva, meg kell szabadulni a felesleges fordulatoktól. Egy fordulat egy radián vagy 360 fok. Nézzük meg, hány fordulat van a vitában. A kényelem kedvéért helyesbítjük a törtet:, ami után jól láthatóvá válik, hogy egy fordulatot csökkenthet:. Remélem mindenki megérti, hogy ez ugyanaz a szög.
Így a végső válasz így lesz írva:
A hatványozási probléma külön változata a tisztán képzeletbeli számok hatványozása.
12. példa
Emelje a komplex számokat hatványokra
Itt is minden egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzünk a híres egyenlőségre.
Ha a képzeletbeli egységet egyenletes hatványra emeljük, akkor a megoldási technika a következő:
Ha a képzeletbeli egységet páratlan hatványra emeljük, akkor „lecsípünk” egy „és”, így páros hatványt kapunk:
Ha van mínusz (vagy bármilyen valós együttható), akkor először el kell választani:
Gyökök kinyerése komplex számokból. Másodfokú egyenlet összetett gyökökkel
Nézzünk egy példát:
Nem tudod kibontani a gyökeret? Ha valós számokról beszélünk, akkor ez tényleg lehetetlen. Lehetséges a gyökér kinyerése komplex számokból! Pontosabban, két gyökér:
A talált gyökerek valóban megoldást jelentenek az egyenletre? Ellenőrizzük:
Amit ellenőrizni kellett.
Gyakran használnak rövidített jelölést, mindkét gyöket egy sorba írják az „ugyanazon fésű” alatt: .
Ezeket a gyökereket is nevezik konjugált komplex gyökereket.
Szerintem mindenki érti, hogyan lehet negatív számokból négyzetgyököt kivonni: ,,, stb. Minden esetben kiderül két konjugált komplex gyökereket.
