Úgy érzed, sok idő van még a vizsgáig? Ez egy hónap? Két? Év? A gyakorlat azt mutatja, hogy a tanuló akkor birkózik meg a legjobban a vizsgával, ha már előre felkészül rá. Az Egységes Államvizsgán sok nehéz feladat áll az iskolások és a leendő legmagasabb pontszámig jelentkezők útjába. Meg kell tanulnod leküzdeni ezeket az akadályokat, ráadásul nem is nehéz megtenni. Meg kell értenie a jegyekből történő különféle feladatokkal való munka elvét. Akkor nem lesz gond az újakkal.

A logaritmusok első pillantásra hihetetlenül bonyolultnak tűnnek, de részletes elemzéssel a helyzet sokkal egyszerűbbé válik. Ha a legmagasabb pontszámmal szeretné letenni az egységes államvizsgát, akkor meg kell értenie a szóban forgó fogalmat, és ebben a cikkben ezt javasoljuk.

Először is válasszuk szét ezeket a definíciókat. Mi az a logaritmus (log)? Ez annak a teljesítménynek a mutatója, amelyre az alapot fel kell emelni a megadott szám eléréséhez. Ha nem világos, nézzünk egy elemi példát.

Ebben az esetben az alján lévő alapot fel kell emelni a második hatványra, hogy megkapjuk a 4-es számot.

Most nézzük a második koncepciót. A függvény bármilyen formájú deriváltja egy olyan fogalom, amely egy függvény változását jellemzi egy adott pontban. Ez azonban egy iskolai tanterv, és ha ezekkel a fogalmakkal egyénileg is problémái vannak, érdemes megismételni a témát.

A logaritmus deriváltja

Az egységes államvizsga-feladatokban ebben a témában több feladatot is megadhat példaként. Először is a legegyszerűbb logaritmikus derivált. Meg kell találni a következő függvény deriváltját.

Meg kell találnunk a következő származékot

Van egy speciális képlet.

Ebben az esetben x=u, log3x=v. A függvényünk értékeit behelyettesítjük a képletbe.

Az x deriváltja eggyel lesz egyenlő. A logaritmus kicsit nehezebb. De megérti az elvet, ha egyszerűen helyettesíti az értékeket. Emlékezzünk vissza, hogy lg x deriváltja a decimális logaritmus deriváltja, ln x deriváltja pedig a természetes logaritmus deriváltja (e alapján).

Most egyszerűen illessze be a kapott értékeket a képletbe. Próbáld ki te is, akkor ellenőrizzük a választ.

Mi lehet itt a probléma egyeseknek? Bevezettük a természetes logaritmus fogalmát. Beszéljünk róla, és egyúttal kitaláljuk, hogyan oldjuk meg a problémákat vele. Semmi bonyolultat nem fog látni, különösen, ha megérti a működési elvét. Meg kell szokni, hiszen a matematikában (felsőoktatási intézményekben még inkább) gyakran használják.

A természetes logaritmus származéka

Lényegében ez a logaritmus deriváltja az e bázishoz (amely egy körülbelül 2,7 irracionális szám). Valójában az ln nagyon egyszerű, ezért gyakran használják általában a matematikában. Igazából a probléma megoldása sem lesz gond vele. Érdemes megjegyezni, hogy a természetes logaritmus e bázisra vonatkozó deriváltja egyenlő lesz egy osztva x-szel. A következő példa megoldása lesz a legleleplezőbb.

Képzeljük el, mint egy összetett függvényt, amely két egyszerű függvényből áll.

Elég konvertálni

Az u deriváltját keressük x-re vonatkozóan

Folytassuk a másodikkal

A komplex függvény deriváltjának u=nx helyettesítésével történő megoldásának módszerét alkalmazzuk.

Mi történt végül?

Most emlékezzünk, mit jelentett n ebben a példában? Ez bármely szám, amely a természetes logaritmusban x előtt állhat. Fontos megértened, hogy a válasz nem tőle függ. Cserélj be, amit akarsz, a válasz továbbra is 1/x lesz.

Amint látja, itt nincs semmi bonyolult, csak meg kell értenie az elvet, hogy gyorsan és hatékonyan megoldja a témát. Most már ismeri az elméletet, már csak a gyakorlatba kell átültetnie. Gyakorolja a problémák megoldását, hogy sokáig emlékezzen a megoldás elvére. Lehet, hogy az iskola elvégzése után nem lesz szüksége erre a tudásra, de a vizsgán minden eddiginél relevánsabb lesz. Sok sikert neked!

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal vegyük figyelembe az inverz függvényt. Melyik függvény az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap a szám:

Az ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mivel egyenlő? Természetesen.

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: Az exponenciális és a naturális logaritmus derivált szempontból egyedülállóan egyszerű függvények. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal rendelkeznek, amit később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

A megkülönböztetés szabályai

Mi szabályai? Megint egy új kifejezés, megint?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Ez minden. Mi másnak nevezhetjük ezt a folyamatot egy szóval? Nem derivált... A matematikusok a differenciált a függvény azonos növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjelből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Legyen, vagy egyszerűbben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. egy ponton;
2. egy ponton;
3. egy ponton;
4. pontban.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel lineáris függvény, emlékszel?);

A termék származéka

Itt minden hasonló: vezessünk be egy új függvényt, és keressük meg a növekményét:

Származék:

Példák:

1. Keresse meg az és függvények deriváltjait;
2. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni bármely exponenciális függvény deriváltját, és nem csak a kitevőket (elfelejtette már, mi az?).

Szóval, hol van néhány szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg új alapra hozni a függvényünket:

Ehhez egy egyszerű szabályt fogunk használni: . Majd:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Sikerült?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított egy kitevő deriváltjához: úgy ahogy volt, ugyanaz marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem lehet egyszerűbb formában leírni. Ezért a válaszban ebben a formában hagyjuk.

Vegye figyelembe, hogy itt két függvény hányadosa van, ezért alkalmazzuk a megfelelő differenciálási szabályt:

Ebben a példában két függvény szorzata:

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló a helyzet: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért egy tetszőleges logaritmus más bázisú kereséséhez, például:

Ezt a logaritmust az alapra kell redukálnunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevező egyszerűen egy állandó (állandó szám, változó nélkül). A származékot nagyon egyszerűen kapjuk meg:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg az Egységes Államvizsgában, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arctangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha nehéznek találja a logaritmust, olvassa el a „Logaritmusok” témakört, és minden rendben lesz), de matematikai szempontból a „komplex” szó nem azt jelenti, hogy „nehéz”.

Képzeljen el egy kis futószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Az eredmény egy összetett tárgy: egy szalaggal becsomagolt és átkötött csokoládé. Egy tábla csokoládé elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania a fordított lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd négyzetre emeljük a kapott számot. Tehát kapunk egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd négyzetre teszed, amit kaptam (szalaggal megkötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az érték meghatározásához az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy második műveletet az elsőből eredővel.

Más szóval, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Példánkra .

Könnyen megtehetjük ugyanezeket a lépéseket fordított sorrendben: először négyzetre tesszük, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát: . Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Az összetett függvények fontos jellemzője: ha megváltozik a műveletek sorrendje, akkor a funkció megváltozik.

Második példa: (ugyanaz). .

A művelet, amit utoljára hajtunk végre, elnevezésre kerül "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet - ennek megfelelően "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonló a változók megváltoztatásához: például egy függvényben

1. Milyen műveletet hajtunk végre először? Először számoljuk ki a szinust, és csak azután kockázzuk fel. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de külső.
   Az eredeti funkció pedig az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

Változókat változtatunk, és kapunk egy függvényt.

Nos, most kibontjuk a csokoládét, és megkeressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példához képest így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Nézzük példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld megvágni! A koszinusz alól semmi sem jön ki, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy ez egy háromszintű komplex függvény: elvégre ez már önmagában is komplex funkció, és a gyökeret is kivonjuk belőle, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (csomagolóba tesszük a csokoládét és szalaggal az aktatáskában). De nincs okunk félni: ezt a funkciót továbbra is a megszokott sorrendben „pakoljuk ki”: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje ugyanaz, mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Szinusz. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

SZÁRMAZÉK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Függvény származéka- a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelenül kicsiny növekedéséhez:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjelből:

Az összeg származéka:

A termék származéka:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a „belső” függvényt, és megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a „külső” függvényt, és megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.

Komplex származékok. Logaritmikus derivált.
Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Továbbra is fejlesztjük differenciálási technikánkat. Ebben a leckében összevonjuk az általunk tárgyalt anyagot, megnézzük az összetettebb deriváltokat, valamint megismerkedünk a derivált megtalálásának új technikáival és trükkjeivel, különösen a logaritmikus deriválttal.

Azok az olvasók, akik alacsony felkészültséggel rendelkeznek, olvassák el a cikket Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra, amely lehetővé teszi, hogy szinte a semmiből emelje tudását. Ezután alaposan tanulmányoznia kell az oldalt Komplex függvény származéka, megérteni és megoldani Minden az általam felhozott példákat. Ez a lecke logikusan a harmadik a sorban, és elsajátítása után magabiztosan megkülönbözteti a meglehetősen összetett funkciókat. Nem kívánatos a „Hol máshol? Elég volt!”, hiszen minden példa és megoldás valós tesztekből származik, és gyakran találkozunk vele a gyakorlatban.

Kezdjük az ismétléssel. Az osztályban Komplex függvény származéka Számos példát néztünk meg részletes megjegyzésekkel. A differenciálszámítás és a matematikai elemzés más ágainak tanulmányozása során nagyon gyakran kell differenciálni, és nem mindig kényelmes (és nem is mindig szükséges) a példák részletes leírása. Ezért szóban fogjuk gyakorolni a származékok megtalálását. Erre a legalkalmasabb „jelöltek” a legegyszerűbb összetett függvények származékai, például:

Az összetett függvények differenciálási szabálya szerint :

Ha a jövőben más matan témákat tanul, akkor leggyakrabban nincs szükség ilyen részletes rögzítésre, feltételezzük, hogy a hallgató tudja, hogyan találhat ilyen származékokat autopilotán. Képzeljük el, hogy hajnali 3 órakor megszólalt a telefon, és egy kellemes hang megkérdezte: "Mi a deriváltja két X tangensének?" Ezt szinte azonnali és udvarias válasznak kell követnie: .

Az első példa azonnal önálló megoldásra lesz szánva.

1. példa

Keresse meg szóban, például egy műveletben a következő származékokat: . A feladat elvégzéséhez csak használnia kell elemi függvények deriváltjainak táblázata(ha még nem emlékeztél rá). Ha nehézségei vannak, javaslom, hogy olvassa el újra a leckét Komplex függvény származéka.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Válaszok a lecke végén

Komplex származékok

Előzetes tüzérségi előkészítés után a 3-4-5 funkciófészkelésű példák kevésbé lesznek ijesztőek. A következő két példa bonyolultnak tűnhet egyesek számára, de ha megérti őket (valaki szenvedni fog), akkor szinte minden más a differenciálszámításban gyerekviccnek tűnik.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint már említettük, egy komplex függvény deriváltjának megtalálásához először is szükség van rá Jobbra MEGÉRTSE befektetéseit. Azokban az esetekben, amikor kétségek merülnek fel, emlékeztetek egy hasznos technikára: vesszük például az „x” kísérleti értékét, és megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) ezt az értéket behelyettesíteni a „szörnyű kifejezésbe”.

1) Először ki kell számítanunk a kifejezést, ami azt jelenti, hogy az összeg a legmélyebb beágyazás.

2) Ezután ki kell számítania a logaritmust:

4) Ezután felkockázzuk a koszinuszát:

5) Az ötödik lépésben a különbség:

6) És végül, a legkülső függvény a négyzetgyök:

Egy összetett függvény megkülönböztetésének képlete fordított sorrendben alkalmazzák, a legkülső funkciótól a legbelsőig. Mi döntünk:

Úgy tűnik, nincs hiba...

(1) Vegyük a négyzetgyök deriváltját.

(2) A különbség deriváltját a szabály segítségével vesszük

(3) A hármas deriváltja nulla. A második tagban vesszük a fok (kocka) deriváltját.

(4) Vegyük a koszinusz deriváltját.

(5) Vegyük a logaritmus deriváltját.

(6) És végül vesszük a legmélyebb beágyazás származékát.

Lehet, hogy túl nehéznek tűnik, de nem ez a legbrutálisabb példa. Vegyük például Kuznyecov gyűjteményét, és értékelni fogja az elemzett származék minden szépségét és egyszerűségét. Észrevettem, hogy szeretnek hasonlót adni egy vizsgán, hogy ellenőrizzék, hogy a hallgató érti-e, hogyan kell egy komplex függvény deriváltját megtalálni, vagy nem érti.

A következő példa arra szolgál, hogy Ön egyedül oldja meg.

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Tipp: Először a linearitási szabályokat és a termékdifferenciálási szabályokat alkalmazzuk

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Ideje áttérni valami kisebbre és szebbre.
Nem ritka, hogy egy példa nem két, hanem három függvény szorzatát mutatja. Hogyan találjuk meg a három tényező szorzatának deriváltját?

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Először is nézzük meg, hogy lehetséges-e három függvény szorzatát két függvény szorzatává alakítani? Például, ha két polinom van a szorzatban, kinyithatjuk a zárójeleket. De a vizsgált példában az összes függvény különbözik: fok, kitevő és logaritmus.

Ilyen esetekben szükséges szekvenciálisan alkalmazza a termékdifferenciálási szabályt kétszer

A trükk az, hogy „y”-vel két függvény szorzatát jelöljük: , „ve”-vel pedig a logaritmust: . Miért lehet ezt megtenni? Valóban az – ez nem két tényező szorzata és a szabály nem működik?! Nincs semmi bonyolult:

Most már másodszor kell alkalmazni a szabályt zárójelbe:

Meg is csavarodhat, és kivehet valamit a zárójelekből, de ebben az esetben jobb, ha pontosan ebben a formában hagyja a választ - könnyebb lesz ellenőrizni.

A vizsgált példa a második módon is megoldható:

Mindkét megoldás teljesen egyenértékű.

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa egy független megoldásra a mintában az első módszerrel van megoldva.

Nézzünk hasonló példákat a törtekkel.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Többféleképpen is eljuthatsz ide:

Vagy így:

De a megoldást tömörebben írjuk le, ha először a hányados differenciálási szabályát használjuk , figyelembe véve a teljes számlálót:

Elvileg a példa meg van oldva, és ha így marad, akkor nem lesz hiba. De ha van időd, mindig célszerű megnézni egy piszkozatot, hátha egyszerűsíthető a válasz? A számláló kifejezését redukáljuk közös nevezőre és szabaduljunk meg a háromemeletes törttől:

A további egyszerűsítések hátránya, hogy nem a származék megtalálásakor, hanem a banális iskolaátalakítások során fennáll a hiba veszélye. Másrészt a tanárok gyakran elutasítják a feladatot, és azt kérik, hogy „hozzuk eszünkbe” a származékot.

Egy egyszerűbb példa önálló megoldásra:

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Továbbra is elsajátítjuk a derivált megtalálásának módszereit, és most egy tipikus esetet fogunk megvizsgálni, amikor egy „szörnyű” logaritmust javasolnak a differenciáláshoz

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt hosszú utat tehet meg az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával:

De a legelső lépés azonnal csüggedtségbe sodor – törthatványból kell venni a kellemetlen származékot, majd törtből is.

azért előtt hogyan vegyük egy „kifinomult” logaritmus deriváltját, először egyszerűsítjük a jól ismert iskolai tulajdonságok segítségével:

! Ha van kéznél egy gyakorlófüzet, másolja közvetlenül oda ezeket a képleteket. Ha nincs jegyzetfüzete, másolja ki őket egy papírra, mivel a lecke többi példája ezen képletek körül fog járni.

Magát a megoldást így írhatjuk le:

Alakítsuk át a függvényt:

A származék megkeresése:

Maga a függvény előzetes konvertálása nagyban leegyszerűsítette a megoldást. Így ha hasonló logaritmust javasolnak a differenciáláshoz, mindig tanácsos „lebontani”.

És most néhány egyszerű példa, amelyet önállóan megoldhat:

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Minden átalakítás és válasz a lecke végén található.

Logaritmikus derivált

Ha a logaritmusok származéka ilyen édes zene, akkor felmerül a kérdés: lehetséges-e bizonyos esetekben mesterségesen rendszerezni a logaritmust? Tud! És még szükséges is.

11. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Nemrég néztünk hasonló példákat. Mit tegyek? Alkalmazhatja egymás után a hányados differenciálási szabályát, majd a szorzat differenciálási szabályát. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy a végén egy hatalmas háromemeletes törtet kapunk, amivel egyáltalán nem akarunk foglalkozni.

De elméletben és gyakorlatban van egy olyan csodálatos dolog, mint a logaritmikus derivált. A logaritmusokat mesterségesen is meg lehet szervezni, ha mindkét oldalra „akasztjuk” őket:

Jegyzet : mert egy függvény negatív értékeket vehet fel, akkor általában modulokat kell használni: , amely a differenciálódás következtében eltűnik. Elfogadható azonban a jelenlegi kialakítás is, ahol alapból ezt veszik figyelembe összetett jelentések. De ha teljes szigorral, akkor mindkét esetben fenntartással kell élni, hogy.

Most a jobb oldal logaritmusát kell „szétszedni”, amennyire csak lehet (képletek a szemed előtt?). Ezt a folyamatot részletesen leírom:

Kezdjük a megkülönböztetéssel.
Mindkét részt a prime alatt zárjuk:

A jobb oldal származéka meglehetősen egyszerű, nem kommentálom, mert ha ezt a szöveget olvassa, akkor magabiztosan kell kezelnie.

Mi van a bal oldallal?

A bal oldalon van összetett funkció. Előre látom a kérdést: „Miért van egy „Y” betű a logaritmus alatt?

A tény az, hogy ez az „egy betűs játék” - ÖNMAGA FUNKCIÓ(ha nem túl világos, nézze meg az implicit módon megadott függvény származéka című cikket). Ezért a logaritmus egy külső függvény, az „y” pedig egy belső függvény. És a szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére használjuk :

A bal oldalon, mintha varázsütésre, van egy származékunk. Ezután az arányszabály szerint átvisszük az „y”-t a bal oldali nevezőből a jobb oldal tetejére:

És most emlékezzünk, milyen „játékos” funkcióról beszéltünk a megkülönböztetés során? Nézzük a feltételt:

Végső válasz:

12. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A lecke végén egy ilyen típusú minta minta látható.

A logaritmikus deriválttal a 4-7. példák bármelyikét meg lehetett oldani, más dolog, hogy ott egyszerűbbek a függvények, és talán nem nagyon indokolt a logaritmikus derivált használata.

Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Ezt a funkciót még nem vettük figyelembe. A hatvány-exponenciális függvény olyan függvény, amelyre mind a fok, mind az alap az „x”-től függ. Egy klasszikus példa, amelyet bármelyik tankönyvben vagy előadásban megadunk:

Hogyan találjuk meg a hatvány-exponenciális függvény deriváltját?

Az imént tárgyalt technikát kell használni - a logaritmikus deriváltot. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk:

Általában a jobb oldalon a fokszám kikerül a logaritmus alól:

Ennek eredményeként a jobb oldalon két függvény szorzata látható, amelyeket a szabványos képlet szerint különböztetünk meg. .

Ehhez megtaláljuk a származékot, mindkét részt vonjuk be:

A további műveletek egyszerűek:

Végül:

Ha bármely átalakítás nem teljesen egyértelmű, kérjük, olvassa el újra figyelmesen a 11. példa magyarázatait.

A gyakorlati feladatokban a hatvány-exponenciális függvény mindig bonyolultabb lesz, mint a vizsgált előadási példa.

13. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A logaritmikus deriváltot használjuk.

A jobb oldalon van egy konstans és két tényező szorzata - „x” és „x logaritmus” (a logaritmus alá egy másik logaritmus van beágyazva). A differenciálásnál, mint emlékszünk, jobb, ha a konstanst azonnal kimozdítjuk a származékjelből, hogy ne álljon útban; és természetesen alkalmazzuk az ismert szabályt :

A természetes logaritmus deriváltjának és a bázishoz tartozó logaritmusnak a bizonyítása és levezetése. Példák ln 2x, ln 3x és ln nx deriváltjainak kiszámítására. Az n-edrendű logaritmus derivált képletének bizonyítása a matematikai indukció módszerével.

Tartalom

Lásd még: Logaritmus - tulajdonságok, képletek, grafikon
Természetes logaritmus - tulajdonságok, képletek, grafikon

A természetes logaritmus és a bázishoz tartozó logaritmus deriváltjainak képletei származtatása

Az x természetes logaritmusának deriváltja egy osztva x-szel:
(1) (ln x)′ =.

A logaritmus a bázisra vonatkozó deriváltja egyenlő egy osztva az x változóval, megszorozva a természetes logaritmusával:
(2) (log a x)′ =.

Bizonyíték

Legyen olyan pozitív szám, amely nem egyenlő eggyel. Tekintsünk egy x változótól függő függvényt, amely az alap logaritmusa:
.
Ez a függvény a következő helyen van definiálva.
(3) .

Keressük a deriváltját az x változóra vonatkozóan.
Definíció szerint a derivált a következő határérték: Alakítsuk át ezt a kifejezést, hogy ismert matematikai tulajdonságokra és szabályokra redukáljuk. Ehhez tudnunk kell a következő tényeket:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
A) A logaritmus tulajdonságai. A következő képletekre lesz szükségünk:
(7) .
B)
A logaritmus folytonossága és a határértékek tulajdonsága folytonos függvényre: Itt van egy függvény, amelynek határértéke van, és ez a határ pozitív.
(8) .

IN)
.
A második figyelemre méltó határ jelentése:

.

Alkalmazzuk ezeket a tényeket a határainkhoz. Először transzformáljuk az algebrai kifejezést
.

Ehhez a (4) és (5) tulajdonságokat alkalmazzuk.
.
Használjuk a (7) tulajdonságot és a második figyelemre méltó határt (8): És végül alkalmazzuk a (6) tulajdonságot: Logaritmus a bázishoz e hívott
.
természetes logaritmus
.

. A következőképpen van megjelölve:

Aztán ;

Így a (2) képletet kaptuk a logaritmus deriváltjára.
.
A természetes logaritmus származéka
(1) .

Ezen egyszerűség miatt a természetes logaritmust nagyon széles körben használják a matematikai elemzésben és a matematika más, a differenciálszámítással kapcsolatos ágaiban. A más bázisokkal rendelkező logaritmikus függvények természetes logaritmusban fejezhetők ki a (6) tulajdonság segítségével:
.

A logaritmus bázishoz viszonyított deriváltja az (1) képletből megtudható, ha a konstanst kiveszed a differenciáló jelből:
.

A logaritmus deriváltjának bizonyításának egyéb módjai

Itt feltételezzük, hogy ismerjük az exponenciális derivált képletét:
(9) .
Ekkor levezethetjük a természetes logaritmus deriváltjának képletét, feltéve, hogy a logaritmus az exponenciális inverz függvénye.

Bizonyítsuk be a természetes logaritmus deriváltjának képletét, az inverz függvény deriváltjának képletét alkalmazva:
.
A mi esetünkben.
.
A természetes logaritmus inverz függvénye az exponenciális:
.
Származékát a (9) képlet határozza meg. A változók bármilyen betűvel jelölhetők. A (9) képletben cserélje ki az x változót y-ra:
.
Azóta
.
Majd

A képlet bevált. Most bebizonyítjuk a természetes logaritmus deriváltjának képletét a segítségével az összetett függvények megkülönböztetésének szabályait
.
. Mivel a és függvények inverzek egymással, akkor
(10) .
Megkülönböztetjük ezt az egyenletet az x változóhoz képest:
.
x deriváltja eggyel egyenlő:
.
Alkalmazzuk az összetett függvények differenciálási szabályát:
.
itt . Cseréljük be (10):
.

Innen

Példa Keresse származékait 2x, 3x És.

lnnx Az eredeti függvények hasonló formájúak. Ezért meg fogjuk találni a függvény deriváltját y = log nx . Ekkor behelyettesítjük n = 2 és n = 3 értékkel. És így képleteket kapunk a származékaihoz 2x 2x, .

És
Az eredeti függvények hasonló formájúak. Ezért meg fogjuk találni a függvény deriváltját .
Tehát a függvény deriváltját keressük
1) Képzeljük el ezt a függvényt két függvényből álló komplex függvényként:
2) Változótól függő függvények: ;
Változótól függő függvények: .
.

Ekkor az eredeti függvény a és a függvényekből áll:
.
Keressük meg a függvény deriváltját az x változóra vonatkozóan:
.
Keressük meg a függvény deriváltját a változóhoz képest:
.
Alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.

Itt állítjuk be.
(11) .
Így találtuk:
.
Látjuk, hogy a derivált nem függ n-től.
.

; ; .

Ez az eredmény teljesen természetes, ha az eredeti függvényt a szorzat logaritmusának képletével alakítjuk át:

- ez állandó. A származéka nulla. Ekkor az összeg differenciálási szabálya szerint a következőket kapjuk:
(12) .

Az x modulus logaritmusának deriváltja
.
Keressük meg egy másik nagyon fontos függvény – az x modulus természetes logaritmusának – deriváltját:
.

Tekintsük az esetet.
,
Hol .
De ennek a függvénynek a deriváltját is megtaláltuk a fenti példában. Nem függ n-től és egyenlő vele
.
Azóta
.

Összevonjuk ezt a két esetet egy képletben:
.

Ennek megfelelően ahhoz, hogy a logaritmus a alapú legyen, a következőket kapjuk:
.

A természetes logaritmus magasabb rendű származékai

Vegye figyelembe a funkciót
.
Megtaláltuk elsőrendű származékát:
(13) .

Keressük a másodrendű származékot:
.
Keressük a harmadrendű deriváltot:
.
Keressük a negyedrendű deriváltot:
.

Észreveheti, hogy az n-edrendű származék alakja a következő:
(14) .
Bizonyítsuk be ezt matematikai indukcióval.

Bizonyíték

Helyettesítsük be az n = 1 értéket a (14) képletbe:
.
Mivel , akkor amikor n = 1 , a (14) képlet érvényes.

Tegyük fel, hogy a (14) képlet teljesül n = k esetén. + 1 .

Bizonyítsuk be, hogy ez azt jelenti, hogy a képlet n = k-re érvényes
.
Valójában n = k esetén van:

.
Differenciáljunk az x változóval:
.
Így kaptunk: 1 Ez a képlet egybeesik a (14) képlettel, ha n = k + 1 .

.

Tehát abból a feltételezésből, hogy a (14) képlet érvényes n = k esetén, az következik, hogy a (14) képlet érvényes n = k + esetén

Ezért az n-edrendű derivált (14) formula bármely n-re érvényes.
.
A logaritmus magasabb rendű származékai a bázishoz
.

Ahhoz, hogy megtaláljuk a logaritmus n-edrendű deriváltját a bázishoz, a természetes logaritmussal kell kifejezni: