Adjuk meg az y=f(x) függvényt azon a szegmensen, amely n azonos szegmensre van felosztva (egyenlő távolságú argumentumértékek esete). x=h=állandó. Minden x 0, x 1 =x 0 +h,..., x n =x 0 +n h csomópontra a függvényértékek a következő formában vannak megadva: f(x 0)=y 0, f(x 1)= y 1,... ., f(x n)=y n.
Elsőrendű véges különbségek y 0 = y 1 – y 0 y 1 = y 2 – y y n-1 = y n – y n-1. Másodrendű véges különbségek 2 y 0 = y 1 – y 0 2 y 1 = y 2 – y y n-2 = y n-1 – y n-2 A magasabb rendű véges különbségeket hasonlóan definiáljuk: k y 0 = k- 1 y 1 – k-1 y 0 k y 1 = k-1 y 2 – k-1 y k y i = k-1 y i+1 – k-1 y i, i = 0,1,...,n-k.
Adjuk meg az y = f(x) függvénynek az y i = f(x i) értékeket a független változók egyenlő értékeire: x n = x 0 +nh, ahol h az interpolációs lépés. Meg kell találni egy n-nél nem magasabb fokú P n (x) polinomot, az x i pontokon (csomópontokon) a következő értékeket véve: P n (x i) = y i, i=0,...,n. Írjuk fel az interpoláló polinomot a következő formában:
A polinom megalkotásának problémája az a i együtthatók meghatározása a feltételekből: P n (x 0)=y 0 P n (x 1)=y P n (x n)=y n
Hasonlóképpen más együtthatók is megtalálhatók. Az általános képlet a következő: Ezeket a kifejezéseket a polinomiális képletbe behelyettesítve kapjuk: ahol x i,y i – interpolációs csomópontok; x – aktuális változó; h – két interpolációs csomópont különbsége h – állandó érték, azaz. Az interpolációs csomópontok egyenlő távolságra vannak egymástól.
Az interpoláció sajátossága, hogy az interpolációs függvény szigorúan áthalad a táblázat csomópontjain, azaz a számított értékek egybeestek a táblázatban szereplőkkel: y i =f(x i). Ez a tulajdonság annak a ténynek köszönhető, hogy az interpolációs függvényben az együtthatók száma (m) megegyezett a táblázatos értékek számával (n).
4. Lehetetlen olyan táblázatos adatot leírni, amelyben több pont van azonos argumentumértékkel interpolációs függvény segítségével. Ez a helyzet akkor lehetséges, ha ugyanazt a kísérletet többször elvégzik ugyanazokkal a kiindulási adatokkal. Ez azonban nem korlátozza a közelítés alkalmazását, ahol az egyes pontokon áthaladó függvénygráf feltétele nincs beállítva.
Sziasztok. Nemrég találkoztam egy problémával az új telefonomon, melynek megoldásához be kellett szereznem néhány APK fájlt a firmware-ből. Miután az interneten kerestem a probléma megoldásának módjait, egy érdekes segédprogramra bukkantam, amely segített megoldani ezt a problémát.
A munkához szükségünk lesz:
ext4_unpacker_exe.zipext2explore-2.2.71.zip
Szétszedjük az Android firmware-t. Kicsomagoljuk a *.zip archívumot a firmware-rel Elindítjuk a segédprogramot. ext4_unpacker.exeés válassza ki a fájlt rendszer.img.
A fájl megnyitása után kattintson a Mentés másként gombra.
A fájl nevét kiterjesztéssel írjuk .ext4(Például system.ext4).
A kicsomagolás befejezése után futtassa a segédprogramot ext2explore.exe a rendszergazda nevében ( fontos!).A lapon Fájl válassz...
A program két szálra oszlik, amelyek közül az egyikben a rendezés történik, a másikban pedig a grafikus felületet rajzolják át. A „Rendezés” gomb megnyomása után a program meghívja a „RunSorting” metódust, amelyben a rendezési algoritmus definiálódik, és egy új szál jön létre, amelyben a rendezési folyamat fut.
privát üres RunSo…
Ma meg akarom mutatni a Kacheremet, amit régebben megtettem téli ünnepek. Nem írom le a teljes gyártási folyamatot, mivel sok cikk található az interneten. Csak a főbb paramétereiről írok.
Az alábbiakban néhány fotót láthatunk, amelyek a készülék összeszerelése során készültek.
A tekercset körülbelül 2000 menetnyi 0,08 mm-es huzallal 50 mm átmérőjű és 200 mm magas PVC csőre tekerjük.
Terminálként egy régi merevlemez lemezt használtak. Minden mást a lap alján található diagram szerint szereltünk össze.
Az első opciót egy régi számítógép tápegységéről táplálták, 12 V-os feszültséggel. Ezután külön tápegység készült, 30 V-os feszültséggel, beépített hűtéssel.
Készülék diagram:
A tartományok közötti erőforrás-megosztás (CORS) egy W3C specifikáció, amely lehetővé teszi a tartományok közötti kommunikációt a böngészőben. Az XMLHttpRequest objektumra építve a CORS lehetővé teszi a fejlesztők számára, hogy ugyanazokkal az idiómákkal dolgozzanak, mint az azonos tartományhoz tartozó kérések. A CORS használati esete egyszerű. Képzelje el, hogy az alice.com rendelkezik bizonyos adatokkal, amelyeket a bob.com szeretne megszerezni. Ez a fajta kérés hagyományosan nem engedélyezett ugyanazon böngésző eredetre vonatkozó szabályzata szerint. Azonban a CORS kérések támogatásával az alice.com hozzáadhat néhány speciális válaszfejlécet, amelyek lehetővé teszik a bob.com számára, hogy hozzáférjen az adatokhoz. Amint ebből a példából látható, a CORS-támogatás koordinációt igényel a szerver és az ügyfél között. Szerencsére, ha Ön ügyféloldali fejlesztő, védve van a legtöbb ilyen részlettől. A cikk további része bemutatja, hogy az ügyfelek hogyan küldhetnek több eredetű kérelmet, és hogyan konfigurálhatják magukat a kiszolgálók a CORS támogatására. Folytatás…
Amikor megkapjuk a Newton-féle interpolációs képleteket, amelyeket ugyanazokra a célokra használunk, mint a Lagrange-képletet, azt a további feltételezést tesszük, hogy az argumentum egyenlő távolságú értékeit veszik figyelembe. Tehát hagyjuk a függvényértékeket y = f(x) egyenlő távolságra megadott értékekre x 0, x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Ezek az argumentumértékek megfelelnek a függvényértékeknek: y 0 =f(x 0),y 1 =f(x 1), …, y n = f(x n).
Írjuk be a kívánt polinomot a formába
F( x) = a 0 + a 1 (x- x 0) + a 2 (x- x 0)(x- x 1) + a 3 (x- x 0)(x- x 1)(x- x 2) + …
…+ a n( x- x 0)(x- x 1)…(x- x n -1) (3.9)
Az együtthatók meghatározásához a 0, a 1,..., a n betesz (3.9) x = x 0 . Majd at 0 =F(x 0)=a 0 . Továbbá, feltételezve x=x 1 , kapunk at 1 =F(x 1) = a 0 + a 1 h , hol
a 1 =
Folytatva az együtthatók számítását, tegyük fel X =x 2. Majd
y 2 = y 0 + 2h + a 2 2hh, y 2 – 2Δ y 0 = a 2 2h 2 ;
y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = a 2 2h 2 .
A (3.8) alapján azt kapjuk, hogy y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.
Pontosan ugyanígy kapjuk
Hasonló további számítások lehetővé teszik, hogy írjunk általános képlet bármilyen együtthatóhoz A k:
Az együtthatók talált kifejezéseit a (3.9) képletbe behelyettesítve kapjuk
Az így kapott képletet Newton első interpolációs képletének nevezzük.
Mert gyakorlati használat A (3.10) Newton-képletet általában transzformált formában írják fel. Ehhez bevezetjük a jelölést
innen x = x 0 + ht.
Fejezzük ki keresztül t a (3.10) képletben szereplő tényezők:
………………………..
A kapott kifejezéseket a (3.10) képletbe behelyettesítve végül megkapjuk
A (3.11) kifejezés Newton első interpolációs képletének végső formája.
Példa. Egy lépés megtétele h = 0,05, állítsa össze a Newton-féle interpolációs polinomot a szegmens függvényéhez y = e x , a táblázat határozza meg. 3.3.
3.3. táblázat
Figyeljük meg, hogy a különbség oszlopokban a bevett gyakorlat szerint a tizedesjegyeket nem választjuk el vesszővel, ami a függvényérték oszlopból egyértelműen kiderül.
Mivel a harmadrendű különbségek gyakorlatilag állandóak, ezért a (3.11) képletbe beletesszük n = 3. Miután elfogadta X 0 = 3,50 És at 0 = 33,115, nekünk lesz:
Newton első interpolációs képlete kényelmetlen egy függvény interpolálásához egy táblázat végén, ahol a különbségértékek száma kicsi. Ebben az esetben Newton második interpolációs képletét alkalmazzuk, amelyet most megvizsgálunk.
Írjuk a formába a szükséges interpolációs polinomot
Mint korábban, az együtthatók A 0 , A 1 ,… Anállapotból határozzák meg F(x i) = yén. Tegyük bele (3.12) X = X n. Majd a 0 = y n.
Ugyanígy, feltételezve x = x n -1, megkapjuk y n -1 = y n+ a 1 (x n -1 - x n),
és azóta x n -1 - x n = - h, Hogy
Az utolsó kifejezés számlálója a következőképpen ábrázolható:
yn –yn -1 – (yn -1 -yn -2)= Δ yn -1 -Δ yn -2 =Δ 2 yn -2.
A hasonló számításokat folytatva általános képletet kapunk az együtthatókra
Az összes együttható érték (3.12) behelyettesítése után ez a képlet a következőt veszi fel
Ez Newton második interpolációs képlete. A könnyebb használat érdekében az elsőhöz hasonlóan a jelölés bevezetésével átalakul
= t vagy x= xn+th.
Most fejezzük ki t tényezők a (3.13) képletben:
……………………………………………..
Miután elvégeztük ezt a cserét, végül a következőket kapjuk:
Példa. táblázat szerint Hétjegyű logaritmus 3,5 értéke 1000-től 10-es lépésekben, keresse meg a log 1044-et.
3.5. táblázat
| x | y | Δ y | Δ2 y | Δ3 y |
| 3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 | -426 -418 -409 -401 |
Fogadjuk el xn= 1050,yn= 3,0211893;Δ yn-1 = 0,0041560;
Δ2 yn -2 = - 0,0000401;Δ 3 y n -3 = 0,0000008. Akkor for x= 1044-et kapunk
Mind az első, mind a második Newton-interpolációs képlet használható függvények extrapolálására, azaz az argumentumok értékeinek függvényértékeinek megtalálására. X , az asztalon kívül fekszik. Ifvalue x< x 0 és jelentése x közel x 0 , akkor előnyös Newton első interpolációs képletét használni, és
Ha x > x 0 És x közel X n , akkor kényelmesebb Newton második interpolációs képletét használni, és
Így Newton első interpolációs képletét általában az előre és visszafelé történő interpolációhoz, Newton második interpolációs képletét pedig ellenkezőleg, visszafelé és előre történő extrapolációhoz használják.
Példa. Egy asztal 3.6 értékek és különbségek,y = bűn X: től kezdve X= 15° hogy X = 55° lépésekben h= 5° , találd meg a bűnt 14 ° és bűn 56 ° .
3.6. táblázat
| x(0 C) | y | Δ y | Δ2 y | Δ3 y |
| 0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192 | 832 532 | -26 -32 -38 -44 -49 -54 -57 | -6 -6 -6 -5 -5 -3 |
Megoldás. A sin14 kiszámításához 0 fogadjuk el x 0 = 15 0 És x= 14 0 , innen t = (14–15)/5 = – 0,2.
Itt visszafelé kell extrapolálni, ezért alkalmazzuk Newton első interpolációs képletét és a véges különbségeket egyetlen vonallal aláhúzva:
sin14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +
+ (–0,0006) = 0,242.
Megtalálni a bűnt56 0 fogadjuk el xn= 55 0 És x= 56 0 , innen t= .
Newton második interpolációs képletét (3.14) alkalmazva és a duplán aláhúzott különbségeket felhasználva a következőket kapjuk:
bűn56 0 = 0,8192+ 0,2·0,0532 + (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.
Newton első interpolációs képlete gyakorlatilag kényelmetlen a táblázat csomópontjaihoz közeli függvény interpolálásához. Ebben az esetben általában ezt használják .
A feladat leírása . Legyen függvényértékek sorozata
egyenlő távolságú argumentumértékek esetén, ahol az interpolációs lépés. Készítsünk egy polinomot a következő formájú:
vagy az általánosított hatványt használva a következőket kapjuk:
Aztán, ha az egyenlőség fennáll, akkor megkapjuk
Helyettesítsük be ezeket az értékeket az (1) képletbe. Aztán végre, Newton második interpolációs képlete a következő formában van:
Vezessünk be egy kényelmesebb jelölést a (2) képlethez. Akkor legyen
Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a (2) képletbe, a következőt kapjuk:
Ez a szokásos nézet Newton második interpolációs képlete. A függvényértékek kiszámításának közelítéséhez tegyük fel:
Newton első és második interpolációs képlete egyaránt használható egy függvény extrapolálására, azaz a táblázaton kívüli argumentumértékek függvényértékeinek megkeresésére.
Ha közel van, akkor célszerű alkalmazni Newton első interpolációs képletét, majd. Ha közel van, akkor még kényelmesebb Newton második interpolációs képletét használni.
Ezért általában Newton első interpolációs képletét használják előre interpolációÉs visszafelé extrapolálva, és Newton második interpolációs képlete, éppen ellenkezőleg, for visszafelé interpolálvaÉs előre történő extrapoláció.
Vegye figyelembe, hogy az extrapolációs művelet általában kevésbé pontos, mint a szó szűk értelmében vett interpolációs művelet.
Példa. A lépés megtételekor készítse el a Newton-interpolációs polinomot a táblázat által megadott függvényre
 |
|||||||
Megoldás. Összeállítunk egy táblázatot a különbségekről (1. táblázat). Mivel a harmadrendű különbségek gyakorlatilag állandóak, a (3) képletben feltételezzük. Az elfogadás után a következőkkel rendelkezünk:
Ez a kívánt Newton-interpolációs polinom.
1. táblázat
 |
|
|
|
|
