Vannak, akik óvatosan kezelik a „progresszió” szót, mint egy nagyon összetett kifejezést a magasabb matematika ágaiból. Eközben a legegyszerűbb számtani progresszió a taxióra munkája (ahol még léteznek). És egy számtani sorozat lényegének megértése (és a matematikában nincs fontosabb, mint a „lényeg megszerzése”) nem is olyan nehéz, néhány elemi fogalom elemzése után.

Matematikai számsor

A numerikus sorozatot általában számsorozatnak nevezik, amelyek mindegyikének saját száma van.

a 1 a sorozat első tagja;

és 2 a sorozat második tagja;

és 7 a sorozat hetedik tagja;

és n a sorozat n-edik tagja;

Azonban nem bármilyen tetszőleges szám- és számhalmaz érdekel bennünket. Figyelmünket egy olyan numerikus sorozatra összpontosítjuk, amelyben az n-edik tag értéke matematikailag egyértelműen megfogalmazható összefüggéssel kapcsolódik a sorszámához. Más szóval: az n-edik szám számértéke n valamilyen függvénye.

a egy numerikus sorozat egy tagjának értéke;

n a sorozatszáma;

f(n) egy függvény, ahol az n numerikus sorozat sorszáma az argumentum.

Meghatározás

Az aritmetikai progressziót általában olyan numerikus sorozatnak nevezik, amelyben minden következő tag azonos számmal nagyobb (kisebb), mint az előző. Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete a következő:

a n - az aritmetikai sorozat aktuális tagjának értéke;

a n+1 - a következő szám képlete;

d - különbség (bizonyos szám).

Könnyen megállapítható, hogy ha a különbség pozitív (d>0), akkor a vizsgált sorozat minden következő tagja nagyobb lesz, mint az előző, és ez a számtani progresszió növekszik.

Az alábbi grafikonon jól látható, hogy miért számsor"növekedésnek" nevezik.

Azokban az esetekben, amikor a különbség negatív (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Megadott tagérték

Néha meg kell határozni egy aritmetikai sorozat tetszőleges a n tagjának értékét. Ezt úgy lehet megtenni, hogy az aritmetikai progresszió összes tagjának értékét szekvenciálisan kiszámítjuk, az elsőtől a kívántig. Ez az út azonban nem mindig elfogadható, ha például meg kell találni az ötezredik vagy nyolcmilliomodik tag értékét. A hagyományos számítások sok időt vesznek igénybe. Egy adott aritmetikai progresszió azonban tanulmányozható bizonyos képletekkel. Van egy képlet az n-edik tagra is: egy aritmetikai sorozat bármely tagjának értéke meghatározható a progresszió első tagjának összegeként a progresszió különbségével, szorozva a kívánt tag számával, csökkentve egy.

A képlet univerzális a progresszió növelésére és csökkentésére.

Példa egy adott kifejezés értékének kiszámítására

Oldjuk meg a következő feladatot egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának értékének meghatározására.

Feltétel: van egy aritmetikai progresszió a következő paraméterekkel:

A sorozat első tagja 3;

A számsor különbsége 1,2.

Feladat: meg kell találni 214 kifejezés értékét

Megoldás: egy adott tag értékének meghatározásához a következő képletet használjuk:

a(n) = a1 + d(n-1)

A problémafelvetés adatait a kifejezésbe behelyettesítve a következőt kapjuk:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Válasz: A sorozat 214. tagja egyenlő 258,6-tal.

Ennek a számítási módszernek az előnyei nyilvánvalóak - a teljes megoldás legfeljebb 2 sort vesz igénybe.

Adott számú kifejezés összege

Nagyon gyakran egy adott számtani sorozatban meg kell határozni egyes szegmenseinek értékeinek összegét. Ehhez nincs szükség az egyes kifejezések értékeinek kiszámítására, majd összeadására. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha kevés azon kifejezések száma, amelyek összegét meg kell találni. Más esetekben kényelmesebb a következő képlet használata.

Az 1-től n-ig terjedő aritmetikai haladás tagjainak összege egyenlő az első és az n-edik tag összegével, megszorozva az n tag számával és elosztva kettővel. Ha a képletben az n-edik tag értékét a cikk előző bekezdésében szereplő kifejezéssel helyettesítjük, a következőt kapjuk:

Számítási példa

Például oldjunk meg egy problémát a következő feltételekkel:

A sorozat első tagja nulla;

A különbség 0,5.

A probléma megoldásához meg kell határozni az 56-tól 101-ig terjedő sorozat tagjainak összegét.

Megoldás. Használjuk a képletet a progresszió mértékének meghatározásához:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Először meghatározzuk a progresszió 101 tagjának értékeinek összegét úgy, hogy a feladatunk adott feltételeit behelyettesítjük a képletbe:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Nyilvánvaló, hogy az 56-tól a 101-ig terjedő haladás tagösszegének megtudásához ki kell vonni S 55-öt S 101-ből.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Így ennek a példának az aritmetikai progressziójának összege:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Példa az aritmetikai progresszió gyakorlati alkalmazására

A cikk végén térjünk vissza az első bekezdésben megadott számtani sorozat példájához - egy taxióra (taxi mérő). Tekintsük ezt a példát.

A taxiba való beszállás (amely 3 km-es utazást tartalmaz) 50 rubelbe kerül. Minden további kilométert 22 rubel/km áron kell fizetni. Az utazási távolság 30 km. Számolja ki az utazás költségét.

1. Dobjuk el az első 3 km-t, aminek az árát a leszállás költsége tartalmazza.

30 - 3 = 27 km.

2. A további számítás nem más, mint egy számtani számsor elemzése.

Tagszám - a megtett kilométerek száma (mínusz az első három).

A tag értéke az összeg.

Ebben a feladatban az első tag 1 = 50 rubel lesz.

Progressziós különbség d = 22 r.

a minket érdeklő szám a számtani progresszió (27+1) tagjának értéke - a mérőállás a 27. kilométer végén 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

A tetszőlegesen hosszú időszakra vonatkozó naptári adatok számításai bizonyos numerikus sorozatokat leíró képleteken alapulnak. A csillagászatban a pálya hossza geometriailag függ az égitest távolságától a csillagtól. Emellett a különböző számsorokat sikeresen alkalmazzák a statisztikában és a matematika egyéb alkalmazott területein.

A számsorok másik típusa a geometriai

Geometriai progresszió az aritmetikaihoz képest nagy változási ráták jellemzik. Nem véletlen, hogy a politikában, a szociológiában, az orvostudományban egy adott jelenség, például egy járvány idején előforduló betegség nagy sebességű terjedésének kimutatására azt mondják, hogy a folyamat geometriai progresszióban fejlődik ki.

A geometriai számsor N-edik tagja abban különbözik az előzőtől, hogy megszorozzák valamilyen állandó számmal - a nevező például az első tag 1, a nevező ennek megfelelően egyenlő 2-vel, majd:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - a geometriai progresszió aktuális tagjának értéke;

b n+1 - a geometriai progresszió következő tagjának képlete;

q a geometriai progresszió nevezője (konstans szám).

Ha egy aritmetikai sorozat grafikonja egy egyenes, akkor a geometriai haladás kissé eltérő képet fest:

Akárcsak az aritmetika esetében, a geometriai progressziónak is van egy képlete egy tetszőleges tag értékére. Egy geometriai progresszió bármely n-edik tagja egyenlő az első tag és az n eggyel csökkentett hatványának nevezőjének szorzatával:

Példa. Van egy geometriai progressziónk, amelynek első tagja 3, a progresszió nevezője pedig 1,5. Keressük meg a progresszió 5. tagját

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Adott számú tag összegét is egy speciális képlet segítségével számítjuk ki. Egy geometriai sorozat első n tagjának összege egyenlő a haladás n-edik tagjának és nevezőjének szorzata, valamint a haladás első tagja közötti különbséggel, osztva az eggyel csökkentett nevezővel:

Ha b n-t a fentebb tárgyalt képlettel helyettesítjük, akkor a szóban forgó számsor első n tagjának összege a következőképpen alakul:

Példa. A geometriai haladás az 1-gyel egyenlő első taggal kezdődik. A nevezőt 3-ra állítjuk. Határozzuk meg az első nyolc tag összegét.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Az algebra középiskolai tanulmányozása során (9. osztály) az egyik fontos téma a numerikus sorozatok tanulmányozása, amelyek magukban foglalják a progressziót - geometriát és aritmetikát. Ebben a cikkben egy aritmetikai progressziót és megoldási példákat tekintünk meg.

Mi az aritmetikai progresszió?

Ennek megértéséhez meg kell határozni a szóban forgó progressziót, valamint meg kell adni azokat az alapképleteket, amelyeket a későbbiekben a problémák megoldása során használni fogunk.

Az aritmetikai vagy algebrai progresszió olyan rendezett racionális számok halmaza, amelyek minden tagja valamilyen állandó értékkel különbözik az előzőtől. Ezt az értéket különbségnek nevezzük. Vagyis egy rendezett számsor bármely tagjának és a különbségnek a ismeretében visszaállíthatja a teljes aritmetikai sorozatot.

Mondjunk egy példát. A következő számsorozat egy aritmetikai sorozat lesz: 4, 8, 12, 16, ..., mivel a különbség ebben az esetben 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). De a 3, 5, 8, 12, 17 számok halmaza már nem tulajdonítható a vizsgált progresszió típusának, mivel a különbség nem állandó érték (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Fontos képletek

Most mutassuk be azokat az alapvető képleteket, amelyekre szükség lesz a feladatok számtani progresszióval történő megoldásához. Jelöljük a n szimbólummal a sorozat n-edik tagját, ahol n egész szám. A különbséget a latin d betűvel jelöljük. Ekkor a következő kifejezések érvényesek:

1. Az n-edik tag értékének meghatározására a következő képlet alkalmas: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Az első n tag összegének meghatározásához: S n = (a n +a 1)*n/2.

Ahhoz, hogy megértsük a 9. osztályban a megoldásokkal végzett aritmetikai haladás példáit, elég megjegyezni ezt a két képletet, mivel a szóban forgó típusú problémák ezek használatán alapulnak. Ne feledje azt is, hogy a progresszió különbségét a következő képlet határozza meg: d = a n - a n-1.

1. példa: ismeretlen kifejezés keresése

Adjunk egy egyszerű példát egy aritmetikai sorozatra és a megoldáshoz szükséges képletekre.

Legyen adott a 10, 8, 6, 4, ... sorozat, öt tagot kell találni benne.

A feladat feltételeiből már az is következik, hogy az első 4 tag ismert. Az ötödik kétféleképpen határozható meg:

1. Először számoljuk ki a különbséget. Van: d = 8 - 10 = -2. Hasonlóképpen, elvihet bármely két másik tagot egymás mellett. Például d = 4 - 6 = -2. Mivel ismert, hogy d = a n - a n-1, akkor d = a 5 - a 4, amiből kapjuk: a 5 = a 4 + d. Az ismert értékeket behelyettesítjük: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A második módszer a kérdéses progresszió különbségének ismeretét is megköveteli, ezért először meg kell határozni a fentiek szerint (d = -2). Tudva, hogy az első tag a 1 = 10, a sorozat n számának képletét használjuk. Van: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ha n = 5-öt behelyettesítünk az utolsó kifejezésbe, a következőt kapjuk: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Mint látható, mindkét megoldás ugyanarra az eredményre vezetett. Vegye figyelembe, hogy ebben a példában a d progressziókülönbség negatív érték. Az ilyen sorozatokat csökkenőnek nevezzük, mivel minden következő tag kisebb, mint az előző.

2. példa: progresszió különbség

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot, mutassunk példát, hogyan

Ismeretes, hogy egyes esetekben az 1. tag 6, a 7. tag pedig 18. Meg kell találni a különbséget, és vissza kell állítani ezt a sorozatot a 7. tagra.

Használjuk a képletet az ismeretlen tag meghatározásához: a n = (n - 1) * d + a 1 . Helyettesítsük be a feltételből ismert adatokat, vagyis az a 1 és a 7 számokat, így kapjuk: 18 = 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámítható a különbség: d = (18 - 6) /6 = 2. Így a feladat első részét megválaszoltuk.

A sorozat 7. tagjára való visszaállításához az algebrai progresszió definícióját kell használni, azaz a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d és így tovább. Ennek eredményeként a teljes sorozatot visszaállítjuk: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3. példa: progresszió készítése

Bonyolítsuk még jobban a problémát. Most azt a kérdést kell megválaszolnunk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. A következő példa megadható: két szám van megadva, például - 4 és 5. Létre kell hozni egy algebrai progressziót úgy, hogy ezek közé még három tag kerüljön.

Mielőtt elkezdené megoldani ezt a problémát, meg kell értenie, hogy az adott számok milyen helyet foglalnak el a jövőbeni fejlődésben. Mivel még három tag lesz közöttük, akkor a 1 = -4 és egy 5 = 5. Ennek megállapítása után áttérünk az előzőhöz hasonló feladatra. Az n-edik tagra ismét a képletet használjuk, így kapjuk: a 5 = a 1 + 4 * d. Ebből: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Amit itt kaptunk, az nem a különbség egész értéke, hanem egy racionális szám, így az algebrai haladás képlete változatlan marad.

Most adjuk hozzá a talált különbséget 1-hez, és állítsuk vissza a progresszió hiányzó tagjait. A következőt kapjuk: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, amelyek egybeesnek a probléma körülményeivel.

4. példa: a progresszió első tagja

Adjunk továbbra is példákat a megoldásokkal való aritmetikai progresszióra. Minden korábbi feladatban ismert volt az algebrai progresszió első száma. Most nézzünk meg egy más típusú problémát: legyen két szám, ahol egy 15 = 50 és egy 43 = 37. Meg kell találni, hogy melyik számmal kezdődik ez a sorozat.

Az eddig használt képletek egy 1 és d ismeretét feltételezik. A problémafelvetésben ezekről a számokról nem tudunk semmit. Mindazonáltal minden olyan kifejezéshez felírunk kifejezéseket, amelyekről információ áll rendelkezésre: a 15 = a 1 + 14 * d és a 43 = a 1 + 42 * d. Két egyenletet kaptunk, amelyben 2 ismeretlen mennyiség van (a 1 és d). Ez azt jelenti, hogy a feladat egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.

A rendszer legegyszerűbb megoldása, ha minden egyenletben 1-et fejezünk ki, majd az eredményül kapott kifejezéseket összehasonlítjuk. Első egyenlet: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; második egyenlet: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ezeket a kifejezéseket egyenlővé téve a következőt kapjuk: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, innen a különbség d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (csak 3 tizedesjegy van megadva).

A d ismeretében a fenti 2 kifejezés bármelyikét használhatja 1-hez. Például először: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, ellenőrizheti, például meghatározhatja a progresszió 43. tagját, amely a feltételben van megadva. A következőt kapjuk: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Az apró hiba abból adódik, hogy a számításoknál ezredrészekre kerekítést alkalmaztak.

5. számú példa: összeg

Most nézzünk meg néhány példát egy aritmetikai sorozat összegének megoldásával.

Legyen a következő alakú numerikus progresszió: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan lehet kiszámítani ezeknek a számoknak a 100 összegét?

A számítástechnika fejlődésének köszönhetően meg lehet oldani ezt a problémát, vagyis az összes számot egymás után hozzáadni, amit a számítógép azonnal megtesz, amint valaki megnyomja az Enter billentyűt. A probléma azonban mentálisan megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy a bemutatott számsor egy algebrai progresszió, és a különbsége egyenlő 1-gyel. Az összeg képletét alkalmazva a következőt kapjuk: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Érdekes megjegyezni, hogy ezt a problémát „gaussi”-nak nevezik, mert a 18. század elején a még csak 10 éves híres német fejében néhány másodperc alatt meg tudta oldani. A fiú nem ismerte az algebrai haladás összegének képletét, de észrevette, hogy ha páronként összeadja a sorozat végén lévő számokat, mindig ugyanazt az eredményt kapja, azaz 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 (100 / 2) lesznek, akkor a helyes válaszhoz elegendő 50-et megszorozni 101-gyel.

6. példa: tagok összege n-től m-ig

A számtani progresszió összegének egy másik tipikus példája a következő: adott egy számsor: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, hogy mekkora lesz a 8-tól 14-ig terjedő tagok összege .

A probléma kétféleképpen oldható meg. Az első közülük 8-tól 14-ig ismeretlen kifejezéseket keres, majd egymás után összegzi őket. Mivel kevés a kifejezés, ez a módszer nem elég munkaigényes. Ennek ellenére azt javasolják, hogy ezt a problémát egy második módszerrel oldják meg, amely univerzálisabb.

Az ötlet az, hogy egy képletet kapjunk az m és n tagok közötti algebrai haladás összegére, ahol n > m egész számok. Mindkét esetben két kifejezést írunk az összegre:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Mivel n > m, nyilvánvaló, hogy a 2. összeg tartalmazza az elsőt. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha felvesszük ezen összegek különbségét, és hozzáadjuk az a m tagot (különbözet ​​felvétele esetén levonjuk az S n összegből), akkor megkapjuk a feladatra a szükséges választ. Van: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ebbe a kifejezésbe n és m képleteket kell behelyettesíteni. Ekkor a következőt kapjuk: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A kapott képlet kissé körülményes, azonban az S mn összeg csak n, m, a 1 és d függvénye. Esetünkben a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ezeket a számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: S mn = 301.

Amint a fenti megoldásokból látható, minden probléma az n-edik tag kifejezésének és az első tagok összegének képletének ismeretén alapul. Mielőtt elkezdené megoldani ezeket a problémákat, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a feltételt, értse meg egyértelműen, mit kell találnia, és csak ezután folytassa a megoldást.

Egy másik tipp, hogy törekedjünk az egyszerűségre, vagyis ha bonyolult matematikai számítások használata nélkül tud válaszolni egy kérdésre, akkor ezt meg kell tennie, hiszen ebben az esetben kisebb a tévedés valószínűsége. Például a 6-os megoldású aritmetikai sorozat példájában megállhatunk az S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m képletnél, és szünet közös feladat külön részfeladatokba (ebben az esetben először keresse meg az a n és a m kifejezéseket).

Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze azt, ahogyan az egyes példákban is megtörtént. Megtudtuk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. Ha rájössz, nem is olyan nehéz.

Aritmetikai és geometriai progressziók

Elméleti információk

Elméleti információk

	Aritmetikai progresszió	Geometriai progresszió
Meghatározás	Aritmetikai progresszió a n olyan sorozat, amelyben minden egyes tag a másodiktól kezdve egyenlő az ugyanahhoz a számhoz hozzáadott előző taggal d (d- progresszió különbség)	Geometriai progresszió b n nem nulla számok sorozata, amelyek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a számmal q (q- progresszió nevezője)
Ismétlődési képlet	Bármilyen természetes n a n + 1 = a n + d	Bármilyen természetes n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula n-edik tag	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Jellegzetes tulajdonság
Az első n tag összege

Példák feladatokra megjegyzésekkel

1. feladat

aritmetikai progresszióban ( a n) egy 1 = -6, a 2

Az n-edik tag képlete szerint:

a 22 = egy 1+ d (22 - 1) = egy 1+ 21 d

Feltétel szerint:

egy 1= -6, akkor a 22= -6 + 21 d.

Meg kell találni a progressziók különbségét:

d = a 2-1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Válasz: a 22 = -48.

2. feladat

Keresse meg a geometriai progresszió ötödik tagját: -3; 6;...

1. módszer (az n-tag képlet használatával)

A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete szerint:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Mert b 1 = -3,

2. módszer (ismétlődő képlet használatával)

Mivel a progresszió nevezője -2 (q = -2), akkor:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Válasz: b 5 = -48.

3. feladat

aritmetikai progresszióban ( a n ) a 74 = 34; egy 76= 156. Keresse meg ennek a progressziónak a hetvenötödik tagját!

Egy aritmetikai progresszió esetén a jellemző tulajdonságnak van alakja .

Ebből következik:

.

Helyettesítsük be az adatokat a képletbe:

Válasz: 95.

4. feladat

aritmetikai progresszióban ( a n ) a n= 3n - 4. Határozzuk meg az első tizenhét tag összegét!

Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegének meghatározásához két képletet használunk:

.

Melyikük kényelmesebb ebben az esetben?

Feltétel szerint az eredeti progresszió n-edik tagjának képlete ismert ( a n) a n= 3n - 4. Azonnal megtalálhatja és egy 1, És egy 16 anélkül, hogy megtalálná d. Ezért az első képletet fogjuk használni.

Válasz: 368.

5. feladat

aritmetikai progresszióban( a n) egy 1 = -6; a 2= -8. Keresse meg a progresszió huszonkettedik tagját.

Az n-edik tag képlete szerint:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = egy 1+ 21d.

Feltétel szerint, ha egy 1= -6, akkor a 22= -6 + 21d. Meg kell találni a progressziók különbségét:

d = a 2-1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Válasz: a 22 = -48.

6. feladat

A geometriai progresszió több egymást követő tagját írják le:

Keresse meg az x-szel jelzett progresszió tagját!

Megoldáskor az n-edik tag képletét használjuk b n = b 1 ∙ q n - 1 Mert geometriai progressziók. A progresszió első tagja. A q progresszió nevezőjének megtalálásához vegyük a progresszió bármely megadott tagját, és el kell osztani az előzővel. Példánkban vehetünk és oszthatunk vele. Azt kapjuk, hogy q = 3. A képletben n helyett 3-at cserélünk be, mivel meg kell találni egy adott geometriai haladás harmadik tagját.

A talált értékeket behelyettesítve a képletbe, a következőt kapjuk:

.

Válasz: .

7. feladat

Az n-edik tag képletével megadott számtani progressziók közül válassza ki azt, amelyre a feltétel teljesül a 27 > 9:

Mivel az adott feltételnek teljesülnie kell a progresszió 27. tagjára, ezért mind a négy progresszióban n helyett 27-et cserélünk. A negyedik lépésben a következőket kapjuk:

.

Válasz: 4.

8. feladat

Számtani haladásban egy 1= 3, d = -1,5. Adja meg legmagasabb érték n, amelyre az egyenlőtlenség érvényes a n > -6.