Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. Lineáris homogén differenciálegyenletek Másodrendű lode sajátos megoldása

Tétel. Ha és lineáris független megoldások a (2.3) egyenletet, akkor a lineáris kombinációjuk , ahol és tetszőleges állandók, általános megoldása lesz ennek az egyenletnek.

Bizonyíték. Az a tény, hogy a (2.3) egyenletnek van megoldása, a megoldások tulajdonságairól szóló tételből következik a 2. rendű Lodo-ig. Csak meg kell mutatnunk, hogy meglesz a megoldás általános, azaz meg kell mutatni, hogy bármely kezdeti feltételhez tetszőleges állandók választhatók úgy, hogy ezek a feltételek teljesüljenek. Írjuk fel a kezdeti feltételeket a következő formában:

A konstansok és ebből a lineáris algebrai egyenletrendszerből egyedileg határozhatók meg, mivel ennek a rendszernek a determinánsa a Wronski-determináns értéke a lineárisan független megoldásokhoz Lodu-hoz: ,

és egy ilyen determináns, amint az előző bekezdésben láttuk, nem nulla. A tétel bizonyítást nyert.

Építés általános megoldás LOD a II állandó együtthatók amennyiben

13. a karakterisztikus egyenlet egyszerű gyökei (D>0 eset) (dokumentációval).

14. a karakterisztikus egyenlet többszörös gyöke (D=0 eset) (dokumentummal).

15. a karakterisztikus egyenlet összetett konjugált gyökei (D eset<0) (c док-вом).

Adott egy másodrendű lode állandó együtthatókkal (5.1), ahol , . Az előző bekezdés szerint egy másodrendű lode általános megoldása könnyen meghatározható, ha ennek az egyenletnek két lineárisan független parciális megoldása ismert. L. Euler egy egyszerű módszert javasolt egy állandó együtthatójú egyenlet részmegoldásának megtalálására. Ez a módszer, amelyet Euler-módszernek neveznek, abban áll, hogy részmegoldásokat keresünk a formában.

Ezt a függvényt az (5.1) egyenletbe behelyettesítve, -vel való redukálás után egy algebrai egyenletet kapunk, amelyet karakterisztikusnak nevezünk: (5.2)

A függvény csak az (5.1) egyenlet megoldása a k azon értékeire, amelyek az (5.2) karakterisztikus egyenlet gyökerei. A diszkrimináns értékétől függően három eset lehetséges.

1. . Ekkor a karakterisztikus egyenlet gyökerei különbözőek: . A megoldások lineárisan függetlenek lesznek, mert az általános megoldás (5.1) pedig így írható fel.

2. . Ebben az esetben és . Második lineárisan független megoldásként vehetjük a függvényt. Ellenőrizzük, hogy ez a függvény teljesíti-e az (5.1) egyenletet. Tényleg, ,. Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az (5.1) egyenletbe, azt kapjuk

Vagy, mert És .

Az egyes megoldások lineárisan függetlenek, mert . Ezért az általános megoldás (5.1) a következőképpen alakul:

3. . Ebben az esetben a karakterisztikus egyenlet gyökei összetett konjugált: , ahol , . Igazolható, hogy az (5.1) egyenlet lineárisan független megoldásai az és függvényei lesznek. Győződjön meg arról, hogy az (5.1) egyenletet például az y 1 függvény teljesíti. Tényleg, ,. Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az (5.1) egyenletbe, azt kapjuk

Ennek az egyenlőségnek a bal oldalán mindkét zárójel azonosan egyenlő nullával. Tényleg, ,

Így a függvény kielégíti az (5.1) egyenletet. Hasonlóképpen nem nehéz ellenőrizni, hogy van-e megoldás az (5.1) egyenletre. Mivel , akkor az általános megoldás így fog kinézni: .

16. Tétel a másodrendű LNDDE általános megoldásának szerkezetéről (bizonyítással).

1. tétel. A 2. rendű lndu f(x) (6.1) általános megoldását a megfelelő homogén egyenlet (6.2) általános megoldásának és az lndu (6.1) tetszőleges egyedi megoldásának összegeként ábrázoljuk.

Bizonyíték. Először is bizonyítsuk be, mi lesz a (6.1) egyenlet megoldása. Ehhez cseréljük be f(x)-et a (6.1) egyenletbe. Ez az egyenlőség identitás, mert és f(x). Következésképpen van megoldás a (6.1) egyenletre.

Most bizonyítsuk be, hogy ez a megoldás általános, azaz. a benne szereplő tetszőleges állandókat úgy választhatjuk ki, hogy a: , (6.3) alak bármely kezdeti feltétele teljesüljön. A lineáris homogén differenciálegyenlet (Lod) általános megoldásának szerkezetére vonatkozó tétel szerint a (6.2) egyenlet általános megoldása a formában ábrázolható, ahol és ennek az egyenletnek lineárisan független megoldásai. Így: és ezért a kezdeti feltételek (6.3) a következőképpen írhatók fel: vagy (6.4)

Tetszőleges állandók, amelyek ebből a lineáris algebrai egyenletrendszerből határozhatók meg egyedileg bármely jobb oldalra, mert ennek a rendszernek a determinánsa = a Wronski-determináns értéke a (6.2) egyenlet lineárisan független megoldásai esetén, és egy ilyen determináns, mint fentebb láttuk, nem nulla. A (6.4) egyenletrendszerből meghatározva az állandókat és behelyettesítve a kifejezésbe, a (6.1) egyenletnek egy olyan megoldását kapjuk, amely kielégíti az adott kezdeti feltételeket. A tétel bizonyítást nyert.

17. Másodrendű LNDDE sajátos megoldásának felépítése az űrlap jobb oldala esetén

Legyenek a (6.1) egyenletben szereplő együtthatók állandók, azaz. az egyenlet alakja: f(x) (7.1) ahol .

Tekintsünk egy módszert a (7.1) egyenlet konkrét megoldásának megtalálására abban az esetben, ha a jobb oldali f(x) speciális típus. Ezt a módszert határozatlan együtthatók módszerének nevezik, és egy adott megoldás kiválasztásából áll, attól függően, hogy milyen típusú a jobb oldali f(x). Tekintsük a következő űrlap jobb oldalát:

1. f(x) , ahol egy fokú polinom, és néhány együttható, kivéve , egyenlő lehet nullával. Jelöljük meg, hogy ebben az esetben egy adott megoldást milyen formában kell elfogadni.

a) Ha a szám nem az (5.1) egyenletre jellemző karakterisztikus egyenlet gyöke, akkor a részmegoldást a következő alakba írjuk: , ahol vannak a meghatározatlan együtthatók, amelyeket a határozatlan együtthatók módszerével kell meghatározni.

b) Ha a megfelelő karakterisztikus egyenlet multiplicitásának gyöke, akkor egy adott megoldást keresünk a következő formában: , ahol a meghatározatlan együtthatók.

18.f(x) , ahol és fokszámú polinomok, és ezek közül az egyik polinom lehet nulla. Jelöljük ebben az általános esetben az adott megoldás típusát.

A) Ha a szám nem az (5.1) egyenletre jellemző karakterisztikus egyenlet gyöke, akkor az adott megoldás alakja a következő lesz: , (7.2) ahol a meghatározatlan együtthatók, és .

B) Ha a szám a multiplicitás (5.1) egyenletre jellemző karakterisztikus egyenlet gyöke, akkor az lndu adott megoldásának alakja: , (7.3) azaz. a (7.2) alakú adott megoldást meg kell szorozni -val. A (7.3) kifejezésben - meghatározatlan együtthatójú polinomok és mértékük .

19. Variációs módszer másodrendű LDDE-k megoldására (Lagrange-módszer).

Egy egyenletre adott megoldást közvetlenül találni, kivéve az állandó együtthatókkal és speciális szabad tagokkal rendelkező egyenletet, nagyon nehéz. Ezért az egyenlet általános megoldásának megtalálásához általában a tetszőleges állandók variációs módszerét alkalmazzák, amely mindig lehetővé teszi az egyenlet általános megoldásának kvadratúrákban történő megtalálását, ha ismerjük a megfelelő homogén egyenlet alapvető megoldási rendszerét. . Ez a módszer a következő.

A fentiek szerint a lineáris homogén egyenlet általános megoldása:

ahol lineárisan független Lodu-megoldások vannak egy bizonyos X intervallumon, és tetszőleges állandók. Egy konkrét megoldást keresünk az lnd-re a (8.1) formában, feltételezve, hogy nem állandóak, hanem a : . néhány, még ismeretlen függvénye. (8.2) Megkülönböztetjük a (8.2) egyenlőséget: . (8.3)

Válasszuk ki a függvényeket úgy, hogy az egyenlőség teljesüljön: . Ekkor a (8.3) helyett a következők lesznek:

Különböztessük meg ismét ezt a kifejezést a . Ennek eredményeként kapjuk: . (8.5) Helyettesítsük be (8.2), (8.4), (8.5) a 2. rendű lnd f(x)-be:

Vagy f(x). (8.6)

Mivel - Lod megoldásai, az utolsó (8.6) egyenlőség a következő alakot ölti: f(x).

Így a (8.2) függvény akkor lesz lndu megoldása, ha a függvények és kielégítik az egyenletrendszert:

(8.7)

Mivel ennek a rendszernek a determinánsa a Wronski-determináns az X-en lineárisan független lod-nak megfelelő két megoldásra, ezért nem tűnik el az X intervallum egyetlen pontján sem. Ezért a (8.7) rendszer megoldásában azt találjuk, hogy és : és . Integrálva kapsz , , hol van a prod. gyors.

Visszatérve a (8.2) egyenlőségre, általános megoldást kapunk az inhomogén egyenletre: .

Sorok

1. Számsorozat. A konvergens sorozatok alapfogalmai, tulajdonságai. A konvergencia szükséges jele (bizonyítással).

Alapvető definíciók. Adjunk meg egy végtelen számsorozatot . Számsorozat ennek a sorozatnak a tagjaiból álló rekordnak nevezzük. Vagy .Számok hívott a sorozat tagjai;, a sorozat közös kifejezésének nevezzük. Ennek a függvénynek az értékeinek kiszámítása eredményeként n =1, n =2,n =3, ... meg kell kapni a sorozat feltételeit.

Legyen adott a (18.1.1) sorozat. Állítsunk össze tagjaiból véges ún sorozat részösszegei:

Meghatározás. Ha van véges határ S a sorozat (18.1.1) részösszegeinek sorozatai esetén, akkor a sorozatról azt mondjuk, hogy konvergál; szám S a sorozat összegének nevezzük és írjuk vagy .

Ha nem létezik (beleértve a végtelent is), a sorozat ún divergens.

A konvergens sorozatok tulajdonságai. Egy sorozat konvergenciájának szükséges jele. A konvergens sorozatok közös kifejezése nullára hajlik, mint : Bizonyítás. Ha , akkor és , de , ezért .

A sorozat konvergenciájának vizsgálatához minden probléma megoldását a feltétel teljesülésének ellenőrzésével kell kezdenünk: ha ez a feltétel nem teljesül, akkor a sorozat nyilvánvalóan eltér. Ez a feltétel szükséges, de nem elégséges a sorozatok konvergenciájához: a harmonikus sorozat általános tagja (18.1.2), de ez a sorozat divergál.

Meghatározás. A sor többi része utána n az edik tagot sorozatnak nevezzük .

A másodrendű lineáris differenciálegyenlet (LDE) a következő formájú:

ahol , , és olyan függvények, amelyek folytonosak azon az intervallumon, amelyen a megoldást keresik. Feltételezve, hogy a 0 (x) ≠ 0, elosztjuk (2.1) értékkel, és az együtthatók új jelöléseinek bevezetése után az egyenletet a következő formában írjuk fel:

Bizonyítás nélkül fogadjuk el, hogy a (2.2)-nek van egy egyedi megoldása valamilyen intervallumon, amely minden kezdeti , feltételt kielégít, ha a vizsgált intervallumon a , és függvények folytonosak. Ha , akkor a (2.2) egyenletet homogénnek, egyébként a (2.2) egyenletet inhomogénnek nevezzük.

Tekintsük a 2. rendű lode megoldásainak tulajdonságait.

Meghatározás. A függvények lineáris kombinációja a kifejezés, ahol tetszőleges számok.

Tétel. Ha és – megoldás

akkor ezek lineáris kombinációja ennek az egyenletnek is megoldása lesz.

Bizonyíték.

Tegyük a kifejezést a (2.3)-ba, és mutassuk meg, hogy az eredmény az azonosság:

Rendezzük át a feltételeket:

Mivel a függvények a (2.3) egyenlet megoldásai, ezért az utolsó egyenletben minden zárójel azonos nullával, amit igazolni kellett.

Következmény 1. A bizonyított tételből az következik, hogy ha a (2.3) egyenlet megoldása, akkor ennek az egyenletnek is van megoldása.

Következmény 2. Feltételezve azt látjuk, hogy a Lod két megoldásának összege ennek az egyenletnek a megoldása is.

Megjegyzés. A megoldások tételben bizonyított tulajdonsága bármilyen sorrendű problémákra érvényben marad.

§3. Vronszkij meghatározója.

Meghatározás. Egy függvényrendszert lineárisan függetlennek mondunk egy bizonyos intervallumon, ha ezen függvények egyike sem ábrázolható a többi függvény lineáris kombinációjaként.

Két függvény esetén ez azt jelenti , azaz . Az utolsó feltétel átírható vagy . Ennek a kifejezésnek a számlálójában a determináns az az és függvények Wronski-determinánsának nevezzük. Így két lineárisan független függvény Wronski-determinánsa nem lehet azonosan egyenlő nullával.

Hadd a Wronski-determináns lineárisan független megoldásokhoz és a (2.3) egyenlethez. Győződjünk meg behelyettesítéssel, hogy a függvény kielégíti az egyenletet. (3.1)

Tényleg,. Mivel a függvények és kielégítik a (2.3) egyenletet, akkor, i.e. – a (3.1) egyenlet megoldása. Keressük ezt a megoldást: ; . , , .

. hol ,

(3.2)

A képlet jobb oldalán a plusz jelet kell venni, mivel csak ebben az esetben szerezhető meg az azonosság. Így,

Ezt a képletet Liouville-képletnek nevezik. Fentebb bemutattuk, hogy a lineárisan független függvények Wronski-determinánsa nem lehet azonosan nullával egyenlő. Következésképpen van egy pont, ahol a (2.3) egyenlet lineárisan független megoldásainak determinánsa eltér nullától. Ezután Liouville képletéből az következik, hogy a függvény a vizsgált intervallum összes értékére nem nulla lesz, mivel bármely érték esetén a (3.2) képlet jobb oldalán lévő mindkét tényező nullától eltérő.

Tétel. 4. §. A 2. rendű lode általános megoldásának felépítése. Ha és a (2.3) egyenlet lineárisan független megoldásai, akkor ezek lineáris kombinációja

Bizonyíték.

, ahol és tetszőleges állandók, ennek az egyenletnek az általános megoldása lesz. Mi a (2.3) egyenlet megoldása, a megoldások tulajdonságaira vonatkozó tételből következik a 2. rendű Lodo. Csak meg kell mutatnunk a megoldást általános, azaz meg kell mutatni, hogy bármely kezdeti feltételhez tetszőleges állandók választhatók úgy, hogy ezek a feltételek teljesüljenek. Írjuk fel a kezdeti feltételeket a következő formában:

és egy ilyen determináns, amint az előző bekezdésben láttuk, nem nulla. A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Bizonyítsuk be, hogy a függvény , ahol és tetszőleges állandók, a Lod általános megoldása.

Megoldás.

Könnyű behelyettesítéssel ellenőrizni, hogy a függvények teljesítik-e ezt az egyenletet. Ezek a függvények lineárisan függetlenek, hiszen . Ezért az általános megoldás szerkezetére vonatkozó tétel szerint a 2. rendű lode ennek az egyenletnek egy általános megoldása.

Homogén lineáris differenciálegyenletek konstans együtthatókkal rendelkező másodrendű alakja van

ahol p és q valós számok. Nézzünk példákat arra, hogyan oldhatók meg a homogén másodrendű, állandó együtthatójú differenciálegyenletek.

Egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet megoldása a karakterisztikus egyenlet gyökétől függ. A karakterisztikus egyenlet a k²+pk+q=0 egyenlet.

1) Ha a karakterisztikus egyenlet gyökei különböző valós számok:

akkor egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet állandó együtthatós általános megoldása

2) Ha a karakterisztikus egyenlet gyökei egyenlő valós számok

(például nullával egyenlő diszkrimináns esetén), akkor egy homogén másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása

3) Ha a karakterisztikus egyenlet gyökei komplex számok

(például negatív számmal egyenlő diszkriminánssal), akkor egy homogén másodrendű differenciálegyenlet általános megoldását a következő formában írjuk fel:

Példák lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletek megoldására állandó együtthatókkal

Keressen általános megoldásokat homogén másodrendű differenciálegyenletekre:

Felállítjuk a karakterisztikus egyenletet: k²-7k+12=0. A diszkriminánsa D=b²-4ac=1>0, tehát a gyökök különböző valós számok.

Ezért ennek a homogén 2. rendű DE-nek az általános megoldása az

Állítsuk össze és oldjuk meg a karakterisztikus egyenletet:

A gyökerek valódiak és különállóak. Ezért van egy általános megoldásunk erre a homogén differenciálegyenletre:

Ebben az esetben a karakterisztikus egyenlet

A gyökerek különbözőek és érvényesek. Ezért itt van egy 2. rendű homogén differenciálegyenlet általános megoldása

Karakterisztikus egyenlet

Mivel a gyökök valósak és egyenlőek, erre a differenciálegyenletre az általános megoldást így írjuk

A jellemző egyenlet itt található

Mivel a diszkrimináns az negatív szám, a karakterisztikus egyenlet gyökei komplex számok.

Ennek a homogén másodrendű differenciálegyenletnek az általános megoldása a következőképpen alakul

Karakterisztikus egyenlet

Innentől megtaláljuk az általános megoldást erre a különbségre. egyenletek:

Példák önellenőrzéshez.

Ebben a cikkben elemezzük a lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletek konstans együtthatós megoldásának elveit, ahol p és q tetszőleges valós számok. Először koncentráljunk az elméletre, majd alkalmazzuk a kapott eredményeket a példák és problémák megoldásában.

Ha ismeretlen kifejezésekkel találkozik, olvassa el a differenciálegyenletek elméletének definícióiról és fogalmairól szóló részt.

Fogalmazzunk meg egy tételt, amely jelzi, hogy milyen formában kell megtalálni a LOD általános megoldását.

Tétel.

Az X integrációs intervallumon folytonos együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását egy lineáris kombináció határozza meg , Hol az LDE lineárisan független parciális megoldásai X-en, és tetszőleges állandók.

Így egy lineáris homogén másodrendű, állandó együtthatójú differenciálegyenlet általános megoldása y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 alakú, ahol y 1 és y 2 részlegesen lineárisan független megoldások, C 1 pedig és C 2 tetszőleges állandók. Még meg kell tanulni, hogyan találjuk meg az y 1 és y 2 részmegoldásokat.

Euler azt javasolta, hogy az űrlapon keressenek konkrét megoldásokat.

Ha egy másodrendű LODE parciális megoldását vesszük állandó együtthatókkal, akkor ezt a megoldást behelyettesítve az egyenletbe az azonosságot kell kapnunk:

Így megkaptuk az ún karakterisztikus egyenlet másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet állandó együtthatókkal. Ennek a karakterisztikus egyenletnek a k 1 és k 2 megoldása határozza meg a másodrendű LODE részmegoldásait állandó együtthatókkal.

A p és q együtthatóktól függően a karakterisztikus egyenlet gyöke lehet:

Az első esetben Az eredeti differenciálegyenlet lineárisan független parciális megoldásai és, egy másodrendű, állandó együtthatójú LODE általános megoldása: .

A és függvények valóban lineárisan függetlenek, mivel a Wronski-determináns nem nulla bármely valós x esetén.

A második esetben az egyik sajátos megoldás a függvény . Második konkrét megoldásként a . Mutassuk meg, hogy valójában mi a konkrét megoldása egy másodrendű LODE-nak állandó együtthatókkal, és bizonyítsuk be lineáris függetlenség y 1 és y 2.

Mivel k 1 = k 0 és k 2 = k 0 azonos gyökei a karakterisztikus egyenletnek, alakja . Ezért az eredeti lineáris homogén differenciálegyenlet. Helyettesítsük be, és győződjön meg arról, hogy az egyenlet azonossággá válik:

Így ez egy sajátos megoldása az eredeti egyenletnek.

Mutassuk meg az és függvények lineáris függetlenségét. Ehhez számítsuk ki a Wronski-determinánst, és győződjünk meg arról, hogy az különbözik a nullától.

Következtetés: a másodrendű, állandó együtthatójú LODE-k lineárisan független parciális megoldásai és , és létezik az általános megoldás.

A harmadik esetben az LDE és a komplex részmegoldások párja áll rendelkezésünkre. Az általános megoldás így lesz írva . Ezeket a konkrét megoldásokat két valós függvény helyettesítheti és , amely megfelel a valós és képzeletbeli részek. Ez jól látható, ha átalakítjuk az általános megoldást , a képleteket használva komplex változó függvényelmélete típus:

ahol C 3 és C 4 tetszőleges állandók.

Tehát foglaljuk össze az elméletet.

Algoritmus egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldásának megtalálására állandó együtthatókkal.

Nézzünk példákat minden egyes esetre.

Példa.

Keresse meg egy másodrendű lineáris homogén, állandó együtthatójú differenciálegyenlet általános megoldását! .

Másodrendű differenciálegyenletek

§1. Módszerek az egyenlet sorrendjének csökkentésére.

A másodrendű differenciálegyenlet alakja:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( vagy Differenciál" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2. rendű differenciálegyenlet). Cauchy probléma egy 2. rendű differenciálegyenlethez (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Legyen a másodrendű differenciálegyenlet a következő: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Így a másodrendű egyenlet https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Ezt megoldva megkapjuk az eredeti differenciálegyenlet általános integrálját, két tetszőleges állandótól függően: DIV_ADBLOCK219">

1. példa Oldja meg a https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif differenciálegyenletet " width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.

Ez egy differenciálegyenlet elválasztható változókkal: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, i.e..gif" width= " 96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99 " height="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.

2..gif" width="117" height="25 src=">, azaz..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">

Megoldás.

Ez a másodrendű egyenlet egyértelműen nem tartalmazza a kívánt függvényt https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width= " 33" height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, ami egy lineáris egyenlet..gif" width="109" height="36 src=">. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> egyes függvényekből..gif" width="25" height="25 src=">.gif " width="127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – az egyenlet sorrendje csökken.

§2. Másodrendű lineáris differenciálegyenlet.

A másodrendű lineáris differenciálegyenlet (LDE) a következő formájú:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src=">, és az együtthatók új jelöléseinek bevezetése után a következő formában írjuk fel az egyenletet:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> folyamatos..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – tetszőleges számok.

Tétel. Ha https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - a megoldás

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> szintén megoldás lesz erre az egyenletre.

Bizonyíték.

Tegyük a https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src="> kifejezést.

Rendezzük át a feltételeket:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> is megoldás erre az egyenletre.

Következmény 2. Feltételezve, hogy a https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> szintén megoldás erre az egyenletre.

Megjegyzés. A megoldások tételben bizonyított tulajdonsága bármilyen sorrendű problémákra érvényben marad.

§3. Vronszkij meghatározója.

Meghatározás. Funkciórendszer https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> egyenletek (2.3)..gif" width="182" height="25 src="> (3.1)

Valóban, a ..gif" width="18" height="25 src="> megfelel az egyenletnek (2..gif" width="42" height="25 src="> a (3.1) egyenlet megoldása). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> az azonosság megszerzése.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, amelyben az egyenlet lineárisan független megoldásainak determinánsa (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> a (3.2) képlet jobb oldalán található mindkét tényező nullától eltérő.

Ezt a képletet Liouville-képletnek nevezik. Fentebb bemutattuk, hogy a lineárisan független függvények Wronski-determinánsa nem lehet azonosan nullával egyenlő. Következésképpen van egy pont, ahol a (2.3) egyenlet lineárisan független megoldásainak determinánsa eltér nullától. Ezután Liouville képletéből az következik, hogy a függvény a vizsgált intervallum összes értékére nem nulla lesz, mivel bármely érték esetén a (3.2) képlet jobb oldalán lévő mindkét tényező nullától eltérő.

Tétel. Ha a https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> lineárisan független megoldásai a (2..gif" width="" egyenletnek 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">a (2.3) egyenlet megoldása, ami a megoldások tulajdonságairól szóló tételből következik a másodrendű lode-ig. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Az ebből a lineáris algebrai egyenletrendszerből származó https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> konstansokat egyedileg határozzuk meg, mivel a determináns ez a rendszer https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Az előző bekezdés szerint a 2. rendű Lod általános megoldása könnyen meghatározható, ha ismerjük ennek az egyenletnek két lineárisan független részmegoldását. Egy egyszerű módszer egy L. Euler által javasolt állandó együtthatójú egyenlet részleges megoldásához..gif" width="25" height="26 src=">, egy algebrai egyenletet kapunk, amelyet karakterisztikusnak nevezünk:

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> az (5.1) egyenlet megoldása csak a k értékei esetén amelyek a karakterisztikus egyenlet gyökerei (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> és az általános megoldás (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Ellenőrizzük, hogy ez a függvény teljesíti-e az (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> egyenletet az (5.1) egyenletbe, azt kapjuk

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, mert..gif" width="137" height="26 src= ">.

Az egyes megoldások https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> lineárisan függetlenek, mert..gif" width="166" height ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" magasság = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Ennek az egyenlőségnek a bal oldalán mindkét zárójel megegyezik a nullával..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> a az (5.1) egyenlet megoldása ..gif" width="129" height="25 src="> így fog kinézni:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

az általános megoldás összegeként jelenik meg: https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

és a https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> megoldás a (6.1) egyenlet megoldása lesz..gif" szélesség=" 272" height="25 src="> f(x). Ez az egyenlőség egy azonosság, mert..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Ezért.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width A ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> lineárisan független megoldásai ennek az egyenletnek. Így:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, és egy ilyen determináns, mint fentebb láttuk, nem nulla..gif" width="19" height="25 src="> a rendszertől egyenletek közül (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> akarja megoldani az egyenletet

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> a (6.5) egyenletbe, kapjuk

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

ahol a https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> (7.1) egyenlet abban az esetben, ha a jobb oldali f(x) ) egy speciális formája. Ezt a módszert határozatlan együtthatók módszerének nevezik, és egy adott megoldást választunk az f(x) jobb oldal típusától függően.

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, lehet nulla. Jelöljük meg, hogy ebben az esetben egy adott megoldást milyen formában kell elfogadni.

a) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

Megoldás.

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src egyenlethez = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Mindkét részt a https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> értékre redukáljuk az egyenlőség bal és jobb oldalán

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

A kapott egyenletrendszerből a következőt találjuk: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, és az általános megoldást adott egyenlet Van:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Megoldás.

A megfelelő karakterisztikus egyenlet alakja:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Végső az alábbi kifejezést kapjuk az általános megoldásra:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> kiváló nulláról. Jelöljük ebben az esetben az adott megoldás típusát.

a) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> az egyenlet jellemző egyenletének gyökere (5..gif" width="229" height="25 src=">,

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Megoldás.

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height egyenlet karakterisztikus egyenletének gyökerei ="25 src=">.

A 3. példában megadott egyenlet jobb oldalának speciális alakja van: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" meghatározásához > és behelyettesítjük a megadott egyenletbe:

Hasonló kifejezések idézése, az együtthatók egyenlővé tétele: https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.

Az adott egyenlet végső általános megoldása a következő formában van: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width= "47" height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src=">, és ezek közül az egyik polinom lehet nulla. Jelöljük meg az adott megoldás típusát. általános eset.

a) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Ha a https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> szám, akkor az lndu adott megoldása így fog kinézni:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. A (7..gif" width="121" height= kifejezésben " 25 src=">.

4. példa Adja meg az egyenlet adott megoldásának típusát

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . A Lodu általános megoldása a következő:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

További együtthatók https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > van egy sajátos megoldás a jobb oldali f1(x) egyenletre, és tetszőleges állandók variációi" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">változatai (Lagrange-módszer).

A fentiek szerint a lineáris homogén egyenlet általános megoldása:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nem állandók, hanem f(x) néhány, még ismeretlen függvénye. . intervallumból kell venni. Valójában ebben az esetben a Wronski-determináns nem nulla az intervallum minden pontján, azaz a teljes térben - a karakterisztikus egyenlet összetett gyöke..gif" width="20" height="25 src="> alak lineárisan független részmegoldásai:

Az általános megoldási képletben ez a gyök a forma kifejezésének felel meg.