Vieta tételének alkalmazásáról másodfokú egyenletek megoldásában. Másodfokú egyenletek szóbeli megoldása és Vieta tétele Egyenletek Vieta tételével

A nyolcadik osztályban a tanulók megismerkednek a másodfokú egyenletekkel és azok megoldásával. Ugyanakkor, amint a tapasztalat azt mutatja, a legtöbb diák a teljes másodfokú egyenletek megoldása során csak egy módszert használ - a másodfokú egyenlet gyökereinek képletét. A jó fejszámolási készségekkel rendelkező tanulók számára ez a módszer egyértelműen irracionális. A diákoknak sokszor még a gimnáziumban is másodfokú egyenleteket kell megoldaniuk, ott pedig egyszerűen kár időt szánni a diszkrimináns kiszámítására. Véleményem szerint a másodfokú egyenletek tanulmányozása során több időt és figyelmet kell fordítani Vieta tételének alkalmazására (az A.G. Mordkovich Algebra-8 program szerint mindössze két órát terveznek a „Vieta tétele. Másodfokú felbontása” témakör tanulmányozására trinomiális lineáris tényezőkké”).

A legtöbb algebrai tankönyvben ez a tétel a redukált másodfokú egyenletre van megfogalmazva, és kimondja, hogy ha az egyenletnek gyökerei vannak és , akkor a , , egyenlőségek teljesülnek számukra. Ezután egy Vieta-tétellel ellentétes állítás fogalmazódik meg, és számos példát kínálnak a téma gyakorlására.

Vegyünk konkrét példákat, és követjük nyomon a megoldás logikáját Vieta tételével.

Példa 1. Oldja meg az egyenletet!

Tegyük fel, hogy ennek az egyenletnek gyökerei vannak, nevezetesen és . Ekkor Vieta tétele szerint az egyenlőségeknek egyszerre kell teljesülniük:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a gyökök szorzata pozitív szám. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyökei azonos előjelűek. És mivel a gyökök összege is pozitív szám, arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenlet mindkét gyöke pozitív. Térjünk vissza a gyökerek szorzatához. Tegyük fel, hogy az egyenlet gyökei egész számok pozitív számok. Ekkor a helyes első egyenlőséget csak kétféleképpen kaphatjuk meg (a tényezők sorrendjéig): vagy . Vizsgáljuk meg a javasolt számpárokra a Vieta-tétel második állításának megvalósíthatóságát: . Így a 2 és 3 számok mindkét egyenlőséget kielégítik, ezért az adott egyenlet gyökerei.

Válasz: 2; 3.

Kiemeljük az érvelés főbb szakaszait, amikor a fenti másodfokú egyenletet Vieta tételével oldjuk meg:

írd le Vieta tételének kijelentését

(*)

határozzuk meg az egyenlet gyökeinek előjeleit (Ha a szorzat és a gyökök összege pozitív, akkor mindkét gyök pozitív szám. Ha a gyökök szorzata pozitív szám, és a gyökök összege negatív, akkor mindkét gyök negatív szám Ha a gyökök szorzata az negatív szám, akkor a gyökerek különböző előjelűek.
Sőt, ha a gyökök összege pozitív, akkor a nagyobb modulusú gyök pozitív szám, és ha a gyökök összege kisebb, mint nulla, akkor a nagyobb modulusú gyök negatív szám);
válasszunk ki olyan egész számpárokat, amelyek szorzata adja a helyes első egyenlőséget a jelölésben (*);
a talált számpárok közül válassza ki azt a párt, amely a jelölés második egyenlőségébe (*) behelyettesítve a helyes egyenlőséget adja;

válaszában tüntesse fel az egyenlet talált gyökereit!

Mondjunk még néhány példát. .

2. példa: Oldja meg az egyenletet

Megoldás.

Legyen és az adott egyenlet gyöke. Ekkor Vieta tétele alapján megjegyezzük, hogy a szorzat pozitív, az összeg pedig negatív szám. Ez azt jelenti, hogy mindkét gyök negatív szám. Olyan faktorpárokat választunk ki, amelyek 10-es szorzatot adnak (-1 és -10; -2 és -5). A második számpár összege -7. Ez azt jelenti, hogy a -2 és -5 számok ennek az egyenletnek a gyökerei. -2; -5.

Válasz: .

2. példa: Oldja meg az egyenletet

3. példa: Oldja meg az egyenletet

Legyen és az adott egyenlet gyöke. Ezután Vieta tétele alapján megjegyezzük, hogy a szorzat negatív. Ez azt jelenti, hogy a gyökerek különböző előjelűek. A gyökök összege is negatív szám. Ez azt jelenti, hogy a legnagyobb modulusú gyök negatív. Olyan faktorpárokat választunk ki, amelyek a szorzatot -10-et adják (1 és -10; 2 és -5). A második számpár összege -3. Ez azt jelenti, hogy a 2 és -5 számok az egyenlet gyökerei. Vegyük észre, hogy Vieta tétele elvileg egy teljes másodfokú egyenletre is megfogalmazható: Ha másodfokú egyenlet gyökerei vannak, és akkor a , , egyenlőségek teljesülnek számukra.

Ennek a tételnek az alkalmazása azonban meglehetősen problematikus, mivel egy teljes másodfokú egyenletben legalább az egyik gyök (természetesen ha van ilyen) törtszám. A törtek kiválasztásával való munka hosszú és nehéz. De még mindig van kiút. Tekintsük a teljes másodfokú egyenletet . Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát az első együtthatóval A és írd be az egyenletet a formába . Vezessünk be egy új változót, és kapjuk meg a redukált másodfokú egyenletet, melynek és (ha van) gyökerei Vieta tételével kereshetők. Ekkor az eredeti egyenlet gyökerei a következők lesznek. Kérjük, vegye figyelembe, hogy nagyon egyszerű egy kiegészítő redukált egyenlet létrehozása: a második együttható megmarad, a harmadik együttható pedig egyenlő a szorzattal.. Egy bizonyos képesség birtokában a tanulók azonnal létrehoznak egy segédegyenletet, megtalálják a gyökereit Vieta tételével, és jelzik az adott teljes egyenlet gyökereit. Mondjunk példákat.

4. példa: Oldja meg az egyenletet! .

Hozzunk létre egy segédegyenletet és Vieta tételét felhasználva meg fogjuk találni a gyökereit. Ez azt jelenti, hogy az eredeti egyenlet gyökerei .

5. példa: Oldja meg az egyenletet .

A segédegyenlet alakja . Vieta tétele szerint a gyökerei . Az eredeti egyenlet gyökereinek megkeresése .

És még egy eset, amikor Vieta tételének alkalmazása lehetővé teszi egy teljes másodfokú egyenlet gyökereinek verbális megtalálását. Nem nehéz ezt bizonyítani az 1-es szám az egyenlet gyöke , akkor és csak akkor. Az egyenlet második gyökét Vieta tétele találja meg, és egyenlő vele. Még egy nyilatkozat: hogy a –1 szám legyen az egyenlet gyöke szükséges és elegendő ahhoz. Ekkor az egyenlet második gyöke Vieta tétele szerint egyenlő . Hasonló állítások fogalmazhatók meg az adott másodfokú egyenletre.

6. példa: Oldja meg az egyenletet.

Figyeljük meg, hogy az egyenlet együtthatóinak összege nulla. Tehát az egyenlet gyökerei .

7. példa Oldja meg az egyenletet!

Ennek az egyenletnek az együtthatói kielégítik a tulajdonságot (valóban 1-(-999)+(-1000)=0). Tehát az egyenlet gyökerei .

Példák Vieta tételére

1. feladat Oldja meg a megadott másodfokú egyenletet Vieta tételével!

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

2. Feladat. Oldja meg a teljes másodfokú egyenletet a segédredukált másodfokú egyenletre való átlépéssel!

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

3. feladat Oldjon meg egy másodfokú egyenletet a tulajdonság segítségével!

Vieta tételét gyakran használják a már megtalált gyökerek ellenőrzésére. Ha megtalálta a gyökereket, a \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(esetek)\) képletekkel számíthatja ki a \(p) értékét \) és \(q\ ). És ha kiderül, hogy megegyeznek az eredeti egyenletben, akkor a gyökerek helyesen találhatók.

Például a segítségével oldjuk meg a \(x^2+x-56=0\) egyenletet, és kapjuk meg a gyököket: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Ellenőrizzük, nem hibáztunk-e a megoldási folyamat során. Esetünkben \(p=1\) és \(q=-56\). Vieta tétele alapján a következőt kapjuk:

\(\begin(esetek)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(esetek)\) \(\bal jobbra nyíl\) \(\begin(esetek)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(esetek)\) \(\Bal jobbra nyíl\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(esetek)\ )

Mindkét állítás konvergált, ami azt jelenti, hogy helyesen oldottuk meg az egyenletet.

Ez az ellenőrzés szóban is elvégezhető. 5 másodpercig tart, és megóvja Önt a hülye hibáktól.

Vieta fordított tétele

Ha \(\begin(esetek)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(esetek)\), akkor \(x_1\) és \(x_2\) a másodfokú egyenlet \ (x^ 2+px+q=0\).

Vagy egyszerűen: ha van egy \(x^2+px+q=0\\ alakú egyenlete), akkor a rendszer megoldása \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) megtalálja a gyökereit.

Ennek a tételnek köszönhetően gyorsan megtalálhatja a másodfokú egyenlet gyökereit, különösen, ha ezek a gyökök . Ez a készség azért fontos, mert sok időt takarít meg.

Példa . Oldja meg a \(x^2-5x+6=0\) egyenletet.

Megoldás : Vieta inverz tételével azt találjuk, hogy a gyökök teljesítik a feltételeket: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(esetek)\).
Tekintse meg a \(x_1 \cdot x_2=6\) rendszer második egyenletét. Milyen kettőre bontható fel a \(6\) szám? A \(2\) és \(3\), \(6\) és \(1\) vagy \(-2\) és \(-3\), valamint \(-6\) és \(- 1\). A rendszer első egyenlete megmondja, hogy melyik párt válassza: \(x_1+x_2=5\). \(2\) és \(3\) hasonlóak, mivel \(2+3=5\).
Válasz : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Példák . A Vieta-tétel megfordításával keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Megoldás :
a) \(x^2-15x+14=0\) – milyen tényezőkre bomlik a \(14\)? \(2\) és \(7\), \(-2\) és \(-7\), \(-1\) és \(-14\), \(1\) és \(14\) ). Milyen számpárokból adódik \(15\)? Válasz: \(1\) és \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – milyen tényezőkre bomlik a \(-4\)? \(-2\) és \(2\), \(4\) és \(-1\), \(1\) és \(-4\). Milyen számpárokból adódik \(-3\)? Válasz: \(1\) és \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – milyen tényezőkre bomlik a \(20\)? \(4\) és \(5\), \(-4\) és \(-5\), \(2\) és \(10\), \(-2\) és \(-10\) ), \(-20\) és \(-1\), \(20\) és \(1\). Milyen számpárokból adódik \(-9\)? Válasz: \(-4\) és \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – milyen tényezőkre bomlik a \(780\)? \(390\) és \(2\). Összeadva \(88\) lesz? Nem. Milyen egyéb szorzói vannak a \(780\)-nak? \(78\) és \(10\). Összeadva \(88\) lesz? Igen. Válasz: \(78\) és \(10\).

Nem szükséges az utolsó kifejezést az összes lehetséges tényezőre kiterjeszteni (mint az utolsó példában). Azonnal ellenőrizheti, hogy az összegük megadja-e a \(-p\) értéket.

Fontos! Vieta tétele és a fordított tétele csak -vel működik, azaz olyannal, amelyre \(x^2\) együtthatója eggyel egyenlő. Ha kezdetben kaptunk egy nem redukált egyenletet, akkor azt úgy tudjuk redukálni, hogy egyszerűen elosztjuk az \(x^2\) előtti együtthatóval.

Például, legyen adott a \(2x^2-4x-6=0\) egyenlet és egy Vieta-tételt szeretnénk használni. De nem tehetjük meg, mivel az \(x^2\) együtthatója egyenlő \(2\). Megszabadulunk tőle úgy, hogy a teljes egyenletet elosztjuk \(2\-el).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Kész. Most mindkét tételt használhatja.

Válaszok a gyakran ismételt kérdésekre

Kérdés: Vieta tételét használva bármelyik ?
Legyen és az adott egyenlet gyöke. Ekkor Vieta tétele alapján megjegyezzük, hogy a szorzat pozitív, az összeg pedig negatív szám. Ez azt jelenti, hogy mindkét gyök negatív szám. Olyan faktorpárokat választunk ki, amelyek 10-es szorzatot adnak (-1 és -10; -2 és -5). A második számpár összege -7. Ez azt jelenti, hogy a -2 és -5 számok ennek az egyenletnek a gyökerei. Sajnos nem. Ha az egyenlet nem tartalmaz egész számokat, vagy az egyenletnek egyáltalán nincs gyöke, akkor Vieta tétele nem segít. Ebben az esetben használnia kell diszkriminatív . Szerencsére az egyenletek 80%-a benne van iskolai tanfolyam a matematikának teljes megoldásai vannak.

Vieta tétele (pontosabban a tétel a tétel megfordítása Vieta) lehetővé teszi a másodfokú egyenletek megoldásához szükséges idő csökkentését. Csak tudnia kell, hogyan kell használni. Hogyan tanuljunk meg másodfokú egyenleteket megoldani Vieta tételével? Nem nehéz, ha egy kicsit belegondolsz.

Most csak a redukált másodfokú egyenlet megoldásáról beszélünk a Vieta-tétel segítségével. A redukált másodfokú egyenlet egy olyan egyenlet, amelyben a, azaz x² együtthatója eggyel egyenlő. Olyan másodfokú egyenletek is megoldhatók, amelyek nem Vieta tételével vannak megadva, de legalább az egyik gyök nem egész szám. Nehezebb kitalálni őket.

A Vieta tételének inverz tétele kimondja: ha az x1 és x2 számok olyanok, hogy

akkor x1 és x2 a másodfokú egyenlet gyöke

Egy másodfokú egyenlet Vieta tételével történő megoldásánál csak 4 lehetőség lehetséges. Ha emlékszel a gondolatmenetre, nagyon gyorsan megtanulhatod megtalálni a teljes gyökereket.

I. Ha q pozitív szám,

ez azt jelenti, hogy az x1 és x2 gyök azonos előjelű számok (mivel csak az azonos előjelű számok szorzása pozitív számot ad).

I.a. Ha -p pozitív szám, (illetve p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Ha -p negatív szám, (illetve p>0), akkor mindkét gyök negatív szám (azonos előjelű számokat adtunk hozzá és negatív számot kaptunk).

II. Ha q negatív szám,

ez azt jelenti, hogy az x1 és x2 gyökök különböző előjelűek (számok szorzásakor csak akkor kapunk negatív számot, ha a tényezők előjele eltérő). Ebben az esetben az x1+x2 már nem összeg, hanem különbség (végül is a számok összeadásakor különböző jelek kivonjuk a kisebbet a nagyobb moduloból). Ezért x1+x2 megmutatja, hogy az x1 és x2 gyök mennyivel tér el egymástól, vagyis mennyivel nagyobb az egyik gyök a másiknál (abszolút értékben).

II.a. Ha -p pozitív szám, (vagyis p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Ha -p negatív szám, (p>0), akkor a nagyobb (modulo) gyök negatív szám.

Nézzük meg a másodfokú egyenletek megoldását Vieta tételével, példák segítségével.

Oldja meg a megadott másodfokú egyenletet Vieta tételével:

Itt q=12>0, tehát az x1 és x2 gyökök azonos előjelű számok. Összegük -p=7>0, tehát mindkét gyök pozitív szám. Kiválasztjuk azokat az egész számokat, amelyek szorzata 12. Ezek 1 és 12, 2 és 6, 3 és 4. A 3 és 4 pár összege 7. Ez azt jelenti, hogy 3 és 4 az egyenlet gyöke.

Ebben a példában q=16>0, ami azt jelenti, hogy az x1 és x2 gyökök azonos előjelű számok. Összegük -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Itt q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, akkor a nagyobb szám pozitív. Tehát a gyökök 5 és -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

François Viète (1540-1603) – matematikus, a híres Viète-képletek megalkotója

Vieta tétele másodfokú egyenletek gyors megoldásához szükséges (egyszerű szavakkal).

Akkor részletesebben Vieta tétele az, hogy egy adott másodfokú egyenlet gyökeinek összege egyenlő a második együtthatóval, amelyet ellenkező előjellel veszünk fel, a szorzat pedig egyenlő a szabad taggal. Minden olyan redukált másodfokú egyenlet, amelynek gyökerei vannak, rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.

Vieta tételét használva könnyedén megoldhat másodfokú egyenleteket kiválasztással, ezért mondjunk „köszönetet” ennek a matematikusnak karddal a kezében boldog 7. osztályunkért.

Vieta tételének bizonyítása

A tétel bizonyításához használhatunk jól ismert gyökképleteket, amelyeknek köszönhetően egy másodfokú egyenlet gyökeinek összegét és szorzatát állítjuk össze. Csak ezután győződhetünk meg arról, hogy egyenlőek, és ennek megfelelően .

Tegyük fel, hogy van egy egyenletünk: . Ennek az egyenletnek a következő gyökerei vannak: és . Bizonyítsuk be, hogy .

A másodfokú egyenlet gyökeinek képlete szerint:

1. Keresse meg a gyökök összegét:

Nézzük meg ezt az egyenletet, hogyan kaptuk pontosan így:

= .

1. lépés. A törteket közös nevezőre redukálva kiderül:

= = .

2. lépés. Van egy töredékünk, ahol meg kell nyitnunk a zárójeleket:

Csökkentjük a törtet 2-vel, és megkapjuk:

A másodfokú egyenlet gyökeinek összegére vonatkozó összefüggést Vieta tételével igazoltuk.

2. Keresse meg a gyökerek szorzatát:

= = = = = .

Bizonyítsuk be ezt az egyenletet:

1. lépés. Van egy szabály a törtek szorzására, amely szerint ezt az egyenletet megszorozzuk:

Most felidézzük a négyzetgyök definícióját, és kiszámítjuk:

= .

3. lépés. Emlékezzünk vissza a másodfokú egyenlet diszkriminánsára: . Ezért a D (diszkrimináns) helyett az utolsó törtben helyettesítjük, akkor kiderül:

= .

4. lépés. Nyissa ki a zárójeleket, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket a törthez:

5. lépés. Lerövidítjük a „4a”-t, és megkapjuk.

Tehát a gyökök szorzatára vonatkozó összefüggést bebizonyítottuk Vieta tételével.

FONTOS!Ha a diszkrimináns nulla, akkor a másodfokú egyenletnek csak egy gyöke van.

A tétel megfordítva Vieta tételét

A Vieta-tétellel fordított tétel segítségével ellenőrizhetjük, hogy az egyenletünk helyesen van-e megoldva. Magának a tételnek a megértéséhez részletesebben meg kell vizsgálnia.

Ha a számok ilyenek:

És akkor ezek a másodfokú egyenlet gyökerei.

Vieta fordított tételének bizonyítása

1. lépésHelyettesítsük be az együtthatók kifejezéseit az egyenletbe:

2. lépésAlakítsuk át az egyenlet bal oldalát:

3. lépés. Keressük meg az egyenlet gyökereit, és ehhez használjuk azt a tulajdonságot, hogy a szorzat egyenlő nullával:

Vagy . Honnan származik: vagy .

Példák megoldásokkal Vieta tételével

1. példa

Gyakorlat

Határozza meg a másodfokú egyenlet gyökeinek összegét, szorzatát és négyzetösszegét anélkül, hogy megkeresné az egyenlet gyökereit.

Megoldás

1. lépés. Emlékezzünk a diszkriminancia képletére. A betűket számainkkal helyettesítjük. Vagyis , – ez helyettesíti a , és a . Ebből következik:

Kiderül:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Fejezzük ki a gyökök négyzeteinek összegét azok összegével és szorzatával:

Válasz

7; 12; 25.

2. példa

Gyakorlat

Oldja meg az egyenletet. Azonban ne használjon másodfokú egyenletképleteket.

Megoldás

Ennek az egyenletnek olyan gyökei vannak, amelyek diszkriminánsa (D) nagyobb, mint nulla. Ennek megfelelően Vieta tétele szerint ennek az egyenletnek a gyökeinek összege 4, a szorzata pedig 5. Először is meghatározzuk a szám osztóit, amelyek összege 4. Ezek a számok „ 5” és „-1”. A szorzatuk – 5, az összegük pedig – 4. Ez azt jelenti, hogy a Vieta tételével fordított tétel szerint ők jelentik ennek az egyenletnek a gyökereit.

Válasz

ÉS 4. példa

Gyakorlat

Írj fel egy egyenletet, ahol minden gyök kétszerese az egyenlet megfelelő gyökének:

Megoldás

Vieta tétele szerint ennek az egyenletnek a gyökeinek összege 12, a szorzat pedig = 7. Ez azt jelenti, hogy két gyök pozitív.

Az új egyenlet gyökeinek összege egyenlő lesz:

És a munka.

A Vieta tételével fordított tétel alapján az új egyenlet a következőképpen alakul:

Válasz

Az eredmény egy egyenlet, amelynek minden gyöke kétszer akkora:

Tehát megvizsgáltuk, hogyan oldjuk meg az egyenletet Vieta tételével. Nagyon kényelmes ezt a tételt használni, ha olyan feladatokat old meg, amelyek másodfokú egyenletek gyökeinek előjeleit tartalmazzák. Vagyis ha a képletben a szabad tag egy pozitív szám, és ha a másodfokú egyenletnek valós gyöke van, akkor mindkettő lehet negatív vagy pozitív.

És ha a szabad tag negatív szám, és ha a másodfokú egyenletnek valós gyöke van, akkor mindkét előjel eltérő lesz. Vagyis ha az egyik gyök pozitív, akkor a másik gyök csak negatív lesz.

Hasznos források:

Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algebra 8. osztály: Moszkva „Felvilágosodás”, 2016 – 318 p.
Rubin A.G., Chulkov P.V. – tankönyv Algebra 8. osztály: Moszkva „Balass”, 2015 – 237 p.
Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebra 8. osztály: Moszkva „Felvilágosodás”, 2014 – 300

Vieta tétele, inverz Vieta képlete és példák megoldásokkal bábukra frissítve: 2019. november 22-én: Tudományos cikkek.Ru