A téglalap átlójának megtalálásának problémája három különböző módon fogalmazható meg. Nézzük meg mindegyiket közelebbről. A módszerek ismert adatoktól függenek, tehát hogyan lehet megtalálni egy téglalap átlóját?

Ha két oldalt ismerünk

Abban az esetben, ha a téglalap a és b két oldala ismert, az átló meghatározásához a Pitagorasz-tételt kell használni: a 2 + b 2 =c 2, itt a és b a derékszögű háromszög lábai, c a derékszögű háromszög befogója. Ha egy átlót húzunk egy téglalapba, az két részre oszlik derékszögű háromszög. Ismerjük ennek a derékszögű háromszögnek két oldalát (a és b). Vagyis egy téglalap átlójának megtalálásához a következő képletre van szükség: c=√(a 2 +b 2), itt c a téglalap átlójának hossza.

Ismert oldal és szög szerint, oldal és átló között

Legyen ismert az a téglalap oldala és az általa az α téglalap átlójával bezárt szög. Először is emlékezzünk a koszinusz képletre: cos α = a/c, itt c a téglalap átlója. Hogyan számítsuk ki egy téglalap átlóját ebből a képletből: c = a/cos α.

Egy ismert oldal mentén a téglalap szomszédos oldala és az átló közötti szög.

Mivel a téglalap átlója magát a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja, logikus, hogy a szinusz definíciójához forduljunk. A szinusz az ezzel a szöggel ellentétes láb és a hipotenúzus aránya sin α = b/c. Innen származtatjuk a téglalap átlójának megtalálásának képletét, amely egyben a derékszögű háromszög befogója is: c = b/sin α.

Most már okos vagy ebben a kérdésben. Holnap kedveskedhet geometria tanárának!

Meghatározás.

Téglalap olyan négyszög, amelynek két szemközti oldala egyenlő, és mind a négy szöge egyenlő.

A téglalapok csak a hosszú oldal és a rövid oldal arányában térnek el egymástól, de mind a négy sarok derékszögű, azaz 90 fokos.

A téglalap hosszú oldalát ún téglalap hossza, és a rövid - téglalap szélesség.

A téglalap oldalai egyben a magassága is.

A téglalap alapvető tulajdonságai

A téglalap lehet paralelogramma, négyzet vagy rombusz.

1. Ellentétes oldalak a téglalapok azonos hosszúságúak, azaz egyenlőek:

AB = CD, BC = AD

2. A téglalap szemközti oldalai párhuzamosak:

3. A téglalap szomszédos oldalai mindig merőlegesek:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. A téglalap mind a négy sarka egyenes:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Egy téglalap szögeinek összege 360 ​​fok:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Egy téglalap átlói azonos hosszúságúak:

7. Egy téglalap átlójának négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzeteinek összegével:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Egy téglalap minden átlója a téglalapot két azonos figurára, nevezetesen derékszögű háromszögekre osztja.

9. A téglalap átlói metszik egymást, és a metszéspontban kettéosztjuk:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Az átlók metszéspontját a téglalap középpontjának nevezzük, és egyben a körülírt kör középpontja is

11. Egy téglalap átlója a körülírt kör átmérője

12. Egy téglalap körüli kört mindig leírhatunk, mivel a szemközti szögek összege 180 fok:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Nem írható kör olyan téglalapba, amelynek hossza nem egyenlő a szélességével, mivel a szemközti oldalak összegei nem egyenlőek egymással (kör csak speciális eset téglalap – négyzet).

Egy téglalap oldalai

Meghatározás.

Téglalap hossza a hosszabb oldalpár hossza. Téglalap szélessége a rövidebb oldalpár hossza.

Képletek a téglalap oldalai hosszának meghatározásához

1. A téglalap oldalának képlete (a téglalap hossza és szélessége) az átlón és a másik oldalon:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Képlet egy téglalap oldalának (a téglalap hossza és szélessége) a területen és a másik oldalon keresztül:

b = dcos	β
	2

Egy téglalap átlója

Meghatározás.

Átlós téglalap Minden olyan szakaszt, amely egy téglalap egymással szemben lévő sarkainak két csúcsát összeköti, nevezzük.

Képletek a téglalap átlójának hosszának meghatározásához

1. Egy téglalap átlójának képlete a téglalap két oldalát használva (a Pitagorasz-tételen keresztül):

d = √ a 2 + b 2

2. A téglalap átlójának képlete a terület és bármely oldal felhasználásával:

4. A téglalap átlójának képlete a körülírt kör sugarában:

d = 2R

5. A téglalap átlójának képlete a körülírt kör átmérője alapján:

d = D o

6. A téglalap átlójának képlete az átlóval szomszédos szög szinuszának és az ezzel a szöggel ellentétes oldal hosszának felhasználásával:

8. Egy téglalap szinuszos átlójának képlete hegyesszög az átlók és a téglalap területe között

d = √2S: bűn β

Egy téglalap kerülete

Meghatározás.

Egy téglalap kerülete egy téglalap minden oldalának hosszának összege.

Képletek a téglalap kerülete hosszának meghatározásához

1. A téglalap kerületének képlete a téglalap két oldalával:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. A téglalap kerületének képlete területtel és bármely oldallal:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. A téglalap kerületének képlete az átló és bármely oldal használatával:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. A téglalap kerületének képlete a körülírt kör sugarát és bármely oldalát felhasználva:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. A téglalap kerületének képlete a körülírt kör és bármely oldal átmérőjének felhasználásával:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Egy téglalap területe

Meghatározás.

Egy téglalap területe a téglalap oldalai által határolt teret nevezzük, vagyis a téglalap kerületén belül.

Képletek a téglalap területének meghatározásához

1. Egy téglalap területének képlete két oldal használatával:

S = a b

2. A téglalap területének képlete a kerület és bármely oldal használatával:

5. A téglalap területének képlete a körülírt kör sugarát és bármely oldalát felhasználva:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. A téglalap területének képlete a körülírt kör és bármely oldal átmérőjének felhasználásával:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2

Egy téglalap köré körülírt kör

Meghatározás.

Egy téglalap körül körülírt kör a téglalap négy csúcsán áthaladó kör, amelynek középpontja a téglalap átlóinak metszéspontjában van.

A téglalap köré körülírt kör sugarának meghatározására szolgáló képletek

1. Egy téglalap köré két oldalról körülírt kör sugarának képlete:

olyan paralelogramma, amelyben minden szög egyenlő 90°-kal, és a szemközti oldalak párhuzamosak és egyenlők páronként.

A téglalapnak számos megdönthetetlen tulajdonsága van, amelyeket számos probléma megoldására használnak, a téglalap területére és kerületére vonatkozó képletekben. Itt vannak:

Egy téglalap ismeretlen oldalának vagy átlójának hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével vagy a segítségével számítjuk ki. A téglalap területét kétféleképpen lehet megtalálni - az oldalak szorzatával vagy a téglalap átlón keresztüli területének képletével. Az első és legegyszerűbb képlet így néz ki:

Egy példa a téglalap területének kiszámítására ezzel a képlettel nagyon egyszerű. Két oldal ismeretében, például a = 3 cm, b = 5 cm, könnyen kiszámíthatjuk a téglalap területét:
Azt találjuk, hogy egy ilyen téglalapban a terület 15 négyzetméter lesz. cm.

Egy téglalap területe átlókon keresztül

Néha alkalmazni kell a képletet egy téglalap területének az átlókon keresztül. Nemcsak az átlók hosszát, hanem a köztük lévő szöget is meg kell találni:

Nézzünk egy példát a téglalap területének átlókkal történő kiszámítására. Legyen adott egy d = 6 cm átlójú és 30°-os szögű téglalap. Az adatokat behelyettesítjük a már ismert képletbe:

Tehát a téglalap területének átlón keresztüli kiszámításának példája megmutatta, hogy a terület ilyen módon történő megtalálása, ha adott egy szög, meglehetősen egyszerű.
Nézzünk egy másik érdekes problémát, amely segít kicsit megfeszíteni az agyunkat.

Feladat: Adott egy négyzet. Területe 36 négyzetméter. cm Határozzuk meg annak a téglalapnak a kerületét, amelynek egyik oldala 9 cm, és területe megegyezik a fent megadott négyzetével!
Tehát több feltételünk is van. Az érthetőség kedvéért írjuk le őket, hogy lássuk az összes ismert és ismeretlen paramétert:
Az ábra oldalai párhuzamosak és páronként egyenlőek. Ezért az ábra kerülete egyenlő az oldalak hosszának kétszeresével:
A téglalap területének képletéből, amely egyenlő az ábra két oldalának szorzatával, megtaláljuk a b oldal hosszát
Innen:
Az ismert adatokat behelyettesítjük és megkeressük a b oldal hosszát:
Számítsa ki az ábra kerületét:
Így néhány egyszerű képlet ismeretében kiszámíthatja egy téglalap kerületét, ismerve a területét.

Tartalom:

Az átló egy olyan szakasz, amely egy téglalap két ellentétes csúcsát köti össze. Egy téglalapnak két egyenlő átlója van. Ha egy téglalap oldalai ismertek, akkor az átló a Pitagorasz-tétel segítségével megkereshető, mivel az átló a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja. Ha az oldalak nincsenek megadva, de más mennyiségek ismertek, például terület és kerület vagy oldalarány, akkor megkeresheti a téglalap oldalait, majd a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámíthatja az átlót.

Lépések

1 Az oldalakon

1. 1 Írd le a Pitagorasz-tételt! Képlet: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Helyettesítsd be az oldalak értékeit a képletbe. A feladatban megadva vannak, vagy meg kell mérni. Az oldalsó értékeket 3-mal helyettesítjük
   • Példánkban:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Terület és kerület szerint

     1. 1 Képlet: S = l w (Az ábrán S helyett A jelölést használunk.)
     2. 2 Ezzel az értékkel helyettesíti az S 3 Írd át a képletet w 4 izolálásához Írja fel a képletet a téglalap kerületének kiszámításához. Képlet: P = 2 (sz + l)
     3. 5 Helyettesítsd be a képletbe a téglalap kerületét! Ezzel az értékkel helyettesíti a P 6 Oszd el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel. Megkapja a téglalap oldalainak összegét, azaz w + l 7 Helyettesítse be a képletbe a w 8 kiszámításához szükséges kifejezést Szabadulj meg a töredéktől. Ehhez szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát l 9-el Állítsa az egyenletet 0-ra. Ehhez vonjuk ki az elsőrendű változótagot az egyenlet mindkét oldaláról.
        • Példánkban:
          12 l = 35 + l 2 10 Rendezze el az egyenlet feltételeit! Az első tag a másodrendű változó tag, majd az elsőrendű változó tag, majd a szabad tag lesz. Ugyanakkor ne feledkezzünk meg a tagok előtt megjelenő jelekről („plusz” és „mínusz”). Vegye figyelembe, hogy az egyenlet másodfokú egyenletként lesz felírva.
          • Példánkban 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • Példánkban az egyenlet: 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Keresse meg az l 13-at Írd le a Pitagorasz-tételt! Képlet: a 2 + b 2 = c 2
              • Használja a Pitagorasz-tételt, mert a téglalap minden átlója két egyenlő derékszögű háromszögre osztja. Ezenkívül a téglalap oldalai a háromszög lábai, a téglalap átlója pedig a háromszög befogója.
            • 14 Ezek az értékek 15-öt helyettesítenek A hosszúságot és a szélességet négyzetbe kell helyezni, majd adja hozzá az eredményeket. Ne feledje, hogy ha négyzetre ír egy számot, az önmagával szoroz.
              • Példánkban:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Távolítsa el négyzetgyök az egyenlet mindkét oldaláról. Számológép segítségével gyorsan megtalálhatja a négyzetgyököt. Használhat online számológépet is. Meg fogja találni c

                3 Terület és képarány szerint

                1. 1 Írjon fel egy egyenletet, amely az oldalak arányát jellemzi! Izolálja l 2 Írja le a képletet a téglalap területének kiszámításához. Képlet: S = l w (Az ábrán S helyett A jelölést használunk.)
                   • Ez a módszer akkor is alkalmazható, ha a téglalap kerülete ismert, de akkor a képletet kell használni a kerület kiszámításához, nem a területhez. Képlet a téglalap kerületének kiszámításához: P = 2 (w + l)
                2. 3 Helyettesítsd be a képletbe a téglalap területét. Ez az érték S 4-et helyettesít A képletben helyettesítsünk egy, a felek viszonyát jellemző kifejezést! Téglalap esetén egy kifejezést helyettesíthet az l 5 kiszámításához Írd le másodfokú egyenlet. Ehhez nyissa ki a zárójeleket, és állítsa az egyenletet nullára.
                   • Példánkban:
                     35 = w(w+2)6 Tényező a másodfokú egyenletet. Megszerezni részletes utasításokat, olvasni.
                     • Példánkban az egyenlet 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Keresse meg a w 8-at Helyettesítsd be a talált szélességet (vagy hosszúságot) a képarányt jellemző egyenletbe!Így megtalálhatja a téglalap másik oldalát.
                       • Például, ha kiszámítja, hogy egy téglalap szélessége 5 cm, és a képarányt az l = w + 2 9 egyenlet adja meg. Írd le a Pitagorasz-tételt! Képlet: a 2 + b 2 = c 2
                         • Használja a Pitagorasz-tételt, mert a téglalap minden átlója két egyenlő derékszögű háromszögre osztja. Ezenkívül a téglalap oldalai a háromszög lábai, a téglalap átlója pedig a háromszög befogója.
                       • 10 Helyettesítse be a hossz és szélesség értékeket a képletbe. Ezek az értékek 11-et helyettesítenek A hosszúságot és a szélességet négyzetbe kell helyezni, majd adja hozzá az eredményeket. Ne feledje, hogy ha négyzetre ír egy számot, az önmagával szoroz.
                         • Példánkban:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét. Számológép segítségével gyorsan megkeresheti a négyzetgyököt. Használhat online számológépet is. Megtalálja a c-t (c megjelenítési stílus), vagyis a háromszög befogóját, tehát a téglalap átlóját.
                           • Példánkban:
                             74 = c 2 (megjelenítési stílus 74 = c^(2))
                             74 = c 2 (megjelenítési stílus (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = c (8,6024=c megjelenítési stílus)
                             Így egy olyan téglalap átlója, amelynek hossza 2 cm-rel nagyobb, mint a szélessége, és amelynek területe 35 cm 2, körülbelül 8,6 cm.

Téglalap olyan négyszög, amelyben minden szög derékszögű.

Bizonyíték

A tulajdonságot a paralelogramma 3. jellemzőjének hatása magyarázza (azaz \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. A szemközti oldalak egyenlőek.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. A szemközti oldalak párhuzamosak.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. A szomszédos oldalak merőlegesek egymásra.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD\perp AB

5. A téglalap átlói egyenlőek.

AC = BD

Bizonyíték

Szerint tulajdonság 1 a téglalap paralelogramma, ami azt jelenti, hogy AB = CD.

Ezért \triangle ABD = \háromszög DCA két lábon (AB = CD és AD - csatlakozás).

Ha mindkét ábra ABC és DCA azonos, akkor a BD és AC hipoténuszuk is azonos.

Tehát AC = BD.

Az összes ábra közül (csak a paralelogrammákból!) csak a téglalapnak van egyenlő átlója.

Bizonyítsuk be ezt is.

Az ABCD egy paralelogramma \Jobbra AB = CD, AC = BD feltétel szerint. \Jobbra \háromszög ABD = \háromszög DCA már három oldalról.

Kiderült, hogy \angle A = \angle D (mint a paralelogramma szögei). És \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

arra következtetünk \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Mind 90^(\circ) . Összesen - 360^(\circ) .

Igazolt!

6. Egy átló négyzete egyenlő a két szomszédos oldala négyzeteinek összegével.

Ez a tulajdonság a Pitagorasz-tétel miatt igaz.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Az átló a téglalapot két egyforma derékszögű háromszögre osztja.

\triangle ABC = \háromszög ACD, \enspace \triangle ABD = \háromszög BCD

8. Az átlók metszéspontja kettéosztja őket.

AO = BO = CO = DO

9. Az átlók metszéspontja a téglalap és a körülírt kör középpontja.

10. Az összes szög összege 360 ​​fok.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Egy téglalap minden szöge derékszögű.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. A téglalap köré körülírt kör átmérője megegyezik a téglalap átlójával.

13. Mindig leírhat egy kört egy téglalap körül.

Ez a tulajdonság annak köszönhető, hogy egy téglalap ellentétes szögeinek összege 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Egy téglalap tartalmazhat beírt kört és csak egyet, ha egyenlő oldalhosszúak (ez négyzet).